用梯形法近似计算定积分的数学说明
用梯形法近似计算定积分的数学说明
根据定积分的几何意义就是曲线，直线
，及轴所围的面积，因此可以用下述梯形法近似计算定积分。
梯形法就是把曲边梯形分成若干窄小曲边梯形，然后用相应的窄小梯形来近似代替窄小曲边梯形，以窄小梯形的面积之和作为曲边梯形的近似值。具体做法
如下：用分点将区间 [，] 分成个等长的小区间，每个
小区间的长度记为，设函数y =f (x)对应于各分点的函数值为y0, y
, y2 ,…y n，则每一个窄小梯形的面积为
1
＝
＝ (i=1,2,…n)
从而有
＝ (1)
(1)式称为梯形法公式。
设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序
河北工业大学计算机软件技术基础（VC）课程设计报告 学院信息工程学院院班级通信101 姓名崔羽飞学号 102117 成绩 __ ____ 一、题目： 设计采用梯形法和辛普生法求定积分的程序 二、设计思路 1、总体设计 1）分析程序的功能 本题目的功能是对梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值，进行精度比较。 2）系统总体结构： 设计程序的组成模块，简述各模块功能。 该程序共分为以下几个模块 模块一：各函数原型的声明。 模块二：主函数。 模块三：各函数的定义。 包括两个数学函数y1=1+x*x、y2=1+x+x*x+x*x*x的定义和两个函数指针double integralt(double ,double ,int ,double(*f)(double)) double integrals(double ,double ,int ,double(*f)(double)) 的定义。 2、各功能模块的设计：说明各功能模块的实现方法 模块一：对各种函数进行声明。 模块二：求梯形法和辛普森法，在不同区间数下计算所得的定积分的值。 模块三：将各函数写出来。 3、设计中的主要困难及解决方案 在这部分论述设计中遇到的主要困难及解决方案。 1）困难1：函数指针的应用。解决方案：仔细阅读课本，以及与同学之间的讨论，和向老师求助。 2）困难2：将程序分成不同的.cpp文件。解决方案：与同学讨论。 4、你所设计的程序最终完成的功能 1）说明你编制的程序能完成的功能 在数学上求一个函数与x轴在一定范围内所围的面积即求定积分，对梯形法和辛普森法求定积分的比较。 2）准备的测试数据及运行结果
MATLAB实验三-定积分的近似计算
实验三定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用． 二、相关函数（命令）及简介 1．sum(a)：求数组a的和． 2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字． （注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值． 4．quad()：抛物线法求数值积分． 格式： quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即 .*、./、.^等．例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5．trapz()：梯形法求数值积分． 格式：trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun） 例：计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分． 格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递． 例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法． Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi)例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m：
第一题.矩阵法,梯形法积分
梯形法数值积分 A ．算法说明： 梯形法数值积分采用的梯形公式是最简单的数值积分公式，函数()f x 在区间[a,b]上计算梯形法数值积分表达式为： ()[()()]2b a b a f x dx f a f b -≈+? 由于用梯形公式来求积分十分粗糙，误差也比较大，后来改进后提出了复合梯形公式：b a h n -=,其中，n 为积分区间划分的个数；h 为积分步长。 在MATLAB 中编程实现的复合梯形公式的函数为：Combine Traprl. 功能：复合梯形公式求函数的数值积分。 调用格式：[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps). 其中，f 为函数名； a 为积分下限； b 为积分上限； eps 为积分精度； I 为积分值； Step 为积分划分的区间个数 B ．流程图
C．复合梯形公式的原程序代码： function[I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) % 复合梯形公式求函数f在区间[a,b]上的定积分 %函数名：f %积分下限：a %积分上限：b %积分精度：eps %积分值：I %积分划分的子区间个数：step if(nargin==3) eps=1.0e-4; %默认精度为0.0001 end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1 h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 %第年n次的复合梯形公式积分 x=a+h*i; %i=0 和n-1时，分别代表积分区间的左右端点 x1=x+h I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; D．应用举例 复合梯形法求数值积分应用举例，利用复合梯形法计算定积分 dx x ? - 4 221 1 流程图
实验二 定积分的近似计算
实验二定积分的近似计算 一、问题背景与实验目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法．对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用． 二、相关函数（命令）及简介 1．sum(a)：求数组a的和． 2．format long：长格式，即屏幕显示15位有效数字． （注：由于本实验要比较近似解法和精确求解间的误差，需要更高的精度）．3．double()：若输入的是字符则转化为相应的ASCII码；若输入的是整型数值则转化为相应的实型数值． 4．quad()：抛物线法求数值积分． 格式：quad(fun,a,b) ，注意此处的fun是函数，并且为数值形式的，所以使用*、/、^等运算时要在其前加上小数点，即.*、./、.^等． 例：Q = quad('1./(x.^3-2*x-5)',0,2); 5．trapz()：梯形法求数值积分． 格式：trapz(x,y) 其中x为带有步长的积分区间；y为数值形式的运算（相当于上面介绍的函数fun） 例：计算 0sin()d x x π ? x=0:pi/100:pi;y=sin(x); trapz(x,y) 6．dblquad()：抛物线法求二重数值积分． 格式：dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，fun可以用inline定义，也可以通过某个函数文件的句柄传递． 例1：Q1 = dblquad(inline('y*sin(x)'), pi, 2*pi, 0, pi) 顺便计算下面的Q2，通过计算，比较Q1 与Q2结果（或加上手工验算），找出积分变量x、y的上下限的函数代入方法． Q2 = dblquad(inline('y*sin(x)'), 0, pi, pi, 2*pi) 例2：Q3 = dblquad(@integrnd, pi, 2*pi, 0, pi) 这时必须存在一个函数文件integrnd.m：
矩形、梯形法计算定积分的黎曼和
钦州学院数学与计算机科学学院 数 学 实 验 报 告 实验完成日期 2010 年 11 月 5 日 ， 第 10 周 ， 星期五 成绩等级（五级分制） 评阅教师 评阅日期 年 月 日 数学实验报告填写要求：思路清晰，中间结果和最终结果真实；字迹工整，报告完整。 [实验题目及内容] 实验题目：（1）通过矩形法、梯形法分别计算定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和； （2）通过10=n ，50=n ，200=n 时黎曼和的值分析两种方法逼近定积分的 速度。 内容：黎曼和逼近定积分值的动态过程演示，可利用几何画板制作 [问题描述]（用自己组织的相关数学语言重述现实问题；注意对约定的条件作说明） 将AB 边n 等分，过这些分点作E B '的垂线，将抛物线32.0)(2 ++-=x x x f 和以AB 为边形成的图形分割为n 个直角小梯形或小矩形，求这些小梯形或小矩形面积的和，即可求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 黎曼和即面积。当n 充分大时，直角小梯形或小矩形的 面积之和可近似代替定积分? ++-=b a x x x f 32.0)(2 黎曼和。因此可通过计算梯形或矩形 面积求出定积分? ++-= b a x x x f 32.0)(2 的黎曼和。 定积分dx x f b a ?)(在数值上等于以曲线)(x f y =和三直线0=y 、a x =、b x =所围 成的曲边梯形的面积。解决的办法是分割后再求和：设想将区间],[b a 分为n 个小区间，以每个小区间左端点对应的函数值为高，以小区间的长度为宽，构作n 个梯形或矩形，并以这些小梯形或小矩形的面积的和（即黎曼和）近似代替定积分的面积。当改变参数n 的大小时，随着n 的逐渐增大（并且每个小区间的长度逐渐缩小），黎曼和的值逐渐趋近定积分的值。 [模型建立或思路分析]（建立合理，可解释的数学模型，通过公式、表格或图形直观明确地描述模型的结构；无法通过建立模型解决的，给出解题的思路及办法。） 利用几何画板作图：
C语言-用矩形法和梯形法求定积分
一.写一个用矩形法求定积分的函数，求sin(x)在（0,1）上的定积分。 #include
定积分与定积分的近似计算
第六讲 定积分与定积分的近似计算 实验目的 １．通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法. ２．学习并掌握用matlab 求不定积分、定积分、二重积分、曲线积分的方法. ３．学习matlab 命令sum 、symsum 与int. 4. 了解定积分近似计算的矩形法、梯形法。（***） 实验内容 1． 学习matlab 命令 （１）求和命令sum 调用格式. sum(x),给出向量x 的各个元素的累加和,如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例4.1.x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];? sum(x)? ans=55 例4.2.x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]? x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x)? ans=12 15 18 （２）求和命令symsum 调用格式. symsum(s,n), 求 ∑n s symsum(s,k,m,n),求∑=n m k s 当x 的元素很有规律,比如为表达式是)(k s 的数列时,可用symsum 求得x 的各项和,即 symsum ),1),((n k s =)()2()1(n s s s +++ symsum )()1()(),,),((n s m s m s n m k k s ++++=
例4.3.syms k n ? symsum(k,1,10)? ans=55 symsum(k^2,k,1,n)? ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6 （３）matlab 积分命令int 调用格式 int (函数)(x f ) 计算不定积分 ?dx x f )( int (函数),(y x f ,变量名x ) 计算不定积分?dx y x f ),( int (函数b a x f ,),() 计算定积分 ?b a dx x f )( int (函数),,(y x f 变量名b a x ,,) 计算定积分 ?b a dx y x f ),( １．计算不定积分 例4.4.计算 xdx x ln 2 ? 解:输入命令: int(x^2*log(x)) 可得结果: ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3 注意设置符号变量. 例4.5.计算下列不定积分: 1. dx x a ? -22 2. ?++dx x x 3 131 3. ?xdx x arcsin 2 解:首先建立函数向量. syms x syms a real y=[sqrt(a^2-x^2),(x-1)/(3*x-1)^(1/3),x^2*asin(x)]; 然后对y 积分可得对y 的每个分量积分的结果. int(y,x)? ans = [1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin((1/a^2)^(1/2)*x), -1/3*(3*x-1)^(2/3)+1/15*(3*x-1)^(5/3), 1/3*x^3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)]
定积分的近似计算
数学实验报告 实验序号：4 日期：2012 年12 月13 日 实验名称定积分的近似计算 问题背景描述： 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 实验目的： 本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。
实验原理与数学模型： 1．矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同的取法，计算结果会有不同。 （1）左点法：对等分区间 ， 在区间上取左端点，即取。 （2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。 （3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2．梯形法 等分区间 ， 相应函数值为（）．
曲线上相应的点为（） 将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个 上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ，． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， ， 即， 称此式为梯形公式。 3．抛物线法 将积分区间作等分，分点依次为 ，， 对应函数值为 （）， 曲线上相应点为 （）． 现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线
matlab实验报告--定积分的近似计算 -
数学实验报告 实验序号:2 日期:2013 年11 月30日 班级应数二班姓名丁慧娜学号1101114088 实验名称定积分的近似计算 实验所用软件及版本MATLAB R2012b 问题背景描述: 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到,这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中,被积函数甚至没有解析表达式,可能只就是一条实验记录曲线,或者就是一组离散的采样值,这时只能应用近似方法去计算相应的定积分. 实验目的: 1、本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法:矩形法、梯形法、抛 物线法。 2、加深理解积分运算中分割、近似、求与、取极限的思想方法。 3、学习fulu2sum、m的程序设计方法,尝试用函数sum 改写附录1与 附录3的程序,避免for 循环。 实验原理与数学模型: 1.矩形法 根据定积分的定义,每一个积分与都可以瞧作就是定积分的一个近似值,即 在几何意义上,这就是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果,所以把
这个近似计算方法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细时,矩形法才有一定的精确度. 针对不同的取法,计算结果会有不同。 (1)左点法:对等分区间 , 在区间上取左端点,即取。 (2)右点法:同(1)中划分区间,在区间上取右端点,即取。 (3)中点法:同(1)中划分区间,在区间上取中点,即取。 2.梯形法 等分区间 , 相应函数值为(). 曲线上相应的点为() 将曲线的每一段弧用过点,的弦(线性函数)来代替,这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形,其面积为
最新定积分的近似计算2
定积分的近似计算2
定积分的近似计算 虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。 定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。 一梯形法 将积分区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分，分点依次为 ?Skip Record If...? 相应的函数为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 曲线?Skip Record If...?上相应的点为 ?Skip Record If...? 将曲线的每一段弧?Skip Record If...?用过点?Skip Record If...?（线性函数）来代替，这使得每个?Skip Record If...?上的曲边梯形形成了真正的梯形（图11——25），其面积为 ?Skip Record If...? 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近 似值，即 ?Skip Record If...? 亦即 ?Skip Record If...?（2） 称此式为梯形法公式。 在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有 ?Skip Record If...?
其中?Skip Record If...? 二抛物线法 由梯形法求近似值，当?Skip Record If...?为凹曲线时，它就偏小；当?Skip Record If...?为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。 将区间?Skip Record If...?作?Skip Record If...?等分（图）分点依次为 ?Skip Record If...? 对应的函数值为 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?曲线上相应的点为?Skip Record If...? 现把区间?Skip Record If...?上的曲线段?Skip Record If...?用通过三点?Skip Record If...?的抛物线 ?Skip Record If...? 来近似代替，然后求函数?Skip Record If...?从?Skip Record If...?到?Skip Record If...?的定积分： ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?由于?Skip Record If...?，将它代入上式整理后可得 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...? 同样也有 ?Skip Record If...? ……………………………………………….. ?Skip Record If...? 将这?Skip Record If...?个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： ?Skip Record If...? 即 ?Skip Record If...?
利用复化梯形公式复化simpson 公式计算积分
实验 目 的 或 要 求1、利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分 2、比较计算误差与实际误差 实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码 ） 取n=2,3,…,10分别利用复化梯形公式、复化simpson 公式计算积分1 20I x dx =?，并与真值进行比较，并画出计算误差与实际误差之间的曲线。 利用复化梯形公式的程序代码如下： function f=fx(x) f=x.^2; ％首先建立被积函数，以便于计算真实值。 a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n 值所计算出的结果 for n=2:10; h=(b-a)/n; ％步长 x=zeros(1,n+1); ％给节点定初值 for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^2; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/2*(y(i)+y(i+1)); ％利用复化梯形公式求值 end T=[T,t]; ％把不同n 值所计算出的结果装入 T 中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/12*h.^ 2*2); ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*') ％将计算误差与实际误差用图像画出来 注：由于被积函数是x.^2，它的二阶倒数为2，所以积分余项为：(-(b-a)/12*h.^ 2*2)
实 验 原 理 （ 算 法 流 程 图 或 者 含 注 释 的 源 代 码）利用复化simpson 公式的程序代码如下： 同样首先建立被积函数的函数文件： function f=fx1(x) f=x.^4; a=0; ％积分下线 b=1; ％积分上线 T=[]; ％用来装不同n值所计算出的结果 for n=2:10 h=(b-a)/(2*n); ％步长 x=zeros(1,2*n+1); ％给节点定初值 for i=1:2*n+1 x(i)=a+(i-1)*h; ％给节点赋值 end y=x.^4; ％给相应节点处的函数值赋值 t=0; for i=1:n t=t+h/3*(y(2*i-1)+4*y(2*i)+y(2*i+1)); ％利用复化simpson公式求值end T=[T,t] ; ％把不同n值所计算出的结果装入T中 end R=ones(1,9)*(-(b-a)/180*((b-a)/2).^4*24) ; ％积分余项（计算误差） true=quad(@fx1,0,1); ％积分的真实值 A=T-true; ％计算的值与真实值之差（实际误差） x=linspace(0,1,9); plot(x,A,'r',x,R,'*')
实验五 定积分的近似计算
实验五 定积分的近似计算 我们已经学习了定积分的基本概念和定积分的计算方法，那里所谓的计算方法，是基于原函数的牛顿-莱布尼兹公式。但在许多实际问题中遇到的定积分，被积函数往往不用算式给出，而通过图形或表格给出；或虽然可用一个算式给出，但是要计算它的原函数却很困难，甚至于原函数可能是非初等函数。本实验的目的，就是为了解决这些问题，介绍定积分的“数值积分”，即定积分的近似计算。 所谓定积分的近似计算，就是找到一个适当的计算公式，利用被积函数在积分区间上若干个点处的函数值，来计算定积分的近似值，并作出误差估计。我们知道，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形的面积。定积分近似计算的思想，就是将积分区间分割成许多小区间，然后在小区间上近似计算小曲边梯形的面积，最后将小曲边梯形的面积求和，就得到了定积分的近似值。 1、 观察黎曼和式的收敛性 由定积分的定义知道，定积分就是黎曼和式 i n i i x f ?∑=1 )(ξ的极限，因此可以用黎曼和 式来近似计算定积分。为计算方便，这里特殊的，将积分区间等分为n 段，并以小区间中点 处的函数值作近似，于是黎曼和式为：∑=-+-+-n k n a b k a f n a b 1))5.0)1(((， 因而 ? ∑=-+-+-≈b a n k n a b k a f n a b dx x f 1))5.0)1((()(。 例1 计算 dx x ? 3 2 ln 1 的黎曼和。 解：输入命令如下： 2、 梯形法 大家可以看出，用上述方法进行的近似计算，其实是对小曲边梯形的面积用矩形面积来近似，上面取的特殊的黎曼和又称为中点积分公式。如果不用矩形而改用梯形来近似，就可以得到定积分的一个较好的近似方法——梯形积分法。具体方法如下： 将区间],[b a 用b x x x a n ==,,,10 等分为n 个小区间，小区间的长度为 n a b -。设)()(n a b i a f x f y i i -+==),,1,0( n i =，则每个小梯形的面积为n a b y y i i -?++21，从而得到梯形法的公式为：
数值分析与算法变步长梯形求积法计算定积分
变步长梯形求积法计算定积分 1．原理： 变步长求积法的主要思想是利用若干小梯形的面积代替原方程的积分，当精度达不到要求时，可以通过增加点数对已有的区间再次划分，达到所需精度时即可；其中由于新的式子中有原来n点中的部分项，故可以省略一些计算，符合了计算机计算存储的思想。 主要公式：T2n=T n/2+(h/2)*Σf(x k+; 2．C++语言实现方式： 通过每次的T n值和新增的函数值点计算T2n，再通过判断|T n-T2n|的大小来判断是否达到精度要求。 3．源程序如下： #include"" #include"" double f(double x)//预先输入的待积分函数 { double s; s=log(x*x); return(s); } double ffts(double a,double b,double eps) { int n,k; double fa,fb,h,t1,p,s,x,t; fa=f(a);
fb=f(b); n=1; h=b-a; t1=h*(fa+fb)/2; p=eps+1; while(p>=eps) { s=0; for(k=0;k<=n-1;k++) { x=a+(k+*h; s=s+f(x); } t=t1/2+h*s/2; p=fabs(t1-t); cout<<"步长n为:"< 数学实验报告 实验序号：2 日期：2013 年11 月30日班级应数二班姓名丁慧娜学号1101114088 实验名称定积分的近似计算 实验所用软件及版本MATLAB R2012b 问题背景描述： 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 实验目的： 1、本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、 抛物线法。 2、加深理解积分运算中分割、近似、求和、取极限的思想方法。 3、学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum 改写附录1和 附录3的程序，避免for 循环。 实验原理与数学模型： 1．矩形法 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同的取法，计算结果会有不同。 （1）左点法：对等分区间 ，在区间上取左端点，即取。 （2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。 （3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2．梯形法 等分区间 ， 相应函数值为（）． 曲线上相应的点为（） 将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得 每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为 ，． 于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， ， 即， 称此式为梯形公式。 3．抛物线法 将积分区间作等分，分点依次为 ，，对应函数值为 （）， 曲线上相应点为 （）． 现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线 定积分的近似计算方法与误差估计 作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近 似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值()b a I f x dx =?时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函数 )(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()b a I f x dx F b F a ==-?.但这种方法只限于解 决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2 b x a e dx ? ,2 sin b a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替()f x ,且 ()b a x dx ?? 的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a f x dx ?转化为求简单的积分值()b a x dx ??. 因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题. 2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即 1 ()d ()n b i i a i f x x f x ?==?∑? 在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度． 针对不同i ?的取法，计算结果会有不同，常见的取法有： （1）左端点法，即1-=i i x ?, i a b n i i x x f dx x f ? ∑=-?≈11)()( （2）右端点法，即 i i x =?,i n i i a b x x f dx x f ?≈∑?=1 )()( 几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid 1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 0sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法 矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S 的近似值.若 取小区间左端点的函数值为小矩形的高,如图1中所示,则∑=-=n i i x f n a b A 1 ).( 本计划研究目的 利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分． 提纲 1引言 2一元函数常见数值积分方法 2．1插值型积分 2．2高斯积分 4 一维数值积分方法应用以及误差分析 5高维数值积分方法应用以及误差分析 研究计划 1.指导教师与学生见面，指导教师填写纸质毕业论文（设计）任务书，并下达给学生。 2011年10月19日210月23日（第8—第8周） 2.学生撰写毕业论文（设计）开题报告并提交第一次周志，交指导教师审阅。2011 年10月24日至12月26日（第9—17周） 3.学生完成毕业论文（设计）初稿并提交第二次周志交指导教师审阅。2012年3月 5日前（第1—3周） 4.学生完成毕业论文（设计）初稿，二稿直至最终定稿，指导教师审阅二稿，三稿。 2012年4月10日前（第4—10周） 5.指导教师：评定教师分别评定论文（设计）成绩2012年4月30 日前（第11—11 周） 6.毕业论文设计答辩2012年5月11日前（第12—13周） 7.教师通过教务管理系统登录学生毕业论文（设计）成绩。2012年5月15日前（第 14周——） 主要文献资料 （1）华东师范大学数学系编《数学分析》上册 （2）李庆扬关治白峰杉《数值计算原理》 （3）肖筱南《现代数值计算方法》 （4）菲赫金哥尔茨《微积分学教程》 （5）裴礼文《数学分析中的典型问题和方法》 （6）LU J T.Is the comos ite function integrable? [J]Amer Math Monthy,1999(106):763--766 定积分的近似计算方法 摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式、龙贝格求积公式、高斯求 积公式等近似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 龙贝格积分 高斯积分 误差分析 近似计算 1引言 在计算定积分的值()b a I f x dx = ? 时,常常根据微积分学基本定理求出)(x f 的一个原函 数)(x F ,再用牛顿-莱布尼茨公式求的积分,()()()b a I f x dx F b F a = =-? .但在实际应用中, 这种方法只限于解决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()F x 无法用初等函数表示,例如,2 b x a e dx ? ,2 sin b a x dx ?等等,这就需要我们用一些近似方法求的积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x ?来近似代替 ()f x ,且()b a x dx ??的值容易求的.这样就把计算复杂的()b a f x dx ?转化为求简单的积分值 ()b a x dx ??.因此,定积分的近似计算实质上是就是被积函数的近似计算问题. 2常见数值方法 2.1牛顿-科茨数值方法 牛顿-科茨求积公式是求积节点等距离分布的插值型求积公式. 利用插值多项式来构造数值积分公式是最常用、最基本的方法,具体做法是： 给定区间[,]a b 上一组节点01...n a x x x b =<<<=,以及节点处函数 ()( 0,1,2,i f x i n =,作()f x 的n 次拉格朗日多项式 ()()() n n i i i x f x l x ?==∑, 其中 011011()()()() ()()()()() i i n i i i i i i i n x x L x x x x L x x l x x x L x x x x L x x -+-+----= ----,将插值公式 数学实验报告 实验序号：（4）日期：2015/1/2 实验过程纪录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况纪录） 1、计算的近似值 方法一：矩形法 >>n=100x=0:1/n:1left_sum=0;right_sum=0;for i=1:n if i==1left_sum=left_sum +1/n;else left_sum=left_sum +sin(x(i))/x(i)*(1/n);end right_sum=right_sum +sin(x(i+1))/x(i+1)*(1/n);end left_sum right_sum n = 100 x = Columns 1through 10 00.01000.02000.03000.04000.05000.0600 0.07000.08000.0900Columns 11through 20 0.10000.11000.12000.13000.14000.1500 0.16000.17000.18000.1900 Columns 21through 30 0.20000.21000.22000.23000.24000.25000.26000.27000.28000.2900 Columns 31through 40 0.30000.31000.32000.33000.34000.350010sin x dx x 0.36000.37000.38000.3900 Columns41through50 0.40000.41000.42000.43000.44000.4500 0.46000.47000.48000.4900 Columns51through60 0.50000.51000.52000.53000.54000.5500 0.56000.57000.58000.5900 Columns61through70 0.60000.61000.62000.63000.64000.6500 0.66000.67000.68000.6900 Columns71through80 0.70000.71000.72000.73000.74000.7500 0.76000.77000.78000.7900 Columns81through90 0.80000.81000.82000.83000.84000.8500 0.86000.87000.88000.8900 Columns91through100 0.90000.91000.92000.93000.94000.9500 0.96000.97000.98000.9900 Column101 1.0000 left_sum= 0.9469 right_sum=matlab实验报告--定积分的近似计算 -
定积分的近似计算以及误差估计
几种定积分的数值计算方法
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分别利用矩形法、梯形法、辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果。