振动力学参考答案
请打双面
习题与综合训练第一章
2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子
高h，视为无质量的弹性杆，
其抗弯刚度为EJ。求该房屋
作水平方向振动时的固有
频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k
则
其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知
=
则=
设静平衡位置水平向右为正方向，则有
所以固有频率
2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ
θ＝hα
2F＝mg
由动量矩定理：
其中
2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分
别为k1和k3的弹簧，因此，k1
与k2串联，设总刚度为k1ˊ。
k
1
ˊ与k3并联，设总刚度为k2
ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度
为k。即为
，，
mg kδ
=δ
δ
3
24
mgh
EJ
=
k3
24EJ
h
"
m x kx
=-
3
n
24
mh
EJ
p=
2
a
a
h
a
mg
a
mg
Fa
M
ml
I
M
I
8
2
2
cos
sin
12
1
2
2
-
=
-
≈
?
-
=
==
=
α
θ
α
θ&&
1
2
cos
sin≈
≈
θ
α
α
h
l
ga
p
h
a
mg
ml
n2
2
2
2
2
3
4
12
1
=
=
?
+θ
θ&&
g
h
a
l
ga
h
l
p
T
n
3
π2
3
π2
π2
2
2
=
=
=
1
k3k
2
1
2
1
1k
k
k
k
k
+
=
'
2
1
2
1
3
2k
k
k
k
k
k
+
+
=
'
4
2
4
1
2
1
3
2
3
1
4
2
1
4
3
2
4
2
1
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
+
+
+
=
θ
F sinα
2
θ
α F h
mg
θ
F
2-4求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭
转振动的固有频率。其中、和是三个轴
段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个
轴段的转动惯量不
计，材料剪切弹性模
量为G。
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
2-5如题2-5图所示，质量为的均质圆
盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转
动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及个轴承间
的摩擦力，求此系统的固有频率。
解：此系统是一个保守系统，能量守恒
系统的动能为：
系统的势能为：
总能量
由于能量守恒
消去得系统的运动方程为：
系统的固有频率为：
2-6如题2-6图所示，刚性曲臂绕支点的
转动惯量为，求
系统的固有频率。
解：设曲臂顺时针
方向转动的角为
广义坐标，系统作简谐运动，其运动方程为
。很小，系统的动能为
所以，
)
(
4
2
4
1
2
1
3
2
3
1
4
2
1
4
3
2
4
2
1
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
m
k
k
k
k
k
k
k
k
k
p
+
+
+
+
+
+
=
1
J
2
J3J
1
1
1
/l
GJ
k=
2
2
2
/l
GJ
k=
3
3
3
/l
GJ
k=
)
/(
2
3
3
2
3
2
23
l
J
l
J
J
GJ
k+
=
)
(
/)
(
)4
)(
3
)(
2(
1
/)
(
2
3
3
2
1
1
3
2
2
1
3
3
2
1
2
23
1
2
l
J
l
J
Il
l
J
J
l J
J
l
J
J
G
P
I
k
k
P
n
n
+
+
+
=
+
=
知
）
由（
2
m
2
2
2
2
2
2
2
2
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
??
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
+
=
R
x
I
r
x
r
m
x
m
x
m
T
&
&
&
&
2
2
2
2
1
12
1
2
1
x
k
R
x
R
k
U=
??
?
?
?
?
=
2
2
2
1
1
2
2
2
2
12
1
2
1
2
1
4
3
2
1
x
k
R
R
k
x
R
I
m
m
U
T
E??
?
?
?
?
+
+
??
?
?
?
?
+
+
=
+
=&
2
3
d
d
2
2
1
1
2
2
2
1
=
??
?
?
?
?
+
+
??
?
?
?
?
+
+
=
x x
k
R
R
k
x x
R
I
m
m
t
E
&
&&
&
x&
2
3
2
2
1
1
2
2
2
1
=
??
?
?
?
?
+
+
??
?
?
?
?
+
+x
k
R
R
k
x
R
I
m
m&&
??
?
?
?
?
+
+
+
=
2
2
2
1
2
2
1
1
2
3
R
I
m
m
k
R
R
k
p
I
?
)
sin(α
?+
Φ
=t
p
n
?
2
2
2
1
2)
(
2
1
)
(
2
1
2
1
?
?
?&
&
&l
m
a
m
I
T
O
+
+
=
)
cos(α
?+
Φ
=t
p
p
n
n
&
取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静
平衡位置伸长为，由
，
（A ）
由题意可知，系统势能为
（B ）
将（A ）式代入（B ）式，可得系统最大势能为，
由，
得
所以，有
2-7 一个有阻尼的弹簧--质量系统，质量为10 kg ，弹簧静伸长是1cm ，自由振动20个循环后，振幅从0.64 cm 减至0.16cm ，求阻尼系数
c 。
解：振动衰减曲线得包络方程为：
振动20个循环后，振幅比为：
代入,得：
又
＝ c = 6.9 N s /m ，
2-8 一长度为l 、质量为m 的均质刚性杆铰接于O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题2-8图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数
和阻尼固有频率的表达式。
解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（2）。由动量矩定理，列系统的运动微分方程为：
当n ＝p n 时，c ＝c C
2-9 如题2-9图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及
固有频率。
解：
222222122max
212121l p a p m p I T n n n O Φ+Φ+Φ=321,,δδδ∑=0
)(F m
O
2233111=-++l k b k ga m a k δδδa g m l k b k a k V ?δδ?δδ?δδ?1222222323321211])[(21
])[(21])[(21+--+-++-+=
2
22223221max 21
2121l k b k a k V Φ+Φ+Φ=max
max V T ==Φ+Φ+Φ2222221222
12121l p a p m p I n n n O 22222322121
2121l k b k a k Φ+Φ+Φ2
2212
223212
l m a m I l k b k a k p O n
++++=nt
X Ae -=200.64
0.16nTd
e =∴
ln 420Td n =
2
15Td =-2
22
2ln 44()20n n P N π=-10n st
g
P g d =
=∴2
ln 4()20n 224100g N π-∴32c mk l
a c =
222
n 3ml ka p =
220=++a k l c I ???&&&m
c
n ml ka p ml ka m c ml I n
323033
12
2
22
22
0=
=
∴=+3+∴=
???&&&Θ323232mk
l a m p nm c n C =
==∴O
X O
Y O
2-10 如题2-10图所示，质量为2000 kg 的
重物以3 cm/s 的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知k =48020 N/m ，
c =1960 Ns/m ，问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅?最大振幅是多少?
解：以系统平衡位置为坐标原点，建立系统运动微分方程为
所以有 ++x =0 其特征方程为：+r+=0 r =-0.494.875i
所以：x =cos4.875t+sin4.875t 由于n < p n ，由已知条件，
，
，，m/s 。
故通解为
其中，
。
（代入初始条件，当t =0时，x =0, =0
当t=0时，=0,=0.006 x =0.006sin4.875t
=0.006(-0.49) sin4.875t+0.0064.875cos4.875
当=0时，振幅最大，此时t=0.03s 。当 t=0.03s 时，x =0.005m ） 代入初始条件，得
，得
物体达到最大振幅时，有
既得t = 0.30 s 时，物体最大振幅为
cm
2-11 由实验测得一个系统的阻尼固有频率为
，在简谐激振力作用下出现最大位移值的
激振频率为
，求系统的无阻尼固有频率
、
相对阻尼系数及对数衰减率。
解：， ，
；
三个方程联立，解得：
222222222
2
2
2
222224
22
224
2224
2
02224142n n n c d n
I kb b ca a ml kb ca kb ca ml ml kb p ml b k p l ca n ml n p ca b k
ml l bl
c mk
a k
b
c a p p n ml m l kmb l c a ml ?????????=--=--∴++=∴==
===
∴==-=-
=
-&&&&&&&&&Q m 当时m
22
=++x p x n x n &&&x &&c m x
&k
m 2
r 19602000480202000±1c 0.49t e -2c 0.49t
e -49.02000
219602=?==
m c n 01.24200048020
2===
m k p n 00=x 03.00=x &)
sin cos (21t p C t p C e x d d nt +=-875
.422
=-=
n p p n d 1c
x
&2c 0.49t
e
-x
&0.49t e -?x
&006.0,000
0201==+=
==d
d p x p x nx C x C &&t
p e C x d nt sin 2-=0cos sin 22=+-=--t p p e C t p e nC x
d d nt d nt &528.0)3.0875.4sin(006.03.049.0=?=?-
e x d
p m
ωn
p ζδ2
21ζω-=n m p 22
n p p n d -=n
p n
=
ζ2
22
22m
d m
d p p ωωζ--=
习题与综合训练 第二章
2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为 1.8s ，相邻两振幅的比值
，若质量块受激振力N 的
作用，求系统的稳态响应。
解：由题意，可求出系统的运动微分方程为
得到稳态解
其中
由
又
有
所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27')
2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率rad/s 时，系统发生共振；给质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。
解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k
由
，共振时 所以
又由 当
②
①与②联立解出
m ＝20.69 kg
k ＝744.84 N/m
2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静
挠度
，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以
不计，求转速为时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。
解：列出平衡方程可得：
2m
2
n 2ω-=d p p 2
2
21222???? ??-=-===d m m d d
d n
d p p p p p nT ωπωππζδ1
2
.41=+i i A A t t F 3cos 360)(=t m x
n x p x n 3cos 360
22
=++&&&)3cos(α-=t B x m k
B B B 45.0360
4)1(02
2220
==
+-=
λζλ222
122tg λζλ
ωωα-=-=
n p n d
nT i i
A A e 2.41
===
+η489
.3π2797
.0ln 8
.1ln ======d
d d
d d T p T n T nT ηη2
2n p p n d -=
579
.32
2
2=+=n d n p n p p ο
45.51255.1298.0374
.0838
.01838.0223.02tg 103.1408
.045
.0838.0223.04)838.01(45
.0223
.0579
.3797.0838.0579
.33
2
222===-??=
==
??+-=
=====
=
ααζω
λB p n p n n
61=ω86.52=ωm k
p n =
m k p n =
=1ωm k =
686.51
2=+=
=m k
p n ωst
δω
所以：
又因为
即为所求的振幅
2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力
，弹簧支承端有运动
，
写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。
题
2-4图
解：选时物块平衡位置为坐标原点O ，建立坐标系，如右图，
则 即
即 （*）改成，下面也都一样
利用复数求解 ， 用 代换sinwt 并设方程
（*）的解为这里求的是特解，也就是稳态解。
代入方程（*）得
其中B 为振幅，为响应与激励之间的相位差，有
=
。
其中
2-5如题2-5图的弹簧质量系统中，两个弹簧的连接处有一激振力
，求质量块的振幅。
题2-5图
解：设弹簧1，2的伸长分别为x 1和x 2，
则有，
（A ）
由图（1）和图（2）的受力分析，得到
（B ）
（C ）
联立解得，
222()sin sin()sin()st Q W
W k x w e wt x
g g
W Q
x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W
ππ-σ+-
=+=++=+&&&&&&2n kg P W Q h w e W =
=st st W W k k =σ=
σ即()
2
2
222()
n st st B P W w e B W g w =-σ-σ将结果代入得：
Q =
t
F t F ωsin )(0=t
a x s ωcos =0
s x =()()
s mx k x x p t +-=&&()
s mx kx kx p t +=+&&0cos sin mx kx ka wt p wt +=+&&0p
0F
jwt
e ()jwt x t Be =02j p jka B Be k mw φ+==-φ22
022p ka B B k mw k mw ????
==+ ? ?--??
??()
()
()
2
22042
0222
42202
22
2
2
242211n n n n p p a p a p k a p m
m m
p w
p λλ+++=
=---2
2
02
21
1p a k λ=+-2002ka
ka k mw tg p p k mw φ-==-0ka arctg
p φ∴=()22
02
21
()sin sin arc 1p k x t B wt a wt tg k p φλ?∴=+=
++ -?
,n n w k
p p m λ=
=t
F ωsin 021x x x +=t
P x k x k ωsin 02211+=22x k x m -=&&
所以
，n = 0，得，
2-6在题2-6图示的系统中，刚性杆AB 的质量忽略不计，B 端作用有激振力
，写出系统运动微分
方程，并求下列情况中质量m 作上下振动的振幅值∶(1)系统发生共振；(2)等于固有频率
的一半。
题
2-6图
解：图（1）为系统的静平衡位置，以θ为系统的广义坐标，画受力如图（2）
又 I ＝ml 2
则
1）系统共振，即
2）
2-7写出题2-7图示系统的运动微分方程，并求系统固有频率
、阻尼比及稳态响应振幅。
题2-7图
解：以刚杆转角为广义坐标，由系统的动量矩定理
即
t
P k k k x k k k k x m ωsin 02
12
2121+++-=&&t
P m
k k k x m k k k k x ωsin )()(0212
2121+=++
&&)(212
1k k m k k p n =2
1
02
222
222)(
11)2()1(1)2()(n
n p k P k
H
n p h
B ω
?λλωω-=
+-=
+-=
t
F ωsin 0ωn
p t lP l k l l c l I ωθθθsin 3)3(3)2(20+??-???-=&&&t
P ml m k m c ωθθθsin 340=9++∴&&&???
???
?===ml p
h m c n m k p n 0
23,4292222
2
222
)2()()2()(ωωωωθθn p hl
lB B n p h
B n n +-=
=+-=
ω
=n p k
m c
p m k
m c l ml p np hl B n 494)/3(20
0=
??==
∴n P 21
=
ωmk
c
k
p m k m c m k l ml
p np p hl
B n n 816411
94944273)(432
0222
2
2
2+
=
+??
? ???=
+??? ??=
∴n
p ζ??
??&&&22)(4cl l x l k m l s ---=mg
θ B
P 0sin ωt A X A
Y A
F C
F K
令，
，，，
，
得到
2-8一机器质量为450kg ，支承在弹簧隔振器上，弹簧静变形为0.5cm 。机器有一偏心重，产生偏心激振力
N ，其中是激励频率，g 是重力加速
度。求(1)在机器转速为1200 r/min 时传入地基的力；(2)机器的振幅。
解：设系统在平衡位置有位移， 则
即
又有
则
（1）
所以机器的振幅为
（2）且，
（3）
又有（4）
将（1）（2）（4）代入（2）得机器的振幅
=0.584 mm 则传入地基的力为
2-9一个粘性阻尼系统在激振力
作用下的强迫振动力为，已知
N ，B =5 cm ，rad/s ，求最初1秒
及1/4秒内，激振力作的功及。
2-10 证明粘性阻尼在一周期内消耗的能量可表示
为
证明
2-11证明简谐激振力作用下的结构阻尼系统在
时振幅达最大值。
证明：设结构阻尼的应变幅度为B ，则应变改变一周期内所消耗的能量
为与材料有关的常数与频率无关，则等效粘性阻尼系数
t l ka
m k m c ω???sin 44=++
&&&m k p n 4=
m c n 42=
n n mp c p n 8==?ml ka h 4=
n p ωλ=2
222)2()(ωω?n p h
B n +-=
2
222
2
22
2)2()1(2)
2()1(242?λλωω?+-=
+-?=
=a
p p n p p
l ml
ka l B B n n n
n
g F 2
0254
.2ω=ωx 0
mx kx F +=&&0
F k x x m m +=&&st
mg k δ=st mg
k δ=
2
021F B k λλ=
-n
p ω
λ=
40rad
s ωπ=2
n st
k g p m δ==
B 514.7T p kB N
==t
F t F ωsin )(0=?
?? ??
+=6πsin )(t B t x ω6
.190=F π20=ω1W 2W 01
101
011
0014020
1400
:
()sin 19.6sin 20()cos()cos(20)
66W =P(t)x(t)19.6sin 20cos(20)6
| 4.9(1cos80)15.39()()19.6sin 20c P t P wt t
x t Bw wt t dt
t t dt
t d
J
W P t x t dt
t πππ
πππ
πππππππ===+=+=?+=---=-=
==?????
?&由已知可得同理可得:
os(20)6
0.0395t dt
J
π
π+=()()
2
2
22
0212λζλλ
ζπ+-=
k
F E ?()()()
222
22
2
002
2
222
2cos()/21412T
E c B t dt c B B
F k F E c k
ωω?πωπζλ
πω
λξλλζλ?=--=-=
?=-=
-+-+?n
p =ω2
B W s α=αω
由于振幅
所
以
，
其中，
对
求导得
，
当时，，振幅B 达到最大值
，求系统响应。
题2-12图
解：由图得激振力方程为
当 0 < t < t 1时，，则有
由于
，所以有
当t 1 < t < t 2时，，则有
当 t < t 2时，，则有
+ 0
2-13如题2-13图的系统，基础有阶跃加速度，
初始条件为，求质量m 的相对位移。
题2-13图
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为
令
，则有
得到系统的激振力为，，可得响应为
222)()(ωωe c m k H
B +-=
2
222
22)(
)1(1)()(k k
H m k H
B παλπ
αω+-=
+-=
n p ω
λ=
1/2
22222
2()n h
B c p m ωω=
??-+ ?
?
?223/222222
2-2()()n n n n hp p dB
dp c p m ωωω-=
??-+ ?
??n p ω=0
n dB
dp =0)0()0(==x x &??
?
???≤≤-?≤=22
1111
00)(t t t t t P t t P t F 1)(P F =τ]cos 1[)(sin )(2101t p mp P
d t p mp P t x n n t
n n -=-=?
ττm k p n =
2]cos 1[)(1
t p k P t x n -=
1)(P F -=τ?-=10
1
)(sin )(t n n
d t p mp P t x ττ?
--+t t n n
d t p mp P 1)(sin 1
ττ)](cos 1[]cos )([cos 1111t t p k P
t p t t p k P n n n -----=
0)(=τF ?-=1
1
)(sin )(t n n
d t p mp P t x ττ?
--+t
t n n
d t p mp P 1)(sin 1
ττ(cos )([cos ]cos )([cos 12111t p t t p k
P
t p t t p k P n n n n -----=
)(t bu 0)0()0(==x x &)
()(s s x x k x x c x m ----=&&&&)
(s r x x x -=)(t mbu kx x c x m r r r -=++&&&)()(ττmbu F -=
其中
，
，。
2-14上题系统中，若基础有阶跃位移，求零初始条件下的绝对位移。
解：系统振动的微分方程为
即
基础有阶跃位移,故
=0
=
，则有
得到系统的激振力为，，可得响应为
其中
，
，。
2-15 求零初始条件的无阻尼系统对题2-15图示激振力的响应。
题2-15图
解：由图得激振力方程为
当 0 < t < t 1时，
，则有
当t < t 1时，，则有
2-16 零初始条件的无阻尼系统受题2-16图的外力
作用，求系统响应。
题2-16图 解：由图得激振力方程为
当 0 < t < t 1时，
，则有
)cos sin 1()](cos )(sin [)(sin )(2
20222
20)
(t p e t p p ne p n b t p e P n p t p e p n n e p b d t p e mp mb t x d nt d d nt d
t d n d d d n d nt d t
d t n d
r -------+-=-++-+-=--=?τττ
ττττ2
2
n
p p n
d -=
m k p n =
2m c
n =2)(t au )
()(s s x x k x x c x m ----=&&&&s s
mx cx kx kx cx ++=+&&&&)(t au s
x &s x ()
au t )(t kau kx x c x m =++&&&)()(ττkau F =()()()
()0sin t
n t d d
F x t e p t dt
mp τττ--=-?()()()0sin t n t d d
kau t e p t dt mp ττ--=-?)]
cos sin (
1[)]cos sin 1([)(sin )(2
2220)(t p t p p p e a t p n p t p n e n p e p n n e mp ka d t p e mp ka t x d d d
n
t p d d d nt d n d nt d t d t n d
n +-=+-+=
-=----??τ
τ?τ
τ1sin cos n p t n d d d p a e p t p t p ζζ-????=+-??
????
?2
2
n
p p n
d -=
m k p n =
2m c
n =2??
???
??≤-=1
11
00)1()(t t t t t t P t F )
1()(10t P F τ
τ-
=co 1[)(sin )1(1)(10010t t
k P d t p t P mp t x t
n n
--=--=?
τττ0)(=τF )]}(sin [sin 1cos {0)(sin )1(1)(11
00
1
01
t t p t p t p t p k P d t p t P mp t x n n n n t n n --+-=
+--=?τττ
????
?????
?≤≤--?≤=2
211
220
11000)(t t t t t t t t t P t t t t P t F 10
)(t P F τ
τ=
当t 1 < t < t 2时，，则有
当 t < t 2
时，，则有
+ 0
解：
运动微分方程为
当
时，
当时，
算法同上，
所以有
当
时，
+0
系统响应为
]cos [)(sin )(10010t p t t
k P d t p t mp P t x n t
n n -=-=?
τττ1
220
)(t t t P F --=ττ?-=101
)(sin )(t n n d t p t mp P t x τ
ττ?---+t t n n d t p t t t mp P 1)(sin 1220τττ])
()(sin )()(sin [1211212112110t t t p t t p t t t t t t t t p t p t t k P n n n n --+----=0)(=τF ?-=1
1
0)(sin )(t n n d t p t mp P t x τττ
?---+t
t n n d t p t t t mp P 1)(sin 1
220τ
ττ
])
()
(sin )()(sin sin [1211212210t t t p t t p t t t p t t p t p t p k P n n n n n n --+----=
()0
11
00212
12212,0,0,F t t t t F t
F t F t t t t t t t t t t ?≤≤???=+≤≤?--??>??()
mx kx F t +=&&1
0t t ≤≤()0
1
F F t t t =
()()()()00
01
000
100011
000
110011011sin sin 11
(cos ()|cos ())
cos ()1sin ()|sin sin t n n t n n t
t n n
n n n
t n t n n
n n
n n F x t p t d mp F p t d mp t F p t p t d mp t p p F t F p t d kt kt F t F p t kt kt p F t F p t kt kt p F p t t k t p t ττττττ
τττττττ=-=-=--
-=--=+?-=-??
=- ???????1
2
t t t <≤()002
1221F t F t
F t t t t t =
+--()()
()()(1
100002011221sin 1sin sin t
n n
t
t n n t n n F x t p t d mp F F F t p t d p t mp t mp t t t t τττττ
ττ=-??=-++ ?--?????()()2102211121sin sin n n n n t p t t F p t t t k t t p t p t t t ??--=-+??--??
2
t t >()0
F t =()()100
1
sin t n n F x t p t d mp t τ
ττ=-?
()2
1
021221sin t n t n F t t p t d mp t t t t ττ
??
++- ?--??
?
()()()()2120112121sin sin sin n n n n n n t p t t p t t F p t k
p t p t t t p t t ??
--=-+-??--??∴
2-17 零初始条件的无阻尼系统受题2-17图的半正弦脉冲作用，若，求系统响应。
题2-17图
解：由图得激振力方程为
当 0 < t < t 1时，
，则有
当 t > t 1时，，则有
2-18求无阻尼系统对题2-18图的抛物型外力
的响应，已知。
题2-18图
解：由图得激振力方程为 当 0 < t < t 1时，
，则有 当 t < t 2时，，则有
2-19无阻尼系统的支承运动加速度如题2-19图所
示，求零初始条件下系统的相对位移。
题2-19图
解：系统运动的微分方程为
令
，则
由图得支承运动加速度方程为
()()()()()()()011121021221
112121202
112121sin ,0sin sin ,sin sin sin ,n
n n n n n n n n n n n F p t t t t k t p t t p t t F p t t t x t t t t k t t p t p t t t t p t t p t t F p t t t
k p t p t t t p t t ???
-≤≤? ????
???--?=-+≤≤???--??????--?-+->???--???n 1πp t ≠=ω??
???≤=2
1000sin )(t t t t t P t F ωt
P F ωτsin )(0=)sin (sin )(
11)(sin sin )(2
00t p p t p k P
d t p t mp P t x n n
n
t
n n ω
ωω
ττω--=-=?0)(=τF ]
sin )([sin )
(
10)(sin sin )(12
01t p t t p p p k
P d t p t mp P t x n n n
n t n n ---=+-=?
ω
ω
ττω?
?
??
??-=21201)(t t F t F 0)0()
0(==x x &???????≤-=112120000)(t t t t t t P P t F 21200)(t P P F ττ-=1)(21[()(sin ]1[)(21
2002120
t p k P d t p t mp P t x n t n n +=--=?τττ0)(=τF 0)(sin ]1[)(1
21
2
0+--=?
t n n d t p t mp P t x τττco )(sin 2]cos )([cos 2{11
12120t t p t p t p t t p t p k P n n n n n -----=
)
(s x x k x m --=&&s
r x x x -=s
r r x m kx x m &&&&-=+
当 0 < t < t 1时，，
则有
当 t > t 1时，，则有
2-20 求零初始条件的无阻
尼系统对题2-20图所示支承运
动的响应。
题2-20图
解：系统运动的微分方程为
由图得支承运动方程为
当
<
t <
t 1时，
，则有
当 t < t 1时，，则有
2-21 题2-21图为一车辆的力学模型，已知车的质量m 、悬挂弹簧的弹簧常数k 及车的水平行驶速度v ，
道路前方有一隆起的曲形地面∶。
(1) 求车通过曲形地面时的振动； (2) 求车通过曲形地面后的振动。
题2-21图
解：由牛顿定律，可得系统的微分方程为，
由曲形地面∶
，得到
??
?????≤=1
110t t b t t t t b x s
&&1
)(t mb
x m F s τ
τ-=-=&&)
sin ()(sin )(11201t p t
p t t p b d t p t mp mb t x n n n t
n n r --=--=?
τττ0)(=τF ?
--=10
1
)(sin )(t n n r d t p t mp mb t x τττ
?
--+t
t n n d t p mp mb
1)(sin ττ]sin )(sin 1[112
t p t p t t p p b
n n n n
--+-=
)(s x x k x m --=&&s
kx kx x m =+&&????
?
??≤+-=1112
1100)(t t t t t t a a a x s 1211)
()(t a a k ka kx F s τ
τ+-==cos
1()(sin )()(101
211t
n n a d t p t mp a a k ka t x -=-+-=?
τττ
0)(=τF )](sin [sin cos 0
)(sin )()(2
12
110
1
2111a t t p t p t
p a a t p a d t p t mp a a k ka t x n n n n t n n ---++
-=+-+-=?
τττ
?
?? ??
-=x l a y s π2cos 1)
(s y y k y m --=&&?
?? ??
-=x l a y s π2cos 1s
ky ky y m =+&&
得到系统的激振力为，
。
（1）车通过曲形地面时的振动为
（2）车通过曲形地面后的振动
车通过曲形地面后以初位移和
初速度作自由振动，即 ，
由
公
式
，得到
车通过曲形地面后的振动响应为
其中，
，。
或积分为
习题与综合训练 第三章
3-1 复摆重P ，对质心的回转半径为，质心距
转动轴的距离为a ，复摆由水平位置无初速地释放，列
写复摆的运动微分方程。
解:系统具有一个自由度，选复摆转角
为广义坐标，原点及正方向如例图3-1（a ）中所示。复摆在任意位置的外力图如题3-1(a)图。
根据刚体绕定轴转动微分方程
其中
得到复摆运动微分方程为
)2cos
1()(x l ka F πτ-=2()(1cos
)x vt
F ka vt l π
τ=∴=-Q 10t t ≤≤=-=?
t n n
d t p mp F t y 0
)(sin )
()(τττ]
)(sin cos )(sin [00
??---t n t
n n d t p d t p mp ka τττωττ-
-=)cos 1(t p a n ])(2)cos()(2)cos([cos ])(2)sin()(2)sin([{sin 22ω
ωωωωωωωω----++++--+++n n n n n n n n n n n n n p p p t p p t p t p p t p p t p t p ap )
cos 1(t p a n -=])
(cos )(cos [
22
22ωωω----n n n n n n p t
p p p t p ap )cos cos (2
22
2t p t p p a a n n n ωωω--+=1t t ≥)(1t y )(1t y
&)cos cos ()(12
122
21t p t p p a a t y n n n ωωω
--+
=)sin sin ()(12
122
21t p t p p p a t y n n n n ωωωω+--=&)
(sin )
()(cos )()(1111t t p p t y t t p t y t y n n
n -+-=&)
(cos [cos )(12
22t t p t p p a
t y n n n ---=ωωm k p n =
2v l π
ω2=1
()
()sin ()t n n
F y t p t d mp τττ=
-=?
1
10
0[sin ()cos sin ()]
t t n n n ka p t d p t d mp ττωτττ---??2
122
[cos cos ()n n n a p t p t t p ωω=---C
ρ?O
O M J =?&&)(22
a g P J C O +=
ρ
题3-1图
或
由
和初始条件
将上式分离变量积分可得到复摆在任意位置的角速度。
所以
当
时，，此瞬时复摆的外
力图如图（b ）。由质心运动定理
所以 ，
要点及讨论
（1）刚体绕定轴转动微分方程
可与质
点运动基本定律类比。运用此方程可解决定轴转动刚体的动力学问题，因通过转动轴的未知约束力在外力矩中不出现，所以对转动轴取矩可直接建立刚体运动微分方程。这是绕定轴转动微分方程的一般用法。在某些情况下也可用此方程求解未知力。如图(c)所示，若已知皮带轮角加速度，可用定轴转动微分方程求皮带拉力，之间的关系。
（2）当刚体运动确定后,欲求转动轴处的未知约束力，可用质心运动定理，即
式中
，，a 为质心距转动
轴的距离。
约束力沿质心切线与法线方向分解较为方便。 （3）刚体运动微分方程列出后，根据给出的初始条件进行积分，可求得刚体任意瞬时的角速度及角位移。在本题中也可直接用定积分求出摆至铅垂位置时的角速度，积分式为
。
在铅垂位置处直接应用定轴转动微分方程，可求出
此位置的角加速度，即，此时外力矩M O 为零，
所以。
（4）在本题中也可选例图13-2(d)所示角为广义坐标，此时微分方程为
。
读者试解释方程中的“一”号表示什么？并给
出对应于角的初始条件，然后求解问题（2）。
3-2均质半圆柱体，质心为，与圆心O 1的距离为
e ，柱体半径为，质量为，对质心的回转半径为，
在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。
解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。 半圆柱体在任意位置的动能为：
用瞬心法求：
?
?ρcos )(22
Pa a g P C =+&&0
cos )(22
=-+??ρga a C &&??
?
?d d &&&&=0,0,000===??&t ?
?+=?
?
??ρ?
?&&&0
2
2
cos d a ga
d C ?ρ?sin 22
22
a ga
C +=
&2π
?=
2
22
2,0a ga C +=
=ρ??&&&???-==P N ma N ma n Cn C ττg a a a a a a C Cn C 2
22
2
20
+====ρ??τ&&&0
=τN )
21(222
a a P N C n ++=ρO
O M J =?&&F a =m εT T '???
?
?==∑∑n Cn C F ma F ma ττετa dt dv a C
C ==
2ωa a Cn =??
+=20
2
20
cos π
?
?
?ρ?
?d a ga
d c &&&O
O M J =ε0=εβ()
β
βρsin 22
pa a g
P C -=+&&θC R m C ρ
θ2221
21ωC C J mv T +=
C
v 2222*2)cos 2()(θθθ&&Re R e CC v C -+==θ
ω&=2
C
C m J ρ=
题3-2图
.
故
系统具有理想约束，重力的元功为 应用动能定理的微分形式
等式两边同除，
，等式两边同除
故微分方程为
①
若为小摆动，，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为
要点及讨论
（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b ）所示。列写微分方程
上述方程包含
，
，，，五个未知
量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系
，
所以
运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约
束力，，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。
因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。
（2）本题也可用机械能守恒定律求解。
系统的动能
选半圆柱体中心O 1所在平面为零势面，系统的势能
由
两边对时间求导数，即可得到与式①相同的运动
微分方程。
3-3 均质杆AB ，长，质量为，沿光滑墙面滑
下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。
2222221)cos 2(21θρθθ&&C m Re R e m T +-+=θθδd mge W sin -=W dT δ=θ
θθρθθd mge m Re R e m d C sin 21)cos 2(2122222-=??
????+-+&&θθθθθθθθθρd mge d mRe d mRe d R e m C sin sin cos 2)(2222-=+-++&&&&&dt θθθθθθθθθρ&
&&&&&&&&sin sin cos 2)(222
2
mge mRe mRe R e m C
-=+-++0≠θ&θ&sin sin )cos 2(2222=
+++-+θθθθρθmge mRe Re R e m C &&&θθ≈sin 1cos ≈θ0
])[(22=++-θθρge r R C &&?????--=-=-=④
③②θ
θθρsin )cos (2Ne e R F m mg N y m F
x m C C C &
&&&&&C
x &&C
y &&θ&
&F N θ??
?-=-=θθθcos sin e R y e R x C C ???=-=θθθ
θθ&&&&&sin cos e y e R x C C ?????+=+-=⑥⑤22cos sin sin cos θθθθθ
θθθθ&&&&&&&&&&&&e e y e e R x C C N F 2
222221)cos 2(21θρθθ&&C m Re R e m T +-+=
θcos mge V -=E V T =+E mge m Re R e m C =-+-+θθρθθcos 21)cos 2(2122222&&t l m
题3-3图
解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为
由瞬心法求质心的速度
，，
所以
系统的主动力图为图（a ）所示。重力的元功为
由动能定理
所以
系统的运动微分方程为
要点及讨论
（1）平面运动刚体可用式计算刚体
动能，式中
为刚体对瞬心的转动惯量，为质心与瞬心间的距离。
在本题中质心的速度也可用式
计
算。其中
（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b ）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C 的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为
， 系统的动能
主动力的元功
根据动能定理建立的方程为
所以
“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。
（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。
3-4 如题3-4图所示，均质圆柱体质量为，半径为，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为
的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动
微分方程。
题3-4图
解：系统具有两个自由度，选为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：
?2221
21ωC C J mv T +=
?&2l v C =
2121ml J C =?ω&=2
23121?
&ml T ?=?
?δd l
mg d m W C sin 2
=?=r g W dT δ=?
??d sin l mg )ml (d 231212
2=?&0
23=-?
???sin l g
2*21
ωC J T =
2
*md
J J C C +=d C
v 222
C
C C y x
v &&+=?????==??cos 2sin 2l
y l x C C ?????-==????sin 2cos 2&&&
&l y l x C C θθ&2l v C =θ
d l dr C 2=223121θ&ml T ?=
θ
θδd l
mg W cos 2
-=θθθd l mg ml d cos 2)3121(22-=?&θθcos 23l g
-
=&&θθ&
&m r αM r x x 、E V T =+222
21111[(cos )(sin )]2222r r x T Mx m x x x mr r
αα=
++++??&&&&222
21111cos 2224r r r
Mx mx mx mxx mx α=?+?+?++&&&&&2
22131cos 242r r Mx mx mx mxx α=+++&&&&&
，水平方向动量守恒。
整理后可分别列写两个方程
①
②
式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间求导后，即可得到系统运动微分方程。
要点及讨论
（1）在理想约束的情况下，动能定理建立了系统的动能与主动力之间的关系，直接给出了系统的速度（或角速度）与位移（或角位移）之间的关系，对时间
求导一次可得到系统的运动微分方程。
（2）用动能定理建立系统运动微分方程的步骤为： ①分析系统受力，在理想约束的情况下只有主动力作功，所以一般在受力图上只画主动力。
②建立广义坐标，确定其原点和正方向；分析系统运动，重点是分析速度（角速度），将速度（角速度）用广义速度表示。
③计算系统在任意位置的动能，将动能表示为广义坐标、广义速度的函数。
④计算力的功，若用积分形式动能定理，则计算主
动力在有限路程上的功，若用微分形式的动能定理，则计算力的元功。
⑤应用动能定理建立系统的受力与运动间的关系。 （3）在理想约束、主动力又为势力的情况下，可用机械能守恒定律建立系统运动微分方程。
（4）对于多自由度系统，如两个自由度系统，动
能定理只给出一个方程，必须与其他定理，如动量定理
或动量矩定理联合应用，才能得到另外一个方程。
3-5题3-5(a)图所示为刚性建筑模型。刚性基础质量为m ，刚性建筑的质量为M ，对质心C 的转动惯量为
I C 。两刚体在O 处铰接并附有刚度系数为k 1的扭转弹簧。
其他参数如图示。设地基有水平运动z (t )，试建立系统
微幅运动微分方程。图中
。
解：应用牛顿矢量力学建立刚体运动的微分方程时，首先要画出每个刚体的受力图，如题3-5图(b)、(c)所示。
对于图(b)，建立刚体的水平运动微分方程为
(1)
对于图(c)：建立刚体在铅垂平面内的运动微分方
程为
sin r V mgx α
=-C
p x =C x x m x M r =++)cos (α&&&E mgx x x m x m x m M r r r =-+?++ααsin cos 2
321)(2122
&&&&C x x m x M r =++)cos (α&&&t 23()sin [
1]0
2cos cos m M g x m α
αα+-+=&&t 2,212c c k k =
=Ox
F z x c z x k x m +----=)()(&&&&Ox C F x M -=&&Mg
F y M Oy C -=&&
(4)
其中x C 、y C 及x 均是对固定坐标系的坐标，同时考虑到微小运动的假说，于是有 (5)
(6)
由方程(1)、(2)消去未知力，F Ox 并考虑式(5)得
(7)
又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力F Oy 、F Ox ，并考虑式
(5)和
(6)，得
(8)
方程(7)和(8)为系统微幅运动微分方程，若令x 和θ为
确定系统位置的广义坐标，写为矩阵形式
那么，方程(7)和(8)改写为矩阵形式如下：
(9)
由此例题可以看出，应用牛顿矢量力学建立系统的
运动微分方程，一定要画受力图，于是必然要涉及未知约束力，因此较为繁琐，特别是该例中的组合刚体系统更是如此。然而对于多自由度系统，应用拉格朗日方程建立运动微分方程较为简单。
由动静法得,以整体为研究对象：
以M 为研究对象：
又忽略高阶小量
，所以以上两式化简后得：
化成矩阵形式为：
3-6 题3-6图所示两端简支的均匀梁，已知弯曲刚度为EI ，单位长度的质量为m ，分布载荷为F (y , t )。试用哈密顿原理求运动方程。
解：若梁的挠曲函数为w (y , t )，则动能为
(a)
应变（势能）为
(b)
θ
θθθcos sin 1C a F a F k I Ox Oy ++-=&&θ
θa x a x x C +≈+=sin a a y C ≈=θcos kz
z c kx x c Ma x m M +=++++&&&&&&θ)(0
)()(12=-+++θθMga k Ma I x Ma C &&&&????
??????=θx q ???
????
???+=??????????????????-+??
?
???????????????+???
???????????????++0)(0
000)()(12kz z c x Mga k k x c x Ma I Ma Ma
m M C &&&&&&&&θθθ∑=0X 2()()cos sin 0mx Mx k x z c x z Ma M a θθθθ-------+=&&&&&&&&&0
o
m
=∑1cos sin 0
c Mxa Ma a I Mga k θθθθθ++-+=&&&&&&sin cos 1θθθθ∴Q 很小 ＝，＝2θ&
()()()0m M x Ma c x z k x z θ+++-+-=&&&&&&21()()0
c Max I Ma k Mga θθ+++-=&&&&??
?-+????????????????+????????????????++(00000)()(12Mga k k x c x Ma I Ma Ma m M C &&&&&&&θθt y w m T l )
,(2
120
&?
=
y
t y w EI l d ),(2
1
20
''=
∏?
外力功为 (c) 将式(a)、式(b)与式(c)代入变分式
(d)
得到
(e)
对式(e)进行分部积分运算，得到 (f)
由于，时，哈密顿原理要求δw = 0，因而式(f)
变为 (f)
因为，t 1与t 2区间的虚位移δw 不可能为零，由此，得到梁的边界条件
(h)
与运动方程
(i)
两端简支的梁，显然是满足边界条件式(h)的。
3-7 应用拉格朗日方程导出题3-7图所示系统的运动微分方程。
题3-7图
解：取各质量偏离其平衡位置的x 1、x 2、x 3、x 4为
广义坐标。即
(1)
则系统的动能
(2)
系统的势能为
(3)
计算拉格朗日方程中的各项导数如下：
y
t y w t y F A l
d ),(),(0
?
=
Ad δ
d )(δ21
21
=+∏-=
?
?
t t T I t t t t d d δ),(d d δd d δm 0
02
1
2
1
2
1
=
+
''''-
?
??
??
?t y w t y F t y w w EI t y w w l t t l t t l t t &&d d δ),(d d δ)(d ]δ)[(d ]δ)(d d δd δ00
00002
1
2
1
2
1
21
2
1
1
2
=+
''''-
'''+
'''-
-
??
????
?
??
??
?
?
??
t y w t y F t y w w EI t w w EI t
w w EI t y w w m y w w m l
t t l t t l t t l t t l t t t t l
&&&21t t t ==0
d d δ),(d d δ)(d ]δ)[(d ]δ)(d d δ0
0000
2
1
2
1
21
21
2
1=+
''''-
'''+
'''-
-?
??
??
?
?
?t y w t y F t y w w EI t
w w EI t w w EI t y w w m l t t l t t l t t l t t l t t &&0
δ)(0
δ)(0
0='''=''''l l
W
W CEI W m CEI )
,()(t y F w EI w m =''''+&&4
,3,2,1==i x q i
i 2
442332222112
1212121x m x m x m x m T &&&&+++=
23442332122211)(2
1)(21)(2121x x k x x k x x k x k V -+-+-+=
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
(完整版)振动力学试题
1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。 解： 系统的动能为 2 2 1?=θJ T 2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ += 3322θθk k = 联立以上两式得 θθ3 23 2k k k += θθ3223k k k += 系统的势能为 ( )[]2 2 33222213 23 23212 1212121θ θθθk k k k k k k k k k U +++= ++= 利用θωθn =? 和U T =可得 () () 3232132n k k J k k k k k +++= ω 2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。
解： 平面在液体中上下振动时： 02=++? ? ?kx x S x m μ d n d n T T m k πξ ωωπω2-1,220==== k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==?= k S k 2 22 --1μξ= 2020220 -2-22T T T ST m k S k T T T T d d d πμμ=?= 3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。 解：
先求刚度矩阵。 令0x 1,==θ得： 22212111a k b k a a k b b k k +=?+?= b k 221-k = 令1,0==x θ得： a k k 212-= 222-k k = 则刚度矩阵为：?? ? ? ??+=2222221--k a k a k a k b k K 再求质量矩阵。 令0,1==? ?? ?x θ ，得： 0,3 1 212111==m a m m
振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 图 解： 系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
机械行业振动力学期末考试试题(doc-11页)(正式版)
… 2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角： 系统动能： % m 1动能： m 2动能： m 3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ~ ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω \ x
振动习题答案分解
《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。
振动力学期末考试试题和答案
振动力学期末考试试题和答案 振动力学(试题) 2008 一、填空(每空2分) 1、设周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为,T ,,, 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为,,, , 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 动的幅值为,,, 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,,,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为,,,,,, 6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系,,,,, 7、写出瑞利商的表达式,,,,,, r8、多自由度系统中共存在个主固有频率，其相应的主振型,,, 正交。 9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是 否正交,,,,(答是或否) 10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件,,,,,,,,,, y L x K 图T-1 二、(20分)系统如图T-2所示，杆AB为刚性、均质，长度为,总L 质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为。求系统的固有频率及阻mck
尼因子。 图T-2 三、系统如图T-3所示。求系统的固有频率与主振型。 k k k k k m m m X X X 123 图T-3 四、 五、(20分)简支梁如图T-5所示，弹性模量为E，质量密度为，, 横截面积为A，截面惯性矩为J。求梁在中央受集中弯矩M下的响应。(假设梁的初始状态为零)
图T-5 答案 一、填空(每空2分) 1、周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为 T2/,T 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为, c ,, 2mk 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 p10动的幅值为 ,,B222k,,,,，(1)(2) 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,正,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为加权(M,K)正交: 0()ij,0()ij,,,TTTT ,,,,M,K,,,ijijMij(),Kij(),pipi,, 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系 21,其中 xHP()()(),,,,HKMiC()(),,,,,， TXKX7、写出瑞利商的表达式 ()RX,TXMX r8、多自由度系统中共存在个重固有频率，其相应的主振型,,加 权(M,K)正交。 MK9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于、是
上海交通大学2008年振动力学期末考试试题
上海交通大学2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而 有： 上式求导，得系统的微分方程为：
固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过 定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求 系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：
固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 系统动力学方程为： 频率方程为： 解出系统2个固有频率： ，
2008年期末振动力学考试试题
2008年振动力学期末考试试题 大学期末考试https://www.wendangku.net/doc/4017379186.html, 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1， 匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量 m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为 系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振 时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：
上式求导，得系统的微分方程为： 固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘 上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量 为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平 弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自 弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固 有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能：
在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有： 上式求导得系统的运动微分方程： 固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m， 每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运 动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标， 建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为：
2008年振动力学期末考试试题
2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T =
振动力学研究生期末考试题
西南交通大学2009－2010学年第( 1 )学期考试试卷 课程代码 6332200 课程名称 振动力学 考试时间 120 分钟 阅卷教师签字： 一、如图所示系统，设杆AB 为刚性杆，其对A 点的转动惯量为I =1 kgm 2，杆长L =1 m 。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B 端分别有弹簧支承。已知质量块质量m =10 kg ，弹簧系数k 1=40 N/m ，k 2=100 N/m 。试以集中质量块的位移x 为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。 （15分） 班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线 x
二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为ρ的液体中。设从静平衡位置压低距离x0，然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。(15分)
三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m1=9 kg，m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩I A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k1=k2= k3=1000 N/m。试求： （1）系统的运动方程； （2）系统的频率及振型； （3）验证振型关于质量阵加权正交。（20分） 1 m
四、图所示的弹簧质量系统，x 1为质量m 1的绝对位移，x 2为质量m 2的绝对位移， 取k k k k m m m =====32121,2,m 。已知系统的运动方程为： ?? ? ???=????????????+--++????????????0000213222212121x x k k k k k k x x m m （1） 采用瑞利商估算系统的基频； （2） 采用矩阵迭代法求系统的基频及振型。 （20分）
振动力学参考答案
请打双面 习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子 高h，视为无质量的弹性杆， 其抗弯刚度为EJ。求该房屋 作水平方向振动时的固有 频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度 为k。即为 ，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F
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《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 1W 2 W 从高度为h 处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞1W 2W 后 的运动规律。 图2-1 图2-22-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为 m ，A 、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)
2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案 1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其 固有频率。（10分） 解：令t A x t A x ωωωcos ,sin == t A x r J m x r J m r x J x m J x m T o o o o ωωθ22 2222 2222 2cos )(21)(21)(21212 121 +=+=+=+= t kA kx U ω2 22sin 2121== 2 2 2222max max /2 1)(21r J m k kA A x r J m U T o o += =+∴=ωω 2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分） )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k
解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形 对m 列运动微分方程： 022=+x k x m (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3) 由(3)式可以得出： 12 21)(k x k t P x += 将上式代入(1)式可得出： 2 112)(k k x k t P x ++-= 将上式代入(2)式可得出：0)(2 12 2121=+-++t P k k k x k k k k x m 令m k k k k k k e e e =+= ω,212 1，有 t k k k P t P k k k x k x m e ωsin )(2 120212 +=+=+ t k P t k k k k P x e e e ωωωωωωsin )(11sin )(11 12 102 2120-?=-??+= ∴ 3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分） 解：对物体m 列运动微分方程，有： 0)(1=--+x x k x c x m 即： t kA kx x c x m ωsin =++ t A ωsin 1= x m )x -
《振动力学》课程作业
《振动力学》2015春节学期作业 一、无阻尼自由振动 1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w，机构绕O轴的转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当=0 ?时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。 （答案：ω） 2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m 的小球。在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率。（忽略刚性杆件和弹簧的质量） （答案：ω）
的质量块，弹簧刚度为k，求系统的固有频率。 （答案：ω=） 微摆动，求其固有角频率。 （答案：ω=）
5、如图所示，抗弯刚度为62 EI=??的梁AB，借弹簧支撑于A,B两 3010(N m) 点处，弹簧系数均为300(/) =。忽略梁的质量，试求位于B点左边3m k N m 处，重量为1000() =的物块自由振动的周期。 W N （答案：T=0.533s） 6、一个重W的水箱，借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。每根柱子的长为L,抗弯刚度为EI。试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。（管柱的质量忽略不计） （答案：2 T=） 7、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第1题、第2题、第8题 二、有阻尼自由振动 1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数'c：在弹簧上悬挂
一薄板A ，先测出薄板在空气中的振动周期1T ,然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期2T 。设液体对薄板的阻力等于2A 'c v ，其中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。如薄板重W ，试有测得的数据1T 和2T ，求出粘性系数'c 。空气对薄板的阻力不计。 （答案：'c =） 2、物体质量为2kg ，挂在弹簧下端。弹簧常数k=48.02N/cm,求临界阻尼系数。 （答案：196Ns/m ） 3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。设在t=0时刻将物体从平衡位置向下拉5cm ，然后无初速度地释放，求此后的运动。 （答案:55(15t)cm t x e -=+ ） 4、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第12题 三、简谐荷载作用下的强迫振动 1、如图所示，一无重简支梁，在跨中有重W=20kN 的电机，电机偏心所产
振动力学考题集[1]
1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。 A. 单摆； B. 质量-弹簧； C. 匀质弹性杆； D. 无质量弹性梁； 2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。 A. c1+c2； B. c1c2/(c1+c2)； C. c1-c2； D. c2-c1； 3、（）的振动系统存在为0的固有频率。 A. 有未约束自由度； B. 自由度大于0； C. 自由度大于1； D. 自由度无限多； 4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。 A. 相同的，且都是质量； B. 相同的，且都是转动惯量； C. 相同的，且都是密度； D. 可以是不同的； 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时， 稳态位移响应幅值最大。 A. 等于； B. 稍大于； C. 稍小于； D. 为0； 6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（A ）。 A. 为n； B. 为1； C. 大于n； D. 小于n； 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时， 该集中质量的稳态位移响应一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 为无穷大； D. 为一常数值； 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。 A. 杆的纵向振动； B. 弦的横向振动； C. 一般无限多自由度系统； D. 梁的横向振动； 11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。 A. k1+k2； B. k1k2/(k1+k2)；
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 - 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： [ ()()l m m g m m n 113223++= ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： : 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 343422 += +=ω ：
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 ， 图 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ] ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω ：
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω 1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θ θθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 22 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω 1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。 图E1.4 答案图E1.4 解： mg b a +2 x x 2
完整版振动力学研究生期末考试题
线订装封密线订装封密 西南交通大学2009—2010学年第（1 ）学期考试试卷课程代码6332200 课程名称振动力学考试时间120 分钟 一、如图所示系统，设杆AB为刚性杆，其对A点的转动惯量为1=1 kgm2，杆长L=1 m。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B端分别有弹簧支承。已知质量块质量m=10 kg,弹簧系数k1=40 N/m，k2=100 N/m。试以集中质量块的位移x为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。（15分） L/2L/2 --------- —--- 予 线订装封密 题号-一一二二二-三四五六七八九十总成绩得分 阅卷教师签字：_________________________________________________________________
二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为p的液体中。设从静平衡位置压低距离x o,然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。（15分） o
三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m i=9 kg , m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩|A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k i=k2= k3=1000 N/m。试求： 1)系统的运动方程； (2)系统的频率及振型； (3)验证振型关于质量阵加权正交。(20分)
振动力学习题集
例：一等截面简支梁质量不计，长度3l m =，258800EI N m =?。有一质量90m kg =的物块从梁的中点上方10h mm =处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。 解：（1）梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数3 48l EI δ=，因此固有 频率为 ：134.1n s ω-= == （2）重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为 33 30909.838.44108.44484858800 st mgl y m mm EI -??=-?=-=-=-?=-? 02y gh = 2 0222st n n y gh h ωω??==? ??? 振幅为 08.4415.5A mm ===? 梁中点的最大位移为15.58.4423.9st s A mm =+?=+= 瑞利法（Rayleigh ）:等效质量的计算方法。应用这种方法时，必须做有关振动过程中系统形态的某些假设，称之为形状函数或振型。相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。 插P10 例1.4.1 如图示，悬臂梁（棱柱形）自由端处带有重量mg ，设梁的密度为 ρ，求考虑梁的质量时，系统的固有频率。
x y m 解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为： 23 (3)(0) 6 mg y lx x x l EI =-≤≤ 由此可得B端挠度 EI mgl y m3 3 = 令?? ? ? ? ?- = 3 3 2 2 3 )( l x lx t y y m 则 23 2 3 3 () 22 l m lx x T y dx l ρ- '=? 22 11 3333 , 14022140 m m y y l m m l ρρ =?==为梁作用在B点的等效质量 对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同1 33 140 M m m m lρ =+=+ ∴ B端总重为: 1 33 ()() 140 Mg m m g m l g ρ =+=+ 即使在 lρ不太小的情况下，等效质量 33 140 l ρ也可以应用 将结果用于0 = m的极端情况（悬臂段的集中质量为零）， 可有： 3 33 () 1403 st l l g EI δρ = 所得的振动周期则为：22 τπ ===
振动力学 部分 课后答案 刘延柱 著 高等教育出版社
1.1质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1 所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2 10212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ∫∫==?? ????=则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=?? +?=利用x x n ω= 和U T =可得：()()l m m g m m n 113223++= ω
1.2质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ????+== ()[]()2 222 12θθa R k a R k U +=+?=利用θωθn = 和U T =可得：()m k R a R mR a R k n 343422 += += ω
1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 3 32232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得：() () 3232132k k J k k k k k n +++= ω
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