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二次函数求最值参数分类讨论的方法

分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．

一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。

①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。

含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论

题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值

例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。

分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+-

∴此函数图像开口向上，对称轴x=a

①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，

∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a

②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远，

∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a

③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，

∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3

④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远，

∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3

例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3

[,2]2

-上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.

解:1)若a=0,则f(x)=-x-3,而f(x)在3[,2]2-上取不到最大值为1,∴a ≠0

2)若a ≠0,则2()(21)3f x ax a x =+--的对称轴为0122a x a

-= (Ⅰ)若3()12f -=，解得103a =-，此时0233[,2]202

x =-∈- a<0, 0()f x 为最大值，但23()120

f -≠ (Ⅱ) 若(2)1f =解得34a =此时013[,2]32

x =-∈- 0310,43

a x =>=-距右端点2较远，(2)f 最大值符合条件

(Ⅲ) 若0()1f x =解得a =

当302

a -+=<时034[,2]2x =-?-

当302

a --=<时034[,2]2x =∈-

综收所述34a =或32a --= 评注：此类题属于“动轴定区间”型的二次函数最值，解决此类问题的关键是讨论对称轴相对于定义域区间的位置，讨论时做到不重不漏。

题型二：“动区间定轴”型的二次函数最值

例3．求函数2()23f x x x =-+在x ∈［a,a+2］上的最值。

解：2()23f x x x =-+2

(1)2x =-+

∴此函数图像开口向上，对称轴x=1

①当a ＞1时，a 距对称轴x=1最近，a+2距x=1最远，

∴当x=a 时，min y =- a ２+3 ,x=a+2时，max y = a ２ +2a+3 ②当0＜a≤1时，1距对称轴x=1最近，a+2距离x=1最远，

∴当x=1时，min y =2 ,x=a+2时，max y = a ２

+2a+3 ③当-1＜a≤0时，1距对称轴x=1最近，a 距x=1最远，

∴当x=1时，min y =2 ,x=a 时，max y =a ２

-2a+3 ④当a≤-1时，a+2距对称轴x=1最近，a 距x=1最远，

∴当x=a+2时，min y = a ２ +2a+3 ,x=a 时，max y = a ２

-2a+3

题型三：“动轴动区间”型的二次函数最值

例５、已知函数22()96106f x x ax a a =-+--在1

[,]3

b -上恒大于或等于０，其中实数[3,)a ∈+∞,求实数b 的范围．分析：找出函数的对称轴：3a x =结合区间1[,]3b -讨论3a b ≥或133

a b -<<的情况解：∵21()9()106,[,]33

a f x x a x

b =---∈- 若3a b ≥时，f(x)在1[,]3

b -上是减函数 ∴min y =2()9()1063a f b b a =---即29()1063a b a ---≥0则条件成立令22()(610)96,[3,)u g a a b a b a ==-++-∈+∞

(Ⅰ)当3b+5≤3时.即23

b ≤-则函数g(x)在[)3,+∞上是增函数 ∴2min (3)9183096u g b b ==--+-

即2918270b b --≥解得b ≥3或b ≤-1 ∵23

b ≤-,∴b ≤-1 (Ⅱ)当3b+5>3即23

b >-

,min (35)3031u g b b =+=-- 若-30b-31≥0解得3130b ≤-与23

b >-矛盾; (2)若133a b -<<时, min ()1063

a y f a ==--即-10a-6≥0 解得35a ≤-与[3,)a ∈+∞矛盾; 综上述：

b ≤-1

评注：此题属于“动轴动区间”型的二次函数最值，解决的关键是讨论对称轴与定义域区间的位置更便于我们分类类讨论，然后依据口诀，很快就可解决问题。

最后,我们在得用分类讨论方法解题中要注意两个原则：一、分类不重不漏；二、一次分类只能按已确定的同一标准进行．

二次函数分类讨论补充习题

1．已知函数()222f x x x =++，若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。

2．已知函数2()3f x x =-+，若()26f x kx ≤-+在区间[]2,1-上恒成立，求实数k 的取值范围。

3．已知k 为非零实数，求二次函数,122++=kx kx y (,2]x ∈-∞的最小值。

4．已知3a ≤，若函数()2

21f x x ax =-+在[]3,1上的最大值为()a M ，最小值为()a m ，又已知函数()()()a m a M a g -=，求()a g 的表达式。

含参数二次函数分类讨论的方法

二次函数求最值参数分类讨论的方法分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题．一般地,对于二次函数y=a (x -m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a ＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=0时，max y =3 ④、当4≤a 时，4距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ∴x=4时，min y =19-8a ，x=0时，max y =3 例2、已知函数2()(21)3f x ax a x =+--在区间3 [,2]2 -上最大值为1,求实数a 的值分析:取a=0,a ≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分类讨论.

高中数学二次函数分类讨论经典例题

例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围；（2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围（4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。

解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1(?吗？），即.4 21-++++≥+????? ?????≥+-+<+-<≥≥m m m m m m m m m m f f （3）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，原命题等价于 ???<<0)3(0)1(f f 即? ??<++++<++++0142)3(690142)3(21m m m m 得.421-0)4(0g m 或,0 )4(0???>)(恒成立，求实数a 的取值范围。解：（1）0)()(恒成立?.)]([min a x f >又当]1,1[-∈x 时， 5)1()]([min -=-=f x f ，所以).5,(--∞∈a 【评注】“有解”与“恒成立”是很容易搞混的两个概念。一般地，对于“有解”与“恒成立”，有下列常用结论：（1）a x f >)(恒成立?a x f >min )]([；（2）a x f <)(恒成立?a x f )(有解?a x f >max )]([；（4）a x f <)(有解?.)]([min a x f < 分析：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，首先应搞清二次项系数a 是否为零，如果)(,0x f a ≠的最大值与二次函数系数a 的正负有关，也与对称轴

(完整版)二次函数综合题分类讨论带答案.doc

二次函数综合题分类讨论一、直角三角形分类讨论： 1 1、已知点 A(1 ，0),B（ -5,0），在直线y 2 x 2 上存在点C，使得 ABC 为直角三角形，这样的 C 点你能找到个 2、如图 1，已知抛物线C1：y a x 2 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相较于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1.（ 1）求 P 点坐标及a的值；（ 2）如图 1，抛物线 C2与抛物线 C1关于 x 轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3， C,3的顶点为 M ，当点 P、 M 关于点 B 成中心对称时，求C,3的解析式；（ 3）如图 2，点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点 Q 旋转180 后得到抛物线 C,4，抛物线 C,4的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、 F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、 N、 F 为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q 的坐标。（2013 汇编 P56+P147）

3、如图，矩形 A’BC’O’是矩形 OABC( 边 OA 在 x 轴正半轴上，边 OC 在 y 轴正半轴上 )绕 B 点逆时针旋转得到的． O’点在 x 轴的正半轴上， B 点的坐标为 (1，3)． (1)如果二次函数 y＝ ax2＋ bx＋c(a≠0)的图象经过 O、O’两点且图象顶点 M 的纵坐标为 —1．求这个二次函数的解析式； ? (2) 在 (1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得POM 为直角三角形若存在，请求出P 点的坐标和POM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边 C’O’所在直线的解析式．

含字母参数的二次函数问题

含字母参数的二次函数问题引入 1.什么是函数？ 2.我们已经学过哪些函数？ 3.对于函数我们需要掌握哪些知识？二次函数知识点回顾 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2 ax y =；②k ax y +=2 ；③ ()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2.

它们的图像特征如下：开口大小与｜a ｜成反比，｜a ｜越大，开口越小；｜a ｜越小，开口越大. 5.用待定系数法求二次函数的解析式: （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 6.二次函数与一元二次方程的关系：（1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况．（2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数 c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c=0的根．（3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2 + bx+c 的图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程02 =++c bx ax 没有实数根．练习1．请你利用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标。（1）2 25y x x =++ （2）2 261y x x =+- （3）(2)(5)y x x =++ （4）(23)(1)y x x =+-

二次函数(专题)教学设计

二次函数（专题） ——线段问题【教学目标】一、知识技能 1.会用坐标表示线段长度； 2.能解决与抛物线有关的线段问题. 二、数学思考 1.通过用点的坐标表示线段的长度，体现数形结合的思想； 2.体会分类讨论的思想方法. 三、问题解决 1.引导学生归纳出解决与抛物线有关的线段问题的方法； 2.通过小组讨论发现问题，解决问题，体会在解决问题过程中小组合作的重要性. 四、情感态度在解决问题的过程中，培养学生独立思考、敢于发表自己见解的学习习惯.在合作交流的过程中使学生体验成功的喜悦，增强学好数学的信心. 【教学重点】 1.用坐标表示线段长; 2.解决与抛物线有关的线段问题. 【教学难点】用坐标表示线段长. 【教学方法】探究归纳法、讲练结合法、小组合作法. 【教学准备】多媒体课件、学案等. 【教学过程】一、知识回顾

1.已知(,) ，(,)A B --5212，则AB = ; 2.已知(,) ，(，-)C D --1512，则CD = . 一般地，若 ()(),,, A x y B x y 1122，则当 y y =12时，AB x x =-12；当x x =12时，AB y y =-12. 【设计意图】在平面直角坐标系中，若已知点的坐标，可以用坐标求线段的长度.通过观察两点与坐标轴的关系，强调平行于x 轴（或在x 轴上）或者y 轴（或在y 轴上）这一重要前提条件.由两道具体问题的计算推广到一般情况，得出结论，体现了数学由特殊到一般的思想. 二、典例精讲 (一)知识准备例如图，抛物线y x bx c =- ++2 14 的图象过点(,)A 40,(,)B --44； (1)求抛物线和直线AB 的解析式；学生在学案上独立完成，老师在大屏幕上展示解题过程，学生对改、订正. 【设计意图】复习用待定系数法求函数解析式的过程，加强学生对坐标与解析式关系的理解，加深对直线和抛物线图形的认识,为下一环节做准备.通过课件展示，规范学生的解题过程. (二)问题解决 (2)若点D 是线段AB 上的一动点(不与、A B 重合)，过点D 作y 轴的平行线，与抛物线交于点E ,与x 轴交于点C ,设点D 的横坐标为.m