帕斯卡原理

帕斯卡定律，是流体静力学的一条定律。“帕斯卡定律”指出，不可压缩静止流体中任一点受外力产生压强增值后，此压强增值瞬时间传至静止流体各点。

帕斯卡定律只能用于液体中，由于液体的流动性，封闭容器中的静止流体的某一部分发生的压强变化，将大小不变地向各个方向传递。压强等于作用压力除以受力面积。

根据帕斯卡定律，在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面积的10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大至第一个活塞的10倍，而两个活塞上的压强相等。

帕斯卡定律在生产技术中有很重要的应用，液压机就是帕斯卡原理的实例。它具有多种用途，如液压制动等。

若一个流体系统中有大小两个活塞，在小活塞上施以小推力，通过流体中的压力传递，在大活塞上就会产生较大的推力。据此原理，可制造水压机，用于压力加工。

制造千斤顶，用于顶举重物；制造液压制动闸（图2），用于刹车等。人们利用这个定律设计并制造了水压机、液压驱动装置等流体机械。

中心极限定理及其应用论文

青岛农业大学本科生课程论文 题目：中心极限定理及其应用姓名： 学院： 专业： 班级： 学号： 指导教师： 2012 年06 月27 日

青岛农业大学课程论文任务书 论文题目中心极限定理及其应用 要求完成时间 2012年 07 月 02 日 论文内容（需明确列出研究的问题）：研究中心极限定理的目的就是为了更深入的了解中心极限定理，更好的了解中心极限定理的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。 资料、数据、技术水平等方面的要求论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。 指导教师签名：年月日

中心极限定理及其应用 信息与计算科学专业（学生姓名） 指导教师（老师姓名） 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极限定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；随机变量

Central limit theorem and its application Student majoring in Information and Computing Science Specialty （学生英文名） Tutor （老师英文名） Abstract:The central limit theorem in probability theory and mathematical statistics plays an important role,this paper expounds the content of the central limit theorem and briefly introduces its application in practice. Key words: Central limit theorem Normal distribution Random variable

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的内涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。 于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其应用

中心极限定理及其应用 [摘要] 在中心极限定理的基础上，通过实例介绍它的应用。 [关键词] 中心极限定理随机变量应用 中心极限定理是棣莫佛在18世纪首先提出的，至今其内容已经非常丰富。它不仅是概率论中的重要内容，而且还是数理统计中大样本统计推断的理论基础。一种随机现象可能会受到许多不确定因素的影响,如果这些彼此之间没有什么依存关系,且谁也没有特别突出的影响,那么,这些影响的“累积效应”将会使现象近似地服从正态分布。中心极限定理在很一般的情况下证明了，无论随机变量服从什么分布，个随机变量的和当时的极限分布是正态分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释在现实中为什么很多数量指标都服从或近似服从正态分布这一事实。在中心极限定理的教学中，通过列举一些用中心极限定理解决问题的实例，能使学生较深地理解中心极限定理的理论与实用价值。 一、两个常用的中心极限定理 根据不同的假设条件，有多个中心极限定理。这里只介绍两个常用的中心极限定理。 定理1 列维—林德伯格（Levy-Lindeberg）定理（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差.则随机变量 的分布函数Fn（x）对于任意x满足 （5.7） 从定理1的结论可知，当n充分大时，有 或者说，当n充分大时，有 如果用表示相互独立的各随机因素。假定它们都服从相同的分布（不论服从什么分布），且都有有限的期望与方差（每个因素的影响有一定限度）。则（5.8）式说明，作为总和这个随机变量，当n充分大时，便近似地服从正态分布。 定理2（棣莫佛-拉普拉斯(De Moivre Laplace)定理） 设随机变量X服从参数为n，p （0＜p＜1）的二项分布，即，则

帕斯卡原理及其应用

帕斯卡原理及其应用 ?帕斯卡原理: 加在密闭液体上的压强，能够大小不变地被液体向各个方向传递，这个规律被称为帕斯卡原理。帕斯卡原理揭示了液体压强的传递规律，是许多液压系统和液压机工作的基础。如用于维修汽车的液压千斤顶(如图)，汽车的液压刹车系统，铲车等部用了液压技术。 液压机的工作原理如图所示，两个活塞，与同一容器的液体相接触。施加于小活塞的压强被液体传递给大活塞，大活塞便可以产生一个与其表面面积成正比的力。 ?帕斯卡: 帕斯卡发现了液体传递压强的基本规律，这就是著名的帕斯卡定律．所有的液压机械都是根据帕斯卡定律设计的，所以帕斯卡被称为“液压机之父”． 通过观察，帕斯卡设计了“帕斯卡球”实验，帕斯卡球是一个壁上有许多小孔的空心球，球上连接一个圆筒，筒里有可以移动的活塞．把水灌进球和筒里，向里压活塞，水便从各个小孔里喷射出来了，成了一支“多孔水枪”帕斯卡球的实验证明，液体能够把它所受到的压强向各个方向．通过观察发现每个孔喷出去水的距离差不多，这说明，每个孔所受到的压强都相同。 在初中阶段，液体压强原理可表述为：“液体内部向各个方向都有压强，压强随液体深度的增加而增大，同种液体在同一深度的各处，各个方向的压强大小相等； 不同的液体，在同一深度产生的压强大小与液体的密度有关，密度越大，液体的压强越大。” 特点：加在封闭液体上的压强能够大小不变地被液体向各个方向传递。同种液体在同一深度液体向各个方向的压强都相等。 裂桶实验： 帕斯卡在1648年表演了用一个著名的实验：他用一个密闭的装满水的桶，在桶盖上插入一根细长的管子，从楼房的阳台上向细管子里灌水。结果只到了几杯水，

桶就裂了，桶里的水就从裂缝中流了出来。原来由于细管子的容积较小，几杯水灌进去，其深度h很大。一个容器里的液体，对容器底部(或侧壁)产生的压力远大于液体自身所受的重力。

液压千斤顶帕斯卡原理

液压千斤顶帕斯卡原理 液压千斤顶又称油压千斤顶，是一种采用柱塞或液压缸作为刚性顶举件的千斤顶。简单起重设备一般只备有起升机构，用以起升重物。构造简单、重量轻、便于携带，移动方便。常用的简单起重设备有液压千斤顶、滑车和卷扬机等。 千斤顶是一种起重高度小的最简单的起重设备。它有机械式和液压式两种。机械式千斤顶又有齿条式与螺旋式两种，由于起重量小，操作费力，一般只用于机械维修工作，在修桥过程中不适用。液压工程千斤顶结构紧凑，工作平稳，有自锁作用。 通用液压千斤顶适用于起重高度不大的各种起重作业。它由油室1、油泵2、储油腔3、活塞4、摇把5、油阀6等主要部分组成。 专用液压千斤顶使专用的张拉机具，在制作预应力混凝土构件时，对预应力钢筋施加张力。专用液压千斤顶多为双作用式。常用的有穿心式和锥锚式两种。 其工作原理。张拉时，打开前后油嘴，从后油嘴向张拉工作油室内供油，张拉缸缸体向后移动。由于缸索锚固在千斤顶层部的工具锚上，因此千斤顶通过工具将钢索拉长。 当钢索张拉到需要的长度时，关闭后油嘴，从前油嘴进油至顶压缸内，使顶压缸活塞向前伸移而顶住锚塞，并将锚塞压入锚圈中，从而使钢索锚固。打开后油嘴并继续从前油嘴进油，这时张拉缸向前移动，缸内油液回流。最后打开前油嘴，使顶压缸内的油液回流，顶压活塞由于复位弹簧的作用而复还原位。超薄液压千斤顶. 小千斤顶有外壳、大活塞、小活塞、扳手、油箱等部件组成。工作原理是扳手往上走带动小活塞向上，油箱里的油通过油管和单向阀门被吸进小活塞下部，扳手往下压时带动小活塞向下，油箱与小活塞下部油路被单向阀门堵上。 小活塞下部的油通过内部油路和单向阀门被压进大活塞下部，因杠杆作用小活塞下部压力增大数十倍，大活塞面积又是小活塞面积的数十倍，有手动产生的油压被挤进大活塞，有帕斯卡原理知大小活塞面积比与压力比相同。 这样一来，手上的力通过扳手到小活塞上增大了十多倍(暂按15倍)，小活塞到大活塞力有增大十多倍(暂按15倍)，到大活塞（顶车时伸出的活动部分）力量=15X15=225倍的力量了，假若手上用每20公斤力，就可以产生20X225=4500公斤（4.5吨）的力量。工作原理就是如此。当用完后，有一个平时关闭的阀门手动打开，油就靠汽车重量将油挤回油箱。 注意事项： 1：液压千斤顶在顶升作业时，要选择合适吨位的液压千斤顶：承载能力不可超负荷，选择液压千斤顶的承载能力需大于重物重力的1.2倍；液压千斤顶最低高度合适，为了便于取出，

帕斯卡原理及其发现过程

定义 帕斯卡定律：加在密闭液体任一部分的压强，必然按其原来的大小，由液体向各个方向传递。 原理的发现 发现定理1651~1654年，帕斯卡研究了液体静力学和空气的重力的各种效应。经过数年的观察、实验和思考，综合成《论液体的平衡和空气的重力》一书。提出了著名的帕斯卡定律（或称帕斯卡原理），即；加在密闭液体任何一部分上的压强，必然按照其原来的大小由液体向各个方向传递。 原理的意义 著名科学史家沃尔夫称，帕斯卡的这一发现是17世纪力学发展的一个重要里程碑。帕斯卡在此书中详细讨论了液体压强问题。在第一章中，帕斯卡叙述了几种实验，它们的结果表明，任何水柱，不论直立或倾斜，也不论其截面积的大小，只要竖直高度相同，则施加于水柱底部的某一已知面积的活塞上的力也相同。这一个力实际上是液体所受的重力。书中详细叙述了密封容器中的流体能传递压强，讨论了连通器的原理。帕斯卡利用一个充水的容器，它有两个圆筒形的出口，除此之外，其他部分都封闭。两个出口的截面积相差100倍，在每一个出口的圆筒中放入一个大小刚好适合的活塞，则小活塞上一个人施加的推力等于大活塞上100人所施加的推力，因而可以胜过大活塞上99个人施加的推力，不管这两个出口大小的比例如何，只要施加于两个活塞上的力和两个出口的大小成比例，则水的平衡就可以实现。帕斯卡在书中一一叙述了密闭液体、压强不变、向各方传递等帕斯卡定律的基本点。 定律的发现 此书是帕斯卡于1653年写成的，但直到他逝世后的第二年----1663年才首次面世。帕斯卡是在大量观察、实验的基础上，又用虚功原理加以；证明才发现了帕斯卡定律的。在帕斯卡做过的大量实验中，最著名的一个是这样的：他用一个木酒桶，顶端开一个孔，孔中插接一根很长的铁管子，将接插口密封好。实验的时候，酒桶中先权满水，然后慢慢地往铁管子里注几杯水，当管子中的水柱高达几米的时候，就见木桶突然破裂，水从裂缝中向四面八方喷出。帕斯卡定律的发现，为流体静力学的建立奠定了基础。 发展 帕斯卡还在这一定律的基础上提出了连通器的原理和后来得到广泛应用的水压机的最初设想。他又指出器壁上所受的、由于液体重力而产生的压强，仅仅与深度有关；他用实验，并从理论上解释了与此有关的液体静力学佯谬现象。他在一周之内就突击读完了欧几里得《几何原本》的前六本，并还能把它应用于力学。1653年，他进入牛津大学里奥尔学院做工读生。他没有取得学士学位，而是在1663年获得文学硕士学位。 应用 帕斯卡定律是流体（气体或液体）力学中，指封闭容器中的静止流体的某一部分发生的压强变化，将毫无损失地传递至流体的各个部分和容器壁。帕斯卡首先阐述了此定律。压强等于作用力除以作用面积。根据帕斯卡原理，在水力系统中的一个活塞上施加一定的压强，必将在另一个活塞上产生相同的压强增量。如果第二个活塞的面积是第一个活塞的面积的10倍，那么作用于第二个活塞上的力将增大为第一个活塞的10倍，而两个活塞上的压强仍然相等。水压机就是帕斯卡原理的实例。它具有多种用途，如液压制动等。帕斯卡还发现：静止流体中任一点的压强各向相等，即该点在通过它的所有平面上的压强都相等。这一事实也称作帕斯卡原理（定律）。

中心极限定理的内涵和应用

中心极限定理的涵和应用 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。中心极限定理是概率论中讨论随机变量和的分布以正态分布为极限的一组定理。这组定理是数理统计学和误差分析的理论基础，指出了大量随机变量之和近似服从于正态分布的条件。故为了深化同学们的理解并掌握其重要性，本组组员共同努力，课外深入学习，详细地介绍了中心极限定理的涵及其在生活实践中的应用。 一、独立同分布下的中心极限定理及其应用 在对中心极限定理的研究中，我们不妨由浅入深地来学习，为此我们先来研究一下在独立同分布条件下的中心极限定理，即如下的定理1： 定理l （林德伯格-勒维中心极限定理）设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且0)(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ-= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}?∞--∞→=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 22 （1） 证明：为证明(1)式，只须证}{n Y 的分布函数列弱收敛于标准正态分布。由定理可知：只须证}{n Y 的特征函数列收敛于标准正态分布的特征函数。为此,设μ-n X 的特征函数为)(t ?，则n Y 的特征函数为 n Y n t t n ??????=)()(σ?? 又因为E(μ-n X )=0，Var(μ-n X )=2σ,所以有()0?'=0，2)0(σ?-=''。于是，特征函数)(t ?有展开式 )(2 11)(2)0()0()0()(22222t o t t o t t +-=+''+'+=σ???? 从而有 =??????+-=+∞→+∞→n n Y n n t o n t t n )(21lim )(lim 22?22t e - 而22 t e -正是N(0,1)分布的特征函数，定理得证。

中心极限定理及其意义

题目：中心极限定理及意义 课程名称：概率论与数理统计 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2012年5月25日 摘要： 本文从随机变量序列的各种收敛与他们的关系谈起，通过对概率经典定理——中心极限定理在独立同分布和不同分布两种条件下的结论做了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布用正态分布来表示的理论依据。同样中心极限定理的内容也从独立分布与独立不同分布两个角度来研究。同时通过很多相关的正反例题，进行说明这些定理所给出的条件是否是充要条件；签掉在实际问题中灵活的应用和辨别是否服从我们给出的定理条件。最后了解一些简单简便的中心极限定理在数理统计、管理决策、仅是计算以及保险业务等方面的应用，来进一步的阐明了中心极限定理分支学课中的中重要作用和应用价值。

关键词： 随机变量，独立随机变量，特征函数，中心极限定理 引言： 在客观实际中有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机因数的综合 影响所形成的，而其中每一个别因数在总的影响中所起的作用都是渺小的，这种随机变量往往近似地服从正态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背景。 中心极限定理自提出至今，其内容已经非常丰富。在概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以正态分布为极限的这一类定理称为中心极限定理。但其中最常见、最基本的两个定理是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。 一、三个重要的中心极限定理 1.独立同分布的中心极限定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，服从统一分布，具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k σμ，则随机变量之和 ∑=n k k X 1 的标准化变量， σ μ n n X X D X E X Y n k k n k k n k k n k k n -=?? ? ????? ??-=∑∑∑∑====1 111 的分布函数)(x F n 对于任意x 满足， ()x dt e x n n X P x F t x n k k n n n Φ==????????? ?? ??? ≤-=-∞-=∞→∞→?∑2/1221lim )(lim πσμ 2.李雅普诺夫定理 设随机变量??????,,,,21n X X X 相互独立，它们具有数学期望和方差 ()()) ,2,1(0,2???=>==k X D X E k k k k σμ，

大数定理与中心极限定理的关系及应用

本科生毕业论文（设计） 题目大数定律与中心极限定理的 关系及应用 姓名学号 院系数学科学学院 专业数学与应用数学 指导教师职称 2013年4 月16 日 曲阜师范大学教务处制

目录 摘要 (3) 关键词 (3) Abstract (3) Key words (3) 引言 (3) 1 大数定律与中心极限定理的关系 (4) 1.1预备知识 (4) 1.1.1大数定律 (4) 1.1.2中心极限定理 (5) 1.2大数定律与中心极限定理的关系 (6) 1.2.1服从大数定律不服从中心极限定理的例子 (7) 1.2.2服从中心极限定理不服从大数定律的例子 (8) 1.2.3大数定律与中心极限定理均不服从的例子 (9) 2 大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用 (10) 2.1 在误差分析中的应用 (10) 2.2 在数学分析中的应用 (11) 2.3 在近似计算中的应用 (13) 2.4 在保险业中的应用 (14) 2.5 在企业管理方面的应用 (15) 结论 (16) 致谢 (16) 参考文献 (17)

大数定律与中心极限定理的 关系及应用 摘要：本文通过对大数定律与中心极限定理在独立同分布和不同分布两种情况下的结论作了比较系统的阐述，揭示了随机现象最根本的性质——平均结果的稳定性。经过对中心极限定理的讨论，给出了独立随机变量之和的分布可以用正态分布来表示理论依据。另外，叙述了大数定律与中心极限定理之间的关系，同时通过举出很多相关的反例说明二者的关系。最后给出了一些简便的大数定律与中心极限定理在误差分析、数学分析、近似计算、保险业及企业管理等几个方面的应用,来进一步地阐明了大数定律与中心极限定理在各分支学科中的重要作用和应用价值。 关键词：大数定律中心极限定理随机变量应用 Relationship and Applications between the Law of Large Number and Central Limit Theorem Student majoring in mathematics and applied mathematics Bai Yanfei Tutor Liu Li Abstract: Based on the law of large numbers and central limit theorem in the independent distribution with the different distribution of both cases, it makes more systematic exposition, and reveals the phenomenon of the random nature of the most fundamental an average of the results of the Stability. Through the central limit theorem discussion, it gives out the random variables and the distribution of the normal distribution. At the same time, it demonstrates the relationship between the two aspects through lots of anti-related examples. Finally, it gives out several aspects of applications of a number of simple law of large numbers and the central limit theorem in error analysis, mathematical analysis, the approximate calculation, the insurance industry and business management to further clarify the law of large numbers and the central limit theorem in all branches of the important role and value. Key words: Laws of large number; Central-limit theorem; Random variables; Applications 引言概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的一门学科,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大数定律是概率论中一个非常重要的课题，而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带。大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性，证明了在大样本条件下，样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论，通俗地说，这个定理就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。在现实生活中经常可以见到这一类型的数学模型，比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们向上抛硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万次之后，我们会发现，硬币向上的次数约占总次数的二分之一，偶然中包含着必然。 而中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分

斯卡定理-帕普斯定理的证明技巧

用面积法证明Pascal 定理的方法与技巧 [帕斯卡定理] 如图，用一条6-闭折线依次连接圆上的六个点A B C D E F 、、、、、，其中 AB DE G BC EF H CD FA I ，，，则G H I 、、三点共线。 E F [证1]首先，连接GI ，设'GI BC H GI EF H ，；

E F 图（1）

E F 图（2） 顺次连接圆上的6个相邻点，得到圆的接凸六边形AEBDFC；

F

E F 连接G I 、与圆周上的六点A B C D E F 、、、、、，设 ' ' 'GH GH HI H I ，，则 'GBC GEF IBC IEF S S GH HI S S ，，从而'' ' GBC IEF IBC GEF S S GH H I HI GH S S 。 GBC IEF GBC IEF IFC GBE IFC GBE IBC GEF IFC GBE IBC GEF GEF IBC S S S S S S S S BG BC FI FE S S S S S S FI FC BG BE S S BG BC FI FE CI CF EG EB BG FI FC BG BE EG EF CI CB BC FI FC FI FE BG BE CI CF EG EF EG EB CI CB 1， 可知， 1'，即得 '1'GH H I HI GH ，即' 'GH GH HI H I 。 由于'H H 、都是线段GI 上的点，可知'H H 、同向分线段GI 的比相等， 故'H H 、为同一点（重合），从而证明了G H I 、、三点共线。

大数定律及中心极限定理 应用题

大数定律与中心极限定理 应用题 1． 设各零件质量都是随机变量，且独立同分布，其数学期望为0.5kg ，标准差 为0.1kg, 问（1）5000只零件的总质量超过2510kg 的概率是多少？(2)如果用一辆载重汽车运输这5000只零件，至少载重量是多少才能使不超重的概率大于0.975？ 解 设第i 只零件重为i X ，500,...,2,1=i ，则5.0=i EX ，21.0=i DX 设 ∑==500 1i i X X ，则X 是这些零件的总重量 250050005.0=?=EX ，5050001.02=?=DX 由中心极限定理 )1,0(~50 2500N X a - （1）)2510(≥X P =)50 25002510502500(-≥-X P )2(10Φ-≈=9213.01-=0.0787 (2) 设 汽车载重量为a 吨 )(a X P ≤=)502500502500(-≤-a X P 95.0)50 2500(0≥-Φ≈a 查表得 64.150 2500≥-a 计算得 59.2511≥a 因此汽车载重量不能低于2512公斤 2． 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m ，先从这批木柱中随 机的取100根，求其中至少有30根短于3m 的概率？ 解 设X 是长度小于3m 的木柱根数，则)2.0,100(~b X 由中心极限定理 )16,20(~N X a )30(≥X P =)16 20301620(-≥-X P )5.2(10Φ-≈=9938.01-=0.0062 3． 一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一种 蛋糕的价格是随机变量，它取1元，1.2元，1.5元的概率分别为0.3，0.2，0.5.若售出300只蛋糕，（1）求收入至少400元的概率 （2）售价为1.2元蛋糕售出多于60只的概率。

第2课时 液体压强的应用、帕斯卡定律

第2课时液体压强的应用、帕斯卡定律 【教学目标】 一、知识与技能 1.认识连通器，了解连通器的原理和在生产、生活中的应用． 2.了解帕斯卡定律及其应用. 3.通过本课时的学习，进一步巩固液体压强的综合运用． 二、过程与方法 1．能联系生活实际，感知连通器在生活中的应用． 2.通过实例帮助学生理解液体的压力和流体的重力之间的关系，液体压强和液体传递压强的区别． 三、情感、态度与价值观 通过对三峡船闸的认识，培养学生的民族自信心和自豪感． 【教学重点】 连通器的概念和应用． 【教学难点】 液体的压力和流体的重力之间的关系． 【教具准备】 多媒体课件、连通器、注射器三只、墨水、三通管、乳胶管、砝码. 【教学课时】 1课时 【巩固复习】 教师引导学生复习上一节内容，并讲解学生所做的课后作业（教师可针对性地挑选部分难题讲解），加强学生对知识的巩固. 【新课引入】 教师出示茶壶、水位计和乳牛自动喂水器的图片，引导学生思考它们在结构上有什么相同点？

学生观察后积极发言：茶壶、水位计和乳牛自动喂水器，它们各自的底部都互相连通. 师像这样上端开口，下端连通的容器叫做连通器，下面我们就一起来学习它. 【课堂导学】 【指导预习】 阅读课本P152－P154页的文字内容和插图，在基本概念、定义、规定及规律上，用红笔做上记号，并完成学案中“课前预习”部分.各小组交流讨论，提出预习疑问. 【交流展示】 1.小组代表举手发言，报告“课前预习”答案，教师评价订正. 2.学生质疑，教师指导释疑. 【拓展探究】 知识点1连通器 师1.演示课本图8-22连通器的实验，引导学生观察，并回答连通器的原理是什么？ 生：1.当连通器中装有同种液体且液体不流动时，各容器中液面保持相平. 师2.课本图8-23中左管盛水，右管盛煤油，两管液面是否一样平？为什么？ 生：2.两管液面不一样平，平衡时F 左＝F 右 ，p 左 ＝p 右 ，由于ρ 水 >ρ 油 ，由p ＝ρgh可知h 水

中心极限定理证明

中心极限定理证明 一、例子 高尔顿钉板试验. 图中每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子.每排钉子等距排列,下一排的每个钉子恰在上一排两相邻钉子之间.假设有排钉子,从入口中处放入小圆珠.由于钉板斜放,珠子在下落过程中碰到钉子后以的概率滚向左边,也以的概率滚向右边.如果较大,可以看到许多珠子从处滚到钉板底端的格子的情形如图所示,堆成的曲线近似于正态分布. 如果定义:当第次碰到钉子后滚向右边,令;当第次碰到钉子后滚向左边,令.则是独立的,且 那么由图形知小珠最后的位置的分布接近正态.可以想象,当越来越大时接近程度越好.由于时,.因此,显然应考虑的是的极限分布.历史上德莫佛第一个证明了二项分布的极限是正态分布.研究极限分布为正态分布的极限定理称为中心极限定理. 二、中心极限定理 设是独立随机变量序列,假设存在,若对于任意的,成立 称服从中心极限定理. 设服从中心极限定理,则服从中心极限定理,其中为数列. 解:服从中心极限定理,则表明 其中.由于,因此

故服从中心极限定理. 三、德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则 用频率估计概率时的误差估计. 由德莫佛—拉普拉斯极限定理, 由此即得 第一类问题是已知,求,这只需查表即可. 第二类问题是已知,要使不小于某定值,应至少做多少次试验这时利用求出最小的. 第三类问题是已知,求. 解法如下:先找,使得.那么,即.若未知,则利用,可得如下估计:. 抛掷一枚均匀的骰子,为了至少有的把握使出现六点的概率与之差不超过,问需要抛掷多少次 解:由例4中的第二类问题的结论,.即.查表得.将代入,便得.由此可见,利用比利用契比晓夫不等式要准确得多. 已知在重贝努里试验中,事件在每次试验中出现的概率为为次试验中事件出现的次数,则服从二项分布: 的随机变量.求. 解:

中心极限定理的应用

毕业论文 题目中心极限定理的应用 学生姓名张世军学号1109014148 所在院(系) 数学与计算机科学学院 专业班级数学与应用数学专业(统计类)11级2班指导教师程小静 2015 年 5 月 25 日

中心极限定理的应用 张世军 （陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2011级数应2班，陕西汉中 723000） 指导教师：程小静 [摘要]中心极限定理是概率论中讨论随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类重要定理。本文首先从中心极限定理的内容出发，给出几种常见的中心极限定理并对其进行了证明；其次讨论了中心极限定理在供应电力、器件价格、商场管理、烟卷制造业、社会生活、军事问题等这几个方面的实际应用；最后总结分析了中心极限定理在应用上的优缺点。 [关键词]随机变量；中心极限定理；正态分布；概率论；近似计算 Central Limit Theorem of Application Zhang Shijun (Grade11,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics Specialty，Mathematics and computer scienceDept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723000，Shaanxi) Tutor: Cheng Xiaojing Abstract：The central limit theorem is an important limit theorem in probability theory to discuss a set of random variables and the distribution of the normal distribution. Firstly starting from the content of the central limit theorem, given several common central limit theorems and its proofs; Second central limit theorem is discussed in the electric power supply, prices, market management, cigarette manufacturing, social life, the practical application of this a few aspects such as military questions; Summarized and analyzed the advantages and disadvantages of central limit theorem on the application. Keywords：Random variables; Central limit theorem; Normal distribution; Probability theory;Approximate calculation

帕斯卡定律

帕斯卡定律 ［教学目标］ 1．知识和技能 （1）知道液体（或气体）能够传递压强。 （2）理解帕斯卡定律。 2．过程和方法 （1）通过注射器的实验感受液体对压强的传递。 （2）通过帕斯卡球和实验3研究液体传递压强的规律。 3．情感、态度和价值观 （1）通过液体传递压强规律的过程，培养学生的观察和分析能力。 （2）通过对实验的分析，培养学生能用简洁、正确的语言表述结论。 （3）通过对帕斯卡的事迹介绍，培养学生树立正确的科学观。 ［教学重点］ 帕斯卡定律 ［教学准备］ 注射器、帕斯卡球、烧杯、玻璃管、水、橡皮球。 ［教学设计思路］ 本节课的主要内容是：研究密闭液体传递压强的规律——帕斯卡定律。 本节课的基本思路是：以实验为基础，通过分析，揭示密闭液体（或气体）传递压强的规律，即帕斯卡定律。 本节课要突出的重点是帕斯卡定律。首先通过实验1，让学生认识液体能够传递压强；通过实验2和3，揭示密闭液体能够向各个方向传递压强并且压强大小不变，进而建立帕斯卡定律。通过例题巩固帕斯卡定律的内容。 ［教学流程］

［教学过程设计］ 一、准备知识 1、压力：垂直作用在物体表面上的力叫做压力。 2、压强：单位面积上所受的压力叫压强，压强是用来反映压力作用效果的物理量。 3、如右图，重为G，侧面积为S的正方体木块，在压力 F的作用下静止在竖直墙面上，求墙面受到的压力和压强？ F 解：F’= F；P = F’/ S = F / S 二、新课 1、帕斯卡定律 实验1： 在注射器内灌一些水，当一手指按压注射器活塞时，堵着出口端的另一手指能感受到水的压力吗？ 结论1： 水（或其他液体）能够传递压强。 实验2： 帕斯卡球实验。在球内注满水，给球内的水施加一个压强，要求学生观察实验现象，并思考球内的水，能把受到的压强向什么方向传递。 结论2： 球内的水能将它在某一处受到的压强向各个方向传递。这是液体具有流动性的缘故。 实验3 ： 在一玻璃瓶中倒入适量的水，用三根玻璃管穿过软木塞深入水中，另用一根玻璃管穿过软木塞插入瓶内空气中，它的一端连接一个能压气的橡皮球。用石蜡封住瓶口，使瓶内的水密闭。 实验时，用手压橡皮球，给瓶内充气，使水面产生一个压强。要求学生观察三根玻璃管中液面的变化情况，并分析原因。 结论3： 加在密闭液体上的压强，能被液体向各个方向传递，且被传递的压强大小相等。 这是法国科学家帕斯卡通过反复的研究，发现的规律，所以叫帕斯卡定律。帕斯卡定律内容：

中心极限定理应用

中心极限定理及其应用 【摘要】中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是德莫佛-拉普拉斯中心极限定理和林德贝格-勒维中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内容、应用与意义。 【关键词】：中心极限定理 正态分布 随机变量 一、概述 概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn 、…的部分和的分布律：当n →∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。 二、定理及应用 1、定理一（林德贝格—勒维定理） 若 ξ 1 ，ξ 2 ，…是一列独立同分布的随机变量，且 E k ξ=a, D k ξ = σ 2 ( σ 2 >0) ,k=1,2,…则有 dt e x n na p x t n k k n ? ∑∞ -- =∞ →= ≤-2 1 221)(lim π σξ 。 当n 充分大时， n na n k k σξ ∑=-1 ~N （0,1），∑=n k k 1 ξ ~N （2 ,σn na ） 2、定理二（棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理） 在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中出现的概率为错误！未找到引用源。, 错误！未 找到引用源。为n 次试验中事件A 出现的次数,则dt e x npq np p x t n n ?∞ -- ∞ →= ≤-2 2 21 )( lim π μ 其中1q p =-。这个定理可以简单地说成二项分布渐近正态分布，因此当n 充分大时，可

中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用.

中心极限定理论文：中心极限定理及其简单应用 摘要：中心极限定理在概率论与数理统计中占有重要地位，本文阐述了中心极pH定理的内容并简单介绍了它在实际中的应用。关键词：中心极限定理正态分布随机变量一、概述概率论与数理统计是研究随机现象、统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同条件下进行大量重复的实验才会呈现出来，而研究大量的随机现象常常采用极限的形式，由此导致了对极限定理的研究。极限定理的内容很广泛，中心极限定理就是其中非常重要的一部分内容。中心极限定理主要描述了在一定条件下，相互独立的随机变量序列X1、X2、…Xn、…的部分和的分布律：当n→∞时的极限符合正态分布。因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使得中心极限定理有了广泛的应用。二、定理及应用中心极限定理有多种形式：1、独立同分布下的中心极限定理定理 1[1]，设x1，X2，…，Xn，…是独立同分布随机变量，EXi=μDXi=σ2（i=1，2，…，n)则它表明当n充分大时，n个具有期望和方差的独立同分布的 随机变量之和近似服从正态分布。定理1也称为林德伯格定理或列维——林德伯格定理。其中上下同除n，分子中有xi，其在数理统计中可表示样本的均值，可见独立同分布的样本均值近似地服从正态分布。这使得中心极限定理在数理统计中有着广泛而重要的作用。而上述定理应用到伯努利实验序列的情形，我们可以得到如下定理。定理2[1](拉普拉斯定理)，在n重伯 努利试验中，事件A在每次实验中出现的概率P(0 2、同分布下中心极限定理的简单应用独立同分布的中心极限定理可应用于求随机变量之和Sn落在某区间的概率和已知随机变量之和Sn取值的概率，求随机变量的个数。 例1[3]，设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少? 解：设Xi(i=1，2，…，5000)表示第i个零件的重量X1， X2，…，X5000独立同分布且E(Xi)=0.5，D(Xi)=0.12。由独立同分布的中心极限定理可知=I-φ（1.414）=1-0.9215 =0.0785 例 2[3]，一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的且同分布，设每箱平均重50kg，标准差为5kg，若用最大载重为50吨的汽车承运，每辆车最多可以装多少箱才能保证不超载的概率大于0.977？解：设Xi(i=1，2，…，n)是装运第i箱的重量，n为所求箱数。由条件可把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量为Tn=X1+X2+…+Xn，是独立同分布的随机变量之和。由E(Xi)=50、D(Xi)=52得：E(Tn)=50n，D(Tn)=52n 根据独立同分布的中心极限定理：即最多可以装98箱。例3[2]，报名听 心理学课程的学生人数K是服从均值为100的泊松分布的随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数不少于120，就分成两班，否则就一班讲授。问 该教授讲授两个班的概率是多少? 分析：该教授讲授两个班的情况出现当且仅当报名人数x不少于120，精确解为P（x≥120）=e-100100i/i！很难求解，如果利用泊松分布的可加性，想到均值为100的泊松分布随机变量等于 100个均值为1的独立泊松分布随机变量之和，即X=Xi，其中每个Xi具有参数1的泊松分布，则我们可利用中心极限定理求近似解。解：可知 E(X)=100，D(X)=100 ∴P（X≥120）=1-φ（）=1-φ（2）=0.023 即教授讲授两个班的概率是0.023。例4[1]，火炮向目标不断地射击，若每

帕斯卡定律及连通器专题练习

帕斯卡定律及连通器专题练习 帕斯卡定律理论部分 在注射器内灌一些水，当一手指按压注射器活塞时，堵着出口端的另一手指能感受到水的压力吗？ 结论1：水（或其他液体）能够传递压强。 帕斯卡球实验。在球内注满水，给球内的水施加一个压强，要求学生观察实验现象，并思考球内的水，能把受到的压强向什么方向传递。 结论2：球内的水能将它在某一处受到的压强向各个方向传递。这是液体具有流动性的缘故。 结论3：加在密闭液体上的压强，能被液体向各个方向传递，且被传递的压强大小相等。 这是法国科学家帕斯卡通过反复的研究，发现的规律，所以叫帕斯卡定律。 帕斯卡定律内容： 加在密闭液体上的压强，能够大小不变地由液体向各个方向传递。 实验表明，帕斯卡定律对气体也是适用。 帕斯卡定律的应用：液压传动 如下图，是液压机的示意图。 1、实验表明，当用力推A活塞时，A活塞与水的接触面会产生压强，这个压强被水大小不变地传递到B 活塞与水的接触面，并对B活塞产生向上的压力，推动B活塞向上运动。把这种传递力的方式叫液压传动。 2、当力F1作用在小活塞A上时，A活塞对密闭液体产生的压强是P = F1 / S1，这一压强通过密闭液体大小不变地传递到各处，于是液体对大活塞B便产生了压力，得： F2 = PS2 = F1S2 /S1 有F1/F2 = S1/S2。 上式表明，S2是S1的几倍，F2就是F1的几倍，在小活塞上加较小的力，就能在大活塞上产生较大的力，这就是液压机的原理。 液压传动：利用液体来传递动力的方式称为液压传动。 连通器知识---作为课外知识掌握 1、连通器里如果只有一种液体，在液体不流动的情况下，各容器中的液面总保持相平。这就是_________原理。 2、连通器的应用：水壶、涵洞、船闸等