分层总和法计算沉降的几点改进
第
24卷第
4期岩土力学 Vol.24 No.4
2003年
8月 Rock and Soil Mechanics Aug. 2003
文章编号：1000－7598－(2003) 04―0518―04
分层总和法计算沉降的几点改进
徐金明.. 1，汤永净.. 2
（
1.上海大学土木工程系，上海 200072；2.同济大学地下建筑与工程系，上海
200092）
摘要：利用
Matlab6.1平台，通过编制可视化应用程序，对分层总和法计算沉降的传统方法作了较大的改进，地基中的附
加应力采用原始积分公式，压缩曲线采用双曲线形式，使用非线性最小二乘法进行拟合处理，压缩层计算深度与分层厚度不
再受到限制，数据输入、输出及沉降计算过程均通过可视化界面进行操作，不再需要通过查表、查图计算基础底面的沉降，
计算过程简单便利，计算结果重复性好，具有较大的实际应用价值。
关键词：分层总和法的改进；土的应力与孔隙比；沉降；可视化编程
中图分类号：TU 4文献标识码：A
Several promotions on layerwise summation method
to calculate foundation settlements
XU Jin-ming1, Tang Yong-jing2
( 1. Department of Civil Engineering, Shanghai University, Shanghai 200072, China;
2. Department of Geotechnical. Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China )
Abstract: Using Matlab6.1 platform and related visual program language, several promotions are presented to calculate foundation
settlements by layerwise summation method. Initial additional stress formula and nonlinear least square method are used to calculate
soil’s stress and void ratio, respectively. The settlement calculation depth and each layerwise thickness would not be constrained.
Data’s input and output, calculate procedures are operated visually. The foundation settlement can be calculated out not by tables and
figures but by visualization. It is shown that these promotions are practical to compute foundation settlement.
Key words: layerwise summation method; soil’s stress and void ratio; settlement; visual programming
1 前言法，往往得出不同的计算结果。
针对这些缺点，本文对分层总和法计算沉降的
计算各种建筑物基础的沉降是岩土工程领域传统方法做了较多的改进，附加应力计算使用其原
的一个基本问题，通常用分层总和法计算沉降，但始积分形式，压缩曲线假定为双曲线形式，并采用
传统的分层总和法有以下一些缺点：（
a）荷载分布最小二乘法拟合处理，计算过程和结果通过
形式为均匀分布或三角形分布，没有考虑一般形式Matlab6.1平台下的可视化应用程序得到实现。这
的分布（比如二次分布）；（
b）附加应力计算通常使样，荷载分布可为任意形式，计算附加应力和沉降
用查表的方法，查表时确定荷载变化边、基础长短不需要查表、查图，压
缩层计算深度与细层厚度不
边容易引起失误，采用角点法分割荷载时比较繁琐，受人为因素制约，计算过程快速便利，计算结果重
双线性内插法确定附加应力系数容易引起误差；（
c）复性好，所编可视化应用程序具有较大的推广应用
通过查压缩曲线图来确定不同应力下土层的孔隙价值。
比，比较繁琐、误差也大；（
d）计算沉降需要把每
一压缩层划分成很多细层并确定压缩层计算深度，
2 理论基础
实际计算过程因人而异，缺乏严格的比较基础，计如图
1，设基础底面以下压缩层计算深度范围
算结果的重复性差；（
e）即使是上述条件相同，由内土层共有
m层，将第
j（j=1,…, m）层土分为
n
于大多数设计或计算人员采用手算或简单电算的方层细层，其中第
i细层（i=1,…,n）土层厚度为
h(j,i)，
收稿日期：2002-10-14
作者简介：徐金明，男，1963年生，副教授，从事岩土工程的科研教学与生产工作。
第
4期
徐金明等：分层总和法计算沉降的几点改进
该细层在自重应力
p1(j,i)与附加应力
p2(j,i)作用下，对
应的孔隙比由
e1 (j,i)变为
e2(j,i)，则第
j层土的压缩量
ne -e
为
Sj =. 1( j,i ) 2( j ,i ) h( j ,i) ，基础底面的最终沉降量
i =11+ e1( j ,i )
为
ne -e
1( j ,i) 2( j ,i)
S =..(m) h( j ,i ) (1)
j=1 i =11+ e1( j ,i)
图
1 沉降计算剖面
Table 1 The profile of settlement calculation
由式（1）可知，为了得到基础底面在外荷作
用下的沉降
S，要解决三个问题：(1)确定土中各点
的自重应力
p1(j,i)与附加应力
p2(j,i)；(2)确定自重应力
p1(j,i)与总应力
p1 (j,i)+p2(j,i)对应的孔隙比
e1(j,i)与
e2(j,i)；
（3）在沉降的具体计算过程中，还要确定压缩层计
算深度与每一细层的厚度。下面结合沉降的可视化
编程对上述
3个问题的传统方法逐一进行改进。
3几点改进
3.1 附加应力的计算
根据土层埋深（或厚度）以及土的基本物理力
学性质指标可以确定自重应力
p(j,i)，而附加应力
p(j,I+1 )则由
Boussineq（下简称布氏）解或
Mindlin（下
简称明氏）解积分求得。
各向同性半无限空间均质弹性体在表面一点
（设其坐标为（0, 0, 0））与地面以下一点（设其坐
标（0, 0, c））的垂直集中力
Q的作用下，表面以下
任意一点（设其坐标为(x, y, z)）的竖向附加应力为
[分别为布氏解与明氏解]：
s =
z
.
35/22223Qz
2[x + y + z ]
Q é(1-2m)(z -c) (1-2m)(z -c)
s =
-+.
z ê 33
8 (1-m) R1 R2 .
..
.
2 y
3(3 -4m)z(z + c)
-3c(z + c)(5z -c) .
5 +.
R2
3(z -c)3 30cz(z + c)3 ù.
R5 +
R7 ú.
12 .
.
.t
(2)
或者统一地写为
s z
=Qs (x, y, z,
m, c) （3）
式中
m为土的泊松比；
R1 =x 2 + y 2 + (z -c)2 ；
R2 =x 2 + y 2 + (z + c)2 。
如果基础底面
F范围内作用一分布荷载
p(x, y)
（见图
2），则土中某点
M(x, y, z)的竖向附加应力可
以通过积分获得：
s= dsòò
x, y, z, m, c, x, h) p(x, y)dxdh
（4）
(òò=
FFzz
s
图
2分布荷载下的附加应力计算
Fig. 2 The calculation of additional stresses under
distributed loads
根据不同的荷载分布函数
p(x, y)和基础形式
F
使用式(4)进行积分，从而，计算
M(x, y, z)处的附
加应力sz 。传统方法计算附加应力时，由于受到传
统计算技术的限制， p(x, y)通常取均匀分布或三
角形分布，面积
F取矩形、条形、圆形中的一种，
根据(4)式得到很多不同情况的计算表格。这样，在
计算附加应力时就必然要查许多表格并要进行双线
性内插，显然，这一过程容易造成误差并且重复性
差，在计算机计算速度高度发展的今天，应该对其
进行改进，计算积分时可以直接使用原始的积分公
式（4）。
由（4）式可知，使用原始公式计算附加应力，
经常要计算复杂函数的积分，可以利用
Matlab6.1
中强大的符号计算功能。计算附加应力sz ，可以在
控件的回调函数中使用命令：
s z = int (int(‘f(x,y)’, ’x’, a1, b1), a2, b2, y)
这里，f(x,y)是（4）式中的被积函数，可以写成一
个
Matlab文件或者内联函数。因为是符号积分，被
积函数中的字符都必须用
syms命令定义为符号，
积分结果调用时还需要将符号转化为数值。这样，
被积函数中的荷载分布可以是任意形式，不再必须
是直线（三角形分布）或常量（均匀分布），从而，
岩土力学 2003年
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不需要查表确定附加应力系数，因此，不会出现查
表时常碰到的荷载分布、基础形状的确定问题，也
就不会出现双线性内插带来的误差。
3.2 孔隙比的确定
根据室内土工压缩试验可得应力{p(j,k)}及其对
应的孔隙比{e(j,k)}（k=1, …, l, l为加荷级数），由此
得到压缩曲线，传统的方法是根据已经求得的自重
应力和附加应力查压缩曲线图获得
e1(j,i)和
e2(j,i)，见
图
3。查图确定孔隙比不仅比较繁琐、存在误差、
而且，对于同一条压缩曲线，不同的计算人员会得
出不同的结果，增加了计算结果的不可比性，也难
以比较不同结果的误差根源。下面对查图确定孔隙
比的传统方法作一改进。
图
3 沉降计算中确定孔隙比的传统方法
Fig. 3 The traditional method for the determination of
void’s ratio in settlement calculation
根据大量的土工试验结果，在工程应力水平
下，土层的压缩曲线（e-p曲
线）具有如下
4个方
面的特征：
（1）p=0时，e=e0（e0为初始孔隙比）；
（2）p→+∞时，e→e’（由于土体成因类型的
复杂性与不同的级配情况，土体既不是最紧密状态，
更不可能达到孔隙比为零的状态，但在较大的外部
应力作用下孔隙比趋于常值
e’）；
（3）
dd
pe < 0,即压缩曲线的斜率为负；
（4）
dd
p
2 e
2 < 0, 即压缩曲线呈上凹型曲线。作
者曾对上海明珠线等工程地基土的
5 000多条压缩
试验曲线进行数据拟合，发现用双曲线模型拟合压
缩曲线具有很好的一致性，造成的误差并不比手工
查图的更大。据此，可把压缩曲线（
e-p曲线）假
定为图
4所示的双曲线形式（式中
a, b为待求参数）：
p
e =e + (5)
0 a + bp
根据式（
5），要确定自重应力
p1(j,i)与总应力
p1(j,i)
+p2(j,i)对应的孔隙比
e1(j,i)与
e2(j,i)，必须预先知道土
图
4 压缩曲线的非线性拟合
Fig. 4 The nonlinear fitting of compression curve
层拟合参数[ a(j) b(j)]。[ a(j) b(j)]可以用非线性最小二
乘法加以确定：赋[a(j) b(j)]以搜索初始值
[a0(j) b0(j)]
(比如[1 0])，把压缩试验所得法向正应力{p(j,k)}与对
应的孔隙比{e(j,k)}（k= 1,…, l, l为加荷级数）作为输
入资料，然后，调用
lsqnonlin函数，就可求得使拟
合值与实际值误差平方和达到极小值的[a(j) b(j)]。
根据式（5），可以由自重应力
p1(j,i)与总应力
p1(j,i)+p2(j,i)确定对应的孔隙比
e1(j,i)和
e2(j,i)（见图
4）。
3.3 计算深度与细层厚度的确定
在分层总和法计算沉降的传统方法中，沉降计
算过程通常是非可视化操作，必须对数据与文件的
输入、输出格式进行较多的说明与限制，还要规定
一定的压缩层计算深度并把其中的每一土层分为一
定厚度的细层。理论上，压缩层计算深度应当是无
穷大、细层的厚度应当是无穷小。压缩层计算深度
越大、每一土层的细层数目越多，计算就越符合实
际情况，但随着压缩层计算深度的增大，每一土层
划分细层数的增多，计算工作量呈指数速度迅速增
加，因此，有关规范规定了压缩层计算深度（比如
规定附加应力小于自重应力的
0.2倍或
0.1倍）并对
每一土层的细层数作了限制（比如细层厚度不小于
基础宽度的
0.4倍）。由于压缩层计算深度、划分的
细层数数目因人而异，不同人员将得到不同的沉降
计算结果。
作者在
Matlab平台上编制沉降应用程序时，将
压缩层计算深度、每一土层的分层数直接在界面上
输入，通过不同控件的回调函数，计算不同深度的
附加应力与基础底面的沉降，所有输入、输出数据
均可视化处理，这样，不
仅数据与文件的输入、输
出格式不再受到限制，压缩层计算深度、划分细层
数也可以比规范的要求更高，并且，计算过程简单
便利，计算结果重复性好，具有较大的推广应用价
值。
3.4 计算界面的改进与可视化操作
在计算附加应力、确定孔隙比、开发基础底面
沉降计算的应用程序时，作者采用美国
Math Works
第
4期
徐金明等：分层总和法计算沉降的几点改进
公司发布的
Matlab6.1工作平台，进行了可视化编
程，关于
Matlab语言的详细情况，可以参看文献[2]。
使用可视化编程计算沉降时，直接使用
Matlab6.1
中的
GUI（GUI是
Graphics User Interfaces的缩写，
指“图形应用界面”）进行编程。一般情况下，沉降
问题的可视化编程过程主要包括可视化的界面处
理、附加应力计算、孔隙比的确定等几个方面。
界面处理的可视化主要包括菜单制作、控件制
作与操作过程的可视化
3个部分。
（1）菜单制作可以在
Matlab6.1平台直接添加
菜单即可。比如，要进行文件保存，将某一菜单的
Label属性定义为“文件”、其
Callback（回调函数）
属性定义为“FileSaveAs”。
（2）控件制作主要是使用回调函数或称
Callback函数，把回调函数设定为一个
Matlab文件，
不同控件的相互调用、界面的可视化处理、操作过
程的可视化实现、应力和沉降的计算可以使用该文
件完成，这样，可以使得数据和应用程序得到更好
地维护。
（3）操作过程的可视化通常包括编程过程
的可视化和应用程序操作时的可视化。编程过程的
可视化直接调用
Matlab6.1中的
GUI即可，操作过
程可视化的实现是在
Callback函数中对获得数据、
数据处理、赋予结果等方面使用
Matlab命令。要获
得当前图形界面(gcbf)上标签
Edit1的字符并转化为
数值，使用命令：
p1= eval (get(findobj(gcbf,’Tag’,’Edit1’),’String’))；
把数值
p1赋予当前图形界面(gcbf)上为标签
Edit2
的控件则使用命令：
set(findobj(gcbf, ’Tag’,’Edit2’), ’String’, p1))；
数据处理时，要计算附加应力和沉降并把结果
以图形的方式显示出来，只要在对应的回调函数中
使用
Matlab语言中的相关命令即可。
3.5
算例
以文献[3]中的例题
2-6为例，比较传统方法与
本文方法。荷载情况数为
3，三个基础底面均为
5 m
×4 m，埋深
1.5 m，平均附加应力为
100 kPa，基
础中心距
6 m，地下水位埋深
3.5 m。土层分
3层：
①填土，底板埋深
1.5 m，g =18.0 kN/m3；②粉质
粘土，底板埋深
5.50 m，g =g sat = 19.5 kN/m3，
e0=0.863，e0.1=0.771，e0.2 = 0.728，e0.3 = 0.710，e0.4 =
0.705；③粘土，未见底（
计算时底板埋深取
9.5 m），
g sat = 20.1 kN/m3，
e0 = 1.030，e0.1 = 0.896，e0.2 =
0.845，e0.3 = 0.818，e0.4 = 0.799。文献
[3]用
4个版面，
通过查表内插与查图得出中间基础中心的沉降计算
值为
153 mm，用作者编制的可视化程序，不需查
表、查图、内插，重复性好，沉降计算值为
158.3 mm
(布氏解) 与
147.2 mm (明氏解)，说明本文方法切实
可行，具有较好地推广应用价值。
4 结论
本文对传统的分层总和法计算基础底面沉降
作了一些改进：
（1）计算附加应力时，不需要查表确定附加
应力系数，而直接使用原始计算公式，通过可视化
编程编制适当的积分函数，简单快速地计算不同情
况下的附加应力；
（2）不同应力下的孔隙比，不再需要查压缩
曲线图确定，而把压缩曲线假定为双曲线形式进行
非线性最小二乘法拟合，计算过程方便快速；
（3）通过可视化编程进行沉降计算，数据与
文件的输入、输出格式、压缩层计算深度、划分细
层数不再受到过多的限制，并且计算过程简单便利、
计算结果重复性好，具有较好的推广应用价值。
参考文献
[1]
高大钊主编. 土力学与基础工程[M], 北京: 中国建筑
工业出版社, 1998. 9: 49－55.
[2]
导向科技, Matlab6.0程序设计与实例应用[M], 北京:
中国铁道出版社, 2001.
[3]
华南理工大学等, 地基及基础（第三版）[M], 北京: 中
国建筑出版社, 1998. 6: 53－55, 79－81.