向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计）

[教学目标]

一、知识与能力：

1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；

2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算；

二、过程与方法：

1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程；

2．体会数形结合的数学思想方法.

三、情感、态度与价值观：

培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题．

[教学重点]

向量加法定义的理解；向量加法的运算律．

[教学难点]

向量加法的意义

一、复习回顾，新课导入

1．物理学中，两次位移,

OA AB的结果与位移OB是相同的。

2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？

3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。

二、师生互动，新课讲解

1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC

+=

求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。

以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a

例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。

作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.

作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。

变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？

2．归纳：

1.两个向量的和仍是一个向量。

2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|.

3.当a与b共线时，

(1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|.

(2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|.

3. 向量加法的运算律

探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？

要求学生画图进行探索.

（1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，

因为AC AB BC =+=a+b ，AC AD DC =+=a+b

所以，a+b=b+a

（2） 如图自平面内任一点A ，作AB =a ，BC =b ，CD =c ，

因为()AD AC CD AB BC CD =+=++=(a+b)+c ，

()AD AB BD AB BC CD =+=++=a+(b+c )，

所以(a+b)+c=a+(b+c).

例2： 一艘船以23的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/h ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。

解：如图，设AD 表示船向垂直于对岸的方向行驶的速度，AB 表示水流的速度，

以AD 、AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC 就是船实际航行的速度，

在Rt ?ABC 中，||AB =2km/h ，||BC =23，所以22||||||4AC AB BC =+=，

因为23tan 3CAB ∠=60CAB ∠=?， 答：船实际航行速度的大小为4km/h ，方向与流速间的夹角为60?。

变式训练2：摩托艇是抗洪抢险中的主要交通工具，设它在静水中的航行速度是每小时25千米，如果当时的水流速度是每小时15千米，那么该摩托艇向下游航行时，每小时能行________千米，它向上游航行时，每小时能行___________千米.(40、10)

课堂练习1：（课本P84练习NO ：1；2；3；4）

例3：(tb0140403)化简AB +FA BC CD DF +++（答：0）

变式训练3、(tb0140603)已知正方形ABCD 的边长为1，===,,，则|++|为（ ）。

（A ）0 （B ）3 （C ）2 （D ）22

三、课堂小结，巩固反思：

1． 在学习向量加法概念时，要结合物理学理解向量加法的意义；

2． 要熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角线形法则，并能做出已知两个向量的和向量；

3． 要理解向量加法的交换律和结合律，能说出这两个向量运算律的几何意义；

四、课时必记：

1、向量的几何意义。

2、三角形法则与平行四边形法则。

五、分层作业：

A 组：

1、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：1）

2、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：2）

3、（课本P91习题2.2 A 组 NO ：6）

B 组：

1、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：1）

2、（课本P91习题2.2 B 组 NO ：2）

3、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.

（答：2km/h ）

4、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.

(答：1km/h)

5、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60 ，求1v 和2v .

（答：v 1；v 2=2km/h ）

6、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，则船的实际航行速度大小最大是

km/h ，最小是

km/h

（答：7；3）

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向量在几何中的应用

唐山师范学院本科毕业论文 题目向量在解析几何中的应用 学生张红阳 指导教师孟令江副教授 年级10数本2班 专业数学与应用数学 系别数学与信息科学系 唐山师范学院数学与信息科学系 2014年5月

郑重声明 本人的毕业论文（设计）是在指导教师孟令江的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为,本人愿意承担由此产生的各种后果,直至法律责任,并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。 毕业论文（设计）作者（签名）：张红阳 2014 年 4 月 31 日

目录 标题 (1) 中文摘要 (1) 1引言 (1) 2 预备知识 (1) 2.1 向量的概念 (1) 2.2 向量的运算 (1) 2.2.1向量的加法 (1) 2.2.2向量的减法 (1) 2.2.3数量乘向量 (1) 2.2.4两向量的数量积 (1) 2.2.5两向量的向量积 (1) 2.2.6三向量的混合积 (2) 2.2.7法向量的有关概念 (2) 2.2.8线性相关定义 (2) 3 向量在立体几何中的应用 (2) 3.1向量在立体几何中的证明 (2) 3.1.1向量在立体几何中的简单证明 (2) 3.1.2证明两直线平行 (3) 3.1.3证明线面平行 (4) 3.1.4证明面面平行 (6) 3.1.5证明两直线垂直 (7) 3.1.6证明线面垂直 (8) 3.1.7证明面面垂直 (9) 3.2向量在几何中的计算 (10) 3.2.1距离 (10) 3.2.1.1两点间的距离 (10) 3.2.1.2点到直线的距离 (11) 3.2.1.3点面距离 (11) 3.2.1.4异面直线的距离 (12) 3.2.2夹角 (12) 3.2.2.1两异面直线的夹角 (12) 3.2.2.2线面角 (13) 3.2.2.3二面角 (14) 3.2.3求面积 (16) 3.2.4求体积 (17) 参考文献： (18) 致谢 (19) 外文页 (20)

向量的加减法运算及其几何意义

课题 向量的加减法运算及其几何意义 知识点一：向量的基本概念： （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 （二）探究学习 1、数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. 向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 4、零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的. 注意0与0的含义与书写区别. ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 6、相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 7、共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行， 要区别于在同一直线上的线段的位置关系. A(起点) B （终点） a

空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)

空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= >

向量减法及其几何意义

§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间 可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 授课类型：新授课 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算 定律： 例：在四边形中，=++BA BA CB . 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++ 二、 提出课题：向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b .强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图 较繁，但最后作图可统一. O A B a B’ b -b b a + (- b ) a b A B D C O a b B a b a -b

向量减法运算及其几何意义教学设计.doc

向量减法运算及其几何意义教学设计 教学课题简介 学科数学教学题目向量减法运算及其几何意义教材普通高中课程标准实验教科书（必修4） 一、教学目标 1、知识与技能知道相反向量的定义；理解记住向量减法法则及其几何意义；能够用向量减法法 则及其几何意义求两向量的差. 2、过程与方法通过回顾向量运算与实数运算之间的联系分析归纳相反向量的的定义和向量的减 法运算；通过联系向量加法的作图方法观察并归纳向量减法的作图方法和要点， 体会向量减法的几何意义. 3、情感态度与 价值观通过阐述向量减法与数量减法的联系，培养学生类比的数学思想方法；由向量减法向加法的转化，让学生懂得从已知到未知这一转化思想；由作图了解向量减法的几何意义，培养学生作图能力，并从中体会数形结合的数学思想. 二、教学重点和难点 1．重点：向量减法法则及其几何意义． 2．难点：向量减法法则及其作图方法；向量减法几何意义的应用． 三、教学方法：互动探究式授课 通过引导让学生自主探究，合作交流，体验学习过程中涉及的转化和数形结合的数学思想，类比、观察、分析、归纳等数学方法． 四、教学使用工具 多媒体教学 五、课堂教学过程设计 （一）内容引入 类比数量加法的意义，我们联系实际了解了向量加法，并学习了向量加法法则和作图方法，那么你能否同样与数量减法相比较得到向量减法法则和其几何意义呢？这就是本节课将要探讨和学 习的主要内容． （二）、师生交流温故知新 1 回顾、类比、得新知——相反向量 问题1你是否还记得刚进初中时学习有理数减法时的减法法则？你能否由此联系思考向量减法的减法法则呢？ 我们知道，在数量中，减去一个数等于加上这个数的相反数，如果向量减法可以相应的也转化为向量的的加法，那么向量减法对于我们而言就不再是问题了！向量的减法法则，类比一下，可以

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计

《向量的加法运算及其几何意义》教学设计 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ （4）船速为AB ，水速为BC ，则两速度和：AC BC AB =+ A B C C A B A B C A B C

《向量加法运算及其几何意义》教学设计

《向量加法运算及其几何意义》教学设计 一、教材分析 《普高中课程标准数学教科书数学（必修（4））》(人教（版）)。第二章2．2平面向量的线性运算的第一节“向量加法运算及其几何意义”（89--94页）。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念 教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标

《向量的加法运算及其几何意义》教案

2.2.1向量加法运算及其几何意义 知识目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的 和，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向 量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算， 渗透类比的数学方法； 教学重点与难点: 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 教学过程 一、复习引入 问题1：向量的定义以及相等向量的定义是什么？ 1、什么叫向量？ 2、长度为零的向量叫做。零向量的方向具有性。 3、长度等于一个单位的向量叫做。 4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。 5、长度相等且方向相同的向量叫做。 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量

可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 问题2：数能进行运算,向量是否也能进行运算呢？ 二、探究新知 活动一 元旦假期将到，某人计划外出去三亚旅游，从重 庆（记作A ）到昆明（记作B ），再从B 到三亚（记作 C ），这两次的位移和可以用哪个向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2． 向量加法的法则 (1) 向量加法的三角形法则 如图3,已知非零向量a 、b ,在平面内任取一点A,作=a ,=b ,则向量叫做a 与b 的和,记作a +b ,即a +b =+=.这种求向量和的方法叫做向量加法的三角形法则 (2) 向量加法的平行四边形法则 如图4,以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为 邻边作平行四边形,则以O 为起点的对角线就是a 与b 的和.把这种求向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 问题4： 对于零向量与任一向量的加法,结果又是怎样的呢？ 对于零向量与任意向量a ，我们规定：a +0=0+a =a . 总结: 三角形法则 : 图 4

向量加法运算及其几何意义

各位评委：大家好！我的说课题目是向量加法运算及其意义 根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节内容是选自人教版高中数学必修4第2章第2节第1部分的内容 是高中数学的重要内容之一。向量是一个知识的交汇点，它在平面几何、立体几何等章节中都有着重要作用。本节课是在学习了向量的实际背景及基本概念后对向量加法、向量加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量加法的运算律做的进一步探究， 初步展现了向量所具有的优良运算通性，为后面学习向量的其他知识奠定了基础 2、学情分析 从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生注意力易分散，喜欢发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。 3、教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的 学习重点：向量加法的两个法则及其应用 学习难点：对向量加法定义的理解 二、教学目标分析 知识目标:掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和向量；掌握向量的加法的运算律，并会用它们进行向量计算 能力目标：体会数形结合、分类讨论等数学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识和创新意识 情感目标:注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成功，培养学生学习数学的信心 三、教学方法分析 1、教法分析 本着“以学生为主体，以教师为主导，以问题解决为主线，以能力发展为目标”的指导思想，结合学生实际，主要采用“问题导引，自主探究”式教学方法。 2、学法指导 引导学生从实际问题中抽象出数学模型，提高观察、归纳、分析的能力；引导学生自己发现问题、提出问题并予以解决，学会合作交流;引导学生具有“用数学”的意识，尝试着用数学知识解决实际问题。。 四、教学过程分析 新课标指出，数学教学过程是教师引导学生进行学习活动的过程，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程。为有序、有效地进行教学，本节课我主要安排以下教学环节：复习引入探究深化精讲点拨当堂达标总结提升作业布置

向量的减法及其几何意义

2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 一、学习目标: 1. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 2. 能运用向量减法的几何意义解决一些问题. 二、重难点 : 1. 重点：向量减法的三角形法则及其应用； 2. 难点：对向量的减法定义的理解. 三、知识回顾: 1、向量加法的法则： 。 2、向量加法的运算定律： 。 四、探究新知： 1.用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义： 。 (2) 规定：零向量的相反向量仍是 . --=a a （ ）. 任一向量与它的相反向量的和是 +- =0a a （） 如果a 、b 互为相反向量，则=-,=-,+0a b b a a b = （3）向量减法的定义： . 即： 求两个向量差的运算叫做向量的减法. (4).用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b x a +=,则x 叫做a 与b 的差，记作 。 2.向量的减法的三角形法则： 特点：共起点，连终点，方向指向被减向量. 五、典例分析：

例1、已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b -、c d -. 练习：已知向量，求作向量。 例2.化简:(AB →－CD →)－(AC →－BD → )． ,a b a b -

练习：化简：(1)AB →－CB →－DC →＋DE →＋F A → ； 例3、平行四边形ABCD 中，=a ，=b ，用a 、b 表示向量、. 变式一：当a ，b 满足什么条件时，+a b 与a b -垂直？ 变式二：当a ，b 满足什么条件时，|+a b | = |a b -|？ 变式三：+a b 与a b -可能是相等向量吗？

向量的加法及其几何意义

向量的加法及其几何意义 一、教材分析 高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一，在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的基本概念和基本运算；②向量作为工具的应用。另外，在今后学习复数的三角形式与向量形式时，还要用到向量的有关知识及思想方法，向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2．1节通过物理实例引入了向量的概念，介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算，是最基本、最重要的运算，是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用，同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说：如果没有运算，向量只是一个“路标”，因为有了运算，向量的力量无限。 二、学生学习情况分析 学生在高一学习物理中的位移和力等知识时，已初步了解了矢量的合成，而物理学中的矢量相当于数学中的向量，这为学生学习向量知识提供了实际背景。 三、设计理念

教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心，会学是目的。因此，在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中，从教材和学生的实际出发，按照学生认知活动的规律，精练、系统、生动地讲授知识，发展学生的智能，陶冶学生的道德情操；要充分发挥学生在学习中的主体作用，运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性，启发学生开展积极的思维活动，通过比较、分析、抽象、概括，得出结论；进一步理解、掌握和运用知识，从而使学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。 四、教学目标 根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题，本节课的内容与实际问题联系紧密，更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点，我把本节课的教学目的确定为： 1、理解向量加法的意义，掌握向量加法的几何表示法，理解向量加法的运算律。 2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。 3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4、进行辩证唯物主义思想教育，数学审美教育，提高学生学习数学的积极性。

向量的加法运算及其几何意义

向量的加法运算及其几何意义 教学目标： 1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.

教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、情景设置： （1）某人从a到b，再从b按原方向到c， 则两次的位移和： （2）若上题改为从a到b，再从b按反方向到c， 则两次的位移和： （3）某车从a到b，再从b改变方向到c， 则两次的位移和： （4）船速为，水速为，则两速度和： 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”） 如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即a＋ｂ，规定：a + 0-= 0 + a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量与不共线时，+ 的方向不同向，且| + || |，则+ 的方向与相同，且| + |=| |-| |；若| |４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中+ 的结果与+ 是否相同？验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应） ２）向量加法的交换律：+ = + ５．向量加法的结合律：( + ) + = + ( + ) 证：如图：使，， 则( + ) + = ，+ ( + ) = ∴( + ) + = + ( + ) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 三、应用举例： 例二（p94—95）略

《向量的加法运算及其几何意义》教案完美版

《向量的加法运算及其几何意义》教案 教学目标： 1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义； 2、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力； 3、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量. 教学难点：理解向量加法的定义. 学 法： 数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律. 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置 2、 情景设置： （1）某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ （2）若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：=+ （3）某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：=+ （4）船速为，水速为，则两速度和： AC =+ 二、探索研究： １、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. A B C A B C A B C

(完整版)2.2.2向量的减法运算及其几何意义教案

2.2.2向量的减法运算及其几何意义 教学目标： 1. 了解相反向量的概念； 2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转 化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 教学思路： 一、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则，向量加法的运算定律： 例：在四边形中，=++AD BA CB . 解： =+=++ 二、 提出课题：向量的减法 1． 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 -a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b ， b = -a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2． 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3． 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a - b ∵(a -b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， = b 则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量. 注意：1?表示a - b. 强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b) O A a B’ b -b b B a + (- b ) a b O a b B a b a -b

向量的减法运算及其几何意义

向量的减法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义教学目标： 1.了解相反向量的概念； 2.掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法. 教学难点：减法运算时方向的确定. 学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学思路： 一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 例：在四边形中， . 解： 二、提出课题：向量的减法

1．用“相反向量”定义向量的减法 （1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a （2）规定：零向量的相反向量仍是零向量. ( a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + ( a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = b，b = a，a + b = 0 （3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b 3求作差向量：已知向量a、b，求作向量 ∵(a b) + b = a + ( b) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点o， 作= a，= b 则= a b 即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量. 注意：1 表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数 2 用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + ( b) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. 2．探究：

向量加法运算及其几何意义(教学设计)(精选、)

2．2．1向量加法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量； 2．能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行计算； 二、过程与方法： 1．经历向量加法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． [教学重点] 向量加法定义的理解；向量加法的运算律． [教学难点] 向量加法的意义 一、复习回顾，新课导入 1．物理学中，两次位移, OA AB的结果与位移OB是相同的。 2．物理学中，作用于物体同一点的两个不共线的合力如何求得？ 3．引入：两个向量的合成可用“平行四边形法则”和“三角形法则”求出，本节将研究向量的加法。 二、师生互动，新课讲解 1．已知向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB BC AC += 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 这种求作两个向量的方法叫做三角形法则，简记“首尾相连，首是首，尾是尾”。 以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OABC，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量与任一向量a，规定a+0=0+a=a 例1（课本P81例1）已知向量a,b，用两种方法（三角形和平行四边形法则）求作向量a+b。 作法一：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b. 作法二：在平面内任取一点O，做OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作OBCA，则OC=a+b。 变式训练1：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法有什么关系？ 2．归纳： 1.两个向量的和仍是一个向量。 2.当a,b不共线时，a+b的方向与a、b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|. 3.当a与b共线时， (1)若a与b同向，则a+b的方向与a、b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (2)若a与b反向，当|a|>|b|时，a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；当|a|<|b|时，a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 3. 向量加法的运算律 探究：数的加法满足交换律与结合律，即对任意a,b∈R，有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)，任意向量a,b的加法是否也满足交换律和结合律？ 要求学生画图进行探索. （1）如图作ABCD，使AB=a，AD=b，则BC=b，DC=a，

向量加法运算及其几何意义

向量加法运算及其几何意义 班级:____________ 姓名:______________ 一、选择题 1．化简CB →＋AD →＋BA →等于( ) A.DB → B.CA → C.DC → D.CD → 2.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →等于( ) A.CD → B.DC → C.DA → D.DO → 3．下列说法正确的个数为( ) ①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向必与a 或b 的方向相同； ②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0； ③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA → B.AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD → D.AC →＋AD →＝DC → 5．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度为( ) A ．2 5 B ．4 5 C ．12 D ．6 6．长度相等的三个非零向量OA →，OB →，OC →满足OA →＋OB →＋OC →＝0，则由A ，B ，C 三点构成的△ABC 是( )

A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题 7．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点． (1)AB →＋AD →＋CD →＝________； (2)AC →＋BA →＋DA →＝________. 8.如图，已知在矩形ABCD 中，|AD →|＝43，设AB →＝a ，BC →＝b ，BD →＝c ，则|a ＋b ＋c |＝________. 9．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 10．设非零向量a ，b ，c ，若p ＝a |a|＋b |b|＋c |c| ，则|p |的取值范围为____________． 三、解答题 11.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →. 12.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD →＋BE →＋CF →＝0.

向量减法运算及其几何意义(教学设计)

2．2．2向量减法运算及其几何意义（教学设计） [教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握向量减法的概念，能准确做出两个向量的差向量，理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算。 2.向量的加法与减法互为逆运算。 二、过程与方法： 1． 经历向量减法三角形法则和平行四边形法则的归纳过程； 2．体会数形结合的数学思想方法. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：向量减法定义的理解。 教学难点：向量减法的意义． 教学过程： 一、复习回顾 1、向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则 向量加法的运算定律： 2、在四边形中，CB BA AD ++= . 二、师生互动，新课讲解： 1、 用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量.记作 a （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a ) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = b ， b = a ， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差. 即：a b = a + ( b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2、 用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a b 3、 求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量a b ∵(a b ) + b = a + ( b ) + b = a + 0 = a 作法：在平面内取一点O ， 作= a ， AB = b A B D C O a b B a b a b

最新向量加减法运算及其几何意义练习

李林中学高一年级（下）数学练习 编号 向量加减法运算及其几何意义 制作人：贾胜如 审核人： 时间： 一、选择题 1．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．不确定 2．下列等式错误的是( ) A ．a ＋0＝0＋a ＝a B.A B →＋B C →＋AC →＝0 C.AB →＋BA →＝0 D.CA →＋AC →＝MN →＋NP →＋PM → 3．a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a ∥b ，且a 与b 方向相同 B ．a ，b 是共线向量且方向相反 C ．a ＝b D ．a ，b 无论什么关系均可 4.如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →等于( ) A.BD → B.DB → C.BC → D.CB → 5.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 3 6．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则下列结论中正确的 是( ) ①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |＝|a |－|b |；⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤ 7．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( ) A.AB → B.BA → C.CD → D.DB → 8．下列等式中，正确的个数为( ) ①0－a ＝－a ；②－(－a )＝a ；③a ＋(－a )＝0；④a ＋0＝a ； ⑤a －b ＝a ＋(－b )；⑥a －(－a )＝0.

向量加法运算及其几何意义优秀教学设计

2.2.1向量加法运算及其几何意义教学设计 一、教学目标 知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角 形法则和平行四边形法则作出两个向量的和； 掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们 进行向量运算． 能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受 和体会将实际问题抽象为数学概念的思想方 法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题 的能力． 情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发学生的学习热情．培养 学生勇于探索、敢于创新的个性品质． 二、重点与难点 重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量． 难点：理解向量的加法法则及其几何意义． 三、教法学法 教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学

习模式． 四、教学过程 新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了五个教学环节： 一、创设情境引入课题 师：在前一节课中我们学习了一个新的量——向量，今 算，首先，请看课件．（出示） 师：他是谁？ 生：丁俊晖． 师：对，著名的台球神童——丁 俊晖？大家请看他好像遇到了难题？（出示）你能不能帮助他解决啊？ 活动设计：学生参与讨论（教师提问，学生回答：翻袋进球） 再来看另一个问题：在两岸通 航之前，要从我们郑州到达祖国的 宝岛台湾，我们需要从新郑机场乘 飞机抵达香港，然后转机才能到达， 如今通航后呢？我们可以直接到 达，节省了大量的时间和金钱．

向量组线性相关的几何意义

y O x 12345612 3 4 56图11)由两个2 维向量构成的向量组A : a 1, a 2M 1(1,2) M 2(2,4)M 3(3,6)在直线y =2x 取三点M 1, M 2, M 3, 作三个向量: )21(11,OM a ==)4,2(22==OM a )6,3(33==OM a 显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是: a 1, a 2共线. 向量组线性相关的几何意义

2)由3 个3 维向量构成的向量组线性相关的几2)(1,1,11-==RM a )2,0,2(22-==RM a 2),2,0(33-==RM a 向量组a 1, a 2, a 3 线性相关,因为2a 1 -a 2-a 3 = 0.M 1 M 2 M 3O x 3y 3z 3 R 图2 向量: 在π上取三点:M 1(1,1,1), M 2(2,0,1), M 3(0,2,1),作三个何意义是这3 个向量共面.如给定平面π: x+y+z =3.

3)四维向量组线性相关的几何意义 设有四维向量组 ,6914,13283,5421,41324321??????? ??--=??????? ??-=??????? ??--=??????? ??=αααα有α3= 2α1-α2, α4= α1+ 2α2, 所以向量组α1,四个平面交于同一条直线. 如图3 对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的α2, α3, α4线性相关, 其几何意义为:该向量组所

2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6图3