平面向量共线问题

平面向量共线问题的探讨

摘要：平面向量的平行与垂直是高中数学新课程向量部分的重要内容，本文旨在对平面向量平行（即共线）相关定理进行推广，得到两个更加具有一般性的结论，并举例说明它们的应用，使问题的解决更简捷。 关键词：平面向量、共线定理、推广、应用。

平面向量的共线，这部分内容比较重要，在各种考试中也频频出现，教材上就两个向量共线已给出两个定理：

（1） 向量()≠与向量共线?存在唯一实数λ，使得a b λ=成

立。

（2） 向量()11,y x a =与向量()22,y x b =，则∥?01221=-y x y x

在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一步探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。对于定理（2）给出的结论，向量，b 的基底是单位正交向量：，j ，下面我们给出的结论中，涉及到的基底不一定是单位正交向量：i ，，而是任意一组基底：1e 与2e ，它更具有一般性。

推论1：若1e ，2e 是不共线的两个向量，2111e y e x a +=，2212e y e x +=，与b 共线 ?01221=-y x y x 证明：与b 共线，当且仅当=λ， ?2111e y e x +()

2212e y e x +=λ ?2111e y e x +2212e y e x λλ+=

由平面向量基本定理得：???==2121y y x x λλ ①2y ?-②2x ?消去λ得：01221=-y x y x ① ②

所以，a 与b 共线?01221=-y x y x 。

上述结论还可以进一步推广为：

推论2：对于任意向量1e ，2e ，若2111e y e x +=，2212e y e x +=，那么与共线 ?1e ∥2e 或01221=-y x y x

证明：分两种情况： 1e 与2e 平行和1e 与2e 不平行

（1）1e 与2e 平行时，结论成立。

（2）1e 与2e 不平行时,a 与共线，当且仅当a =b λ， 有：2111e y e x +()

2212e y e x +=λ 即：2111e y e x +2212e y e x λλ+=

由平面向量基本定理得：???==2121y y x x λλ ①2y ?-②2x ?消去λ得：01221=-y x y x

即：当且仅当01221=-y x y x 时，与b 共线

综合（1）（2）知：与b 共线?1e ∥2e 或01221=-y x y x

上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得比较完备。 在高考、模拟考、联考等一系列考试中，常出现向量共线的问题，下面是两个结论针对一些考题的应用，所有例题都给出多种解法，其中“另解”应用了上述结论，多种解法进行对比后，我们可以看出应用上述结论可以使问题的解决更简捷，从而节省时间。

例1.（2009重庆卷文）已知向量)1,1(=a ，),2(x b = 若b a +与24-平行，则实数x 的值是 （ ）

A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

解法1：因为)1,1(=a ，),2(x b = ，所以)1,3(+=+x b a ，① ②

)24,6(24-=-x a b 由于b a +与a b 24-平行，得

6(1)3(42)0x x +--=，解得2x =，选D 。

解法2： 因为b a +与a b 24-平行，则存在常数λ，使

)24(a b b a -=+λ，即：)14()12(-=+λλ，根据向量共线的条件知，向量与共线，故2x =，选D 。

另解：因为b a +与24-平行，即b a +与42+-平行，但

01)2(41≠?--?，所以根据已知结论得：∥，所以有，

0121=?-?x ，即得2x =，选D 。

例2.已知)2,1(=，)2,3(-=，当k 为何值时，向量k +与b a 3-平

行？平行时它们是同向还是反向？ 解：∵)2,1(=，)2,3(-=。 ∴)22,3(+-=+k k k ，)4,10(3-=-b a ∵k +与3-平行

∴0)22(10)3(4=+?--?-k k 解得3

1-=k . 此时()

k 33

131-?-=+-=+ ∴当3

1-=k 时，向量k +与b a 3-平行，并且反向． 另解：∵)2,1(=a 与)2,3(-=b 不平行，且向量b a k +与3-平行。 ∴013=--k ，即3

1-=k

此时()k 33

131-?-=+-=+ ∴当3

1-=k 时，向量k +与b a 3-平行，并且反向．

例 3.设两个非零向量1e 和2e 不共线，如果21e e AB +=，2132e e BC -=，212e k e CD -=，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 解：=+=()()2121212332e e e e e e -=-++，

∵A 、C 、D 三点共线，∴与共线，从而存在实数λ使得CD AC λ=，即：()

2121223e k e e e -=-λ， 得?

??-=-=k λλ223，解得23=λ，34=k . 另解：2123e e BC AB AC -=+=

由A 、C 、D 三点共线，知2123e e AC -=与212e k e CD -=共线。所以，

0)2(2)(3=-?--k ，故3

4=k

例4.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t ，()+3

1三向量的终点在同一条直线上？ 解：设a OA =，b t OB =，()

+=31， ∴b a OA OC AC 3

132+-=-=，t -=-= 要使A 、B 、C 三点共线，只需λ=.

即: 3

132+-a b t λλ-=.

∴有?????=-=-t λλ3

132 ? ?????==2132t λ。 ∴当2

1=t 时，三向量终点在同一直线上. 另解：令=，t =，()+=31。要使，b t ，()

b a +31三向量的终点在同一条直线上，只需A 、B 、C 三点在同一条直线上.

∵b a OA OC AC 3

132+-=-=，b t a OA OB AB +-=-=。 ∴0)1(3132=-?--t ，即2

1=t ∴当2

1=t 时，，b t ，()

+31三向量终点在同一直线上.

例5.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点，PQ 过△ABO 的重心G ，且a OA =,b OB =,a m OP =,11证明：因为M 是AB 边的中点 所以()

+=21 又因为G 是△ABO 的重心，

所以()b a OM OG +==3132. 由P 、G 、Q 三点共线，得PG ∥GQ ，

所以，有且只有一个实数λ，使λ=.

而()

m m 313131+??

? ??-=-+=-=，

()b n a b a b n OG OQ GQ ??? ?

?-+-=+-=-=313131， 所以????????? ??-+-=+??? ??-b n a b a m 313

13131λ. 又因为、不共线，所以?????????? ??-=-=-313

13131n m λλ， 消去λ，整理得n m mn +=3，故311=+n

m . 另证：∵G 是△ABO 的重心，所以()

b a OG +=31. 又∵a OA =,b OB =,m =,n = ∴b a m OG OP GP 3131-??? ?

?-=-= b n a OG OQ GQ ??? ?

?-+-=-=3131 由P 、G 、Q 三点共线，得GP ∥ ，所以，0913131=-??? ??-??? ?

?-n m 去括号，整理得：mn n m 3=+

等式两边同时除以mn 得：311=+n

m 结语：从以上5个例题可以看出灵活应用定理及推论的重要性，一方面可使学生对向量共线理解得更深刻，另一方面可使向量共线问题得到快捷的解答，以增强学生思维的灵活性。

平面向量的概念、运算及平面向量基本定理

05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理 突破点(一)平面向量的有关概念 知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量 考点 平面向量的有关概念 ［典例］⑴设a , b 都是非零向量，下列四个条件中，使 向=而成立的充分条件是( ) A . a =- b B . a // b C . a = 2b D . a // b 且 |a|= |b| ⑵设a o 为单位向量，下列命题中：①若 a 为平面内的某个向量，贝U a = |a| a o ;②若a 与a o 平行，则 a = |a|a o ;③若a 与a o 平行且|a|= 1,则a = a o .假命题的个数是( ) A . o B . 1 C . 2 D . 3 ［解析］⑴因为向量合的方向与向量a 相同，向量￡的方向与向量b 相同，且￡，所以向量a 与 |a| |b| |a| |b| 向量b 方向相同，故可排除选项 A , B , D.当a = 2b 时，a =警=b ，故a = 2b 是耳=g 成立的充分条件. |a| |2b| |b| |a| |b| (2)向量是既有大小又有方向的量， a 与|a|a o 的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若 a 与a o 平行，则a 与a o 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a =- |a|a o ，故②③也是假命题.综上 所述，假命题的个数是 3. ［答案］(1)C (2)D _ _［易错提醒」_____________ _____________ 厂7i)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小 ［…(2)大小与方向是向量的两个要素?j 分别是向量的代数特征与几何特征； (3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上. 突破点(二)平面向量的线性运算 1. 向量的线性运算： 加法、减法、数乘 2. 平面向量共线定理： 向量b 与a(a ^ o )共线的充 要条件是有且只有一个实数 人使得b = 1 ［答案］(1)D ⑵1 —…_［方法技巧丄—――――_—_ _―_—_ _―_……_ _―_…_ _―_…_ _―_…_ _―_…「 i 1.平面向量的线性运算技巧： ⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解. ⑵含图形的情况：将它们转化到 ］ 三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示岀来求解. 2?利用平面向量的线性运算求参数的一般思路： (1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置. (2)利用平行四 边形法则或三角形法贝U 进行转化丄转化为要求的向量形式._ _ (3) 比较，观察可知所求.__________ 考点二 平面向量共线定理的应用 ［例2Lu 设两个非零向J a 和b 不共鈿 平面向量的线性运算 …uuur …"uLu r 考点一 ~~uuur ----- u uur ［例 1］ (1)在厶 ABC 中，AB = c , AC = b.若点 D 满足 BD = 2 DC 12 5 2 A.3b + 3C B.gC — 3b 2 1 2 1 C.gb — 3c D.gb + 3C uuuu 1 uuur ⑵在△ ABC 中，N 是AC 边上一点且 AN = NC , P 是BN 上一点, 数m 的值是 ______________ . uuur umr ［解析］(1)由题可知BC = AC - uuur + BD = c + 2 1 —c)= 3b + §c,故选 D. uuuu 1 uuur (2)如图，因为AN = 2 NC ，所以 uuur 2 uuuu m AB + 3 AN ?因为B ，P ，N 三点共线, ―uuur ，贝U AD =( ) UULT uuur 2 uuur 若 AP = m AB + 9 AC ，则实 2 uuir 2 uuir uur uuur uuur uuur UULT AB = b — c , '^BD = 2 DC ,「.BD = 3 BC = 3(b — c)，则 AD = AB uuuu 1 uuur AN = 3 AC ，所以 2 所以m +3= 1,则 UULT uuur 2 uuur AP = m AB + 9 AC = 1 m = 3.

平面向量中三点共线定理探究

平面向量中“三点共线向量定理”探究 三点共线定理在教材中没有作为定理使用，但在各级考试中却应用广泛，笔者尝试通过 聚焦结论，优化思路，多维度揭示定理的价值所在. () 0.a b b a b a b λλ≠=r r r r r r r r 向量共线定理：对平面内的任意两个向量 、 ， // 的充要条件是：存在唯一的 实数 ，使由该定理可以得到平面内三点共线定理： ()121212+= OA OB OP OP OA OB R λλλλλλ=+∈u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 三点共线定理：已知平面内一组基底 ， 及任一向量 ,， , 则A ，B ，P 三点共线，当且仅当 1. ()() ()1122121,,1,=1,,+= A B P AP AB OP OA OB OA OP OA O OP OA O B B λλλλλλλλλλλλλ=?-=-?=-+-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 证明：如图 ， 三点共线，当且仅当有唯一一个实数 ， ，且使令则 1. ()()()()()() 1212112212=1,1;2+= OA OP OP OA OB OP OA OB OA AP AB OB OP OA OB λλλλλλλλλλλλλλ?-===-+?-=-?=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u u u r r u ur 的系数之和等于1 即为向量，的变化而变化的定理特.如图， 且1征：向量， 的系数点P 的位置是随着令 ， 当点P 在线段AB 内()() ()() ()() 12121212121,1,,=10,10,1=1,01,0=10,,0=0=110 =1=10 1. λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-∈=∈-∈-∞=∈+∞<-<<>∈+∞=∈-∞-===-===此时 此时，0，当点P 在线段AB 的延长线上时， ，点P 在线段AB 反向延长线上时， ，当点P 与点A ， ，当点P 与点B 重合时， 时此时此时此时，， ，重合时, 111AP PB OP OA OB λλλλ ?==+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 推论：在OAB 中，P 为直线AB 上的一点，且则 O 1()

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理 一．教学目标： 了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件； 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2)，=(1,x)，若//，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理：如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________； 2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ?，j ? 作基底， 则对任一向量a ?，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标，记作____________。 3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量的坐标为＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为

向量三点共线定理及其延伸应用汇总

向量三点共线定理及其扩展应用详解 一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用 一、问题的提出及证明. 1、向量三点共线定理：在平面中A 、B 、C 三点共线的充要条件是： .O A xOB yOC =+（O 为平面内任意一点），其中1x y +=. 那么1x y +<、1x y +>时分别有什么结证？并给予证明. 结论扩展如下：1、如果O 为平面内直线BC 外任意一点，则 当1x y +<时 A 与O 点在直线BC 同侧，1x y +>时， A 与O 点在直线BC 的异侧，证明如下： 设 O A xOB yOC =+ 且 A 与B 、C 不共线，延长OA 与直线BC 交于A 1点 设 1O A O A λ=（λ≠0、λ≠1）A 1与B 、C 共线 则 存在两个不全为零的实数m 、n 1 O A m O B n O C =+ 且1m n += 则 OA mOB nOC λ=+ m n OA OB OC λ λ ?=+ m x λ ∴= 、n y λ = 1 m n x y λ λ ++= = （1）1λ> 则 1x y +< 则 11 1 OA OA OA λ = < ∴A 与O 点在直线BC 的同侧（如图[1]） （2）0λ<,则1 01x y λ +=<<，此时OA 与1OA 反向 A 与O 在直线BC 的同侧（如图[2]） 图[2] B C A 1 O A O A 1 B C A 图[1]

（3）1o λ<<，则1x y +> 此时 111 OA OA OA λ => ∴ A 与O 在直线BC 的异侧（如图[3]） 图[3] 2、如图[4]过O 作直线平行AB ， 延长BO 、AO 、将AB 的O 侧区 域划分为6个部分，并设OP xOA yOB =+, 则点P 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：0001x y x y ??<+??>??<+?? ????-<+

平面向量基本定理(教案)

《2.3.1 平面向量基本定理》教案 【教材】人教版数学必修4（A版）第105-106页【课时安排】1个课时 【教学对象】高一学生【授课教师】华南师范大学数学科学学院陈晓妹 【教材分析】 1.向量在数学中的地位 向量是近代数学中重要的概念，它不仅是沟通代数与几何的桥梁，还是解决许多实际问题的重要工具，因此具有很高的教育价值。 2.本节在教学中的地位 平面向量基本定理是向量进行坐标表示，并由此进一步将向量运算转化为坐标运算的重要基础；该“定理”以二维向量空间为依托，可以推广到n维向量空间，是今后引出空间向量用三维坐标表示的基础。因此本节知识在本章中起承上启下的作用。 3.本节在教学思维方面的培养价值 平面向量基本定理蕴含了转化的数学思想。它是用基本要素用基本要素（基底、元）表达事物（向量空间、具有某种性质的对象的集合），并把对事物的研究转化为对事物基本要素研究的典型范例，这是人们认识事物的一种重要方法。 【目标分析】 知识与技能 1.理解平面向量的基底的意义与作用，学会选择恰当的基底，将简单图形中的任一向量表 示为一组基底的线性组合； 2.了解平面向量的基本定理，初步利用定理解决问题（如相交线交成线段比的问题等）。过程与方法 1.通过平面向量基本定理，认识平面向量的“二维”性，并由此进一步体会“某一方向上 的向量的一维性”，培养“维数”的基本观念； 2.通过对平面向量基本定理的探究过程，让学生体会数学定理的产生、形成过程，体验定 理所蕴含的转化思想。 情感态度价值观 1.培养学生主动探求知识、合作交流的意识，感受数学思维的全过程； 2.与物理学科之间的渗透，改善数学学习信念，提高学生学习数学的兴趣。 【学情分析】 有利因素 1.学生在前面已经掌握了向量的基本概念和基本运算（特别是向量加法平行四边形法则和 向量共线的充要条件）都为学生学习本节内容提供了知识准备； 2.学生在物理学科的学习中已经清楚了力的合成和力的分解，同时作图习惯已经养成，这 为我们学习向量分解提供了认知准备。 不利因素

平面向量四心问题(最全)

近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上 不共线的三个点，动点P 满足： ，则P的轨迹一定通过△ABC 的（ ） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选 C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上. 例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC 的（）.

A．外心 B．内心 C．重 心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外 心 D、内心 解析：如图2所示，因为是向量的单位向量设与方向上的单位向量分别为，又，则原式可化为，由菱形的基本性质 知AP平分，那么在中，AP平分，则知选B.

(完整版)平面向量中“三点共线定理”妙用

平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(, 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使b a 由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点 的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB u u u v u v u u u v 且1x y 。 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y 当点P 在线段AB 之外时，0xy 笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点 共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。 例1（06年江西高考题理科第7题）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若 1200OB a OA a OC u u u r u u u r u u u r ，且A 、B 、C 三点共线， （设直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S ,故选A 。 点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。 例2 已知P 是ABC 的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP .,，则y x 4 1 的最小值是 解：Q 点P 落在ABC V 的边BC 上 B ，P,C 三点共线 AP xAB yAC u u u r u u u r u u u r Q 1x y 且x>0,y>0 14141444()1()()145y x y x x y x y x y x y x y x y 　 Q x>0,y>040,0y x x y 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y ，取等号时

向量的极化恒等式与等和线的应用学生版

向量的极化恒等式与等和线的应用学生版 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】

极化恒等式 ()2 22 2 2 2C C b b a a b a A A +?+=+== （1） () 2 22 2 2 2b b a a b a DB DB +?-=-== （2） （1）（2）两式相加得：?? ? ??+=??? ??+=+22222 2 22C AD AB b a DB A 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. 思考1：如果将上面（1）（2）两式相减，能得到什么结论呢 b a ?＝()() ???? ?? --+2241b a b a ————极化恒等式 对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的4 1. 即：[] 2 24 1DB AC b a -= ?（平行四边形模式） 思考：在图1的三角形ABD 中（M 为BD 的中点），此恒等式如何表示呢 因为AM AC 2=，所以2 2 4 1DB AM b a - =?（三角形模式） 例1.(2012年浙江文15)在ABC ?中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则 AB AC ?=____ . 目标检测 目标检测 例3.（2013浙江理7）在ABC ?中,0P 是边AB 上一定点，满足01 4 P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00 PB PC P B PC ?≥?。则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC = A B C M

等和线解决的平面向量专题

1、【2014宁波二模理17】已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB=3，AC=4．若存在非零实数．．．．x 、y ，使得AO xAB y AC =+，且21x y +=，则cos ∠BAC=． 解答：取AC 中点D ，则有2AO xAB y AC xAB y AD =+=+，而21x y +=，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，故有BC=AB=3， AC=4，求得2 cos 3 BAC ∠=. 2、【2014杭州二模文8理6】设O △ABC 的外心（三角形外接圆的圆心）.若 3 1 31+= ，则BAC ∠的度数为（） A.30°B.45°C.60°D.90° 解答：取AC 中点D ，则有12 33 AO AB AD = +，得点B,O,D 三点共线，已知点O 是△ABC 的外心，可得BD AC ⊥，即有AO=BO=2DO ，故可求得60BAC ∠=?. 3、【2009浙江理样卷6】已知AOB ?，点P 在直线AB 上，且满足 ()2OP tPA tOB t R =+∈，则 PA PB =（）A.13B.1 2C.2D.3 解答：由已知212t OP OA tOB t = ++，点P 在直线AB 上，得2112t t t +=+，解得1t =-或12t =.当1t =-时，可得11 22OA OP OB =+，此时A 为PB 中点，PA PB =12；当12t =时， 可得11 22OP OA OB =+，此时P 为AB 中点， PA PB =1. 4、【2014浙江省六校联考理17】已知O 为ABC ?的外心，2AB a =，2 (0)AC a a = >，120BAC ∠=，若AO xAB yAC =+(x ,y 为实数)，则x y +的最小值为_____． 解答：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，则易知 () 11R R AO AE x AB y AC R m R m = =+--，其中111x y +=，,2R m R ?? ∈???? ，故由已知可得R x y R m += -，所求取值范围是[)2,+∞. 5、【2013学年第一学期末宁波理17】已知O 为ABC ?的外心， 120,2,4=∠==BAC AC AB 。若21λλ+=，则=+21λλ__________. 解法1：如图，设AO BC E =，EO m =，AO R =，AF BC ⊥于F 点，OG BC ⊥于

平面向量四心问题(最全)

平面向量四心问题 近年来，对于三角形的“四心”问题的考察时有发生，尤其是和平面向量相结合来考察很普遍，难度上偏向中等，只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.下面就平面向量和三角形的“四心”问题的类型题做一阐述： 一、重心问题 三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重 心”就在中线上. 例1 已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不 共线的三个点，动点P 满足：， 则P的轨迹一定通过△ABC 的（） Ａ外心Ｂ内心 C 重心 D 垂心 解析：如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABCD，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则，因为， 所以，上式可化为，E在直线AP上，因为AE为的中线，所以选C. 点评：本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合. 二、垂心问题 三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”就在高线上.

例2 P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（　）. A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析:由. 即. 则， 所以P为的垂心. 故选D. 点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直” 等相关知识巧妙结合. 三、内心问题 三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”就在内角平分线线上. 例3 已知P是△ABC所在平面内的一动点，且点P满足 ，则动点P一定过△ABC的〔〕. A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心

平面向量中的线性问题专题(附答案)

平面向量中的线性问题 题型一 平面向量的线性运算及应用 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD → ，则( ) A.AD → ＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13 AC → D.AD →＝43AB →－13 AC → (2)如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC → ＝b ，试用a ，b 表示向量AO → . (3)OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若A 、B 、C 三点共线，则λ＋μ＝1. 变式训练1 (1)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若AD →＝λAB → ＋kAC → ，则λ＋k 等于( ) A.1＋ 2 B.2－ 2 C.2 D.2＋2 (2)在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN → ，则λ＋μ＝________.

题型二 平面向量的坐标运算 例2 (1)(2015·江苏)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________. (2)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： ①求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； ②若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ； ③若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . 变式训练2 (1)(2014·湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD → |的最大值是________. (2)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC → ＝(5－m ，－3－m )，若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________. 高考题型精练 1.(2015·四川)设向量a ＝(2,4)与向量b ＝(x,6)共线，则实数x 等于( ) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2015·安徽)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A.|b |＝1 B.a ⊥b C.a ·b ＝1 D.(4a ＋b )⊥BC → 3.已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4，设OC → ＝ λOA →＋OB → (λ∈R )，则λ的值为( ) A.1 B.13 C.12 D.2 3 4.(2014·课标全国Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC → 等于( )

平面向量共线定理题型总结

平面向量中“三点共线定理”妙用 对平面内任意的两个向量b a b b a //),0(,≠的充要条件是：存在唯一的实数λ，使b a λ= 由该定理可以得到平面内三点共线定理： 三点共线定理：在平面中A 、B 、P 三点共线的充要条件是：对于该平面内任意一点的O ，存在唯一的一对实数x,y 使得：OP xOA yOB =+且1x y +=. 特别地有：当点P 在线段AB 上时，0,0x y >> 当点P 在线段AB 之外时，0xy < 例1已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A 、B 、C 三点共线，（设 直线不过点O ），则S 200=（ ） A ．100 B ．101 C ．200 D ．201 解：由平面三点共线的向量式定理可知：a 1+a 200=1,∴1200200200() 1002 a a S += =,故选A. 例2 已知P 是ABC ?的边BC 上的任一点，且满足R y x AC y AB x AP ∈+=.,，则y x 4 1+的最小值是 解：点P 落在ABC 的边BC 上 ∴B ，P,C 三点共线 x>0,y>040,0y x x y ∴ >> 由基本不等式可知：4424y x y x x y x y +≥?=，取等号时4y x x y =224y x ∴=2y x ∴=±0,0x y >> 2y x ∴=1x y +=12 ,33 x y ∴==，符合 所以 y x 4 1+的最小值为9

例3如图，在△ABC中，1 3 AN NC =，点P是BC上的一点，若 2 11 AP mAB AC =+，则实数m的值为（） A． 9 11 B. 5 11 C. 3 11 D. 2 11 解：,, B P N三点共线，又228 4 111111 AP mAB AC mAB AN mAB AN =+=+?=+ 8 1 11 m ∴+= 3 11 m ∴=，故选C 例4如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝m AM，AC＝n AN，则m＋n的值为． 解：因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知： 1 () 2 AO AB AC ∴=+m AB AM ＝，AC nAN =又,, M O N三点共线， ∴由平面内三点共线定理可得：1 22 m n +=2 m n ∴+= 例5 如图所示：点是△的重心，、分别是边、上的动点，且、、三点共线． 设，，证明：是定值； 证明：因为G是OAB的重心，211 ()() 323 OG OA OB OA OB ∴=?+=+ 又,, P G Q三点共线，111 33 x y ∴+= 11 3 x y ∴+= 11 x y ∴+为定值3 G OAB P Q OA OB P G Q OA x OP=OB y OQ= y x 1 1 +

向量法证明三点共线的又一方法及应用

向量法证明三点共线的又一方法及应用 蒋李萍 201１年１0月2４日 平面向量既具有数量特征,又具有图形特征，学习向量的应用，可以启发同学们从新的视角去分析、解决问题，有益于培养创新能力. 下面就一道习题的应用探究为例进行说明. 原题 已知OB λOA μOC =+，其中1λμ+=. 求证:A 、B 、C 三点共线 思路:通过向量共线(如AB k AC =)得三点共线. 证明:如图,由1λμ+=得1λμ=-,则 (1)OB λOA μOC μOA μOC =+=-+ ∴()OB OA μOC OA -=- ∴AB μAC = ∴A 、B 、C 三点共线. 思考：１. 此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O 具有灵活性; ２. 反之也成立(证明略):若A 、B 、C 三点共线,则存在唯一实数对λ、μ，满 足OB λOA μOC =+,且1λμ+=．揭示了三点共线的又一个性质; 3. 特别地,12λμ== 时,1 ()2 OB OA OC =+，点B 为AC 的中点,揭示了OAC 中线OB 的一个向量公式,应用广泛． 应用举例: 例1 如图，平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且1 3 BN BD =. 利用向量法证明：M 、N 、C 三点共线. 思路分析：选择点B ，只须证明BN λBM μBC =+,且1λμ+=. 证明:由已知BD BA BC =+,又点N 在BD 上,且1 3 BN BD = ,得 1111()3333BN BD BA BC BA BC ==+=+ 又点M 是AB 的中点, 1 2BM BA ∴=,即2BA BM = 21 33BN BM BC ∴=+ 而21133 += ∴M 、N 、C 三点共线． D A B C M N

平面向量三点共线性质定理的推论及空间推广

平面向量三点共线定理的推论及空间推广 南昌外国语学校 梁懿涛 邮编：330025 地址：江西省南昌市桃苑西路126号南昌外国语学校 电话： 电子信箱： 一．问题的来源 平面向量三点共线定理:对于共面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r ,OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则A 、B 、C 三点共线的充要条件是1x y +=． 二．问题的提出 问题1.在上述定理中，如果1x y +<、1x y +>时，分别有什么结论 问题2.x 、y 有什么特定的意义吗 问题3.上述问题可以推广到空间吗 三．问题的解决 推论1. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则 （1）点C 在直线AB 外侧（不含点O 一侧）的充要条件是1x y +>． （2）点C 在直线AB 内侧（含点O 一侧）的充要条件是1x y +<． 证明：（1）必要性：如图1-1，连OC 交AB 于点C '，则存在实数λ，使得(1)OC OC λλ'=>u u u r u u u u r ，(1)OC x OA y OB x y '''''=++=u u u u r u u u r u u u r ，OC x OA y OB λλ''∴=+u u u r u u u r u u u r ，,x x y y λλ''==， ()1x y x y λ''∴+=+>． 充分性：1x y +>Q ，∴存在1λ>，使得,x x y y λλ''==且1x y ''+=． ()OC x OA y OB OC λλ'''∴=+=u u u r u u u r u u u r u u u u r ，C 'Q 在直线AB 上，C ∴在直线AB 外侧． 同理可证（2）． 进一步分析，得： 推论1'. 对于不共线向量,OA OB u u u r u u u r ,若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，则 （1）连接AB 得直线1l ，过点O 作平行于1l 的直线2l ，则1l 、2l 将平面OAB 分成三个区域，如图1-2点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：1x y +>；（Ⅱ）区：01x y <+<；（Ⅲ）区：0x y +<．特别地，当点C 落在1l 上时，1x y +=；当点C 落在2l 上时，0x y +=． （2）直线OA 、OB 将平面OAB 分成四个区域，如图1-3，则点C 落在各区域时，x 、y 满足的条件是： （Ⅰ）区：00x y >??>?；（Ⅱ）区：00x y ?；（Ⅲ）区：00x y ??>，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>，则点C 在线段AB 的延长线 上． 证明：OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r Q 且1x y +=，OC xOC yOC xOA yOB ∴=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，xCA yBC =u u u r u u u r ， ||||||||AC y BC x ∴=。当0,0x y >>时，CA u u u r 与BC uuu r 同向，如图2-1所示，则点C 在线段AB 上；当0,0x y ><时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC <，如图2-2所示，则点C 在线段BA 的延长线上；当0,0x y <>时，CA u u u r 与BC uuu r 反向，且||||AC BC >，如图2-3所示，则点C 在线段AB 的延长线上．

平面向量共线问题

平面向量共线问题的探讨 摘要：平面向量的平行与垂直是高中数学新课程向量部分的重要内容，本文旨在对平面向量平行（即共线）相关定理进行推广，得到两个更加具有一般性的结论，并举例说明它们的应用，使问题的解决更简捷。 关键词：平面向量、共线定理、推广、应用。 平面向量的共线，这部分内容比较重要，在各种考试中也频频出现，教材上就两个向量共线已给出两个定理： （1） 向量()≠与向量共线?存在唯一实数λ，使得a b λ=成 立。 （2） 向量()11,y x a =与向量()22,y x b =，则∥?01221=-y x y x 在此基础之上，笔者对向量共线问题，再做进一步探讨及推广，若有不当之处，请各位老师指正。对于定理（2）给出的结论，向量，b 的基底是单位正交向量：，j ，下面我们给出的结论中，涉及到的基底不一定是单位正交向量：i ，，而是任意一组基底：1e 与2e ，它更具有一般性。 推论1：若1e ，2e 是不共线的两个向量，2111e y e x a +=，2212e y e x +=，与b 共线 ?01221=-y x y x 证明：与b 共线，当且仅当=λ， ?2111e y e x +() 2212e y e x +=λ ?2111e y e x +2212e y e x λλ+= 由平面向量基本定理得：???==2121y y x x λλ ①2y ?-②2x ?消去λ得：01221=-y x y x ① ②

所以，a 与b 共线?01221=-y x y x 。 上述结论还可以进一步推广为： 推论2：对于任意向量1e ，2e ，若2111e y e x +=，2212e y e x +=，那么与共线 ?1e ∥2e 或01221=-y x y x 证明：分两种情况： 1e 与2e 平行和1e 与2e 不平行 （1）1e 与2e 平行时，结论成立。 （2）1e 与2e 不平行时,a 与共线，当且仅当a =b λ， 有：2111e y e x +() 2212e y e x +=λ 即：2111e y e x +2212e y e x λλ+= 由平面向量基本定理得：???==2121y y x x λλ ①2y ?-②2x ?消去λ得：01221=-y x y x 即：当且仅当01221=-y x y x 时，与b 共线 综合（1）（2）知：与b 共线?1e ∥2e 或01221=-y x y x 上述两个结论，尤其第二个，对向量共线的问题阐述得比较完备。 在高考、模拟考、联考等一系列考试中，常出现向量共线的问题，下面是两个结论针对一些考题的应用，所有例题都给出多种解法，其中“另解”应用了上述结论，多种解法进行对比后，我们可以看出应用上述结论可以使问题的解决更简捷，从而节省时间。 例1.（2009重庆卷文）已知向量)1,1(=a ，),2(x b = 若b a +与24-平行，则实数x 的值是 （ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 解法1：因为)1,1(=a ，),2(x b = ，所以)1,3(+=+x b a ，① ②

向量中的“奔驰定理”与“等和线定理”

（一）向量中的“奔驰定理” 引例1、设O 在ABC ?内，3,0==++?ABC S OC OB OA ，则_______=?AOB S . 引例2、设O 在ABC ?内，,032=++OC OB OA 则ABC ?与AOC ?的面积之比为 （ ） A.2:1 B.3:2 C.3:1 D.5:3 “奔驰定理“：在ABC ?中，任取一点O ，如图， 则：O OC S OB S OA S C B A =++ . 例1:设P 是ABC ?内一点，且AC AB AP 5152+= , 则ABP ?与ABC ?的面积之比为_____________。 结论：三角形的“四心”的向量表达式： （1）重心G ：0=++GC GB GA ； （2）外心O ：02sin 2sin 2sin =++OC C OB B OA A ； （3）内心I ：0=++IC c IB b IA a 或0sin sin sin =++IC C IB B IA A ； （4）垂心H ：0tan tan tan =++IC C IB B IA A 。 练习1:设G 是ABC ?的重心，且0sin sin sin =++GC C GB B GA A ，则_______=∠B 。 练习2:已知P 是ABC ?的外心，且 120,0=∠=++ C PC PB PA λ,则实数λ的值为 ____。 （二）平面向量中的“等和线定理” 一、等和线： 平面内一组基底OB OA ,及任意一向量OP ，),(R OB OA OP ∈+=μλμλ， 若点P 在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则k =+μλ（定值）；反之也成立，我们把直线AB 以及直线AB 平行的直线叫等和线。 性质：（1）当等和线恰为直线AB 时，1=k ； （2）当等和线在O 点和直线AB 之间时，)1, 0(∈k ； （3）当直线AB 在O 点和等和线之间时，), 1(+∞∈k ； （4）当等和线过点O 时，0=k ； (5)当两等和线关于O 对称，则定值k 互为相反数； （6）定值k 的变化与等和线到O 的距离成正比。

平面向量补充讲义----三点共线定理(修改版)

平面向量补充讲义----三点共线定理 班级：__________姓名：___________ 三点共线定理：若平面内，向量12,OP OP 不共线，向量12OP OP OP λμ=+， 则12,,P P P 三点共线的等价条件是1λμ+=．（如图，共线时λ满足：221P P P P λ=） 说明1：若12,,P P P 三点共线，设221P P P P λ=，则11OP OP PP =+，则 例1．如图，在△ABC 中，13 AN NC =，点P 是BN 上的一点，若211 AP mAB AC =+，则实数m 的值为（ ） A ．911 B. 511 C. 311 D. 211 练习 例2．，点在边上，，设，则（ ） 例3．如图，点是△的重心，、分别是边、上的动点， 且、、三点共线．设，，求： 的值 推论：如图，若平面内，向量12,OP OP 不共线，点P 为直线12P P 的 平行线上任意一点，且向量 12OP OP OP λμ=+，则λμ+为定值． （这条平行线称为等和线） 例4 ．已知点G 为ABC ?重心，P 为GBC ?内动点（不包括边界），且AP AB AC λμ=+，则λμ+的取 值范围是__________________；2λμ+的取值范围是_______________________. OAB ?P AB 3AB AP =,OA a OB b ==OP =12.33A a b +21.33 B a b +. C 1233a b -. D 2133a b -G OAB P Q OA OB P G Q x =y =y x 11+2 12P 1