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备战2012中考：等腰三角形精华试题汇编(500套)

备战2012中考：等腰三角形精华试题汇编（500套）

一、选择题

1. （2011浙江省舟山，7，3分）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形

BCED 的面积为（）

（A ）32

（B ）33

（C ）34

（D ）36

【答案】B

2. （2011四川南充市，10，3分）如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC=

;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个

【答案】D 3. （2011浙江义乌，10，3分）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，

四边形ACDE 是平行四边形，连结CE 交AD 于点F ，连结BD 交 CE 于点G ，连结BE . 下列结论中：

① CE =BD ； ② △ADC 是等腰直角三角形； ③ ∠ADB =∠AEB ； ④ CD ·AE =EF ·CG ；一定正确的结论有

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】D

G （第7题）

D E

4. （2011台湾全区，30）如图(十三)，ΔABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别

交AC 、AB

于D 、E 两点，并连接BD 、DE ．若∠A =30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为何？

A ． 45

B ． 52．5

C ． 67．5

D ． 75

【答案】Ｃ 5. （2011台湾全区，34）如图(十六)，有两全等的正三角形ABC 、DEF ，且D 、A 分别为△ABC 、

△DEF

的重心．固定D 点，将△DEF 逆时针旋转，使得A 落在DE 上，如图(十七)所示．求图(十

六)与图(十

七)中，两个三角形重迭区域的面积比为何？

A ．2：1

B ． 3：2

C ． 4：3

D ． 5：4

【答案】Ｃ

6. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形的周长是

A ．15cm

B ．16cm

C ．17cm

D ．16cm 或17cm 【答案】D

7. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在ABC △中，13AB AC ==，10BC =，点D 为BC 的中点，DE DE AB ⊥，垂足为点E ，则DE 等于（） A ．

1013 B ．1513 C ．6013 D ．7513

【答案】C 8.

二、填空题 1. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________. 【答案】33cm

2. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 【答案】4或6

3. （2011浙江杭州，16，4）在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，

F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为．

【答案】

3131

+-或 4. （2011浙江台州，14,5分）已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,

EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80o ，则∠EGC 的度数为

【答案】80o

5. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，?=∠40A ，则△ABC 的外角

∠BCD ＝ °．

【答案】110

6. （2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。

（第14题）

A B

【答案】80°。提示：∠A=180°-2×50°=80°。

7. （2011山东济宁，15，3分）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

=．

【答案】

8. （2011湖南怀化，13，3分）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.

【答案】4

9. （2011四川乐山16，3分）如图，已知∠AOB=α，在射线OA、OB上分别取点OA1=OB1，

连结A

，在B

、B

B上分别取点A2、B2，使B1 B2= B

A2，连结A2 B2…按此规

律上去，记∠A2 B1 B2=

θ，∠

3232

A B Bθ

=，…，∠

n+11

n n n

B Bθ

则⑴

θ= ；⑵

θ= 。

【答案】⑴

180α

⑵

()

180

2α

10．（2011湖南邵阳，11，3分）如图（四）所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=_______。

第15题

【答案】80°。

11. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰Rt △ABC 的直角边长为1，以Rt △ABC 的

斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推直到第五个等腰Rt △AFG ，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______．

（第15题图）

【答案】31

12. （2011广东茂名，14，3分）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则∠E ＝度．

【答案】15

三、解答题

1. （2011广东东莞，21，9分）如图（1），△ABC 与△EFD 为等腰直角三角形，AC 与DE 重合，AB =EF =9，∠BAC ＝∠DEF ＝90°，固定△ABC ，将△EFD 绕点A 顺时针旋转，当DF 边与AB 边重合时，旋转中止.不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE 、DF （或它们的延长线）分别交BC （或它的延长线）于G 、H 点，如图（2）.

（1）问：始终与△AGC 相似的三角形有及；

（2）设CG ＝x ，BH ＝y ，求y 关于x 的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；（3）问：当x 为何值时，△AGH 是等腰三角形？

【解】（1）△HGA 及△HAB ；

（2）由（1）可知△AGC ∽△HAB

∴

CG AC AB BH =，即9

9x y

=，所以，81

y x =

（3）当CG ＜1

BC 时，∠GAC=∠H ＜∠HAC ，∴AC ＜CH

∵AG ＜AC ，∴AG ＜GH 又AH ＞AG ，AH ＞GH

此时，△AGH 不可能是等腰三角形；

当CG=

BC 时，G 为BC 的中点，H 与C 重合，△AGH 是等腰三角形；此时，GC=922，即x=922 当CG ＞1

BC 时，由（1）可知△AGC ∽△HGA

所以，若△AGH 必是等腰三角形，只可能存在AG=AH 若AG=AH ，则AC=CG ，此时x=9 综上，当x=9或

时，△AGH 是等腰三角形． 2. （2011山东德州19,8分）如图 AB =AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O ．（1）求证AD =AE ；(2) 连接OA ，BC ，试判断直线OA ，BC 的关系并说明理由．

【答案】（1）证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A =∠A ，∠ADC =∠AEB =90°，AB =AC ， ∴ △ACD ≌△ABE ．…………………… 3分 ∴ AD=AE ． ……………………4分 (2) 互相垂直 ……………………5分在Rt △ADO 与△AEO 中，

∵OA=OA，AD=AE，

∴△ADO≌△A EO．……………………………………6分

∴∠DAO=∠EAO．

即OA是∠BAC的平分线．………………………………………7分

又∵AB=AC，

∴OA⊥BC．………………………………………8分

3. （2011山东日照，23，10分）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD ＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

（1）求证：DE平分∠BDC；

（2）若点M在DE上，且DC=DM，

求证： ME=BD．

【答案】（1）在等腰直角△ABC中，

∵∠CAD=∠CBD=15o，

∴∠BAD=∠ABD=45o-15o=30o，

∴BD=AD，∴△BDC≌△ADC，

∴∠DCA=∠DCB=45o．

由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30o+30o=60o，

∠EDC=∠DAC+∠DCA=15o+45o=60o，

∴∠BDM=∠EDC，

∴DE平分∠BDC；

（2）如图，连接MC，

∵DC=DM，且∠MDC=60°，

∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．

又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，

∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，

∴∠EMC=∠ADC．

又∵CE=CA，

∴∠DAC=∠CEM=15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME=AD=DB．

4. （2011湖北鄂州，18，7分）如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上中

点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，求EF长．

【答案】连结BD ，证△BED ≌△CFD 和△AED ≌△BFD ，求得EF=5

5. （2011浙江衢州，23,10分）ABC ?是一张等腰直角三角形纸板，R t 2C A C B C ∠=∠==，.

要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1），比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.

图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为1S ；按照甲种剪法，在余下的

ADE BDF ??和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为2S (如图2)，则2=S ；再在余下的四个三角形中，用同样的方

法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为3S (如图3)；继续操作下去…则第10次剪取时，10S = .

求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和.

【答案】(1)解法1：如图甲，由题意得,1,1CFDE AE DE EC EC S ====正方形即.如图乙，设MN x =，则由题意，得,AM MQ PN NB MN x =====

222322,3

228()39

PNMQ

x x S ∴==∴==

正方形解得

又8

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

说明：图甲可另解为：由题意得点D 、E 、F 分别为A B A C B C 、、的中点，

ABC CFDE S S =

= 正方形解法2：如图甲，由题意得AE DE EC ==，即EC=1

如图乙，设,MN x AM MQ QP PN NB MN x =======则由题意得

第18题图 B A

F C

（第23题）

（第23题图1）

B A

22322,3

1,3

x x EC MN ∴==>

> 解得又即

∴甲种剪法所得的正方形的面积更大

(2)21

2S =

(3)1091

S =

(3)解法1：探索规律可知：11

n n S -=‘

剩余三角形的面积和为：()12109911112212422

S S S ??-+++=-++++= ??? 解法2：由题意可知，

第一次剪取后剩余三角形面积和为112=1=S S -

第二次剪取后剩余三角形面积和为12211

122S S S -=-== 第三次剪取后剩余三角形面积和为233111

244

S S S -=-==

…

第十次剪取后剩余三角形面积和为910109

2S S S -=

6. (2011浙江绍兴，23，12分)数学课上，李老师出示了如下框中的题目.

在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图.试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由.

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： AE DB （填“>”,“<”或“=”）.

A B

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”,“<”或“=”）.理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F .

第25题图1 第25题图2

（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =.若ABC ?的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）.

【答案】（1）= . （2）=.

方法一：如图，等边三角形ABC 中，

A B C

60,ABC ACB BAC AB BC AC ∠=∠=∠=?==， //,EF BC

60,AEF AFE BAC ∴∠=∠=?=∠ AEF ∴?是等边三角形， ,AE AF EF ∴==

,,AB AE AC AF BE CF ∴-=-=即又60ABC EDB BED ∠=∠+∠=? ， 60ACB ECB FCE ∠=∠+∠=? .

,,,.

ED EC EDB ECB BED FCE DBE EFC DB EF AE BD =∴∠=∠∴∠=∠∴???∴=∴=

方法二：在等边三角形ABC 中，

60120,

,,,

,,//,

60,

180120,,

ABC ACB ABD ABC EDB BED ACB ECB ACE ED EC EDB ECB BED ACE FE BC AEF AFE BAC AEF EFC ACB ABD EFC DBE DB EF ∠=∠=?∠=?∠=∠+∠∠=∠+∠=∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠=?=∠∴?∠=?-∠=?=∠∴???∴= ，是正三角形，

而由AEF ?是正三角形可得.EF AE = .AE DB ∴=

(3)1或3.

7. （2011浙江台州，23,12分）如图1，过△ABC 的顶点A 分别做对边BC 上的高AD 和中线

AE ，点D 是垂足，点E 是BC 中点，规定BE

A =λ。特别的，当点D 重合时，规定0=A λ。另外。对

B λ、c λ作类似的规定。

（1）如图2，已知在Rt △ABC 中，∠A=30o，求A λ、c λ；

（2）在每个小正方形边长为1的4×4方格纸上，画一个△ABC ，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且2=A λ，面积也为2；（3）判断下列三个命题的真假。（真命题打√，假命题打×） ① 若△A BC 中，1A λ，则△ABC 为钝角三角形；（）

【答案】解:（1）如图，作CD ⊥AB ，垂足为D ，作中线CE 、AF 。

∴BF

A =

λ=1 ∵ Rt△ABC 中，∠CAB=30o， ∴ AE=CE=BE ,∠CEB=60o， ∴△CEB 是正三角形，