第一章集合与简易逻辑(教案)
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高中数学第一册（上）
第一章集合与简易逻辑
◇教材分析
【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分：
【知识点与学习目标】
【高考评析】
集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．
◇学习指导
【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．
【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想；
3．分类思想；4．数形结合思想．
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【解题规律】
1．如何解决与集合的运算有关的问题？
1）对所给的集合进行尽可能的化简；
2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系；
3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素．
2．如何解决与简易逻辑有关的问题？
1）力求寻找构成此复合命题的简单命题；
2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题．
引言
通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。
1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识；
2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识．
在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了．
§1.1集合
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义；
(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义．
〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合．
〖教学过程〗
☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．
1、集合的概念：
在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．
在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．
一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度
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洋、北冰洋”也组成一个集合．我们一般用大括号表示集合，上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。大西洋，印度洋，北冰洋)．为了方便起见，我们还经常用大写的拉丁字母表示集合．例如，A＝｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如，“地球上的四大洋”这一集合的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．集合的元素常用小写的拉丁字母表示。
2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：
集合中的元素必须是确定的。这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定7。例如，给出集合(地球上的四大洋)，它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素．其他对象都不是它的元素．又如。“我国的小河流”就不能组成一个集合，因为组成它的对象是不确定的。
集合中的元素是互异的。这就是说，集合中的元素是没有重复现象的，任何两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素．
集合中的元素是无序的。这就是说，集合中的元素排列与顺序无关。
3、常用的数集及其记法：
全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，
也称正整数集，表示成N *
或N
+
；
全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；
全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q；
全体实数的集合通常简称实数集，记作R．
★（教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意以下两点：
(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0；
(2)非负整数集内排除0的集，表示成N *
或N
+
。
新的国家标准定义自然数集N含元素O．这样做一方面是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，以便与之早日相衔接；另一方面，o还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算a—a仍属于N，其中a∈N．）
4、集合的表示方法，常用的有列举法和描述法：
列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．
例如，由方程
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x—1＝0的所有的解组成的集合，可以表示为｛-1，1｝；
又如，由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合，可以表示为｛1，3，5，7，9｝。
描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．
例如，不等式x-3＞2的解集可以表示为｛x ∈R｜x-3＞2｝;
★（列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，
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不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素一一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．）
5、集合的分类：
一般地，含有有限个元素的集合叫做有限集．
一般地，含有无限个元素的集合叫做无限集．
不含任何一个元素的集合叫做空集．记作φ。
6、素与集合之间的关系：
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a 不属于集合A，记作a?A(或a∈A)．
例如，设B＝｛1，2，3，4，5｝，那么5∈B，8?B．
7、练习：①P5与P6练习。②P7习题1.1第1题、第2题的⑴、⑵。
8、小结：（略）。
9、作业：①P7习题1.1第2题的⑶、⑷。②练习册：§1.1集合的内容。
§1．2子集、全集、补集
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)了解集合的包含、相等关系的意义；(2)理解子集、真子集的概念；
(3)理解补集的概念；(4)了解全集的意义．
〖教学重点与难点〗本小节的重点是子集、补集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。
〖教学过程〗
☆本小节分为两部分：第一部分讲子集，第二部分讲全集与补集．
第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出于集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质．第二部分是在子集概念的基础上讲述补集的概念，并介绍了全集的概念．
1、子集的定义：
先看集合与集合之间的“包含”关系设A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝，集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A。
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A 包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A?B(或B?A)．这时我们也说集合A是集合B的子集．当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作A?B(或B?A)．
规定：空集是任何集台的子集。也就是说，对于任何一个集合A，有φ?A。
2、集合与集合的相等：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B。记作A＝B。
3、真子集的定义：
对于两个集合A与B，如果A?B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，
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记作A ?B(或B ?A)。
★（关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意；在开始接触子集与真子集的符号时，要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错．）
4、性质：
①A ?A （任何一个集台是它本身的子集）；
②空集是任何非空集合的真子集；
③对于集合A ，B ，C ，如果A ?B ，B ?C ，那么A ?C ．
同样可知，如果A ?B ，B ?C ，那么A ?C ．
④对于集合A ，B ，如果A ?B ，同时B ?A ，那么A ＝B ．
5、一些容易混淆的符号的区分：
① ∈与?的区别：∈是表示元素与集合之间关系的，因此，有1∈N ， —1∈N 等；?是表示集合与集合之间关系的，因此，有N ?R ，φ?R 等．
②a 与｛a ｝的区别：一般地，a 表示一个元素，而｛a ｝表示只有一个元素的一个集合．因此，有1∈｛1,2,3｝,0∈｛0｝,｛1｝?｛1,2,3｝等，不能写成0=｛0｝,｛1｝∈｛1,2,3｝．
③｛0｝与φ的区别：｛0｝是含有一个元素的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ?｛0｝，不能写成φ＝｛0｝、φ∈｛0｝．
④｛φ｝与φ的区别：｛φ｝是含有一个元素φ的集合，φ是不含任何元素的集合，因此，有φ?｛φ｝、φ?｛φ｝、φ∈｛φ｝，不能写成φ＝｛φ｝．
6、补集和全集的定义：
一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集(即A ?S )，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集(或余集)。记作A C S ，即
A C S ＝{x ｜x ∈S ，且x ?A}．
如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示．例如．在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R 看作全集。
有理数集Q 的补集U C Q 是全体无理数的集合。
★ （关于补集，新的国家标准规定。
与补集相关的概念是集合的差，教科书中没有这个概念．集合A 与集合B 之差或集合A 减
集合B 记作A ＼B ，即A ＼B ＝{x ｜x ∈A ，且x ?A}． 要注意，上式等号右边与补集定义中的式子类似，但意义不同．在B C A 中，要求B 是A 的子集； A ＼B 中，B 可以不是A 的子集．当B 是A 的子集的时候，也可以写成B C A ＝A ＼B ．）
7、 补集性质：
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C U U=φ，C Uφ=U，C U（C U A）=A。
8、例题：
例⑴写出集合｛a、b｝、｛a、b、c｝的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．并总结出集合中的元素个数与它的子集数、真子集数之间的关系。
解：（略）。
例⑵解不等式x-3＞2，并把结果用集合表示．
解：x＞5，原不等式的解集是｛x｜x＞5｝．
9、练习：①P9与P10练习。②P10习题1.2第1题、第2题。
10、小结：（略）。
11、作业：①P10习题1.2第3题、第4题、第5题。②练习册：§1.2集合的内容。
§1．3 交集、并集
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)理解交集与并集的概念；(2)掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
〖教学重点与难点〗本小节的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念、符号之间的区别与联系．习本小节，关键是要能达到会正确表示一些简单集合的目标．
〖教学过程〗
★本小节首先结合表示两个集合的图，引出交集与并集的概念，然后在完成一些练习的基础上，介绍了交集与并集的简单性质．
1、交集、并集的概念：
一般地，由所有属于集合
B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩
B(读作“A交B”)，即A∩B＝{
x
x∈
|}B
∈．
由所有属于集合
B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B(读作“A
并B”
)，即A∪B＝{x
x∈
|}B
x∈．
“x∈
∈B”—→
?
?
?
?
?
∈
∈
?
∈
?
∈
B
x
A
x
A
x
B
x
B
x
A
x
,
,
,
2、交集、并集的性质：
①A∩A=A，A∩φ=φ，A∩B=B∩A；
②A∪A=A，A∪φ=A，A∪B=B∪A；
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③ A ∩B ?A ?A ∪B 、A ∩B ?A ?A ∪B ；
④ A ? B ? A ∩B =A ?A ∪B=B ；
⑤ C U A ∩A=φ，C U A ∪A=U ；
⑥ C U （A ∩B ）=（ C U A ）∪（ C U B ），C U （A ∪B ）=（ C U A ）∩（ C U B ）；
⑦ A ∩（B ∪C ）=（A ∩B ）∪（A ∩C ）；A ∪（B ∩C ）=（A ∪B ）∩（A ∪C ）；
3、 例题：
例1、设A ＝｛x | x > -2｝，B ＝｛x | x < 3｝，求A ∩B ．
解：A ∩B ＝｛x | x > -2｝ ∩｛x | x < 3｝ ＝｛x | -2 < x < 3｝．
★（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。）
例2、设A ＝｛x | x 是等腰三角形｝，B ＝｛x | x 是直角三角｝，求A ∩B ．
解：A ∩B ＝｛x | x 是等腰三角形｝∩｛x | x 是直角三角｝＝｛x | x 是等腰直角三角形｝． 例3、设A ＝｛4，5，6，8｝，B ＝｛3，5，7，8｝，求A ∪B ．
A ∪
B ＝｛4，5，6，8｝，∪｛3，5，7，8｝=｛3，4，5，6，7，8｝。
★（ 集合中的元素是没有重复现象的，在两个集合的并集中，原两个集合的公共元素只能出现一次。）
例4、设A ＝｛x | x 是锐角三角形｝，B ＝｛x | x 是钝角三角形｝，求A ∪B ．
解： A ∪B ＝｛x | x 是锐角三角形｝∪｛x | x 是钝角三角｝＝｛x | x 是斜三角形｝。 例5、设A ＝{x | -1＜x ＜2}，B ＝{x | 1＜x ＜3}，求A ∪B ．
解： A ∪B ＝{x | -1＜x ＜2}∪{x | 1＜x ＜3}＝{x | -1＜x ＜3}。
★（解决有数集的运算问题，往往借助数轴进行数形结合。）
例6、设A ＝
{(x ，y) |y=－4x +6}，B ＝{(x ，y) |y=5x －3}，求A ∩B ． 解： A ∩B= {(x ，y) |y=－4x +6}∩{((x ，y) |y=5x －3}
={((x ，y) | ???-=+-=3564x y x y }＝{(1，2) }。
★（本题中，(z ，y)可以看作直线上的点的坐标，也可以看作二元一次方程的一个解．）
例7、 已知A 为奇数集，B 为偶数集，Z 为整数集，求A ∩B ，A ∩Z ，B ∩Z ，A ∪B ，A ∪Z ，B ∪Z 。
解： A ∩B ＝｛奇数｝∩｛偶数｝＝， A ∩Z ＝｛奇数｝∩Z ＝｛偶数｝=A ，
B ∩Z ＝｛偶数｝∩Z=｛偶数｝＝B ， A ∪B ＝｛奇数｝∪｛偶数｝＝z ，
A ∪Z=｛奇数｝∪Z=Z ，
B ∪Z=｛偶数｝∪Z=Z 。
★（学习有关集合的初步知识，其目的主要在于应用．具体地说，就是在学习其他知识时，能
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读懂其
中的简单的集合概念和符号；在处理简单的实际问题时，能根据需要，运用集合语言进行表述．在安排训
练时，要把握一定的分寸，不要搞偏题、怪题．）
8、练习：①P12与P13练习。②P13习题1.3第1题—第6题。
9、小结：（略）。
9、作业：①P13习题1.3第7题、第8题。②练习册：§1.3 交集、并集的内容。
§1．4 含绝对值的不等式解法
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到掌握｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c (c＞0)型的不等式的解法．
〖教学重点与难点〗重点是｜x｜＜a与｜x｜＞a (a＞0)型的不等式的解法，关键是对绝对值意义的理解．
〖教学过程〗
☆本小节首先由实际问题引出含绝对值的不等式，然后由易到难，顺次介绍了｜x｜＜a与｜x｜＞a (a＞0)型、｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c (c＞0)型的不等式的解法．本小节开始讲了一个有关商品质量的例子，这是为了说明含绝对值的不等式是解决实际问题所需要的，教学时，还可以适当补充学生熟悉的实例．
☆在学习含绝对值的不等式的解法时，可以先复习初中数学学过的不等式的三条基本性质：
(1)如果a＞b，那么a+c ＞b+c ；(2) 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；
(3) 如果a＞b，c＜O，那么ac＜bc．不等式的基本性质是解不等式的基础．
1、不等式｜x｜＜a (a＞0)解集是{x ｜－a＜x＜a}；
不等式｜x｜＞a (a＞0)解集是{x ｜x＜－a，或x＞a}。
★（｜x｜＜a与｜x｜＞a (a＞0)型不等式的解法，教科书是从具体例子人手讲述的．先考虑含绝对值的方程｜x｜＝2的解，由此出发，根据绝对值的意义，结合数轴表示，就得到了含绝对值的不等式｜x｜＜2与｜x｜＞2的解。对这个结论，应根据绝对值的意义，结合数轴表示进行讲解．注意，从数轴上看，｜x｜＜a (a＞0)的解集是－a与a之间的部分，｜x｜＞a (a＞0)的解集是－a左侧与a右侧两部分。＝
2、把不等式｜x｜＜a与｜x｜＞a (a＞0)中的x替换成ax+b，就可以得到｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c (c＞0)型的不等式的解法了．
在具体求解时，可以先直接在｜x｜＜a与｜x｜＞a (a＞0)型不等式的解集中进行替换，这时，原不等式化成了一元一次不等式，然后就可以根据不等式的基本性质求解．
★（教学时，要注意对－c＜ax+b＜c (c＞0) 型不等式的化简做必要的说明．初学解这类不等
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式时，为了方便，如果所解｜ax+b｜＜c与｜ax+b｜＞c (c＞0)型的不等式中的a是负数，可以先把a 化成正数，例如要解不等式｜2 －x ｜＜5，可以先把它变形成｜x －2 ｜＜5，再求解．＝★（教学时，要注意控制教学要求．本小节的练习、习题所解的不等式，只限于绝对值号内为一元一次的代数式，并且是数字系数，只在习题1．4的最后，编排了｜x －a ｜＜b (b>0)这样的简单的带有字母常数的题目．＝
3、例题：
例1、解不等式｜x －500｜≤5。
例2、解不等式｜2x +5｜>7。
例3、解不等式｜x｜+｜x －2｜≤5。
★（根据绝对值的定义，采用“零点区分法”。）
4、练习：①P16练习。②P16习题1.4第1题、第2题、第3题⑵⑷⑹。
5、小结：（略）。
6、作业：①P16习题1.4第3题⑴⑶⑸、第4题。②练习册：§1.4含绝对值的不等式解法的内
容。
§1．5 一元二次不等式的解法
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)掌握一元二次不等式的解法；
(2)知道一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组s
(3)了解简单的分式不等式的解法．
〖教学重点与难点〗
重点是一元二次不等式的解法，关键是弄清一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．〖教学过程〗
☆本小节首先对照学生已经了解的一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系，利用二次函数的图象，找出一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，进而得到利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法．然后，说明一元二次不等式可以转化为一元一次不等式组，由此又引出了简单的分式不等式的解法．
1、引入新课：
首先利用一次函数的图象，讨论一无一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系，进而导出一元一次不等式的解集．这些基本内容学生都比较熟悉，但是，初中数学并没有专门讲述这种解法，安排这些内容，既可以复习、巩固初中的知识，也为接下来讨论二次的问题做了铺垫．直线与x轴交点的横坐标，就是对应的一元一次方程的根，进一步，结合直线的位置，就可以确定对应的一元一次不等式的解集了．
2、通过一个具体实例，开始对一元二次方程、一元二次不等式与二次函数之间关系进行讨论的．
先给出二次函数y＝x 2 －x－6的对应值表与图象，然后，由对应值表与图象得出：
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当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x 2 －x－6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x 2 －x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x 2 －x－6＜0．
教科书中不但给出了函数的图象，还给出了函数的对应值表，这是因为结合函数的对应值表才能确定函数的图象与x轴交点的坐标，进而确定对应的一元二次方程x2 －x－6＝0的根．要确定一元二次不等式x 2 －x－6＞0与x2 －x－6 ＜0的解集，既要考虑一元二次方程x2 －x －6＝0的根，还要考虑抛物线的开口方向．在讲本例时，可以只就本例的具体情形考虑，暂不讨论抛物线的开口向下类型的问题。
3、结合图象指出，抛物线y = ax 2 + bx + c(a＞0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的判别式△＝b 2 －4 a c的三种取值情况(△＞0、△＝0、△＜0＝来确定．因此，要分三种情况讨论，以寻求对应的一元二次不等式ax 2 + bx + c＞0与ax 2 + bx + c＜0 (a＞0)的解集．在讨论了a＞0的情况以后，再提出a＜0的情况，由学生完成．
4、可以结合例题，指出解一无二次不等式的步骤：
①先把二次项系数化成正数；
②解对应的一元二次方程；
③根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集．
例1、解不等式2x 2 －3x－2 ＞0；
例2、解不等式－3 x 2 + 6x ＞2；
例3、解不等式4x 2 －4x + 1＞0；
例4、解不等式－x 2 + 2x －3＞0。
5、关于( x－a ) ( x－b ) ＞0、( x－a ) ( x－b ) ＜0 ( a ＜b ＝型的不等式，有简便的解法，由( x－a ) ( x－b ) = 0的根是a与b，结合“不等号的方向”可直接写出解集．
教科书是为了介绍一种更一般的解法，即把二次或二次以上的不等式化成一次不等式组的方法．一方面，这种解法可以为以后解比较复杂的不等式打基础；另一方面，这种方法也涉及了集合知识的应用．
6、对分式不等式的基本要求，仅限于可以化成一元二次不等式的类型．在全章最后的复习参考题一的B组题中，有两个简单的、相当于三次不等式的小题，它们不属于基本要求，但可以用简便的方法求解．
7、练习：①P20及P21练习。②P21习题1.5第1题—第4题。
8、小结：（略）。
9、作业：①P22习题1.5第5题—第8题。②练习册：§1.5一元二次不等式的解法的内容。
集合的元素个数
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1．本阅读材料介绍了有关集合的元素个数的初步概念及简单的性质．编排这个阅读材料是为了扩展学生的知识，提高学生的兴趣，在关于中学生数学课外活动的材料中，常常会遇到与之有关的问题．2．阅读这撂材料，可以与本章章头的引言结合起来．顺便指出，由于章头引言的问题比较简单，不用有关集合元素个数的公式也可以处理（用文氏图），另外，复习参考题一的B组题的第1题，同样可以用有关集合元紊个数的公式．
§1．6逻辑联结词
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成；
(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。
〖教学重点与难点〗本小节的重点是判断复合命题真假的方法，难点是对“或”的含义的理解．
〖教学过程〗
☆初中数学中已经有了一些关于命题的初步知识，在此基础上，本小节首先由简单命题出发，给出含有“或”、“且”、“非”的复合命题的概念，然后借助真值表，给出判断复合命题真假的方法．
1、命题的定义：
判断一件事情的句子，叫做命题（初中）．
可以判断真假的语句叫做命题（高中）．
虽然说法不同，但实质是一样的。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假，也就是判断其是否成立．不能判断真假的语句，就不能叫命题．例如，
⑴“这是一棵大树”；⑵“x＜2”．都不能叫命题．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假．由于x是未知数，也不能判断“x＜2”是否成立．
在教学时，不要在判断一个语句是不是命题上下功夫，因为这个工作过于复杂，要求学生能够从正面的例子了解命题的概念就可以了．
2、、逻辑联结词、简单命题与复合命题：
“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：
①p或q(记作“p∨q”)；
②p且q(记作“p∨q”)；
③非p(记作“┑q”) 。
◇（开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的．这种含有变量的语句叫做开语句(有的逻辑书也称之为条件命题)．也可以把简单的开语句用逻辑联结词“或”、“且”、“非”连结起来，构成复合的开语句(有的逻辑书也称之为复合条件命题)，这里的“或”、“且”、“非”与复合命题中的“或”、“且”、“非”符号与意义相同．在进行命题教学时，要注意命题与开语句的区别，特别在举有关逻辑联结词“或”、“且”、“非”的例子时，容易把两者混淆．）
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3、了解含有“或”、“且”、“非”的复合命题的构成，指的是：给一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，能说出构成它的简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”；给出两个简单命题，能由它们构成含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题。
4．在讲述逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，可以适当联系集合与不等式的有关知识．集合中的“井”、“交”、“补”，与逻辑联结词“或”、“且”、“非”密切相关。
5．对逻辑联结词“或”、“且”、“非”的理解，与判断复合命题真假分不开的．逻辑中的“或”、“且”、“非”与日常用语中的“或”、“且”、“非”的意义是不尽相同的，要直接讲清楚它们的意义，比较困难，开始时，不必深讲，可以在学习了有关复合命题的真值表之后，再要求学生根据复合命题的真值表，对“或”、“且”、“非”加以理解．
6．“或”、“且”、“非”的真值表
先讲“非P”形式复合命题的真假，再讲“p且q”形式复合命题的真假，“P或q”形式复合命题的真假理解起来最困难，放后面讲。
在真值表中，是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容．
对于三个真值表，可做如下说明：
(1)“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；
(2)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；
(3)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
7．在给出真值表之后，教科书又通过实例说明逻辑中的“或”与日常用语中的“或”的区别．“苹果是长在树上或长在地里”这句话按真值表判断，其为真，但在日常生活中，我们认为这句话是不妥的。
在教学中，应告诉学生逻辑中的“或”与日常用语中的“或”是不同的，可以结合教科书下面给出的两个日常生活中和“或”、“且”有关的例子，进一步体会学习逻辑联结词“或”、“且”的意义．◇（为什么要学习逻辑呢?一方面是因为数学基础需要用逻辑来阐明，另一方面是因为计算机离不开数学逻辑，教科书中介绍的“或门电路”、“与门电路”就是两个在这方面应用的实例．可以说计算机的“智能”装置是以数学逻辑为基础进行设计的．让学生找出这样的例子，可以结合日常生活中电器的自动控制功能考虑，更可以充分发挥他们的想象力。由此，也就明确学习逻辑联结词“或”、“且”的意义了．）
8．逻辑符号：
“或”的符号是“∨”，例如“P或q”可以记作“P ∨q”；
“且”的符号是“∧”，例如，“P且g”可以记作“P∧q”；
“非”的符号是“┑”，例如，“非P”可以记作“┑P”．
◇（不增加学生负担，这部分没有使用这些符号，只是在后面讲否命题时，使用了符号“┑”．）
9、练习：①P26及P28练习。②P29习题1.6第1题—第4题。
10、小结：（略）。
11、作业：①补充题（略）。②练习册：§1.6一元二次不等式的解法的内容。
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§1．7 四种命题
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求：
(1)初步理解四种命题及其关系；
(2)初步掌握反证法．
〖教学重点与难点〗本小节的重点是四种命题的关系．
〖教学过程〗
☆从初中数学的命题知识出发，给出四种命题的概念，接着，讲述四种命题的关系，最后，介绍反证法．教学时，要注意控制教学要求。本小节的内容，只涉及比较简单的命题，不研究含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题的逆命题、否命题和逆否命题。
1、在初中数学中，只学习了原命题与逆命题的初步知识，否命题与逆否命题已经从初中数学中删除了。否命题所用的符号“┑”，与过去不同。这么是新内国家标准规定了的．符号“┑”叫做否定符号。“┑P”表示P的否定；不是P；非P。
2、逆命题、否命题与逆否命题：
如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件（或题设），那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做逆命题。
如果第一个命题的条件和的结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论否定，那么这两个命题叫做互否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做否命题。
如果第一个命题的条件和的结论，分别是另一个命题的的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做逆否命题。
即：
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题：
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．
四种命题的形式：
原命题：若P则q；
逆命题：若q则p；
否命题：若┑P则┑q；
逆否命题：若┑q则┑p。
3、四种命题之间的相互关系：
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一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：
①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。
②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
4、反证法：
◇（初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题。到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授。学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高。教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法。）
反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。◇（对于反证法的概念，本小节未再给出，沿用初中的说法就可以了）。
从逻辑角度看，命题“若P则q”的否定，是“P且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若P则q”为真。像这样证明“若P则q”为真的证明方法，叫做反证法。
用反证法证明命题“若P则q”时，可能出现以下三种情况：
(1)导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；
(2)导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；
(3)导出一个恒假命题。
◇（考虑到教科书只安排了初步的逻辑知识，以上内容不必都向学生讲述．）
5、例题：
例1、把下列命题写成“若P则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
①负数的平方是正数；
②正方形的四条边相等。
（解略）
◇（例1中的第(1)小题，有两种解答，另一种解答如下：
原命题可以写成：若一个数是负数的平方，则这个数是正数。
逆命题：若一个数是正数，则它是负数的平方。
否命题：若一个数不是负数的平方，则这个数不是正数。
逆否命题：若—个数不是正数，则它不是负数的平方。）
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例2、设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判
断它们的真假。
（解略）
例3、用反证法证明：如果a>b>0，那么a>b。
（解略）
例4、用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
（解略）
6、练习：①P30、P32及P33练习。②P33习题1.7第1题—第4题。
7、小结：（略）。
8、作业：①补充题（略）。②P34习题1.7第5题。③练习册：§1.7四种命题的内容。
§1．8充分条件与必要条件
〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生初步掌握充要条件。
〖教学重点与难点〗本小节的重点与难点是关于充要条件的判断。
〖教学过程〗
☆本节首先给出推断符号“?”，并引出充分条件与必要条件的意义，在此基础上讲述了充要条件的初步知识。学习本小节，要注意与前面有关逻辑初步知识内容的联系。本小节所讲的充分条件、
必要条件与充要条件的知识，主要是与判断“若P则q”形式命题的真假相关的。本小节“若P则q”
形式命题中的p与q，基本都是简单的，而不是复合的，即，一般不含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”，
并且，p与q本身也不是“若P则q”的形式。
1、符号“?”叫做推断符号．“p?q”表示“若P则q”为真；也表示“p蕴含q”。“p?q”也可写为“q?p”，有时也用“p→q”。
2、符号“?”叫做等价符号。“p?q”表示“p?q且p?q”；也表示“p等价于q”。“p?q”有时也用“p?q”。
3、如果已知p?q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。
例如：“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三
角形全等”的必要条件．
4、如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件。
例如，“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的充分而不必要的条件；
“x是2的倍数”是“x是6的倍数”的必要而不充分的条件；
“x既是2的倍数也是3的倍数”是“x是6的倍数”的充要条件；
“x是4的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要的条件。
5、例题：
例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：
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(1)p：x＝y ；q：x2＝y2；
(2)p：三角形的三条边相等；
q：三角形的三个角相等；
分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断。
（解略）
例2 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)?
（1）p：（x-2）（x-3）=0；q：x-2=0；
（2）p：同位角相等；q：两直线平行；
（3）p：x=3；q：x2=9；
（4）p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形。
（解略）
◇（①数学上充分条件、必要条件的“充分”、“必要”两词，与日常用语中的“充分”、必要”意义相近．不过，要推确理解它们，还是应该以数学定义为依据。
②教科书是结合实例给出充分条件、必要条件与充要条件的概念的，要掌握它们，主要还得通过对实例的考察和研究．因此，对学生的要求，要有一个随着学习的深入，逐步提高的过程。
③在进行有关充分条件、必要条件与充要条件的判定时，既可能用到直接证法，也可能用到间接证法．反证法就是一种间接证法，学习本小节，可以巩固上一节反证法的内容。）
6、练习：①P35、P36练习。②P36习题1.8第1题—第3题。
7、小结：（略）。
8、作业：①补充题（略）。②练习册：§1.8充分条件与必要条件。
一、小结与复习
1．小结与复习分作三部分．第一部分概括了本章所学的集合与简易逻辑的主要内容．其中，有关集合的知识包括集合的基本概念、集合与集合的关系、不等式解法等；有关简易逻辑的知识包括逻辑联结词、四种命题、充要条件等．第二部分分别提出了关于集合的五条学习要求和关于简易逻辑的三条学习要求，并指出了学习中需要注意的几个问题．第三部分给出了两道参考例题。
2．复习集合的初步知识，可以从两方面入手，一方面是集合的有关概念之间的联系与区别；另一方面，也是更为主要的方面，是集合知识的应用。
关于集合的概念，主要是把握集合与元素、集合与集合这两个关系，弄清有关的术语和符号．关于集合知识的应用、可以考虑下面几个内容：
(1)本章章头引言中的例子，体现了可以利用集合语言表述问题，可以利用集合的思想、方法解决问题；
(2)有关不等式的解法，既涉及交集、并集的概念，又涉及集合的表示；
(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”，是与集合中的“并”、“交”、“补”相关的，两者可以相互对
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照、相互说明，从而加深对双方的认识和理解。
(4)中学数学的其他内容及日常生活中的应用．像代数中的方程与方程组的解集，几何中的点集，等等。
3．本章只学习了一些简易的逻辑知识，在复习时，主要是要抓住所学的几个知识点，通过对以前学过的数学知识的说明，及解决一些简单的问题，达到理解、掌握简易逻辑知识的目的例如，可以利用几何中的主要定理复习四种命题及其关系；可以利用一无二次方程根的判别式的有关内客复习充要条件的知识，等等。
二．重点提示与例析
（1）集合的表示法有哪几种？如何理解集合的特征性质描述法？
【答案】①集合的表示法主要有：列举法（主要用在有限集）、描述法（主要用在无限集）、还有字母表示法（如：R，Z，Q，N，N+等）、图形表示法（如维恩图、数轴等）等；
②用特征性质描述法表示集合的常用形式为，竖线前面的表示集合的特征元素，竖线
后面的P指出元素所具有的公共属性，集合表示：1）集合A是由所有具有性质P 的那些元素组成的；2）不具有性质P的元素一定不是A中的元素．
用下列例题检验是否理解和掌握了：
例1 指出下列几个集合之间的区别：；
；．
【解】集合A是由抛物线上的所有点的坐标组成的；
集合B是由抛物线上的所有横、纵坐标都为整数的点的坐标组成的；
集合C是由所有不小于2的实数组成的．
例2 若集合，，则集合与的关系是：
（A）（B）（C）（D）
【解】由集合的含义我们很容易用列举法将N写出来即为：，所以
，故选（A）．
【评析】在看一个用特征性质描述法表示的集合时，我们首先应该注意集合的特征元素，看它是图形，坐标，还是数等等；其次我们再看它的特征性质，从而由特征性质来决定具体的元素．（2）如何判断两个集合A与B是否相等？
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【答案】①两个集合相等是指这两个集合中所包含的元素完全相同；即：若且则A=B；
②判断两个有限集是否相等，常用的方法是将它们都用列举法表示出来，然后看它们的元素是否完全相同；
③判断两个无穷集，是否相等，我们需要用逻辑的方法判断：⑴
即：满足性质P的元素都满足性质q，⑵即：满足性质q的元素都满足性质P．
用下面的例题检验是否理解和掌握了：
例3 集合A={小于5的自然数}，则下列各集合中与A相等的有……………………………………（）
（A）（B）（C）
（D）（E）
【答案】(A)，(B)，(D)，(E)．
【评析】①0是自然数；(在以前的教科书上，1是最小的自然数，但从现代数学的观点看，将0作为自然数要更合理一些，所以我们新的教材将0作为自然数提了出来，希望大家注意)
②一个集合往往有多种不同的特征性质，在判断两个集合是否相等时，我们的注意力应放在特征性质所决定的元素上，而不是特征性质本身．
例4 若集合,,求证：A=B．【证明】证明：1）证
对任意的x属于A,∵x属于A∴存在着m∈Z，有x=2m－1
∴x=2m－1=2(m－1)+1∴存在着n=m－1，有n∈Z，且x=2n+1
∴x∈B∴，
2）证
对任意的x属于B∵x属于B
∴存在着n∈Z，有x=2n+1∴x=2n+1=2(n+1)－1
∴存在着m=n+1，有m∈Z，且x=2m－1∴x∈A
∴．综上得A=B．
【评析】本题我们首先看到的是它们都表示奇数集，所以应该是相等的．但这不能作为一个严
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谨的证明过程，对于两个无穷集合来说，我们没有办法用一一比较的方法来说明两个集合的元素完全相同，所能借用的只能是抽象的逻辑推理．
（3）元素、集合之间及集合与集合之间的关系：
【答案】①元素与集合之间的关系用来表示；②两个集合之间的关系用来表示，用下面的例题来检验自己的掌握情况：
例5 用符号“”填空：
1) 0 N ，0 ，0 {0}；2) R，{0}，Q Z；
3) A=B=．
【答案】1）0 ∈N，0 ，0 ∈{0}；2）R，{0}，Q Z；
3）A=B=
【评析】①首先应看清各题所反映的是哪类关系，是元素与集合之间的关系，还是两个集合之间的关系；
②对于两个集合之间的包含关系，与集合相等的关系类似，我们所关注的仅是组成集合的元素，而与描述集合的具体的特征性质无太大的关系．如第3)题中，虽然A集合是一个二次方程的解集，
B是一个不等式的解集，但由于A集合中的所有元素都在B集合中，所以，更准确的说是A B．
（4）集合元素的特性与集合的运算：
【答案】①作为集合的元素具有确定性、互异性、无序性；
②集合的运算包括交、并、补三种运算．
例6 若集合，而，求实数的值．
【答案】解：由题意得：或．
1）当时，解得．与集合元素的互异性矛盾，故舍去．
2）当时，解得．所以．
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例7 若，．
求：1) ，；2) ，，()()．
【答案】解：或，
，
1) ∴=， = ；
2) ∴=， = ，
()()= ．
【评析】有关集合的运算问题，若利用维恩图或数轴会取到事半功倍的效果．
（5）集合与简易逻辑的知识交汇点：
【答案】①集合的特征性质描述法中的作为一个特征性质它本身是一个简单命题或是构成命题的一个基本元件，这就是集合与简易逻辑的关联之处．
②集合间的包含关系与命题间推出关系：
设是指若具有性质，则具有性质，
所以．
反之，若，则易知．
③集合间的相等关系与充要条件：
设
由②易知若，则，
反之若，则．
集合与简易逻辑知识点归纳(1)
{}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的
①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页
数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1-
高一数学上册第一章集合与简易逻辑精品教案
课 题：1.1集合－集合的概念（1） 教学过程： 一、复习引入： 1．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 2．“物以类聚”，“人以群分”； 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合． 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合。记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R {} 数轴上的点所对应的数 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 数0 （2）非负整数集内排除0的集，记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示， 例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性
高中数学专题 集合与简易逻辑
一. 本周教学内容： 集合与简易逻辑 知识结构： 【典型例题】 例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且 解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时， 是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解：
小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一： 综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。 小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。 解： 小结： 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解： 依题意有：
小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件 解：设有自然数n1 高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1.集合用列举法表 2.设集合，，则 3.已知集合，，则集合_ 4.设全集，集合，，则实数a 的值为_____． 【范例解析】 例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B . 【反馈演练】 1．设集合，，，则=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =，则P +Q 中元素的个数是______个． 3．设集合，. （1）若，求实数a 的取值范围； {(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈{21,}A x x k k Z ==-∈{2,}B x x k k Z ==∈A B ?={0,1,2}M ={2,}N x x a a M ==∈M N ?={1,3,5,7,9}I ={1,5,9}A a =-{5,7}I C A =R 2{320}A x x x =-+≤R B C A R ?={01R B C A x x ?=<<23}x <<{ }2,1=A {}3,2,1=B {}4,3,2=C ()C B A U ?},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q 2{60}P x x x =--<{23}Q x a x a =≤≤+P Q P ?= 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 第一章“集合与简易逻辑”教材分析 本章安排的是“集合与简易逻辑”，这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合的初步知识是现行高中数学教科书中原来就有的内容，这部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识则是新增加的内容，这部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识 集合概念及其基本理论，称为集合论，是近代数学的一个重要的基础．一方面，许多重要的学科，如数学中的数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用． 逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科．学习数学，需要全面地理解概念，正确地进行表述、推理和判断，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．更广泛地说，在日常生活、学习、工作中，基本的逻辑知识也是认识问题、研究问题不可缺少的工具，是人们文化素质的组成部分． 在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其他内容有着密切联系，它是学习、掌握和使用数学语言的基础，这就是把它们安排在高中数学起始章的出发点． 本章共编排了8小节，教学时间约需22课时： 11 集合约2课时 12 子集、全集、补集约2课时 13 交集、并集约2课时 14 绝对值不等式的解法约2课时 15 一元二次不等式的解法约4课时 16 逻辑联结词约2课时 17 四种命题约2课时 18 充分条件与必要条件约2课时 小结与复习约4课时 说明：本章是高中数学的起始章，课时安排得相对宽松一些，像小结与复习部分安排4课时，其中考虑到了对初中内容进行适当复习、巩固的因素． 一内容与要求 大体上按照集合与逻辑这两个基本内容，第一章编排成两大节． 第一大节是“集合”．学生在小学和初中数学中，已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（圆）等，都有了一定的感性认识．在此基础上，这一大节首先结合实例引出集合与集合的元素的概念，并介绍了集合的表示方法．然后，从讨论集合与集合之间的包含与相等的关系入手，给出子集的概念，此外，还给出了与子集相联系的全集与补集的概念．接着，又讲述了属于集合运算的交集、并集的初步知识．鉴于不等式的内容目前初中数学只讲述一元一次不等式与一元一次不等式组，考虑到集合知识的运用与巩固，又考虑到下一章讨论函数的定义域与值域的需要，第一大节最后安排的是绝对值不等式与一元二次不等式的解法．此外，在这一大节之后，还附了一篇关于有限集合元素个数的阅读材料． 这一大节的重点是有关集合的基本概念．学习集合的初步知识，可以使学生更好地理解数学中出现的集合语言，可以使学生更好地使用集合语言表 [课题]第一章集合与简易逻辑测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( ) 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或 第二十教时 教材：四种命题 目的：要求学生掌握四种命题，给出一个简单的命题（原命题）要能写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 过程： 一、复习初中学过的命题与逆命题的知识 定义：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一 个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。 例：“同位角相等，两直线平行”（1）条件（题设）：同位角相等。结论：两直线平行 它的逆命题：两直线平行，同位角相等。（2）二、新授： 1．看两个命题：同位角不相等，两直线不平行（3） 两直线不平行，同位角不相等（4）比较命题（1）与（3）：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题 的条件的否定和结论的否定。…………互否 命题 比较命题（1）与（4）：一个命题的条件和结论，分别是另一个命题 的结论的否定和条件的否定。……互为逆否 命题 2．概括：（1）为原命题（2）为逆命题 （3）为否命题（4）为逆否命题 3．若p为原命题条件，q为原命题结论 则：原命题：若p 则q 逆命题：若p 则q 否命题：若?p 则?q 逆否命题：若?q 则?p 4．例一见P30 例一略 注意：关键是找出原命题的条件（p），结论（q） 然后适当改写成更明显的形式。 5．注意：1?为什么称“互为 ．．”逆命题（否命题，逆否命题）2?要重视对命题的剖析：条件、结论 三、练习（P31） 四、拓宽引申： 例：写出命题“若xy= 0 则x = 0或y = 0”的逆命题、否命题、逆否命题解：逆命题：若x = 0或y = 0 则xy = 0 否命题：若xy ≠ 0 则x ≠ 0且y ≠ 0 逆否命题：若x ≠ 0且y ≠ 0 则xy≠0 五、作业：P33 习题1．7 1 、2 《课课练》P28-29 课时15中选部分 集合与简易逻辑专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等 第一章 集合与简易逻辑 一、集合的定义小测 姓名 ： 座号： 1、下列对象中不能组成集合的是（ B ） A.所有小于10的自然数； B.某班个子高的同学 C.方程012=-x 的所有解 D.不等式02>-x 的所有解。 2、指出下列各集合中，（ C ）集合是空集。 A.方程60x +=的解集； B.方程012=-x 的解集 C.大于-4且小于-2的所有偶数组成的集合 D.方程226>0x x -+的解集 3、指出下列各集合中，(B )是空集,( A)是有限集,(C D )是无限集. A.{|10}x x += B.2{|10}x x += C.{(,)|}x y x y = D.{|50}x x -≤< 4、用符号“∈”或“?”填空 1）3- ? N 5.0 ? N 3 ∈ N 2)5.1 ? Z 5- ∈Z 3 ∈ Z 3)2.0- ∈ Q π ?Q 21.7∈ Q 4) 5.1∈ R 2.1- ∈ R π ∈ R 5、用列举法表示下列各集合； 1）大于-4且小于12的所有偶数组成的集合{2,0,2,4,6,8,10}- ； 2）方程2560x x -+=的解集 {2,3} ； 6、描述法表示下列各集合 1）小于5的所有整数组成的集合 {|5,}x x x Z <∈ ； 2）不等式210x +≤的解集 1{|}2 x x ≤- ； 3）所有的奇数组成的集合 {|21,}x x k k Z =+∈ ； 4）在直角坐标系中，由x 轴上所有的点组成的集合 {(,)|0}x y y = ； 5）在直角坐标系中，由第一象限的所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >> 。 7、用列举法表示下列各集合； 1）方程2340x x --=的解集；2）方程430x +=的解集； {1,4}- 3{}4- 3）由数1，4，9，16，25组成的集合；4）所有的正奇数组成的集合 {1，4，9，16，25} {|21,}x x k k N =+∈ 7、描述法表示下列各集合 1）大于3的所有实数组成的集合 {|3}x x > ； 2）小于20的所有自然数组成的集合 {|20,}x x x N <∈ ； 3）大于5的所有偶数组成的集合 {|2,,2}x x k k N k =∈> ； 4）不等式450x -<的解集 5{|}4x x < ； 5）由第四象限所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >< ； 8、用列举法表示下列各集合； 1）小于5的所有正整数组成的集合； {1，2，3，4} 专题一集合与简易逻辑 一、考点回顾 1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等； 3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法； 4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定； 5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系； 6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 二、经典例题剖析 考点1、集合的概念 1、集合的概念： （1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集； ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2} 表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描 述法。 2、两类关系： （1）元素与集合的关系，用∈或?表示； （2）集合与集合的关系，用?，≠?，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A≠?B时，称A是B的真子集。 3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 4、注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论 例1、下面四个命题正确的是 （A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} m}．若B?A，则实数m＝．例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2 集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 课 题：1.4 绝对值不等式的解法（二） 教学目的： （1）巩固c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法，并能熟练地应用它解决问题；掌握分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式； （2）培养数形结合的能力，分类讨论的思想，培养通过换元转化的思想 方法，培养抽象思维的能力； （3）激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想 教学重点：分类讨论的方法解决含多个绝对值的不等式以及含参数的不等式 教学难点：如何正确分类与分段，简单的参数问题授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：（略） 教学过程： 一、复习引入： a x <与)0(>>a a x 型不等式c b ax <+与)0(>>+ c c b ax 型不等 式的解法与解集 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 二、讲解范例： 例1 解不等式 1≤ | 2x-1 | < 5. 分析：怎么转化？怎么去掉绝对值？ 方法：原不等式等价于???≥-<-1 |12|5|12|x x ? ?????≥-->-<-112512512x x x ① 或 ?? ???-≤-->-<-112512512x x x ② 解①得：1≤x<3 ; 解②得：-2< x ≤0. ∴原不等式的解集为 {x | -2< x ≤0或1≤x<3} 方法2：原不等式等价于 1≤2x-1<5或 –5<2x-1≤ -1 即2≤2x<6 或 –4<2x ≤0. 解得 1≤x<3 或 –2< x ≤0. ∴原不等式的解集为{x | -2< x ≤0或1≤x<3} 小结：比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是 a ≤| x |≤b ? a ≤x ≤b 或 -b ≤x ≤-a (a ≥0). 练习：解下列不等式:7522≤- 第一章集合与简易逻辑小结 Summary of the first chapter set and simple l ogic 第一章集合与简易逻辑小结 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目的：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．教学重点： 1.有关集合的基本概念; 2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件教学难点： 1.有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系; 2.对一些代数命题真假的判断. 授课类型：复习授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合 部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识．教学过程：一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】：【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】 1、等价转化的数学思想； 2、求补集的思想； 3、分类思想； 4、数形结合思想．【解题规律】 1、如何解决与集合的运算有关的问题: 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题： 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题二、基本知识点：集合： 1、集合中的元素属性：高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑
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