浅谈中学数学中的化归思想(精)
浅谈中学数学中的化归思想
作者：中原中学刘继华
不断地变换你的问题，我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成
功地找到某些有用的东西为止。
————波利亚
化归是解决数学问题的一种重要思想方法．化归的思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，并学会用它分析问题、处理问题，有着十分重要的意义．匈牙利著名数学家路莎˙彼得以生动的比喻对这种思维方式作了如下风趣的描述：有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他满意，因为，更好的回答应当是：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我把后一问题化归为前面所说的问题了。” 路莎˙彼得在这里说的就是化归方法。在数学教育中，化归思想是“问题解决”的一种重要手段和方法。
—、化归方法的基本思想
1、化归方法的含义：把待解决和未解决的问题，通过转化，或再转化，将原问题归结为一个已经能解决的问题，或者归结为一个比较容
易解决的问题甚至为人们所熟知的具有既定解决方法和程序的问题，最终求得原问题的解决．我们就把这种将未知转化归结为已知的解决数学问题的基本方法称之为化归方法．
2、化归方法是辨证思维在方法论上的反映
数学中充满着矛盾，有着极其丰富的辨证内容，例如，数学概念中一与多、正与负、常量与变量、有限与无限以及数学运算中的加与减、乘与除、乘方与开方、微分与积分等都表现为矛盾的对立统一的形式．
化归方法正是根据客观事物是普遍联系、永恒发展和矛盾的对立统一及其相互转化的观点，来实现问题解决的，它着眼于揭示联系实现转化．因此说化归方法是辨证思维在方法论上的反映．
3、化归方法的作用
我们知道整个中学数学内容，始终贯穿着数学知识和数学方法这两条线．中学数学问题的解决过程常常表现为不断发现问题、分析问题直到归结转化为熟悉的或已能解决的问题的过程，化归方法是中学数学中的重要数学方法之一．
例如 (1代数中解一般方程(或不等式的基本思路是多元向一元、高次向低次的化归；分式方程向整式方程的化归，无理方程向有理方程的化归．
(2基本运算中也凝结着化归的思想：减法向加法化归，除法向乘法化归；幂的运算化归为指数的相加或相减；对数运算把乘法或除法运算化归为加法或减法运算．
(3利用三角诱导公式可以化任意角的三角函数为锐角三角函数；化不同名(或角的三角函数为同名(或角的三角函数．
(4处理立体几何问题可以采用把空间问题化归为平面问题，复杂的图形化归为简单的图形．
(5解析几何在于把几何问题化归为代数问题来研究，而函数图象在于把代数问题化归为几何图形来讨论．
在中学数学教学中，这样的例子很多，只要教师具有化归的思想意识深入钻研教材，挖掘和提炼中学数学内容的转化矛盾思想，有意识地加强化归方法的教学，对于改革目前重知识轻方法、重结论轻思想的教学现状，对于培养造就“发现”、“创造”型人材都具有十分深远的意义．
二、化归方法的基本原则
数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单，化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单—”；化“高维”为“低维”等。
为了更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则．化归方法的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、和谐化原则。
1、熟悉化原则
熟悉化是把我们遇到的“生疏”的问题转化为我们比较“熟悉”的问题，以便充分利用我们已知的知识和经验，使原问题得以解决．这里的“熟悉”，指的是已经能解决或具有既定解决问题的方法与程序．
例1：证明不等式：(x1x2+y1y2+z1z22（x12+y12+z12）
(x22+y22+z22
【思路】本题直接证明比较麻烦，从不等式的形式上可以观察出
（x12+y12+z12）,(x22+y22+z22是空间两点分别到原点的距离的平方，(x1x2+y1y2+z1z2则具备了空间两向量内积的形式，这二者之间能否挂上钩呢？
【解】设向量=｛x1,y1,z1｝,=｛x2,y2,z2｝，与的夹角为，
又·=··cos=··cos
(x1x2+y1y2+z1z22=（x12+y12+z12）(x22+y22+z22·cos2
（x12+y12+z12）(x22+y22+z22
这里采用构造两个空间向量把问题转化为向量的内积运算使问题顺利解决。学生如在平时的练习中多加注意的话，上述问题就在高二教材
配套的练习册P的第10题：原题为“若，是非零向量，
=x1i+y1j, =x2i+y2j, 与的夹角为。（1）求cos；（2）证明（x1x2+y1y2）2 （x12+y12）(x22+y22；（3）若与为空间向量，你能推出怎样的不等式？”
例2、已知是非零常数，对x R成立f(x+=,问：f(x是否为周期函数？若是，求出它的一个周期，若不是，请说明理由。
分析、周期函数使我们联想起熟知的三角函数，由f(x+λ=发现与三角等式tg(x+=相类似，而tgx是周期函数,它的最小正
周期是π,是tg(x+=中的4倍,由此猜想f(x是周期函数,一个周期为4
解：f(x+2=f(x++===-
f(x+4= f(x+2+2=-=-=f(x，所以f(x是周期函数。
2、简单化原则
简单化就是把我们遇到的比较复杂的问题转化为比较简单的，且易于确定解决问题方向和程序的问题，从而使原问题得到解决．
众所周知，复杂与简单是相对而言的，以二次方程为例，相对于一次方程来说，它是复杂形式；而相对于高次方程来说，它又是简单形式了．
例3、作函数y=+-9的图象
分析、画函数图象的常规方法是将复杂函数转化成简单函数（一次函数，二次函数，幂函数，指数、对数函数，三角函数），本题函数可转化为y=+-9
x
y
=，
这样将复杂函数化成一次函数，其图象容易画出
3、具体化原则
具体化就是把比较抽象的问题化归成比较具体的问题，以使其中的数量关系和空间形式更为明确，更容易把握．
例4、求函数y=(a-b+(+的最小值
2
分析、本题是关于二次函数的最值问题，如单纯用代数方法求解难以
完成，由具体化原则，通过观察，发现y是两动点A(a,与B(b,
-的距离的平方，即y=，因此问题化归为A,B两点之间
的最短距离。而点A在半圆x+y=3(y上,点B在双曲线-y
=1(y0上，
-2
y
O
x
y
由图象可知的最小值=,
A(,0,B(2,0,
所以=2-,y==7-4.
4、和谐化原则
所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称．数学中的和谐表现在定义、
定理、性质、法则以及数、式、形之间。
和谐化就是使问题的表现方式更符合数、式与形内部固有的和谐统一
的特点，以便突出问题所涉及的各种数学对象之间的本质联系，帮助
我们去确定解决方法和程序。
例5、已知三角形ABC中，A=,求证：
分析、为使问题简单化，先证c-a < --------(1。已知条件给的是角的关系，要证的结论是边的关系，为使条件和结论更为接近，联系更为紧密，应设法将二者统一起来（和谐化），把要证的结论等价地转化为2(sinC-sinA< sinB--------(2,
而（2）式中角太多，再想办法化成同名角，由C=2A,B=-(A+C= -3A，（2）式可化归为2(sin2A-sinA 再把 (3 式中的复角统一为单角，
（3）式可化归为2(2sinAcosA-sinA <3sinA-4sin A4cosA-2<3-
4sin A
-------(4，再将（4）式统一成同名三角函数（和谐化），（4）式化归为4cos A
-4cosA+1>04(cosA->0，因为此式成立，所以与之等价的（1）式成立。
同理可证：c-a成立。
三、化归方法的几种类型
化归方法的类型很多，有的是把一个系统的问题化归为另一个系统中去解决，例如关系映射反演方法是通过恰当的映射使问题的领域从未知向己知化归；还有的属于在本系统内化归．中学数学中很多解题方法与技巧都统一在化归方法之下，例如，消去法是通过有限次的恒等变形逐步消去一些元素，从而实现未知向已知的化归，拆补法是采取把待解问题的若干项分解或组合，从而实现化难为易的化归。
1、变形法：
（1）等价变形．
等价变形是把待解的数学命题等价地化归为另一数学命题．比如，代数或三角中的恒等变形，方程(组、不等式(组的同解变换以及反证法、同一法都属于等价变形．除此之外的另—种常用手法，是将命题结论的形式加以适当改变，如代数、三角、几何领域间作转化和本领域内的转化。
例6、已知log9=a,18=5,求log45。
分析：此题利用对数恒等式化归，达到化未知为已知的目的。
因为18=5，所以log5=b,
log45===
=
例7、关于z的方程z+a+i=0在复数集内总有解，求实数a的范围。
分析：复数方程有解的条件不易研究，但将复数方程化为实数方程可将问题化难为易、化暗为明。设z=x+yi,代入方
程:x+yi+a+i=0,由复数相等的定义，命题等价为
x+a=0,y=-1x+a=0
a=-在R上有解，又等价于求函数y=-的值
域。设x+1=tg,(-,代入得y=-，又转化为三角函数求
值域。通过化弦y=cos-sin=cos(+,y。
（2）非等价变形．
我们经常通过去分母将一个分式方程化归为整式方程，通过有理化将无理方程化归为有理方程．在这个过程中就有可能产生增根，引起解答失真，这里施行的就不是等价变换．这种对问题进行非等价变形，在解决数学问题时经常遇到，只要运用得当，注意防止“误差”，同样也可以取得成功，有时还能发挥等价变形所无法发挥的巧妙作用．
例8、求证：1+
分析、在不等式的证明中，常常用“舍掉一些正（负）项”而使不等式的各项之和变小（大），或在分式中放大或缩小分式的分子与分母而达到化归的目的。这种化归方法是依据不等式的传递性
a而发展出来的，是不等价的转化思想的体现。
因为将上述n个不等式相加，即得求证式。
2、分解与组合：
波利亚说，分解与重新组合是重要的智力活动，对于很多问题特别是比较困难的问题，我们有必要把问题分解成几部分，然后试用某个新方式重新组合其元素，使问题更易下手。这种化归方法是“化大为小，化繁为简”转化思想的体现。
用分解与组合处理数学问题时，一般是先将待解问题适当分解成若干个有逻辑联系的、较简单的、熟悉的小问题，然后分别求解这些小问题，最后根据原问题的条件将这些小问题的解重新组合叠加起来，就得到原问题的解．分解与组合的主要特点是，将要待解问题先“化整为零”，分而治之，然后再“积零为整’．
整体分割法：把问题本身作为分割的对象，可以把问题分解成几个局部之和，也
C1
A1
可以把问题分解成整体与局部之差。
C2
B1
例9、已知直三棱柱ABC-A B C
用一个平面去截它，得截面，
B2
A2
且AA BB如图，
B
C
A
若ABC的面积为S,
求证：介于截面与下底面之间的几何体体积V=
分析：直接求V比较困难，注意到V=的结构，应把几何体ABC-A分割成三个棱锥。连接A B,A C,CB 所以V=V+,V+V,因为V=,V=
V=V=,V=V=V=V=V=
V=
(2、条件分割法：把问题的条件作为分割的对象，其作用在于能暂时解除它们之间的制约关系，能更自由地分别探求只满足部分条件的对象，或使制约关系清晰，有利于化归。
例10、复数Z满足0，求z在复平面内对应点的轨迹。
分析：要求轨迹应先求出Z满足的方程，怎样才能得到方程呢？只要
把条件分割成两部分列方程就很简单了。0(1:z+为实数a,(2:。 z+为实数
z+=z(z-(=0
z为实数或，这是满足条件（1）的方程，再研究（2）：当z
为实数时，由基本不等式：z+，所以z为实数应舍掉。当
， z+=z+=2Rez,Rez,(1,(2都满足的z对应点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆上的两段弧。
（3）、过程分割法：这种化归方法是把“过程”分割为几个阶段，每一个阶段都有一个小目标，每个小目标形成一个台阶，沿着这些台阶一步一步地逼近总目标。
例11、已知等差数列的公差d>0,首项a, S=,
求:S。
分析：将求解过程分为四个阶段（1）：将无限化有限即先求S，（2）：将S转化为的形式，（3）：将（2）再转化为，（4）：将有限化为无限，S.
3、映射法：它是转化常见的方式，是化归过程中两个关系系统的对应。中学数学中的映射法有坐标法，复数法，函数法，换元法，构造法等。如立体几何问题用向量解决，解析几何问题用复数解决，方程或不等式问题用函数，几何解决。这种方法对提高数学思维能力，尤其是创造性思维能力有很大帮助。
例12、设P为椭圆上任一点，o为坐标原点，以为边长作距形OPQR（字母顺序按逆时针方向），使，求动点R的轨迹.
分析：若把平面上的点与复数一一对应，可把问题映射为复数问题，通过复数运算，巧妙地导出结果。设点P对应复数z，点Q对应复数
z，由复数乘法几何意义知z=2zi, 椭圆的复数方程为
将z=代入方程整理得
所以动点R的轨迹为以原点为中心，焦点为(0,-2,(0,2且长轴长为12的椭圆。
例13、设a,b R,求证：
分析：不等式证明，往往比较复杂，如直接对上式进行处理，很快会走进死胡同，如采用构造函数的方法，对问题进行转化，使之成为求
函数的单调性问题，证明将迎刃而解。设f(x=, f(x=在(-1,上是增函数，且
0.
构造法包含两种类型：一是把实际问题转化成数学问题，即应用型数学建模。二是通过构造把原数学问题化归为一个已经能解决的，或易解决的数学问题，即化归型数学建模。实现化归型数学建模的关键是找到一个合适的映射。
在数学中化归的思想与方法几乎是无处不在，无时不在，如著名的哥尼斯堡七桥问题的解决就是将实际问题转化为图的一笔画问题来实现的。化归的思想在数学的研究和学习中应用十分广泛，重视这种方法在数学教学中的运用，对学生思维的灵活性，广阔性，敏捷性，创造性，及去发现问题，探索问题，解决问题的能力将有重要的意义。
参考文献：《中学数学教学教程》张景斌主编、《数学方法论》王子兴著
《2004年上海，零距离突破，思想方法实践篇》高吉全主编
《高中数学探索性问题》罗超、沈翔、编著
转化与化归思想方法
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使 之转化,进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将 难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归， 如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问 题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中. 1.转化与化归的原则 （1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. （2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂 问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. （3）直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决. （4）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解. 2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况 转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有 效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题. （2）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、 不等式问题转化为易于解决的基本问题. （3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径. （4）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的. （5）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. 随着国家经济的发展,科技的发达,人才的需求,中国教育的改革,数学新课标 的出现,在对学生的知识与技能,数学思想及情感与态度等方面的要求,学生在数 学的学习方法也应该要相应改变了,要满足社会的需要.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化.除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的.从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化 的过程,同时在生活中许许多多的事情也需要往已知的方面转化,把事情简单化, 这对以后学生的能力与德育方面有很大的帮助.化归与转化的思想是解决数学问 题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程.数学中的转化比比皆
初中数学教学论文 浅谈化归思想方法在数学教学中的应用
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
浅谈中学数学教学中存在的问题及对策
摘要 中学数学教学是学校学科教学的重要组成部分，随着社会的发展，人们对数学教学的要求也变得越来越高。但目前中学数学教学中存在的一些问题却又在某种意义上阻碍了中学数学教学的平稳发展，文章通过对教学中存在的几个问题进行了分析，并对如何解决这些问题提出了相应的对策方案，使中学数学课程改革深入进行并达到预期目的。关键词：数学教学；存在问题；对策
Abstract The middle school mathematics teaching is the school discipline and important part of teaching, with the development of society, people in mathematics teaching requirements are becoming more and more high. But now the middle school mathematics some problems in teaching the but again in allaying the middle school mathematics teaching the steady development, based on some problems existing in the teaching are analyzed, and how to solve these problems, advances some corresponding countermeasures scheme, the middle school mathematics curriculum reform to achieve the expected purpose in-depth. Keywords: Mathematics Teaching Problems Countermeasures
高中数学解题四大思想方法
思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ??????
化归思想在初中数学解题中的应用
化归思想在初中数学解题中的应用 向阳乡初级中学 周红林 【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。 【关键词】化归思想 化归的原则 教学策略 化归思想要点 新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。 数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链： 从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归思想的涵义和作用 化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。 二、化归思想的基本原则 数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。 为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则 熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则 简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定
浅谈中学数学课程问题
浅谈中学数学课程问题 发表时间：2013-06-13T11:55:12.153Z 来源：《少年智力开发报》2013学年36期供稿作者：石金山[导读] 另外，还要注意到应用题的开放性，有些问题，“不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答”．(重庆市酉阳一中石金山) 伴随着课程标准的正式实施以及教科书的转变，在中学课本的课程设置中，也出现了不少的争议，下我就从以下几点来进行阐述我自从走上工作岗位（初一数学老师）的一些疑惑与发现。 1．重视对数学史的介绍，不应该狭隘与民族主义 向学生进行数学史的介绍，不仅可以让学生理解知识产生的过程，“再现”数学家们当初“发现”数学的经过，理解数学的思想与方法，而且还可以揭示科学发现的一般规律，培养学生的创新能力．初中教材中，共安排了9 个“读一读”介绍了数学史的有关内容，这一个数字对于整个初中内容来说，也显然是太少了！因此，在这一方面希望作较大幅度的增加．另外，在现行初中教材中，有关数学史的内容，主要是为了进行爱国主义教育，大约3/4介绍了中国数学史的成就，都强调了“中国比外国早多少年”，在这一方面，应该“一视同仁地介绍各国的成就，其中包括本国成就．不应当搞狭隘的民族主义，更不能学阿Q：‘我的祖上比你阔．” [1]因此，建议在今后的教材编写中，多介绍一些世界各国的数学史知识，多介绍一些数学发现的过程，在培养学生创新能力的同时，提高学生的数学文化修养． 2．对平面几何的部分内容进行删减有争议，对向量的引入存有争议数学教育要想适应时代进步的要求，首先在教学内容上需要不断更新：引入一些新的教学内容，摒弃一些陈旧的内容．在这一方面，新的高中数学教材，已作了较大改进，迈出可喜的一步：新增了概率、极限等内容，这些内容不仅是进一步学习的基础，而且也有着广泛的应用；删减了一些次要的、用处不大的内容，如指数方程、对数方程、部分三角函数的恒等变换、三角方程、极坐标、幂函数、参数方程、立体几何中面积与体积的计算；同时，也降低了某些内容的要求．而对于九年制义务教育的初中教学内容，改革的力度还不大，主要表现在平面几何方面，“欧氏几何”这一部分内容的去留争议颇大，高中教材中最大的争议来自于向量以及解析几何的引入，但现在总的讲，还是趋向于保留其中精华部分，删减部分较难的和计算量较大的内容．这是因为“第一、几何研讨的对象，点、线及其基本关系非常简明，初中生对之已有实感，图形性质又直观具体，学生能主动进行观察、思考，易于对学生进行思维训练．第二、平面几何有一个适当规模(不完备的，扩大了的)较为明确的公理体系作为推理的出发点，较易使学生体会逻辑推理方式与逻辑严密性，在初中阶段大大有助于提高学生的思维水平．”[2]其次，从数学研究对象来看，“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”，尽管这里的空间不一定指三维空间，也可以是n 维空间及某些抽象空间，但是，从培养公民的最基本的素质而言，让学生学习一些几何(包括立体几何)知识，掌握几何中点、线、面的位置关系与数量关系，对他们今后面对客观世界(三维空间)，应该是大有裨益的．教学过程中我们会清楚的发现，低年级学生感兴趣率较高，但随着年级的升高感兴趣率反而降低．造成这一现象的原因是：(1)学生的新鲜感的逐步消失；(2)几何内容的难度逐渐加深而部分学生难以理解．因此在这个背景下向量的引入的时机与目的就存有争议，我建议可以单独成章，但不要专门的与立体几何等知识点相交汇。 3．重视数学应用能力培养，在教材中多选编一些应用题 1999 年6 月13 日，中共中央国务院作出了《中共中央国务院关于进一步深化教育改革全面推进素质教育的决定》，决定指出：素质教育的目的就是要“培养学生的创新能力与实践能力”．而应用能力的培养是实现创新能力与实践能力的重要途径．“数学应用是一种数学意识，一种基本观点和态度”，这一观点目前已逐渐被广大数学教育工作者所接受，并在教学中得到重视．就目前的中学数学教材而言，应用题已不能适应教育改革与发展的要求，主要表现在：(1)应用题所占的比例偏低．据有关资料的统计显示，人教版的九年义务教育初中数学教材中应用题只占总题量的9.4％，高中教材中应用题所占比例在11％左右，这样的比例显然已经不能适应目前改革的形势；(2)现行教材的应用题过于陈旧，缺乏时代气息．针对上述存在的问题，在今后的教材编写中，提出以下几点建议：(1)适当提高应用题所占的比例，增加应用题的题量．笔者认为，应用题的比例在20％到30％之间为宜，也不能一下子将应用题的比例提得过高，避免在教学中出现新的不适应现象．(2)在选编应用题时，还要“注意解决现实生活中的实际问题和数学中的非常规问题，注意到问题的开放性．”因此，在选编应用题时，首先应该考虑到应用题的时代性、实用性及趣味性，如存款与货款问题、分期付款问题、线性规划问题、风险决策问题以及其他一些与现实生活密切相关的问题，都可以编入教材．这样，不但培养了学生的感性认识；同时，由于应用题与自己的生活息息相关，从而增强了解决数学应用题的趣味性，容易使学生充分享受到学习的乐趣，以增强学生的学习兴趣．另外，还要注意到应用题的开放性，有些问题，“不一定有终极的答案，各种不同水平的学生都可以由浅入深地作出回答”． 4．应重视直觉思维的培养，有意识教学生猜想[4] 多年来，我们一贯重视逻辑思维能力的训练和培养，而忽视了其他思维的训练(如直觉思维)，从而导致了学生数学能力片面发展及思维僵化与保守，不利于数活动中的创造发明．但这种状况在新的数学教学大纲中已得到转变：新大纲中，“逻辑思维能力”变成了“思维能力”．事实上，数学不全部是逻辑思维，“很多数学家很强调‘直觉能力’与‘直觉’．他们对一些问题提出著名的猜想，这反映了他们有很强的洞察力，能跨过错综复杂的性质和相互关系，一下子看到定理的正确性，然后再想法从逻辑上加以证明．证明虽然可能很难找到，但寻找证明的活动，推动了数学的发展．”[5]因此，在今后的教材中，应当重视直觉思维能力的培养，多安排一些猜想的问题，教会学生去“猜想”，以便于培养学生的创造能力． 5．注意加强综合能力的培养(在教材编写中，还应该强化综合能力的培养与训练，充分考虑到学科内部的综合(如代数与几何的综合等)及学科之间的综合(数学与物理等学科的综合)，以适应教育改革的需要．)
中学数学思想方法论
作业 1．第1题 A.一次划分 B.连续划分 C.二分法 D.复分 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 2．第2题 《曲线求积法》和《流数术分法与无穷级数》的作者是（） A.布莱尼兹 B.牛顿 C.笛卡尔 D.伯利亚 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 3．第3题 自然数分为奇数和偶数，了、，这个划分属于（） A.一次划分 B.连续划分 C. 复分 D.二分法 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 4．第4题 首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( ) A.中国 B.印度
C.阿拉伯 D.古希腊 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0 5．第5题 以下哪位没有古希腊圣贤之称（） A.欧几里得 B.阿波罗尼 C.阿基米德 D.欧拉 您的答案：D 题目分数：2 此题得分：2.0 6．第6题 若sin2x>0,且cos<0,则x是（） A.第二象限角 B.第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第三象限角 您的答案：C 题目分数：2 此题得分：2.0 7．第7题 “自然数的皮亚诺公理”是（）方式定义。 A.归纳定义 B.公理化定义 C.关系性定义 D. 发生性定义 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0
8．第8题 按判断的质分类，可以将判断分为（） A.全称判断 B.特征判断 C.肯定判断 D.否定判断 E.宣言判断 您的答案：D 题目分数：2 此题得分：2.0 9．第9题 “等腰三角形底边上的高”和““等腰三角形底边上的中线”两个概念之间的关系是（） A.同一关系 B.从属关系 C.矛盾关系 D.交叉关系 您的答案：A 题目分数：2 此题得分：2.0 10．第10题 “有理数与无理数统称为实数”其定义方式是（） A.归纳定义 B.发生性定义 C.关系性定义 D.公理化定义 您的答案：B 题目分数：2 此题得分：2.0
-化归思想典型例题分析(含答案)
化归思想典型例题剖析 【例1】如图3－1－1，反比例函数y=－8x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点． （1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积． 解：⑴解方程组82 y x y x ?=-???=-+? 得121242;24x x y y ==-????=-=?? 所以A 、B 两点的坐标分别为A （－2，4）B(4，－2 （2）因为直线y=－x+2与y 轴交点D 坐标是(0， 2）， 所以11222,24422 AOD BOD S S ??=??==??= 所以246AOB S ?=+= 点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标． 【例2】解方程：22(1)5(1)20x x ---+= 解：令y= x —1，则2 y 2—5 y +2=0． 所以y 1=2或y 2=12 ，即x —1＝2或x —1=12 ． 所以x ＝3或x=32 故原方程的解为x ＝3或x=32 点拨：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未·知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了． 【例3】如图 3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角 线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长． 解：过 D 作DE ⊥AC 交BC 的延长线于E ，则得AD=CE 、 AC=DE ．所以BE=BC+CE=8． 因为 AC ⊥BD ，所以BD ⊥DE ． 因为 AB=CD ， 所以AC ＝BD ．所以GD=DE ． 在Rt △BDE 中，BD 2＋DE 2=BE 2 所以BD BE=4 2 ，即AC=4 2 . 点拨：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．
化归思想论文
浅谈化归思想在数学解题中的应用 摘要：化归思想在数学解题中应用非常的广泛。化归原则，即化未知为已知,化繁为简,化难为易。在我们的解题过程中，如果能做到对化归思想运用自如，那么我们将会节约许多资源，化归方法有三大基本要素：化归对象、化归目标、化归方法。在使用化归的过程中关键在于要掌握化归的方法。要掌握化归的精髓，就要采取具体问题与活动多次练习体会的方法，逐步形成化归思想，逐步建立化归方法的认知结构。 Abstract: The Reduction of thinking in mathematical problem solving application is very extensive. Naturalization principle, that of the unknown is known, based simplify of Aesthetic. In our problem solving process, if you can do on the Idea with ease, then we will be saving a lot of resources, Naturalization method has three basic elements: Naturalization object, Naturalization goal of Transformation. The key is to master the use of Naturalization Naturalization. To grasp the essence of Naturalization, it is necessary to take specific issues and activities repeatedly practice experience, and gradually form the Idea, and gradually establish the cognitive structure of Transformation. 关键字：化归思想数学解题思维形成化归思想 化归原理其实是很浅显易懂有非常实用的方法，有人曾提出这样一个问题：“假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎么做？”有人回答：“用水龙头放出来的水把水壶灌满，再点燃煤气灶，把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这个答案并对问题进行了修改，追问道：“如果其他条件不变，只是壶里已经灌满了水，那你有打算怎么做？”这时那人很有信心的回答：“点燃煤气灶，把壶放到煤气灶上。”可是这一回答并没有使提问者感到满意，因为，在后者看来，更恰当地回答是：“只有物理学家才会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并声称他已经把后一问题化归为先前已经得到解决的问题了。” 华归的一般模式是： 所以说，化归可理解为：由未知到已知，由难到易，又复杂到简单的转化。下面我们来看化归方法在具体数学问题中的应用。 例1由于求解一元一次方程的问题是十分容易的，因此，为了求解二元一次方程组（或n 元一次方程组），我们就可采取消元的方法——这事实上是将求解二元（n元）一次方程组的问题化归为求解一元一次方程的问题，即：
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用
浅谈化归思想方法在数学教学中的应用 墨红镇中学李慧连内容摘要：所谓化归法，是指通过数学内部的联系和矛盾运用，在转化中实现问题的规范化，即将待解问题转化为规范问题，从而使原问题得到解决的一种方法.这里的规范问题是指已经具有确定的解决方法和程序的问题，即运用原有知识已能解决的问题.而将一个问题化为规范问题的过程叫做问题的规范化.因此，简而言之，所谓化归就是问题的规范化、模式化。“化归”方法很多，但有一个原则是和原来的问题相比，“化归”后所得出的问题，应是已经解决或是较为容易解决的问题。在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 关键词：化归法简述运用操作实现化归 随着数学课程改革的深入，教师们已经认识到学生学习方法转变的必要性。数学教学是教师按照学生的认识规律和新课标特点，通过最优途径，指导学生掌握科学的学习方法，并获得具有选择和运用恰当有效学习方法的能力。重视方法指导是坚持“以学生为主体”和培养学生创新素养这一现代教育观念的体现，它能使学生主动参与认识过程，既能调动学生的积极性，又能向教师提出改进教法的反馈信息，有效发挥教法和学法的整体功能，最大限度地使用好教材。在数学方法论中有一种重要的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，与中学数学教与学密切相关。 一．化归法简述 在学习数学的各个环节中，解题的训练占有十分重要的地位。它既是掌握所学数学知识的必要手段，也是培养和提高数学能力的重要途径。解题的实质就是把数学的一般原理运用于题目的条件或条件的推论而进行的一系列推理，直到求出题目解答为止的过程。这一过程是一种复杂的思维活动的过程。解决问题的过程，实际是转化的过程，即对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。如抽象转化为具体，未知转化为已知，立体转化为平面，高次转化为低次，多元转化为一元，超越运算转化为代数运算等等。这就是数学方法论中的一种新的思维方法——化归，这种方法与我们常见的分析和综合、抽象和概括、归纳和演绎、比较和类比等思想方法不同，在解决各种数学问题时，化归方法是一种具有普遍适用性的方法，假设有一个数学问题甲，一下子不能直接求解，于是人们将甲问题的求解化为乙问题的求解，然后通过乙问题的求解返回去得出甲问题的求解，这就是化归的基本想法。利用化归法解决问题的过程可以简单地用以下框图表示：
高中数学四大思想
高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.
3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.
转化与化归思想
专题三：转化与化归思想 【考情分析】 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中。数学问题解答题离不开转化与化归，它即是一种数学思想又是一种数学能力，高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点。 预测2012年高考对本讲的考查为： （1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。 （2）数与形的互相转化：若解析几何中斜率、函数中的单调性等。 （3）数学各分支的转化：函数与立体几何、向量与解析几何等的转化。 （4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。 【知识交汇】 转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。 1．转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。 2．常见的转化方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式。常见的转化方法有： （1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题； （2）换元法：运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题； （3）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化； （4）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题； （5）坐标法：以坐标系为工具，用代数方法解决解析几何问题，是转化方法的一种重要途径； （6）类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转化的途径； （7）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题； （8）一般化方法：若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决，可将问题通过一般化的途径进行转化；
浅谈化归思想在中学数学中的应用
浅谈化归思想在中学数学中的应用 发表时间：2010-11-08T15:05:44.580Z 来源：《中小学教育》2010年第11期供稿作者：苏炳堂 [导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则，例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。 苏炳堂广西柳州市第一中学545007 在中学数学中，化归思想不仅是一种重要的数学思想，也是一种最基本的思维策略。化归思想在中学数学中有着很广泛的应用，其关键就在于把原问题转化和归结。对于具体的数学问题，如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式，中学数学常见的化归基本形式有以下三种： 一、数与数之间的转化 数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式，通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化，从而使问题迎刃而解。在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化，例如变形所给出的方程求解，数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法，这就是我们常说的把问题“初等化”。 例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在（0，π）内有解，求a的取值范围。 分析：假设由题意把x看作未知数，那么那就是一个复合的方程，很难下手，但若考虑以sinx为未知数，再由1-cos2x=sin2x，则问题转化为常见的一元二次方程了，原问题即可解决。所以由1-cos2x=sin2x，原式可化为：a=sin2x-sinx-1即a=（sinx- ）2- 。因为x∈（0，π），所以0 浅谈初中数学教学中的“转差”经验 2009-12-16 11:56 由于种种原因，不少学生讨厌数学课，同时也出现了不少数学差生，大面积提高教学质量，转化差生，是数学教师不可回避的责任，本人结合几年来的初中数学教学工作，谈谈自己转化数学差生的几点经验。 一、认真分析，全面了解，掌握数学差生的主要特征 1、基础差，长期处于被动学习状态。小学数学学习，偏重单向思维，只问结果，少问原因，进入初中阶段，内容发生变化，思维方法没能及时转变，造成学习吃力。 2、学习方法不科学。不少学生平时根本不看书或“死读书”。不看书的学生平时除了听课，做作业外，从来不再去看课本，上课听懂多少算多少，要记的知识没有记住。这些学生在小学里，数学成绩都不错，但到了中学就不行了。“死读书”学生什么都记，连课本上例题都记，这类学生初一成绩还可以，但到了初二就不行了。 3、兴趣转移。由于上述两点的影响，数学成绩长期上不去，经不起心理的挫折，再加之部分教师教育思想欠佳，常埋怨学生不努力，又没有很好注意批评方式，挫伤了学生的自尊心，使学生产生了自卑感，出现兴趣转移。 二、对症下药、分类辅导，全面提高数学差生成绩 针对数学差生存在的问题，我采取了如下对策： 1、设法唤起学生学好数学的热情。 学生学不好数学，不能全怪学生，教师首先要自己找原因，教师的任务就是把学生从不懂教懂，从不会教会，学生答不出教师的问题，教师先要检查自己的教学工作有没有漏洞。教师发现学生作业中的普遍性错误，先要自我检查，这样会使学生受感动，自觉去纠正错误。如果学生出现了错误，教师一味地批评、责怪学生，就会使师生情感破裂，产生隔阂，他就会讨厌你，远离你，这样要学生学好你的课是不可能的。当然，教师对学生也应严格要求，要学生认识到，搞好学习必须靠师生共同努力。对一时学不好的学生，教师应付出更多的关心、爱护，尊重他们的人格，维护他们的自尊心。 2、让学生获取成功的快乐。 （1）激发兴趣，创设情镜，让学生享受学习之乐。 差生往往有一个坏习惯，比如上课注意力不集中，爱交头接耳开 小会，有时为了应付老师的作业，课后东抄西抄。教师应该充分重视这些弱点， 高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范经验文章》浅谈初中数学教学中的
(完整版)高中数学四大思想方法