次为空间四边形ABCD 四条边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且EG=3，FH=4，则AC 2+BD 2= _____（答：50）；（4）如果ａ、ｂ是异面直线，P 是不在ａ、ｂ上的任意一点，下列四个结论：①过点P 一定可以作直线l 与ａ、ｂ都相交； ②过点P 一定可以作直线l 与ａ、ｂ都垂直；③过点P 一定可以作平面α与ａ、ｂ都平行； ④过点P 一定可以作直线l 与ａ、ｂ都平行。其中正确的结论是_____（答：②）；（5）如果两条异面直线称作一对，那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为_____（答：24）；（6）已知平面
F
D
C
B A E D 1
C 1B 1
A 1,//,,,a c c A a b b a 且平面βαβα?=??=?求证：b 、c 是异面直线．
5、异面直线所成角θ的求法：（1）范围：(0,
]2
π
θ∈；
（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。如（1）正四棱锥ABCD P -的所有棱长相等，E 是PC 的中点，那么异面直线
BE 与PA 所成的角的余弦值等于____（答：
3
3）；（2）在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的
中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为____（答：
90°）；（3）已知异面直线a 、b 所成的角为50°，P 为空间一点，则过P 且与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有____条（答：2）；（4）若异面直线,a b 所成的角为
3
π，且直线
c a ⊥，则异面直线,b c 所成角的范围是____（答：[
,]62
ππ
）
； 6、异面直线的距离的概念：和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线有且只有一条。而和两条异面直线都垂直的直线有无数条，因为空间中，垂直不一定相交。如（1）ABCD 是矩形，
沿对角线AC 把ΔADC 折起，使AD ⊥BC ，求证：BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线；（2）如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，EF 是异面直线AC 与A 1D 的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与EF 平行的直线有____条（答：1）； 7、两直线平行的判定：（1）公理4：平行于同一直线的两直线互
相平行；（2）线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行；（3）面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；（4）线面垂直的性质：如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
8、两直线垂直的判定：（1）转化为证线面垂直；（2）三垂线定理及逆定理。 9、直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内；（2）直线与平面相交。其中，如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。注意：任一条直线并不等同于无数条直线；（3）直线与平面平行。其中直线与平面相交、直线与平面平行都叫作直线在平面外。如（1）下列命题中，正确的是 Ａ、若直线a 平行于平面α内的一条直线b , 则 a // α Ｂ、若直线a 垂直于平面α的斜线b 在平面α内的射影，则a ⊥b Ｃ、若直线a 垂直于平面α,直线b 是平面α的斜线，则a 与b 是异面直线 Ｄ、若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等，且所有侧面与底面所成的角也相等，则它一定是正棱锥（答：D ）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是___________（答：线段B 1C ）。
10、直线与平面平行的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果平面内一条直线和这个平面平面平行，那么这条直线和这个平面平行；②面面平行的性质：若两个平面平行，则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行。（2）性质：如果一条直线和一个平面平行，那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行。在遇到线面平行时，常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质。如（1）α、β
表示平面，a 、b 表示直线，则a ∥α的一个充分不必要条件是 A 、α⊥β，a ⊥β B 、α∩β＝b ，且a ∥b C 、a ∥b 且b ∥α D 、α∥β且a ?β（答：D ）；（2）正方体ABCD-A １B １C １D １中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM=DN ，求证：MN ∥面AA 1B 1B 。
11、直线和平面垂直的判定和性质：（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直，那么另一条直线也和这个平面垂直。（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直。②如果两条直线都垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。如（1）如果命题“若y y x ,⊥∥z ，则z x ⊥”不成立，那么字母x 、y 、z 在空间所
表示的几何图形一定是_____（答：x 、y 是直线，z 是平面）；（2）已知a ，b ，c 是直线，α、β是平面，下列条件中能得出直线a ⊥平面α的是 A 、a ⊥b ，ａ⊥ｃ其中ｂ?α，ｃ?α B 、a ⊥b ，ｂ∥α C 、α⊥β，ａ∥β D 、ａ∥ｂ，ｂ⊥α（答：D ）；（3）AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上的一点，AD ⊥面ABC ，AE ⊥BD 于E ，AF ⊥CD 于F ，求证：BD ⊥平面AEF 。
12、三垂线定理及逆定理：（1）定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（2）逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。其作用是证两直线异面垂直和作二面角的平面角。
13、直线和平面所成的角：（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。（2）范围：[0,90] ；（3）求法：作出直线在平面上的射影；（4）斜线与平面所成的角的特征：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。如（1）在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，已知AB=1，D 在棱BB 1上，BD=1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为______（答：arcsin
4
6）；（2）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则
棱 A 1B 1 与截面A 1ECF 所成的角的余弦值是______（答：13
）；（3）PC PB PA ,,是从点P 引
出的三条射线，每两条的夹角都是?60，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为______（答：
3
3）；（4）若一平面与正方体的十二条棱所在直线都成相等的角θ，则sin θ的值
为______（答：3
3）。
14、平面与平面的位置关系：（1）平行――没有公共点；（2）相交――有一条公共直
线。
15、两个平面平行的判定和性质：（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行，则这两个平面平行。（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。如（1）βα,是两个不重合的平面，在下列条件中，不能判定平面βα//的条件是A 、n m ,是α内一个三角形的两条边，且ββ//,//n m B 、α内有不共线的三点到β的距离都相等 C 、βα,都垂直于同一条直线a D 、n m ,是两条异面直线，
βα??n m ,，且αβ//,//n m （答：B ）
；（2）给出以下六个命题：①垂直于同一直线的两个平面平行；②平行于同一直线的两个平面平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④
与同一直线成等角的两个平面平行；⑤一个平面内的两条相交直线于另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行；⑥两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行，则这两个平面平行。其中正确的序号是___________（答：①③⑤）；（3）正方体ABCD-A １B １C １D １中AB=a 。①求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；②求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1 ；③求平面AD 1B 1
与平面C 1DB 3）；
16、二面角：（1）平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；
③角的两边与棱都垂直。（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面，则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；（3）二面角的范围：[0,]π；（4）二面角的求法：①转化为求平面角；②面积射影法：利用面积射影公式cos S S θ?射原＝，其中θ为平面角的大小。对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其可考虑面积射影
法）。如（1）正方形ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角B-A 1C-A 的大小为________（答：60
）；（2）将∠A 为60°的棱形ABCD 沿对角线BD 折叠，使A 、C 的距离等于BD ，则二面角A-BD-C 的
余弦值是______（答：
13
）；（3）正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中对角线BD 1＝8，BD 1与侧面B 1BCC 1
所成的为30°，则二面角C 1—BD 1—B 1的大小为______
（答：arcsin
3
）；（4）从点P 出发
引三条射线PA 、PB 、PC ，每两条的夹角都是60°，则二面角B-PA-C 的余弦值是______（答：
13
）；（5）二面角α-l -β的平面角为120°，A 、B ∈l ，AC ?α，BD ?β，AC ⊥l ，BD ⊥l ，
若AB=AC=BD=1，则CD 的长______（答：2）；（6）ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，PD ⊥面ABCD ，且PD ＝AD ，则面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的大小为______
（答：arctan
2
）。
17、两个平面垂直的判定和性质：（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个
平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；（2）性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如（1）三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，P 到三个面的距离分别为3、4、5，则OP 的长为_____（答：5 2 ）；（2）在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足___________时，平面MBD ⊥平面PCD （答：B M P C ⊥）；（3）过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC ＝90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC 。
特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：
线∥线线∥面面∥面
判定线⊥线线⊥面面⊥面性质
线∥线线⊥面面∥面
←→?←→??→??←→?←→?←?
??←→?←→? 如（1）已知直线l ⊥平面α，直线m ?平面β，给出下列四个命题：①m l ⊥?βα// ②m l //?⊥βα；③βα⊥?m l //；④βα//?⊥m l 。其中正确的命题是_____（答：①③）；（2）设b a ,是两条不同直线，βα,是两个不同平面，给出下列四个命题：①若
,,,αα?⊥⊥b a b a 则α//b ；
②若βαα⊥,//a ，则β⊥a ；③若βαβ⊥⊥,a ，则α//a 或α?a ；④若βα⊥⊥⊥b a b a ,,则βα⊥。其中正确的命题是_____（答：①③④） 18、空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）
（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。如已知正方体ABCD- A 1B 1C
1D 1的棱长为a ，则异面直线BD 与B 1C 的距离为_____（答：
3a ）。
（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。如（1）等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ?沿AD 折起，使之与ACD ?所在平面成
?120的二面角，这时A 点到BC 的距离是_____（答：
2
26）；（2）点P 是120°的二面角
α-l -β内的一点，点P 到α、
β的距离分别是3、4，则P 到l 的距离为 _______（3
）；
（3）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的距离相等，则动点
P 所在曲线的形状为_______（答：抛物线弧）。
（3）点到平面的距离：①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键；②体积法：转化为求三棱锥的高；③等价转移法。如（1）长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，则点1A 到平面11D AB 的距离等
于______3
）；（2）在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1
到平面MBD 的距离为______（答： 6
6
a ）。 （4）直线与平面的距离：前提是直线与平面平行，利用直线上任意一点到平面的距离都相等，转化为求点到平面的距离。
（5）两平行平面之间的距离：转化为求点到平面的距离。
（6）球面距离（球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度）：求球面上两点A 、B 间的距离的步骤：①计算线段AB 的长；②计算球心角∠AOB 的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB 的长。如（1）设地球半径为R ，在北纬?45圈上有B A ,两地，它们的纬度圈上的弧长等于
R π4
2，求B A ,两地间的球面距离（答：
3
R
π）；（2）球面上有3点，其中
任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3点的小圆的周长为π4，那么这个球的半径为______（答：32）；（3）三棱锥P A B C -的三个侧面两两垂直，
12,16,2P A P B P C ===，若,,,P A B C 四个点都在同一球面上，则此球面上两点A 、B
之间的球面距离是_________（答：）。
19、多面体有关概念：（1）多面体：由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱。（2）多面体的对角线：多面体中连结不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。（3）凸多面体：把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸多面体。
20、棱柱：（1）棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱（侧棱不垂直于底面）和直棱柱（侧棱垂直于底面），其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；（2）棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。如（1）斜三棱柱A 1B 1C 1－ABC ，各棱长为a ，A 1B=A 1C=a ，则侧面BCC 1B 1是____形，棱柱的高为_____
（答：正方；
3
a ）
；（2）下列关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；③若
四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。其中真命题的为_____（答：②④）。
21、平行六面体：
（1）定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；
（2）几类特殊的平行六面体：{平行六面体}?≠{直平行六面体}?≠{长方体}?≠{正四棱
柱}?≠{正方体}；
（3）性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于
一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。如长方体三度之和为a+b+c ＝6，全面积为11，则其对角线为_____（答：5）
22、棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面距离与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面距离与棱锥高的立方比。如若一个锥体被平行于底面的平面所
截，若截面面积是底面积的1
4
，则锥体被截面截得的一个小棱锥与原棱锥体积之比为_____
（答：1∶8）
23、正棱锥：（1）定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。如四面体ABCD 中，有如下命题：①若CD AB BD AC ⊥⊥,，则BC AD ⊥；②若G E 、、F 分别是CD AB BC 、、的中点，则F E G ∠的大小等于异面直线AC 与BD 所成角的大小；③若点O 是四面体ABCD 外接球的球心，则O 在面ABD 上的射影是ABD ?外心；④若四个面是全等的三角形，则ABCD 为正四面体。其中正确的是___（答：①③）
（2）性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等。②正棱锥的高h 、斜高h '、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径r ）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径R ）、底面的半边长可组成四个直角三角形。如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：,Rt SOB Rt SOE ??，,Rt EOB Rt SBE ??，其中,,,a l αθ分别表示底面边长、侧
棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。如（1）在三棱锥的四个面中，最多有___个面为直角三角形（答：4）；（2）把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，则上层小球最高处离桌面的距离为________
（答：(
2)3
R +）
。 24、侧面积（各个侧面面积之和）：
（1）棱柱：侧面积S ＝直截面（与各侧棱都垂直相交的截面）周长×侧棱长，特别地，直棱柱的侧面积S ＝底面周长×侧棱长。如（1）长方体的高为h ，底面积为Q ，垂直于底
的对角面的面积为M ，则此长方体的侧面积为______（答：；（2）斜三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，二面角C-A 1A-B 为120°，侧棱AA 1于另外两条棱的距离分别为7cm 、8cm ，AA 1=12cm ，则斜三棱柱的侧面积为______（答：2336cm ）；（3）若斜三棱柱的高为4 3 ，侧棱与底面所成的角为60°，相邻两侧棱之间的距离都为5，则该三棱柱的侧面积为______（答：120）。
（2）正棱锥：正棱锥的侧面积S ＝
12
×底面周长×斜高。如（1）已知正四棱锥P －ABCD
的高为4，侧棱与底面所成的角为60°，则该正四棱锥的侧面积是_______3
）；
（2）已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH
的表面积为T ，则T S 等于______（答：1
9
）。
提醒：全面积（也称表面积）是各个表面面积之和，故棱柱的全面积＝侧面积＋2×底面积；棱锥的全面积＝侧面积＋底面积。
25、体积：
（1）棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；三棱柱的体积12
V Sd =
（其中S 为三棱柱一个侧面的面积，d 为
与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）。如（1）设长方体的三条棱长分别为a 、b 、c ，若长
方体所有棱的长度之和为24，一条对角线长度为5，体积为2，则c b a 111++等于__（答：11
4）；
（2）斜三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为a 的正三角形，侧棱长为b ，侧棱AA 1和AB 、
AC 都成45°的角，则棱柱的侧面积为___，体积为___（答：1)ab +；
2
14
a b ）。
G F
E D C
B
A
1
A C
（2）棱锥：体积＝
3
1×底面积×高。如（1）已知棱长为1的
正方体容器ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在A 1B 、A 1B 1、B 1C 1的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔，若此容器可以任意放置，则装水较多的容积（小孔面积对容积的影响忽略不计）是_____（答：
12
11）；（2）在正三
棱锥A-BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC=a ，则正三棱锥A-BCD 的体积为__（答：
3
24
2a ）
；（3）已知正三棱锥ABC P -底面边长为32，
体积为34，则底面三角形ABC 的中心O 到侧面PAB 的距离为___（答：17
）；（4）在平面几何中有：Rt △ABC 的直角边分别为a,b ，斜边上的高为h ，则
2
2
2
111h
b
a
=
+
。类比
这一结论，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两点互相垂直，且PA=a ，PB=b ，PC=c ，此三棱锥P —ABC 的高为h ，则结论为______________（答：
2
2
2
2
1111a
b
c
h
+
+
=
）．
特别提醒：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体。补形：三棱
锥?三棱柱?平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 （答：1：2：3）和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.如（1）用平面去截三棱锥S A B C -，与三条侧棱交于111,,A B C 三点，若112
SA SA =
，111,
3SB SB SC =
1113,14
S A B C SC V -==，则多面体111A B C ABC -的体积为_____（答：7）；（2）直三棱柱ABC
—A 1B 1C 1的体积为V ，P 、Q 分别是侧棱AA 1、CC 1上的点，且AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 （答：1
3V ）；（3）如图的多面体
ABC-DEFG 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，平面ABC ∥DEFG ，平面BEF ∥ADGC ，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则该多面体的体积为________（答：4）。 26、正多面体：
（
1）定义
：每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，
叫做正多面体。
（2）正多面体的种类：只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。其中正四面体、正八面体和正二十面体的每个面都是正三角形，正六面体的每个面都是正方形，正十二面体的每个面都是正五形边，如下图：
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
27、球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是圆面；球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r 之间的关系是r ＝2
2
d R -。提醒：球与球面的区别（球不仅包括球面，还包括其内部）。如（1）在半径为10cm 的球面上有C B A ,,三点，如果
?=∠=60,38ACB AB ，则球心O 到平面ABC 的距离为______（答：6cm ）；（2）已知
球面上的三点A 、B 、C ，AB=6，BC=8，AC=10，球的半径为13，则球心到平面ABC 的距离为______（答：12）
28、球的体积和表面积公式：V ＝2
34,3
4
R S R ππ=。如（1）在球内有相距9cm 的两个
平行截面，面积分别为49πcm 2、400πcm 2，则球的表面积为
______（答：22500cm π）；（2）三条侧棱两两垂直且长都为1的三棱锥P-ABC 内接于球O ，求球O 的表面积与体积。（答：
表面积3π，体积
2
）
；（3）已知直平行六面体1111D C B A A B C D -的各条棱长均为3，?=∠60BAD ，长为
2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底
面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为______（答：
29
π）
； 29、立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：
（1）求空间角、距离，归到三角形中求解；
（2）对于球的内接外切问题，作适当的截面――既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系。如（1）甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为_____（答：1∶2∶3）；
（2）_____（答：3π）；（3）已知一个半径为
21的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这一正三棱柱的体
积是_____（答：354）；
（3）求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离。如已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，P 是1AA 的中点，E 是1BB 上的一点，则
EC PE +的最小值是_____（答：
2
17）；
30、你熟悉下列结论吗？
⑴三个平面两两相交得到三条交线，如果其中的两条交线交于一点，那么第三条交线也经过这一点；
⑵从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；
⑶AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，AC 和AB 的射影A B '成2θ，设∠BAC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；
⑷如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线也垂直于第三个平面； ⑸若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则cos 2α+ cos 2β+cos 2γ=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2。如（1）长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的二个面所成的角为30°、45°，则与第三个面所成的角为____________（答：30°）；（2）若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,αβγ，则sin ,sin ,sin αβγ的关系为____________。（答：2
2
2
sin sin sin 2αβγ++=）
⑹若正棱锥的侧面与底面所成的角为θ，则cos S S θ?侧底＝。如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为２３
，则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于__（答：60
）
⑺在三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③顶点到底面三角形各边的距离相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底面上的射影在底面三角形内?顶点在底上射影为底面内心.提醒：③若顶点在底面上的射影在底面三角形外，则顶点在底上射影为底面的旁心。
⑻正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；正四面体的外接球半径R 与内切球半径r 之比为R ：r ＝3：1。
几何体中的截面问题复习课程
F E 1Q 1 几何体中的的截面问题 1．定义及相关要素 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集(交线)叫做截线．此平面与几何体的棱的交集(交点)叫做截点． 2．作多面体的截面方法(交线法)：该作图关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 题型一、截面的形状 1．P 、Q 、R 三点分别在直四棱柱AC 1的棱BB 1、CC 1和DD 1上，试画出过P 、Q 、R 三点的截面． 1解答：(1)连接QP 、QR 并延长，分别交CB 、CD (2)连接EF 交AB 于Ｔ，交AD 于S ． (3)连接RS 、TP 。则多边形PQRST 即为所求截面。 2．已知P 、Q 、R 分别是四棱柱ABCD ―A 1B 1C 1D 1的棱CD 、DD 1和AA 1上的点，且QR 与AD 不平行，求作过这三点的截面． 2解答： (1)连接QP 并延长交DA 延长线于点I 。 (2)在平面ABCD 内连接PI 交AB 于点 M 。 (3) 连接QP 、RM 。则四边形PQRM 即为所求。 注：①若已知两点在同一平面内，只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截线。 ②若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二确定的点。 ③若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个平面的交线与截面的交点。 3．一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是
3答案：D 解析：考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D 。 题型二、截面面积、长度等计算 4．过正方体1111D C B A ABCD -的对角线1BD 的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则 m in m ax S S 的值为 ( ) A ． 23 B ． 2 6 C ． 3 3 2 D ． 3 6 2 4答案：C 解析：设M 、N 分别为AA 1、CC 1的中点.易证截面BMD 1N 是边长为 5 2 的菱形(正方体棱长设为1),其面积S(min)= 6 2 . 而截面BB 1D 1D 是矩形,其面积S(max)=2． 5. 如图，已知球O 是棱长为1 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为 ． 5答案： 解析：平面ACD 1是边长为 的正三角形，且球与以点D 为公共 点的三个面的切点恰为三角形ACD 1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD 1内切圆的半径是 ×tan30°= ，则所求的截面圆的面积是π× × = ． 6．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．2 6答案：C 解析：1O 与2O 的公共弦为AB ，球心为Ｏ，AB 中点为C ， 则四边形C OO O 21为矩形，12||||,O O OC =||2,OA =Q 所以2 2 ||1,||||||3AC AC OC OC OA AC =⊥∴=-= 7．已知正四棱锥P —ABCD 的棱长都等于a ,侧棱PB 、PD 的中点分别为M 、N ，则截面AMN 与底面ABCD 所成二面角大小的正切值为 ． 7答案： 1 2 Ｏ２ Ｏ Ｃ Ｏ2
2017多面体的截面的作法
多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件．（2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.（5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在 1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线 交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面1 1C A 内，求过G F E 、、的截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ．（5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多 的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥ABCD P -中，三条侧棱上各有一已知点 H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． （2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ． （3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ． 图
多面体的截面的作法
多面体的截面 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件． （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线 交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的 截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ． （5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥A B C D P -中，三条侧棱上各有一已知点 H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． （2）在侧面PBS 内，连结并延长GF ，交PS 于K ． （3）在侧面PBT 内，连结并延长GH 交PT 于L ． （4）在侧面PST 内，连结KL 分别交PE PD 、于N M 、． 图
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心的确定 一、知识点总结 1.由球的定义确定球心 ⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点. ⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点. ⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点. ⑷正棱锥的外接球球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到. ⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心. 2．构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥. ⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥. ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体. ⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体. 3.由性质确定球心 利用球心O 与截面圆圆心1O 的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心. 二：常见几何体的外接球小结 1、设正方体的棱长为a ，求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。 （1）截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R = ； （2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2 = 。 （3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 3 1= =。
2、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长为a ，O 也是球心） 内切球半径为： r = 外接球半径为：a R 4 6= 三：常见题型 1.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 解析：本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 补形法 2. ，则其外接球的表面积是 . 解析： 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 图1 图2 图 3
高二数学最新教案-多面体截面的画法 精品
多面体截面的画法 在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错. 用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F 面体的截面的边数，最多不会超过 F ，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边形、四边 形或三角形，决不可能是七边形. 画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截 面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任 意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确 定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法. 一、直接法 由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A 、B 、C （图1）的截面. 画法：连接AB 、BC 、CA 便得所求截面ABC . 从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三 个已知点A 、B 和C 的位置如图2所示，这时AC 就不是截交线.因为面EF ∥面 GH ，所以只要过C 作CD ∥BA 交EI 于D ，连AD ，便得所求截面ABCD . 二、三面共点法 利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点 法. 例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A 、B 和C （图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM 、面LM 交于一点，然后采用截平面与面SMN 、面LM 交于一点作出截面.具体画法如下： （1）作直线AB ，交MK 的延长线于F ，连接FC 交LK 于E ，交MN 的延长线于Q . （2）连接QB ，交SN 于D ，又连接CD 、AE 便得所求截面ABDCE . 图3 图4 例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A 、B 和C （图4）的截面 .
多面体截面的画法
多面体截面的画法 在学习立体几何时，常要遇到画具有特定条件的截面图的习题.如棱柱、棱锥、棱台等多面体的对角面，当然是很容易画出的，但有些截面图是不容易画出的，一不小心，往往会画错. 用一个平面截面截割多面体，所得的公共平面图形称为多面体的截面，这个平面称为截平面.在立体几何中，简称截面.多面体的表面是由多边形所组成，因此，它被平面所截的截面一定也是一个平面多边形，这个平面多边形的各边是多面体与截面的交线（称为截交线），其顶点是多面体的棱与截面的交点，所以F面体的截面的边数，最多不 会超过F，最少当然是3.例如四棱柱有六个面，所以截面可能是六边形、五边 形、四边形或三角形，决不可能是七边形. 画多面体截面的关键在于根据确定截面的条件，作出截面与棱的交点（截 面的顶点）.确定多面体截面的条件，而确定平面的条件是以过不在一直线的任 意三点为基础的，所以多面体截面的画法，是以过不在一直线的任意三点所确 定截面的画法为最基本，下面我们通过一些例子，介绍多面体截面的几种画法. 一、直接法 由直接连接不在一直线的三点，或根据多面体的性质作平行线画出截面的方法，我们将它称为直接法. 图1 例1.求作过立方体棱上三个已知点A、B、C（图1）的截面. 画法：连接AB、BC、CA便得所求截面ABC. 从本例可看出，同一个面上的两个已知点的连线才是截交线，如果本例的三 个已知点A、B和C的位置如图2所示，这时AC就不是截交线.因为面EF∥面 GH，所以只要过C作CD∥BA交EI于D，连AD，便得所求截面ABCD. 二、三面共点法 利用截面与多面体相邻两面交于一点的原理来画截面的方法称为三面共点法. 例2.求作过正四棱锥棱上的三个已知点A、B和C（图3）的截面. 图2 我们采用三面共点法作出截面.首先利用截平面与面SKM、面LM交于一点，然后采用截平面与面SMN、面LM交于一点作出截面.具体画法如下： （1）作直线AB，交MK的延长线于F，连接FC交LK于E，交MN的延长线于Q. （2）连接QB，交SN于D，又连接CD、AE便得所求截面ABDCE. 图3 图4 例3.求作过正四棱台棱上的三个已知点A、B和C（图4）的截面.
平面截多面体的截面
平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 1. 通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念. 2. 通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法一一“连延交” 3. 经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力. 【教学重点】截面的概念及作法. 【教学难点】截面的作法. 【教学过程】 一、复习引入： 1. 通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）. 2. 公理与性质回顾： 公理1 :如果直线I上有两个点在平面上，那么直线I在平面上. 公理2如果不同的两个平面、有一个公共点A,那么、的交集是经过点 A的直线I. 公理3:不在同一直线上的三点确定一个平面. 若平面与平面相互平行，平面与、的交线分别为直线a、b,则a//b. 二、概念形成：
例题：在正方体ABCD-/BGD中， (1) 作出由点A、G、D确定的平面与正方体表面的所有交线； (2) 若点P位于棱DD±，作出由点A、C、P确定的平面与正方体表面的交线. ★体会：确定“平面与正方体表面的交线”的尖键是“找到正方体的表面与平面的两个公共点”. ⑶点P位于面AADD±，作出由点AGP确定的平面与正方体表面的交 线； ⑷作出由点A、Q A确定的平面与正方体表面的交线. ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面与正方体另一个表面的公共点” 的尖键是“找到正方体的棱与平面的公共点”. ⑷“平面与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得. 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平 面图形叫做平面截多面体的截面? 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 1 ■截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上?) 2.截面多边形的各顶点都在多面体的棱上. 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-/BCD中，若点E、F、G分别为AB BG CD的中点. (5)作出由点E、F、G确定的平面截正方体ABCD■屈GD的截面；
多面体的截面(一)
多面体的截面（一） 黄继红 一、教学分析 按课标，“多面体的截面”要求学生会作长方体的截面（如截面过已知不共线的、位于棱上的三点，且仅以平面的基本性质为画图依据）。 按教材，“多面体的截面”是对点、线、面的位置关系在认识上的深化和提高，又是为后继几何体的体积学习作准备。“多面体的截面”定义在课本中仅以“小字”形式作为注意点呈现，例题的截面作法也仅用“交线法”。 我认为：我们松江二中的学生对这个内容的学习不应该仅停留在理解概念、巩固练习的层面，更应该把它上升为探究性理解水平的层次。 基于以上认识，我确立“正确理解多面体的截面概念，体会作多面体截面的基本方法——连延交”作为本课的主要目标。在设计思路上我以“明线”和“暗线”同时进行、不断贯穿“转化”思想来组织教学，这样可以进一步体验概念学习的过程，还能在各个环节上逐步体会“连延交”的基本方法。在问题设计上我采取“反复变式”、“层层递进”、“制造认知冲突”等手段突出本课重点、突破本课难点。又考虑到我校学生已经较好地掌握公理4和面面平行的有关知识，所以本课我在重点突出“连延交”基本方法的同时，适当渗透“平行线法”，这样可以更好地完善学生的认知结构。 明线：形成概念理解概念巩固应用 →→ 暗线：
关于课时安排。“多面体的截面”分为2课时完成，本课为第1课，仅以“正方体”为载体设计教学目标、重点和难点。第2课安排以棱锥、三棱柱、长方体为例，进一步巩固多面体的截面作法，并说明截面分多面体为怎样的两个多面体、画出这两个多面体的直观图。 二、教学目标 ⑴通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念。 ⑵通过正方体的截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”。 ⑶经历作正方体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力。 三、教学重点 截面的概念及作法 教学难点 如何“连” 四、教学过程 1、形成概念 引例 如图正方体ABCD A B C D ''''-，请画出由点 A '、、确定的平面C 'D α与正方体表面的交线。 变式1 点位于棱P DD '上，请画出由点A '、 C '、 确定的平面P α与正方体表面的交线。 变式2 点位于正方体的面P AA D D ''上，请画出由点 A '、、确定的平面C 'P α与正方体表面的交线。
15.2.2空间多面体的截面的作法
空间多面体截面的作法 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面．此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线．此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做截点． 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线，从而求得截面． 作截线与截点的主要根据有： （1）确定平面的条件． （2）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线． （3）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． （4）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． （5）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行． 主要画法是交线法．即求出截面所在的平面与多面体某一表面所在平面的交线，再找出各有关截线（或其延长线）与此交线的交点． 例1 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别在1DD BC AB 、、上，求作过G F E 、、三点的截面． 作法：（1）在底面AC 内，过F E 、作直线EF 分别与DC DA 、的延长线交于M L 、． （2）在侧面D A 1内，连结LG 交1AA 于K ． （3）在侧面C D 1内，连结GM 交1CC 于H ． （4）连结KE 、FH ．则五边形EFHGK 即为所求的截面．有时为了便于作截面，还须引进辅助面作为作图的中介． 例2 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、在两条棱上，G 在底面11C A 内，求过G F E 、、的截面． 作法：（1）在底面11C A 内，过G 作11//C B PQ ，交棱于Q P 、两点． （2）作辅助面PC ，在此面内，过F G 、作直线交BP 的延长线于M ． （3）在侧面B A 1内，连结ME ，交11B A 于K ． （4）在底面11C A 内，连结KG ，延长交11C B 于H ． （5）连结HF ． （6）在底面AC 内，作HK FL //，交AB 于L ． （7）连结EL ．则五边形ELFHK 为所求的截面．此外，对于面数较多的多面体，可以把其中一些表面伸展构成面数较少的多面体，使作图得解． 例 3 如图，五棱锥A B CD P -中，三条侧棱上各有一已知点H G F 、、，求作过H G F 、、的截面． 作法：（1）将侧面PDE PBC PAB 、、伸展得到三棱锥BST P -． 图
《几何体的截面形状》研究性学习活动教学设计
《几何体的截面形状》研究性学习活动 教学设计 一、课题研究的背景 按《课标》要求，在高中阶段至少要有一次小组合作或独立数学探究活动和数学建模活动，而活动的开展是要有一个渐进的过程的，学生需要一个逐步适应、了解和认识自主探究、合作学习的过程，所以在本模块设计该课题，是为实施更为完整的数学探究、数学建模活动做准备。 二、课题研究的目的和意义 帮助学生认识空间图形，培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力；通过课题研究给学生提供一个施展所学的舞台，促进学生对所学知识的应用和反思，加深对空间图形的认识和理解。此外，该课题的学习有助于发展学生自主学习的能力，体验数学研究的过程，认识数学研究中直观和严谨、感性猜测和理性推理的关系，鼓励学生发挥自己的想象力和创造力。 三、课题研究的目标 体会转化、降维、类比等数学思想，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，提高交流表达能力，提高独立、合作小组探究学习获取知识的能力，培养学生把握空间图形的能力，学会欣赏空间图形所反映的数学美。 1、知识与能力：通过用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，掌握空间图形与截面的关系，发展学生的空间观念，发展几何直觉。使学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、自主探究、合作交流和分析归纳能力。 2、过程与方法及解决的问题：采用多种途径查阅资料（图书馆查阅、网页查阅、调查访问教师、专家、学者等）；能对各种资源
进行整合、筛选、整理、分析；经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法；经过小组合作学习，能写出调查报告。 丰富对空间图形的认识和感受，发展空间观念和形象思维，通过总结，归纳，获得经验。 3、情感态度与价值观：通过以教师为主导，引导学生观察发现、大胆猜想、动手操作、自主探究、合作交流，使学生在合作学习中体验到：数学活动充满着探索和创造。通过小组的合作，加强自己与同学之间的人际关系，了解团队的力量。使学生获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。同时培养学生积极参与数学活动，主动与他人合作交流的意识，激发学生对空间与图形学习的好奇心。 四、重点与难点 重点：引导学生经历用一个平面去截一个正方体的切截活动过程，体会截面和几何体的关系，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流。 难点：1. 从切截活动中发现规律，并能用自己的语言合理清晰地来表达出自己的思维过程。 2. 能应用规律来解决问题，从理论上理解截出五边形、六边形的可能性，以及七边形的不可能性。 五、学生起点分析 所有高中学生在新世纪版北师大教材《数学》七年级上册第一章已经学习了《截一个几何体》知识，它是初中新课程改革中的新增内容，学生已经简单经历了切截几何体的实际操作活动，发展了学生的空间观念，激发了学生学习兴趣。学生已经具备了基本的观察、操作、推理、交流的能力。也就是说学生在研究性学习前，已经掌握了长方体，正方体，圆柱体，圆锥体和球体等常见的几何体的特点，理解了各种生活中所熟悉的几何体的表面组成；掌握了点，线，面，体四者之间的动态与静态的关系，再加之学生好奇心强，喜欢探索、解剖身边的事物，对出现在自己周围的物品进行实际的动手切截，热情势必较高，再配合创设一系列合理的问题情景，组织学生进行一些生动有趣的数学活动，本节课会极大地调动学生参与的积极性。
北师大版数学高一-必修2学业分层测评1 简单旋转体 简单多面体
学业分层测评(一) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．如图1-1-5是由哪个平面图形旋转得到的() 图1-1-5 【解析】图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形． 【答案】 A 2．一个多边形沿垂直于它所在平面的方向平移一段距离可以形成的几何体是() A．棱锥 B．棱柱 C．平面D．长方体 【解析】平移后形成的几何体是以此多边形(起点处和终点处)为两底面的棱柱，故选B. 【答案】 B 3．如图1-1-6，E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，则截面以下的几何体是()
图1-1-6 A．棱柱B．棱台 C．棱锥D．五面体 【解析】选择左右两个平行平面为底面，则它符合棱柱的结构特征，故选A. 【答案】 A 4．下列结论正确的是() 【导学号：10690002】A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 【解析】A是错误的，例如由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各个面都是三角形，但它不是棱锥；B是错误的，直角三角形绕着直角边旋转一周形成的面所围成的几何体才是圆锥；C是错误的，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故选D. 【答案】 D 5．如图1-1-7所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是() 甲乙
简单多面体教案
第九章直线、平面、简单几何体（四） 简单多面体与球 教学知识点 1．棱柱的概念及性质； 2．棱锥的概念及正棱锥的性质． 3．平行六面体，长方体的概念及性质． 4．直棱柱、正棱锥直观图的画法． 5．多面体、凸多面体、正多面体的概念及多面体的欧拉公式 6．球的概念、球的性质、球的表面积和体积 §9.9棱柱与棱锥（1）——多面体、棱柱与性质 [课题]多面体、棱柱与性质 [课型]新授课 [目的要求] 1、了解多面体和凸多面体的概念； 2、了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质. [⒈（识记）棱柱的有关概念及棱柱各部分的名称及其表示法 ⒉（理解）棱柱的概念的两重含义和它的两种分类 ⒊（掌握）棱柱的性质：底面、侧面、侧棱、高、平行于底面的截面等 ⒋（运用）运用棱柱的概念和性质解决一些简单的棱柱问题 ⒌（综合）综合运用棱柱的有关知识解决棱柱中的点、线、面的位置关 系和量的问题。] 3、在学习棱柱概念和性质的过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力．[重点与难点]棱柱的概念和性质的应用 [教学方法] [教学过程] 一、复习引入 1、什么是长方体、正方体？它们有什么特性（从长方体、正方体的棱和面 两方面说明）？ 2、什么是平行六面体？平行六面体有什么特性（从平行六面体的棱和面两 方面说明）？ 3、比较：长方体与平行六面体 4、（投影展示，让学生观察特点，思考共同点、不同点）
二、新课 （一）多面体 (提出问题学生看书后总结) 问题： 1、什么叫多面体？什么叫多面体的面、棱、顶点和多面体的对角线？ 2、什么叫凸多面体？ 3、什么叫四面体、五面体、六面体……？ (结合下图回答上述问题) . 练习：P54 1、2 （二）棱柱 (Ⅰ)棱柱的概念 以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点． 通过观察，让学生们总结出它们的共同特征:①有两个面互相平行；②其余各面的交线也互相平
平面截多面体的截面
平面截多面体的截面 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
15.2.2平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 ⒈通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】截面的概念及作法． 【教学难点】截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉公理与性质回顾： 公理1：如果直线l上有两个点在平面?上，那么直线l在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A，那么?、?的交集是经过点A的直线l． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a、b，则a∥b． 二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ⑴作出由点A1、C1、D确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵若点P位于棱DD1上，作出由点A1、C1、P确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面? 的两个公共点”． ⑶点P位于面AA1D1D上，作出由点A、C、P确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷作出由点A、C、A1确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正方体的棱与平面?的公共点”． ⑷“平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成 的平面图形叫做平面截多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 ⒈截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点． ⑸作出由点E、F、G确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面； ⑹作出由点E、F、D1确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面． 通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣． 四、应用拓展：
简单多面体外接球问题总结
简单多面体外接球球心得确定 一、知识点总结 1、由球得定义确定球心 ⑴长方体或正方体得外接球得球心就是其体对角线得中点、 ⑵正三棱柱得外接球得球心就是上下底面中心连线得中点、 ⑶直三棱柱得外接球得球心就是上下底面三角形外心连线得中点、 ⑷正棱锥得外接球球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到、 ⑸若棱锥得顶点可构成共斜边得直角三角形，则公共斜边得中点就就是其外接球得球心、 2.构造长方体或正方体确定球心 ⑴正四面体、三条侧棱两两垂直得正三棱锥、四个面都就是直角三角形得三棱锥、 ⑵同一个顶点上得三条棱两两垂直得四面体、相对得棱相等得三棱锥、 ⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体、 ⑷若三棱锥得三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体、 3、由性质确定球心 利用球心与截面圆圆心得连线垂直于截面圆及球心与弦中点得连线垂直于弦得性质,确定球心、二:常见几何体得外接球小结 1、设正方体得棱长为,求(1）内切球半径;（2）外接球半径;(3）与棱相切得球半径。 (1)截面图为正方形得内切圆,得; (2）与正方体各棱相切得球：球与正方体得各棱相切，切点为各棱得中点，如图4作截面图,圆为正方形得外接圆，易得。 (３）正方体得外接球：正方体得八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得。 2、正四面体得外接球与内切球得
半径(正四面体棱长为，也就是球心) 内切球半径为: 外接球半径为: 三：常见题型 1、已知各顶点都在同一个球面上得正四棱柱得高为4,体积为１６，则这个球得表面积就是 解析：本题就是运用“正四棱柱得体对角线得长等于其外接球得直径"这一性质来求解得、 补形法 2、若三棱锥得三个侧棱两两垂直,且侧棱长均为,则其外接球得表面积就是、 解析:一般地，若一个三棱锥得三条侧棱两两垂直，且其长度分别为,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于就是长方体得体对角线得长就就是该三棱锥得外接球得直径、设其外接球得半径为,则有、 3、正四棱锥得底面边长与各侧棱长都为，点都在同一球面上，则此球得体积为、解析：寻求轴截面圆半径法 4、在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角,则四面体得外接球得体积为（） 解析：确定球心位置法 四：练习 1、已知点、就是球表面上得点,平面，四边形就是边长为得正方形、若,则得面积为多少? ２、设三棱柱得侧棱垂直于底面,所有棱长都为,顶点都在同一个球面上,则该球得表面积为多少? 3、三棱锥中，平面，,就是边长为1得正三角形，则其外接球得表面积为多少？ 4、点在同一个球得球面上，,，若四面体体积得最大值为，则这个球得表面积为多少？ ５、四面体得三组对棱分别相等，棱长为,求该四面体外接球得体积、 6、正四面体外接球得体积为,求该四面体得体积、 7、若底面边长为２得正四棱锥得斜高为,求此正四棱锥外接球得体积、 ８、一个六棱柱得底面就是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱得顶点都在同一个球面上,且该六棱柱得体积为,底面周长为３,则这个球得体积为、
平面截多面体的截面
平面截多面体的截面 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
15.2.2平面截多面体的截面 上海市崇明中学杨春耀 【教学目标】 ⒈通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】截面的概念及作法． 【教学难点】截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉公理与性质回顾： 公理1：如果直线l上有两个点在平面?上，那么直线l在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A，那么?、?的交集是经过点A的直线l． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a、b，则a∥b． 二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ⑴作出由点A1、C1、D确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵若点P位于棱DD1上，作出由点A1、C1、P确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面?的两个公共点”． ⑶点P位于面AA1D1D上，作出由点A、C、P确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷作出由点A、C、A1确定的平面?与正方体表面的交线． ★体会：⑶初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正方体的棱与平面?的公共点”． ⑷“平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平面 图形叫做平面截多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何 ⒈截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点E、F、G分别为AB、BC、C1D1的中点． ⑸作出由点E、F、G确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面； ⑹作出由点E、F、D1确定的平面?截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面．通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣． 四、应用拓展： 分别在下列三棱锥、长方体、三棱柱中作出由点E、F、G确定的平面?截该多面体所得的截面： ⒈三棱锥A-BCD中，点E、F在面ACD上，点G在棱BC上； ⒉长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E、F在面ABB1A1上，点G在面A1B1C1D1上． ⒊三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、F、G分别在棱A1C1、B1C1、BC上． 五、课堂小结： ⒈平面截多面体的截面． ⒉多面体截面作法．
简单多面体(一)棱柱与棱锥
简单多面体（一）棱柱与棱锥 一. 教学内容： 简单多面体（一）棱柱与棱锥 二. 知识结构： 【典型例题】 [例1] 斜三棱柱的底面是等腰三角形ABC ，AB=10，AC=10，BC=12。棱柱顶点A 1到A 、B 、C 三点等距离，侧棱长是13，求该三棱柱的侧面积。 解：解法1：如图1，取BC 的中点D ，连结AD ，则BC ⊥AD 作A 1O ⊥底面ABC 于O ，则由已知，点O 在AD 上，故 1 111111//BB BC BB AA AA BC D AA AA D AA BC ⊥???? ⊥???? ?⊥面面 则侧面 BCC 1B 1为矩形，1561213111=?=?=BB BC B BCC S 矩形 取AB 中点E ，连结OE 、A 1E 由A 1A=A 1B ，则A 1E ⊥AB 由已知可求得 122 211=-=AE A A E A 则 120121011 11 1=?=?==E A AB S S A A
故 =S 侧解法2：1B A AB ==由由作DE ⊥AA 1于E ，连结BE 、CE 。则 AA 1⊥平面BCE 。故AA 1⊥BE ，AA 1⊥CE 即BEC ?为棱柱的直截面 故侧棱长的周长侧??=)(BEC S 在等腰三角形A 1AB 中， 135 cos = ∠EAB ，则 故 1312sin = ∠EAB 13120 sin =∠?=EAB AB EB 同理 13120= EC 所以 39613)1213120 2(=?+? =侧S
小结：[例2] 且平面AEC 与底面ABCD 所成的角为?45，求：三棱锥1的体积。 解：解法1：如图3所示。连结BD 交AC 于O AC EO AC DO ABCD D D ⊥???? ⊥⊥底面由1 则EOD ∠为面AEC 与底面ABCD 所成的二面角的平面角。即?=∠45EOD 易得AC=BD=a 2， a DO 22 = ，a EO =，a DB DD 21== 故四边形BDD 1B 1为正方形 连结B 1D 交BD 1于P ，交EO 于Q 由11BD D B ⊥，EO ∥BD 1，则B 1D ⊥EO D B A C B BD D D B B BDD AC 111111⊥???? ?⊥平面平面由 故⊥D B 1面AEC ，则B 1Q 为三棱锥AEC B -1的高 由PQ DO =，则 a D B Q B 23 4311== 又 22221a EO AC S AEC =?= ? 故3 142311a Q B S V AEC AEC B =?=?-
平面截多面体的截面
15.2.2 平面截多面体的截面 上海市崇明中学 杨春耀 【教学目标】 ⒈ 通过从具体到抽象的过程，逐步形成并理解平面截多面体的截面概念． ⒉ 通过多面体截面作法的探究，体会作多面体截面的基本方法——“连延交”． ⒊ 经历作多面体截面的过程，体会转化思想，培养空间想象力． 【教学重点】 截面的概念及作法． 【教学难点】 截面的作法． 【教学过程】 一、复习引入： ⒈ 通过实例说明作截面的现实需要性（课件显示）． ⒉ 公理与性质回顾： 公理1：如果直线l 上有两个点在平面?上，那么直线l 在平面?上． 公理2：如果不同的两个平面?、?有一个公共点A ，那么? 、?的交集是经过点A 的直线l ． 公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面． 若平面?与平面?相互平行，平面?与?、?的交线分别为直线a 、b ，则a ∥b ． 二、概念形成： 例题：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， ⑴ 作出由点A 1、C 1、D 确定的平面?与正方体表面的所有交线； ⑵ 若点P 位于棱DD 1上，作出由点A 1、C 1、P 确定的平面?与正方体表面的交线． ★ 体会：确定“平面?与正方体表面的交线”的关键是“找到正方体的表面与平面?的两个公共点”． ⑶ 点P 位于面AA 1D 1D 上，作出由点A 、C 、 P 确定的平面?与正方体表面的交线； ⑷ 作出由点A 、C 、A 1确定的平面?与正方体表面的交线． ★ 体会：⑶ 初步体会“延”的必要性，“寻找平面?与正方体另一个表面的公共点”的关键是“找到正 方体的棱与平面?的公共点”． ⑷ “平面?与正方体两平行平面的交线”也可以由“平行线法”获得． 平面截多面体的截面概念：当一个平面截多面体时，多面体的表面与平面的交线围成的平面图形叫做平面截 多面体的截面． 思考：截面多边形的边与顶点在多面体上的位置如何？ ⒈ 截面多边形的各边都在多面体的表面上； (截面多边形的两邻边在多面体的两个相邻面上.) ⒉ 截面多边形的各顶点都在多面体的棱上． 三、概念巩固： 例题：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，若点E 、F 、G 分别为AB 、BC 、C 1D 1的中点． ⑸ 作出由点E 、F 、G 确定的平面?截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的截面； ⑹ 作出由点E 、F 、D 1确定的平面?截正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的截面． 通过⑸、⑹总结作截面的常用方法，并比较方法的优劣． 四、应用拓展： 分别在下列三棱锥、长方体、三棱柱中作出由点E 、F 、G 确定的平面? 截该多面体所得的截面： ⒈ 三棱锥A-BCD 中，点E 、F 在面ACD 上，点G 在棱BC 上； ⒉ 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 在面ABB 1A 1上，点G 在面A 1B 1C 1D 1上． ⒊ 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点E 、F 、G 分别在棱A 1C 1、B 1C 1、BC 上． 五、课堂小结： ⒈ 平面截多面体的截面． C D C 1B 1B A 1D 1A C D C 1B 1B A 1D 1P A F E C D C 1B 1B D 1A 1A G F E C D C 1B 1 B A 1D 1A B D A E F G C B A 1B 1 C 1A E F G
