2020年中考数学复习： 圆中常见辅助线的作法 专题练习题

圆中常见辅助线的作法

1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( )

A.15°

B.18°

C.20°

D.28°

2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( )

A.60°

B.50°

C.40°

D.30°

3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )

A.10

B.8

C.5

D.3

4.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( )

A.2 5

B. 5

C.213

D.13

5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )

A．10 B．8 C．5 D．3

6. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( )

A.50°

B.45°

C.40°

D.30°

7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．45

8. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( )

A．3 B．4 C．3 2 D．42

9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 .

10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ .

11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .

12. 如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，AC 、CD 是⊙O 的两条弦，且CD ∥AB ，若⊙O 的半径为5

2

，CD ＝4，则弦AC 的长为 .

13. 如图，在⊙O 中，CD 是直径，弦AB ⊥CD,垂足是E,连接BC,若AB=c22cm, ∠BCD=22°30’，则⊙O 的半径为 cm.

14. 如图所示，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上四点，∠ABD ＝20°，BD 是直径，则∠ACB ＝____．

15. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB 与小圆相切，AB ＝8，则图中阴影部分的面积是____．(结果保留π)

16. 如图，是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C，测得CD＝10cm，AB＝60cm，则这个外圆半径为 cm.

17. 如图所示，在△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC的中点，∠ABC＝120°.

(1)求∠ACB的大小；

(2)求点A到直线BC的距离．

18. 如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点

F.已知∠AEF＝135°.

(1)求证：DF∥AB；

(2)若OC＝CE，BF＝22，求DE的长.

19. 已知：如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE.

(1)求证：AG与⊙O相切；

(2)若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长.

20. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点恰好为BC边的中点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E.

(1)求证：DE⊥AC；

(2)若AB＝3DE，求tan∠ACB的值．

21. 如图所示，已知MN 是⊙O 的直径，直线PQ 与⊙O 相切于P 点，NP 平分∠MNQ.

(1) 求证：NQ ⊥PQ

(2) 若⊙O 的半径R=3，NP=33，求NQ 的长.

22. 如图所示，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，O 为AB 的中点.

(1)求证：∠B ＝∠ACD ；

(2)已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB ·BE ； ①若tan ∠ACD ＝3

4

，BC ＝10，求CE 的长；

②试判定CD 与以A 为圆心、AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由.

23. 如图所示，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于点D、E，且点D为BC的中点.

(1)求证：△ABC为等边三角形；

(2)求DE的长；

(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED？若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由.

24. 如图，AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点D，过点B作BH⊥EF于点H，交⊙O 于点C，连接BD.

(1)求证：BD平分∠ABH；

(2)如果AB＝12，BC＝8，求圆心O到BC的距离.

25. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE.

(1)求证：CE是⊙O的切线；

(2)若AC＝4，BC＝2，求BD和CE的长.

参考答案:

1---8 BACAC CDC

9. 3 2

10. 50°

11. 40°

12. 45

13. 2

14. 70° 15. 16π 16. 50 17.

解：(1)连接BD ，∵以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∴∠BDC ＝90°.∵D 是AC 的中点，∴BD 是AC 的垂直平分线．∴AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C.∵∠ABC ＝120°，∴∠A ＝∠C ＝30°，即∠ACB ＝30°. (2)过点A 作AE ⊥BC 交CB 的延长线于点E ，∵BC ＝3，∠

ACB ＝30°，∠BDC ＝90°，∴BD ＝3

2

.在Rt △BCD 中，由勾股定理

可得CD ＝BC 2－BD 2＝33

2

.∵AD ＝CD ，∴AC ＝3 3.∵在Rt △

AEC 中，∠ACE ＝30°，∴AE ＝12AC ＝12×33＝33

2

，即点A 到直

线BC 的距离为33

2

.

18. 解：(1)如图，连接OF ，∵DF 切半圆O 于点F ，∴DF⊥OF.∵∠AEF＝135°，四边形ABFE 为圆内接四边形，∴∠B＝45°.∴∠FOA＝90°，∴AB⊥OF，∴DF∥AB；

(2)如图，连接OE ，∵BF＝22，∠FOB＝90°.在Rt△BOF 中，由勾股定理，得OB 2＋OF 2＝BF 2,2OB 2＝(22)2，解得OB ＝2.∴OB＝OF ＝OE ＝2.∵OC＝CE ，CE⊥AB，在Rt △OCE 中，由勾股定理，得CE 2＋OC 2＝OE 2,2CE 2＝22，∴CE ＝ 2.∵DC ∥OF ，DF ∥AB ，∴DC ＝OF ＝2.∴DE ＝DC －CE ＝2－ 2.

19. (1) 证明：如图，连接OA.∵OA＝OB ，∴∠B＝∠BAO.又∵EF⊥BC，∴∠BFE ＝90°，∴∠B＋∠BEF＝90°.∵GA＝GE ，∴∠GAE＝∠GEA.∵∠GEA＝∠BEF，∴∠GAE＝∠BEF，∴∠BAO＋∠GAE＝∠B＋∠BEF＝90°，∴GA⊥AO.又∵OA 为⊙O 的半径，∴AG 与⊙O 相切；

(2) 解：如图，过点O 作OH⊥AB，垂足为H.由垂径定理，

得BH ＝AH ＝12AB ＝1

2×8＝4.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC＝90°.又∵AB＝8，

AC ＝6，∴BC＝82＋62＝10，∴OB＝5，OH ＝3.又∵BH＝4，BE ＝3，∴EH＝1， ∴OE＝32＋12＝10.

20.

解(1)：如图，连接OD ，∵DE 为过点D 的⊙O 的切线，∴OD ⊥DE 于点D ，∠ODE ＝90°.又∵O 为AB 中点，D 为BC 中点，∴DO

为△ABC 中位线且OD 綊1

2AC.∴∠DEA ＋∠ODE ＝180°，∴∠

DEA ＝90°，∴DE ⊥AC. (2)连接AD ，则∠ADB ＝90°＝∠ADC.又∵BD ＝CD ，AD ＝AD ，∴△ADB ≌△ADC ，∴AB ＝AC.在Rt △ADC 中，∠ADE ＋∠EDC ＝90°，在Rt △DEC 中，∠EDC ＋∠C ＝90° ，∴∠C ＝∠EDA ，又∠AED ＝∠DEC ＝90°，∴△ADE ∽△

DCE.∴AE DE ＝DE

EC

，∴ED 2＝AE·EC ＝EC·(AC －EC )＝EC·(AB －

EC )．又AB ＝3DE ，∴DE 2－3DE·EC ＋EC 2＝0，解得DE ＝3±5

2

EC ，

∴tan ∠ACB ＝DE EC ＝3±5

2

21.

解：(1)证明：连接OP.∵直线PQ 与⊙O 相切于P 点，MN 是⊙O 的直径，∴OP ⊥PQ.又∵NP 平分∠MNQ ，∴∠MNP ＝∠QNP.又∠OPN ＝∠MNP ＝∠QNP ，∴OP ∥NQ ，∴NQ ⊥PQ. (2)连接MP ，在Rt △MNP 中，∵MN ＝2R ＝6，NP ＝33，∴MP ＝MN 2－PN 2

＝3，则∠MNP ＝30°，∴∠QNP ＝30°，∴PQ ＝33

2

，故NQ ＝

PN 2－PQ 2＝9

2

22. 解：(1)∵∠ACB＝∠DCO＝90°，∴∠ACB－∠ACO＝∠DCO－∠ACO，即∠ACD ＝∠OCB，又∵点O 是AB 的中点，∴OC＝OB ，∴∠OCB＝∠B，∴∠ACD＝∠B；

(2)①∵BC 2

＝AB·BE，∴BC AB ＝BE

BC

，∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBE，

∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ACD＝∠B，∴tan∠ACD＝tan ∠B ＝3

4，设BE ＝4x ，

CE ＝3x ，由勾股定理可知：BE 2＋CE 2＝BC 2，∴(4x)2＋(3x)2＝100，∴解得x ＝25，∴CE ＝65；②过点A 作AF ⊥CD 于点F ，∵∠CEB ＝90°，∴∠B ＋∠ECB ＝90°，∵∠ACE ＋∠ECB ＝90°，∴∠B ＝∠ACE ，∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠ACE ， ∴CA 平分∠DCE ，∵AF ⊥CD ，AE ⊥CE ，∴AF ＝AE ，∴直线CD 与⊙A 相切. 23. 解：(1)证明：连接AD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°.

∵点D 是BC 的中点，∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AB＝AC.∵AB＝BC ， ∴AB＝BC ＝AC.∴△ABC 为等边三角形；

(2)连接BE.∵AB 是直径，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC.∵△ABC 是等边三角形，∴AE＝EC ，即E 为AC 的中点.∵D 是BC 的中点，故DE 为△ABC 的中位线， ∴DE＝12AB ＝1

2

×2＝1；

(3)存在点P 使△PBD≌△AED.由(1)(2)知，BD ＝ED ，∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED ＝120°.∵∠ABC ＝60°，∴∠PBD ＝120°，∴∠PBD ＝∠AED.要使△PBD≌△AED，只需PB ＝AE ＝1.

24. 解：(1)证明：连接OD.∵EF 是⊙O 的切线，∴OD⊥EF.又∵BH⊥EF，∴OD∥BH.∴∠ODB＝∠DBH.而OD ＝OB ，∴∠ODB＝∠OBD.∴∠OBD＝∠DBH， ∴BD 平分∠ABH；

(2)过点O 作OG⊥BC 于点G ，则BG ＝CG ＝4.在Rt △OBG 中， OG ＝OB 2－BG 2＝62－42＝2 5.所以圆心O 到BC 的距离为2 5. 25. 解：(1)连接OC ，如图所示：∵BD 是⊙O 的切线，∴∠CBE＝∠A， ∠ABD＝90°，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，∠BCD＝90°，∵E 是BD 中点，∴CE＝1

2BD ＝BE ，∴∠BCE＝∠CBE＝∠A，

∵OA＝OC ，∴∠ACO＝∠A，∴∠ACO＝∠BCE，∴∠BCE＋∠BCO＝90°， 即∠OCE＝90°，CE⊥OC，∴CE 是⊙O 的切线；

(2)∵∠ACB＝90°，∴AB＝AC 2

＋BC 2

＝42

＋22

＝25，∵tanA＝BD AB ＝BC AC ＝24＝1

2

，

∴BD ＝12AB ＝5，∴CE ＝12BD ＝52

.

2020年中考高频考点——圆中常用的辅助线作法

中考高频考点————圆中常用的辅助线作法 圆是中考的必考点，也是重难点，圆的题型难点很大一部分来源于圆中很多的隐藏条件，需要添加辅助线才能很好的理解，圆中常见的辅助线作法有如下几种：(1)遇弦作弦心距或半径；(2)遇直径作直径所对的圆周角；(3)已知切线，连半径，得垂直；(4)直线与圆交点明确，证切线时，连半径，证垂直；(5)直线与圆交点不明确，证切线时，作垂直，证半径． 一．知识梳理 圆的主要知识点： 1.垂径定理：垂直于弦的直径____________,并且平分弦所对的__________. 推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，并且_______弦所对的两条弧 圆的两条平行弦所夹的弧。 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的__________. 推论：1.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角__________________. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是_____,90°的圆周角所对的弦是______. 3、圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦，所对的弧相等，弦心距 4.切线的性质与判定、 性质：圆的切线_________于过切点的半径或直径. 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 判定：1.已知半径，证垂直；2.作垂直，证半径. 二．常见辅助线做法 ?作法一作半径或直径

①作半径(或直径)：构造等腰三角形或直角三角形 1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C ＝30°，⊙O 的半径为5，若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则P A 的长为( ) A ．5 B.5 3 2 C ．5 2 D ．5 3 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝63，则BC ︵ 的长为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π 3．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A ＝60°，BC ＝2 3，则⊙O 的面积为( ) A ．2π B ．4π C ．8π D ．12π 4．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________． 5．如图，⊙O 的半径为6，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝45°，则弦AB 的长是________．

初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。

作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，切），或相离（含、外离），那么，辅助线往往是连心线或外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常见辅助线的作法 典型例题： 例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上 任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________ 例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。 求证：直线L 与⊙O 相切。 例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ， 交AB?的延长线于D ，求证：AC=CD ． 例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________．

B A C B 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形 3． 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 4． 遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 作用：利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线 段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线 在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。 1.有弦，可作弦心距 在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。 例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。 分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。 证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F AC=BD => = => = => AB=CD => OE=OF ∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF 0OP=OP =>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证 AB ( BD ， ( CD ( D C B P O A E F P B 图 1 AC ( AC ( BD ( AB ( CD (

∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线 即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。 证法2：连结OA ，OD 。 ∠CAP=∠BDP ∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD =>AP=DP OA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP 2.有直径，可作直径上的圆周角 对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。 例2 如图2，在△ABC 中，AB=AC ， 以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过D 作⊙O 的切线DM 交AC 于M 。求证 DM ⊥AC 。 分析：由AB 是直径，很自然想到其所 B D C M A O . A 2 1 图 2 D C B P O A P B 图1-1

圆中常用辅助线的作法

圆中常用辅助线的作法 1．圆中作辅助线的常用方法： （1）作弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理。 （2）若题目中有“弦的中点”和“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。 （3）若题目中有“直径”这一条件，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到90度的角或直角三角形。 （4）连结同弧或等弧的圆周角、圆心角，以得到等角。 （5）若题中有与半径（或直径）垂直的线段，如图1，圆O中，BD⊥OA于D，经常是：①如图1（上）延长BD交圆于C，利用垂径定理。 ②如图1（下）延长AO交圆于E，连结BE，BA，得Rt△ABE。 图1（上）图1（下） （6）若题目中有“切线”条件时，一般是：对切线引过切点的半径， （7）若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以沟通两圆中有关的角的相等关系。 （8）若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。 （9）有些问题可以先证明四点共圆，借助于辅助圆中角之间的等量关系去证明。（10）对于圆的内接正多边形的问题，往往添作边心距，抓住一个直角三角形去解决。 例题1：如图2，在圆O中，B为的中点，BD为AB的延长线，∠OAB=500，求∠CBD的度数。 解：如图，连结OB、OC的圆O的半径，已知∠OAB=500 ∵B是弧AC的中点 ∴弧AB=弧BC ∴AB==BC 又∵OA=OB=OC ∴△AOB≌△BOC（S.S.S）图2 ∴∠OBC=∠ABO=500 ∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800

2020年中考数学复习： 圆中常见辅助线的作法 专题练习题

圆中常见辅助线的作法 1.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为( ) A.15° B.18° C.20° D.28° 2.如图所示，AB是⊙O的弦，OH⊥AB于点H，点P是优弧上一点，若AB＝23，OH＝1，则∠APB的度数是( ) A.60° B.50° C.40° D.30° 3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( ) A.10 B.8 C.5 D.3 4.如图所示，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长是( ) A.2 5 B. 5 C.213 D.13 5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为( )

A．10 B．8 C．5 D．3 6. 如图所示，已知：AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D 为( ) A.50° B.45° C.40° D.30° 7.如图，半圆O的直径AB＝10，弦AC＝6，AD平分∠BAC，则AD的长为( ) A．8 B．5 5 C．5 D．45 8. 如图所示，在半径为5的⊙O中，AB,CD是互相垂直的两条弦，垂足为P,且AB=CD=8，则OP的长为( ) A．3 B．4 C．3 2 D．42 9.如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M、N分别是AB、BC的中点，则MN长的最大值是 . 10.如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O 的切线，切点为F.若∠ACF＝65°，则∠E＝ . 11. 已知：AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝50°，则∠D＝ .

圆中常见辅助线的作法

C 圆中常见辅助线的作法 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 2 ，遇到有直径时 3．4．常常添加过切点的半径（连结圆心和切点 5． 遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 （2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径）， 再 证其与直线垂直。 6． 遇到两相交切线时（切线长） 常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。 7． 遇到三角形的内切圆时 连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。 8． 遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点 C B P

，E，F，求Rt△ABC的内心I ，若CF垂直于AD，AB=2，求CD 上一个动点，

8、已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切. 9、如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？ 10、如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积. 11、如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E,BF⊥CD，垂足为 F.求证：DE=CF.

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 作法图形

平移腰，转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 平移对角线。转化为三角形、平行四边形。 A B C D E 延长两腰，转化为三角形。 A B C D E 作高，转化为直角三角形和矩形。 A B C D E F 中位线与腰中点连线。 A B C D E F

圆中常见的辅助线的作法分类大全

O C B A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM ?PN=2PO 2 . 分析：要证明PM ?PN=2PO 2 ，即证明PM ?PC =PO 2 ， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2 ，要证明PM ?PC=PO 2 只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1PN ，∴PM ?PN=2PO 2 . 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，

《圆中常见的辅助线的作法》教案

O C B A O C B A O C B A 圆中常见的辅助线的作法 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的 端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求 有关量。 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，那 么OP 的长的取值范围是_________． 2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 【例4】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是 4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一 点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________. 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． （2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利 用弦切角定理。

几种常用辅助线做法

常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全 等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利 用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是 三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中 的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将 某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线法 有以线段中点为端点的线段、有三角形中线时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。 例1. 在△ABC中，已知AD为△ABC的中线，求证：AB+AC>2AD 例2. CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD。

E D F C B A 例3. 已知：如图，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE 于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC． 例4.如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 二、截长补短法例1、如图，已知在ΔABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC，求证：AC=AB+BD 练习、如图，在ABC ?中，60 BAC ∠=?，AD是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+，求ABC ∠的度数. D C B A

圆中常见的辅助线的作法分类大全

C B B A 1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 2． 遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 【例3】如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2, ∠B= 3． 遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 【例4】如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°， AB=6，AC=8，⊙O 的半径是

4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 【例5】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上， 则∠C的度数是________. 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。 【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB?的延长线于D，求证：AC=CD． （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 6．遇到证明某一直线是圆的切线时 （1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。 【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。 求证：直线L与⊙O相切。

九年级数学全册解题技巧专题圆中辅助线的作法练习

九年级数学全册解题技巧专题圆中辅助线的作法练习 ——形成思维定式，快速解题 ◆类型一遇弦加弦心距或半径 1．如图，已知⊙O的半径为10，弦AB ＝12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（） A．5 B．7 C．9 D．11 第1题图第2题图 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（） A ．4 3 B ．6 3 C．2 3 D．8 3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC.若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为________cm. 第3题图第4题图 4．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”(单位：cm)，那么该光盘的直径是________cm. ◆类型二遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2016·玉林中考)如图，CD是⊙O 的直径，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（） A．30° B．45° C．60° D．70° 第5题图第6题图 6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B ＝60°，AC＝8，则⊙O的直径AD的长度为（） A．16 B．4 C. 83 3 D. 163 3 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC 为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E. (1)求证：BE＝CE； (2)若∠B＝70°，求DE ︵ 的度数； (3)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．

◆类型三遇切线连接圆心和切点 8．如图，已知△ABC，AB＝BC，以AB 为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E.若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是（） A．3 B． 4 C. 25 6 D. 25 8 第8题图第9题图 9．如图，AB切⊙O于点B，OA＝23， ∠BAO＝60°，弦BC∥OA，则BC ︵ 的长为 _________(结果保留π)． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD ＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G 三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切 点为N，则DM的长为_______． 答案：

最新圆中常见的辅助线的作法分类大全

1． 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：1、利用垂径定理； 2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； 3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形； 5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ， 求证：PM ?PN=2PO 2. 分析：要证明PM ?PN=2PO 2，即证明PM ?PC =PO 2， 过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明 PM ?PC=PO 2，要证明PM ?PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC= 2 1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= PM ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1 PN ，∴PM ?PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。 【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点， 那么OP 的长的取值范围是_________． 【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上， 则∠C 的度数是________.

圆中常见的辅助线

圆中常见辅助线的做法 一．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 1.常常添加弦心距，或作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、 证明:过O作OE⊥AB于E ∵O为圆心，OE⊥AB ∴AE = BE CE = DE ∴AC = BD 练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证： AC BD 证明：（一）连结OC、OD

∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴OM = 12AO 、ON = 12 BO ∵OA = OB ∴OM = ON ∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴AC BD = （二）连结AC 、OC 、OD 、BD ∵M 、N 分别是AO 、BO 的中点 ∴AC = OC BD = OD ∵OC = OD ∴AC = BD ∴AC BD = 3.有弦中点时常连弦心距 例：如图，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB = CD ，求证：∠AMN = ∠CNM 证明：连结OM 、ON ∵O 为圆心，M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点 ∴OM ⊥AB ON ⊥CD ∵AB = CD ∴OM = ON ∴∠OMN = ∠ONM ∵∠AMN = 90o －∠OMN ∠CNM = 90o －∠ONM ∴∠AMN =∠CNM

圆中常见辅助线的添加方法

圆中常用辅助线的添加方法 圆中辅助线的添加口诀： 半径与弦长计算，弦心距来中间站.圆上若有一切线，切点圆心半径连. 切线长度的计算，勾股定理最方便.要想证明是切线，半径垂线仔细辨. 是直径，成半圆，想成直角径连弦.弧有中点圆心连，垂径定理要记全. 圆周角边两条弦，直径和弦端点连.弦切角边切线弦，同弧对角等找完. 要想作个外接圆，各边作出中垂线.还要作个内接圆，内角平分线梦圆. 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦.内外相切的两圆，经过切点公切线. 若是添上连心线，切点肯定在上面.要作等角添个圆，证明题目少困难. 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径. 作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量. 例1 如图1，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点.求证：AC BD =. 证明 过O 作OE AB ⊥于E ∵ O 为圆心，OE AB ⊥ ∴ ,AE BE CE DE == ∴ AC BD = 练习 如图2，AB 为⊙O 的弦， P 是AB 上的一点，10AB cm =，4AP cm =.求⊙O 的半径. 2.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角. 例2 如图，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM AB ⊥,DN AB ⊥. 求证： ? ?AC BD = 证明：（一）连结OC 、OD ∵ M 、N 分别是AO 、BO 的中点, ∴ 12OM AO = 、1 2 ON BO =. ∵ OA OB =, ∴ OM ON =. ∵ CM AB ⊥,DN AB ⊥、OC OD =, ∴Rt △COM ≌Rt △DON . ∴COA DOB ∠=∠. ∴ ? ?AC BD =. 3.有弦中点时常连弦心距 例3 如图4，已知M 、N 分别是⊙O 的弦AB 、CD 的中点,AB CD =，求证：AMN CNM ∠=∠. 证明 连结OM 、ON .(其余证明过程略，请自己补充完整) 4.有弧中点（或证明是弧中点）时，常有以下几种引辅助线的方法： ⑴连结过弧中点的半径；⑵连结等弧所对的弦；⑶连结等弧所对的圆心角 例4 如图5，已知D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 的中点，C 为弧AB 的中点，求证：CD CE =. 证明 连结OC ∵ C 为弧AB 的中点 ∴ ? ?AB BC = ∴∠AOC =∠BOC ∵ D 、E 分别为OA 、OB 的中点，且AO = BO, ∴ 11 22 OD OE AO BO == =. ∴ △ODC ≌△OEC. ∴CD = CE. 5.有直径．．时常作直径所对的圆周角．．．．．．．． ，再利用直径所对的圆周角为直角证题. 例5 如图6，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC PC =,PB 的延长线 交⊙O 于D ，求证：AC DC =. 证明 连结AD. ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ADP = 90o . ∵AC = PC, ∴AC = CD = 1 2 AP . 例6 如图7，P 是⊙O 的弦CB 延长 线上一点，点A 在⊙O 上，且∠=∠BAP C . 求证：P A 是⊙O 的切线. 证明 作⊙O 的直径AD ，连BD ，则 ∠=∠∠=?C D ABD ,90，即∠+∠=?D BAD 90.所以∠+∠=?C BAD 90. 因为∠=∠C PAB ，所以∠+∠=?BAD PAB 90，即AP AD ⊥. 所以P A 为⊙O 的切线. 6.有等弧时常作辅助线有以下几种： ⑴作等弧所对的弦；⑵作等弧所对的圆心角；⑶作等弧所对的圆周角. 练习：1.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，交点为E ，F 为DC 延长线上一点，连结AF 交⊙O 于M .求证：∠AMD =∠FMC (提示：连结BM ) 2.如图，△ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且BD = CE ，∠1 =∠2，求证：AB = AC. 2题图 G O F E D C B A 211题图 F M O E D C B A E D C O A B 图1 O B A P 图2 B O A C M D N 图3 （二）连结AC 、OC 、OD 、BD （如图3）. 请自己完成证明过程. N M O A B D 图4 E D O A B C 图5 B O A C P 图6 图7

圆中常见的辅助线的作法分类大全

O C B A 1. 遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：１、利用垂径定理; ２、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系; ３、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。 4、可得等腰三角形; ５、据圆周角的性质可得相等的圆周角。 例:如图,ＡＢ是⊙O 的直径,ＰO ⊥AB 交⊙Ｏ于P 点，弦ＰN 与ＡB 相交于点M, 求证：ＰM ?PN ＝2PO ２ . 分析:要证明ＰＭ?PN=２PO ２，即证明ＰM ?PC ＝ＰO ２ ， 过O 点作ＯC ⊥P Ｎ于Ｃ,根据垂经定理 ＮC=P Ｃ，只需证明 ＰＭ?PC=PO 2,要证明ＰM ?P Ｃ＝P Ｏ2只需证明Rt △P ＯC ∽R ｔ△PM Ｏ. 证明: 过圆心O 作OC ⊥ＰN 于C ，∴P Ｃ= 2 1P Ｎ ∵PO ⊥A Ｂ, OC ⊥PN ，∴∠ＭOP=∠OC Ｐ=90°． 又∵∠ＯP Ｃ=∠MPO,∴Ｒt △POC ∽Rt △PM Ｏ. ∴ PO PC PM PO 即∴PO 2= P Ｍ?PC. ∴PO 2= PM ?2 1 ＰＮ，∴ＰM ?PN ＝２PO 2. 【例1】如图,已知△ＡＢC 内接于⊙O,∠A ＝４5°，BC ＝２，求⊙O 的面积。 【例２】如图，⊙O 的直径为1０,弦AB ＝8,P 是弦AB 上一个动点, 那么OP 的长的取值范围是_＿___＿__＿． 【例3】如图，弦ＡB 的长等于⊙Ｏ的半径,点Ｃ在弧ＡM Ｂ上, 则∠Ｃ的度数是_＿______.