第28讲 多边形
第28讲多边形
班级：姓名：
例1．阅读材料：多边形边上或内部的一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形。如图①、图②、图③，给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形。
请你按照上上述方法将图④、图⑤、图⑥中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至N边形。
本例向我们提供了任意多边形分割为三角形的几种常见方法，即把多边形转化为三角形来解数
例2.各边相等的多边形一定是正多边形吗?各角相等的多边形一定是正多边形吗?
知识点一多边形的有关概念
1过四边形的一个顶点，能画出_______条对角线，过五边形的一个顶点，能画出______条对角线，过N边形的一个顶点，能画出________条对角线。
2.过四边形的一个顶点画对角线能得到_______个三角形，过五边形的一个顶点画对角线能得到________个三角形，过n边形的一个顶点画对角线能得到__________个三角形。
3.如果一个多边形有14条对角线，那么这个多边形的边数为（）
A.5
B.6
C.7
D.8
4.有一种螺母的底面是正六边形，其边长是2cm，那么螺母的底面周长是________
知识点二正多边形
5.下列说法不正确的是（）
A.正多边形的各边都相等
B.正多边形的各角都相等
C.正四边形就是长方形
D.正三角形就是等边三角形
6.下列说法正确的是（）
A.五个角都相等的五边形是正五边形
B.六条边都相等的六边形是正六边形
C.四个角都是直角的四边形是正四边形
D.七个角都相等的七边形不一定是正七边形
7.如图，其中是凸多边形的有（）
A.②④
B.①②③
C.①②④
D.③④
8.如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形,D和G分别为AC和AE的中点，若AB=4时，则图形ABCDEFG外围的周长是（）
A.12
B.15
C.18
D.21
9.如图，有两个正方形和一个等边三角形，则图中度数为30°的角有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.正方形ABCD的边长为a点E、F分别是对角线BD上的两点，过点E、F分别作AD、AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于________
11.如图所示等边△ABC的边长为1cm,DE分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线
DE
折叠点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为
______cm
12.如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边形是多少？
13.在凸多边形中四边形有2条对角线，五边形有5条对角形，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线应该是多少条？简明扼要地写出你的思考过程。
14.有一根长为32cm的铁丝，请你按下列要求弯成一个长方形或正方形，并分别计算它们的面积：
（1）长为10cm,宽为6cm
（2）长为9cm,宽为7cm
（3）长为8cm,宽为8cm
你会发现在长与宽的变化过程中，其面积有什么规律？根据这一规律，请将总长为100m的篱笆围成一个面积尽可能大的长方形或正方形。
15.（1）如图，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是_________
（2）如图，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段，请你把得到的图形画在图中，并写出这个图形的边数。
（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去日环食居中的那条线段，得到图形的边数是多少？
计算任意多边形面积的算法
计算任意多边形面积的算法 方法1: 用这个方法吧： 我们都知道已知A（x1,y1）B（x2,y2）C（x3,y3）三点的面积公式为 |x1 x2 x3| S(A,B,C) = |y1 y2 y3| *0.5 (当三点为逆时针时为正，顺时针则为负的) |1 1 1 | 对多边形A1A2A3、、、A n（顺或逆时针都可以），设平面上有任意的一点P，则有： S（A1，A2，A3，、、、，A n） = abs(S（P，A1，A2）+ S（P，A2，A3）+、、、+S（P，A n，A1）) P是可以取任意的一点，用（0，0）就可以了。 还有一个方法： 任意一个简单多边形，当它的各个顶点位于网格的结点上时，它的面积数S=b/2+c+1 其中：b代表该多边形边界上的网络结点数目 c代表该多边形内的网络结点数目 所以把整个图形以象素为单位可以把整个图形分成若干个部分，计算该图形边界上的点b和内部的点c就得到面积数S了，然后把S乘以一个象素的面积就是所求的面积了。 多边形面积的计算公式如下：设有n个点(x[1],y[1])(x[2],y[2]),...(x[n],y[n])围成一个没有边相交的多边形，则其围成的闭合多边形面积|S| 为：S=∑y[i] *(x[i+1]-x[i-1])，其中i=1,2,...n，且当i与j除以n的余数相同的时候，x[i]=x[j]，y[i]=y[j]。该公式用于凸凹多边形均可。 方法2: int C ImageViewV iew::GetRgnA rea() { int area = 0; int i,j; CRect rect; CPoint*m_points; int m_nPoints; CImageV iew Doc* pDoc = GetDocument(); m_nPoints = pDoc->m_ar y RectPoint.GetSize(); m_points = new CPoint[m_nPoints]; for(i = 0; i
因式分解提公因式法含答案
【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式
4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）
3Ds max多边形建模主要功能命令
3Ds max多边形建模主要功能命令.doc 3Ds max多边形建模主要功能命令 3Ds max多边形建模方法比较容易理解，非常适合初学者学习，并且在建模的过程中用者有更多的想象空间和可修改余地。在这篇教程里，我们要通过循序渐进的讲解及相应的小实例来对3Ds max7中的多边形建模进行剖析，使读者可以比较全面的了解和掌握3Ds max7中的多边形建模方式与流程。 本节介绍3Ds max多边形建模所用到的主要功能命令，另外为了让大家了解的更彻底，还会在文章末尾补充讲解一些不太常用的命令。 (一)选择功能 首先讲关于多边形中的选择功能，也就是使我们可以更有效地选择多边形中子物体的命令，打开选择卷展栏(如图39所示)。 图39 这个卷展栏中包含了选择子物体方面的所有功能，上面的五个按钮分别对应于多边形的五种子物体(点，边，边界，面，元素)，被激活的子物体按钮为上图所示的黄色显示，再次单击可以退出当前的子层级，也可以直接点击进入别的子层级，它们的快捷键是数字键的1，2，3，4，5(注意不是小键盘上的数字键)。 中间是三个复选框。第一个是By Vertex(通过点选择),它只能在除了点以外的其余四个子层级中使用。比如进入边层级，勾选此项，然后在视图中的多边形上点
击，注意要点击有点的位置，那么与此点相连的边都会被选择(如图40所示)，在其它层级中也是同样的操作;第二个是Ignore Backfacing(忽略背面)，一般在选择的时候，比如框选时会将背面的子物体一起选中，如果勾选此项，再选择时只会选择可见的表面，而背面不会被选择，此功能只能在进入子层级时被激活;第三个是 by angle(通过角度选择)，如果与选择的面所成角度在后面输入框中所设的阀值范围内，那么这些面会同时被选择。 图40 下方是四个加强选择功能的按钮。Shrink和Grow分别是收缩和扩张选择区域，具体效果如图41所示;Ring为选中与当前边平行的所有边(如图42所示)，此功能只能应用在边和边界层级中;Loop为选中可以与当前选择的部分构成一个循环的子物体(如图43所示)，此功能也只能应用在边和边界层级中。
提公因式、公式法因式分解专题
因式分解练习一 提取公因式法分解因式 (1)-15ax-20a;(2)-25x8+125x16;(3)-a3b2+a2b3;(4)6a3-8a2-4a; (5)-x3y3-x2y2-xy;(6)a8+a7-2a6-3a5;(7)6a3x4-8a2x5+16ax6;(8)9a3x2-18a5x2-36a4x4; (9)(10)a m-a m+1;(11)-12a2n+1b m+2+20a m+1b2n+4;(12)x(a+b)+y(a+b); (13)(a+b)2+(a+b); (14)a2b(a-b)+3ab(a-b);(15)x(a+b-3c)-(a+b-3c)(16)a(a-b)+b(b-a); (17)(x-3)3-(x-3)2;(18)a2b(x-y)-ab(y-x);( 19)a2(x-2a)2-a(2a-x)2;(20)(x-a)3+a(a-x); (21)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y); (22)3m(x-5)-5n(5-x);(23)y(x-y)2-(y-x)3;(24)a(x-y)-b(y-x)-c(x-y); (25)(x-2)2-(2-x)3;(26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2);(27)a3-b3-a2+b2; (28)(m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29)a2(x-2a)3-a(2a-x)2;(30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a);(31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x-3)(x2-7)+(2+x)(3-x)(x＋3);(33)(a-b)2(a+b)3-(b-a)2(b+a)2;(34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1)2(2x-3)+(x+1)(2x-3)2-(x+1)(3-2x); 因式分解练习二 运用公式法分解因式； (1)a2-9b2; (2)-9x2+4y2; (3)a4-4b2; (4)a6-a8; (5)x2-324; (6)144a2-256b2; (7)64x16-y4z6; (8)16a16-25b2x4; (9)25a2b4c16-1; (10)(11)36a4x10-49b6y8; (12)81x8-225a4b4; (13)(a+b)2-100; (14)-z2+(x-y)2; (15)361-(3a+2b)2; (16)(ax+by)2-1; (17)20a3x3-45axy2; (18)(2x-3y)2-4a2; (19)(a+2b)2-(x-3y)2; (20)4(a+2b)2-25(a-b)2; (21)a2(a+2b)2-9(x+y)2; (22)b2-(a-b+c)2; (23)(a+b)2-4a2; (24)(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2; (25)4(x+y+z)2-9(x-y-z)2; (26)a-a5; (27)a4-9b4;(28)a8-81b8; (29)a9-ab2; (30)a16-b16;(31)a2b3-4a2b;(32)x2-y2+x-y;
Weiler-Atherton任意多边形裁剪算法
Weiler－Atherton任意多边形裁剪 Sutherland－Hodgeman算法解决了裁剪窗口为凸多边形窗口的问题，但一些应用需要涉及任意多边形窗口（含凹多边形窗口）的裁剪。Weiler-Atherton多边形裁剪算法正是满足这种要求的算法。 一、Weiler－Atherton任意多边形裁剪算法描述： 在算法中，裁剪窗口、被裁剪多边形可以是任意多边形：凸的、凹的（内角大于180o）、甚至是带有内环的（子区），见下图。 裁剪窗口和被裁剪多边形处于完全对等的地位，这里我们称： 1、被裁剪多边形为主多边形，记为A； 2、裁剪窗口为裁剪多边形，记为B。 主多边形A和裁剪多边形B的边界将整个二维平面分成了四个区域： 1、A∩B（交：属于A且属于B）； 2、A－B（差：属于A不属于B）； 3、B－A（差：属于B不属于A）； 4、A∪B(并：属于A或属于B，取反；即：不属于A且 不属于B)。 内裁剪即通常意义上的裁剪，取图元位于窗口之内的部 分，结果为A∩B。 外裁剪取图元位于窗口之外的部分，结果为A－B。 观察右图不难发现裁剪结果区域的边界由被裁剪多边形的 部分边界和裁剪窗口的部分边界两部分构成，并且在交点处边 界发生交替，即由被裁剪多边形的边界转至裁剪窗口的边界， 或者反之。由于多边形构成一个封闭的区域，所以，如果被裁 剪多边形和裁剪窗口有交点，则交点成对出现。这些交点分成两类： 一类称“入”点，即被裁剪多边形由此点进入裁剪窗口，如图中a、c、e； 一类称“出”点，即被裁剪多边形由此点离开裁剪窗口，如图中b、d、f。 二、Weiler－Atherton任意多边形裁剪算法思想：
因式分解之提取公因式法和运用公式法(教师版)
课题：因式分解之提取公因式法和公式法 知识精要： 一、因式分解的概念 1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解 因式分解 多项式（和差形式） 整式的积（积的形式） 整式乘法 二、提取公因式法 1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++ （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数； （2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数． 2、步骤： （1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式． 3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法： （1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． （2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式． 4、提取公因式法应注意的事项： （1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题． 二、公式法 1、平方差公式： 22 ()()a b a b a b -=+- 2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：
最新人教版因式分解教案
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
求任意多边形直径算法设计
数字媒体综合设计 结题报告 求任意多边形直径算法的研究与实现 学院：计算机学院 班级： 指导教师： 学号： 姓名： 2017年9月
1.选题的目的、意义 关于本次数字媒体综合设计选择以求任意多边形直径算法的研究与实现为主题的目的和意义： a)目的：通过本次实验去初步研究计算几何算法，其中包括：—线段相交 的判断、多边形面积的计算、内点外点的判断、凸包等等问题，并且能 够根据实际情况改进算法，使其能更有效的解决实际问题。 b)意义：计算几何是在以计算机为载体的数字化环境下研究几何问题的几 何学分支学科。它是数学与计算机科学的一门交叉学科。它不仅研究相 关的几何不变量等基础理论，还研究几何图形的逼近、显示、传输以及 重构等理论和方法。计算几何不仅为其他几何分支学科提供了新的视角 和出发点。同时在数学理论、科学工程计算、计算机科学等方面有着重 要的意义。所以希望通过这次实验对计算几何有一个初步的认识，且掌 握一些解决基本问题的解决思路与算法。 2.选题的基本内容 a)选题背景 平面点集直径问题是计算几何中的基本问题，在计算机图形学、模式识别、图像处理等众多领域上都有具体应用，下面就以机场跑道建设 问题为例进行研究。 热带岛屿Piconesia希望开发旅游业，但是岛屿所处地理位置使得交通十分不方便，所以决定修建机场。由于较长的着陆条可以容纳较大 的飞机，为了满足各种飞机的需求，Piconesia希望在岛上修建竟可能 长的跑道，为了解决这个问题，我们可以将岛屿边界建模为多边形，采 用合适的算法，计算出跑道的长度。 b)测试数据
图A.1：岛被建模为多边形。最长的着陆带显示为粗线。 输入 输入以包含指定顶点数的整数n（3≤n≤200）的行开始多边形。之后是n行，每行包含两个整数x和y（| x |，| y |≤10 6），给出多边形顶点的坐标（x，y）按逆时针顺序排列。多边形是简单的，即它的顶点是不同的，除了连续的边缘之外，多边形的两个边不相交或相交在它们的共同顶点。另外，没有两个连续的边缘是共线的。 测试数据1： 7 0 20 40 0 40 20 70 50 50 70 30 50 0 50 测试数据2： 3 0 2017 -2017 -2017 2017 0
提公因式法-平方差公式法习题
提公因式法： 一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______． 二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝2 B ．m ＝－1，n ＝2 C ．m ＝1，n ＝－2 D ．m ＝－1，n ＝－2 6．（－2）10＋（－2）11等于（ ） A ．－210 B ．－211 C ．210 D ．－2 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题 17．应用简便方法计算： （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 思考：说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除． 平方差公式法 一、填空题 1．在括号内写出适当的式子： （1）0.25m 4＝（ ）2；（2） =n y 29 4（ ）2；（3）121a 2b 6＝（ ）2． 2．因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）;（4）2b 2－2＝______（ ）（ ）． 二、选择题 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2 B ．449 1x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(4 12-+q p 4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c
3Ds max多边形建模主要功能命令
3Ds max多边形建模主要功能命令 3Ds max多边形建模方法比较容易理解，非常适合初学者学习，并且在建模的过程中用者有更多的想象空间和可修改余地。在这篇教程里，我们要通过循序渐进的讲解及相应的小实例来对3Ds max7中的多边形建模进行剖析，使读者可以比较全面的了解和掌握3Ds max7中的多边形建模方式与流程. 本节介绍3Ds max多边形建模所用到的主要功能命令，另外为了让大家了解的更彻底，还会在文章末尾补充讲解一些不太常用的命令。 （一）选择功能 首先讲关于多边形中的选择功能，也就是使我们可以更有效地选择多边形中子物体的命令，打开选择卷展栏（如图39所示）。 图39 这个卷展栏中包含了选择子物体方面的所有功能，上面的五个按钮分别对应于多边形的五种子物体（点，边，边界，面，元素），被激活的子物体按钮为上图所示的黄色显示，再次单击可以退出当前的子层级，也可以直接点击进入别的子层级，它们的快捷键是数字键的1，2，3，4，5（注意不是小键盘上的数字键）。 中间是三个复选框。第一个是By Vertex（通过点选择）,它只能在除了点以外的其余四个子层级中使用。比如进入边层级，勾选此项，然后在视图中的多边形上点击，注意要点击有点的位置，那么与此点相连的边都会被选择（如图40所示），在其它层级中也是同样的操作；第二个是Ignore Backfacing（忽略背面），一般在选择的时候，比如框选时会将背面的子物体一起选中，如果勾选此项，再选择时只会选择可见的表面，而背面不会被选择，此功能只能在进入子层级时被激活；第三个是by angle（通过角度选择），如果与选择的面所成角度在后面输入框中所设的阀值范围内，那么这些面会同时被选择。
因式分解一_提取公因式法和公式法_超经典
因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。
新人教版《14.3.1提公因式法》同步练习及答案
§ 一.精心选一选 1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）。 A.(x+3)(x-3)=x2-9 B.x2+1=x(x+1 x ) C.3x2-3x+1=3x(x-1)+1 D.a2-2ab+b2=(a-b)2 2多项式- 6a2b+18a2b3x+24ab2y的公因式是（ ) A.mx+my和x+y B.3a(x+y)和2y+2x C.3a-3b和6（b-a) D.-2a-2b和 a2-ab 4.下列各多项式因式分解错误的是（） A.( a-b) 3-(b-a)=（a-b)2(a-b-1) B.x(a-b-c)-y(b+c-a)=(a-b-c)(x+y) C.P(m-n)3-Pq(n-m)3=P(m-n)3(1+q) D.(a-2b)(7a+b)-2(2b-a)2=(a-2b)(5a+5b) 5.将多项式（3a-4b)(7a-8b)-(11a-12b)(8b-7a)分解因式正确的结果是（） A.8(7a-8b)(a-b) B.2(7a-8b) 2 C.8(7a-8b)(b-a) D.-2(7a-8b) 2 6已知多项式3x2-mx+n分解因是的结果为(3x+2)(x-1)则，m,n的值分别为（）A.m=1 n=－2 B.m-1 n=－2 Cm=2 n=－2 D.m=－2 n=－2 7.多项式（m+1）(m-1)+（m-1）提取公因式（m-1）后，另一个因式为（） A.m+1 B.2m C.2 D.m+2 8.a是有理数，则整式a2（a2-2）-2a2+4的值（） A.不是负数 B.恒为正数 C.恒为负数 D.不等于0二.细心填一填 9.分解因式3x(x-2)-(2-x)= 10.利用因式分解计算：3.68×15.7-31.4+15.7×0.32= 11.分解因式：（x+y)2-x-y= 12.已知a+b=9 ab=7 则a2b+ab2= 13.观察下列各式：①abx-adx ②2x2y+6xy2③8m3-4m2+1 ④(p+q)x2y-5x2(p+q)+6(p+q)2⑤(x+y)(x-y)-4b(y+x)-4ab 1
因式分解分类练习提公因式法公式法十字相乘法
因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
3DSMax放样法建模精解与实例
3DSMax放样法建模精解与实例 3DSMax放样法建模精解与实例 在3DSMax中有大量的标准几何体用于建模，使用它们建模方便快捷、易学易用，一般只需要改变几个简单的参数，并通过旋转、缩放和移动把它们堆砌起来就能建成简单美观的模型，这对于初学者来说无疑是最好的建模方法。 但当经过一段时间学习以后，我们会发现很多物体并不能通过上述方法实现，而对于对3DSMax刚有一些认识的学习者来说，面片（PATCH）建模过于复杂，而NURBS建模又显得高深莫测，这时放样（LOFT）法生成物体模型则是最简单易行的办法。 一、生成 放样法建模是截面图形（SHAPES）在一段路径（PATH）上形成的轨迹，截面图形和路径的相对方向取决于两者的法线方向。路径可以是封闭的，也可以是开敞的，但只能有一个起始点和终点，即路径不能是两段以上的曲线。所有的SHAPES物体皆可用来放样，当某一截面图形生成时其法线方向也随之确定，即在物体生成窗口垂直向外，放样时图形沿着法线方向从路径的起点向终点放样，对于封闭路径，法线向外时从起点逆时针放样,在选取图形的同时按住Ctrl键则图形反转法线放样。用法线方法判断放样的方向不仅复杂，而且容易出错，一个比较简单的方法就是在相应的窗口生成图形和路径，这样就可以不用考虑法线的
因素。 字串9 放样法建模的参数很多，大部分参数在无特殊要求时用缺省即可，下面只对影响模型结构的部分参数进行介绍： 在创建方式（Creative Method）中应选择关联方式（Instance），这样以后在需要修改放样物体时可直接修改其关联物体。 皮肤参数（Skin Parameters）中选项（Option）下的参数是直接影响模型生成的重要参数，并对以后的修改有较大影响。 图形步幅（Shapes Steps）设置图形截面定点间的步幅数，加大它的值可提高纵向光滑度。 路径步幅（Path Steps）设置路径定点间的步幅数，加大它的值可提高横向光滑度。 图形优化（Optimize）可优化纵向光滑度，忽略图形步幅。 适配路径步幅（Adaptive Path Steps）可优化横向光滑度，忽略图形步幅。 轮廓（Contuor）放样是由于路径和图形的夹角不定，往往得到的图形有缺陷，开启它，可是截面图形自动更正自身角度以垂直路径，得到正常模型。 路径参数（Path parameters）中可以以多种方式确定图形在路经上的插入点，用于多截面放样。在路径上的位置可由百分率（Percentage）、距离（Distance）、和路径的步幅数来控制。 二、编辑 在生成模型时如采用关联方式，则可通过直接改变原有的图形和路径来改变模型
任意多边形面积计算
任意多边形面积计算 根据坐标直接按公式计算。 --------------------------------------------------------------- 这是一个问题早已经解决的经典问题 假定多边形ｎ个顶点坐标依次是(x1,y1), ... (xn,yn) 如果ｎ个顶点是逆时针排列，面积就是： |x1 y1| |x2 y2 | ... |xn yn| s = 0.5 * { | | +| |+ | | } |x2 y2| |x3 y3 | ... |x1 y1| 如果是顺时针就是上面这个公式的负数 把上面的公式整理得到的就是ｈｎｙｙｙ的表达式， 注意他的算法对最后一个行列式的处理有问题 double dMj=0;//面积 //n是点数 x[n]=x[0]; y[n]=y[0]; for(int i=0; i
AREA Jerry, a middle school student, addicts himself to mathematical research. Maybe the problems he has thought are really too easy to an expert. But as an amateur, especially as a 15-year-old boy, he had done very well. He is so rolling in thinking the mathematical problem that he is easily to try to solve every problem he met in a mathematical way. One day, he found a piece of paper on the desk. His younger sister, Mary, a four-year-old girl, had drawn some lines. But those lines formed a special kind of concave polygon by accident as Fig. 1 shows. Fig. 1 The lines his sister had drawn "Great!" he thought, "The polygon seems so regular. I had just learned how to calculate the area of triangle, rectangle and circle. I'm sure I can find out how to calculate the area of this figure." And so he did. First of all, he marked the vertexes in the polygon with their coordinates as Fig. 2 shows. And then he found the result--0.75 effortless. Fig.2 The polygon with the coordinates of vertexes Of course, he was not satisfied with the solution of such an easy problem. "Mmm, if there's a random polygon on the paper, then how can I calculate the area?" he asked himself. Till then, he hadn't found out the general rules on calculating the area of a random polygon. He clearly knew that the answer to this question is out of his competence. So he asked you, an erudite expert, to offer him help. The kind behavior would be highly appreciated by him. Input The input data consists of several figures. The first line of the input for each figure contains a single integer n, the number of vertexes in the figure. (0≤n≤1000). In the following n lines, each contain a pair of real numbers, which describes the coordinates of the vertexes, (xi, yi). The figure in each test case starts from the first vertex to the second one, then from the second to the third, …… and so on. At last, it closes from the nth vertex to the first one. The input ends with an empty figure (n = 0). And this figure not be processed. Output As shown below, the output of each figure should contain the figure number and a colon followed
提公因式法及公式法因式分解练习题
提公因式法及公式法因式 分解练习题 Prepared on 22 November 2020
1.把一个多项式__________________________，这样的式子变形，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式______________。 2. 在括号内填入适当的多项式，使等式成立。 (1)-4ab-4b=-4b( )(2)8x 2y-12xy 3=4xy( ) (3)9m 3+27m 2=( )(m+3) (4)-15p 4-25p 3q=( )(3p+5q) (5)2a 3b-4a 2b 2+2ab 3=2ab( ) (6)-x 2+xy-xz=-x( ) (7)2 1a 2-a=2 1a( ) 3. 在横线上填入“+”或“-”号，使等式成立。 (1)a-b=______(b-a) (2)a+b=______(b+a) (3)(a-b)2 =______(b-a)2 (4)(a+b)2 =______(b+a)2 (5)(a-b)3=______(b-a)3 (6)(-a-b)3=______(a+b)3 1.把下列各式分解因式 (1)x 2-5xy (2)-3m 2+12mn (3)12b 3-8b 2+4b (4)-4a 3b 2-12ab 3 (5)-x 3y 3+x 2y 2+2xy (1)9m 2n-3m 2n 2 (2)4x 2-4xy+8xz (4)6x 4-4x 3+2x 2 1、24x - 2、29y - 3、21a - 4、224x y - 5、2125b - 6、222x y z - 10、2249x y - 11、220.8116a b - 12、222549p q - 13、2422a x b y - 14、41x - 15、4416a b - 1、53x x - 2、224ax ay - 3、322ab ab - 4、316x x - 5、2433ax ay - 6、2(25)4(52)x x x -+- 1、221x x ++ 2、2441a a ++ 3、 2169y y -+ 4、2 14 m m ++ 5、 221x x -+ 6、2816a a -+ 7、2144t t -+ 8、21449m m -+ 9、222121b b -+ 10、214 y y ++ 11、2258064m m -+ 12、243681a a ++ 13、2 2 42025p pq q -+ 14、2 24 x xy y ++ 15、2244x y xy +- 1、221222 x xy y ++ 2、4223 2510x x y x y ++ 3、2232ax a x a ++ （1）232x x ++ （2）276x x -+ （3）2421x x -- （4）2215x x -- （ 5）298x x ++ （6）2712x x -+ （7）2421a a --+ （8）2328b b -- 2215x x --
判断点是否在任意多边形内(java)
判断点是否在任意多边形内（java） 1.import java.util.ArrayList; 2. 3.public class Test { 4. 5. public static void main(String[] args) { 6. double px = 113.0253; 7. double py = 23.98049; 8. ArrayList