第四章平稳随机过程的非线性变换
第十二章 平稳随机过程
第十二章 平稳随机过程 §1 基本概念 定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥?n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与 h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同 的n 维d.f 。即 ) ,,,;,,(),,() ,,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++ 则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。 当t X ?n 维d.l 时，则有 ),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++= 若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。于是 X X m dx x xf t X E μ=== ?+∞ ∞ -),0()(1 即t X 的均值是一个与时间无关的常数。 其方差 ?∞ ∞ -=-=-=.),0()(][2 22 X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的 常数。 而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有 ).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧ =-= 所以t X 与τ+t X 之间自相关为 ??∞∞-∞ ∞ -+== =+).(),;(),(21212 1ττττX t t X R dx dx x x f x x X X E t t R 它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为
平稳随机过程
平稳随机过程 ?严格平稳随机过程 ?广义平稳随机过程 ?平稳随机过程自相关函数性质?各态历经过程
1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。 1111(,,,,,)(,,,,,) X N N X N N p x x t t t t p x x t t +?+?=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。 (,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+?t)具有相同的统计特性。
二维概率密度 只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。 12121212121221212 (,,,)(,,,) (,,,0)(,,) X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+?+?=-?=-=ττ=-
如果X (t )是严格平稳随机过程, 则 121212121212 (,)(,,,)() X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞ -∞ ==ττ=-?()()X X X m t xp x dx m ∞ -∞==?22 2()()()X X X X t x m p x dx ∞ -∞σ=-=σ ?
100200300400500 -4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise 0100200300400500 -4 -3 -2-101234Non-stationay Gaussian Noise
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程及其数字特征
平稳随机过程 粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.严平稳随机过程 1. 定义设有随机过程{ X(t) , t ∈T}，若对于任意n 和任意t1 因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差τ）的函数 综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳?是很困难的。 a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间 进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。 例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。 12121212 12 1 21212 2 2 2 (,)(,;)() (,)()()(,;)()()(0)(0)[()] X X X X X X X X X X X X X X R t t x x f x x dx dx R C t t x m x m f x x dx dx C R m C R m D X t τττττσ=?==??==?=?==∫∫∫∫ ∞<)]([2 t X E b)：另一方面，对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。 因此，工程中平稳过程的定义如下： 二、宽平稳过程1、定义 若二阶矩过程( )X(t) 满足: E[X(t)]=m x ←常数 R x (t 1,t 2)=R x (τ) ←只与时间间隔(τ=t 2-t 1)有关 则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。 可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。 c)：一般在工程中，通常只在相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩有关的问题。 4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+= 第三章随机过程的线性变换 在通信的和控制领域中，由于有用信号常常被噪声所污染，因而研究信号的传输和处理时，必然要涉及到研究随机噪声通过线性系统时的变换和处理，以便最有效地从噪声背景中提取有用信号。此外，在科学试验中所遇到的各类随机过程往往都与系统相联系。因此，要用统计方法来研究随机过程通过线性系统和非线性系统的变换问题。本章重点讨论随机过程通过线性系统时的统计特征。随机过程的非线性变换仅作简单介绍。 § 3.1 随机过程变换的基本概念 3.1.1 系统的描述及其分类 系统可以定义为实现某种特性的要求而构成的集合。它可以是很简单的，也可以是很复杂。但从数学观点来看，系统的输出，只不过是系统对输入信号 进行一定数学运算。或者说，系统可以看作是由输入到输出的数学映象。 如果给定函数为系统输入，按照某些特定规则而指定与相对应的，新的函数作为输出，如图3.1所示，则可表示为 图 3.1 系统模型 3.1.1 式中符号表示函数与之间相互对应的变换规则。这个系统就由变换规则来定义。 假定系统输入时一随机过程，则输出必有一随机过程。按照随机过程的概念，它可以看成是所有可能的诸样本函数的集合。而对某一特定的试验结 果所取得的样本函数，可以看成是时间的的确定函数。而当系统的输出信号，即 3.1.2 而只是过程的一个组成部分，它与试验结果相对应，因此，系统对输入信号（过程）的响应和一般的确定性输入信号的相应是相同的。输出过 程的随机性由输入过程的试验结果来表征。 如果所讨论的系统是确定性的，则“”就是一个确定性的变换，而确定性 系统是大家所熟知的，它可以分为线性时不变，非线性时不变，线性时变和非线性时变系统等等。下面简略地讨论什么是确定性变换，什么是随机变换。 假定对两个试验结果和，当 有 3.1.3 则这种系统（变换）称为确定性系统，变换称为确定性变换。 假定对两个试验和，当 有 3.1.4 则这种系统是随机的，变换称为随机变换。 显然这种分类是基于系统末端特性来分的。也可以从描述线性系统的微分方程来考虑分类的方式。如果考虑下列线性微分方程 3.1.5 若方程式中的系统是随机的，则该系统是随机系统，相应的变换也是随机的。但是，本章所涉及的仅仅的仅仅是确定性变换，且只讨论定常线性系统，这意味着式中的系数是常数。 3.1.2 线性系统的概念和基本关系式 第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(， 实验三 随机信号通过线性和非线性系统后的特性分析 一、实验目的 1、了解随机信号的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱特性。 2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、自相关函数、互相关函数、概率密度、频谱及功率谱有何变化，分析随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性 二、实验仪器与软件平台 1、 微计算机 2、 Matlab 软件平台 三、实验步骤 1、 根据本实验内容和要求查阅有关资料，设计并撰写相关程序流程。 2、 选择matlab 仿真软件平台。 3、 测试程序是否达到设计要求。 4、 分析实验结果是否与理论概念相符 四、实验内容 1、 随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析 （1）实验原理 ①随机信号的分析方法 在信号系统中，可以把信号分成两大类：确定信号和随机信号。确定信号具有一定的变化规律，二随机信号无一定的变化规律，需要用统计特性进行分析。在这里引入了一个随机过程的概念。所谓随机过程，就是随机变量的集合，每个随机变量都是随机过程的一个采样序列。随机过程可以分为平稳的和非平稳的，遍历的和非遍历的。如果随机信号的统计特性不随时间的推移而变化。则随机过程是平稳的。如果一个平稳的随机过程的任意一个样本都具有相同的统计特性。则随机过程是遍历的。下面讨论的随机过程都认为是平稳的遍历的随机过程，因此，可以随机取随机过程的一个样本值来描述随机过程中的统计特性。 随机过程的统计特性一般采用主要的几个平均统计特性函数来描述，包括、均方值、方差、自相关系数、互相关系数、概率密度、频谱及功率谱密度等。 a.随机过程的均值 均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。基于过程的各态历经行，可用时间间隔T 内的幅值平均值表示，即 ∑-==10/)()]([N t N t x t x E 均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 随机过程的线性变换 姓名：徐延林学号：200904013026 专业：电子工程指导教师：谢晓霞 2012年4月17日 一、实验目的 了解随机过程线性变换的基本概念和方法，学会运用MATLAB 软件模拟各种随机过程的线性变换，对其结果进行仿真分析，并通过实验了解不同随机过程经过窄带系统的输出。 二、实验原理 （1）均匀分布白噪声序列利用MATLAB 函数rand 产生； laplace 分布的白噪声表达式 () ()(0)2 c x m c f x e m --= =白噪声 据此我们可以产生拉普拉斯白噪声序列。 （2）自相关函数的估计 ||1 1 ?()()()||N m x n R m x n m x n N m --==+-∑ MATLAB 自带的函数为xcorr 。 （3）功率谱的估计 先估计自相关函数?()x R m ，再利用维纳－辛钦定理，功率谱为自相关函数的傅立叶变换：1 (1) ()()N jm x x m N G R m e ωω+-=--= ∑ MATLAB 自带的函数为periodogram 、pyulear 或pburg 。 （4）均值的估计 1 1 1?()N x n m x n N -==∑ MATLAB 自带的函数为mean 。 （5）方差的估计 1 221 1??[()]N x x n x n m N σ -==-∑ MATLAB 自带的函数为var 。 （6） ARMA 模型的理论自相关函数和理论功率谱 对于AR(1)模型()(1)()X n aX n W n =-+，其理论自相关函数和功率谱分别为 222 2()(0)1()(1)m X X j a R m m a G ae ωσσω-?=≥?-? ??= ?-? 对于ARMA 模型 01201()(1)(2)()()(1)() N M a X n a X n a X n a X n N b W n bW n b W n M +-+-+?+-=+-+?+- 其理论的功率谱密度为 220 ()M jkw k k x N jkw k k b e G w a e σ-=-==∑∑ （7）白噪声过有限系统或宽带信号过窄带系统输出信号成正态分布。 三、实验内容及结果分析 1.PAM 信号的匹配滤波 假定信号为脉冲幅度调制（PAM ）信号，1 0()()M k s k s t A p t kt -==-∑，k A 等概率取 +1和-1两个值，1s t =，信号在信道中传输会受到加性高斯白噪声的污染，在接收端每一个脉冲要判断发射的是“1”还是“0”。 （1） 画出信号、信号加噪声的波形； （2） 对匹配滤波器输出信号，每隔s t 秒进行取样（在每个脉冲的结尾时刻取 （已经编辑到115页2008-3-20） 第四章随机过程 （电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01） 1. 随机过程的概念及其分布律 原书91-132页90 第四章随机过程 为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。 1、随机过程的概念及其分布律 孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。 然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。 当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91 的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。 图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为 T=T(y,d) （4．1） 图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、 式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92 关于平稳过程中的各态历经性的综述 首先要介绍一下什么是平稳过程，平稳过程是一类统计特性不随时间推移而变化的过程。在实际中，有相当多的随机过程，不仅它现在的状态，而且它过去的状态，都对未来状态的发生有着很强的影响。有这样重要的一类随机过程，即所谓平稳随机过程，它的特点是：过程的统计特性不随时间的推移而变化。严格地说，如果对于任意的n （=1，2…），12,,t t t T ∈n …,和任意实数h,当 12,,n t h t h t h T +++∈…,时，n 维随机变量 （X(1t ),X(2t ),…,X(t n )） 和 （X （1t h +）,X （2t h +）,…,X （n t h +）） 具有相同的分布函数，则称随机过程{}X ∈（t ）,t T 具有平稳性，并同时称此过程为平稳随机过程，或简称平稳过程。 在实际工作中，确定随机过程的均值函数和相关函数是很重要的。而要确定随机过程的数字特征一般来说需要知道过程的一﹑二维分布，这在实际问题中往往不易办到，因为这时要求对一个过程进行大量重复的实验，以便得到很多的样本函数。 但是由于平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化，就会提出这样一个问题：能否从一个时间范围内观察到的样本函数或一个样本函数在某些时刻的取值来提取过程的数字特征呢？所谓各态历经，是指可以从过程的一个样本函数中获得它的各种统计特性；具有这一特性的随机过程称为具有各态历经性的随机过程，只要有一个样本函数就可以表示出它的数字特征。 定义 设X （t ）是均方连续平稳随机过程，如果它沿整个时间上的平均值即时间平均值〈X （t ）〉存在，即 〈X （t ）〉=1lim ()2T T T X t dt T -→∞ ? 存在，而且〈X （t ）〉=E ｛X （t ）｝=X μ依概率1相等。即〈X （t ）〉依概率1等于X μ= E ｛X （t ）｝, X μ代表随机过程的集平均（或称统计平均），则称该过程的均值具有各态历经性。 定义 设X （t ）是一均方连续平稳随机过程，且对于固定的τ，()X t X t τ（+）也是连续平稳随机过程，〈()X t X t τ（+）〉 代表()X t X t τ（+）沿整个时间轴的平均值，即 ()X t X t τ（+）=1lim (+)()2T T T X t X t dt T τ-→∞ ? 若〈()X t X t τ（+）〉存在，称〈()X t X t τ（+）〉为X （τ）的时间相关函数。又 第四章 平稳随机过程 第一节 平稳过程的概念 一、两类平稳过程 1.严平稳过程 定义1 设 为随机过程，如果对任意正整数n 及任意 ， 及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量 与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即 的n 维分布函数Fn 满足： ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切 ,2,1,=i x i 成立 则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。 定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有 证：首先利用柯西—许瓦兹不等式 可以证明 ，即自相关函数存在。 又由于 为严平稳过程，故对任意 有相同的分布， 所以 再由s 、t 的任意性可知 又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有 ))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是 []) ,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程 定义2 设有随机过程 ，且对任意t ， ，如果 ) (),()(ττμX X X R t t R t =+=常数 则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。 以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。 严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征 设 为平稳过程，且 ，则 )]([t X E X =μ为常数，称其为均值。 )]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数） )]([22t X E X =ψ为常数，（均方值） 4.17 4.18 4.19 设有图题4-19所示的电路，其中W 0(t )为输入的随机过程，W 0(t )为标准维纳过程（即4.18中的z (t )，且其1=β）；其输出为)(t ξ=W 0(t )-W 0(t -1)。求)(t ξ的均值和相关函数。 图题4-19 解：由于W 0(t )为标准维纳过程，则E [W 0(t )]=0。因此 0)]1()([)]([00=--=t W t W E t E ξ )(t ξ的相关函数为 )]}1()()][1()({[),(2020101021----=t W t W t W t W E t t R ξ ) (t W 假设t 1 4.1.1 非线性器件特性 非线性系统必定含有一个或多个非线性器件。 功率放大器，振荡器和各种调制解调器都是非线性器件。非线性器件有三个特点：工作特性的非线性、具有频率变换能力、不满足叠加原理。 线性器件的主要特点是，器件参数与通过器件的电流或施于其上的电压有关。例如，通过二极管的电流大小不同，二极管的内阻值便不同。晶体管的放大系数与工作点有关；带磁心的电感线圈的电感量随着通过线圈的电流而变化。 非线性器件的输出信号比输入信号具有更为丰富的频率成分，许多重要的无线电技术正是利用非线性器件的这种频率变换作用才得以实现的。当信号通过非线性器件时，输出中除了包含基波分量外，还会出现众多的心的频率分量。例如，输入为单频信号，则产生高次频波。在窄带接收机中，谐波并不是严重的问题。因为谐波远离信号频率，它们会被滤波器滤除；但在发射机中，谐波并不是严重的问题。因为谐波远离信号频率。例如，输入激励信号为双频信号，则输出不仅有高次谐波，还有两个输入频率的和频、差频分量，即非线性产生的新频率来源于两个频率的线性组合，通常把这些混频后的频率称为交调（IM ）分量。 4.1.3 无记忆基带非线性器件模型 设无记忆基带非线性器件的输入为基带实信号x （t ），输出也为实信号y(t),则无记忆基带非线性器件可以建模为： y(t)=F[x(t)] 最常用的基带非线性模型是幂级数模型和限幅器模型。幂级数模型定义如下： y(t)=∑ =N k 0a k x k (t) 通用的基带限幅器模型具有如下形式： y(t)=)])(/(1[)] (sgn[t x m t x M + 式中，M 是输出的限幅值，m 是输入的限幅值，s 是“成形”参数。m=0对应的是一个硬限幅器。x(t)表示基带信号，即其功率（能量）谱分布在零频周围，输出y(t)也是基带信号。上式模型的仿真比较简单。下面MATLAB 程序limiter.m 给出了仿真过程。图所示为限幅器的输入-输出曲线。 4.1.4 无记忆带通模型可以用来表征通信系统仲的多种窄带非线性带通器件。如前所述，无记忆带通非线性器件可建模为，无记忆非线性器件后跟随一个带状带通滤波器。 这里，家丁非线性器件是窄带的，输入信号也是窄带的，即器件的带宽和信号的带宽均远小于载频f c 。考虑一下形式的无记忆非线性器件： y(t)=x(t)-0.5x 3(t) 假设输入信号是一个具有如下形式的带通随机信号： x(t)=A(t)cos[2πf 0t+θ(t)] f o 载波频率。A （t ）和θ(t)是低通随机过程，其带宽满足窄带假设。则非线性器件的 输出为： y(t)=A(t)cos[2πf 0t+θ(t)]-0.5{A(t)cos[2πf 0t+θ(t)]}3 =A(t)cos[2πf 0t+θ(t)]-4 5.0A 3(t){cos[6πf 0t+3θ(t)]+3cos[2πf 0t+θ(t)]} 湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证： 2[()()](0)E X n Y n h σ=，22 20 ()Y n h n σσ ∞ ==∑ 证：根据离散白噪声性质，2 2 0()[()()]()0 X m R m E X n m X n m m σσδ?==+==? ≠? ()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞ ==?=-∑ 220 [()()]{()()()][()()]() ()()()()(0) m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞ ==∞∞ ===-=-===∑∑∑∑ 1212122 2 11220 2 1 2 1 2 212100 00 [()]{()()()()] [()()]()()[()()]() Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσ δ∞∞ ==∞∞∞∞ ======--= --=-∑∑∑∑∑∑ (对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠) 12 2 2110 ()()()m n h m h m h n σ σ ∞ ∞ ====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。 解：该级联系统的单位脉冲响应为 12121 1 1 00()()()()()()() 1(/)() 1/n m m m m m n n n n n n m m n n m m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a a b a b a a u n a b a a b ∞ ∞ -=-∞=-∞+++-===?= -=---?? ==== ?--?? ∑ ∑∑∑ 参照题30的结果可以得到 第6章 随机过程通过非线性系统分析 6.1 引言 1． 问题 系统的输入与输出的关系为)]([)(t X L t Y =，其中][?L 是非线性系统。 输入)(t X 已知，如何分析)(t Y ？这是一件较难的事情。到目前为上，没有一个通用的方法来处理、解决非线性系统问题。 2． 目标与目的 对于非线性系统，信号分析的主要目的是掌握系统输出)(t Y 的有关特性： （1） 系统][?L 的传输特性：能否用一个具体的非线性函数来表达输入)(t X 与输出)(t Y 的 关系？ （2） 求输出)(t Y 的均值、自相关等特性。 （3） 求输出)(t Y 的概率分布。 3． 无记忆的非线性系统 （1） 定义：如果在某一给定的时刻t ，系统输出)(t Y 只取决于同一时刻的输入)(t X ，而 与)(t X 的任何过去或未来值无关。 即，系统的输入与输出可表达成函数关系 )]([)(t X g t Y = 在无记忆系统中，若输入)(t X 已知，可用函数来研究输出)(t Y 的相关特性。 )(x g y =称为系统的传输特性。 （2） 无记忆系统的分解 对于大多数系统而言，系统的记忆性是存在的，因为大多数系统存在贮能元件。 研究表明，有记忆的系统可分解成： 其中，][1?L 、][3?L 是有记忆的线性系统，][2?L 是无记忆的非线性系统 对于线性系统，有完整的理论与方法来研究其输出特性。所以，吸需要对无记忆非线性系统进行充分的研究，便可解决非线性系统的信号处理问题。 6.2 直接法 已知条件：已知系统的传输特性)]([)(t X g t Y =；已知系统输入)(t X 的概率密度 ),(t x f X 。 1．)(t Y 的均值与矩 dx t x f x g t Y E X ),()()]([? +∞ ∞ -= dx t x f x g t Y E X n n ),()()]([? +∞ ∞ -= 2．)(t Y 的自相关 对于给定的1t 、2t ， 2121212121),,,()()(),(21dx dx t t x x f x g x g t t R X X Y ? +∞ ∞ -= 若)(t X 是平稳随机过程，则有 212121),,()()()(21dx dx x x f x g x g R X X Y ττ? +∞ ∞ -= 3．传输特性)(x g y =为特殊函数时，输出)(t Y 的统计特性 （1）2 )(bx x g = 称2)(bx x g =为全波平方律检波器，简称平方律检波器。这是最简单、最常用的非线性 演变随机响应问题的统一解法! 方同"冷小磊"李军强#孙木楠$张天舒%孙怀江$ &"西北工业大学工程力学系西安’("))(#*&#西安理工大学机仪学院西安’("))%+* &$南京理工大学力学系南京’#")),%*&%东华大学基础部上海’#)))-"* 摘要演变随机过程是指平稳随机过程按确定性调制规律演化而得的一种非平稳随机过程.无论是时不变或时变系统在演变随机激励下的响应’还是时变系统在平稳随机激励下的响应’均属演变随机响应.求解演变随机响应问题的关键在于找到该响应的确定性调制规律.最近提出的线性系统的演变随机响应问题的统一解法指出/求解有关演变随机响应的调制规律等价于求解原系统在某种确定性激励下对应于零初始条件的瞬态响应.在一般情形下’这类瞬态响应均可用现成的数值解法’例如01234561778法求得.上述统一解法原本是针对确定性系统提出的’但结合9:2745;8<=:法>或随机摄动法>或随机正交展开法’就可推广用于随机结构的演变随机响应分析’本文将系统地介绍这个统一解法及其新进展. 关键词/结构动力学?随机振动?时变系统?随机结构?演变随机响应 中图分类号/@$#%?A B"#$ 引言 众所周知’频域分析法在求解时不变线性系统的随机振动问题中一直起着主角作用.特别是在平稳输入C平稳输出问题中’响应功率谱与激励功率谱之间存在着简单的代数关系是频域分析中最精彩的一页.由DE424<56F E2G F E2公式定义的功率谱仅适用于平稳随机过程’功率谱不随时间而变是平稳随机过程在频域中的最重要特点.反之’如果一个随机过程的频域统计特性是随时间而变化的’那么它就是非平稳随机过程.工程结构所经受的随机激励在许多场合下可合理地当作平稳随机激励’因而工程中大量的随机振动问题可归结为平稳随机响应问题.但有些情形’例如突风>巨浪>地震>海啸>爆炸冲击波等等’必须作为非平稳随机过程来处理.非平稳随机响应问题在一般情形下’无论是激励建模’还是响应求解’都存在极大的困难.好在对非平稳随机过程的一类特殊情形’即演变随机过程来说’问题相对地要简单得多.所谓演变随机过程是指平稳随机过程按某种确定性调制规律得来的一类非平稳随机过程.早在H)年代中期’I随机过程-习题-第4章-01
随机过程-习题-第4章
随机过程第三章1-4节
《随机过程答案》第四章习题
随机信号通过线性和非线性系统后的特性分析-实验报告
matlab随机过程的非线性变换实验报告
第四章随机过程
随机过程关于平稳过程中的各态历经性的综述
第四章 平稳随机过程
随机过程-习题-第4章-02
非线性器件特性
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
第6章 随机过程通过非线性系统分析
演变随机响应问题的统一解法
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- 应用统计学与随机过程(第3章--随机过程的线性变换2014)
- 第3章随机过程的线性变换
- 随机过程-第一章 预备知识及补充
- 第三章随机过程的线性变换NEW随机信号分析与处理
- 第3章 随机过程的线性变换 34 35概论
- 第2章-随机过程习题及答案
- 《随机信号分析》第3章 随机过程的线性变换
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- 知识点总结-随机过程理论
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- 随机过程-通过线性系统
- 第4章随机过程的非线性变换
- matlab随机过程的非线性变换实验报告
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- 随机过程知识点
- 随机过程复习提纲
- 随机过程总结
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- 第4章 随机过程的非线性变换