复数代数形式的四则运算(教学设计)(1)
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义
教学目标:
知识与技能目标:
掌握复数代数形式的加法、减法运算法则,能进行复数代数形式加法、减法运算,理解并掌握复数加法与减法的几何意义
过程与方法目标:
培养学生参透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力。
情感、态度与价值观目标:
培养学生学习数学的兴趣,勇于创新的精神,并且通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神。
教学重点:复数代数形式析加法、减法的运算法则。
教学难点:复数加减法运算的几何意义。
教学过程:
一、复习回顾:
1、复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即
这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应.
这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法 2、. 若),(11y x a =,),(22y x b =,则b a +),(2121y y x x ++=,
b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
3、 若),(11y x A ,),(22y x B ,则()1212,y y x x --=
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
即 AB =OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)
二、师生互动、新课讲解:
1、复数代数形式的加减运算
(1)复数z 1与z 2的和的定义:z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .
(2)复数z 1与z 2的差的定义:z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .
(3)复数的加法运算满足交换律: z 1+z 2=z 2+z 1.
证明:设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i (a 1,b 1,a 2,b 2∈R ).
∵z 1+z 2=(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i .
z 2+z 1=(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )=(a 2+a 1)+(b 2+b 1)i .
又∵a 1+a 2=a 2+a 1,b 1+b 2=b 2+b 1.
∴z 1+z 2=z 2+z 1.即复数的加法运算满足交换律.
(4)复数的加法运算满足结合律: (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)
证明:设z 1=a 1+b 1i .z 2=a 2+b 2i ,z 3=a 3+b 3i (a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3∈R ).
∵(z 1+z 2)+z 3=[(a 1+b 1i )+(a 2+b 2i )]+(a 3+b 3i )
=[(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i ]+(a 3+b 3)i
=[(a 1+a 2)+a 3]+[(b 1+b 2)+b 3]i
=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i .
z 1+(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )+[(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )]
=(a 1+b 1i )+[(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ]
=[a 1+(a 2+a 3)]+[b 1+(b 2+b 3)]i
=(a 1+a 2+a 3)+(b 1+b 2+b 3)i
∵(a 1+a 2)+a 3=a 1+(a 2+a 3),(b 1+b 2)+b 3=b 1+(b 2+b 3).
∴(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3).即复数的加法运算满足结合律 讲解范例: 例1(课本P57例1)计算:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解:(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)=(5-2-3)+(-6-1-4) i=-11 i
例2计算:(1-2i )+(-2+3i )+(3-4i )+(-4+5i )+…+(-2002+2003i )+(2003-2004i )
解法一:原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004i )=(2003-1001)+(1001-2004)i =1002-1003i .
解法二:∵(1-2i )+(-2+3i )=-1+i ,
(3-4i )+(-4+5i )=-1+i ,
……
(2001-2002i )+(-2002+2003)i =-1+i .
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i )+(2003-2004i )
=(2003-1001)+(1001-2004)i =1002-1003i
2.复数代数形式的加减运算的几何意义
复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .
与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减). (1)复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应
平面向量OZ uuu r (2)复数z a bi =+←???→一一对应
平面向量OZ uuu r (3)复数加法的几何意义:
设复数z 1=a +bi ,z 2=c +di ,在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ,即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ,b ),2OZ =(c ,d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2,则对角线OZ 对应的向量是OZ ,
∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ,b )+(c ,d )=(a +c ,b +d )=(a +c )+(b +d )i
(4)复数减法的几何意义:
复数减法是加法的逆运算,设z =(a -c )+(b -d )i ,所以z -z 1=z 2,z 2+z 1=z ,由复数加法几何意义,以OZ 为一条对角线,1OZ 为一条边画平行四边形,
那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就与复数z -z 1的差(a -c )+(b -d )i 对应由于21OZ Z Z =u u u u r u u u r ,所以,两个复数的差z -z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
例3已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ,求AB 对应的复数z ,z 在平面内所对应的点在第几象限?
解:z =z 2-z 1=(1+2i )-(2+i )=-1+i ,
∵z 的实部a =-1<0,虚部b =1>0,
∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.
点评:任何向量所对应的复数,总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表
示的复数是z B -z A . ,而BA 所表示的复数是z A -z B ,故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同,只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同,那么向量AB 所对应的复数是惟一的,因此我们将复平面上的向量称之自由向量,即它只与其方向和长度有关,而与位置无关
例4 复数z 1=1+2i ,z 2=-2+i ,z 3=-1-2i ,它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一:利用BC AD =,求点D 的对应复数.
解法一:设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ,正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ,y ∈R ),是: OA OD AD -==(x +yi )-(1+2i )=(x -1)+(y -2)i ;
OB OC BC -==(-1-2i )-(-2+i )=1-3i .
∵BC AD =,即(x -1)+(y -2)i =1-3i ,
∴???-=-=-,32,11y x 解得???-==.
1,2y x 故点D 对应的复数为2-i .
分析二:利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.
解法二:因为点A 与点C 关于原点对称,所以原点O 为正方形的中心,于是(-2+i )+
(x +yi )=0,∴x =2,y =-1.
故点D 对应的复数为2-i .
点评:根据题意画图得到的结论,不能代替论证,然而通过对图形的观察,往往能起到启迪解题思路的作用 课堂练习:(课本P58练习:NO :1;2)
三、课堂小结,巩固反思:
如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即:如果a ,b ,c ,d ∈R ,那么a +bi =c +di ?a =c ,b =d
一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小.如果两个复数都是实数,就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小
复数的加法法则:(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i (a ,b ,c ,d ∈R ). 复数的加法,可模仿多项式的加法法则计算,不必死记公式。
复数加法的几何意义:如果复数z 1,z 2分别对应于向量1OP 、
2OP ,那么,以OP 1、OP 2为两边作平行四边形OP 1SP 2,对角线OS 表示的向量OS 就是z 1+z 2的和所对应的向量 复数减法的几何意义:两个复数的差z -z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
四、布置作业:
A 组:
1、(课本P61习题3.2 A 组:NO :1)
2、(课本P61习题3.2 A 组:NO :2)
3、(课本P61习题3.2 A 组:NO :3)
4、已知复数z 1=2+i ,z 2=1+2i ,则复数z =z 2-z 1在复平面内所表示的点位于(B )
例2图
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
5、在复平面上复数-3-2i ,-4+5i ,2+i 所对应的点分别是A 、B 、C ,则平行四边形ABCD 的对角线BD 所对应的复数是
(C )
A.5-9i
B.-5-3i
C.7-11i
D.-7+11i
6、已知复平面上△AOB 的顶点A 所对应的复数为1+2i ,其重心G 所对应的复数为1+i ,则以OA 、OB 为邻边的平行四边形的对角线长为(A ) A.32 B.22 C.2 D.5
7、复平面上三点A 、B 、C 分别对应复数1,2i ,5+2i ,则由A 、B 、C 所构成的三角形是(A )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.锐角三角形
D.钝角三角形
8、一个实数与一个虚数的差(C )
A.不可能是纯虚数
B.可能是实数
C.不可能是实数
D.无法确定是实数还是虚数
B 组:
1、计算(-])23()23[()23()32i i i ++---++=____.(答:-22i )
2、计算:(2x +3yi )-(3x -2yi )+(y -2xi )-3xi =________(x 、y ∈R ).(答:.(y -x )+5(y -x )i )
3、计算(1-2i )-(2-3i )+(3-4i )-…-(2002-2003i ).
解:原式=(1-2+3-4+…+2001-2002)+(-2+3-4+…-2002+2003)i
=-1001+1001i
4、已知复数z 1=a 2-3+(a +5)i ,z 2=a -1+(a 2+2a -1)i (a ∈R )分别对应向量1OZ 、2OZ (O 为原点),若向量21Z Z 对应的复数为纯虚数,求a 的值. 解:21Z Z 对应的复数为z 2-z 1,则
z 2-z 1=a -1+(a 2+2a -1)i -[a 2-3+(a +5)i ]=(a -a 2+2)+(a 2+a -6)i
∵z 2-z 1是纯虚数
∴?????≠-+=+-0
60222a a a a 解得a =-1. 5、已知复平面上正方形的三个顶点是A (1,2)、B (-2,1)、C (-1,-2),求它的第四个顶点D 对应的复数. 解:设D (x ,y ),则
OA OD AD -=对应的复数为(x +yi )-(1+2i )=(x -1)+(y -2)i
OB OC BC -=对应的复数为:(-1-2i )-(-2+i )=1-3i ∵= ∴(x -1)+(y -2)i =1-3i
∴???-=-=-3211y x ,解得???-==1
2y x ∴D 点对应的复数为2-i 。
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则. 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力. 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点:如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点:会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点:复数的加法与减法的综合应用. 拓展点:复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位:它的平方等于,即; .对于复数: 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系:. 一一对应 .复数几何意义: 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么: 提出问题: ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项.【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神. .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 (交换律), (结合律). 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力. .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示:
高中数学选修1,2《复数代数形式的四则运算》教案 知识与技能:掌握复数的四则运算; 过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 情感态度与价值观:通过复数的四则运算学习与掌握,进一步理解复数引发学生对数学学习的兴趣,激起学生的探索求知欲望。 教学重难点 熟练运用复数的加减法运算法则。 教学过程 教学设计流程 一、导入新课: 复数的概念及其几何意义; 二、推进新课: 建立复数的概念之后,我们自然而然地要讨论复数系的各种运算问题。 设Z1 =a+bi, Z2 =c+di是任意两个复数,我们规定: 1、复数的加法运算法则:Z1+Z2=(a+从)+(b+d)i 2、复数的加法运算律: 交换律:Z1+Z2=Z2+Z1 结合律:Z1+Z2+Z3=Z1+(Z2+Z3) 3、复数加法的几何意义: 4、复数的减法运算法则: Z1-Z2=(a-c)+(b-d)i 5、复数减法的几何意义: 三、例题讲解 例1:计算:(7-3i)+(-1-i)-(6+3i)
课后小结 复数的加法与减法的运算及几何意义 课后习题 课本习题3.2 A组1题、2题、3题. 高中数学选修1-2《复数代数形式的四则运算》教案【二】 教学目标: 知识与技能:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题 情感、态度与价值观:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。 教学重点:复数代数形式的除法运算。 教学难点:对复数除法法则的运用。 教学过程: 学生探究过程: 1. 复数的加减法的几何意义是什么? 2. 计算(1) (2) (3) 3. 计算:(1) (2) (类比多项式的乘法引入复数的乘法) 讲解新课: 1.复数代数形式的乘法运算 ①.复数的乘法法则:。 例1.计算(1) (2) (3) (4)
复数的代数形式及其运算 例1.计算: i i i i i 2 1 2 1 ) 1( ) 1( 2005 40 40 + + - + + - - + 解:提示:利用i i i i= ± = ±2005 2,2 ) 1( 原式=0 变式训练1: 2 = (A)1 -(B) 1 22 +(C) 1 22 -+(D)1 解:21 2 ===-+故选C; 例2. 若0 1 2= + +z z,求2006 2005 2003 2002z z z z+ + + 解:提示:利用z z z= =4 3,1 原式=2 ) 1(4 3 2002- = + + +z z z z 变式训练2:已知复数z满足z2+1=0,则(z6+i)(z6-i)=▲ . 解:2 例3. 已知4, a a R >∈,问是否存在复数z,使其满足ai z i z z+ = + ?3 2(a∈R),如果存在,求出z的值,如果不存在,说明理由 解:提示:设) , (R y x yi x z∈ + =利用复数相等的概念有 ? ? ? = = + + a x y y x 2 3 2 2 2 3 4 2 2 2> ? ? = - + + ? a y y i a a z a 2 16 2 2 4 | | 2 - ± - + = ? ≤ ? 变式训练3:若 (2) a i i b i -=+,其中i R b a, ,∈是虚数单位,则a+b= __________