(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
抛物型方程有限差分法
1. 简单差分法
考虑一维模型热传导方程 (1.1)
)(22x f x
u
a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类：
第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,,
∞<<∞-x
第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,,
l x l <<-
及边值条件
()23.1 ()()0,,0==t l u t u ，
T t ≤≤0
假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。
现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取
N
l
h =
为空间步长，M
T =
τ为时间步长，其中N ，M 是
自然数，
jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=；
τ
k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ=
将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表
示网格节点；
h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；
h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。
k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系
（(,)k
j k j u u
x t t t
????≡ ?
????）： ()()
()ττ
O t u t x u t x u k
j k j k j +???
????=-+,,1 ()()
()2112,,ττ
O t u t x u t x u k j
k j k j +???
????=--+
()()()h O x u h t x u t x u k
j k j k j +??? ????=-+,,1
()()
()h O x u h
t x u t x u k
j k j k j +???
????=--,,1 ()()
()2112,,h O x u h
t x u t x u k
j
k j k j +???
????=--+
()()()
()2
222
11,,2,h O x u h
t x u t x u t x u k
j
k j k j k j +???? ????=+--+
可得到以下几种最简差分格式
（一） 向前差分格式 ()14.1 =-+τ
k j
k j u u 1j k
j k j k j f h u u u a
++--+2
1
12
()()j j x f f =
()24.1
()j j j x u ??==0，
k u 0=k
N u =0
其中1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。取2
h
a r τ=为网比，则进一步有
()14.1'
1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k
j ru 1-+j f τ
此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到
1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0
1-j ru +j f τ
于是，利用初值()j j j x u ??==0和边值k u 0=k
N u =0，可算出第一层的
1j u ，1,,1,0-=N j Λ。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0
=k
N u =0算出
2j
u ，
1
,,1,0-=N j Λ。如此下去，即可逐层算出所有
k j
u （1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ）。
由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。
若记
()T
k
N k k k u u u 1
21,,,-=Λu ，()()()()T N x
x x 1
2
1
,,,-=????Λ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττΛf
则显格式()14.1'可写成向量形式
???=-=+=+?
11
,,1,0,u f Au u M k k k Λ 其中
???
???
?
? ??----=r r r r r r r r
r r
21002100210021ΛO M
O O O M O ΛA 若记
2
2x
u
a t u Lu ??-??=
()
--=
+τ
k j
k j k
j
h u u u L 112
1
12h u u u a
k
j k j k j -++-
那末截断误差
（1.5）()=u R k
j
()
()[]k j
k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +?
??
? ??????? ??--)~,~(2112122=()2
h O +τ 其中(,)j k x t %%是矩形11+-< 事实上，()=u R k j k j x u ???? ????222τ+()2τO k j x u h a ???? ?????-442?12 =k j x u ???? ????222τ+()2 τO ()22222?112τO t u a h a k j +???? ???????- =??????-?-211212ττa h ()2 22~τO t u k j +???? ???? =??????--21121r τ()2 22~τO t u k j +? ??? ????=()2 h O +τ。 这里 ??? ? ??????=??222244x u x a x u a ??? ???????=t u a x a 122 ??? ??????=t u x 22 t x u ???=23 22t u ????? ??????=t u t 2??? ? ??????=22x u a t t x u ???=23 故22t u ??44 244x u a x u a a ??=??? ? ?????=，从而=??44x u 221t u a ??? （二） 向后差分格式 ()16.1 =-+τ k j k j u u 1j k j k j k j f h u u u a ++-+-+++2 1 1 1112 ()()j j x f f = ()26.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中 1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。取2 h a r τ = 为网比，则进一 步有 ()16.1' r -k j u 1++()r 21+1+k j u r -11+-k j u =k j u +j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ??==0和边值 k u 0=k N u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j Λ，即求解方程 组： r -11+j u +()r 21+1j u r -11-j u =0j u +j f τ 1,,1,0-=N j Λ，k u 0 =k N u =0。求出1j u ，在由()14.1'取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j Λ。如此下去，即可逐层算出所有k j u ， 1,,1,0-=M k Λ。 如此每层必须解一个三对角线性方程组的格式称为隐格式。并视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 直观地说，采用显式格式进行求解既方便又省工作量。但是，后面我们将看到，有些情况用隐式格式更为便利。 1.2.3 Grank-Nicholson 法 将向前差分格式和向后差分格式做算术平均，得到的差 分格式称之为六点对称格式，也称为Crank-Nicholson 格式： ()18.1 = -+τ k j k j u u 1 j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +??? ? ????+-++-+-+++-+2 1 1111211222 ()()j j x f f = ()28.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 进一步， ()18.1' 2r - 11++k j u +()r +11+k j u 2r -11+-k j u =2r k j u 1++()r -1k j u 2 r +k j u 1-+j f τ 按层计算：首先，取0=k ，则利用初值()j j j x u ??==0和边值 k u 0=k N u =0，来确定出第一层的1j u ，1,,1,0-=N j Λ，即求解方程 组： 2r - 11+j u +()r +11j u 2r -11-j u =2r 01+j u +()r -10 j u 2 r +01-j u +j f τ 1,,1,0-=N j Λ，k u 0 =k N u =0。求出1j u ，在由()18.1',取1=k ，可利用1j u ，解出2j u ，1,,1,0-=N j Λ。如此下去，即可逐层算出所有k j u ， 1,,1,0-=M k Λ。 若记 2 2x u a t u Lu ??-??= ()--= +τ k j k j k j h u u u L 1 3j k j k j k j k j k j k j f h u u u h u u u a +??? ?????+-++-+-+++-+2 1 1111211222 在1(,)(,()/2)j k k x t x t t +=+处作Taylor 展开，可以算出截断误差为 （1.7） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,3=()22h O +τ。+ （四）Richardson 格式 （1.10） =--+τ 211k j k j u u 2 1 12h u u u a k j k j k j -++-+j f 进一步 ()110.1' 1+k j u =r 2（k j u 1+k j u 2-+k j u 1-）+1 +k j u +2j f τ 这是三层显式差分格式。显然截断误差的阶为()22h O +τ。为使计算能够逐层进行，除初值0j u 外，还要用到1j u 。它可以用其他双层格式提供。 Richardson 格式的矩阵形式为： ?? ?? ?=-=++=-+另算10111 ,,1,u u f u u C u ? τM k k k k Λ 其中 ?????? ?? ? ?------?-=210012100 121 00 122Λ O M O O O M O Λ r C 2 稳定性与收敛性 抛物方程的两层差分格式可以统一写成向量形式: (2.1) 1k k AU BU F τ+=+ 其中1111(,), (,,)k k k T N N U u u F f f --==L L ，A 和B 是1N -阶矩阵。 我们假定A 可逆，即（2.1）是唯一可解的。对于显格式，A 等于单 位矩阵I 。三层格式可以通过引入新变量1k k k U W U -?? = ??? 化成两层 格式。 假设差分解的初始值（其实可以是任一层的值）有误差， 以后各层计算没有误差，让我们来考察初始误差对以后各层的影响。令{}k U 和{}k V 分别是以0U 和0V 为初始值由差分格式（2.1）得到的两组差分解，则k k k W U V =-满足 （2.2） 1k k AW BW += 因此，按初值稳定应该意味着0 k W K W ≤。这就导致如下定 义： 假设0F =，我们称差分格式（2.1）按初值稳定，如果存在正常数0τ和K ，使得以下不等式成立： （ 2.2） k U K U ≤， 010, 0, 0N U R k T τττ-?∈≤≤<≤ 这里 ? 是1N R -上的某一个范数，例如 1/2 121N j j U hu -=??= ? ?? ∑ 类似地，假设00U =，我们称差分格式（2.1）按右端稳定，如果存在正常数0τ和K ，使得以下不等式成立： （2.2） k U K F ≤， 00, 0k T τττ?≤≤<≤ 可以证明，差分格式若按初值稳定，则一定按右端稳定。因此，这时我们简单地称差分格式稳定。 前面讨论的向前差分格式（1.4）当网比12 r ≤时稳定，当1 2 r >时不稳定。这就意味着给定空间步长h 以后，时间步长τ必须足够小，才能保证稳定。而向后差分格式（1.6）和Grank-Nicholson 格式（1.8）则对任何网比r 都是稳定的， 时间步长τ可以取得大一些，从而提高运算效率。Richardson 格式则对任意网比都是不稳定的。因此，虽然Richardson 格式是个显格式，截断误差又很小，但是却不可用。 如果某个差分格式的截断误差当τ和h 趋于0时随之趋于 0，则称这个差分格式是相容的。可以证明：若差分格式是相容的和稳定的，则它是收敛的，并且差分解与微分解之间误差的阶等于截断误差的阶。因此，当网比12 r ≤时，向前差 分格式（1.4）有收敛阶2()O h τ+。对任何网比，向后差分格式（1.6）有收敛阶2()O h τ+，而Crank-Nicholson 格式（1.8）有收敛阶22()O h τ+。 3．高维抛物方程差分法 考虑如下二维抛物方程的差分格式。 （3.1） 2222, ,(0,), 0(,,0)(,) (0,,)(,,)(,0,)(,,)0u u u x y l t t x y u x y x y u y t u l y t u x t u x l t ?????=+∈>?????? =??====??? 取空间步长/h l N =，时间步长0τ>。作两族平行与坐标轴的网线j x x jh == ，k y y kh ==，其中,0,1,,j k N =L ，将矩形区域(0,)(0,) l l ?分割成2N 个小矩形。记n jk u 为网格节点(,,)j k n x y t 上的差分解。 前述各种一维差分格式都可以直接用于以（3.1）为代表的二维以至更高维的抛物方程。例如，向前差分格式成为 （3.2） 11,1,,1,1 2 2 22n n n n n n n n jk jk j k jk j k j k jk j k u u u u u u u u h h τ ++-+---+-+= + 0,1,, 1; ,1,,1T n j k N τ =-=-L L 实际计算时，先令0n =，利用已知的0(,)jk j k u x y ?=等等，对 ,1,,1j k N =-L ，用（3.2）算出1jk u 。而由边值条件，补充得到 11110,,,0,0k N k j j N u u u u ====。下一步，令1n =，利用已知的第 1层的 差分解{}1jk u 类似地算出第2层的差分解{}1jk u 。以此类推，直到n =1T τ -。 各种隐格式，例如向后差分格式和Crank-Nicholson 格 式，也可以类似地推广用于高维情形。每次计算新的一层差分解时，同样需要求解一个线性方程组。但是，这个线性方程组不再是三对角的，方程组阶数为()p O N ，其中p 是抛物方程的维数。因此，求解成本大大增加，甚至导致无法求解。为了克服这一困难，人们提出了各种降维技巧，局部地把高维问题化成一维问题求解。下面给出的求解二维抛物方程的LOD 格式（局部一维格式）就是其中一例。 （3.3a ） 1/2 21/2 21()/2 n n jk jk n n x jk jk u u u u h δτ++-= + （3.3b ） 11/2211/2 21()/2 n n jk jk n n y jk jk u u u u h δτ++++-= + 0,1,, 1T n τ =-L ； ,1,,1j k N =-L 其中 1,1,2 2 2m m m j k jk j k m x jk u u u u h δ+--+≡ ， ,1,1 2 2 2m m m j k jk j k m y jk u u u u h δ+--+≡ LOD 格式的计算步骤可以总结如下： 1） 令0n =。 2） 1k =。 3） 求解三对角线性方程组（3.3a ）得到差分解 {}1/21/21/21,2,1,,,,n n n k k N k u u u +++-L 。 4） 若k N <，则k 增加1，转步骤3）。否则转5）。 5） 令1j =。 6） 求解三对角线性方程组（3.3b ）得到差分解 {},1 ,2,1,,,n n n j j j N u u u -L 。 7） 若j N <，则j 增加1，转步骤6）。否则转8）。 8） 若/n T τ<，则n 增加1，转步骤2）。否则结束。 LOD 格式的基本想法是，由第n 层计算1/2n +层时，对 1,,1k N =-L ，依次固定k y y =，然后计算k y y =这条直线上各个 网点上的近似值；因为这时y 不变，所以原来的二维微分方程退化为关于x 的一维微分方程。接着，当由第n 层计算1/2n +层时，则依次固定j x x =。LOD 格式可以直接推广到任意维抛物方程。LOD 格式对任意网比都是稳定的，截断误差阶和收敛阶是22()O h τ+。 抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是 自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=； τ k y y k ==, ()M k ,,1,0Λ= 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表 示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系 （(,)k j k j u u x t t t ????≡ ? ????）： ()() ()ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()2112,,ττ O t u t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=-+,,1 ()() ()h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--,,1 ()() ()2112,,h O x u h t x u t x u k j k j k j +??? ????=--+ ()()() ()2 222 11,,2,h O x u h t x u t x u t x u k j k j k j k j +???? ????=+--+ 可得到以下几种最简差分格式 偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数，用两族 平行直线jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =和k t t k τ ==, ()M k ,,1,0 =将矩形域 G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示 网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(())k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 1000 121011000 232121000 3432310001121(12)(12)(12)(12)N N N N N u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f u ru r u ru f ττττ----?=+-++?=+-++??=+-++? ???=+-++? (1.2.5) 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式(1.2.4)可写成向量形式 10 ,0,1,,1 k k k M φ +?=+=-?=? u Au f u (1.2.6) 其中 分类号：O241.82 本科生毕业论文（设计） 题目：一类抛物型方程的计算方法 作者单位数学与信息科学学院 作者姓名 专业班级2011级数学与应用数学创新2班 指导教师 论文完成时间二〇一五年四月 一类抛物型方程的数值计算方法 (数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班) 指导教师 摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析. 关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性 Numerical computation methods for a parabolic equation Yan qian (Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Nie hua Abstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established. Key words: differential method, finite element method, convergence, stability 此文档下载后即可编辑 偏微分方程数值解 所在学院：数学与统计学院 课题名称：抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 学生姓名：向聘 抛物形扩散方程的有限差分法及数值实例 1.1抛物型扩散方程 抛物型偏微分方程是一类重要的偏微分方程。考虑一维热传导方程： 22(),0u u a f x t T t x ??=+<≤?? (1.1.1) 其中a 是常数，()f x 是给定的连续函数。按照初边值条件的不同给法，可将(1.1.1)的定解分为两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x (1.1.2) 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程(1.1.1)和初始条件： ()()x x u ?=0,, 0x l << (1.1.3) 及边值条件 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 (1.1.4) 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 1.2抛物线扩散方程的求解 下面考虑如下热传导方程 22()(0.)(,)0(,0)()u u a f x t x u t u L t u x x ????=+????? ==??=??? (1.2.1) 其中，0x l <<，T t ≤≤0,a (常数)是扩散系数。 取N l h = 为空间步长，M T = τ为时间步长，其中N ，M 是自然 数，用两族平行直线 jh x x j ==, ()N j ,,1,0Λ=和 k t t k τ ==, ()M k ,,1,0Λ=将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 (),j k x t 表示网格节点；h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格 节点）的集合；h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合；h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点(),j k x t 处的待求近似解， N j ≤≤0，M k ≤≤0。 现在对方程进行差分近似： (一) 向前差分格式 =-+τ k j k j u u 111 2 2(()) k k k j j j j j j u u u a f f f x h +--++= (1.2.2) () j j j x u ??==0， k u 0 = k N u =0 (1.2.3) 计算后得： 111(12)k k k k j j j j j u ru r u ru f τ++-=+-++ (1.2.4) 其中，2 a r h τ = ，1,,1,0-=N j Λ，1,,1,0-=M k Λ。 显然，这是一个四点显示格式，每一层各个节点上的值是通过一个方程组求解到的。方程组如下： 22 10,01,01(,0),01(0,),(1,),01 (,)x t t x t u u x t t x u x e x u t e u t e t u x t e ++??-=<<<≤??=≤≤==<≤= 运行：前向euler 法 [xx,tt,uh]=equationepaowu2('myfun','myfun1','myfun1','myfun2',1,[0,1],[0,1],[1/10,1/200]); function [xx,tt,uh]=equationepaowu2(myfun,myfun1,myfun2,myfun3,a,xxx,ttt,step) %利用差分方法求抛物型方程数值解； %myfun--方程右端f(x,t); %myfun1--u(x,0); %myfun2--u(t1,t); %myfun3--u(t2,t); %[x1,x2]--x 的取值范围； %[t1,t2]--t 的取值范围； %a-正常数 %h,tao-分别是x,t 方向的步长。 %—————————————————————— %激活函数 f=fcnchk(myfun); f1=fcnchk(myfun1); f2=fcnchk(myfun2); f3=fcnchk(myfun3); x1=xxx(1);x2=xxx(2); t1=ttt(1);t2=ttt(2); h=step(1);tao=step(2); %__________________________________ %划分网格,x1-nt+1行，nx+1列。 x=linspace(x1,x2,round((x2-x1)/h)+1); t=linspace(t1,t2,round((t2-t1)/tao)+1); nx=size(x,2); nt=size(t,2); [xx,tt]=meshgrid(x,t); %________________________________________ %赋初值及边值 size(x1) size(x) U0=zeros(size(xx)); 有限差分法求解抛物型方程 偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例. §1 差分方法的基本思想 有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组. 有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式. 泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式. 首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记 0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+= 图1 单变量函数离散化 函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++ ++ （1） 或 23 ()()()()()2!3! i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+ -+ （2） 式(1)和(2)重新整理可得 2()()()()()2!3! i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'= --- （3） 前言 抛物型方程解的估计及其应用 1前言 数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用． 微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用． 在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的 一类二维抛物型方程的ADI格式 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的ADI格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；ADI格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]： 其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即ADI格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数L和N，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（Ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（Ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 下面采用von Newmann方法[3]对上述D格式进行稳定性分析. 一般地，低阶项不影响差分格式的稳定性，所以不妨略去项，并对（3）、（5）式消去中间变量得： 利用Taylor展开式求误差，可知此处建立的D格式的截断误差阶为. 参考文献： 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 偏微分方程数值解复习提纲 一.基本内容:(1)椭圆型方程差分方法;(2)抛物型方程差分方法;(3)双曲型方程差分方法;(4)椭圆型方程的有限元方法. 二.基本概念: (1)显式和隐式差分格式,网格比和加密路径; (2)差分格式的截断误差、相容性、稳定性、收敛性、逼近精度阶和收敛阶; (3)双曲型方程(组)的特征与Riemann不变量,差分格式的依赖区域和CFL条件; (4)差分格式的增长因子和增长矩阵、振幅误差与相位误差、耗散与色散、群速度； (5)双曲守恒方程的弱解与激波传播速度； (6)守恒性与守恒型差分格式、有限体积法； (7)差分格式的Fourier分析与L2稳定性、最大值原理与L∞稳定性、实用稳定性和强稳 定性、网格的P`e clet数; (8)椭圆边值问题的变分形式与弱解、强制边界条件与自然边界条件； (9)Galerkin方法与Ritz方法,协调与非协调有限元方法； (10)有限元与有限元空间,有限元插值算子与插值函数,有限元方程与有限元解； (11)有限元的仿射等价与等参等价,有限元剖分的正则性和拟一致性. 三.基本方法与技巧: (1)比较函数与利用最大值原理的误差分析; (2)Taylor展开、Fourier分析、最大值原理； (3)修正方程分析、能量法分析； (4)充分利用解的守恒性和特征,以及适当处理初始条件与边界条件； (5)Sobolev空间及其基本性质，如嵌入定理、迹定理,Poincar′e-Friedrichs不等式; (6)仿射等价、多项式不变算子、商空间与商范数、Sobolev空间半范数的关系; (7)Aubin-Nische技巧,bramble-Hilbert引理,双线性引理. 四.基本格式: (1)二维Poisson方程的五点差分格式; (2)抛物型方程的显式差分格式、隐式差分格式、Crank-Nicolson格式和θ-方法； (3)具有热守恒性质的格式； (4)ADI格式与LOD格式； (5)双曲型方程的迎风格式、Lax-Wendro?格式、盒式格式和蛙跳格式； 实验二（习题2.2） 1、 题目 用Crank-Nicolson 差分格式计算抛物型方程 22u u t x ??=?? 01x << 满足初始条件 0|sin t u x π== 01x ≤≤ 和边界条件 01||0x x u u ==== 0t > 在 0.1,0.2t =处的解，0.1,0.1t k x h ?==?==。 2、 程序 #include 抛物型方程有限差分法 1. 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 (1.1) )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： （1.2） ()()x x u ?=0,, ∞<<∞-x 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()13.1 ()()x x u ?=0,, l x l <<- 及边值条件 ()23.1 ()()0,,0==t l u t u ， T t ≤≤0 假定()x f 和()x ?在相应的区域光滑，并且于()0,0，()0,l 两点满足相容条件,则上述问题有唯一的充分光滑的解。 现在考虑边值问题（1.1），（1.3）的差分逼近 取 N l h = 为空间步长，M T =τ为时间步长，其中N ，M 是自然数， jh x x j ==, ()N j ,,1,0 =； τk y y k ==, ()M k ,,1,0 = 将矩形域G {}T t l x ≤≤≤≤=0;0分割成矩形网格。其中 ()j i y x ,表示网格节点； h G 表示网格内点（位于开矩形G 中的网格节点）的集合； h G 表示位于闭矩形G 中的网格节点的集合； h Γ表示h G -h G 网格边界点的集合。 k j u 表示定义在网点()k i t x ,处的待求近似解，N j ≤≤0，M k ≤≤0。 注意到在节点()k i t x ,处的微商和差商之间的下列关系（(,)k j k j u u x t t t ???? ≡ ?????） ： 可得到以下几种最简差分格式 （一） 向前差分格式 ()24.1 ()j j j x u ??==0， k u 0=k N u =0 其中1,,1,0-=N j ，1,,1,0-=M k 。取2h a r τ = 为网比，则进一步有 ()14.1' 1+k j u =k j ru 1++()r 21-k j u +k j ru 1-+j f τ 此差分格式是按层计算：首先，令0=k ，得到 1j u =01+j ru +()r 21-0j u +0 1-j ru +j f τ 于是，利用初值() j j j x u ??==0和边值k u 0=k N u =0，可算出第一层的1 j u ， 1,,1,0-=N j 。再由()14.1'取1=k ，可利用1j u 和k u 0=k N u =0算出2j u ， 1,,1,0-=N j 。如此下去，即可逐层算出所有k j u （1,,1,0-=N j ， 1,,1,0-=M k ） 。 由于第()1+k 层值可以通过第()k 层值直接得到，如此的格式称为显格式。并 视k j u 为()k j t x u ,的近似值。 若记 () T k N k k k u u u 1 21,,,-= u ，()()()()T N x x x 121,,,-=???? ，()()()()T N x f x f x f 121,,,-=τττ f 则显格式()14.1' 可写成向量形式 其中 若记 那末截断误差 （1.5） ()=u R k j () ()[]k j k j h Lu t x u L -,1=()ττO t x t u r k j +??? ? ??????? ??--)~,~(2112122=()2 h O +τ。 其中(,)j k x t 是矩形11+-< 170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人 抛物型方程有限差分方法的应用 摘要 抛物型偏微分方程是一类比较重要的偏微分方程。热传导方程是最简单的一种抛物型方程。热传导方程研究的是热传导过程的一个简单数学模型。根据热量守恒定律和傅里叶热传导实验定律可以导出热传导方程。在本篇论文中，将先详述抛物型偏微分方程的有限差分法的相关知识，然后给出抛物型方程的两个具体的应用实例。 关键字：抛物型方程，差分格式，应用 Abstract Parabolic partial differential equation is a kind of important partial differential equation. The heat conduction equation is one of the simplest parabolic equations. The heat conduction equation is a simple mathematical model of the heat conduction process. Heat conduction equation is derived based on the law of conservation of heat and Friyege's law of conduction. In this thesis, we first give a detailed knowledge of the finite difference method for parabolic partial differential equations, and then give two specific examples of the application of the parabolic equation. Keywords: parabolic equation, difference scheme, application 0 前言 抛物型方程是偏微分方程中的三大方程（另两种为双曲型方程和椭圆型方程）之一，如何去研究抛物型方程的性质在《偏微分方程数值解法》的课程中占有很大的比例。如果要研究抛物型方程，我们一般从以下几个方面来研究，分别是：定界问题、格林函数、极值原理、解的正则性、抛物方程、拟线性蜕化和反应扩散方程。但是由于所学知识有限，所以我们在此只简单的介绍抛物型方程的有限差分法并给出两个应用实例。 1 抛物型方程有限差分法 1.1 简单差分法 考虑一维模型热传导方程 )(22x f x u a t u +??=??，T t ≤<0 (1.1) 其中a 为常数。)(x f 是给定的连续函数。（1.1）的定解问题分两类： 第一，初值问题（Cauchy 问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初始条件： ()()x x u ?=0,，∞<<∞-x （1.2） 第二，初边值问题（也称混合问题）：求足够光滑的函数()t x u ,，满足方程（1.1）和初 【摘要】本文针对一类二维抛物型方程，建立了一个在空间和时间方向上均具有二阶精度的adi格式，并分析其稳定性. 比较以往算法，此格式具有精度较高，无条件稳定等优点，同时，该方法通过求解两个线性代数方程得到原问题的解，避免了非线性迭代运算，提高了计算效率. 【关键词】二维抛物型方程；adi格式；稳定性；截断误差 1.引言 抛物型偏微分方程在研究热传导过程、一些扩散现象及电磁场传播等许多问题中都有广泛的应用，对这一类方程数值解法的研究一直是科研工作者关注的热点问题之一，其中高精度的有限差分方法更是受到了越来越多的重视. 考虑如下的初边值问题[1]：其中，为常数. 在文献[1]中对问题（1）建立了差分格式，格式的截断误差阶为.本文将在文献[1]的基础上进一步研究问题（1）的高效差分格式，建立了一个高精度的交替方向隐式差分格式（即adi格式），提高了时间方向上的精度，并给出相应的稳定性分析。 2.差分格式的建立 为了得到问题（1）的有限差分格式，首先将求解区域进行网格剖分，结点为. 选取正整数l和n，并令为方向上的网格步长，为方向上的网格步长，记 假定第层的已知，则由第（ⅰ）步，通过解一个三对角线性代数方程组求出，再由第（ⅱ）步，再解一个三对角线性代数方程组即可求出. 所以，只要利用追赶法求解两个三对角线性代数方程组即可，此时计算量与储存量都较小. 另外，在处理边界条件时，为了提高精度，采取中心差分，这样会出现虚拟值，此时，只要再与格式中的方程联立，即可消去虚拟值[2]. 3. 稳定性分析 利用taylor展开式求误差，可知此处建立的d格式的截断误差阶为. 参考文献： [1]管秋琴.一类二维抛物型方程的有限差分格式[j]. 赤峰学院学报（自然科学版）. 2010，26（1）：7. [3]戴嘉尊，邱建贤. 微分方程数值解法[m]. 南京：东南大学出版社 .2002. 作者简介： 舒阿秀（1977―），女，安徽旌德人，硕士，安庆师范学院数学与计算科学学院副教授，主要从事偏微分方程数值解的研究。 一 热传导方程 如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。 1初值问题 一维热传导方程的初值问题是 2 22 (,),,0,(,0)(),.u u a f x t x t t x u x x x ????-=-∞<<∞>?????=-∞<<∞? 应用Fourier 变换解初值问题，可得到 (,)(,)()(,)(,)t u x t K x t d d K x t f d ξ?ξξτξτξτξ∞∞-∞ -∞ = -+ --? ? ? 其中 (,)K x t =22/(4),0,0,0.x a t t t ->?≤? 若()(,)x C ?∈-∞∞且有界，(,)0f x t ≡时，(,)u x t 确定的函数确实是初值问题的有界解。 对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier 变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有 3 3 (,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)R t R u x y z t K x y z t d d d d K x y z t f d d ξηζ?ξηζξηζ τξηζτξηζτξηζ = ---+ ----??????? 其中 2222()/(4)23/2 1,0(4) (,,,)0,0.x y z a t e t a t K x y z t t π-++?>?=??≤? 2混合问题 混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。 有界杆的热传导问题 第十章偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1差分方法的基本概念 1.1几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 Poisson 方程的第一边值问题为 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 其中 n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 初边值问题 其中 )(x ?，)(1t g ，)(2t g 为已知函数，且满足连接条件 边界条件)(),(),(),0(21t g t l u t g t u ==称为第一类边界条 件。 第二类和第三类边界条件为 其中0)(1≥t λ，0 )(2≥t λ。当0)()(21≡=t t λλ时，为第二 类边界条件， 否则称为第三类边界条件。 双曲型方程: 最简单形式为一阶双曲型方程 物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程 描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为 边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为 1.2差分方法的基本概念 差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定 解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。 它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连 续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连 续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问 题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果 差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解 问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题： （1）选取网格； （2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式； （3）求解差分格式； （4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。 下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程 问题的一般过程及差分方法的基本概念。 设有一阶双曲型方程初值问题。 （1） 选取网格： －2h-h0h2h3h 首先对定解区域 }0,),{(≥+∞<<∞-=t x t x D 作网格剖 分，最简单 常用一种网格是用两族分别平行于 x 轴与 t 轴的等距直线 kh x x k ==， (0,1,2,0,1,2,)j t t j k j τ===±±=L L 将D 分成许 多小矩形 区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点， h 和τ 分别称作 x 方向和t 方向的步长。这种网格称为矩形网格。 （2） 对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式： 如果用向前差商表示一阶偏导数，即 其中 1,021<<θθ。(完整版)大连理工大学高等数值分析抛物型方程有限差分法
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