数学竞赛三角形五心讲义

数学竞赛讲义第一节

一．高中数学竞赛介绍

一试

考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。

加试（二试）

考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。

二．答题策略

保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。

三．考试知识点

一试

全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。

二试

1、平面几何

基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。

补充要求：面积和面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。

几何不等式。

简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。

在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。

在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数

在一试大纲的基础上另外要求的内容：

周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。

ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

3、立体几何

多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何

直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它

抽屉原理。

容斤原理。

极端原理。

集合的划分。

覆盖。

四、初中数学竞赛大纲

1、实数

十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数及最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式及恒等变形

恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式

含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

含绝对值的一元一次不等式。

简单的一次不定方程。

列方程（组）解应用题。

5、函数

y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。

二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。

6、逻辑推理问题

抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。

简单的组合问题。

逻辑推理问题，反证法。

简单的极端原理。

简单的枚举法。

7、几何

四种命题及其关系。

三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。

面积及等积变换。

三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。

五．数学竞赛题解题逻辑

高考题的解题逻辑：

数学竞赛的解题逻辑：

六．2试各题型的主要解题思想1.平面几何

2.不等式

3.组合

4数论

七．其他一些常用的数学竞赛解题思想数形结合

赋值

特殊到一般

分类讨论

构造函数

建模

点线面转化

递推

极限

(完整word版)高中数学竞赛平面几何讲座第5讲三角形的五心

第五讲三角形的五心 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心. 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB 于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN 的对称点P′.试证：P′点在△ ABC外接圆上. （杭州大学《中学数学竞赛习题》）分析：由已知可得MP′=MP=MB，NP′ =NP =NC，故点M 是△ P′BP 的外心，点 N 是△ P′PC的外心. 有11 ∠BP′P= 1 2∠ BMP= 1∠BAC， 22 11 ∠ PP′C= ∠ PNC= ∠BAC. 22 ∴∠BP′C=∠BP′P+∠P′PC=∠BAC. 从而，P′点与 A，B，C共圆、即P′在△ ABC外接圆上. 由于P′P平分∠ BP′C，显然还有P′B:P′C=BP:PC. 例2．在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△ APS，△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形与△ ABC 相似. （ B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》） 分析：设O1，O2，O3 是△APS，△BQP， △CSQ的外心，作出六边形 O1PO2QO3S后再由外心性质可知 ∠PO1S=2∠A， ∠QO2P=2∠B， QC ∠SO3Q=2∠C. ∴∠PO1S+∠QO2P+∠SO3Q=360°.从而又知∠ O1PO2+ ∠O2QO3+∠O3SO1=360° 将△ O2QO3绕着O3点旋转到△ KSO3，易判断△ KSO1≌△ O2PO1，同时可得△O1O2O3≌△ O1KO3. 1 ∴∠ O2O1O3=∠KO1O3= ∠O2O1K 2 1( ∠ O2O1S+∠ SO1K) 2 1 = ( ∠ O2O1S+∠ PO1O2) 1 = 1∠ PO1S=∠ A； 2 同理有∠ O1O2O3=∠B.故△O1O2O3∽△ ABC.

九下 相似三角形4种判定方法 知识点+模型+例题+练习 (非常好 分类全面)

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 ○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE ∥BC ，∴△ABC ∽△ADE ； 知识点二、相似三角形的判定

判定定理1：两角对应相等，两三角形相似． 符号语言： 拓展延伸： （1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。 （2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。 例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出 AD AE BD CE = 吗？请说明理由。（用两种方法说明） 例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D. 求证：（1）2AB BD BC =?；（2）2AD BD CD =?；（3）CB CD AC ?=2 例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则 BD BE AD AF =例题精讲 A E D B C A B C D

吗？说说你的理由. 例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C （1） 求证：△ABF ∽△EAD ； （2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长；3分之8倍根号3 （3）在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。 2分之3倍根号3 随练： 一、选择题 1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ）D A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对 2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）C A D C B E F G F E D C B A

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起

第二十一讲 从三角形的内切圆谈起 和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质： 1．三角形的内心是三角形的三内角平分线交点，它到三角形的三边距离相等； 2．圆外切四边形的两组对边之和相等，其逆亦真，是判定四边形是否有外切圆的主要方法． 当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形： 注：设Rt △ABC 的各边长分别为a 、b 、c (斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式： (1)2 c b a r -+=； (2)c b a ab r ++= ． 请读者给出证 【例题求解】 【例1】 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°°，BC=5，⊙O 与Rt △ABC 的三边AB 、

BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点(异于A、B)，过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·P C为定值； ④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键． 【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D 三点的圆交AB于F，求证：F为△CDE的内心．

三角形五心性质概念整理(超全)

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1 ),(x 2 ,y 2 ),(x 3 ,y 3 ) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平 方和为： (x 1-x)2+(y 1 -y)2+(x 2 -x)2+(y 2 -y)2+(x 3 -x)2+(y 3 -y)2 =3x2-2x(x 1+x 2 +x 3 )+3y2-2y(y 1 +y 2 +y 3 )+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2 =3[x-1/3*(x 1+x 2 +x 3 )]2+3[y-1/3*(y 1 +y 2 +y 3 )]2+x 1 2+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 显然当x=(x 1+x 2 +x 3 )/3,y=(y 1 +y 2 +y 3 )/3（重心坐标）时 上式取得最小值x 12+x 2 2+x 3 2+y 1 2+y 2 2+y 3 2-1/3(x 1 +x 2 +x 3 )2-1/3(y 1 +y 2 +y 3 )2 。 最终得出结论。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数， 即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]； 空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+ 向量OC） —

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =

学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.学生版

抄作业风波 漫画释义 满分晋级 5 相似三角形的 简单模型 三角形12级 相似三角形的 性质与判定 三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数 暑期班 第四讲 暑期班 第五讲 暑期班 第六讲

中考内容 中考要求 A B C 图形的相似了解比例的基本性质，了 解线段的比、成比例线 段，会判断四条线段是否 成比例，会利用线段的比 例关系求未知线段；了解 黄金分割；知道相似多边 形及其性质；认识现实生 活中物体的相似；了解图 形的位似关系 会用比例的基本性质 解决有关问题；会利 用图形的相似解决一 些简单的实际问题； 能利用位似变换将一 个图形放大或缩小 相似三角形了解两个三角形相似的 概念 会利用相似三角形的 性质与判定进行简单 的推理和计算；会利 用三角形的相似解决 一些实际问题 三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。 估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将 年份2010年2011年2012年 题号 3 4，20 11，20 分值4分9分9分 考点相似三角形的简 单计算 根据三角形相似求 比例；三角形相似 与圆、解直角三角 形的综合 根据三角形相似求 比例；三角形相似 与圆、解直角三角 形的综合 中考考点分析中考内容与要求知识互联网

位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心． 位似比：相似比叫做位似比． 位似图形的性质：位似图形上的任意一 对对应点到位似中心的距离之比等于位似 比． 如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么 OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======''''''''' （k 为位似比） C' B' A'O C B A 【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直 角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图 形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ） 模块一 位似 知识导航 夯实基础 O'A' D' C'B' D A

(完整版)初中数学竞赛相似三角形专题

初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C

4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A

8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A

三角形五心的经典考题

有关三角形五心的经典试题 三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心. 三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于 MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP =NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =2 1 ∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC . 从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC . 例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为 顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》) 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ， △CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外 心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C . ∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+ ∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360° 将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=2 1 ∠O 2O 1K = 21 (∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21 (∠O 2O 1S +∠PO 1O 2) =2 1 ∠PO 1S =∠A ； 同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每 A B C P P M N 'A B C Q K P O O O ....S 123

人教版九年级数学下册《相似三角形应用举例》拓展练习

《相似三角形应用举例》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到AC ＝2米，CB＝18米，则旗杆的高度是（） A．8米B．14.4米C．16米D．20米 2．（5分）如图，小明想利用阳光测量学校旗杆的高度．当他站在C处时，此时他头部顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得小明的身高为1.7m，AC＝2.0m，BC＝8.0m，则旗杆的高度是（） A．5.1m B．6.8m C．8.5m D．9.0m 3．（5分）我国古代数学家刘徽发展了“重差术”，用于测量不可到达的物体的高度．比如，通过下列步骤可测量山的高度PQ（如图）： （1）测量者在水平线上的A处竖立一根竹竿，沿射线QA方向走到M处，测得山顶P、竹竿顶端B及M在一条直线上； （2）将该竹竿竖立在射线QA上的C处，沿原方向继续走到N处，测得山顶P、竹竿顶端D及N在一条直线上； （3）设竹竿与AM，CN的长分别为l，a1，a2，可得公式：PQ＝+l． 则上述公式中，d表示的是（） A．QA的长B．AC的长C．MN的长D．QC的长

4．（5分）如图所示是一个直角三角形的苗圃，由一个正方形花坛和两块直角三角形的草皮组成．如果两个直角三角形的两条斜边长分别为4米和6米，则草皮的总面积为（）平方米． A．3B．9C．12D．24 5．（5分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），则竹竿的长为（） A．五丈B．四丈五尺C．一丈D．五尺 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）如图，在一面与底面垂直的围墙的同侧有一根高10米的旗杆AB和一根高7米的电线杆CD，它们都与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在地面上的影子BF的长为10米，落在围墙上的影子EF的长度为2米，而电线杆落在地面上的影子DH的长为5米，则落在围墙上的影子GH的长为米． 7．（5分）如图1，是一张直角三角形纸片，∠B＝90°，小明想从中剪出一个

初中数学竞赛专题训练之例题及三角形边角不等关系

A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练（8） （命题及三角形边角不等关系） 一、选择题： 1、如图 8-1，已知 AB ＝10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2，四边形 ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则 BC ＋CD 等于 （ ） A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若 EF ∥BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为 （ ） 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α ＝A+B ，β ＝C+A ，γ ＝C+B ，则α 、β 、γ 中，锐角的个数 最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4，矩形 ABCD 的长 AD ＝9cm ，宽 AB ＝3cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 （ ） E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为 a ，b ，b ，其中 a>b ，若两个三角 形的最小内角相等，则 的值等于 （ ） b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ，另一组对边的长分别为 a ，b ，则 d 与 ＿＿＿＿＿＿ a + b 2 的大小关系是＿

初中数学竞赛常用公式

初中数学竞赛常用公式Last revision on 21 December 2020

初中数学常用公式 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理：三角形两边的和大于第三边 16 推论：三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180° 18 推论1：直角三角形的两个锐角互余 19 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2：到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

三角形的五心性质以及典型问题--初中数学竞赛

三角形的五心 三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心． 一．三角形的外心 定理1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 定理2：三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 定理3：锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 定理4：AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠= ∠2 1 ,21,21 1.如图所示，在锐角ABC ?中，BC AD ⊥于D ，AC DE ⊥于E ，AB DF ⊥于F ，O 为ABC ?的外心. 求证：（1）AEF ?∽ABC ? (2)EF AO ⊥ O F E D C B A 2.设O 为锐角ABC ?的外心，连接CO BO AO ,,并延长分别交对边于N M L ,,，则 CN BM AL 1 11++的值是_______________.(设R 为ABC ?外接圆半径) 二．三角形的内心 定理1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 定理2：三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 定理3：内切圆半径r 的计算： 设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =S p ． 特别的，在直角三角形中,有 r =1 2 (a +b －c )． A B C O I K H E F A B C M

B C D A I B C E D A 定理4：I 为三角形的内心，A 、B 、C 分别为三角形的三个顶点，延长AO 交BC 边于N ，则有AI: IN=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC 定理5：,2 1 90A BIC ∠+ =∠ B CIA ∠+=∠2190 ， C AIB ∠+=∠2190 。 3.如图所示，⊙1O 与⊙2O 相交于B A ,两点，且2O 在⊙1O 的圆周上，弦C O 2交⊙2O 于D 。证明：D 是ABC ?的内心. 4.如图，在ABC ?中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当?=∠60A 时，求BDE ∠度数 5.如图，I 是ABC ?的内心，AI 的延长线交ABC ?的外接圆于D ，则，DC DB DI ==

相似三角形教案 (优质)

第四章相似图形 5．相似三角形 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础： 在七年级的学习中,学生通过观察、测量、画图、拼摆等数学活动, 体会了全等三角形中“对应关系”的重要作用。上一节课“相似多边形”的学习，使学生在探索相似形本质特征的过程中，发展了有条理地思考与表达,归纳，反思，交流等能力。 学生活动经验基础： 上述学习经历为学生继续探究“相似三角形”积累了丰富的活动经验和知识基础。 二、教学任务分析 （一）教材的地位和作用分析: .《相似三角形》在本章中承上启下, . 体现了从一般到特殊的数学思想； . 是学生今后学习的基础; [来源:学|科|网] . 是解决生活中许多实际问题的常用数学模型. 即相似三角形的知识是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，相似三角形承接全等三角形，从特殊的相等到一般的成比例予以深化，学好相似三角形的知识，为今后进一步学习探索三角形相似的条件、三角函数及与此有关的比例线段等知识打下良好的基础。 （二）教学重点： 相似三角形定义的理解和认识。 （三）教学难点： 1..相似三角形的定义所揭示的本质属性的理解和应用； 2..例2后想一想中“渗透三角形相似与平行的内在联系”是本节课的第二个难点。（四）教法与学法分析: 本节课将借助生活实际和图形变换创设宽松的学习环境；并利用多媒体手段辅助教学,直观、形象,体现数学的趣味性。 学生则通过观察类比、动手实践、自主探索、合作交流的学习方式完成本节课的学习。

（五）教法建议 1.从知识的逻辑体系出发，在知识的引入时可考虑先复习相似形的概念，在探索归纳给出相似三角形的概念 2.在知识的引入上，可以从生活实例的角度出发，在生活中找几个相似三角形的例子，在此基础上给出相似三角形的概念 3.在知识的引入上，还可以从知识的建构模式入手，给出几组图形，告诉学生这几组图形都是相似三角形，由学生研究这些图形的边角关系，从而得到对相似三角形的本质认识 4.在相似三角形概念的巩固中，应注意反例的作用，要适当给出或由学生举出不是相似三角形的例子来加深对概念的理解 5.在概念的理解过程中，要注意给出不同层次的图形，要求学生从中找出相似三角形，既增加学生的参与又加深学生对概念的理解 6.在本节内容中对应边及对应角的寻找学生常常出现混淆，教师在教学过程中可设计由浅入深的一系列题组由学生寻找其中的对应边或对应角，并说明根据，有利于知识的掌握 （六）教学目标分析: 通过一些具体问题的情境设置、观察类比、动手操作；让学生积极思考、充分参与、合作探究；深化对相似三角形定义的理解和认识.发展学生的想象能力，应用能力,建模意识，空间观念等，培养学生积极的情感和态度。 教学目标：[来源:学*科*网] 1知识与技能 (1). 掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似。 (2). 能根据相似比进行计算，训练学生判断能力及对数学定义的运用能力。[来源:] 2 过程与方法 (1). 领会教学活动中的类比思想，提高学生学习数学的积极性。 (2). 经过本节的学习，培养学生通过类比得到新知识的能力，掌握相似三角形 的定义及表示法，会运用相似比解决相似三角形的边长问题。 3 情感态度与价值观

最新三角形五心定律教学内容

垂心 三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。 锐角三角形垂心在三角形内部。 直角三角形垂心在三角形直角顶点。 钝角三角形垂心在三角形外部。 垂心是高线的交点 垂心是从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线的交点。 三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 三角形上作三高，三高必于垂心交。 高线分割三角形，出现直角三对整， 直角三角有十二，构成六对相似形， 四点共圆图中有，细心分析可找清， 重心 重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 重心的几条性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标：（z1+z2+z3）/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点 内心 内心是三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角（原理：角平分线上点到角两边距离相等）。 内心定理：三角形的三个内角的角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 注意到内心到三边距离相等（为内切圆半径），内心定理其实极易证。 若三边分别为l1，l2，l3，周长为p，则内心的重心坐标为(l1/p,l2/p,l3/p)。 直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。 双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 希望对你有帮助！三角形五心定律 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，内心定律，旁心定律的总称。 一、三角形重心定律 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做作三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质：

学而思初三数学暑假班第5讲.相似三角形的简单模型.提高班.教师版

1 初三暑期·第5讲·提高班·教师版 抄作业风波 漫画释义 满分晋级 5 相似三角形的 简单模型 三角形12级 相似三角形的 性质与判定 三角形13级 相似三角形 的简单模型 三角形14级 锐角三角函数 暑期班 第四讲 暑期班 第五讲 暑期班 第六讲

中考内容 中考要求 A B C 图形的相似了解比例的基本性质，了 解线段的比、成比例线 段，会判断四条线段是否 成比例，会利用线段的比 例关系求未知线段；了解 黄金分割；知道相似多边 形及其性质；认识现实生 活中物体的相似；了解图 形的位似关系 会用比例的基本性质 解决有关问题；会利 用图形的相似解决一 些简单的实际问题； 能利用位似变换将一 个图形放大或缩小 相似三角形了解两个三角形相似的 概念 会利用相似三角形的 性质与判定进行简单 的推理和计算；会利 用三角形的相似解决 一些实际问题 三角形的相似是平面几何中极为重要的内容，是北京中考数学中的重点考察内容，近几年的中考题虽然以直接证相似为结论的题目在减少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。相似性应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。 估计北京中考的填空题、选择题将注重“相似三角形的判定与性质”等基础知识的考查，将 年份2010年2011年2012年 题号 3 4，20 11，20 分值4分9分9分 考点相似三角形的简 单计算 根据三角形相似求 比例；三角形相似 与圆、解直角三角 形的综合 根据三角形相似求 比例；三角形相似 与圆、解直角三角 形的综合 中考考点分析 中考内容与要求 知识互联网 2 初三暑期·第5讲·提高班·教师版

3 初三暑期·第 5讲·提高班·教师版 位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线，像这样的两个图形叫做位似图形． 位似中心：对应顶点的连线相交于一点，这个点叫做位似中心． 位似比：相似比叫做位似比． 位似图形的性质：位似图形上的任意一 对对应点到位似中心的距离之比等于位似 比． 如图所示，已知ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 为位似中心， 那么 OA OB OC AB AC BC k OA OB OC A B A C B C ======''''''''' （k 为位似比） C' B' A'O C B A 【例1】 ⑴如图，正方形ABCD 的两边BC ，AB 分别在平面直 角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上，正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 是以AC 的中点O ′为中心的位似图 形，已知AC =23，若点A ′的坐标为(1，2)，则正方形A ′B ′C ′D ′与正方形ABCD 的相似比是（ ） 模块一 位似 知识导航 夯实基础 O'A' D' C'B' B (O ) C D A

初中数学竞赛试题之三角形

初中数学竞赛试题之三角形 满分： 100 分 时间：100分钟 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1．在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为（） A．40° B．70° C．70°或20° D．40°或70° 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=，BD平分∠ABC交AC于D，若AD∶DC=5∶2，则点D到AB的距离为（） A．10 B． 4 C． D． 3．如图，△ABC中，AB=AC=BD，∠ADC=108°，则下列选项不正确的是（） A．点D是线段BC的黄金分割点 B．△ABD中∠BAD的角平分线与CD 相等 C．BC-AD=CA D．CD=BC 4．如图，△ABC中，∠B、∠C的角平分线相交于点O，过点O分别作三边的平行线，若AB∶BC∶CA=6∶7∶5，则阴影部分面积之和与△ABC面积之比为（） A．B．C． D．

5．已知在Rt△ABC中，D为AC上一点， ，则等于（）A． B．2 C． D． A 第7题 D 第4题 C B 第3题 第2题 6.老师给小明一道数学题，要求他将题补充完整：某农民要在一块面积为144米2的矩形荒地上建一个花坛, 花坛四周是宽度为1米的小路，中央是矩形的花圃，要 求花圃面积为99.2米2．已知小明列出的方程为，那么小明找的等量关系是（） A．荒地的长或宽Ｂ．四周小路的面积Ｃ．花圃的长或宽Ｄ．只有设两个未知数才能解决问题 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 7.如图所示，□ABCD中，∠BCD的平分线CE交AD于点Ｅ，DE = 2AE = 4cm，梯形ABCE的面积为12.8cm2，则CE的长为_______。

数学竞赛三角形五心讲义

数学竞赛讲义第一节 一．高中数学竞赛介绍 一试 考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。 加试（二试） 考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学。 二．答题策略 保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。 三．考试知识点 一试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1、平面几何 基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。 几何不等式。 简单的等周问题。了解下述定理：

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。 在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。 几何中的运动：反射、平移、旋转。 复数方法、向量方法。 平面凸集、凸包及应用。 2、代数 在一试大纲的基础上另外要求的内容： 周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。 三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。 第二数学归纳法。 递归，一阶、二阶递归，特征方程法。 函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。 ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。 复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。 圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。 一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。 简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。 3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。 正多面体，欧拉定理。 体积证法。

相似三角形复习教案

设计意图： 1、通过学生对一道中考题的解答，让学生认识到有时利用相似三角形解决问题较简便。 2、以小题目的形式来回顾梳理相似三角形的基本图形，并重点得到“三垂直型”； 使学生熟练掌握基本题型。 3、通过变式训练让学生感受图形从一般到特殊的变化；感受到题目的多解性；提高培养学生分析问题、解决问题的能力。 4、通过拓展训练让学生感受图形从特殊到一般（“三垂直型”拓展到“三角相等型”）；加强学生对图形的感觉。 5、通过课堂及作业训练学生会用分类思想解决问题；巩固“三垂直型”和“三角相等型”。 设计方案： 一、情境： 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（） A．1 B． C． D．2 （检查学生做的情况，大部分学生利用勾股定理计算。） 这道题目也可以利用相似三角形来计算。有时利用相似三角形解决问题较简便。今天我们复习相似三角形。（出示课题） 二、梳理相似三角形基本图形：

在我们学习相似三角形这一章时同学们做了许多题目，今天我们来回顾一下，看看他们之间有没有联系，同时检验一下同学们对图形的感觉。 1、如图（1），已知CA=8,CB=6，AB=5，CD=4 (1)若CE= 3，则DE=____ (2) 如图（2）若CE= ，则DE=____. 2、如图（3），在⊿ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC= ，AC=3，则CD的长为（） （A）1 （B）2 （C）（D） 3、如图（4），∠ABC=90埃?SPAN>BD⊥AC于D，DC=4 ，AD=9，则BD的长为（） （A）36 （B）16 （C） 6 （D） 4、如图，F、C、D共线，BD⊥FD,EF⊥FD，BC⊥EC,若DC=2 ，BD=3，FC=9,则EF的长为（） （A）6 （B）16 （C） 26 （D）

三角形五心性质概念超全

三角形五心性质概念超全 The document was prepared on January 2, 2021

重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。 证明方法： 设三角形三个顶点为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3) 平面上任意一点为（x ，y ） 则该点到三顶点距离平方和为： (x 1-x)2+(y 1-y)2+(x 2-x)2+(y 2-y)2+(x 3-x)2+(y 3-y)2 =3x 2-2x(x 1+x 2+x 3)+3y 2-2y(y 1+y 2+y 3)+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32 =3[x-1/3*(x 1+x 2+x 3)]2+3[y-1/3*(y 1+y 2+y 3)]2+x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 显然当x=(x 1+x 2+x 3)/3,y=(y 1+y 2+y 3)/3（）时 上式取得最小值x 12+x 22+x 32+y 12+y 22+y 32-1/3(x 1+x 2+x 3)2-1/3(y 1+y 2+y 3)2 最终得出结论。 4、在中，重心的坐标是的， 即其坐标为[(X 1+X 2+X 3)/3,(Y 1+Y 2+Y 3)/3]；

空间——：(X 1+X 2 +X 3 )/3，：(Y 1 +Y 2 +Y 3 )/3，：（Z 1 +Z 2 +Z 3 ）/3 5、三角形内到三边距离之积最大的点。 6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。 7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC） 内心 设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c， p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+∠BAC/2． 3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 那么△ABC内心I的坐标是：