0-1背包问题的分支限界法源代码

//#include "stdafx.h"

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

int *x;

struct node //结点表结点数据结构

{

node *parent;//父结点指针

node *next; //后继结点指针

int level;//结点的层

int bag;//节点的解

int cw;//当前背包装载量

int cp;//当前背包价值

float ub; //结点的上界值

};

//类Knap中的数据记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间class Knap

{

private:

struct node *front, //队列队首

*bestp,*first; //解结点、根结点

int *p,*w,n,c,*M;//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系long lbestp;//背包容量最优解

public:

void Sort();

Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn);

~Knap();

float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限

node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点ba=1生成左节点ba=0生成右节点

void addnode(node *nod);//向队列中添加活结点

void deletenode(node *nod);//将结点从队列中删除

struct node *nextnode(); //取下一个节点

void display(); //输出结果

void solvebag(); //背包问题求解

};

//按物品单位重量的价值排序

void Knap::Sort()

{

int i,j,k,kkl;

float minl;

for(i=1;i

{

minl=1.0*p[i]/w[i];

k=0;

for(j=1;j<=n-i;j++)

{

if(minl<1.0*p[j]/w[j])

{

minl=1.0*p[j]/w[j];

swap(p[k],p[j]);

swap(w[k],w[j]);

swap(M[k],M[j]);

k=j;

}

}

}

}

Knap::Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn)

{

int i;

n=nn;

c=cc;

p=new int[n];

w=new int[n];

M=new int[n];

for(i=0;i

{

p[i]=pp[i];

w[i]=ww[i];

M[i]=i; //用M数组记录大小顺序关系}

front=new node[1];

front->next=NULL;

lbestp=0;

bestp=new node[1];

bestp=NULL;

Sort();

}

Knap::~Knap()

{

delete []first;

delete []front;

delete []bestp;

delete []p;

delete []w;

}

//取上限最大结点

node *Knap::nextnode()

{

node *p=front->next;

front->next=p->next;

return(p);

}

//将一个新的结点插入到子集树和优先队列中node * Knap::nnoder(struct node *pa,int ba,float uub) {//生成一个新结点

node * nodell=new(node);

nodell->parent=pa;

nodell->next=NULL;

nodell->level=(pa->level)+1;

nodell->bag=ba;

nodell->ub=uub;

if(ba==1)

{

nodell->cw=pa->cw+w[pa->level];

nodell->cp=pa->cp+p[pa->level] ;

}

else

{

nodell->cw=pa->cw;

nodell->cp=pa->cp;

}

return(nodell);

}

//将结点加入优先队列

void Knap::addnode(node *no)

{

node *p=front->next,*next1=front;

float ub=no->ub;

while(p!=NULL)

{

if(p->ubnext=p;next1->next=no;break;}

next1=p;

p=p->next;

}

if(p==NULL){next1->next=no;}

}

// 计算结点所相应价值的上界

float Knap::Bound(int i,int cw,int cp)

{

int cleft=c-cw; //剩余容量

float b=(float)cp; //价值上界

//以物品单位重量价值减序装填剩余容量

while (i

{

cleft-=w[i];

b+=p[i];

i++;

}

//装填剩余容量装满背包

if (i

return b;

}

//计算最优值和变量值

void Knap::display()

{

int i;

cout<

cout<<"当前最优价值为:"<

for(i=n;i>=1;i--)

{

x[M[i-1]]=bestp->bag;

bestp=bestp->parent;

}

cout<<"变量值x = ";

for(i=1;i<=n;i++)

cout<

cout<

}

//背包问题求解

void Knap::solvebag()

{

int i;

float ubb;

node *aa; //记录上限最大结点

first=new node[1]; //根结点

first->parent=NULL;

first->next=NULL;

first->level=0; //用level记录结点的层

first->cw=0;

first->cp=0;

first->bag=0;

ubb=Bound(0,0,0);

first->ub=ubb;

front->next=first;

while(front->next!=NULL)

{

aa=nextnode();

i=aa->level;

//当叶子节点处的解>最优解时，更新最优解

if(i==n-1)

{

if(aa->cw+w[i]<=c&&(long)(aa->cp+p[i])>lbestp)

{

lbestp=aa->cp+p[i];

bestp=nnoder(aa,1,(float)lbestp);//将一个新的结点插入到子集树和优先队列中

}

if((long)(aa->cp)>lbestp)

{

lbestp=aa->cp;

bestp=nnoder(aa,0,(float)lbestp);

}

}

//非叶子结点，递归调用Bound函数计算上界

if(i

{

if(aa->cw+w[i]<=c&&Bound(i+1,aa->cw+w[i],aa->cp+p[i])>(float)lbestp)

{

ubb=Bound(i,aa->cw+w[i],aa->cp+p[i]);

addnode(nnoder(aa,1,ubb));//将结点加入到优先队列中

}

ubb=ubb=Bound(i,aa->cw,aa->cp);

if(ubb>lbestp)

addnode(nnoder(aa,0,ubb));

}

}

display();

}

int main()

{

int c,n;

int i=0;

int *p;

int *w;

cout<

cout<<"|***********分支限界法解0-1背包问题***********| "<

cout<

cout<<"请输入物品数量n = ";

cin>>n;

cout<

cout<<"请输入背包容量C = ";

cin>>c;

cout<

x=new int[n]; //变量值

p=new int[n]; //物品价值

w=new int[n]; //物品重量

cout<<"请分别输入这"<

for(i=0;i

cin>>w[i];

cout<

cout<<"请输入这"<

for(i=0;i

cin>>p[i];

Knap knbag(p,w,c,n);

knbag.solvebag();

getch();

return 0;

}

(完整版)分支限界算法作业分配问题

分支限界法的研究与应用 摘要： 分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。 分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。 关键词： 分支限界法回溯法广度优先分支搜索法

目录 第1章绪论 (3) 1.1 分支限界法的背景知识 (3) 1.2 分支限界法的前景意义 (3) 第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。 2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。 2.2 分支限界法的一般性描述 (6) 第3章作业分配问题 (7) 3.1 问题描述 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 算法设计 (8) 3.4 算法实现 (10) 3.5 测试结果与分析 (12) 第4章结论 (13) 参考文献 (14)

分支限界法求解背包问题

分支限界法求解背包问题 /*此程序实现，分支限界法求解背包问题，分支限界法是根据上界=当前背包的价值+背包 剩余载重* （剩余物品最大价值/质量）*/ 分支r 10 I 分S： 104 1.200060' 6 2.i/eeoe #i nclude #i nclude

#include #include #include #define MAXSIZE 20000 //#define BAGWEIGHT 200 int a[MAXSIZE] = {0}; int array[MAXSIZE] = {0}; int weightarray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品重量*/ int valuearray[MAXSIZE] = {0}; /* 存放各物品价值*/ int lastweight[MAXSIZE]={0}; int lastvalue[MAXSIZE]={0}; int qq=0; /* 上面的数组，变量都是蛮力法所用到，下面的都是分支限界法所用到*/ int BAGWEIGHT; /* 背包的载重*/ int n; /* 物品的数量*/int weightarrayb[MAXSIZE] = {0}; int valuearrayb[MAXSIZE] = {0}; float costarrayb[MAXSIZE] = {0}; int finalb[MAXSIZE] = {0}; int finalweightb[MAXSIZE] = {0}; /* 从文件读取数据*/ void readb() int nn = 1,ii = 1; int i = 1; FILE *fp; fp = fopen("in.dat","rb"); while(!feof(fp)) {

动态规划法,回溯法,分支限界法求解TSP问题实验报告

TSP问题算法实验报告 指导教师：季晓慧 姓名：辛瑞乾 学号：1004131114 提交日期：2015年11月

目录 总述 (2) 动态规划法 (3) 算法问题分析 (3) 算法设计 (3) 实现代码 (3) 输入输出截图 (6) OJ提交截图 (6) 算法优化分析 (6) 回溯法 (6) 算法问题分析 (6) 算法设计 (7) 实现代码 (7) 输入输出截图 (9) OJ提交截图 (9) 算法优化分析 (10) 分支限界法 (10) 算法问题分析 (10) 算法设计 (10) 实现代码 (10) 输入输出截图 (15) OJ提交截图 (15) 算法优化分析 (15) 总结 (16) 总述 TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城

市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。 动态规划法 算法问题分析 假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。设数组dp[n][2^n-1]存放迭代结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集x[j]中的顶点一次且一次，最后回到出发点0的最短路径长度，动态规划法求解TSP问题的算法如下。 算法设计 输入：图的代价矩阵mp[n][n] 输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度 1.初始化第0列（动态规划的边界问题） for(i=1;i #include #include #include #include #include #include #include #include #include #include

回溯法与分支限界法的分析与比较

回溯法与分支限界法的分析与比较 摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。 关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题 1、引言 1.1回溯法 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。 1.2分支限界法 分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。 2、回溯法的基本思想 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少应包含问题的一个解。之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 3、分支限界法的基本思想 用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。之后还应将解空间很好的组织起来。分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。两者的区别在于：队列式分支限界法按照队列先进先出的原则选取下一个节点为扩展节点，而优先队列式分支限界法按照优先队列

0035算法笔记——【分支限界法】布线问题

问题描述 印刷电路板将布线区域划分成n×m个方格如图a所示。精确的电路布线问题要求确定连接方格a的中点到方格b的中点的最短布线方案。在布线时，电路只能沿直线或直角布线，如图b所示。为了避免线路相交，已布了线的方格做了封锁标记，其它线路不允穿过被封锁的方格。 一个布线的例子：图中包含障碍。起始点为a，目标点为b。 算法思想 解此问题的队列式分支限界法从起始位置a开始将它作为第一个扩展结点。与该扩展结点相邻并且可达的方格成为可行结点被加入到活

结点队列中，并且将这些方格标记为1，即从起始方格a到这些方格的距离为1。 接着，算法从活结点队列中取出队首结点作为下一个扩展结点，并将与当前扩展结点相邻且未标记过的方格标记为2，并存入活结点队列。这个过程一直继续到算法搜索到目标方格b或活结点队列为空时为止。即加入剪枝的广度优先搜索。 算法具体代码如下： 1、Queue.h [cpp]view plain copy 1.#include https://www.wendangku.net/doc/3f18770640.html,ing namespace std; 3. 4.template 5.class Queue 6.{ 7.public: 8. Queue(int MaxQueueSize=50); 9. ~Queue(){delete [] queue;} 10.bool IsEmpty()const{return front==rear;} 11.bool IsFull(){return ( ( (rear+1) %MaxSize==front )?1:0);} 12. T Top() const; 13. T Last() const; 14. Queue& Add(const T& x); 15. Queue& AddLeft(const T& x); 16. Queue& Delete(T &x); 17.void Output(ostream& out)const; 18.int Length(){return (rear-front);} 19.private: 20.int front; 21.int rear; 22.int MaxSize; 23. T *queue;

回溯法和分支限界法解决背包题

0-1背包问题 计科1班朱润华 32 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至

装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例， n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "" #include using namespace std; template class Knap { template friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int);

分支限界法实现单源最短路径问题

实验五分支限界法实现单源最短路径 一实验题目：分支限界法实现单源最短路径问题 二实验要求：区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。 三实验内容：解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。 结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。 四实验代码 #include using namespace std; const int size = 100; const int inf = 5000; //两点距离上界 const int n = 6; //图顶点个数加1 int prev[n]; //图的前驱顶点 int dist[] = {0,0,5000,5000,5000,5000}; //最短距离数组 int c[n][n] = {{0,0,0,0,0,0},{0,0,2,3,5000,5000}, //图的邻接矩阵 {0,5000,0,1,2,5000},{0,5000,5000,0,9,2}, {0,5000,5000,5000,0,2},{0,5000,5000,5000,5000,0}}; const int n = 5; //图顶点个数加1 int prev[n]; //图的前驱顶点 int dist[] = {0,0,5000,5000,5000}; int c[][n] = {{0,0,0,0,0},{0,0,2,3,5000},{0,5000,0,1,2},{0,5000,5000,0,9}, {0,5000,5000,5000,0}};

蛮力法、动归、贪心、分支限界法解01背包问题剖析

算法综合实验报告 学号： 1004121206 姓名：林 一、实验内容： 分别用蛮力、动态规划、贪心及分支限界法实现对0-1背包问题的求解，并至少用两个测试用例对所完成的代码进行正确性及效率关系上的验证。 二、程序设计的基本思想、原理和算法描述： 1、蛮力法 1.1数据结构 注：结构体obj用来存放单个物品的价值和重量 typedef struct obj { int w;//物品的重量 int v;//物品的价值 }; 1.2 函数组成 void subset(int s[][10],int n)：用来生成子集的函数 void judge(int s[][10], obj obj[],int mark[],int n,int c)：判断子集的可行性 int getmax(int mark[],int n,int &flag)：求解问题的最优解 void outputObj(int flag,int s[][10],int n):输出选择物品的情况 1.3 输入/输出设计 本程序通过键盘进行输入、屏幕进行输出。 1.4 符号名说明

符号说明 S[][]存放子集 mark[]记录子集的可行性 n物品的个数 c物品的容量 max记录背包所能产生的最大价值 flag记录能产生最大价值的子集的编号 1.5 算法描述 算法的伪代码描述如下： 输入：背包的容量c,物品的个数n,n个物品的重量 w[n],价值v[n] 输出：装入背包的物品编号以及产生的最大价值 1.初始化最大价值 max=0,结果子集 s=φ; 2.对集合{1,2,......n}的每一个子集T，执行下述操作： 2.1初始化背包的价值 v=0，背包的重量 w=0; 2.2对子集t的每一个元素j 2.2.1 如果w+wj

回溯法和分支限界法解决0-1背包题

0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间。 问题的解空间至少包含问题的一个 (最 优)解。对于0-1背包问题，解空间由长度为 n 的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所 有 0-1 赋值。例如 n=3 时，解空间为： {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1 , 1, 1) 然后可将解空间组织成树或图的形式， 0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定 n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ,其价 值为vi ,背包的容量为 C 。问：应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值 最大？ 形式化描述：给定 c >0, wi >0, vi >0 , 1 w i < n.要求找一 n 元向量(x1,x2,…,xn,), xi € {0,1}, ? 刀wi xi w c,且刀vi xi 达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空 间树时，只要其 左儿子节点是一个可行节点， 搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最 优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设 r 是当前剩余物品价值总和， cp 是 当前价值；bestp 是当前最优价值。当 cp+r<=bestp 时，可剪去右子树。计算右子树上界的 更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序， 然后依次装入物品， 直至装不下时，再装 入物品一部分而装满背包。 例如：对于 0-1 背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1] 品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。 品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1,只能装 由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价 值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过 在实现时，由 Bound 计算当前节点处的上界。类 Knap 的数据成员记录解空间树中的节 点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。 在解空间树的当前扩展节点处， 仅要进入右 子树时才计算上界 Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因 为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #i nclude "stdafx.h" #in clude using n ames pace std; temp late class Knap { temp latevciass Typ ew,class Typep> friend Typep Knap sack(T ypep [],T ypew [],T yp ew,i nt); private: Typep Boun d(i nt i); 。这4个物 先装入物 0.2的物品2。 22。

0037算法笔记——【分支限界法】最大团问题

问题描述 给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。 如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G 的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。 对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。 如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。 例：如图所示，给定无向图G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根据最大团(MCP)定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。右侧图是无向图G的补

图G'。根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大独立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。 算法设计 最大团问题的解空间树也是一棵子集树。子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。 接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。当 upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。

用回溯法和队列式分支限界算法求解0-1背包问题

华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业 班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁 一、实验题目： 分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题 二、实验内容： 0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 三、程序源代码： A:回溯法： // bag1.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include #define MaxSize 100 //最多物品数 int limitw; //限制的总重量 int maxwv=0; //存放最优解的总价值 int maxw; int n; //实际物品数 int option[MaxSize]; // 存放最终解 int op[MaxSize]; //存放临时解 struct { int weight; int value; }a[MaxSize]; //存放物品数组 void Knap( int i, int tw, int tv) //考虑第i个物品 { int j; if(i>=n) //找到一个叶子结点 { if (tw<=limitw && tv>maxwv) //找到一个满足条件地更优解，保存它 { maxwv=tv; maxw=tw; for(j=0;j

6.6-布线问题

6.6 布线问题 算法设计思想： 采用分支限界法求解。 首先将问题转化为一颗解空间树：树根为线头，树高为线头到线尾的格数，每个节点有4个孩子，代表下一格可以朝4个方向。这样，布线问题就是搜索从树根到代表线尾节点的一条最短路径。 分支限界法的本质是对解空间树的BFS（广度优先）搜索，即每进一格就将状态入队，而后再依次将出队的每个状态的子状态入队，直到到达所求的状态节点即线尾。 该问题的剪枝条件显而易见，即当遇到电路板上的封锁标记时进行剪枝。为了方便剪枝，算法开始进行了预处理，在电路板周围加上了一圈“围墙”（虚拟的封锁标记），使搜索路径时对边界的处理与对封锁标记的处理统一。 因为该问题BFS的队列中，并没有明显的优先级，所以该算法采用普通队列式。 除了上述三点之外，程序对鲁棒性做了增强，对非法输入和文件错误进行了检测。程序设计代码： /*头文件布线问题.h*/ #ifndef KNAP_H #define KNAP_H #include #include #include using namespace std; class position //位置类 { public: int row; //行坐标 int column; //列坐标 bool operator==(const position &b) const //重载运算符==，表示位置相同 { if(row == b.row && column == b.column) return true; else return false; }

position& operator=(const position &b) //重载运算符=，位置赋值 { this->row = b.row; this->column = b.column; return *this; } position operator+(const position &b)const //重载运算符+，表示移动一格 { position temp; temp.row = row + b.row; temp.column = column + b.column; return temp; } }; class Wiring //布线类 { public: Wiring(char *in, char *out); //构造函数 ~Wiring(); //析构函数 void Solve(); //输出结果到文件protected: bool FindPath(); //找出布线方案 void PrintPath(); //输出结果布线方案 void PrintFail(); //输出没有路径信息private: int n, m; //电路板行列数 int **grid; //电路板格子 position start, finish; //起点和终点 position *nextstep; //下一步四个方向 ofstream fout; //输出结果文件 }; #endif /*函数实现文件布线问题.cpp*/ #include "布线问题.h" Wiring::Wiring(char *in, char *out) : fout(out) { ifstream fin(in);

分支限界法实验(最优装载问题)

算法分析与设计实验报告第八次附加实验

for(int i=1;i

完整代码（分支限界法） //分支限界法求最优装载 #include #include #include #include using namespace std; class QNode { friend void Enqueue(queue&,int,int,int,int,QNode *,QNode *&,int *,bool); friend void Maxloading(int *,int,int,int *); private: QNode *parent; //指向父节点的指针 bool LChild; //左儿子标志，用来表明自己是否为父节点的左儿子 int weight; //节点所相应的载重量 }; void Enqueue(queue&Q,int wt,int i,int n,int bestw,QNode *E,QNode *&bestE,int bestx[],bool ch) { //将活节点加入到队列中 if(i==n) //到达叶子节点 { if(wt==bestw) //确保当前解为最优解 { bestE=E; bestx[n]=ch; } return; } //当不为叶子节点时，加入到队列中，并更新载重、父节点等信息 QNode *b; b=new QNode; b->weight=wt; b->parent=E; b->LChild=ch; Q.push(b); } void Maxloading(int w[],int c,int n,int bestx[]) //其中w[]为重量数组| { // c为船的总载重量,n为节点数 //初始化 queue Q; //活节点队列

0-1背包问题(分支限界法)

分支限界法——01背包问题 12软工 028 胡梦颖 一、问题描述 0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 二、问题分析 分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。分支限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点(分支)，然后再从当前的活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活结点处，计算一个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。这种方式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。 三．源代码 #include #include #define MaxSize 100 //结点数的最大值 typedef struct QNode

实验4用分支限界法实现0-1背包问题

实验四用分支限界法实现0-1背包问题 一.实验目的 1.熟悉分支限界法的基本原理。 2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。 二.实验内容及要求 内容：?给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w,其价值为v，背包容量为c。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 要求：使用优先队列式分支限界法算法编程，求解0-1背包问题 三.程序列表 #inelude #include using namespacestd; #defi ne N 100 class HeapNode // 定义HeapNode结点类 { public : double upper, price, weight; //upper 为结点的价值上界，price 是结点所对应的价值，weight 为结点所相应的重量 int level, x[ N]; //活节点在子集树中所处的层序号 }; double MaxBound(int i); double Kn ap(); void AddLiveNode( double up, double cp, double cw, bool ch, int level); //up 是价值上界， cp是相应的价值，cw是该结点所相应的重量，ch是ture or false

stack High; // 最大队High double w[ N], p[ N；〃把物品重量和价值定义为双精度浮点数 double cw, cp, c; 〃cw为当前重量，cp为当前价值，定义背包容量为 c int n; //货物数量为 int main() { cout << "请输入背包容量："<< endl; cin >> c; cout << "请输入物品的个数："<< endl; | cin >> n; cout << "请按顺序分别输入物品的重量："<< endl; int i; for (i = 1; i <= n; i++) cin >> w[i]; //输入物品的重量 cout << "请按顺序分别输入物品的价值：” << endl; for (i = 1; i <= n; i++) cin >> p[i]; //输入物品的价值 cout << "最优值为：";| cout << Knap() << endl; //调用knap函数输岀最大价值 return 0; } double MaxBound(int k) //MaxBound 函数求最大上界 { double cleft = c - cw; // 剩余容量

回溯法和分支限界法解决0-1背包题

0-1背包问题 计科1班朱润华 2012040732 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "stdafx.h" #include using namespace std; template class Knap { template friend Typep Knapsack(Typep [],Typew [],Typew,int); private: Typep Bound(int i);

分支限界求解布线问题(C语言)

摘要 分支限界算法对很多实际问题是重要和有效的。论文首先提出了一类电路布线问题，然后给出了解决该问题的分支限界算法并分析了所给出算法的复杂度。实验结果验证了所提出方法的有效性。 关键字：分支限界算法电路布线问题复杂度 ABSTRACT The branch-and-bound algorithm is an important and efficient method to many problems．In this paper，a kind of circuit wiring problem is brought up firstly，and then an efficient algorithm based on branch—and-bound algorithm is presented．Finally，the complexity of the proposed algorithm is analyzedSimulation results show they are efective． Keywords：branch and bound algorithm，circuit wiring problem，complexit

目录 摘要 (1) ABSTRACT (1) 1 引言 (3) 2布线问题的提出 (3) 3问题的算法选择 (3) 4分支限界算法 (4) （1）FIFO搜索 （2）LIFO搜索 （3）优先队列式搜索 5 布线问题的分支限界算法设计 (4) （1）初始化部分 （2）用FIFO分支搜索的过程 （3）可布线未知的识别 （4）队列的结构类型和操作 （5）实例与测试结果 （6）复杂性分析 6结束语 (6) 7 致谢 (7) 8 参考文献 (7) 9 附录 (7)

第五组分支限界法(0-1背包问题)

实训一 0-1背包问题的分支限界法与实现 一、设计目的 1）掌握0-1背包问题的分支限界法； 2）进一步掌握分支限界法的基本思想和算法设计方法； 二、设计内容 1．任务描述 1）算法简介 分支限界法类似于回溯法，也是在问题的解空间上搜索问题解的算法。一般情况下，分支限界法与回溯法的求解目标不同。回溯法的求解目标是找出解空间中满足约束条件的所有解， 而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出使 某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解。 由于求解目标不同，导致分支限界法与回溯法对解空间的搜索方式也不相同。回溯法以深度优先的方式搜索解空间，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间。 分支限界法的搜索策略是，在扩展结点处，先生成其所有的儿子结点(分支)，然后再从当前的 活结点表中选择下一扩展结点。为了有效地选择下一扩展结点，加速搜索的进程，在每一个活 结点处，计算一个函数值(限界)，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作 为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。这种方 式称为分支限界法。人们已经用分支限界法解决了大量离散最优化的问题。 2）0-1背包问题简介 给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。 3）设计任务简介 对于分支限界类似的问题。首先，要能理解该问题运用到的分支限界的概念；其次，根据分支限界相关的基本思想，找出相应的数学公式；最后，进行程序的设计和编写。 利用分支限界的基本思想和计算步骤，有助于我们解决生活中遇到的各种数学问题。 4）问题分析 在解0-1背包问题的优先队列式分支限界法中，活结点优先队列中结点元素N的优先级由该结点的上界函数Bound计算出的值uprofit给出。子集树中以结点N为根的子树中任一结点的价值不超过 N.profit。可用一个最大堆来实现活结点优先队列。堆中元素类型为HeapNode，其私有成员有 uprofit,profit,weight和level。对于任意活结点N，N.weight是结点N所相应的重量；N.profit 是N所相应的价值；N.uprofit是结点N的价值上界，最大堆以这个值作为优先级。子集空间树中结 点类型为bbnode。 0-1背包问题的表示方案