5三角函数
5.三角函数
一、角的概念
1、角的概念:：角的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，始边绕原点旋转构成的图形，即构成角 （I ）从旋转方向可分为：
正角(绕原点逆时针旋转形成) ，负角(绕原点顺时针旋转形成) ，零角(不旋转) （II ）从终边的位置可分为：
① 象限角：终边在哪个象限，就叫第几象限角；比如30°，就是第一象限角；
第一象限：222
k k π
παπ<<+
，第二象限：222
k k π
παππ+
<<+；
第三象限：3222k k πππαπ+<<+
，第二象限：32222
k k ππαππ+<<+； ②轴上角：终边在坐标轴上，落在x 轴上的角可以表示为k απ=，落在y 轴上则为k 2
π
απ=+，
以上k Z ∈
(2)终边相同角：凡是与α终边相同的角，均可表示为)(3600
Z k k ∈+?=αβ 2.角的度量
①角度制，角度制单位为“度”，符号是“°”， ②弧度制，单位为“弧度”，符号是“rad ”（一般省略） (2)换算关系:180180()1()()5718rad rad ππ
'==≈o
o
o
特殊角的弧度与角度转化关系
练习1
1、判断下列说法是否正确：
A ． 第一象限的角必是锐角（ ）
B ．锐角必是第一象限的角（ ）
C ．终边相同的角必相等（ ）
D ．第二象限的角必大于第一象限的角（ ） E. 相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等（ ） 2、已知α为第三象限的角，则
2
α
所在的象限是( )
A 第一或第二象限
B 第二或第三象限
C 第一或第三象限
D 第二或第四象限 3、写出所有在[900,1200]-??内与30-?终边相同的角
二、任意角的三角函数
1、设(,)P x y 为角α终边上的一点，r 为其到原点的距离，即22||r OP x y ==
+
sin ,cos ,tan cot y x r r
y x
x y αααα=
===
正弦余弦正切，余切
2、符号分布
由于0r >，故sin α的符号只与y 有关，cos α的符号只与x 有关，正（余）切的符号取决于x ，y 是否同号，
分布图如下：
3、特殊角的三角函数表 0° 30°
45°
60°
90° 120°
150°
180° sin
12 22 32 1
32
12 0
cos 1
32
22
12 0
12- 32
- -1
tan 0
33 1
3
3-
33
-
cot 3
1
33
33
-
3-
练习2
1、 sin 0,cos 0αα>< ，a 是第 象限角，sin 0α<且tan 0α>，α是第 象限
2、 已知α终边上的一点P 坐标是（1，2），求α的4个三角函数值
3、若点P 在3
2π
的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ）
A ．)3,1(
B ．)1,3(-
C ．)3,1(--
D ．)3,1(-
5、若α是三角形的内角，且2
1
sin =
α，则α等于 6、满足2
3
sin =x 的x 的集合为_________________________________。 7、已知x a
a x ,43
2cos --=
是第二、三象限的角，则a 的取值范围___________。
三、同角三角函数的基本关系式：
①平方关系 1cos sin 22=+αα；
②商式关系 αα
α
tan cos sin =；
αααcot sin cos = ③倒数关系 1cot tan =αα；
④切弦关系 2
2
1
cos 1tan αα
=
+ 说明；
（1）知一求三，即已知正弦，余弦，正切，余切的任意1个，均可求出其他3个，若已知角的象限或大．．．．．．．．．小范围，则其他三个值是唯一确定的，若不知道角的范围，则应有分类写出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（2）理解公式中“同角”的含义，形式相同．．．．即为同角，比如22sin ()cos ()1αβαβ+++= （3）几个常用关系式
sin cos t αα+=，则22sin cos 1t αα=-，或sin cos t αα-=，22sin cos 1t αα=-
（4）切与弦之间的转化：sin cos 1tan sin cos 1tan ααα
λλααα
++=?=--
（5）当
4
2
π
π
θ<<
时，sin cos αα<；当
4
2
π
π
θ<<
时，sin cos αα>，
练习3
1、1sin 3
α=
，α是第三象限角，则ααtan ,cos 的值分别是
2、α是第四象限角，3
tan 4
α=-
，则cos α= ，sin α= 3、已知1sin cos 5αα+=，0θπ<<，则θtan 的值是 .
4、
sin 2cos 5,tan 3sin 5cos αα
ααα
-=-=+
5、1sin cos 8αα=，且42
ππ
θ<<，则cos sin αα-= 6、sin cos 1αα+=，则sin cos αα-=
7、342sin ,cos 55
m m m m αα--==
++，2πθπ<<，求m 的值
4、诱导公式
1、诱导公式是针对2
k π
α+的sin,cos,tan 取值公式，口诀：奇变偶不变，符号看象限。 使用方法：
将要求的角写成2
k π
α+这种形式，观察k 为奇数还是偶数，利用“奇变偶不变”
，当k 是奇数时，三角函数名称不变；当k 是偶数时，三角函数改变，sin 变cos ，tan 变1
tan
；然后不论α是什么角，都把α看
成锐角，再观察2
k π
α+在那一象限，利用“符号看象限”
，观察这一象限角对应的三角函数符号，确定我们的结果的符号。
例如：求sin(180)α+o
，先变成2sin(
)2
π
α+，则得到k=2，利用“奇变偶不变”
，那么三角函数不改变；再将α看成锐角，则180α?+是第三象限角，sin 为负数，故sin(180)sin αα?+=-
练习4
1、)180sin()cos()180sin(?---?+ααα= ，sin 210=o
，cos210°= ，
)tan()2cos()(sin 3πααπα--+-= ，tan210°= ，sin240°= ，
3
2sin
334sin 2)3sin(π
ππ++-= ，cos240°= ，tan240°= ， sin330°= ，cos330°= ，tan330°= ，
2、tan3000+sin4500
的值为
3、已知cos(
)2
π
?+=
，且||2
π
?<，则tan ?＝（ ） 4.设cos100k ?=，则tan80?等于（ ）
五、两角和差公式
1、基本公式
()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=± ()βαβαβαsin sin cos cos cos μ=±
()β
αβ
αβαtan tan 1tan tan tan μ±=
±
说明：
（1）公式不但要会正用，还要会逆用，重点看表达式的形式：比如sin15cos45cos15sin 45??+??=
οοοο25sin 20sin 65sin 70sin -=
（2）公式的变形要能识别： 如tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-
(3)辅助角公式：原本表达式中只有α，但加入辅助角（一般为特殊角）之后，形式上变为一个角的函数式，便于求值，周期等问题
1tan tan 41tan πααα-??-= ?+??，1tan tan 41tan πααα
+??+= ?-??，
sin cos 24πααα??±=± ???3cos 2sin 6πααα?
?±=± ??
?（也可化成两角和差的余弦）
（4）单角与复角要能灵活转化：
如()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-
练习5
1、化简x y x x y x cos )cos(sin )sin(+++等于( ) A ．)2cos(y x + B ．y cos C ．)2sin(y x + D ．y sin
2、（1）．若tan 3α=，4
tan 3
β=
，则tan()αβ-等于 （2）sin15cos75cos15sin105+o
o
o
o
等于 （3） 若1cos ,(0,)72παα=
∈,则cos()3
π
α+= ． 3、计算1tan151tan15
+-o o
= ，ο
οοο50tan 70tan 350tan 70tan -+= 4、若11
cos cos ,sin sin ,cos()23
αβαβαβ+=
+=-求的值。 5、对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（ ） A sin()sin sin αβαβ+>+ B sin()cos cos αβαβ+>+
C.cos()sin sin αβαβ+<+
D.cos()cos cos αβαβ+<+
6．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角βα,，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为5
52,102， （1）求)tan(βα+的值； （2）求βα2+的值。
六、倍角公式
（1）sin 22sin cos ααα=，变式：1
sin cos sin 22
ααα= （2）ααααα2222
sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ；
变式：2
1cos 2cos
2αα+=
，2
1cos 2sin 2αα-=． （3）α
α
α2
tan 1tan 22tan -= ； 说明：
（1）注意二倍角是个相对概念，比如4α也是2α的二倍角，故sin 42sin 2cos2ααα=，同理也应有
sin 2sin
cos
2
2
α
α
α=，sin 2()2sin()cos()αβαβαβ+=++等
（2）公式的记忆要双向进行，灵活运用，比如2
12sin 15-?= ．
练习6
1、θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边在 象限
2、（1）下列各式中，值为2
3
的是（ ） A ?-?15cos 15sin 2
B ?-?15sin 15cos 22
C 115sin 22-?
D ?+?15cos 15sin 22
（2）=+-)12
sin 12)(cos 12sin 12(cos π
πππ ；（3）=o
2o
tan22.51-tan 22.5 （4）ππππ
8sin
cos cos cos =48482412
；
（5）111tan151tan15-=-?+? 3、若3sin()25πθ+=，则cos 2θ=_________若1sin ,2x =2sin ()4x π-= 4、已知tan 2α=2，则tanα的值为 ，tan ()4
π
α+的值为 .
5、
22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα
?=+ ( ) A tan α B tan 2α C 1 D 12
6、已知等于则)2cos(),,0(,3
1
cos θππθθ+∈=
7、2
2 sin cos cos()sin (
)3
6
求证：
的值与无关。π
π
ααααα++--
七、正余弦函数函数的性质
1、正弦函数sin y x =、余弦函数cos y x =的性质
（1）值域
sin y x =，值域[]1,1-，当()22x k k Z π
π=+
∈，max 1y =；当()322
x k k Z π
π=+
∈时，min 1y =-；
cos y x =，值域[]1,1-，当()2x k k Z π=∈时，max 1y =，当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-； （2）周期性：sin y x =、cos y x =的最小正周期2T π=；2k π均为周期； （3）奇偶性与对称性：
奇偶性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数， 对称性：都是中心对称图形（也可说关于某点对称），其对称中心是图像与x 轴的交点， 同时也是轴对称图形，对称轴是经过图像的波峰或波谷且与x 轴垂直的直线。
sin ()y x x R =∈对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2
x k k Z π
π=+
∈；
cos ()y x x R =∈对称中心是(),02k k Z ππ?
?+∈ ??
?，对称轴是直线()x k k Z π=∈
（4）单调性：
()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ?
?++∈???
?单调递减；
cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。 2、正（余）弦型函数sin()(,0)y A x A ω?ω=+>，
可以类比于sin y x =，只需将sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，即可得到性质：
（1）值域[],A A -，令22k x ?πωπ=++，322
k x ω?π
π=++即可求出对应的x 值，例如；如
2sin(2)3
y x π
=+，当y 取得最大值时，x 的值是 .
（2）对称性与奇偶性
对称性：sin()(,0)y A x A ω?ω=+>对称中心，只需将x ω?+视为整体，使x k ω?π+=解出x
的值即可，对称轴的方法同理；
如2sin(2)3y x π
=+的对称中心是 ，对称轴方程是 .
奇偶性：当2
k π
?π=+
时是偶函数，当k ?π=时，是奇函数（考虑x=0时的值即可）
（3） 周期性 函数
sin()
y A x ω?=+，
cos()(,0)
y A x A ω?ω=+>，
tan()
y A x ω?=+的周期是
T πω
=
（4）单调性 单调增区间是222
2x k k π
π
ω?ππ+<-
<+
的解集，减区间类似可求
典型例题：已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ??????=-++++ ? ? ??????
?．求： （I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．
解：ππ()cos(2)sin(2)4
4
f x x x =+++
πππ
))2442
x x x =++=+=．
（I ）函数()f x 的最小正周期是2π
π2T ==；
（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即π
ππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x =是增函数，故
函数()f x 的单调递增区间是π
[ππ]2
k k -，（k ∈Z ）．
练习7
1、函数()sin 2cos 2f x x x =-的最小正周期是 ，最大值是 ，最小值是 ，对称中心是 .，对称轴方程是 .
2、已知函数sin()cos()44
y x x π
π
=--，最值是，周期是 ，奇偶性是 .
函数sin())33
y x x π
π
ππ=-
+-，最值是 ，对称中心是 ，单调递增区间是 . 3、函数f （x ）＝cos
52x ＋sin 5
2
x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 4、函数sin(2)3
y x π
=+图像的对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=-
B ．12
x π
=-
C ．6
x π
=
D ．12
x π
=
5、函数??
?
?
?+
-=3
24sin 2πx y 图象与x 轴的交点中, 离原点最近的一点的坐标是_______。 6、如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线8
x π
=-对称，则a = ；
7、函数x y 2cos =在下列哪个区间上是减函数（ ） A ．]4
,4[π
π-
B ．]43,
4[
π
π C ．]2
,
0[π
D ．],2
[
ππ
八、函数
sin()y A x ω?=+的图象
1、函数sin()(,0)y A x A ω?ω=+>中，A 叫振幅，周期2T π
ω
=
，φ叫初相，它的图象可以经过函数
sin y x =的图象经过平移，伸缩变形得到，具体方法是：
(1)纵向伸缩：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短．
(2)横向伸缩：是由ω的变化引起的．ω＞1，周期变小，故横坐标缩短；ω＜1,周期变大，故横坐标伸长． (3)横向平移：是由φ的变化引起的． ＞0,左移； ＜0，右移． （这与前面我们讲过的函数图象平移的“左+右-”的法则是一致的）
说明：上述3种变换的顺序可以是任意的，特别注意，在进行横向平移时考虑x 前的系数，比如cos 2y x =向右平移
3π个单位，应得到2cos 2()cos(2)33
y x x ππ
=-=-的图象 4
12
sin sin sin(2)4
4
y x y x y x π
π
π
=??????→=-
?????
→=-向右平移个单位
横坐标缩短
到原来的倍
（）
sin(2)3sin(2)44
y x y x ππ
=-??????→=-所有点的纵坐标
伸长到原来的3倍
练习8
1、x x y cos sin -=的图象可由x x y cos sin +=的图象向 平移 个单位而得到．
2、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?
?
=- ?3??
的图象（ ） A ．向右平移
π6个单位 B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π
6
个单位 3、将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移2
π
，得到x y sin 2=的图象，则已知函数)(x f y =的解析式为________________. 4、函数是x x y 2cos 2sin 2=(
)
A ．周期为
2π的奇函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为4π的奇函D ．周期为4
π的偶函数 5、已知函数)20,0,0( )sin(π?ω?ω<≤>>++=A b x A y 在同一周期内有最高点)1,12
(π
和最低点
)3,127(-π
，求此函数的解析式
正切函数的图象和性质
（1）正切函数x y tan =的图象： 定义域：()z k k x ∈+
≠2
π
π
周期：π=T （最小正周期）
奇偶性∵()x x tan tan -=-，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O 对称． 单调性:由正切曲线图像可知：正切函数在开区间（ππk +-
2
，
ππk +2
）
，Z ∈k 内都是增函数． 例1 求函数??
?
?
?
+
=4tan πx y 的定义域．
例2 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小： （1）ο
167tan 与ο
173tan ； （2）??? ??-
π411tan 与??
?
??-π513tan ．
例3 观察正切曲线写出满足下列条件的x 的值的范围：tan x ＞0
图2
九、三角形问题
下文中A,B,C 表示ABC ?的内角，0,,A B C π<<，a ，b ，c 表示其对边. （1）内角和定理：A B C π++= （2）正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === （R 是三角形外接圆半径） （3）余弦定理：bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,ab
c b a C 2cos 2
22-+=
（4）三角形面积公式 ： B ac C ab A bc S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===
? （5）大边对大角，大角对大边，即a b A B >?>
（6）诱导公式：sin sin()A A π=-,cos cos()A A π=-- （7）同角三角函数的关系式：2
2
sin cos 1A A +=
练习9
1、在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ ）
A ．
23
π B ．
56
π C ．
34
π D ．
3
π 2、B C A A C B ABC 则角已知中,sin sin 3sin sin sin ,2
22=
--?的大小为 （ ）
A ．150°
B ．30°
C ．120°
D ．60° 3、设A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角，则有
A.A B B A sin cos ,sin cos <<且
B.A B B A sin cos ,sin cos >>且
C.A B B A sin cos ,sin cos ><且
D.A B B A sin cos ,sin cos <>且
4、在ΔABC 中，1tan ,cos 2A B =，若ΔABC
A ．2
B
C ．32
D ．1
5、已知ABC ?是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+则（ ） A.P Q < B.P Q > C.P Q = D.P 与Q 的大小不能确定
6、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c =
==? 则A ＝ .
6
π
7、ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B =
==o ，则a = ．
8、若三角形的两内角α，β满足tan αtan β<1，则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定
三角函数的图像和性质(第一课时)
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？L L ． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，L 及2π-，4π-，L 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，L ，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
第五章三角函数5.2三角函数的概念(新教材教师用书)
第五章 三角函数 5.2 三角函数的概念 课时作业44 三角函数的概念 知识点一 三角函数的定义 1.已知角α的终边与单位圆交于点P ? ???? －32，－12，则cos α的值为( ) A ．－3 2 B ．－12 C ．32 D ．12 答案 A 解析 由三角函数的定义可知cos α＝－3 2. 2．若角α的终边上有一点P (－4a,3a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α的值是( ) A ．25 B ．25或－25 C ．－25 D ．与a 有关但不能确定 答案 B 解析 当a >0时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当a <0时，sin α＝－3 5，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.故2sin α＋cos α的值是25或－25. 3．已知角α的终边经过点P (5m,12)，且cos α＝－5 13，则m ＝________. 答案 －1 解析 cos α＝－5 13<0，则α的终边在第二或第三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由 5m 25m 2＋144 ＝－ 5 13，解得m ＝－1. 4．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝3 4y ，求cos α和tan α的值． 解 sin α＝ y 3＋y 2＝3 4 y . 当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.
当y ≠0时，由 y 3＋y 2＝34 y ，解得y ＝± 21 3. 当y ＝213时，P ? ???? －3， 213，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝－7 3. 当y ＝－213时，P ? ???? －3，－ 213，r ＝433， ∴cos α＝－34，tan α＝7 3. 知识点二 三角函数的符号 5.若sin θ
必修第五章三角函数测试题(含答案)
必修第五章三角函数测试题 一、选择题(每小题5分,共10小题50分) 1、在平面直角坐标系中,点 是角 终边上的一点,若 ,则 ( ) B. C. D. 2、若函数的图象向右平移 个单位长度后，与函 数的图象重合，则的最小值为( ) A. B. C. D.3、若,则使函数有意义的 的取值范围是( ) A. B. C. D. 4、已知,则 ( ) A. B. C. D. 5、如果函数的图象关于直线对称,那么该函数的 ( ) A. B. C. D. 6、若，则的取值范围是( ) A. B. C. D. 7、当时，函数 的最小值为 ( ) A. B. C. D. 8、设函数 满足，且当 时， ．又函数，则函数 在 上的零点个数为( ) A. B. C. D. 9、函数的部分图像如图 所示,已知,函数 的图像可由 图像向右 平移 个单位长度而 得到,则函数 的解析式为( )
10、设函数则下列结论错误的是( ) A.的一个周期为 B.的图像关于对称 C. 一个零点为 D. 在 减 二、填空题(每小题5分,共7小题35分) 11、已知：① ，② ，③ ，④ ，其中是第一象限角的 为__________(填序号)． 12、已知函数 的部分图像如图所示,若图中在点, 处 取得极大值,在点, 处 取得极小值,且四边形 的面积为 ,则 的值是__________. 13、关于函数 ，下列命题： ①若存在，有 时， 成立； ②在区间 上是单调递增； ③函数的图像关于点成中心对称图像； ④将函数 的图像向右平移 个单位后将与 的图像重合． 其中正确的命题序号__________（注：把你认为正确的序号都填上） 14、确定下列三角函数值的符号： __________; __________; __________ __________; __________; __________ 15、函数__________,最小值为__________. 16、已知角 终边上一点 的坐标为 ,则 是第__________象限角, __________.
新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 学案(知识点考点汇总及配套练习题)
第五章 三角函数 5.1 任意角和弧度制..................................................................................................... - 1 - 5.1.1 任意角 ......................................................................................................... - 1 - 5.1.2 弧度制 ....................................................................................................... - 10 - 5.2 三角函数的概念................................................................................................... - 18 - 5.2.1 三角函数的概念 ........................................................................................ - 18 - 5.2.2 同角三角函数的基本关系 ........................................................................ - 28 - 5.3 诱 导公式(1) ........................................................................................................ - 36 - 5.3 诱 导公式(2) ........................................................................................................ - 44 - 5.4 三角函数的图象与性质 ....................................................................................... - 51 - 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 .................................................................... - 51 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1) ............................................................... - 60 - 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2) ............................................................... - 67 - 5.4.3 正切函数的性质与图象 ............................................................................ - 76 - 5.5 三角恒等变换..................................................................................................... - 101 - 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................................. - 101 - 5.5.2 简单的三角恒等变换 .............................................................................. - 108 - 5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ) ......................................................................................... - 116 - 5.7 三角函数的应用................................................................................................. - 135 - 5.1 任意角和弧度制 5.1.1 任意角 内 容 标 准 学 科 素 养 1.结合具体实例，了解任意角的概念． 数学抽象 逻辑推理 2.能区分正角、负角和零角． 3.掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合表示这些角. 授课提示：对应学生用书第76页 [教材提炼] 知识点一 角的概念
1 5.2.1 三角函数的概念
5．2三角函数的概念5．2.1三角函数的概念 教材考点学习目标核心素养 三角函数的概念 理解三角函数的概念，会求给定角 的三角函数值 数学抽象、数学运算三角函数值的符号判 断 掌握各象限角的三角函数值的符号 规律 逻辑推理 诱导公式一及应用 掌握三角函数诱导公式一的简单应 用 逻辑推理、数学运算 问题导学 预习教材P177－P181，并思考以下问题： 1．任意角的三角函数的定义是什么？ 2．如何判断三角函数值在各象限内的符号？ 3．诱导公式一是什么？ 1．任意角的三角函数的定义 前提 如图，设α是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x，y) 定义 正弦 纵坐标y叫做α的正弦函 数， 记作sin α，即sin α＝y 余弦 横坐标x叫做α的余弦函 数， 记作cos α，即cos α＝ x
正切比值 y x叫做α的正切， 记作tan α，即tan α＝ y x (x≠0) 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数 (1)初中学习的锐角三角函数的定义是什么？ 提示：如图，在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则： sin B＝b c ＝ 对边 斜边 ， cos B＝a c ＝ 邻边 斜边 ， tan B＝b a ＝ 对边 邻边. (2)对于确定的角α，请问三角函数的结果会随点P在α终边上的位置的改变而改变吗？ 提示：根据相似三角形的知识，只要点P不与原点重合，三角函数值不会随P点在终边上的位置的改变而改变． 2．三角函数值的符号 如图所示：
2019-2020年数学必修第一册课件课后作业三角函数：第五章复习课5 三角函数(人教A版)
复习课(五) 三角函数 考点一 三角函数的概念 设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则x ＝cos α，y ＝sin α，y x ＝tan α.三角函数的概念是研究三角函数的基础． 【典例1】 已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2 ＝5|t |， 当t >0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34； 当t <0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝3 5， cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 综上可知，t >0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－3 4； t <0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－3 4. (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： ①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r .已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式
更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． [针对训练] 1．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－25 5，则y ＝_____. [解析] r ＝x 2 ＋y 2 ＝16＋y 2 ，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝ y 16＋y 2＝－25 5，所以θ为第四角限角，解得y ＝－8. [答案] －8 考点二 同角三角函数的基本关系式和诱导公式 由三角函数的概念不难得出同角三角函数的基本关系式、诱导公式，这是化简求值的基础． 【典例2】 已知f (α)＝ sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α) sin (－π＋α)·tan (－α＋3π). (1)化简f (α)； (2)若f (α)＝18，且π4<α<π 2，求cos α－sin α的值； (3)若α＝－47π 4，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α (－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α. (2)由f (α)＝sin α·cos α＝1 8可知， (cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34， 又∵π4<α<π 2，∴cos α 5.2 三角函数的概念 A 组-[应知应会] 1．（2020·周口市中英文学校高一期中）已知角α终边经过点122P ?? ? ??? ,则 cos α=（ ） A ． 1 2 B C D ．12 ± 【参考答案】B 【解析】由于1,r OP x === ,所以由三角函数的定义可得cos x r α==,应选参考答案B ． 2．（2019·渝中·重庆巴蜀中学高一期末）若cos 0θ<,cos sin θθ-=那么θ的（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 【参考答案】C 【解析】由题意得sin cos θθ==-, 即cos sin sin cos θθθθ-=-,所以sin θcos θ 0,即sin cos θθ≤,又cos 0θ<,所以sin 0,θ<θ位于第三象限,故选C. 3．若α为第二象限角,则下列各式恒小于零的是（ ） A ．sin cos αα+ B ．tan sin αα+ C ．cos tan αα- D ．sin tan αα- 【参考答案】B 【分析】画出第二象限角的三角函数线,利用三角函数线判断出sin tan 0αα+<,由此判断出正确选项. 【解析】如图,作出sin ,cos ,tan ααα的三角函数线,显然~OPM OTA ??,且MP AT <,∵0MP >,0AT <,∴MP AT <-．∴0MP AT +<,即sin tan 0αα+<.故选B. 4．若角α的终边经过点()() sin 780,cos 330P ?-?,则sin α=（ ） A B ． 12 C D ．1 【参考答案】C 【分析】利用诱导公式化简求得P 点的坐标,在根据三角函数的定义求得sin α的值. 第五章 三角函数 1、已知角a 是第四象限的角，则2 a 是（ ） A.第一象限的角 B.第三象限的角 C.第一、三象限的角 D.第二、四象限的角 2、下列各角中，与2016°终边相同的角是（ ） A. 210° B.150° C. 140° D.-144° 3、tan 6 17 π的值等于（ ） A. 33 B.-3 3 C.3 D.-3 4、已知弧长为6cm 的圆弧所对的圆心角的弧度数是1，则该圆的半径是（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 4 5、若m 21sinx =+有意义，则m 的范围是（ ） A. ［0，1］ B. ［-1，1］ C. ［0，2］ D. （0，1） 6、已知5 1 -cosx -sinx =，则sin2x 的值是（ ） A. 54 B. 5 4- C. 2524 D. 25 24- 7、若A 是△ABC 的一个内角，且2 1 cos =A ,则A=（ ） A. 6π B.6π或3π C.3π D.3 23π或π 8、下列结论能成立的是（ ） A. 第一象限角都是锐角 B.°140cos °140sin -12= B. C.若a tan =1，则4 a π= D. 2.5a cos a sin =+不可能成立 9、设a 为第二象限角，则 a cos -1a sin 1 2?的值是（ ） A. 1 B. -1 C.±1 D.以上都不是 10、若﹥0a -tan ）（π且﹥0a cos ，则a 是（ ） A. 第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 11、若5 1 a -cos =）（π，且﹥0a tan ，则π）（2-a sin 等于（ ） 正弦函数图象 梁翠琼 一、教学目标： 1．知识与技能的掌握 (1)学会用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象； (2)掌握五点法作正弦函数的简图； (3)掌握形如sin y k x b =+的函数图象简图的画法。 2．过程与方法的思考 (1)学会画图的一般步骤，培养动手能力； (2)会用“五点法”画正弦函数。 3．情感态度与价值观的培养 通过本节课的学习学会善于寻找,观察数学知识之间的内在联系.培养学生从特殊到一般与从一般到特殊的辩证思想方法。 二、重点和难点： 1．用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象以及利用五点法画正弦函数的简图为本节课的教学重点； 2．用五点法画形如sin y k x b =+的函数图象简图。 三、学习过程 1. 情境导入 问题一：如何画一般函数的图象？ 学生思考回答作图步骤：(Ⅰ)列表； (Ⅱ)描点 (Ⅲ)连线。 问题二：那我们能否通过描点法画正弦函数在[0,2]π内的图像, 教师与学生一起尝试描点法画图. 描点法在取函数值时，取得点越多，画出的函数图象就会越准确。 2．学导结合 (1)描点法画图： 列表------- 描点---- 连线 6 π 3 π2 π 3 2π6 5ππ 67π34π23π35π6 11ππ 20 2 12 30 1 2 1-2 3 - 2 12 30 2 1-23 -1-x y [] π2,0,sin ∈=x x y （2）如何作正弦函数y ＝Sinx, x ∈R 的图象呢？ 学生思考,老师点拨. 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 sin ,[2,2(1)),,0y x x k k k Z k ππ=∈+∈≠的图像,与函数 sin ,[0,2)y x x π=∈一致.于是我们 只要将sin ,[0,2)y x x π=∈的图像像左向右平行移动(每次2π个单位长度)就可以得到正弦函数y ＝Sinx ，x ∈R 的图象 （3）探究深化 ①“五点法”作简图： 教师提出问题：观察y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？ 引导学生得到五个关键点。 学生回答：关键五点：（0，0）、（2 π ，1）、（π，0）、 （32π ，-1）、（2π，0）。 教师总结：事实上，只要指出这五个点，y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。 注：五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标即相应函数值； 画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。 五点法画正弦交流电波 形图 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT “五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Ims in(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、u-ωt波形图？ （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： ？ 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为: ？ 新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11 [A 基础达标] 1．下列角的终边位于第二象限的是( ) A．420°B．860° C．1 060°D．1 260° 解析：选B.420°＝360°＋60°，终边位于第一象限； 860°＝2×360°＋140°，终边位于第二象限； 1 060°＝2×360°＋340°，终边位于第四象限； 1 260°＝3×360°＋180°，终边位于x轴非正半轴．故选B. 2．与1 303°终边相同的角是( ) A．763°B．493° C．－137°D．－47° 解析：选C.因为1 303°＝4×360°－137°， 所以与1 303°终边相同的角是－137°. 3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B＝( ) A．{－36°，54°} B．{－126°，144°} C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°} 解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°. 4．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是( ) 解析：选C.当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°，n∈Z；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，n∈Z.故选C. 5．若角α，β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上 C．x轴上D．y轴的非负半轴上 解析：选A.因为角α，β的终边相同，故α－β＝k·360°，k∈Z.所以α－β的终边落在x轴的非负半轴上． 5.三角函数 一、角的概念 1、角的概念:：角的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，始边绕原点旋转构成的图形，即构成角 （I ）从旋转方向可分为： 正角(绕原点逆时针旋转形成) ，负角(绕原点顺时针旋转形成) ，零角(不旋转) （II ）从终边的位置可分为： ① 象限角：终边在哪个象限，就叫第几象限角；比如30°，就是第一象限角； 第一象限：222 k k π παπ<<+ ，第二象限：222 k k π παππ+ <<+； 第三象限：3222k k πππαπ+<<+ ，第二象限：32222 k k ππαππ+<<+； ②轴上角：终边在坐标轴上，落在x 轴上的角可以表示为k απ=，落在y 轴上则为k 2 π απ=+， 以上k Z ∈ (2)终边相同角：凡是与α终边相同的角，均可表示为)(3600 Z k k ∈+?=αβ 2.角的度量 ①角度制，角度制单位为“度”，符号是“°”， ②弧度制，单位为“弧度”，符号是“rad ”（一般省略） (2)换算关系:180180()1()()5718rad rad ππ '==≈o o o 特殊角的弧度与角度转化关系 练习1 1、判断下列说法是否正确： A ． 第一象限的角必是锐角（ ） B ．锐角必是第一象限的角（ ） C ．终边相同的角必相等（ ） D ．第二象限的角必大于第一象限的角（ ） E. 相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等（ ） 2、已知α为第三象限的角，则 2 α 所在的象限是( ) A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C 第一或第三象限 D 第二或第四象限 3、写出所有在[900,1200]-??内与30-?终边相同的角 第五章 三角函数 5.1角的概念的推广 5.1.1任意角的概念 1、按逆时针方向旋转所形成的角叫做_______角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做_______角；当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做_______角。 2、把角的顶点放置在坐标原点,角的始边与x 轴的正半轴重合,角的终边在第几象限，就把这个角叫做_______角；终边在坐标轴上的角叫做_______角。 1、锐角一定是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角； 2、角的范围已从?0～?360推广到了任意大小的正角、负角和零角（包括大于360°的角和负角）； 1、下列说法中，正确的是（ ） A 、第一象限的角一定是锐角 B 、锐角一定是第一象限的角 C 、小于?90的角一定是锐角 D 、第一象限的角一定是正角 2、?-50角的终边在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、?-197角所在象限为___________；?615角所在象限为___________； 4、在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出他们是第几象限的角： （1）?60 （2）?-210 （3）?225 （4）?-300 5、分针每分钟转过_______度；时针一昼夜转过_______度； 6、775°是第_____象限角，—140°是第_____象限角； 7、若将分针拨慢十分钟，则分针所转过的角度是 （ ） A 、?-60 B 、?-30 C 、?60 D 、?30 8、已知角α是第三象限的角，则α-为（ ） A 、第一象限角 B 、第二象限角 C 、第三象限角 D 、第四象限角 9、指出下列各角是否为界限角？如果不是指出其所在的象限： （1）?408 （2）?1090 （3）?540 （4）?-630 （5）?-800 （6）52550'?- 10、举例说明第二象限的角是否一定大于第一象限的角。 5．2.1 三角函数的概念 1．能用三角函数的定义进行计算． 2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用． 3．会利用诱导公式一进行有关计算． 1．任意角的三角函数的定义 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无 关，而由角α的终边位置决定． (3)要明确sin x是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号 如图所示： 正弦：一二象限正，三四象限负； 余弦：一四象限正，二三象限负； 正切：一三象限正，二四象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数值相等． 1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？ [答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ 2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.( ) (2)若sinα＝sinβ，则α＝β.( ) (3)已知α是三角形的内角，则必有sinα>0.( ) (4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．( ) [答案](1)√(2)×(3)√(4)× 题型一任意角的三角函数的定义及其应用 【典例1】 (1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路导引] 利用三角函数的定义求解． [解析] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52 ＋(－12)2 ＝13， 则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－12 5 . (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝(－1)2 ＋(3)2 ＝2，所以sin α＝ 32，cos α＝－1 2 ，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12 ＋(－3)2 ＝2，所以sin α＝－32，cos α＝1 2 ，tan α＝－ 3. [答案] (1)－1213 513 －12 5 (2)见解析 求任意角的三角函数值的2种方法 方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值． 方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2 ＋y 2 ； 第三步，求值：由sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x (x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． [针对训练] 1．已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( ) A.1 2 B.32 C.22 D ．－ 22 [解析] ∵α的终边经过点P (1，－1)， 2020-2020学年高一数学必修一第一册提优卷 第5章 三角函数（一） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、在平面直角坐标系xOy 中，角与均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若= αsin 5 4 ，则=βsin ( A ． 5 3 B ． 5 4 C ．5 3- D ．- 5 4 2.（2020全国 Ⅱ卷）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos 20α> B ．cos 20α< C ．sin 20α> D ．sin 20α< 3..设α是第二象限角，P(x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝1 5x ，则tan α＝( ) A ．43 B ．34 C ．－34 D ．－43 4. 一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为（ ） A ． 2 π B ． 3 π C 2 D 35.若4sin cos 3θθ-= ，且3π,π4θ?? ∈ ??? ，则sin(π)cos(π)θθ---=（ ） A ．2 3- B ． 23 C ．43 - D ． 43 6.（2020全国III 卷）已知2tan tan()74 π θθ-+=，则tan θ=（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 7.若2cos 23 πα?? -= ???，则()cos 2πα-=（ ） A ． 2 9- B ． 2 9 C ． 5 9- D ． 59 8 （2020海南卷改编）右图是函数sin()y x ω?=+的部分图像，则sin()x ω?+=（ ） A ．sin()3 x π + B ．sin( 2)3x π - C ．)6 2cos(π - x D ．5cos(2)6 x π - 9. （2020全国卷I ）已知(0,)απ∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ） A 5 B ． 2 3 C ． 1 3 D 5 10. 设函数()sin()3)f x x x ω?ω?=+-+（0,2 π ω?><）的最小正周期为π，且()f x 为偶函数， 则（ ） A ．()f x 在(0,)2 π 单调递减 B ．()f x 在3( , )44ππ 单调递减 C ．()f x 在(0, )2 π 单调递增 D ．()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 11. 若0<α<π2，－π2<β<0，cos ????π4＋α＝13，cos ????π4－β2＝33，则cos ???? α＋β2＝( ) A ．33 B ．－3 3 C ．539 D ．－6 9 12. 设函数f (x )＝sin ?? ??2x ＋π4????x ∈????0，9π8，若方程f (x )＝a 恰好有三个根，分别为x 1，x 2，x 3(x 1 “五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t 值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Imsin(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、 u-ωt波形图 （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为: 章末质量检测(五) 三角函数 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知扇形的圆心角为2 rad ，弧长为4 cm ，则这个扇形的面积是( ) A ．4 cm 2 B ．2 cm 2 C ．4π cm 2 D ．1 cm 2 2．已知a ＝tan 5π12，b ＝cos 3π 5 ，c ＝cos ????－17π4，则( ) A ．b >a >c B ．a >b >c C ．b >c >a D ．a >c >b 3．要得到函数y ＝cos ? ???2x ＋π 3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( ) A ．向左平移π 3个单位长度 B ．向左平移π 6个单位长度 C ．向右平移π 6个单位长度 D ．向右平移π 3 个单位长度 4．已知sin ????π3－x ＝35，则cos ??? ?x ＋7π 6等于( ) A.35 B.45 C ．－35 D ．－45 5．函数f (x )＝x sin x 的图象大致是( ) 6．化简????1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( ) A ．sin α B ．cos α C ．1＋sin α D ．1＋cos α 7．如图所示，某摩天轮设施，其旋转半径为50米，最高点距离地面110米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周大约21分钟．某人在最低点的位置坐上摩天轮的座舱，并开始计时，则第7分钟时他距离地面的高度大约为( ) A ．75米 B ．85米 C ．(50＋253)米 D ．(60＋253)米 8．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0,2π]，则函数f (x )的所有零点之和等于( ) A ．4π B ．5π C ．6π D ．7π 二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分) 9．下列函数中，最小正周期为π，且为偶函数的有( ) A ．y ＝tan ????x ＋π3 B ．y ＝sin ? ???2x －π2 C ．y ＝sin|2x | D ．y ＝|sin x | 10．已知sin θ＝－2 3 ，且cos θ>0，则( ) A ．tan θ<0 B ．tan 2θ>4 9 C ．sin 2θ>cos 2θ D ．sin 2θ>0 11．已知函数f (x )＝2sin ? ???2x ＋π 4，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )在[0，π]上有三个零点 C ．当x ＝π 8 时，函数f (x )取得最大值 D ．为了得到函数f (x )的图象，只要把函数y ＝2sin ??? ?x ＋π 4图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变) 12．若函数f (x )＝1＋4sin x －t 在区间??? ?π 6，2π上有2个零点，则t 的可能取值为( ) A ．－2 B ．0 C ．3 D ．4 三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．tan 15°＝________. 14．如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ??? ?π 6x ＋φ＋k ，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________． 15．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，则A ＝5.2 三角函数的概念(解析版).docx
第五章 三角函数 练习题
五点法作图正弦函数
五点法画正弦交流电波形图
新教材高中数学第五章三角函数5.1.1任意角应用案巩固提升新人教A版必修第一册11
5三角函数
基础模块第五章三角函数练习册
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.2.1三角函数的概念学案新人教A版必修第一册
第5章 三角函数(一)
“五点法”画正弦交流电波形图
第五章 三角函数 单元测试
- 三角函数最全知识点总结
- 五点法画三角函数图像
- 最新三角函数(正弦,余弦)的图象与五点法
- 5.7 三角函数的应用
- 三角函数知识点汇总
- 三角函数知识点汇总
- 5.6三角函数的图像和性质
- (完整版)三角函数最全知识点总结
- 五点作图法求三角函数解析式教师版
- 【高教版】5.6《 三角函数的图像和性质》优秀教案
- 职高数学5.6三角函数的图像和性质
- 高中数学三角函数的图像性质以及五点描图法
- 三角函数的图像和性质1-五点法作图
- 三角函数(正弦,余弦)的图象与五点法
- 三角函数知识点归纳
- 三角函数知识点整理
- 三角函数的图像和性质12345
- 5.4 三角函数的图象与性质(精讲)(原卷版附答案).pdf
- 三角函数的图像和性质(第一课时)
- 确定三角函数解析式的五种策略