当前位置：文档库 › 成人高考数学公式大全1

成人高考数学公式大全1

数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??.

2.德摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == .

3.包含关系

A B A A B B =?= U U A B C B C A ????

U A C B ?=Φ U C A B R ?=

4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-

()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-

()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ .

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n

个；真子集有2n

–1个；非空子集有2n

–1个；非空的真子集有

2n –2个.

6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式

()N f x M <

?|()|22M N M N f x +--

M f x ->- ?

()f x N M N

>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21

件.特别地, 方程)0(02

≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21

<,或0)(2=k f 且22122k a

b k k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数)0()(2

≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a

x 2-

=处及区间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若[]q p a b

x ,2∈-

=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a

=-=； []q p a

x ,2?-

=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a

x ,2?-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402

p q p m ?-≥?

?->??；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402

f m f n p q p m n >??>??

?-≥?

?<-?或

()0

()0f n af m =??

；（3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ?-≥?

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥?.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

(,)0()man f x t x L ≤?.

(3)0)(2

4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0

00a b c ≥??≥??>?

或2040a b ac

12.

13.

14.四种命题的相互关系

否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ

15.充要条件

（1）充分条件：若p q ?，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ?，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么

[]1212

()()()0x x f x f x -->?[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在?>--上是增函数；

[]1212

()()()0x x f x f x --

()(2

121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则

)()(a x f a x f +-=+.

20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

a x +=

;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2

a x +=

对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2

对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为

周期为a 2的周期函数.

22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++ 的奇偶性

多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x

f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=.

(2)函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=对称()()f a m x f b m x ?+=-

()()f a b m x f m x ?+-=.

24.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y=x 对称.

25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

26．互为反函数的两个函数的关系

a b f b a f =?=-)()(1.

27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11

b x f k

y -=

-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数

)([1b kx f y +=-是])([1

b x f k

y -=

的反函数. 28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，

()

(0)1,lim

1x g x f x

→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，

或)0)(()(1

)(≠=+x f x f a x f ，或1

()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠,

或[]1(),(()0,1)2

f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()

1)(≠+-

=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；

(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.

30.分数指数幂

(1)m n

a =

0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1

m n

（0,,a m n N *>∈，且1n >）.

31．根式的性质（1

）n a =.

（2）当n

a =；

当n

||,0a a a a a ≥?==?-

32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s

a a a

a r s Q +?=>∈.

(2) ()(0,,)r s rs

a a a r s Q =>∈.

(3)()(0,0,)r r r

ab a b a b r Q =>>∈.

注：若a ＞0，p 是一个无理数，则a p

表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>.

34.对数的换底公式

log log log m a m N

N a

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).

推论 log log m n

a a n

b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).

35．对数的四则运算法则

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;

(2) log log log a

a a M

M N N

=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈.

36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42

-=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0

)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验.

37. 对数换底不等式及其推广

若0a >,0b >,0x >,1

x a ≠

,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1

(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.

， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a

+∞上l o g ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则（1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2

log log log 2

a a a m n

m n +<. 38. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x

y N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系

1,2n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 40.等差数列的通项公式

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=

1(1)

2n n na d -=+ 211

()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式

1*11()n n

n a a a q q n N q

-==

?∈；其前n 项的和公式为

(1)

,11,1n n a q q s q na q ?-≠?

=-??=?

或11

,11,1n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为

1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=??

=+--?≠?-?

；

其前n 项和公式为

(1),(1)

1(),(1)111n n nb n n d q s d q d

b n q q q q +-=??=-?-+≠?---?

. 43.分期付款(按揭贷款)

每次还款(1)(1)1

ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式（1）若(0,)2

x π

∈，则sin tan x x x <<.

(2) 若(0,

x π

∈

，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.

45.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

cos sin ，tan 1cot θθ?=. 46.正弦、余弦的诱导公式

2(1)sin ,sin()2(1)s ,

n n co απαα-?

-?+=??-?

2(1)s ,

s()2(1)sin ,

n co n co απαα+?

-?+=??-?

47.和角与差角公式

s i n

()s i n c o s c o s s

αβαβαβ±=±; c o s ()c o s c o s s i n s

αβαβαβ±= ; t a n t a n

t a n ()1t a n t a n

αβαβαβ±±= .

22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);

22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.

s i n c o s a b αα+

=)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,t a n

?= ). 48.二倍角公式

s i n 2s i n c o s ααα=. 222

2c o s 2c o s s i n 2c o s 112s i n ααααα=-=

-=-.

22t a n

t a n 21t a n ααα

=-.

49. 三倍角公式

3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππ

θθθθθθ=-=-+.

3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33

ππ

θθθθθθ=-=-+.

323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33

θθππ

θθθθθ-==-+-.

50.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

=；函

数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T π

. 51.正弦定理

2sin sin sin a b c

R A B C

===. 52.余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

53.面积定理

（1）111

222a b c S ah bh ch =

==（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111

sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===.

(3)OAB S ?=54.三角形内角和定理

在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=?=-+

222

C A B π+?

=-222()C A B π?=-+. 55. 简单的三角方程的通解

sin (1)arcsin (,||1)k

x a x k a k Z a π=?=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤.

tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈.

特别地,有

sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈.

56.最简单的三角不等式及其解集

sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈.

sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤?∈-+∈.

cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈.

tan ()(arctan ,),2

x a a R x k a k k Z π

ππ>∈?∈++

∈.

tan ()(,arctan ),2

x a a R x k k a k Z π

ππ<∈?∈-

+∈.

57.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;

(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．

不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示

设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ． 61. a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算

(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --.

(3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--

. (4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.

63.两向量的夹角公式

cos θ=

(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).

64.平面两点间的距离公式

,A B d

=||AB =

=11(,)x y ，B 22(,)x y ).

65.向量的平行与垂直

设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ?b=λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. 66.线段的定比分公式

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=

，则

121

211x x x y y y λλλλ+?=??+?

+?=?+?

?121OP OP OP λλ+=+ ?12

(1)OP tOP t OP =+- （1

1t λ

=+）. 67.三角形的重心坐标公式

△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是

123123

(

,)33

x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式

''''

x x h x x h y y k y y k

??=+=-?????=+=-????'

'OP OP PP ?=+ .

注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'

F 上的对应点为'''

(,)P x y ，且'PP

的坐标为(,)h k .

69.“按向量平移”的几个结论

（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.

(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'

C ,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'

C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'

C 的函数解析式为()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'

C ,则'

C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ?所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则

（1）O 为ABC ?的外心222

OA OB OC ?== .

（2）O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=

（3）O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?

（4）O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=

（5）O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+

71.常用不等式：

（1）,a b R ∈?2

2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +∈

a b

+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>

（4）柯西不等式

22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈

（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理

已知y x ,都是正数，则有

（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值24

1s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2

2+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.

（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.

73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2

(0,40)a b ac ≠?=->，如果a 与2

ax bx c ++同号，则其解集在两

根之外；如果a 与2

ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <

121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或.

74.含有绝对值的不等式当a> 0时，有

2x a x a a x a

22x a x a x a >?>?>或x a <-.

75.无理不等式（1

()0()0

()()f x g x f x g x ≥??

>?≥??>?

（2

2()0

()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥??

>?≥??

或. （3

2()0()()0

()[()]f x g x g x f x g x ≥??

. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,

()()()()f x g x a a f x g x >?>;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??>?

(2)当01a <<时,

()()()()f x g x a a f x g x >?<;

()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >??

>?>??

77.斜率公式

y y k x x -=

-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.

78.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式

2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

(4)截距式 1x y

a b

+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)

（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

79.两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,

①11112222

||A B C l l A B C ?=≠；

②1212120

l l A A B B ⊥?+=； 80.夹角公式

(1)21

tan |

|1k k k k α-=+.

(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)1221

1212

tan ||A B A B A A B B α-=+.

(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120

A A

B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2

81. 1l 到2l 的角公式

(1)21

tan 1k k k k α-=

(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)

(2)1221

1212

tan A B A B A A B B α-=+.

(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120

A A

B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2

82．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为

111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数． (3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变

量．

83.点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

84. 或0<所表示的平面区域

设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：

若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方

的区域.简言之,同号在上,异号在下.

若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠）

，则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是：

111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 222

()()x a y b r -+-=.

（2）圆的一般方程 22

0x y Dx Ey F ++++=(2

4D E F +-＞0).

（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ

θ=+??

=+?

（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).

87. 圆系方程

(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是

1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=

1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系

数．

(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :22

0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是

22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．

(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :22

2220x y D x E y F

++++=的交点的圆系方程是

2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．

88.点与圆的位置关系

点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种

若d =

d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r

89.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .

其中22B

A C Bb Aa d +++=.

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21

条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ;

无公切线内含??-<<210r r d .

91.圆的切线方程

(1)已知圆2

0x y Dx Ey F ++++=．

①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是

0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()

022

D x x

E y y x x y y

F ++++

++=表示过两个切点的切点弦方程． ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉

平行于y 轴的切线．

③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．

①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2

00x x y y r +=;

②斜率为k

的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?

93.椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>焦半径公式

)(21c a x e PF +=，)(2

2x c

a e PF -=.

94．椭圆的的内外部

（1）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

221x y a b ?

+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的外部2200

221x y a b

+>. 95. 椭圆的切线方程

(1)椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.

（2）过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00221x x y y

a b

+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c +=.

96.双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式

21|()|a PF e x c =+，2

2|()|a PF e x c

=-.

97.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200

21x y a b ?

->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的外部2200

1x y a b ?

-<. 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b

y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b

y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y

轴上）.

99. 双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.

（2）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00221x x y y

a b

-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222

A a

B b c -=.

100. 抛物线px y 22

=的焦半径公式

抛物线22(0)y px p =>焦半径02

CF x =+.

过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

101.抛物线px y 22

=上的动点可设为P ),2(2 y p

y 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px = .

102.二次函数22

24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a

；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a

--=. 103.抛物线的内外部

(1)点00(,)P x y 在抛物线2

2(0)y px p =>的内部2

2(0)y px p ?<>.

点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ?>->. 104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.

（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. （3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是

12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22

21x y a k b k

+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程

?=+=0

)y ,x (F b kx y 消去y 得到02

=++c bx ax ，0?>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B

++++-

-=++. 108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2

x ，用0y y 代2y ，用

x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02

y y

+代y 即得方程 0000000222

x y xy x x y y

Ax x B Cy y D E F ++++?++?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此

方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．

(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理

对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ．

P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB = ?(1)OP t OA tOB =-+

||AB CD ?AB 、CD

共线且AB CD 、不共线?AB tCD = 且AB CD 、不共线.

118.共面向量定理

向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+．

推论空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+

，

或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++

119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++

（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ?平

面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．

C A B 、、、

D 四点共面?AD 与AB 、AC 共面?AD xAB yAC =+

? (1)OD x y OA xOB yOC =--++

（O ?平面ABC ）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使

OP xOA yOB zOC =++ .

121.射影公式

已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'

B ，则

||cos A B AB = 〈a ，e 〉=a ·e

122.向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

AB OB OA =-

= 212121(,,)x x y y z z ---.

124．空间的线线平行或垂直

设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r

，则

a b r r P ?(0)a b b λ=≠r r r r ?12

121

2x x y y z z

λλλ=??

=??=?；

a b ⊥r r ?0a b ?=r r

?1212120x x y y z z ++=.

125.夹角公式

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉

推论 2222222

112233123

123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则

2222|()()|

cos 2AB CD BC DA AC BD

θ+-+=?.

127．异面直线所成角

cos |cos ,|a b θ=r r

=||

||||a b a b ?=?r r

r r

（其中θ（090θ<≤o

）为异面直线a b ,

所成角，,a b r r

分别表示异面直线a b ,的方向向量） 128.直线AB 与平面所成角

sin ||||

AB m arc AB m β?=

为平面α的法向量). 129.若ABC ?所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ?的两个内角，则

2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.

特别地,当90ACB ∠=

时,有

22212sin sin sin θθθ+=.

130.若ABC ?所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、

2θ,''A B 、为ABO ?的两个内角，则

222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.

特别地,当90AOB ∠=

时,有

22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角

cos ||||m n arc m n θ?= 或cos ||||

m n

arc m n π?-

（m ，n 为平面α，β的法向量）.

132.三余弦定理

设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.

133. 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有

22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ?θθθθθ?=+- ;

1212||180()θθ?θθ-≤≤-+ (当且仅当90θ= 时等号成立).

134.空间两点间的距离公式

若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

,A B d =||AB = =.

135.点Q 到直线l 距离

h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA ，向量b=PQ ).

136.异面直线间的距离

||CD n d n ?=

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离

||||

AB n d n ?=

（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式

d =

d ='E AA F ?=--）.

(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'

AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，

'A E m =,AF n =,EF d =).

139.三个向量和的平方公式

2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++?+?+? 2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++?+?+?

140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有

222

2123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ?++=222123sin sin sin 2θθθ?++=.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理

cos S S θ

(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'

S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则 ①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)

2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).

（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：1

E n

F =；（2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：1

E mV =

146.球的半径是R ，则

其体积34

V R π=

, 其表面积2

4S R π=．

147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a

. 148．柱体、锥体的体积

3V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.

V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.

149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++ . 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =??? . 151.排列数公式

A =)1()1(+--m n n n =！

！)(m n n -.(n ，m ∈N *

，且m n ≤)．

注:规定1!0=. 152.排列恒等式

(1）1

(1)m m n n

A n m A -=-+; （2）1m

n n n A A n m -=

-; （3）1

1m m n n A nA --=;

（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n

A A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+- . 153.组合数公式

m n C

m n m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤). 154.组合数的两个性质

(1)m

n C =m

n n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+. 注:规定10=n C .

155.组合恒等式

（1）1

m n n n m C C m --+=

; （2）1m m

n n n C C n m -=-; （3）11m

m n n n C C m

--=;

（4）

∑=n

r r

n C 0

=n 2;

（5）1

121++++=++++r n r n r r r r r r

C C C C C . (6)n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)r n m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)n n n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .

156.排列数与组合数的关系

m m

n n

A m C =?！ . 157．单条件排列

以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有k m k n k k A A --种.

②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有k k k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数

有k h h h A A 1+种.

（3）两组元素各相同的插空

m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n n

n m C A A 11

++=种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为n

n m C +.

158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有

n n n n n n mn n n mn n mn n mn C C C C C N )

!()!

(22=

?????=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有

n n

n n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=

????=--. （3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，

2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!

!...!!!! (212)

m n n

n p n p n n n m p m C C C N m

=??=-. （4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，

2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，

…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...

!!!

...2

11c b a m C C C N m m n n n n p n p ??=-

12!!

!!...!(!!!...)

m p m n n n a b c =

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，

且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!

!...!!

21m n n n p N =

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)

!!(!!...!!

21c b a n n n p N m =

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

!...!!

(212)

11m n n n n p n p n n n p C C C N m m

=?=-.

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n 封信与n 个信封全部错位的组合数为

1111()![

(1)]2!3!4!!

n f n n n =-+-+- . 推广: n 个元素与n 个位置,其中至少有m 个元素错位的不同组合总数为

1234

(,)!(1)!(2)!(3)!(4)!

(1)()!(1)()!

m m m m p

m m

f n m n C n C n C n C n C n p C n m =--+---+--+--++--

12341224![1(1)(1)]p m p m m m m m m m

p m n n n n n n

C C C C C C n A A A A A A =-+-+-+-++- .

160．不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数

(1)方程2n x x x m = 1+++（,n m N *

∈）的正整数解有1

m n C --个. (2) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11

n m n C +--个.

(3) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）满足条件i x k ≥(k N *

∈,21i n ≤≤-)的非负整数解有11

(2)(1)m n n k C +----个.

(4) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *

∈）满足条件i x k ≤(k N *∈,21i n ≤≤-)的正整数解有

122223

21(2)11121221(1)n m n m n k n m n k n m n k n n n n n n C C C C C C C +--+---+---+---------+-+- 个. 161.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;

二项展开式的通项公式

r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，

=. 162.等可能性事件的概率

()m

P A n

. 163.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n 个互斥事件分别发生的概率的和

P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )． 165.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).

166.n 个独立事件同时发生的概率

P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率

()(1).k k

n k n n P k C P P -=-

168.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥= ; （2）121P P ++= .

成人高考数学常用的概念与公式

数学常用的概念与公式

【乘法公式】 ()32233 33:)(b ab b a a b a ±+±=±的立方公式差和【一元一次方程】一元一次方程：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程【一元二次方程】

【集合】指定的某一对象的全体叫集合。集合的元素具有确定性、无序性和不重复性。【集合的分类】【集合的表示方法】名称定义图示性质子集真子集交集并集补集

函数的性质定义判定方法函数的奇偶性函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数；函如果对一函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数函数的单调性对于给定的区间上的函数f(x)：函数的周期性对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x) 叫做周期函数。不为零的常数T叫做这个函数的周期。（1）利用定义（2）利用已知函数的周期的有关定理。函数名称解析式定义域值域奇偶性单调性正比例函数 R R 奇函数反比例函数奇函数一次函数 R R

二次函数 R 数列名称定义通项公式前n项的和公式其它数列按照一定次序排成一列的数叫做数列，记为{an} 如果一个数列{an} 的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫这个数列的通项公式等差数列等比数列数列前n项和与通项的关系：无穷等比数列所有项的和：数学归纳法适用范围证明步骤注意事项只适用于证明与自然数n有关的数学命题设P(n)是关于自然n的一个命题，如果(1) 当n取第一个值n0(例如：n=1或n=2)时，命题成立(2)假设n=k时，命题成立，由此推出n=k+1时成立。那么P(n)对于一切自然数 n都成立。（1）第一步是递推的基础，第二步的推理根据，两步缺一不可（2）第二步的证明过程中必须使用归纳假设。

成人高考专升本高等数学公式大全

成人高考专升本高等数学公式大全文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

主观题各占多少分。这样，你才能够在考试中合理分配考试时间，一定要避免在不值得的地方浪费大量的时间，影响了其他题的解答。拿安徽省的数学成人高考题为例，安徽省数学成人高考满分为150分，时间是2小时，其中选择题是12道，每题5分，共60分;填空题4道，每题是4分，共16分，解答题一共74分。所以在了解这些内容后，你一定要根据自己的情况，合理安排解题时间。一般来说，选择题填空题最迟不宜超过40分钟，按照尚博学校的教学标准是让学生在30分钟之内高效的完成选择填空题。你必须留下一个多小时甚至更多的时间来处理后面的大题，因为大题意味着你不仅要想，还要写。二、确保正确率，学会取舍，敢于放弃。考试时，一定要根据自己的情况进行取舍，这样做的目的是：确保会做的题目一定能够拿分，部分会做或不太会做的题目尽量多拿分，一定不可能做出的题目，尽量少投入时间甚至压根就不去想。对于基础较好的学生，如果感觉前面的选择填空题做的很顺利，时间很充裕，在前面几道大题稳步完成的情况下，可以冲击下最后的压轴题，向高分冲击。对于基础一般的学生，首先要保证的是前面的填空选择题大部分分值一定能够稳拿，甚至是拿满分。对于大题的前几题，也尽量多花点时间，一定不要在会做的题目上无谓失分，对于大题的后两

成人高考高升专数学常用知识点及公式

学习必备欢迎下载成人高考高升专数学常用知识点及公式温馨提示：数学公式不能死记硬背，而是理解掌握后灵活运用，上课

第一章集合和简易逻辑知识点1：交集、并集、补集 1、交集：集合A 与集合B 的交集记作A ∩B ，取A 、B 两集合的公共元素 2、并集：集合A 与集合B 的并集记作A ∪B ，取A 、B 两集合的全部元素 3、补集：已知全集U ，集合A 的补集记作A C u ,取U 中所有不属于A 的元素解析：集合的交集或并集主要以列举法或不等式的形式出现知识点2：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件甲和结论乙两部分构成，写成“如果甲成立，那么乙成立”。若为真命题，则甲可推出乙，记作“甲=乙”；若为假命题，则甲推不出乙，记作“甲≠乙”。题型：判断命题甲是命题乙的什么条件，从两方面出发： ①充分条件看甲是否能推出乙 ②必要条件看乙是否能推出甲 A 、若甲=乙但乙=甲，则甲是乙的充分必要条件（充要条件） B 、若甲=乙但乙≠甲，则甲是乙的充分不必要条件 C 、若甲≠乙但乙=甲，则甲是乙的必要不充分条件 D 、若甲≠乙但乙≠甲，则甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件技巧：可先判断甲、乙命题的范围大小，再通过“大范围≠小范围，小范围=大范围”判断甲、乙相互推出情况第二章不等式和不等式组知识点1：不等式的性质 1. 不等式两边同加或减一个数，不等号方向不变 2. 不等式两边同乘或除一个正数，不等号方向不变 3. 不等式两边同乘或除一个负数，不等号方向改变（“>”变“<”）解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面知识点2：一元一次不等式 1. 定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。 2. 解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。

成人高考数学知识点总结

(B) 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 (C) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (D) 甲是乙的充分必要条件 2、设命题甲：x=1 ；命题乙:02=-x x (A) 甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件 (B) 甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件 (C) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (D) 甲是乙的充分必要条件 3、设x 、y 是实数，则22y x =的充分必要条件是（A ）x=y （B ）x=-y （C ）33y x = （D ）|x|=|y| (一) 不等式的性质 [说明] 判断不等式是否成立，在试题中也常出现。一定要明白不等式性质中的条件是什么结论是什么；此外用作差比较法可解决一些问题；最后还可根据函数单调性判断某些不等式能否成立（见指数函数对数函数） 1、若a（B ）a b a 11>-（C ）| a | > | b |（D ）22b a > 2、设x 、y 是实数且 x > y 则下列不等式中，一定成立的是 (A) 22y x > (B ) xc >yc (c ≠0) (C) x - y>0 (D) 1>y x (二) 解一元一次不等式和不等式组 [说明] 一般没有直接作为试题出现，但是必须掌

握这些基础知识并提高运算能力 1、不等式组? ??->->-2154723x x 的解集为 2、解不等式 03452>+-x x (三) 解绝对值不等式 [说明] 这部分内容重要，在历年试题中几乎都出现过。有时直接求解集，有时转为求函数定义域等问题。 1、不等式| 3x-1 | < 1的解集为 | 3x-1 | ≥ 1 的解集为 2、解不等式 6|1|3<+≤x 3、设集合}1|||{≤=x x A ，集合x x B |{=>0} 求B A ? (四) 解一元二次不等式 [说明] 求一元二次不等式解集，主要用在求函数定义域。基本要求是对应的一元二次方程有不相等实根的情形。 1、不等式12>x 的解集是 2、不等式012112<-+x x 的解集是 3、不等式4 382>-x x 的解集是 (五) 指数与对数 [说明] 没有冗长的计算和太多的技巧。要掌握幂的运算法则和对数运算法则，此外就是指数式与对数式互换。第4题在近几年试题中不曾出现。

【成人高考】数学解题技巧一不小心提高20分

【成人高考】数学解题技巧一不小心提高20分一、分清主次，合理安排答题顺序，坚持三优原则坚持三优原则就是：容易得分的题优先做，有把握得分的题优先做，可以多得分的题优先做。成人高考数学试题一般由三大题型组成。分别是选择题、填空题和解答题。其中选择题、填空题都是由浅到深，第一道选择题一般都是几何题，难度是8到9，80%的人都能通过。到了最后一道题上就开始有点难度了，这个难度通过率一般就只有30、40%了。解答题也是按照这个坡度去考的。因此，在做成人高考数学试题的时候，我们要合理安排答题顺序，力求把能做的会做的都做好做正确，不漏一分，真正做到得分率最大化。合理安排答题顺序的原则就是就是什么会做就做什么，拿分才是硬道理。二、选择题答题技巧 1、仔细审题，吃透题意我们在做选择题的时候，要回忆、思考题中出现的概念、公式、性质等内容。努力排除失分的“隐患”。 2、反复析题，去伪存真析题就是剖析题意。在认真审题的基础上，对全题进行反复的分析和解剖，从而为正确解题寻得路径。有时“真作假时假亦真”,对于一些似是而非的选项，在难以确定正确选项的情况下，还可以采用代入法。 3、抓往关键，全面分析从关键处入手，找突破口，联系知识进行全面的分析形成正确的解题思路，就可以化难为易，化繁为简，从而解出正确的答案。 4、反复检查，认真核对最后就是反复检查，认真核对;一是核对填写答案是否跟你做题选择的答案一致，有没有误填。二是核对你选择的选项是否是正确答案。有无更改的必要。三、填空题答题技巧;“数、形”结合巧解题

数学是一门抽象的学科，要想把数学学好，最好的方法就是化抽象为形象。就是把“数、形”结合起来，才能更好更快的解题。报名详情请到绍兴文理学院和东校区四、解答题答题技巧咨询审题、吃透题意，解答试题，调理清晰，不留空白。在做解答题的时候，尽量把你想到的合理的解题步骤详细而有调理的写出来，不要给试题留下太多空白，解答题是按步骤给分的，只要解题思路、解题步骤正确，就是最后没能解答出正确答案，还是可以得到步骤分值的。

关于历年成人高考数学真题分类汇总文

2011-15成考数学真题题型分类汇总（文）一、集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1- B {}1x x > D {}12x x ≤≤ （2014）若,,a b c 设甲：2 40b ac -≥ 乙：20ax bx c ++=有实数根。则（） A 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 B 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D 甲是乙的充分必要条件 (2015)设集合M={2，5，8}，N={6，8}，则M U N= (A){8} (B){6} (C){2，5，6，8} (D){2，5，6} (2015)设甲：函数Y=kx+b 的图像过点(1，1)，乙：k+b=1，则 (A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 (B)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 (C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 (D)甲是乙的充分必要条件

成考复习数学公式(全)

(1)指数及其性质：1 n n a a -= ，1n a = ，m n a = 01(0)a a =≠ (2)对数：log 10a =，log 1a a = 指数和对数互为逆运算。指数函数和对数函数互为反函数运算性质：log ()log log a a a MN M N =+，log log log a a a M M N N =- ，log log n a a M n M = 5、函数单调性单调增（上坡）单调减（下坡）；非常用函数单调性：导数为正单调增；导数为负单调减。第一部分代数第一章集合和简易逻辑 1、集合的运算 2、充分条件与必要条件交A ∩B={B x A x x ∈∈且,|} 并A ∪B={B x A x x ∈∈或,|} 补要求U A ?,},|{A x U x x A A C U ?∈==且 B A ? A 叫B 的充分条件 B A ? A 叫B 的必要条件 B A ? A 叫B 的充分必要条件(充要条件) 第二章函数 1、 y=f(x)定义、函数关系、函数表示、定义域、值域、描点画图像、函数性质（奇偶、单调、最值等）、反函数 2、一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数图像及其性质。奇函数 f(-x)=-f(x) (图象关于原点对称):y=sinx 、y=tanx 、y=n x (n 为奇数) 偶函数 f(-x)= f(x) (图象关于y 轴对称)：y=c(常量函数)、y=cosx 、y=n x (n 为偶数) 奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇+偶=非奇非偶、奇?奇=偶、偶?偶=偶、奇?偶=奇 2 4、指数、对数函数图像和性质

成人高考高升专数学必考公式

成人高考高升专数学笔记第一章集合和简易逻辑一、考点：交集、并集、补集概念：（必考） 1、由所有既属于集合A 又属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”（求公共元素） A ∩B={x|x ∈A,且x ∈B} 2、由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 和集合B 的并集，记作A ∪B ，读作“A 并B ”（求全部元素） A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} 3、如果已知全集为U ，且集合A 包含于U ，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 的补集，记作, 读作“A 补” ={ x|x ∈U ，且x A } 今年选择题第一题必考：例1、设集合，集合，则集合（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ）例2、集合U={1,2,3,4,5,6,7} ,，集合，则（C ）， =（D ）（A ）（B ）（C ）（D ）解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现二、考点：简易逻辑概念：在一个数学命题中，往往由条件A 和结论B 两部分构成，写成“如果A 成立，那么B 成立”。 1. 充分条件：如果A 成立，那么B 成立，记作“A →B ”“A 推出B ，B 不能推出A ”。 2. 必要条件：如果B 成立，那么A 成立，记作“A ←B ”“B 推出A ，A 不能推出B ”。 3. 充要条件：如果A →B,又有A ←B ，记作“A ←B ”“A 推出B ，B 推出A ”。解析：分析A 和B 的关系，是A 推出B 还是B 推出A ，然后进行判断第二章不等式和不等式组三、考点：不等式的性质 1. 如果a>b ，那么ba ，那么ab ，且b>c ，那么a>c 3. 如果a>b ，存在一个c （c 可以为正数、负数或一个整式），那么a+c>b+c ，a-c>b-c 4. 如果a>b ，c>0，那么ac>bc （两边同乘、除一个正数，不等号不变） 5. 如果a>b ，c<0，那么acb>0，那么a 2>b 2 7. 如果a>b>0，那么；反之，如果，那么a>b 解析：不等式两边同加或同乘主要用于解一元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面四、考点：一元一次不等式

成人高考高等数学二

成人高考高等数学复习及考试方法考生要在成人高考中取得好成绩，必须深刻理解《复习考试大纲》所规定的内容及相关的考核要求，在知识内容上要分清主次、突出重点。在考核要求方面，弄清要求的深度和广度。要全面复习、夯实基础，要将相关知识点进行横向和纵向的梳理，建立知识网络，对考试大纲所列知识点，力求做到心中有数、融会贯通。高数一大纲提示（总分150分、考试时间150分钟、闭卷、笔试）：高数二大纲提示（总分150分、考试时间150分钟、闭卷、笔试）：一元函数、极限连续大概占20多分，这些都是每年必须要考到的。一元微积分、微分学，这个占得挺多的，大概占40—50%。如果要是高数二，知识面考得少一些，集中一些，但是题的分量就重一些，比如说每年有二元的微积分，多元函数的微积分，这里面可能会出现比较难、刁钻一些的题。

高数一、数二，不像高中起点的，可能差异稍稍大一点。考生可以根据不同的专业、考试类别，不管怎么样，前面的一元函数、极限、一元函数的微分、积分是一个基本的东西，也是最拿分的东西，一定要把它们做熟了。比如说求极限的几种方式，求微分的几种方式，以及求倒数，都会面面俱到，学员还是要把握住历年的考题，把握住大纲的要求，把握住考试卷，就应该能把握住会考什么。 1、注意以《大纲》为依据。弄清《高等数学》（一）和《高等数学》(二)在知识内容及相关考核要求上的区别。这种区别主要体现在两个方面：其一是在共有知识内容方面，同一章中要求掌握的知识点，或同一知识点要求掌握的程度不尽相同。如在一元函数微分学中，《高等数学》(一)要求掌握求反函数的导数、掌握求由参数方程所确定的函数的求导方法，会求简单函数的n阶导数，理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，但上述知识点对《高等数学》(二)并不做要求；又如在一元函数积分学中，《高等数学》(一)要求掌握三角换元求不定积分，其中包括正弦变换、正切变换和正割变换，而《高等数学》(二)对正割变换不做考核要求。其二是在不同的知识内容方面，《高等数学》（一）考核内容中有二重积分，而《高等数学》(二)对二重积分并不做考核要求；再有《高等数学》（一）有无穷级数、常微分方程，高数(二)均不做要求。从试卷中可以看出，高等数学（一）比《高等数学》(二)多出来的这部分知识点，在考题中大约能占到30%的比例。共计45分左右。所以理科、工科类考生应按照《大纲》的要求全面认真复习。 2、对概念的理解。考生要加强对高等数学中基本概念、基本方法和基本技能的理解和掌握，要努力提高运用数学知识分析问题和解决问题的能力，特别是综合运用知识解决实际问题的能力。 3、要在学习方法上追求学习效益。加强练习，注重解题思路和解题技巧的培养和训练，对基本概念、基本理论、基本性质能进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的思索和辨析，对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的练习，在练习中加强理解和记忆，理解和记忆是相辅相承的，理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，死记硬背是暂时的，只有理解愈深，才能记忆愈牢。 4、加强练习熟悉考试中各种题型，要掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与技巧。练习中要注意分析、总结、归纳、类比，掌握思考问题和处理问题的正确方法，寻求一般性的解题规律，从而提高解题能力。在专升本考试中，《高等数学》是一门重要的公共基础课程，也是考试成绩上升空间较大的一门课程。学好数学同学好其他学科一样，都要付出辛勤的汗水和艰辛的努力。 5、考前一个月冲刺备考建议

全国成人高考数学公式汇总

全国成人高考数学公式汇总 1.平方差公式 2 2 ))((b a b a b a -=-+完全平方公式 2 2 2 2)(b ab a b a +±=± 2.一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式 a ac b b x 242-±-=. 3.充分条件与必要条件： B A ? A 叫B 的充分条件 B A ? A 叫B 的必要条件 B A ? A 叫B 的充分必要条件(充要条件) 4.函数定义域的求法:(1)分母不能为0；(2)偶次根内大于等于0；(3)对数的真数大于0. 5.函数的奇偶性：奇函数(图象关于原点对称):y=sinx 、y=tanx 、y=n x (n 为奇数) 偶函数(图象关于y 轴对称)：y=c(常量函数)、y=cosx 、y=n x (n 为偶数) 奇+奇=奇、偶+偶=偶、奇+偶=非奇非偶、奇?奇=偶、偶?偶=偶、奇?偶=奇 6.二次函数的图象和性质:y=ax 2 +bx+c(a ≠0) a >0 a <0 图象顶点 24(,)24b ac b a a -- 对称轴 2b x a =- 单调性 (,]2b a -∞- 为减区间[,)2b a - +∞为增区间 (,]2b a -∞-为增区间[,)2b a - +∞为减区间最值当2b x a =-时，2min 44ac b y a -= 当2b x a =- 时，2 max 44ac b y a -= o x y o x y

7. (1)指数及其性质：1n n a a -=，1n n a a =，m n m n a a = 01(0)a a =≠ (2)对数：log 10a =，log 1a a = 运算性质：log ()log log a a a MN M N =+，log log log a a a M M N N =- log log n a a M n M = (3)指数函数、对数函数的图象和性质指数函数对数函数解析式 (0,1)x y a a a =>≠ log (0,1)a y x a a =>≠ 图象性质定义域 (,)-∞+∞ (0,)+∞ 值域 (0,)+∞ (,)-∞+∞ 定点 (0，1) (1，0) 单调性当a >1时，是增函数；当0?<->