弹塑性力学讲义应力

第1章 应 力

1. 1 应力矢量

物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为?S ，作用在微面上的内力合力为?F ，则该微面上的平均内力集度为?F /?S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为

T (n ) =S

F s ???0

lim

→

B

?S

A

C

P

n

?F

x

y

z

图1.1 应力矢量定义

在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为

T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z

（1.1）

式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。

上篇弹性力学第1章应力

8

除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。实际应用

中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。

显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。所有这些应力矢量构成该点的应力状态。

由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为：

T(-n)= -T(n) （1.2）

1.2 应力张量

人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。因此有三个正面和三个负面。

图1.2 一点的应力状态

上篇 弹性力学 第1章 应力

9

考察作用在法线为e x ，e y 和e z 三个正面上的应力矢量T (e x )、T (e y )和T (e z )，每个应力矢量沿空间坐标轴e x ，e y 和e z 有三个分量，其中一个分量垂直于作用面，是正应力，两个分量平行于作用面，是剪应力，于是 T (e x )＝σx e x +τxy e y +τxz e z T (e y )＝τyx e x +σy e y +τyz e z （1.3）

T (e z )＝τzx e x +τzy e y +σz e z

三个应力矢量共9个分量，构成应力张量在笛卡儿坐标系下的9个分量

????

??

??

??στττστττσz

zy zx yz y yx xz xy x

对角上的元素是正应力，非对角上的元素是剪应力，剪应力有两个下标，前一个下标代表作用面的法线方向，后一下标代表力的作用方向。

在使用张量表述的教科书里，下标x 、y 、z 往往用1、2、3取代，九个应力分量常记为：

????

??????σσσσσσσσσ=σ333231232221131211 ij

应力正、负号规定是：正面上的应力若指向坐标轴正方向为正，否则为负；负面的应力若指向坐标轴负方向为正，否则为负。这个规定正好反映了作用力与反作用力定律。图1.2中的应力均为正值。式（1.3）使用张量可以表示为

T (e i )＝σik e k

（1.3a ）

应当指出：物体内各点的应力状态，一般说来是不同的，为非均匀分布，即各点的应力分量应为空间坐标x 、y 、z 的函数。所以，应力张量σij 与给定的空间位置有关，提及应力张量总是针对物体中的某一确定点而言的。从下节中我们将知道，应力张量σij 完全确定了一点的应力状态。

1.3 Chauchy 公式（斜面应力公式）

一点的应力状态中，若已知三个互相垂直面上的应力矢量，其它任意一斜面上

上篇 弹性力学 第1章 应力

10 的应力矢量可从该点的平衡条件中导出。

图1.3所示的微四面体由三个负面和一个斜面组成，设斜面的外法线单位矢量为

n ＝l e x +m e y + n e z

（1.3b ）

斜面?ABC 的面积为dS ，则三个负面的面积分别是

?BOC = ldS ?AOC = mdS ?AOB = ndS

四面体的体积为

dV =

3

1dh dS

式中dh 是四面体的高。

n

T (-e )

T (-e )

T (-e )

T (n )

e x

y e O

A

B

C

z

x z e y

x

y

z

图1.3 四面体上的应力矢量

由微四面体的平衡条件得：

T (n )dS +T (-e x )ldS + T (- e y )mdS + T (- e z )ndS +X

3

1dh dS =0

式中X 是单位体积力矢量，T (-e x )、T (-e y )和T (-e z )分别是法向为-e x ，-e y 和-e z 微面上的应力矢量。上式中的最后一项是比前面项高一阶的小量，可忽略不计，考虑式（1.2），上式可表示为

T ( n )＝T (e x )l +T (e y )m +T (e z )n

（1.4）

这就是著名的Chauchy 公式，又称为斜截面应力公式，其实质是微四面体的平衡条

上篇 弹性力学 第1章 应力

11

件。

将斜面应力矢量T ( n )沿坐标轴方向分解

T ( n )＝T x e x +T y e y +T z e z

（1.5）

注意：T x 、T y 、T z 是T (n )沿坐标轴方向的分量，一般不是斜截面上的正应力和剪应力。将式（1.3）和式（1.5）代入式（1.4），则式（1.4）可用分量的形式表示为 T x ＝σx l +τyx m +τzx n T y ＝τxy l +σy m +τzy n （1.6）

T z ＝τxz l +τyz m +σz n

若下标x 、y 、z 用1、2、3取代，而l 、m 、n 用n 1、n 2、n 3代替，式（1.4）和式（1.6）的张量形式分别就是 T ( n )＝n i T (e i ) （1.7a ）

T j = n i σij 或 T ( n )=n ?σ

（1.7b ） 式中“?”是张量点积符号，见附录1。

Chauchy 公式有两个重要的应用。

（1）求斜截面的各种应力。斜截面上的正应力σn 是应力矢量T (n )沿其法线方向的投影，考虑到式（1.3a ）和式（1.5），因此有

σn =T (n )?n = T x l + T y m + T z n

（1.8a ）

将式（1.6）（或式（1.7））代入式（1.8a ）得：

σn ＝σx l 2+σy m 2+σz n 2+2τxy lm +2τyz mn +2τzx nl

＝σij n i n j

（1.8b ） 上式中使用了后面的剪应力互等定理式（1.11）

利用式（1.5）可以算出斜截面应力矢量的大小，为

2

2

2

)(z y x T T T ++=

n T

斜截面上的剪应力分量是

2

2

)

(n n n T σ-=

τ

（2）确定力边界条件（见1.5节）。

例1-1 在物体内的一点，应力张量是

上篇 弹性力学 第1章 应力

12 []

????

??????--=504030401 ij

σ 求在3212

12

12

1e e e n +

-

=

面上的法向正应力和切向剪应力。

解： 利用式（1.7）求该斜面上应力矢量的三个坐标分量是

3132121111σ+σ+σ=n n n T )

4(2

1021121-?+

?-

?==2

22

1-=

2

30213210213232221212-

=?+

?-?=

σ+σ+σ=n n n T

2

25252

102

1)4(2

133********+

-=?+

?-

-?=

σ+σ+σ=n n n T

该斜面上的正应力为

2227

2252212321

)222

1(213

32211-=???

? ?

?+

-?+??? ??-?-

-?=++=σn T n T n T N

该斜面上的剪应力为

2

48272

12

3

32

22

1+=

σ=

N －＋＋T T T S

1.4 平衡方程

物体处在平衡状态，其内部的每一点都应处在平衡状态。使用一个微六面体代表物体内的一点，则作用在该微六面体上的所有力应满足平衡条件，由此我们可推导平衡微分方程。

如图1.4所示的微六面体，取直角坐标系的坐标轴与边重合，各边的长度分别为dx 、dy 、dz 。在微六面体x =0的面上，应力是σx 、τxy 、τxz ；在x=dx 面上的应力，根据应力函数的连续性并按Taylor 级数相对x =0的面展开，略去高阶项，它应是

dx

x

dx x

dx x

?τ?+

τ?τ?+

τ?σ?+

σxz xz xy xy x x 、、

上篇 弹性力学 第1章 应力

13

同理，可由y=0，z=0面上的应力表示y=dy ，z=dz 面上的应力。最后，所有各面上的应力如图1.4所示。

图1.4 微单元体的平衡

考虑微单元体沿x 方向的平衡，可得：

dxdz dxdz dy y dydz dydz dx x yx yx yx x x x τ-???

? ???τ?+τ+σ-???

???σ?+σ

0=+τ-??

?

???τ?+τ+Xdxdydz

dxdy dxdy dz z zx zx zx

整理上式并除以微单元体的体积dxdydz ，得：

0=+?τ?+?τ?+?σ?X z

y

x

zx yx x

（1.9a ）

同理，建立y 、z 方向的平衡条件，可得：

0=+?τ?+?σ?+?τ?Y z

y

x

zy y xy

（1.9b ）

上篇 弹性力学 第1章 应力

14

0=+?σ?+

?τ?+

?τ?Z z

y

x

z yz xz （1.9c ）

式（1.9）就是弹性力学的平衡微分方程。注意式（1.9）中X 、Y 、Z 是单位体积里的体积力矢量X 沿x 、y 、z 方向上的分量，即

X ＝X e x +Y e y +Z e z

（1.10）

考虑图1.4中微单元体的力矩平衡。对通过形心C 点平行于z 方向的轴取矩。凡作用线通过C 点或方向与z 轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零，于是力矩平衡方程在略去高阶项后只剩两项

(τxy dydz )dx -(τyx dxdz )dy =0

由此可得：

τxy ＝τyx

（1.11a ）

同理，对沿x 和y 方向的形心轴取矩得： τyz =τzy τxz = τzx

（1.11b ）

这就是剪应力双生互等定理。这个定理以后将经常被使用，使用时不再单独说明。

下面从物体整体平衡的角度推导平衡微分方程。从物体中任意截取一个脱离体Q ，它的边界为Γ，在Q 内部作用有体积力矢量X ，在边界Γ上作用有应力矢量T (n )。脱离体静力平衡要求作用在它上面的合力应为零，即

()0=+?

?Q

X n T dQ d Γ

Γ （1.12a ）

将式（1.4）代入上式，得：

[]

0)()()(=+

++??Q

z y x

X e T e T e

T dQ d n m l Γ

Γ

（1.12b ）

使用散度定理式（A2.19），式（1.12b ）可写成

???

?

???+??+??+??Q X e T e T e T dQ z y x z y x )()()(=0 由于脱离体Q 是任意的，因此

X

e T e T e T +??+??+??z

y

x

z y x )()()(= 0 （1.12c ）

将式（1.3）和式（1.10）代入上式，我们有

上篇 弹性力学 第1章 应力

15

???? ??+?τ?+?τ?+?σ?X z y x zx yx x e x +????

??+?τ?+?σ?+?τ?Y z y x zy y xy

e y +???

?

??+?σ?+?τ?+?τ?Z z y x z yz xz e z

=0 上式就是平衡微分方程式（1.9）的矢量表示形式。

脱离体静力平衡还要求：作用在它上面的所有力相对任意一点的合力矩为零。例如对坐标原点取矩，则有：

()0=?+

??

?

Q

X r n T r dQ d Γ

Γ （1.13）

式中r 是力作用点到坐标原点的距离。采用类似上面的推导，上式的第一个积分是

()[]??

?+?+?=

?Γ

Γ

ΓΓd n m l d )()()(z y x

e T r e T r e

T r n T r

=[]

[][]??

??

?

?

????+

???+???Q

e T r e T r e T r dQ z y

x

z y x )()()( 将上式代回式（1.13），并考虑到平衡微分方程式（1.12c ），则有 0

)()()(=???+

???+

???z y x z

y

x

e T r e T r e T r

考虑到x

??r = e x ，

y

??r = e y ，

z

??r = e z ，结合式（1.3），上式将导出

e x (τyz -τzy )+ e y (τxz -τzx )+ e z (τxy -τyx ) = 0

这就是剪应力双生互等定理式（1.11）的矢量表示形式。

式（1.11）说明应力张量是对称的，即σij ＝σji 。平衡方程的张量表示是 σij,i +X j = 0 （1.14）

其中

3

32

21

1,x x x j j j i ij ?σ?+?σ?+?σ?=

σ

1.5 力边界条件

力边界条件系指边界各点的应力应满足的关系。如图1.5中的A 点，已知该点的外法线为n ，在其上作用单位面力矢量为X ，该点应力分量σij 的值尚为未知。对于该点，相当于其应力状态中已知一斜面上的应力矢量，即：T ( n )＝X 。使用X 、

上篇 弹性力学 第1章 应力

16 Y

、Z 表示X 沿三个坐标轴的分量，对照Chauchy 公式（1.6），则该点三个与坐标

方向平行的三个面上的应力分量应满足下式：

σx l +τyx m +τzx n ＝X （1.15a ） τxy l +σy m +τzy n ＝Y （1.15b ）

τxz l +τyz m +σz n ＝Z

（1.15c ）

式中l 、m 和n 是法线矢量n 在三个坐标轴上的投影分量。

在使用张量表述的教科书中，面力矢量的分量X 、Y 、Z 使用1X 、2X 、3X 表示，对照式（1.7），边界条件使用张量形式可表示为

n i σij =j

X

（1.16）

力边界条件实质上是物体边界点的平衡条件。

例1-2 如图1.6所示的楔形体受水压力作用，水的容重为γ，试写出边界条件。 解： 在直边x =0上，

l = -1，m =0，y X γ=，0=Y

代入边界条件式（1.15）

(σx )x=0? (-1) +(τyx )x =0?0 = γy (τxy )x =0? (-1) +(σy )x =0?0 = 0

得：

(σx )x =0= -γy (τxy )x =0? 在斜边上

l = cos α，m = -sin α, 0=X ，0=Y ， 代入式（1.15），得斜边的边界条件是：

σx cos α - τyx sin α = 0 τxy cos α- σy sin α = 0

上篇 弹性力学 第1章 应力

17

1.6 应力分量的坐标变换

新、旧坐标系的单位基矢量分别为'

x e '、'y e '、'z e '和e x 、e y 、e z ，它们之间具有如下关系：

'

x e '= l 1e x +m 1e y + n 1e z 'y e '= l 2e x +m 2e y + n 2e z 'z e '= l 3e x +m 3e y + n 3e z

（1.17a ）

式中l i 、m i 、n i （i =1，2，3）是新坐标系单位基矢量与旧坐标系单位基矢量之间夹角的余弦，为清楚起见，将它们的对应关系列于下表：

下面求新、旧坐标中应力分量的变换关系。把新坐标系的三个正截面分别看作是旧坐标系中的斜截面。例如，对于新坐标系某一个正截面，其法线矢量为'x e '，该截面上的应力矢量T ('

x e ')在旧坐标下使用分量表示为

T ('

x e ')=T x e x +T y e y + T z e z （1.17b ）

应用Chauchy 公式（1.6），这三个分量为 T x ＝σx l 1+τyx m 1+τzx n 1 T y ＝τxy l 1+σy m 1+τzy n 1 （1.17c ）

T z ＝τxz l 1+τyz m 1+σz n 1

T ('x e ')在新坐标下的三个分量分别就是法线为'x e '截面上的正应力和剪应力分量，使用上式和式（1.17a ），有

x 'σ＝T ('x e ')?'x e '＝T x l 1+T y m 1+T z n 1

上篇 弹性力学 第1章 应力

18 y x ''τ＝T ('x e ')?'y e '＝T x l 2+T y m 2+T z n 2

z x ''τ＝T ('

x e ')?'z e '＝T x l 3+T y m 3+T z n 3 将式（1.17c ）代入上式，则得：

1111112

12

12

1222l n n m m l n m l zx yz xy z y x x τ+τ+τ+σ+σ+σ=σ'

y x ''τ＝σx l 1l 2+σy m 1m 2+σz n 1n 2+τxy (l 1m 2+ l 2m 1)+ τyz (m 1n 2+ m 2n 1)+ τzx (n 1l 2+ n 2l 1)

z x ''τ＝σx l 1l 3+σy m 1m 3+σz n 1n 3+τxy (l 1m 3+ l 3m 1)+ τyz (m 1n 3+ m 3n 1)+ τzx (n 1l 3+ n 3l 1)

（1.18）

式（1.18）的三个式子用矩阵可表示为 ()'''''

z x y x x ττσ

＝(l 1 m 1 n 1) [σ] [β]

T

其中

[σ]＝????

?

???

??σ

τττστττσz zy zx

yz

y yx xz

xy x [β] ＝???

?

??????333222111n m l n m l n m l

后者是新旧坐标的变换矩阵。

采用类似的方法，可导出新坐标系其它两个正截面上的应力，为 ()''''

'z y y x y τστ

＝(l 2 m 2 n 2) [σ] [β]T

()''''

'z y z x z σττ

＝(l 3

m 3 n 3) [σ] [β]T

最后，新旧坐标的应力可表示为

[σ']＝???

?

?

?????στττστττσ'''''''''''''''z y z x z z y y x y z x y x x ＝[β] [σ] [β]T

（1.19）

下面采用张量分析的方法导出新、旧坐标中应力分量的变换关系。新、旧坐标系单位基矢量之间的关系可由张量表示为

''''m i m i i i m m

e e e e 'β=β=' （1.20）

式中

上篇 弹性力学 第1章 应力

19

),(cos ''i m' e e e e i m

i m '=?'=β 是'm e '在e i 上的投影，或'm e '与e i 轴的夹角余弦，i m 'β≠m i 'β。

应用Chauchy 公式（1.7），新坐标系中法线矢量为'm e '的正截面上的应力矢量可使用旧坐标中应力分量表示为

T ('m e ')＝i m 'βT (e i ) = i m 'βσik e k

（1.21）

该面上的应力矢量在新坐标系下的分量是：

''n m σ= T ('m

e ')?'n e ' 将新旧坐标变换关系式（1.20）和式（1.21）代入上式，则

''n m σ= T ('m

e ') ?j j n e 'β =j n i m ''ββσik e k ? e j =j n i m ''ββσij （1.22）

上式是应力分量在坐标变换时应遵守的法则。

顺便指出：凡是一组9个分量σij ，在坐标变换时服从上式给出的法则，就称为二阶张量。

1.7 主应力、应力张量不变量

根据Chauchy 公式，给定一点的应力状态，即σij 已知，各斜截面上的应力矢量T ( n )随斜截面法线方向n 而改变。根据材料力学知识，在所有的斜截面中存在这样的面，该面上只有正应力作用，而剪应力为零，即该面上的应力矢量T ( n )只有沿法线方向的分量。下面求这个斜截面的单位法线矢量n 以及该面上的正应力σ。

根据上面的描述，应有：

T ( n )＝σ n 或 T x ＝σl T y ＝σm T z ＝σn

式中l 、m 、n 是n 在三个坐标轴上的投影，将上式代入式（1.6）并整理，得：

(σx -σ)l +τyx m +τzx n ＝0 τxy l +(σy -σ)m +τzy n ＝0 （1.23）

τxz l +τyz m +(σz -σ)n ＝0

上式是关于l 、m 、n 的齐次方程，由于

l 2 + m 2 + n 2 = 1

（1.24）

因此，l 、m 、n 不可能同时为零，即方程式（1.23）应有非零解。欲使该方程有非零解，则要求其系数矩阵行列式为零

上篇 弹性力学 第1章 应力

20 σ

-στττσσ

τττσσz zy zx yz

y

yx xz xy x - -=0

展开可得一个一元三次方程，该方程数学上称为特征方程：

σ3-I 1σ2

+ I 2σ-I 3=0

（1.25）

式中I 1，I 2，I 3分别为

I 1=σx +σy +σz =σkk

I 2=σx σy +σx σz +σy σz -(2

22zx yz xy τ+τ+τ) =

2

1(21I -σij σij )

（1.25a ）

I 3=z

zy zx yz y yx xz

xy x στττστττσ =ij σ

解特征方程式（1.25），可得三个特征根σ1、σ2、σ3，这三个特征根被称之为主应力。将这三个主应力分别代回方程式（1.23），由于系数矩阵的行列式为零，式（1.23）中只有两个方程是独立的，结合方程式（1.24），可求得三组解l (i)、m (i)、n (i)（i=1,2,3）。这三组解分别代表三个主应力所在斜截面的法线方向，这三个方向称为主方向，这三个斜截面称为主平面。沿三个主方向的直线通常称为主轴。

下面证明主应力的三个重要性质。 （1）I 1，I 2，I 3的坐标不变性

由任意其它坐标系下的应力分量求主应力。该任意坐标系使用“'”标识，则有类似于式（1.23）的方程存在

(σx '-σ)l +τ y 'x 'm +τ z 'x 'n ＝0

τ x 'y 'l +(σy '-σ)m +τ z 'y ' n ＝0

τ x 'z 'l +τ y 'z ' m +(σz '-σ)n ＝0

特征方程为

032

2

13

='-σ'+σ'-σI I I （1.26）

其中 1I '= σx '+σy '+σz '

2

''2

''2

''''''''2

z y z x y x z y z x y x σ-τ-τ-σσ+σσ+σσ='I

上篇 弹性力学 第1章 应力

21

3

I ' ='

''''''''''

''''z y z x z z y y x y z x y x x στττστττσ 由于主应力即问题的特征根σ与坐标选择无关，带“'”坐标系下特征方程与不带“'”坐标系下特征方程应有相同解，因此要求方程（1.25）和方程（1.26）有相同的系数

3322

11I I I I I I ='='=' 上式说明：I 1，I 2，I 3的大小与坐标的选取无关，因此是坐标不变量。 （2）主方向相互垂直

考虑两个不同的主应力σl 和σk ，对应的主方向为l (l)、m (l )、n (l )和l (k )、m (k )、n (k )，由方程式（1.23）有

σx l (l) +τyx m (l )+τ zx n (l )＝σ(l ) l (l) τxy l (l)

+σy m (l )

+τ zy n (l )

＝σ(l )

m (l )

（1.27a ）

τxz l (l)+τ yz m (l )+σz n (l )＝σ(l ) n (l )

以及

σx l (k) +τyx m (k )+τ zx n (k )＝σ(k) l (k) τxy l (k)+σy m (k )+τ zy n (k )＝σ (k)m (k ) （1.27b ）

τxz l (k)

+τ yz m (k )

+σz n (k )

＝σ(k)

n (k )

将（1.27a ）三个方程的两边分别乘以l (k )、m (k )、n (k )，然后对应相加，再将（1.27b ）三个方程的两边分别乘以l (l )、m (l )、n (l )，然后对应相加，最后将两个结果相减，得：

(σl -σk ) (l (l)l (k )＋m (l ) m (k )＋n (l )n (k )）＝0

由于σl -σk ≠0，故要求

l (l)l (k )

＋m (l )

m (k )

＋n (l )n (k )

＝0。

对于主应力相等的情况。？？？

（3）极值性

最大（最小）主应力是该点任意截面上正应力的最大（最小）者。其证明可参见本章第1.9节Mohr 应力圆。

例1-3 证明 T (e x )? T (e x )+ T (e y )?T (e y )+ T (e z )?T (e z )=22I I 21- 证：将式（1.3）代入等式左边，得：

上篇 弹性力学 第1章 应力

22 等式左边=2

22222222z zy zx yz y yx xz xy x σ+τ+τ+τ+σ+τ+τ+τ+σ

=2

22222222zx yz xy z y x τ+τ+τ+σ++σ+σ

利用式（1.25a ），则得

等式右边= (σx +σy +σz )2 -2[σx σy +σx σz +σy σz -(2

22zx yz xy τ+τ+τ)]

=2

22222222zx yz xy z y x τ+τ+τ+σ++σ+σ

因此可证。

1.8 最大剪应力

设三个主应力及主方向已知，求最大剪应力。以三个主方向为坐标方向，如图1.7所示，根据Chauchy 公式（1.14），在法线为n 的斜截面上，其应力矢量为

T ( n )＝T (e 1)l +T (e 2)m +T (e 3)n ＝l σ1e 1 + m σ2e 2 + n σ3e 3

（1.28）

式中T (e 1)、T (e 2)、T (e 3)是三个主平面上的应力矢量，e 1、e 2、e 3是三个主方向上的单位矢量，l 、m 、n 是斜截面法线n 与三个主方向的夹角余弦。

n

x 1

T (n )

σ1

σ3

σ2

σn

x 2

x 3

τe 1

e O

3

e 2

n

图1.7 斜截面上的应力

该斜截面上的正应力是

上篇 弹性力学 第1章 应力

23

σn = T ( n )?n =l 2

σ1+ m 2

σ2 + n 2

σ3

（1.29）

由式（1.28），可得应力矢量的模为

2

T

= (l σ1)2+( m σ2)2+( n σ3)2

（1.30）

斜截面上的剪应力2

2

2

n n T σ-=τ，利用式（1.29）和式（1.30）

，因此有

2

n τ= (l σ1)2

+( m σ2)2

+( n σ3)2

－(l 2

σ1+ m 2

σ2 + n 2

σ3)

2

经整理得

2

n τ＝l 2m 2(σ1－σ2)2+ m 2n 2 (σ2－σ3)2 + n 2l 2(σ3－σ1)2

（1.31）

当斜截面方向l 、m 、n 变化时，剪应力τn 随之变化。求上式的极值可得最大剪应力，注意l 、m 、n 应满足约束条件式（1.24）。

引进拉格朗日乘子，上述条件极值就等价于求函数

F =2n

τ

- λ( l 2

+m 2

+n 2

-1) 的极值，相应的极值条件为

=??l

F

0=??m

F

=??n

F 以及

=λ

??F

由此可得剪应力的六个极值及其所在面的法线方向，见下表

上篇 弹性力学 第1章 应力

24

从上表可知，前三个极值所在平面是主平面，这些面上的剪应力为0，2n

τ取最小值，这并不是我们关心的。设σ1≥σ2≥σ3，从上表可知，最大剪应力是

2

3

1max σ-σ=

τ （1.32）

所在的平面与中主应力（σ2）平行而与最大主应力和最小主应力的角度分别为450

。

1.9 Mohr 应力图

根据式（1.29）和式（1.31），任一斜截面上的正应力σn 和剪应力τn 随斜截面法线方向余弦l 、m 、n 而变化，将每一个斜截面上的σn 和τn 使用σ-τ坐标系上的坐标点表示，所有这些坐标点所组成的图形称之为Mohr 图。下面研究Mohr 图的规律。

根据上一节的推导，在以主方向为坐标轴的坐标系里，法线为l 、m 、n 的任一斜截面上的正应力σn 和剪应力τn 应满足下面关系式：

2

2n n σ+τ=2

T

＝(l σ1)2+( m σ2)2+( n σ3)2

（1.33）

联立式（1.33）、式（1.24）和式（1.29）三个方程求解l 2、m 2、n 2，则有

l 2

＝

0)

)(())((3121322

≥σ-σσ-σσ-σσ-σ+τn n n

m 2

＝

)

)(())((1232132

≥σ-σσ-σσ-σσ-σ+τn n n

n 2

＝

0)

)(())((2313212≥σ-σσ-σσ-σσ-σ+τn n n

设σ1≥σ2≥σ3，上面三个式子可变为

2

3

22

3

22

)

2(

)2(σ-σ≥σ+σ-σ+τn n 2

1

32

1

32)

2

()2

(σ-σ≤σ+σ-

σ+τn n

上篇 弹性力学 第1章 应力

25

2

2

12

2

12

)

2

(

)2

(σ-σ≥σ+σ-

σ+τn n

由上面三个不等式可知：任意一斜面的应力σn 、τn 在σ-τ坐标系中，均落在σ1、σ2、σ3决定的三个圆上或者圆之间的阴影面积内，如图1.8所示。这三个圆称之为Mohr 应力圆，简称为Mohr 圆或应力圆。一个应力圆（例如σ1、σ3决定的应力圆）上各点的坐标则代表法线与某个主应力（σ2）方向平行面上的应力。因此，Mohr 应力图直观地描述了一点的应力状态及其主应力、最大应力的情况。

图1.8 应力圆

下面我们考虑一种特殊的应力状态，即平面应力状态

[σij ]=??

??

??????σττσ00000 y x yx xy

显然，z 轴是主轴，且该方向的主应力为零。考察微单元体与x -y 平面垂直的任意面上的应力情况，这个面的外法线为n =l 1e x +m 1e y ，如图1.9所示，有

l 1=cos θ m 1=sin θ n 1=0

与该面垂直的面的外法线是

l 2=-sin θ m 2=cos θ n 2=0 代入式（1.18）的前两个式子可得：

σn =σx cos 2

θ+σy sin 2

θ+2τxy sin θcos θ=

2

1(σx +σy )+

2

1(σx -σy )cos2θ+τxy sin2θ （1.34a ）

上篇 弹性力学 第1章 应力

26 τn = -(σx -σy )cos 2θ+τxy (cos 2θ-sin 2θ)= -

2

1(σx -σy )sin2θ+τxy cos2θ （1.34b ）

s

图1.9 平面应力状态中斜截面上的应力分量

我们现在设

H ＝

2

1(σx +σy ) R sin2α＝τxy R cos2α＝2

1(σx -σy )

于是，式（1.34）变成

σn = H + R cos(2α-2θ) （1.35a ） τn = R sin(2α-2θ)

（1.35b ）

从式（1.35）中消去2α-2θ，我们得到：

(σn -H )2+2n

τ= R 2 （1.36）

这就是平面应力状态的Mohr 圆，该圆的半径为

R =2

2)2

(

xy y

x τ+σ

-σ

而圆心为（H ，0），如图1.10所示，从中我们可以总结两点规律：

（1）应力圆上一点的两个坐标对应如图1.9所示微单元体中外法线为n =l 1e x +m 1e y 的面上的应力分量（σn ，τn ）；

（2）微单元体上的外法线矢量n 逆时针转θ，应力圆上对应的点应顺时针转2θ。 令式（1.34b ）中的τn = 0，可求出主方向的夹角为

y

x xy σ

-στ=

θ2arctan

21 （1.37）

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？

清华大学研究生弹塑性力学讲义 5弹塑性_弹性力学的基本方程与解法

弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交

应力状态——材料力学

土体应力计算 补充一、力学基础知识 材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。

二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性

三、基本假设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。） 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设

四、杆件变形的基本形式

五、内力?截面法?轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。

（1）截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 截面法

清华大学研究生弹塑性力学讲义 8弹塑性_塑性力学基本方程和解法

弹塑性力学 第七章塑性力学的基本方程与解法 一、非弹性本构关系的实验基础 拿一根工程上最常用的低碳钢的试件，在拉伸试验机上就可得到如图7.1所示的应力应变曲线。图中A为比例极限，当变形状态未超过A点时材料处于线弹性状态；B为弹性极限，AB段的变形虽然还是弹性的，即卸载时能按原来的加载曲线返回，但应力应变之间不再是线性关系。C，D分别为上、下屈服极限，超过C点后材料进入塑性变形状态，卸载时不再按原来的加载曲线返回，而且当载荷完全卸除后还有残余变形。由C到D是突然发生的，由于材料屈服引起应力突然下降，而应变继续增加。由D到H是一接近水平的线段，称为塑性流动段。对同一种材料D点的测量值比较稳定，而C点受试件截面尺寸、加载速率等影响较大。如果载荷在使材料屈服之后还继续增加，则进入图中曲线右部的强化段。即虽然材料已经屈服，但只有当应力继续增加时，应变才能继续增大。在图中b点之后，试件产生颈缩现象，最后试件被拉断。如果在塑性流动段的D′点，或强化段的H′点卸载，将能观测到沿着与OA平行的直线返回，当载荷为零是到达O′点或O′′点，即产生残余变形。 图7.1 低碳钢单向拉伸应力应变曲线 有些高强度的合金钢并没有象低碳钢那样的屈服段，其单向拉伸的应力应变曲线如图7.2所示。这种情况下屈服极限规定用产生0.2%塑性应变所对应的应力来表示，σ。 记为 0.2 图7.2 高强度合金钢单向拉伸应力应变曲线

第七章 塑性力学的基本方程与解法 如果以超过屈服极限的载荷循环加载，所得试验结果则象图7.3所示。在实验中还发现，对于某些材料（图7.4），如果在加载（拉伸）屈服后完全卸载到O ′′点，然后接着反向加载（压缩），则其反向屈服点对应的应力绝对值s σ′′不仅小于s σ′，而且小于初始屈服应力的绝对值σ′。这是德国的包辛格（Bauschinger, J.）最早发现的，称为包辛格效应。 图7.3 循环加载曲线示意图 图7.4 包辛格效应 当材料进入塑性状态后，如果不是单调加载，则应力和应变之间不仅不是单值函数的关系，而且当时的应变不仅和当时的应力有关，还和整个加载的历史有关。同样，当时的应力不仅和当时的应变有关，而且也和整个变形的历史有关。这就增加了问题的复杂性。材料的特性不能简单的用应力应变关系来描述，而要用比较复杂的本构关系，即应力和整个变形历史的关系来描述。 此外，在实际工程问题中经常遇到的材料非线性问题往往不是单向应力状态，即不是一维问题。要对三维问题单靠实验来确定应力张量和应变张量之间的关系几乎是不可能的。因此，在建立非线性本构关系时，除去不能脱离实验基础之外，还必须有基本理论的指导。 二、刚塑性与弹塑性本构模型 z 简化模型 对于低碳钢一类材料，如果承载后产生的变形状态一直达到塑性流动段，为了简化起见，略去应力应变曲线中的上、下屈服极限等细节，可得到由线弹性段和塑性流动水平线段组成的简化模型，称为理想弹塑性模型（图7.5a ）： s s s s E E σεεεσεσεε=≤??==>?当当 (1) 在金属成型等问题中，由于塑性流动引起的塑性应变较大，而弹性应变因相比较小而将其忽略，则又可进一步简化为只有水平线段的刚塑性模型（图7.5b ）：

弹塑性力学讲义简答题

研究生弹塑性考试试题 1. 简答题：（每小题2分） （1） 弹性本构关系和塑性本构关系的各自主要特点是什么？ （2） 偏应力第二不变量J 2的物理意义是什么？ （3） 虚位移原理是否适用于塑性力学问题？为什么？ （4） 塑性内变量是否可以减小？为什么？ （5） Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件是否适用于岩土材料？为什么？ （6） 解释：在应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ （7） π平面上的点所代表的应力状态有何特点？ （8） 举例说明屈服条件为各向同性的物理含义？ 2. 岩土材料若服从Drucker-Prager 屈服条件，试使用关联流动法则求塑性体积应变增量的表达式？（8分） 3. 试确定下面的平面应变状态是否存在？（6分） εx =Axy 2，εy =Bx 2y ，γxy =0，A 、B 为常数 4. 正方形薄板三边固定，另一边承受法向压力b x p p π-=sin 0，如图所示，设位移函数为 0=u b y b x a v 2sin sin 2ππ= 利用Ritz 法求位移近似解（泊松比ν=0）。（15分） y x a b A B C O （第4题图） （第5题图） 5. 如图所示的矩形薄板OABC ，OA 边与BC 边为简支边，OC 边与AB 边为自由边。板不受横向荷载，但在两个简支边上受大小相等而方向相反的均布弯矩M 。试证，为了将薄

板弯成柱面，即w =f (x )，必须在自由边上施加以均布弯矩νM 。并求挠度和反力。（15分） 6. 如图所示矩形截面梁受三角形分布荷载作用，试检验应力函数 ?=Ax 3y 3＋Bxy 5＋Cx 3y ＋Dxy 3＋Ex 3＋Fxy 能否成立。若能成立求出应力分量。（15分） （第6题图） 7. 8. 一材料质点处在平面应变状态下（εz =0），若假定材料的弹性变形相对其塑性变形较小可 忽略，应力应变关系服从Levy-Mises 增量理论，即d εij =d λs ij ，且材料体积是不可压缩的，试证明 σz =2 1(σx +σy ) 进一步证明在此情况下，Tresca 屈服条件和Mises 屈服条件重合。（10分）

第二章应力状态 弹塑性力学基本理论及应用_刘土光

第二章 应力状态理论 2.1 应力和应力张量 在外力作用下，物体将产生应力和变形，即物体中诸元素之间的相对位置发生变化，由于这种变化，便产生了企图恢复其初始状态的附加相互作用力。用以描述物体在受力后任何部位的内力和变形的力学量是应力和应变。本章将讨论应力矢量和某一点处的应力状态。 为了说明应力的概念，假想把受—组平衡力系作用的物体用一平面A 分成A 和B 两部分(图2.1)。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应代之以B 部分对A 部分的作用力。这种力在B 移去以前是物体内A 与B 之间在截面C 的内力，且为分布力。如从C 面上点P 处取出一包括P 点在内的微小面积元素S ?，而S ?上的内力矢量为F ?，则内力的平均集度为F ?／S ?，如令S ?无限缩小而趋于点P ，则在内力连续分布的条件下F ?／S ?趋于一定的极限σ，即 σ=??→?S F S 0lim 这个极限矢量σ就是物体在过c 面上点P 处 的应力。由于S ?为标量，故，σ的方向与F ?的 极限方向一致。内力矢量F ?可分解为所在平面 的外法线方向和切线方向两个分量n F ?和s F ?。 同样，应力σ可分解为所在平面的外法线方向 和切线方向两个分量。沿应力所在平面 的外法线方向n 的应力分量称为正应力，记为n σ，沿切线方向的应力分量称为切应力，记为 n τ。此处脚注n 标明其所在面的外法线方向，由此， S ?面上的正应力和切应力分别为n σ和n τ。 在上面的讨论中，过点P 的平面C 是任选的。显然，过点P 可以做无穷多个这样的平面C ，也就是说，过点P 有无穷多个连续变化的n 方向。不同面上的应力是不同的。这样，就产生了如何描绘一点处的应力状态的问题。为了研究点P 处的应力状态，在点P 处沿坐标轴x ，y ，z 方向取一个微小的平行六面体(图2.2)，其六个面的外法线方向分别与三个坐标轴的正负方向重合，其边长分别为x ?，Δy ，Δz 。假定应力在各面上均匀分布，于是各面上的应力便可用作用在各面中心点的一个应力矢量来表示，每个面上的应力矢量又可分解关一个正应力和两个切应力分量，如图2.2所示。以后，对正应力只用一个字母的下标标记，对切应力则用两个字母标记*其中第一个字母表示应力所在面的外法线方向；第二个字母表示应力分量的指向。正应力的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。切应力的正负号规定分为两种情况：当其所在面的外法线与坐标轴的正方向一致时，则以沿坐标轴正方向的切应力为正，反之为负；当所在面的外法线与坐标袖的负方向一致时，则以沿坐标轴负方向的切应力为正，反之为负。图2.2中的各应力分量均 图2.1 应力矢量

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题

弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？

材料力学习题册答案-第7章+应力状态

第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥

材料力学B试题7应力状态_强度理论

(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa

由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e

弹塑性力学总结读书报告

弹塑性力学读书报告 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究可变形固体变形规律的一门学科。研究可变形固体在荷载（包括外力、温度变化等作用）作用时，发生应力、应变及位移的规律的学科。它由弹性理论和塑性理论组成。弹性理论研究理想弹性体在弹性阶段的力学问题，塑性理论研究经过抽象处理后的可变形固体在塑性阶段的力学问题。因此，弹塑性力学就是研究经过抽象化的可变形固体，从弹性阶段到塑性阶段、直至最后破坏的整个过程的力学问题。弹塑性力学也是连续介质力学的基础和一部分。弹塑性力学包括：弹塑性静力学和弹塑性动力学。 弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。 1 基本思想及理论 1.1科学的假设思想 人们研究基础理论的目的是用基础理论来指导实践，而理论则是通过对自然、生活中事物的现象进行概括、抽象、分析、综合得来，在这个过程中就要从众多个体事物中寻找规律，而规律的得出一般先由假设得来，弹塑性力学理论亦是如此。固体受到外力作用时表现出的现象差别根本的原因在于材料本身性质差异，这些性质包括尺寸、材料的方向性、均匀性、连续性等，力学问题的研究离不开数学工具，如果要考虑材料的所有性质，那么一些问题的解答将无法进行下去。所以，在弹塑性力学中，根据具体研究对象的性质，并联系求解问题的范围，忽略那些次要的局部的对研究影响不大的因素，使问题得到简化。 1.1.1连续性假定 假设物体是连续的。就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。 1.1.2线弹性假定（弹性力学）

弹塑性力学讲义应力

第1章 应 力 1. 1 应力矢量 物体受外力作用后，其内部将产生内力，即物体本身不同部分之间相互作用的力。为了描述内力场，Chauchy 引进了应力的重要概念。对于处于平衡状态的物体，假想使用一个过P 点的平面C 将其截开成A 和B 两部分。如将B 部分移去，则B 对A 的作用应以分布的内力代替。考察平面C 上包括P 点在内的微小面积，如图1.1所示。设微面外法线（平面C 的外法线）为n ，微面面积为?S ，作用在微面上的内力合力为?F ，则该微面上的平均内力集度为?F /?S ，于是，P 点的内力集度可使用应力矢量T (n )，定义为 T (n ) =S F s ???0 lim → B ?S A C P n ?F x y z 图1.1 应力矢量定义 在笛卡儿坐标系下，使用e x ，e y 和e z 表示坐标轴的单位基矢量，应力矢量可以表示为 T (n ) = T x e x +T y e y +T z e z （1.1） 式中T x 、T y 和T z 是应力矢量沿坐标轴的分量。

上篇弹性力学第1章应力 8 除进行公式推导外，通常很少使用应力矢量的坐标分量T x、T y 和T z。实际应用 中，往往需要知道应力矢量沿微面法线方向和切线方向的分量，沿法线方向的应力分量称为正应力，沿切线方向的应力分量称为剪应力。 显而易见，应力矢量的大小和方向不仅取决于P点的空间位置，而且还与所取截面的法线方向n有关，即作用在同一点不同法线方向微面上的应力矢量不同。所有这些应力矢量构成该点的应力状态。 由应力矢量的定义并结合作用力与反作用力定律，在同一点，外法线为-n微面上的应力矢量为： T(-n)= -T(n) （1.2） 1.2 应力张量 人们讨论问题常常是在笛卡儿坐标中进行，因此，我们使用六个与坐标面平行的平面从图1.1中P点的邻域截取一个微六面体，如图1.2所示。在这个微六面体中，若微面的外法线方向与坐标正方向一致，则称为正面；若与坐标正方向相反，则称为负面。因此有三个正面和三个负面。 图1.2 一点的应力状态

材料力学应力状态

材料力学应力状态

关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。

σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取；

弹塑性力学 应力和应变之间的关系

我所认识的应力和应变之间的关系 在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系是满足胡克定律的一一对应的关系。在三维应力状态下描述一点处的应力状态需要9个分量，相应的应变状态也要用9个应变分量来表示。对于一个具体的理想弹性体来讲，如果在三维应力状态下，应力与应变之间仍然有线性一一对应关系存在，则称这类弹性体为线性弹性体。 所谓各向弹性体，从力学意义上讲，就是弹性体内的每一点沿各个方向的力学性质都完全相同的。这类线性弹性体独立的唐兴常数只有两个。 各向同性体本构关系特点：1.主应力与主应变方向重合。2.体积应力与体积应变成比例。 3.应力强度与应变强度成比例。 4.应力偏量与应变偏量成比例。工程应用中，常把各向同性弹性体的本构方程写下成11()11()11()x y z xy xy y x z yz yz z y x xz xz E G E G E G εσμσσγτεσμσσγτεσμσσγτ???=-+=???????=-+=???????=-+=???? ，式中分别为弹性模量、泊松比和剪切模量。在E G μ、、这三个参数之间，实际上独立的常量只有两个，它们之间存在关系为() 21E G μ=+。 屈服条件:弹性和塑性的最主要区别在于变形是可以恢复。习惯上，根据破坏时变形的大小把工程材料分为脆性材料和塑性材料两类。对于加载过程如图1 OA: 比例阶段；线性弹性阶段 AB: 非弹性变形阶段 BC ： 初始屈服阶段 s σσ≤ CDE ：强化阶段；应变强化硬化阶段 EF ： 颈缩阶段；应变弱化，软化阶段 s σσ≥ C 点为初始屈服点具有唯一性。在应力超过屈服应力后，如果在曲线上任意一点D 处卸 载，应力和应变之间将不再遵循原有的加载曲线规 律，而是沿一条接近平行于OA 的直线DO ’变化，直到应力下降为零，这时应变并不为零，即有塑性应变产生。如果用OD ’表示总应变ε，O ’D ’表示可以恢复的弹性应变e ε，OO ’表示不能恢复的塑性应变p ε，则有e p εεε=+，即总应变等于弹性应变加上塑性应变。若在卸载后重新加载，则曲线基本上仍沿直线O ’D 变化，直至超过D 点的应力之后，才会产生新的塑性变形。由此看来，在经过前次塑性变形后，屈服应力提高了，这种现象称为应变强化现象。为了与初始屈服相区别，我们把机箱发生新的塑性变形时的材料的再次屈服称为后

弹塑性力学讲义全套

弹塑性力学 弹塑性力学 绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。 弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方

jlu塑性力学复习题

塑性力学复习题 一、填空题 1．塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还和（加载历史）有关。 2．对一般金属，体积应变完全是（）的，静水压力不产生（）。它对屈服极限的影响（）。 3．下图是低碳钢作简单拉伸试验得到的应力—应变曲线。 （1）图中P点的纵坐标称为（），记作（）。Q点的纵坐标称为（），记作（）。对应于R点的应力称为（），对应于SA的应力称为（）。一般把（）称为屈服极限，以（）表示。 σ阶段，服从（）。 （2）在σ≤ s （3）σ—ε曲线的ABF段称为（）。 （4）卸载时卸掉的应力σ'与恢复的应变ε'之间也应当服从（）。 （5）经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了，屈服极限提高了。这种现象称为（）。 （6）σ—ε曲线至F点后开始下降，这是由于在F点处试件已开始出现（）现象。 ε=（）， 4．八面体面上的正应变为 8 γ（）。 剪应变为= 8 σ=（）。 5．用主应力表示的等效应力（或应力强度）为： i 用六个应力分量表示的等效应力（或应力强度）为： σ=（）。 i 6．用主应力表示的等效剪应力（或剪应力强度）为：T = （）。 用六个应力分量表示的等效剪应力（或剪应力强度）为： T = （）。 μ=（）。 7．应力状态的Lode参数为： σ ε=（）。 8．用主应变表示的等效应变（或应变强度）为： i 用六个应变分量表示的等效应变（或应变强度）为： ε= （）。 i 9．用主应变表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：Γ=（）。 用六个应变分量表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：

Γ=（ ）。 10．表示应变状态特征的Lode 参数为：εμ=（ ）。 11．第一应力不变量为：1I =（ ）=（ ）。 第二应力不变量为：2I =（ ）=（ ）。 第三应力不变量为：3I =（ ）=（ ）。 12．第一应变不变量为：1I '=（ ）=（ ）。 第二应变不变量为：2I '=（ ）=（ ）。 第三应变不变量为：='3I （ ）=（ ）。 13．应力偏张量的第一不变量为：=1J （ ）。 应力偏张量的第二不变量为：2J =（ ） =（ ）。 应力偏张量的第三不变量为：3J =（ ）=（ ）。 14．应变偏张量的第一不变量为：='1J （ ）。 应变偏张量的第二不变量为：='2 J （ ） =（ ）。 应变偏张量的第三不变量为：3J '=（ ）=（ ）。 15．在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界叫做（ ）。 16．主应力按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为（ ）。 17．主应力不按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为 （ ）。 18．用应力偏张量的第二，第三不变量表示的Tresca 屈服条件为： （ ）。 19．Mises 屈服条件为（ ） 或（ ）。 二、判断题（如果题中的说法正确，就在后面的括号里填“√”反之填“×”） 1．塑性应变和应力之间具有一一对应的关系。（ ） 2．进入塑性状态后，应力与应变之间呈非线性关系。（ ）。 3．一个已知应力状态（σ1，σ2，σ3）对应π平面上唯一的点S 。反之，π平面上的一点S 也唯一地确定它所代表的原始应力状态。（ ） 4．如果以单向拉伸得到的σ为基础，则Mises 屈服条件和Tresca 屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，（ ）在纯剪切时二者差异最大，约为15％。（ ） 三、选择题（只能选一个答案） 1．如果规定σ1≥σ2≥σ3，则最大剪应力为（ ）： a ．22 1max σστ-=； b ．231max σστ-=； c ．2 32max σστ-=。 2．单向拉伸（0,0321==>σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 3．纯剪切（312,0σσσ-==）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 4．单向压缩（0,0321<==σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。

塑性力学知识点13

《塑性力学及成形原理》知识点汇总 第一章绪论 1．塑性的基本概念 2．了解塑性成形的特点 第二章金属塑性变形的物理基础 1．塑性和柔软性的区别和联系 2．塑性指标的表示方法和测量方法 3．磷、硫、氮、氢、氧等杂质元素对金属塑性的影响 4．变形温度对塑性的影响；超低温脆区、蓝脆区、热脆区、高温脆区的温度范围 补充扩展： 1.随着变形程度的增加,金属的强度硬度增加,而塑性韧性降低的现象称为:加工硬化 2.塑性指标是以材料开始破坏时的塑性变形量来表示,通过拉伸试验可以的两个塑性 指标为:伸长率和断面收缩率 3.影响金属塑性的因素主要有:化学成分和组织、变形温度、应变速率、应力状态(变 形力学条件) 4.晶粒度对于塑性的影响为:晶粒越细小,金属的塑性越好 5.应力状态对于塑性的影响可描述为(静水压力越大)：主应力状态下压应力个数越 多，数值越大时,金属的塑性越好 6.通过试验方法绘制的塑性——温度曲线,成为塑性图 第三章金属塑性变形的力学基础 第一节应力分析 1．塑性力学的基本假设 2．应力的概念和点的应力状态表示方法 3．张量的基本性质 4．应力张量的分解；应力球张量和应力偏张量的物理意义；应力偏张量与应变的关系5．主应力的概念和计算；主应力简图的画法 公式（ ．．．3．-．14．．）应力张量不变量的计算 ．．．．．．．．．．．1 222 2 222 3 () 2() x y z x y y z z x xy yz zx x y z xy yz zx x yz y zx z xy J J J σσσ σσσσσστττ σσστττστστστ=++ =-+++++ =+-++

弹塑性力学试卷

一、问答题：（简要回答，必要时可配合图件答题。每小题5分，共10分。） 1、简述固体材料弹性变形的主要特点。 2、试列出弹塑性力学中的理想弹塑性力学模型（又称弹性完全塑性模型）的应力与应变表达式，并绘出应力应变曲线。 二、填空题：（每空2分，共8分） 1、在表征确定一点应力状态时，只需该点应力状态的-------个独立的应力分量，它们分别是-------。（参照oxyz直角坐标系）。 2、在弹塑性力学应力理论中，联系应力分量与体力分量间关系的表达式叫---------方程，它的缩写式为-------。 三、选择题（每小题有四个答案，请选择一个正确的结果。每小题4分，共16分。） 1、试根据由脆性材料制成的封闭圆柱形薄壁容器，受均匀内压作用，当压力过大时，容器出现破裂。裂纹展布的方向是：_________。 A、沿圆柱纵向（轴向） B、沿圆柱横向（环向） C、与纵向呈45°角 D、与纵向呈30°角 2、金属薄板受单轴向拉伸，板中有一穿透形小圆孔。该板危险点的最大拉应力是无孔板最大拉应力__________倍。 A、2 B、3 C、4 D、5 3、若物体中某一点之位移u、v、w均为零（u、v、w分别为物体内一点，沿x、y、z直角坐标系三轴线方向上的位移分量。）则在该点处的应变_________。 A、一定不为零 B、一定为零 C、可能为零 D、不能确定 4、以下________表示一个二阶张量。 A、B、C、D、 四、试根据下标记号法和求和约定展开下列各式：（共8分） 1、；（i ，j = 1，2，3 ）； 2、；

五、计算题（共计64分。） 1、试说明下列应变状态是否可能存在： ；（） 上式中c为已知常数，且。 2、已知一受力物体中某点的应力状态为： 式中a为已知常数，且a＞0，试将该应力张量分解为球应力张量与偏应力张量 之和。为平均应力。并说明这样分解的物理意义。 3、一很长的（沿z轴方向）直角六面体，上表面受均布压q作用，放置在绝对刚性和光滑的基础上，如图所示。若选取＝ay2做应力函数。试求该物体的应力解、应变解和位移解。 （提示：①基础绝对刚性，则在x＝0处，u＝0 ；②由于受力和变形的对称性，在y＝0处，v＝0 。） 题五、3图

《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解

第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ

)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆

塑性力学复习试题

塑性力学复习试题 一、填空题 1．塑性变形不仅与当前的应力状态有关，还和（）有关。 2．对一般金属，体积应变完全是（）的，静水压力不产生（）。它对屈服极限的影响（）。 3．下图是低碳钢作简单拉伸试验得到的应力—应变曲线。 （1）图中P点的纵坐标称为（），记作（）。Q点的纵坐标称为（），记作（）。对应于R点的应力称为（），对应于SA的应力称为（）。一般把（）称为屈服极限，以（）表示。 σ阶段，服从（）。 （2）在σ≤ s （3）σ—ε曲线的ABF段称为（）。 （4）卸载时卸掉的应力σ'与恢复的应变ε'之间也应当服从（）。 （5）经过一次塑性变形以后再重新加载的试件，其弹性段增大了，屈服极限提高了。这种现象称为（）。 （6）σ—ε曲线至F点后开始下降，这是由于在F点处试件已开始出现（）现象。 ε=（）， 4．八面体面上的正应变为 8 γ（）。 剪应变为= 8 σ=（）。 5．用主应力表示的等效应力（或应力强度）为： i 用六个应力分量表示的等效应力（或应力强度）为： σ=（）。 i 6．用主应力表示的等效剪应力（或剪应力强度）为：T = （）。 用六个应力分量表示的等效剪应力（或剪应力强度）为： T = （）。 μ=（）。 7．应力状态的Lode参数为： σ ε=（）。 8．用主应变表示的等效应变（或应变强度）为： i 用六个应变分量表示的等效应变（或应变强度）为： ε= （）。 i 9．用主应变表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：Γ=（）。 用六个应变分量表示的等效剪应变（或剪应变强度）为：

Γ=（ ）。 10．表示应变状态特征的Lode 参数为：εμ=（ ）。 11．第一应力不变量为：1I =（ ）=（ ）。 第二应力不变量为：2I =（ ）=（ ）。 第三应力不变量为：3I =（ ）=（ ）。 12．第一应变不变量为：1I '=（ ）=（ ）。 第二应变不变量为：2I '=（ ）=（ ）。 第三应变不变量为：='3I （ ）=（ ）。 13．应力偏张量的第一不变量为：=1J （ ）。 应力偏张量的第二不变量为：2J =（ ） =（ ）。 应力偏张量的第三不变量为：3J =（ ）=（ ）。 14．应变偏张量的第一不变量为：='1J （ ）。 应变偏张量的第二不变量为：='2 J （ ） =（ ）。 应变偏张量的第三不变量为：3J '=（ ）=（ ）。 15．在应力空间中，靠近坐标原点且包括原点在内，有一个弹性区（在这个区内的点所表示的应力状态处于弹性阶段），而在其外则为塑性区（其中各点所表示的应力状态已进入塑性阶段）。这两个区的分界叫做（ ）。 16．主应力按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为（ ）。 17．主应力不按大小顺序排列时的Tresca 屈服条件为 （ ）。 18．用应力偏张量的第二，第三不变量表示的Tresca 屈服条件为： （ ）。 19．Mises 屈服条件为（ ） 或（ ）。 二、判断题（如果题中的说法正确，就在后面的括号里填“√”反之填“×”） 1．塑性应变和应力之间具有一一对应的关系。（ ） 2．进入塑性状态后，应力与应变之间呈非线性关系。（ ）。 3．一个已知应力状态（σ1，σ2，σ3）对应π平面上唯一的点S 。反之，π平面上的一点S 也唯一地确定它所代表的原始应力状态。（ ） 4．如果以单向拉伸得到的σ为基础，则Mises 屈服条件和Tresca 屈服条件在单向拉压应力状态下完全一致，（ ）在纯剪切时二者差异最大，约为15％。（ ） 三、选择题（只能选一个答案） 1．如果规定σ1≥σ2≥σ3，则最大剪应力为（ ）： a ．2 2 1m ax σστ-= ； b ．2 3 1max σστ-= ； c ．2 3 2m ax σστ-= 。 2．单向拉伸（0,0321==>σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 3．纯剪切（312,0σσσ-==）时应力状态的Lode 参数为（ ）。 a ．σμ=－1； b ．σμ=0； c ．σμ=1。 4．单向压缩（0,0321<==σσσ）时应力状态的Lode 参数为（ ）。