三棱锥外接球半径公式

三棱锥外接球半径公式

如图：在三棱锥ABC O -中，1B 为底面C AB 1的外接圆圆心, ⊥1OA 底面ABC ，d 11=B A ，h OA =1，r C B B B A B ===111，三棱锥外接球半径为R ，则：

22

222

2)2(r h r d h R -++=，其中，r 是底面三角形ABC 的外接圆半径，d 是上顶点O 在底面ABC 的垂足1A 与底面ABC ?外接圆圆心1B 的距离;

特殊地，当上顶点O 在底面ABC 上的垂足1A 落在底面ABC ?的圆上时，即r d =时，比如上顶点O 在底面ABC 的垂足1A 与底面的顶点C B A ，，重合时，则有：

222)2

(r h R +=

正三棱锥的内切球与外接球

正三棱锥的内切球与外接球要回答这个问题，先要了解什么是正三棱锥. 请看正三棱锥的定义. 1.底面是正三角形 2.顶点在底面的射影是底面三角形的中心.满足以上两条的三棱锥是正三棱锥. 由以上定义可知，正三棱锥底面为正三角形，三个侧面是全等的等腰三角形. 要防止和另外一个概念----正四面体混淆. 正四面体的要求比正三棱锥更要.每个面都是正三角形的四面体才是正四面体.我们可以说，正四面体是特殊的正三棱锥，正三棱锥具备的性质正四面体都有，而正四面体具备的性质正三棱锥不一定有. 下面来说如何寻找正三棱锥的内切球和外接球球心. 在棱柱和棱锥的外接球中，谈到了一种方法，就是把符合条件的棱锥和棱柱放入长方体中，从而把问题转化、简化为长方体的外接球的问题. 这是处理问题的方法之一. 适合这种方法的情况可小结如下： ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥.⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥.

⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 今天说说第二种方法，就是利用球的定义确定球心. 基本的规律可小结如下： ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. 我们利用第（4）条结论来研究正三棱锥的外接球球心的位置. 举一个具体栗子来说明.外接球球心分析：在正三棱锥的高线上，先假设一个位置，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解.从图看出，此正三棱锥的外接球球心在高线PO的延长线上. 再来求内切球的球心位置.由正三棱锥的对称性可知，内切球球心也在高线PO上. 下面利用等体积法（即算两次体积）求内切球的半径.等体积法已经是第二次提到了，第一次提起是在线面角和点面距中.回到这位朋友的问题上来，外接球球心和内切球球心重合吗 显然，多数情况下是不重合的. 有童鞋可能会问，有没有重合的时候呢

外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法 知识回顾： 定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。 球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系： ． 球面被经过球心的平面截得的圆叫 ．被不经过球心的平面截得的圆叫 球的表面积表面积S ＝ ；球的体积V ＝ ． 球与棱柱的组合体问题 1． 正方体的内切球： 球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。 如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 3． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。 一、公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5

二、多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法 例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（ ） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．2 24a π 四、寻求轴截面圆半径法 例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思 想方 法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3

三棱锥外接球问题

三棱锥外接球问题 1.有公共斜边的直角三角形组成的三棱锥，球心在公共斜边的中点处。 2.等腰四面体的外接球：补成长方体 3.按照定义，球心到四个顶点的距离为半径 4.平面截球的截面是圆，设球心到平面的距离为d ，球的半径为R ，截面圆（三角形外接圆）的半径为r ，则有222d r R += 5.补成直棱柱，球心在上下底面中心连线中点 (2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为 ()A ()B ()C ()D 【解析】选A ABC ?的外接圆的半径r =O 到面ABC 的距离d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2d = 此棱锥的体积为11233436 ABC V S d ?=?=?= 此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。 1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，

1SA AB ==，BC ，则球O 表面积等于 选A （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松得解。 解：14 2112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ?沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ． 答案：5π 说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。 2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。 解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。 答案：π332 说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。 3.正四面体BCD A -的边长为2，求该四面体外接球的表面积 。 解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。 解：若对角线为2，则边长为2，体对角线为6，球半径为2 6，表面积为π6。 另解： 33 2=ED ,3 62344=-=AE

四面体外接球的球心、半径求法

四面体外接球的球心、半径求法 在立体几何中，几何体外接球是一个常考的知识点，对于学生来说这是一个难点，一方面图形不会画，另一方面在画出图形的情况下无从下手，不知道球心在什么位置，半径是多少而无法解题。 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。 一、出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。 【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,，则体对角线长为 2 2 2 c b a l ++=，几何体的外接球直径R 2为体对角线长l 即2 2 22c b a R ++= 【例题】：在四面体ABCD 中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为3,61，，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。 解： 因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长 所以：四面体外接球的直径为AE 的长 即：22224AD AC AB R ++= 1663142 2 22=++=R 所以2=R 球的表面积为ππ1642==R S 二、出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。 【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 A C D B E

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O 的球面上，BC AB ⊥且7=PA ， 5=PB ，51=PC ，10=AC ,求球O 的体积。 解：BC AB ⊥且7=PA ，5=PB ，51=PC ，10=AC , 因为22 210517=+ 所以知222PC PA AC += 所以 PC PA ⊥ 所以可得图形为： 在ABC Rt ?中斜边为AC 在PAC Rt ?中斜边为AC 取斜边的中点O ， 在ABC Rt ?中OC OB OA == 在PAC Rt ?中OC OB OP == 所以在几何体中OA OC OB OP ===，即O 为该四面体的外接球的球心 52 1 == AC R 所以该外接球的体积为3 500343π π==R V 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解 【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，?=∠120BAC ， 2===AC AD AB ，求该棱锥的外接球半径。 解：由已知建立空间直角坐标系 )000(，， A )002(，， B )200(，，D 由平面知识得 )031(，，-C O A B C P A B C D z x y

多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法 例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,84x x x h h =??=??∴??=???=?? ∴正六棱柱的底面圆的半径12r = ，球心到底面的距离2 d =. ∴外接球的半径1R ==.43 V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 多面体几何性质法 例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =. ∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直， 则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为. 设其外接球的半径为R ，则有( ) 222229R = ++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R =

三棱锥的外接球问题教学设计与反思

《三棱锥的外接球问题》教学设计与反思 福鼎市第六中学李靖 一、课程整合点 立体几何需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力。教学中，若依靠传统的黑板或PPT讲解空间立体几何问题，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难，而白板，FLASH教学软件则可以达到图形的自由分解、拖拽、旋转等效果，还可以在课堂上利用作图工具直接作出标准图，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性。在激发学生学习兴趣吸引学生注意力方面能达到较好的效果。 由于全国卷对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出现，而三棱锥外接球的问题是一种常见题型，某些具有垂直关系的三棱锥又可以化归成正方体或长方体，进而使求三棱锥外接球的体积问题就转化为正方体或长方体外接球的相关问题。 二、教材分析： （一）教材的地位、作用： 本节课是在高三学生复习完高中数学必修2第一章《球的表面积和体积公式》的基础上开的一节专题。由于高考对立体几何中球的考察，多以球内切或外接于几何体的形式出现，而三棱锥外接球的问题是一种常见题型，某些具有垂直关系的三棱锥又可以化归成正方体或长方体，进而使求三棱锥外接球的体积问题就转化为正方体或长方体外接球的相关问题。另外，化归思想是数学中的一种重要思想，通过本节的学习，使学生更好地体会化归的思想方法，感受数学的精妙之处。从而丰富学生的理论体系，体会分析问题、解决问题的过程。在历年高考中的选择、填空题中时有出现，加重了对这一方面的考查。 （二）教学目标： 1、知识与技能： （1）了解以正方体或长方体的顶点为顶点的三棱锥的结构特点。 （2）能熟练的把具有一些垂直特点的三棱锥化归成正方体或长方体。并能够利用正方体或长方体外接球的特点求出球的体积。 （3）启发学生发现问题和提出问题，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。 2、过程与方法： （1）通过对例题的研究求解，归纳总结，从中体会分析问题、解决问题的过程，培养其思维的严谨性。 （2）培养学生的空间想象能力和化归思想方法的运用。

外接球内切球问题(含答案)

外接球内切球问题 1. （陕西理?6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ． 4 33 B ．33 C ． 43 D ．123 答案 B 2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若 12AB AC AA ===,120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。 解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得BC =由正弦定理,可得ABC ? 外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径R =故此球的表面积为2 420R ππ=. 3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱 柱的体积为 ． 答案 8 4.表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 A B ．13π C ．23π D 答案 A 【解析】此正八面体是每个面的边长均为a 的正三角形，所以由8= 1a =A 。 5.已知正方体外接球的体积是π3 32，那么正方体的棱长等于（ ） A.22 B.332 C.324 D.3 34 答案 D 6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为 ( ) A . 1∶3 B . 1∶3 C . 1∶33 D . 1∶9 答案 C 7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边 形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，

底面周长为3，则这个球的体积为 ． 答案 3 4π 8. （2007天津理?12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 答案 14π 9.（2007全国Ⅱ理?15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm 的球面上。如果正四 棱柱的底面边长为1 cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2. 答案 2+ 10.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P ABCDEF -，则此正六棱 锥的侧面积是________． 答案 11.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考） 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个 球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中 三角形(正四面体的截面)的面积是 . 答案 12.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．π3 B ．π2 C ．316π D ．以上都不对 答案C 13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233 ，则它的外接球的表面积为（ ） A ．π38 B ．2π C ．4π D ．π3 4 答案C 1 ．（2012新课标理）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为 1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ） F

三棱锥外接球问题

三棱锥外接球问题 河北师范大学实验中学 秦琳 摘要:三棱锥外接球问题是高考热点，也是难点，常见的椎体外接球问题是有固 定方法的，本文做了一些总结。 关键字：三棱柱，外接球，高考题 引入语: 近几年三棱锥外接球问题，经常出现在高考题中，本文就常见的几种题型做一些介绍，希望对同学们有所帮助。 (2011年全国高考题)（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为 ()A 6 ()B 6 ()C 3 ()D 2 【解析】选A ABC ?的外接圆的半径3 r =O 到面ABC 的距离3d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2d = 此棱锥的体积为11233ABC V S d ?=?==此解法充分利用了球当中的性质：每一个截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面圆所在平面。下面就几个例题简单总结一下三棱锥外接球问题。 1.(2010辽宁11)已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥， 1SA AB ==，BC ，则球O 表面积等于 选A （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 【解析】该椎体可以补成一个长方体，而长方体的体对角线就是外接圆的直径，所以可轻松

得解。 解：14 2112=++=R ππ442==R S 球 练一练：将边长为2的正ABC ?沿BC 边上的高AD 折成直二面角B AD C --，则三棱锥B ACD -的外接球的表面积为 ． 答案：5π 说明：对于直角四面体和双垂四面体，都可以补成长方体或正方体，再利用体对角线是外接球直径这一性质求解。 2. 点A 、B 、C 、D 均在同一球面上，其中△ ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6则该球的体积为 。 解析：由于有一条棱垂直于底面，所以该棱柱可以补成一个直三棱柱，而直三棱柱的外接球的球心正好是三棱柱中截面的外接圆圆心。 答案：π332 说明：对于能补成直三棱柱的三棱锥外接球问题皆可用此法解。 3.正四面体BCD A -的边长为2，求该四面体外接球的表面积 。 解析：正四面体可以看成是有一个正方体的四条对角线构成的，所以它的外接球与正方体的外接球是同一个，从而轻松得解。 解：若对角线为2，则边长为2，体对角线为6，球半径为2 6，表面积为π6。 另解： 33 2=ED ,362344=- =AE = ?-+=OD OD AE ED OD 22)(26 =∴球S π6 此法对于顶点在底面的射影是地面三角形的外心的三棱锥外接球问题皆可用。