抛物型方程
前言
抛物型方程解的估计及其应用
1前言
数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．
微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．
在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的
抛物型方程解的估计及其应用
许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．
2 选题背景
2.1 题目类型及来源
题目类型：研究论文
题目来源：专题研究
2.2研究目的和意义
数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法．而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值．研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用．
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛．从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展．
2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向
自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法．
关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究．经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是
热传导方程的一些知识
说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式．求经典解的方法有分离变量法、Fourier变换法．经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经典解．于是就提出了广义解[1]的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解．广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义．由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究．在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究．求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法．
随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的．在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论．这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用．
3热传导方程的一些知识
3.1 热传导方程的导出
若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方
抛物型方程解的估计及其应用
传递，这就是常说的热传导现象．由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况．
下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G 在Ω内部的温度变化规律． 设以(),,u x y z 表示物体G 在Ω内任一点(),,M x y z 处在时刻t 的温度．
在Ω内任取一小块区域V ，使V -
?Ω，并且其边界Γ是光滑的闭曲面，Γ上面积元素的单位外法向量记作n ．
根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt 内，从V 内经过dS 流
出的热量dQ 与时间dt ，流经面积dS 以及温度沿dS 的外法向量的方向导数u
n
??成正
比，即
u
d Q k d S d t k u n d S d t n
?=-=-??? 其中0k >是物体的热传导系数，,,x y z ??
????= ??????．上式中的负号表示热流的方向与
温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻1t 到时刻2t 经过Γ流入V 内的全部热量
2
1
1t t Q d t k u n d s d t Γ
=?????
若物体Ω内有热源，且热源强度为(),,,F x y z t （即在时刻t 点(),,x y z 处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在[]12,t t 内，V 从热源上吸收的热量为 ()2
1
2,,,t t V
Q F x y z t d x d y
d z d t =?
???
另一方面，在[]12,t t 内，V 内温度从()1,,,u x y z t 升高到()1,,,u x y z t 所需吸收的热量为
()(
)321,,,,,,V
Q c u
x y z t u x y z t
d x d y d z
ρ=-??????? 其中为c 物体的比热，ρ为物体的密度． 根据能量守恒，有
热传导方程的一些知识
123
Q Q Q +=若(),,,u x y z t 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 2
2
1
1
1t t t t V
Q dt k u ndsdt k udxdydzdt Γ
=??=?????
???
这里 ? 是laplace 算子，222222x y z
????=++???
若(),,,u x y z t 关于t 具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz 公式有
2
1
3t t t V
Q d t c u d x d y d z
ρ=???? 因此有
()2
2
1
1
t t t t t V
V
dt c u dxdydz dt k u F dxdydz ρ=?+?
???????
由于时间段[]12,t t 及区域V 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则
2
t u a u f
-?= 其中2k a c ρ=
，F
f c ρ
=，并且当0f ≥时，表示Ω内有热源；当0f ≤时，表示Ω内有冷源（即热汇）．
在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少．例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u 仅与坐标x 及时间t 有关，我们就得到一维热传导方程
2
22u u a t x
??=?? 同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程
22222u u u a t x y ?????=+ ??????
抛物型方程解的估计及其应用
3.2 定解问题的提法
方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件．
定解条件分为初始条件和边界条件．初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）是直接给出未知函数在研究区域Ω的边界?Ω上的值；第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）是在?Ω上给出未知函数u 沿?Ω沿外法方向n 的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin 条件）是在边界?Ω上给出未知函数u 及其沿?Ω的外法方向导数的某种线性组合的值．
从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度．因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解．
初始条件的提法显然为
()(),,,0,,u x y z x y z ?=
其中(),,x y z ?为已知函数，表示物体在0t =时的温度分布
第一边界条件：在3R 中的有界区域Ω的导热问题中，若Ω的边界?Ω处于恒温0
u 的环境下，则边界条件为
0u u ?Ω|=
若边界温度按已知规律(),,,g x y z t 变化，则
(),,,u g x y z t ?Ω|=
第二边界条件：若热量在边界曲面?Ω各点的流速为(),,,G x y z t ，则由Fourier 定律，边界条件可写成
(),,,u
g x y z t n ?=? 其中G g k =-
，若0G =，则0u n ?Ω
?=?，此时称之为绝热边界条件．
定解问题的求解
第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界?Ω有热量交换，物体外介质的温度为2u ，物体表面的温度为1u ，内外两种介质间的热交换系数为()110k k >，
根据Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有
()112dQ k u u dsdt =-
另一方面，由Fourier 定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为
u
dQ k dsdt n
?=-? 从而有
()112u
k u u dsdt k dsdt n
?-=-? 即
(),,,u u g x y z t n σ?Ω
???
+=
???? 其中
1
k k
σ=
， ()1,,,u g x y z t σ= 4 定解问题的求解
4.1 初值问题的求解
我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier 的逆变换，得到原热传导方程的解．
()()()()
2,,,,0,t xx yy u a u u f x y t u x y x y ??-+=??=?? （1） 视t 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题
()()()
2
,,0,t
xx yy u a u u u x y x y ??=+??=?? （2）
对,x y 进行Fourier 变换，记
()()12,,,,F u x y t U t λλ=????，
抛物型方程解的估计及其应用
()()12,,F x y ?λλ=Φ????
在（1）式两边关于,x y 进行Fourier 变换，原问题变为
()()()()()()()222
121122121212,,,,,,,,0,d U t a i U t i U t dt
U λλλλλλλλλλλλ???=+?????=Φ?
（3） （2）式是带参数12,λλ的常微分方程的柯西问题，它的解为
()()()2
121212,,,a t
U t e
λλλλλλ-+=Φ （4）
函数()212a t
e
λλ-+的Fourier 逆变换[4]为
()()(
)()()()
()
222
222
1212
1
2
222211221
12
2
12
2
1F 21
=
2a a i x y a t i x
a t i x
e t e
te d d e
d e
d λλλλλλλλλλλλ
πλλπ+∞
-+-++-∞
----+∞
+∞
-∞
-∞??=?????
?
?－
()
222222111122111111
+11
cos sin =2cos a t i x
a t
a t
a t
e
d e
xd i e
xd e
xd λλλλλλλλλλλλ----+∞
+∞
+∞
-∞
-∞-∞
∞-=+?
???
令()221+110
cos a t
I x e
xd λλλ∞
-=
?
()()
22
1222211+/
111
111202sin 1 =sin cos 2 =2a t a t a t I
x e xd e x x xe d a t x
I x a t
λλλλλλλλλ∞
-+∞--+∞
0=-??∣-?
???-?? 解得
()224x a t
I x ce
-
=
又
(
)22
12
+1
+0
0 a t y I e d e dy λλ∞
-∞
-==
=
?
定解问题的求解
则有
(
)222
22
212
1421
F 4x y a
a t
e
t e a t
λλπ+-
-+??=
???
?－由（4）可得初值问题（2）的解为
()()()()22
2421
,,,4x y a t
u x y t e d d a t
ξη?ξηξηπ-+--
+∞+∞-∞-∞=
?? （5）
再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题
()()()2
,,,.00
t
xx yy u a u u f x y t u x y ?=++??
=?? （6） 由齐次化原理[5]，此柯西问题的解可写为
()()0
,,,,;t
u x y t x y t d ωττ=
?
而(),,;x y t ωωτ=为下述柯西问题的解：
()()()
2
,,,,,t xx yy a t x y f x y ωωωτ
ωττ?=+>??=??
于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为
()()()()22
420
,,1
,,4x y t a t u x y t e
d d d a t ξητ?ξητξητπ
τ-+--
+∞
+∞
--∞
-∞=
-??
? （7）
由叠加原理[6]，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为
()()()()()()()()
22
222424201
,,,4,,1 4x y a t
x y t
a t u x y t e
d d a t e
d d d a t ξηξητ?ξηξη
π?ξητξητ
π
τ-+--
+∞
+∞
-∞
-∞
-+--
+∞
+∞
--∞-∞=
+
-??
???
在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，
所得的解还只是形式解．为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证．
抛物型方程解的估计及其应用
4.2 初边值问题的求解
热传导方程的初边值问题
20 t xx u a u -= （8）
00x x l u u ==∣=∣= （9）
()0 t u x ?=∣= （10） 令
()()() ,u x t X x T t = （11）
并要求它满足齐次边界条件（9），这里()X x 及()T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的特定函数．
将（11）代入方程（8）中，得到
()()(
)()/
//
X x T t X x T t -
= （12） 将上式分离变量，有
()()()()///2T t X x a T t X x
λ==-
（13）
由于在（13）式中，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能．记次常数为λ-（其值待定），就得到
()()/
2
T a
T 0t t λ+= （14）
()()//
0X
x X x λ+= （15）
这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量t ，另一个仅含有自变量x ，我们可以通过求解这两个方程来决定()T t 及()X x ，从而得到方程（8）的特解（11）
为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件
定解问题的求解
()()00,0X X l == （16） 的非平凡解．方程（15）的通解随0λ>，0λ=以及0λ<而不同，下面分三种情况讨论：
情形1 当0λ<时，方程（15）的通解可写成 (
)12X x C C e =+
要使它满足边界条件（16），就必须
120
0C C e +=???+=?? 由于
110e
≠
只能120C C ==．故在0λ<的情况得不到非平凡解．
情形2 当0λ=时，方程（15）的通解可以写成 ()12X x C C X =+ 要满足边界条件（16），()X x 也只能恒等于零．
情形3 当0λ>时，方程（15）的通解具有如下形式： (
)12X x C C =+ 由边界条件()00X =知10C =，再由
(
)2s i 0X l C l ==
可知，为了使20C ≠
，就必须0=．于是
22
2(1,2,)k k k l
πλλ===?
这样就找到了一族非零解
()sin
(1,2,)k k k X x A x k l
π
==? 将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为
()222
2
(1,2,)
a k t
l k k T t B e
k π
-
==? 这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：
()()()22
2
k ,s i n (1,2,)a k t
l k k k k u x t X x T t a e
x k l
π
π
-
===
?
现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数k a 使
()22
2
2
1,s i n a k t
l k k k u x t a e
x l
π
π
∞
-
==∑ （17）
满足初始条件（10）． 故由初始条件（10）应有
()1
s i n k
k k x a x l π
?∞
==∑ 由于 1,sin
k x l π?
?
???
?
在[]0,l 上正交，
因此，k a 是在[]0,l 区间中正弦展开的傅里叶级数的系数，即
()02sin l k k a d l l
π?ξξξ=
? （18） 故
()()2222
01
,sin sin
a k t
l
l k k k u x t d e
x l l
ππ
π
?ξξξ∞
-==?∑? （19） 是用级数形式表示的初边值问题的形式解．
为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验证． 当1C ?∈，且()()00l ??==，()x ?是有界函数，（18）式确定的函数(),u x t 是混合问题的解．
分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8），因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了．也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8），此时边界条件（9）和初始条件（10）的
满足也是显然的推论了．
证明：由于式（19）中含有因子2222
a k t
l e
π-
，因此对于任意0δ>，当0t >时，对任
意的0p >，级数222
2
1p
a k t
l k k e
l ππ∞
-
=?? ???
∑均是一致收敛的，而由?是有界函数的假设
（()x M ?<），可得
()0
sin
l
k d Ml l
π
?ξξξ≤?
故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当0t >时，关于x 及t 是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换．由于级数的每一项都满足方程（8）及边界条件(9)、(10)，从而式（19）式表示的级数在0t >时确实满足方程及边界条件．当加上条件()()00l ??==时，当0t →时，对任意[]0,x l ∈，由式（19）给出的级数趋于初值()x ?，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题（8）~（10）的经典解．
5 抛物型方程解的估计及其应用
先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法．其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计[7]，能量估计
[8]
等等．一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可
结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息．
5.1 极值原理
考虑热传导方程
()()
2,,,t x x L u u a u f x t x t Q
≡-=
∈ 其中(){},0,0Q x t x l t T =<<<≤，Q 的侧边和底边统称为Q 的抛物边界，记作Γ，即
(){}(){}(){},0,0,,0,0,0x t x t T x t x l t T x t t x l Γ==<≤?=<≤?=≤≤
在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升．因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到．这就是热传导方程的“极值原理”．
定理 1（弱极值原理） 设函数()()()
2,1,C u x t Q C Q ∈?满足Lu f =． （1） 若0f ≤，则u 在Q 上的最大值必在抛物边界Γ上达到，即
()()m a x
,m a x ,
Q
u x t u x t Γ
= （2） 若0f ≥，则
()()m i n
,m i n ,
u x t u x t Γ
= （3） 若0f =，则
()()max ,max ,u x t u x t Γ
=， ()()min ,min ,Q
u x t u x t Γ
=
同时成立，这里()2,1C Q 表示在Q 内关于x 二次连续可微，且关于t 一次连续可微的函数全体．
证明：（1）不妨先考虑0f <情形． 反设存在点()00,x t Q ∈，使得
()()00,max ,Q
u x t u x t =
则在该点处0x u =，0xx u ≤，0t u ≥（如果0t T <，则0t u =；如果0t T =，则0t u ≥）．因此
()()
()
00200,,0t xx x t f x t u a u =-≥，
这与0f <的假设相矛盾．故(),u x t 不能在Q 内达到最大值，从而有
()()m a x
,m a x ,
Q
u x t u x t Γ
= 当 (),0f x t ≤时，设法将其转化为前面的情形．为此构造辅助函数 ()(),,v x t u x t t ε=- 其中ε是任意小的正数．因为
0L v L u f εε=-=-<
所以
()()m a x ,m a x ,
Q
v x t v x t Γ
=
于是
()()()()max ,max ,max ,max ,Q
Q
u x t v x t t v x t T u x t T εεεΓ
Γ
=+≤+≤+????
令0ε→，得
()()m a x
,m a x ,
u x t u x t Γ
= （2）若0f ≥，则对u -应用情形（1）的结论即可．
（3）结合前面两种情况，若0Lu =，则u 在Q 的上的最大值与最小值都在抛物边界Γ上达到．下面我们将弱极值原理推广到稍一般的热传导方程 ()()()21,,,t x x x L u u a u b
x t u c x t u f x t
≡-++= 定理 2 函数()()
2,1u C Q C Q ∈?满足10Lu f =≤，则u 在Q 上的正最大值必在抛物边界Γ上达到，即
()()m a x ,m a x ,
Q
u x t u x t +Γ
≤
由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述．
定理3 设()0,c x t c ≥-，其中0c 为正常数．若函数()()()
2,1,u x t C Q C Q ∈?满足
10L u f =≤，且()max ,0u x t Γ
≤，则必有
()max ,0Q
u x t ≤
证明 令()()0,,c t v x t e u x t -=，则(),v x t 满足方程 ()0200c t t xx x v a v bv c c v fe --+++=≤ 由于00c c +≥，根据定理2，得
()()(
)0m a x
,m a x ,m a x ,0
c t
v x t v x t e u x t -++
Γ
Γ
≤≤≤ 因此结论得证．
利用定理3，不难得到下列推论：
推论1（比较原理） 设()()00,0c x t c c ≥-≥，又设()()
2,1,u v C Q C Q ∈?，且
11L u L v ≤，u v ΓΓ≤，则对任意的(),x t Q ∈，有 ()(),,u x t v x t ≤
5.2 初边值问题解的最大模估计
设Ω是n R 中的有界开集，0T >．记(0,]T Q T =Ω?，(){}()[0,)0T T Γ=?Ω??Ω?这里的T Γ称为T Q 的抛物边界．我们先在T Q 中研究抛物型方程
记 []()()1,,i
n
t i x i A u u u b x t u
f x t ==-?+
=∑
[]()()()1
,,,i
n
t i
x i B u u u b x t u
c x t u f x t ==-?+
+=∑
考察第一初边值问题
[]()()()
()()()()()[]1
,, ,,0 ,, ,0,i n
t i x T
i A u u u b x t u f x t x t Q
u x x x
u x t g x t x t T ?=?
=-?+=∈???
=∈Ω??
=∈?Ω????
∑ （20）
定理4 设()()
2,1T T u C Q C Q ∈?是问题（20）的解，则T
Q max u FT B ≤+
其中sup T
Q F f =，()[]
{}
0,max max ,max T B x g ??Ω?=
证明 令v tF B =+，与u ±作比较．因为 [][]A u F f A u =≥±=± ，(),T x t Q ∈ ()()(),0,0v x B x u x ?=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ?Ω?Ω?Ω
≥≥±=± ， 0t T ≤≤ 由比较原理知，u v FT B ±≤≤+，即 ()T
Q max ,u x t FT B ≤+
推论 2 第一初边值问题（20）的解在函数类()()
2,1T T C Q C Q ?中是唯一的，且连续地依赖于f ，?和g ．
证明 当0f g ?==≡时，对应的解u 满足T
Q max 0u =，故0u ≡，从而解是唯一
的．假设i u 是对应于{},,i i i f g ?的解，1,2i =，则12u u -是对应于{}121212,,f f g g ??---的解．于是
[]
{}T
T
12121212
0,Q Q max max ax max ,max T u u T f f g g ???Ω?Ω
-≤-+--
所以当{}111,,f g ?与{}222,,f g ?充分接近时，1u 与2u 也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于f ，?和g ．
现在考察第一初边值问题
[]()()()()()()()[]
, ,,0 ,, ,0,T
B u f x t x t Q u x x x u x t g x t x t T ??=∈??
=∈Ω
??=∈?Ω??? （21） 定理5 设()0,c x t c ≥-，()()
2,1T T u C Q C Q ∈?是问题（21）的解，则
()0T
Q m a x
c T u e FT B ≤+ 其中sup T
Q F f =，()[]
{}
0,max max ,max T B x g ??Ω?Ω
=．
证明 不妨认为00c ≥，令()0c t v e FT B =+，与u ±作比较．因为
[]()()()
()()()
[]()00000000, =, ,
c t c t c t c t c t c t T B u Fe c e Ft B c x t e Ft B Fe e c c x t Ft B Fe F f B u x t Q =+++++++≥≥≥±=±∈
()()(),0,0v x B x u x ?=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ?Ω?Ω?Ω
≥≥±=± ， 0t T ≤≤ 由比较原理知，()0c T u v e FT B ±≤≤+，即()()0T
Q max , c T u x t e FT B ≤+
5.3 初值问题解的最大模估计
记[]T D 0,n R T =?，[](),t C u u u c x t u =-?+ 考察初值问题
[]()()()(), ,,0 T
n
C u f x t x t
D u x x x R
??=∈??=∈?? (22) 设(),c x t 连续，()()00,0c x t c c ≥->，(),f x t 和()x ?有界，记 s u p T
D F f =， sup n
R ?Φ=
如果()()
2,1T T u C D C D ∈?是初值问题（22）的解，则 ()0s u p T
c T D u e FT ≤+Φ
证明 令()()0,,c t v x t u x t e -=，则v 满足
[]()()()(),,,0 t n
D v v v c x t v f x t v x x x R ??=-?+=??=∈?? （23） 其中()()0,,0c x t c x t c =+≥，()()0,,c t f x t e f x t -=
由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数L ，记{}](,0,L T D x L T =≤?．因为解u 有界，所以存在正常数K 使得u K ≤在D T 上成立，在有界区域,L T D 上考虑辅助函数
()()
2
2,2K w x t Ft x nt v L
=+Φ+
+± 直接计算知，在,L T D 上w 满足
[]()
()()()()()002,2
22
20 ,,0 ,,0c t L T c t
x L x L K D w F c Ft x nt e f x t D L K w x x x x L L w x t K u x t e ?--==???=++Φ++±≥∈??????
?
=Φ+±≤??
?≥Φ+±>??
利用比较原理知，(),0w x t ≥在,L T D 上成立
对于D T 内的任一点()00,x t ，取L 充分大使得()00,,L T x t D ∈，于是()00,0w x t ≥ 即
()()
2
000002,2K v x t Ft x nt L
≤+Φ+
+ 令L →∞得
()000,v x t Ft Ft ≤+Φ≤+Φ
从而
()()()000000,,c t c T u x t v x t e e Ft =≤+Φ
由()00,T x t D ∈的任意性知，估计式（23）成立．
推论3 初值问题（23）的解在函数类()()
2,1T T C D C D ?中是唯一的，且连续地依赖于f ，?．
由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.
5.4 初边值问题的能量估计
设Ω是n R 中的一个光滑区域，在](0,T Q T =Ω?上考察第一初边值问题
()()()()()[]
, ,,0 0 ,0,t T u u f x t x t Q u x x x u x t T ?-?=∈???
=∈Ω
??=∈?Ω??? （24） 定理6 设()
()1,02,1T T u C Q C Q ∈?是问题（23）的解，则存在正常数()C C T =使得
()2
22
2
00max ,2T
T t T
u
x t dx u dxdt C dx f dxdt ?Ω
ΩΩΩ
≤≤??+?≤+ ???
?????? （25） 证明 问题（24的方程两边乘以u 并在T Q 上积分，得
000t
t
t
t uu dxdt u udxdt f udxdt Ω
Ω
Ω
-?=??
?
??
?
（26）
对（26）式左端第一项中关于t 的积分利用分部积分以及初值条件，可知
()()22011
,22
t t uu dt u x t x ?=-? （27）
对（26）式左端第二项关于x 的积分利用散度定理以及边界条件，推出
22
u u u d x u d S u d x u d x n Ω?ΩΩ
Ω??=-?=-?????? （28） 将（27）式和（28）式代入（26）式，得
2
2
20022t
t
u dx u dxdt f udxdt dx ?Ω
Ω
Ω
Ω
+?=+?
?
??
?? （29）
利用不等式222ab a b ≤+可知 2
2
0002t t
t
f u d x d t f d x d t
u
d x d t Ω
Ω
Ω
≤+?
??
?
?? 将上式代入（29）式，得
2
2
2
220002t
t
t
u dx u dxdt f dxd u dxdt dx ?Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
+?≤++?
?
??
??
?? （30）
记 ()2
0t
Y t u dxdt Ω
=?
?
，()2
20t F t f dxd dx ?Ω
Ω
=+?
??
那么不等式蕴含
()()()Y t Y t F t '≤+ 利用Gronwall 不等式[9]推出
()()()()()
()2
02
2001 t
t t t t
t
u dxdtF t Y t Y e e F t e F t e f dxd dx ?Ω
ΩΩ
=≤+-??
≤=+ ?
??
??
???
将上式代入（30）式知
()2
22
2
0021t
t t
u dx u dxdt e f dxd dx ?ΩΩΩΩ
??+?≤++ ????????? 此式两边关于t 在[]0,T 上取上确界，就得到估计式（25）.
下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题．
设Ω为n R 中的有界区域，且有光滑边界()0,T Q T =Ω?，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题
()()()(),11
,,,,i j i n
n
ij x x i x i j i u a x t u u b x t u c x t u f x t t ==?-++=?∑∑ （31） ()0 t u x x ?==∈Ω （32） 0T u ∑= （33） 解的性质．式中，()0,T T ∑=Γ?为区域的侧边界；()12,,n x x x x =∈Ω
(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例
偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生姓名：向聘
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族
平行直线jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =和k t t k τ ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域 G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(())k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 1000 121011000 232121000 3432310001121(12)(12)(12)(12)N N N N N u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f ττττ----?=+-++?=+-++??=+-++? ???=+-++? (1.2.5) 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 10 ,0,1,,1 k k k M φ +?=+=-?=? u Au f u (1.2.6) 其中
维抛物线偏微分方程数值解法
一维抛物线偏微分方程数值解法（2） 上一篇文章请参看一维抛物线偏微分方程数值解法（1） 解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法） Ut-Uxx=0, 0 分类号：O241.82 本科生毕业论文（设计） 题目：一类抛物型方程的计算方法 作者单位数学与信息科学学院 作者姓名 专业班级2011级数学与应用数学创新2班 指导教师 论文完成时间二〇一五年四月 一类抛物型方程的数值计算方法 (数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班) 指导教师 摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析. 关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性 Numerical computation methods for a parabolic equation Yan qian (Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Nie hua Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established. Key words: differential method, finite element method, convergence, stability 此文档下载后即可编辑 偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是自然 数，用两族平行直线 jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=和 k t t k τ ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格 节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解， N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(()) k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) () j j j x u ??==0， k u 0 = k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 一维抛物线偏微分方程数值解法（4） 上一篇参看一维抛物线偏微分方程数值解法（3）（附图及matlab程序） 解一维抛物线型方程(理论书籍可以参看孙志忠：偏微分方程数值解法） Ut-Uxx=0, 0 有限差分法求解抛物型方程 偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例. §1 差分方法的基本思想 有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组. 有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式. 泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式. 首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记 0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+= 图1 单变量函数离散化 函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++ ++ （1） 或 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+ -+ （2） 式(1)和(2)重新整理可得 2()()()()()2!3! i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'= --- （3） 前言 抛物型方程解的估计及其应用 1前言 数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用． 微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用． 在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的 一类二维抛物型方程的ADI格式 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的ADI格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；ADI格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]： 其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即ADI格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数L和N，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（Ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（Ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 下面采用von Newmann方法[3]对上述D格式进行稳定性分析. 一般地，低阶项不影响差分格式的稳定性，所以不妨略去项，并对（3）、（5）式消去中间变量得： 利用Taylor展开式求误差，可知此处建立的D格式的截断误差阶为. 参考文献： 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 偏微分方程数值解 所在学院:数学与统计学院 课题名称:抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程: 2 u a 2 x 其中a 是常数，f(x)是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1) 的定解分为两类： 第一，初值问题(Cauchy 问题)：求足够光滑的函数u x, t ，满足方程(1.1.1) 和初始条件： u x, 0 x , x (1.1.2) 第二，初边值问题(也称混合问题)：求足够光滑的函数u x,t ，满足方程(1.1.1) 和初始条件： u x, 0 x , 0 x l (1.1.3) 及边值条件 u0,t ul,t 0， 0 t T (1.1.4) 假定f X 和 x 在相应的区域光滑，并且于0,0，l,0两点满足相容条件， 则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 F 面考虑如下热传导方程 u(0.t) u(L,t) 0 u(x,0) (x) 其中，0 x l ，0 t T, a (常数)是扩散系数。 f(x),0 t T (1.1.1) (1.2.1) 取h秸为空间步长, M为时间步长，其中N，M是自然数，用两族 平行直线x X j jh , j 0,1, , N 和t t k k , k 0,1, , M 将矩形域 G 0 x l; 0 t T 分割成矩形网格。其中 X j ,t k 表示网格节点；G h 表示 网格点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；G h 表示位于闭矩形G 中的网格 节点的集合；h 表示G h - G h 网格边界点的集合。 u k 表示定义在网点x j ,t k 处的待求近似解，0 现在对方程进行差分近似: （一） 向前差分格式 若记 则显格式（1.2.4）可写成向量形式 U 其中 U j j X j , k k U 0 =U N =0 (1.2.3) 计算后得： 1 U j rU j 1 (1 2r)U k k r V 1 f j (1.2.4) 其中，r 各，j 0,1, , N 1，k h 0,1, ,M 1。 显然, 这是一个四点显示格式， 每一层各个节点上的值是通过一个方程组求 k 1 k U j U j h 2 k k k U j 1 2U j U j 1 a (f j f (X j )) 解到的。方程组如下: (1.2.2) 0 rU 2 (1 2r )U 0 0 叫 f 1 0 rU a (1 2r)U 0 rU 1 f 2 (1 0 rU 4 2r)U a rU 2 f 3 M 1 U N 1 0 「U N (1 2「)U N 1 「U N 2 f N (1.2.5) k k k k T u U 1 ,U 2, , U N 1 X 1 , X 2 , T X N 1 ， f f X ! , f X 2 , T X N 1 1 u Au 0,1,L ,M 1 (1.2.6) 偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式； 实验二（习题2.2） 1、 题目 用Crank-Nicolson 差分格式计算抛物型方程 22u u t x ??=?? 01x << 满足初始条件 0|sin t u x π== 01x ≤≤ 和边界条件 01||0x x u u ==== 0t > 在 0.1,0.2t =处的解，0.1,0.1t k x h ?==?==。 2、 程序 #include 抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ???? ≡ ?????） ： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式 ()24.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h a r τ = 为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到 1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0 1-j ru +j f τ 于是，利用初值() j j j x u ??==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1 j u ， 1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k N u =0算出2j u ， 1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ， 1,,1,0-=M k ） 。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并 视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1' 可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +??? ? ??????? ??--)~,~(2112122=()2 h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-< 170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人 抛物型方程有限差分方法的应用 摘要 抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。 关键字：抛物型方程，差分格式，应用 Abstract Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation. Keywords: parabolic equation, difference scheme, application 0 前言 抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。 1 抛物型方程有限差分法 1.1 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()()x x u ?=0,，∞<<∞-x （1.2） 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的adi格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；adi格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]：其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即adi格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数l和n，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 利用taylor展开式求误差，可知此处建立的d格式的截断误差阶为. 参考文献： [1]管秋琴.一类二维抛物型方程的有限差分格式[j]. 赤峰学院学报（自然科学版）. 2010，26（1）：7. [3]戴嘉尊，邱建贤. 微分方程数值解法[m]. 南京：东南大学出版社 .2002. 作者简介： 舒阿秀（1977―），女，安徽旌德人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，主要从事偏微分方程数值解的研究。抛物型方程的计算方法
抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例(完整资料).doc
一维抛物线偏微分方程数值解法(附图及matlab程序)
有限差分法求解抛物型方程说明
抛物型方程
一类二维抛物型方程的ADI格式
第九章-偏微分方程差分方法汇总
抛物形扩散方程的有限差分法与数值实例
抛物型方程差分方法
用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程
抛物型方程有限差分法
第九章 偏微分方程差分方法汇总
抛物型方程有限差分方法的应用-报告概论
一类二维抛物型方程的ADI格式
- 抛物型方程隐格式的程序实现
- CH02抛物方程差分法CH21-24,25-28资料
- 偏微分方程数值解法(抛物型方程差分法)
- (完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
- 抛物型方程差分法
- 用Crank-Nicolson差分格式计算抛物型方程
- 一类二维抛物型方程的ADI格式
- 抛物型方程差分法
- 2.2 抛物型方程的差分解法
- 抛物型方程的差分方法
- (十二章)抛物型方程有限差分法
- 抛物型方程差分方法
- 抛物型方程的差分方法
- 解三维抛物型方程的一个高精度显式差分格式
- 4第三章发展型模型方程的有限差分和有限体积方法
- 抛物型方程的差分方法
- 抛物型方程差分法资料
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