立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题

题型一证明平行关系

(1)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是

C1C，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

(2)在正方体AC1中，M，N，E，F分别是A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB.

思考题1(1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC.

(2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD

＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝

3QC.求证：PQ∥平面BCD.

题型二证明垂直关系(微专题)

微专题1：证明线线垂直

(1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中

点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN.

(2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝

AC＝1，E，F分别是CC1，BC的中点，AE⊥A1B1，D为棱A1B1上的点，求证：DF⊥AE.

微专题2：证明线面垂直

(3)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：BD1⊥平面ACB1.

(4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A1B1C1为三棱柱，

且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.

若AA1＝AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD.

微专题3：证明面面垂直

(5)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，

求证：平面DEA⊥平面A1FD1.

(6)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝1 2

PD，求证：平面PQC⊥平面DCQ.

思考题2(1)(2019·北京东城区模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，底

面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作

EF⊥BP交BP于点F，求证：PB⊥平面EFD.

(2)(2019·济南质检)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的

中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO

＝3，OD＝2.

①证明：AP⊥BC；

②若点M是线段AP上一点，且AM＝3，试证明平面AMC⊥平面BMC.

题型三探究性问题

在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正

方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

(1)求证：EF⊥CD；

(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB.若存在，确定

G点的位置；若不存在，试说明理由．

思考题3(2019·山西长治二模)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面

是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝2，E为PD上一点，PE＝

2ED.

(1)求证：PA⊥平面ABCD；

(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

专题二求解异面直线所成角和线面角问题

题型一异面直线所成的角

(1)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别

是CC1，AD的中点，则异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于________．

(2)(2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为思考题1(2019·湖南雅礼中学期末)如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC 的中点；如图2，将△DAE沿AE折起，使折后平面DAE⊥平面ABCE，则异面直线AE和BD 所成角的余弦值为________．

题型二定义法求线面角

(1)(2019·山东荷泽期末)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为()

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点．设点P

在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是

()

A．[

3

3，1] B．[

6

3，1] C．[

6

3，

22

3] D．[

22

3，1]

思考题2(1)(2019·河北石家庄一模)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1

中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平

面AB1C1所成的角的大小为________．

(2)把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()

A．90°B．60°C．45°D．30°

题型三向量法求线面角

(1)(2019·河南郑州月考)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面

ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD＝5，平面ABCD⊥平面PAD，M是PC

的中点，O是AD的中点，则直线BM与平面PCO所成角的正弦值是________．

(2)如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面

ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则

AE＝________．

思考题3(1)正四棱锥S－ABCD中，O为顶点S在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________．

(2)(2019·河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的各棱长均为2，∠A1AD＝60°，∠BAD＝90°，平面A1ADD1⊥平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()

(1)(2019·太原模拟一)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD

是边长为2的正方形，PA⊥BD.

①求证：PB＝PD；

②若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面

PCD所成角的大小．

(2)(2019·湖南长郡中学选拔考试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA

＝BC＝5，AC＝8，D为线段AC的中点．

①求证：BD⊥A1D；

②若直线A1D与平面BC1D所成角的正弦值为4

5，求AA1的长．

思考题4(2019·石家庄质检二)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为∠CBB1＝60°的菱形，AB＝AC1.

(1)证明：平面AB1C⊥平面BB1C1C；

(2)若AB⊥B1C，直线AB与平面BB1C1C所成的角为30°，求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值．

专题三求解二面角问题

题型一定义法求二面角

(1)(2019·台州一模)在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，沿AD折成二面角B－AD－C，若此

时BC＝1

2a，则二面角B－AD－C的大小为________．

(2)如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是

(3)已知三棱锥P－ABC的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，AC为球O的直径．当三棱锥P－ABC的体积最大时，设二面角P－AB－C的大小为θ，则sinθ＝()

思考题1 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，

点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻

折，使得点A，D重合于F，此时二面角E－BC－F的余弦

值为()

(2)如图，设AB为圆锥PO的底面直径，PA为母线，点C在底面圆周上，

若PA＝AB＝2，AC＝BC，则二面角P－AC－B的正切值是________．

题型二向量法求二面角

(1)已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的锐二面角的正切值为________．

(2)(2019·河南安阳)二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，则该二面角的大小为() A．150°B．45°C．60°D．120°

思考题2(1)设平面α的一个法向量为n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为n2＝(－

2，－4，k)，若α和β所成的锐二面角的余弦值为2

3，则k＝________．

(2)(2019·辽宁丹东模拟)如图，正方形A1BCD折成直二面角A

－BD－C，则二面角A－CD－B的余弦值是________．

(3)(2019·广东中山模拟)在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝22，M，N分别为AD和BC的中点，沿MN把平面ABNM折起，

若折起后|AC|＝6，则二面角A－MN－C的大小为() A．30°B．45°C．60°D．90°

(2019·惠州二次调研)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PC＝2.

(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；

(2)若PA＝PB，求二面角A－PC－D的余弦值．

思考题3(2019·河北五一名校联考)

在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C.

(1)求证：A1C1⊥B1C；

(2)求二面角B1－A1C－C1的正弦值．

题型三空间角的综合问题

(2019·唐山五校联考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面

ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD，E是PB的

中点．

(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；

(2)若二面角P－AC－E的余弦值为

6

3，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．

思考题4(2019·江南十校素质检测)如图，在以A，B，C，D，E，F

为顶点的五面体中，平面CDEF⊥平面ABCD，FC＝FB，四边形ABCD为平行

四边形，且∠BCD＝45°.

(1)求证：CD⊥BF；

(2)若AB＝2EF＝2，BC＝2，直线BF与平面ABCD所成角为45°，求平面ADE与平面BCF 所成锐二面角的余弦值．

专题四综合问题

题型一空间的距离

(1)(2019·江西九江期末)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥

底面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F为PA的中点，

且PA＝AB＝2.则点P到平面BEF的距离为()

(2)已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F分

别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离．

思考题1(1)(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC－A1B1C1底面为

正三角形，侧棱与底面垂直，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为()

2.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，且

∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；

(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，求二面角A －PB －C 的余弦值．

(2)(2019·湖南长沙一模)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别

为BB 1，CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E 的距离．

题型二探究性问题

(2019·湖南重点校联考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥

平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD,且AD ＝CD ＝22,BC ＝42，PA ＝2.

(1)求证：AB ⊥PC ；

(2)在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M －AC －D 的大

小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．

思考题2 (2019·西安八校联考)已知几何体ABCC 1B 1N 的直观图

如图所示，CB ⊥底面ABB 1N ，且ABB 1N 为直角梯形，侧面BB 1C 1C 为

矩形，AN ＝AB ＝BC ＝4，BB 1＝8，∠NAB ＝∠ABB 1＝90°.

(1)连接B 1C ，若M 为AB 的中点，在线段CB 上是否存在一点P ，

使得MP ∥平面CNB 1若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．

(2)求二面角C －NB 1－C 1的余弦值．

题型三 翻折问题

(2019·安徽合肥调研性检测)平面四边形ABCD 中，

∠DAB ＝π2，AD ＝AB ，△BCD 为等边三角形．现将△ABD 沿BD

翻折得到四面体P －BCD ，点E ，F ，G ，H 分别为PB ，PD ，CD ，

CB 的中点．

(1)求证：四边形EFGH 为矩形；

(2)当平面PBD ⊥平面CBD 时，求直线BG 与平面PBC 所成角的正弦值．

思考题3如图，在直角梯形ABCP中，∠A＝∠B＝

90°，AB＝BC＝3，AP＝6，CD⊥AP于D，现将△PCD沿线

段CD折成60°的二面角P－CD－A，设E，F，G分别是PD，

PC，BC的中点．

(1)求证：PA∥平面EFG；

(2)若M为线段CD上的动点，求直线MF与平面EFG所成角的最大角，并确定成最大角时点M在什么位置

高考题呈现

1．(2014·全国Ⅱ)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA

⊥平面ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设AP＝1，AD＝3，三棱锥P－ABD的体积V＝

3

4，求A到平面

PBC的距离．

2．(2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝ 5.

(1)求证：PD⊥平面PAB；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD若存在，求AM

AP的值；若不存在，说明

理由．

3.(2018·浙江)如图，已知多面体ABC－A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2.

(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；

(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．

4.(2016·课标全国Ⅲ)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，

AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，

N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；

(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

5．(2018·课标全国Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF 为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；

(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

6．(2016·课标全国Ⅰ，理)如图，在以A，B，C，D，E，F

为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二

面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(2)求二面角E－BC－A的余弦值．

7.(2017·课标全国Ⅰ，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，

且∠BAP＝∠CDP＝90°.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A－PB－C的余

弦值．

8．(2018·课标全国Ⅱ，理)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，

PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM

所成角的正弦值．

9．(2018·北京，理)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC＝5，AC＝AA1＝2.

(1)求证：AC⊥平面BEF；

(2)求二面角B－CD－C1的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交．

10．(2017·北京，理)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.

(1)求证：M为PB的中点；

(2)求二面角B－PD－A的大小；

(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何 一 空间几何体 ㈠ 空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点. 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。 ㈡ 几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 1。2 棱柱的分类 1。3 棱柱的性质 ⑴ 侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。 1.4 长方体的性质 ⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：AC 12 = AB 2 + AC 2 + AA 12 ⑵ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的三条棱所成 的角分别是α、β、γ，那么： cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC 1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则: cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 2 sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 1 1。5 棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 图1-1 棱柱 图1-2 长方体 图1-1 棱柱

高中数学《立体几何》专题复习 (3)

高中数学《立体几何》专题复习 三 1．(2017·唐山模拟)正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为( ) A ．64π B ．32π C ．16π D ．8π 答案 A 解析 如图，作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，PM ＝6，连接AM ，AO ，则OP ＝OA ＝R(R 为外接球半径)，在Rt △OAM 中，OM ＝6－R ，OA ＝R ，又AB ＝6，且△ABC 为等边三角形，故AM ＝ 23 62－32 ＝23，则R 2－(6－R)2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S ＝4πR 2＝64π. 2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π 答案 C 解析 由V ＝Sh ，得S ＝4，得正四棱柱底面边长为2.画出球的轴截面可得，该正四棱柱的对角线即为球的直径，所以球的半径为R ＝ 1 222＋22＋42＝ 6.所以球的表面积为S ＝4πR 2＝24π.故选C. 3．若一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是( ) A ．8π B ．6π C ．4π D ．π 答案 C 解析 设正方体的棱长为a ，则a 3＝8.因此内切球直径为2，∴S 表＝4πr 2＝4π. 4．(2017·课标全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径长为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A ．π B.3π4 C.π2 D.π4 答案 B

解析 根据已知球的半径长是1，圆柱的高是1，如图，所以圆柱的底面半径r ＝22－122＝32，所以圆柱的体积V ＝πr 2h ＝π×(32)2×1＝3 4 π.故选B. 5．(2018·安徽合肥模拟)已知球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，则三棱锥S －ABC 的体积为( ) A.324 B.92 4 C.322 D.922 答案 D 解析 设该球球心为O ，因为球的直径SC ＝6，A ，B 是该球球面上的两点，且AB ＝SA ＝SB ＝3，所以三棱锥S －OAB 是棱长为3的正四面体，其体积V S －OAB ＝13×12×3×33 2×6 ＝924，同理V O －ABC ＝924，故三棱锥S －ABC 的体积V S －ABC ＝V S －OAB ＋V O －ABC ＝92 2， 故选D. 6．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172 B ．210 C.132 D ．310 答案 C 解析 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M. 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝1 2AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝ （52）2＋62＝13 2 . 7．(2018·广东惠州一模)已知一个水平放置的各棱长均为4的三棱锥形容器内有一小球O(质量忽略不计)，现从该三棱锥形容器的顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的7 8时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于 ( ) A.7 6 π B.43 π

高中数学《立体几何》专题复习 (1)

高中数学《立体几何》专题复习一 1．(2018·安徽东至二中段测)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥D．一个圆柱、两个圆锥 答案 D 解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D. 2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是() A．正方体的三视图是三个全等的正方形 B．球的三视图是三个全等的圆 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆 答案 B 解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆． 3．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是() 答案 B 解析侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B. 4．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()

A．圆柱和圆锥B．正方体和圆锥 C．四棱柱和圆锥D．正方体和球 答案 C 5．(2018·沧州七校联考)三棱锥S－ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为() A．16 3 B.38 C．4 2 D．211 答案 C 解析由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形．在△ABC中，AC＝4，AC边上的高为23，所以BC＝4.在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4 2. 6．(2017·衡水中学调研卷)已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为() A．2 2 B．6 2 C．1 D. 2 答案 A 解析因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四 边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V＝1 3×22×1×3＝2 2. 7.(2018·四川泸州模拟)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则 该正四棱锥的正视图的面积为() A. 2 B. 3 C．2 D．4 答案 A

立体几何复习(知识点+经典习题)

立体几何复习(知识点+经典习题) 1.给出以下命题： 1) 若平面α内的两条相交直线分别平行于平面β内的两条直线，则平面α平行于平面β； 2) 若平面α外一条直线l与平面α内的一条直线平行，则直线l和平面α平行； 3) 设平面α和平面β相交于直线l，若平面α内有一条直线垂直于l，则平面α和平面β垂直； 4) 直线l与平面α垂直的充分必要条件是直线l与平面α内的两条直线垂直。 写出所有真命题的序号。 2.在空间中，以下命题正确的是： A) 平行直线的平行投影重合； B) 平行于同一直线的两个平面平行； C) 垂直于同一平面的两个平面平行； D) 垂直于同一平面的两条直线平行。 考点为二三视图与直观图及面积与体积。 基础训练】

1.如图，E和F分别为正方体的面ADD1A1和面BCC1B1 的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的投影可能是什 么形状。 2.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45度，腰和上底均为1的等腰梯形，则原图形的面积是多少？ 3.在三角形ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120度。 若使其绕直线BC旋转一周，则它形成的几何体的体积是多少？ 4.已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的对角线长是多少？若长方体共顶点的三个 侧面面积分别为3,5,15，则它的体积是多少？ 5.正方体的内切球和外接球的半径之比为多少？ 6.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，则球的 表面积是多少？ 7.若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是 多少？ 8.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的 8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是多少？ 9.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为多少？ 高考链接】

立体几何专题复习(自己精心整理)

专题一证明平行垂直问题题型一证明平行关系 (1)如图所示，在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，M，N分别是C 1 C， B 1C 1 的中点．求证：MN∥平面A 1 BD. (2)在正方体AC 1 中，M，N，E，F分别是A 1 B 1 ，A 1 D 1 ，B 1 C 1 ，C 1 D 1 的中点， 求证：平面AMN∥平面EFDB. 思考题1 (1)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC. (2)如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 求证：PQ∥平面BCD. 题型二证明垂直关系(微专题) 微专题1：证明线线垂直 (1)已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中 点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB＝OC.求证：PM⊥QN. (2)(2019·山西太原检测)如图，直三棱柱ABC－A 1B 1 C 1 中，AA 1 ＝AB ＝AC＝1，E，F分别是CC 1，BC的中点，AE⊥A 1 B 1 ，D为棱A 1 B 1 上的点，求 证：DF⊥AE. 微专题2：证明线面垂直 (3)在正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 中，求证：BD 1 ⊥平面ACB 1 . (4)(2019·河南六市一模)在如图所示的几何体中，ABC－A 1B 1 C 1 为三棱柱， 且AA 1 ⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD＝2CD，∠ADC＝60°.

高三《立体几何》专题复习

高三《立体几何》专题复习 一、常用知识点回顾 1、三视图。正侧一样高，正俯一样长，侧府一样宽，看不到的线画虚线。 2、常用公式与结论。（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式；（2）空间几何体的表面积与体积公式；（3）全品高考复习方案（听课手册）105页的常用结论 3、两条异面直线所成的角；直线与平面所成的角。 4、证明两条直线平行的常用方法；直线与平面平行的判定与性质；面面平行的判定与性质。 5、证明两条直线垂直的常用方法；直线与平面垂直的判定与性质；两个平面垂直的判定与性质。 二、题型训练 题型一：三视图的运用，求几何体的体积、表面积 例1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（） （A） 18+ （B） 54+ （C）90 （D）81 【练习1】某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为（） C.3 D.2

【练习2】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实 线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一 圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ） A.90π B.63π C.42π D.36π 【练习3】如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的 三视图，则该几何体的表面积为（ ） （A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π 例2、在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是（ ） （A ）4π （B ） 9π2 （C ）6π （D ）32π3

高中数学 立体几何专题复习

图2 侧视图 俯视图正视图 4x 3 3x 4D C B A 侧视图 正视图立体几何专题(一) 一、 三视图考点透视： ①能想象空间几何体的三视图，并判断（选择题） ②通过三视图计算空间几何体的体积或表面积 ③解答题中也可能以三视图为载体考查证明题和计算题 ④旋转体（圆柱、圆锥、圆台或其组合体）的三视图有两个视图一样。 ⑤基本几何体的画法，如：三棱柱（侧视图）、挡住的注意画虚线。 1. 一空间几何体的三视图如图2所示, 该几何体的 体积为85 12π+ ，则正视图中x 的值为 A. 5 B . 4 C. 3 D . 2 2. 一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图（又称主视图）、 侧视图（又称左视图）如右图所示，则其俯视图为c 3．如图4，已知一个锥体的正视图（也称主视图）， 左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 4 ． 4. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形， 侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积 为 A ．63 B ．93 C ．123 D ．183 5、已知某几何体的直观图(图1)与它的三视图(图2)， 其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D 是 正视图 左视图 图4

_3 _3 这个几何体的棱11C A 上的中点。 （Ⅰ）求出该几何体的体积； （Ⅱ）求证：直线11//BC AB D 平面； (Ⅲ)求证:直线11B D AA D ⊥平面. 二、直观图 掌握直观图的斜二测画法：①平行于两坐标轴的平行关系保持不变； ②平行于y 轴的长度为原来的一半，x 轴不变； ③新坐标轴夹角为45°。 6、如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一平面图形ABCD 的直观图(斜二测)，若A 1D 1∥O 1y 1，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1＝2，C 1D 1＝3，A 1D 1＝1，则梯形ABCD 的面积是( ) A ．10 B ．5 C ．5 2 D ．102 三、表面积和体积 不要求记忆，但要会使用公式。审题时分清“表面积”和“侧面积”。 （1）常见旋转体的面积公式： 表面积 侧面积 圆柱 ()2r r l π+ 2rl π 圆锥 ()r r l π+ rl π 圆台 ()/22/r r r l rl π+++ /r l rl ππ+ （2）体积公式 柱体V Sh = 锥体13V Sh = 台体() //1 3 V S S S S h = 球体34 3 V R π= 球的表面积24S R π= C A C 1 A 1 B 1 D

高三立体几何专题复习

高考立体几何专题复习 一．考试要求： 〔1〕掌握平面的根本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。 〔2〕了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念〔对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离〕。 〔3〕了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理。 〔4〕了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。掌握二面角、二面角的平面角、两个平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。 〔5〕会用反证法证明简单的问题。 〔6〕了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。 〔7〕了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。 〔8〕了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。 〔9〕了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。 〔10〕了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的外表积、体积公式。 二．复习目标： 1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的根底上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的根底上，掌握它们的求法(其根本方法是分别作出这些角，并将它们置于*个三角形通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步稳固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力． 3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握根本的立体几何解题方法和常用解题技巧，开掘不同问题之间的在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和"说话要有根据〞的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力． 三．教学过程： 〔Ⅰ〕根底知识详析 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题1--2道, 解答题1道), 共计总分20分左右,考察的知识点在20个以. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考察立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算〞的开展.从历年的考题变化看, 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探常考常新的热门话题. 1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直〞的有关问题着手，通过较为根本问题，熟悉公理、定理的容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力． 2．判定两个平面平行的方法： 〔1〕根据定义——证明两平面没有公共点； 〔2〕判定定理——证明一个平面的两条相交直线都平行于另一个平面； 〔3〕证明两平面同垂直于一条直线。 3．两个平面平行的主要性质：

立体几何题型归类总结

立体几何专题复习 一、【知识总结】 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ????????→?? ?????→?? ??? 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱 棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 侧棱垂直于底面 底面为矩形 底面为正方形 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★ ② r =d 、 球的半径为R 、截面的半径为r ） B

★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）

俯视图 二、【典型例题】 考点一：三视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为. 4．若某几何体的三视图（单位：cm）如图4所示，则此几何体的体积是. 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图

第4题 第5题 5．如图5是一个几何体的三视图，若它的体积是33，则 a . 6．已知某个几何体的三视图如图6，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 . 7.若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm 8.设某几何体的三视图如图8（尺寸的长度单位为m ），则该几何体的体积为_________m 3。 3 正视图 俯视图 1 1 2 左视图 a 20 20正视图 20侧视图 10 10 20 俯视图

立体几何专项复习题目及答案

立体几何专项复习题目及答案 立体几何专项复习题目及答案 习题课 【课时目标】1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进一步体会化归思想在证明中的应用． a、b、c表示直线，α、β、γ表示平面． 位置 关系判定定理 (符号语言)性质定理 (符号语言) 直线与平面平行a∥b且__________?a∥αa∥α，________________?a∥b 平面与平面平行a∥α，b∥α，且________________?α∥βα∥β，________________?a∥b 直线与平面垂直l⊥a，l⊥b，且____________?l⊥αa⊥α，b⊥α?____ 平面与平面垂直a⊥α，____?α⊥βα⊥β，α∩β＝a， __________?b⊥β 一、填空题 1．不同直线m、n和不同平面α、β．给出下列命题： ①α∥βm?α?m∥β；②m∥nm∥β?n∥β； ③m?αn?β?m，n异面；④α⊥βm∥α?m⊥β． 其中假命题的个数为________． 2．下列命题中：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平行；(3)垂直于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的为________． 3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个． ①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，

a⊥b?b⊥α． 4．过平面外一点P：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂直；③有且只有一条直线与平面α平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的个数是________．5．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是________． 6．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是________． ①若a，b与α所成的角相等，则a∥b； ②若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b； ③若a?α，b?β，a∥b，则α∥β； ④若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b． 7．三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则二面角A－BC－D的大小为______． 8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________． 9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的.射影可能是________．(填序号) 二、解答题 10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面BDM⊥平面ECA； (3)平面DEA⊥平面ECA． 11．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B． (1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1； (2)设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1DDC1的值．

立体几何复习专题(空间角)

专题: 空间角 一、基础梳理 1. 两条异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围：(0, ] 2 。 （2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。两条异面直线a,b 垂直，记作 a b 。 （3）求异面直线所成的角的方法： （1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。 平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。 1：三棱柱OAB O1A1B1 ，平面OBB1O1 ⊥平面OAB ， O1OB 60 , AOB 90 ，且OB OO1 2, O 1 B 1 OA 3，求异面直线A1B 与A O1 所成角的余弦。 A 1 O B A 2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0 角。 直线和平面所成角范围：0， 。 2 （2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 P a （3）公式：已知平面的斜线 a 与内一直线 b 相交成θ角， 且a 与相交成 1 角，a 在上的射影 c 与b 相交成 2 角， 则有cos cos cos 1 。 2 由（3）中的公式同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。A 1 c O 2 B b

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立体几何专题复习要点分块

基本几何体 1．柱体 棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体。 ①⎧ ⎪ ⎧−−−−−→⎨⎪ −−−−−→⎨ ⎪ ⎪⎩ 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱正棱柱 直棱柱 其他棱柱 ★ 底面为矩形 底面为正方形侧棱与底面边长相等 2.锥体 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 ⑴正棱锥具有的性质： ①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）. ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑵特殊棱锥的顶点在底面的射影位置： ①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. B

高考立体几何专题复习[1]

高考数学分类汇编：立体几何 一、选择题: 1．在空间，下列命题正确的是( ) A.平行直线的平行投影重合 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.垂直于同一平面的两个平面平行 D.垂直于同一平面的两条直线平行 2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为 2．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A.3 B.2 C.23 D.6 4．如图，M 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，给出下列四个命题： ①过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线11,AB B C 都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都相交； ④过M 点有且只有一个平面与直线11,AB B C 都平行． 其中真命题是 A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④ D ． ①②③ 5.设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）3πa 2 （B ）6πa 2 （C ）12πa 2 （D ） 24πa 2 6．已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 的表面积等于 （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π 7．一个几何体的三视图如右图，该几何体的表面积是 （A ）372 （B ）360 （C ）292 （D ）280 8.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 （A ） 3523cm 3 B ）3203 cm 3 （C ）2243 cm 3 （D ）1603 cm 3 正三角形，' ' ' ////AA BB CC ， 9．如图AB C ∆为

高考立体几何专题复习

立体几何习题 一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①⎧ ⎪⎧−−−−−→⎨⎪ −−−−− →⎨⎪⎪⎩⎩ 底面是正多形 棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱★ 底面为矩形 底面为正方形 侧棱与底面边长相等 2. 棱锥 棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球 球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r = （其中，球心到截面的距离为d 、球的半径 为R 、截面的半径为r ） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）

俯视图 1．求异面直线所成的角(] 0,90θ∈︒︒： 解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证： 证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 二、典型例题 1．_________________.

立体几何复习资料

专题三：立体几何 § 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征考纲要求：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 1. 棱柱的结构特征：（1）有两个面互相平行，其余各面都是四边形；（2）每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 2. 棱锥的结构特征：（1）有一个面是多边形；（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 3. 棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 4. 圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴。 5. 圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。 6. 圆台的结构特征：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。圆台也可以看作由直角梯形绕其直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。 例题：如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从 A 到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少． 1．由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是（） A．六棱锥B．六棱台 2 下列说法中，正确的是（）A．棱柱的侧面可以是三角形展开图C．正方体的各条棱都相等C．六棱柱D．非棱柱、棱锥、棱台的一个几何体 B．由六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的D．棱柱的各条棱都相等 3．构成多面体的面最少是（） A．三个B．四个C．五个D．六个4．用一个平面去截棱锥, 得到两个几何体, 下列说法正确的是 （） B．一个几何体是棱锥, 另一个几何体不一定是棱台 C．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体是棱台 D．一个几何体不一定是棱锥, 另一个几何体不一定是 棱台5．将直角三角形绕它的一边旋转一周, 形成的几何体一定是A．圆锥B．圆柱 C．圆台 6．A、B 为球面上相异两点, 则通过A、B可作球的大 ） D．以上均不正确） D．一个或无穷 7．如下图几何体是由哪些简单几何体构成的？巩固练

立体几何复习知识点汇总全

立体几何知识点汇总（全） 1．平面 平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。 （1）.证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点（依据：由点在线上，线在面内，推出点在面内），这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上。 （2）.证明共点问题，一般是先证明两条直线交于一点，再证明这点在第三条直线上，而这一点是两个平面的公共点，这第三条直线是这两个平面的交线。 （3）.证共面问题一般先根据一部分条件确定一个平面，然后再证明其余的也在这个平面内，或者用同一法证明两平面重合 2.空间直线. （1）.空间直线位置关系三种：相交、平行、异面.相交直线：共面有且仅有一个公共点；平行直线：共面没有公共点；异面直线：不同在任一平面内，无公共点［注］:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（义）（也可能两条直线平行，也可能是点和直线等） ②直线在平面外，指的位置关系是平行或相交 ③若直线a、b异面，己平行于平面a，b与a的关系是相交、平行、在平面a内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（义）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形） ⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（义）（并非是从平面外一 ．点向这个平面所引的垂线段和斜线段）． ⑦q,匕是夹在两平行平面间的线段，若 a = b，则a,b的位置关系为相交或平行或异面. / / / f一 ⑧异面直线判定定理：过平面外一点与平立------- / 面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是 异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线） （2）.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

立体几何专题复习(教师版)

立体几何专题复习 一、立体几何初步 （一）、在空间几何体部分，主要是以空间几何体的三视图为主展开，考查空间几何体三视图的识别判断，考查通过三视图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题．试题的题型主要是选择题或者填空题，在难度上也进行了一定的控制，尽管各地有所不同，但基本上都是中等难度或者较易的试题．该部分要牢牢抓住各种空间几何体的结构特征，通过对各种空间几何体结构特征的了解，认识各种空间几何体的三视图和直观图，通过三视图和直观图判断空间几何体的结构，在此基础上掌握好空间几何 体的表面积和体积的计算方法. 必备知识 正棱锥的性质 侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形． 三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样． 几何体的切接问题 (1)球的内接长方体、正方体、正四棱柱等关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长． (2)柱、锥的内切球找准切点位置，化归为平面几何问题． 必备方法 1．几何体中计算问题的方法与技巧：①在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构 成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；②正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；③研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；④多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手 段． 2．求体积常见技巧 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元 素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散 为集中，给解题提供便利．(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的 几何体，进而求之． (2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等．另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法． (3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素.

立体几何专题复习

立体几何专题复习 例1：如图1，在棱长均为4的三棱柱ABC－A1B1C1中，若平面ABC⊥平面BCC 1 B1，∠B1BC＝60°，求三棱 锥B1－ABC的体积． 【解答】设BC的中点为D，连结AD.则在△ABC中 ∵AB＝AC且D为BC的中点∴AD⊥BC ∵平面ABC⊥平面B1C1CB，其交线为BC， AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面B1C1CB 在△ABC中，由AB＝AC＝BC＝4得AD＝2 3. 在△B1BC中，∵B1B＝BC＝4，∠B1BC＝60°图1 ∴△B1BC是等边三角形∴S△B1BC＝ 3 4×4 2＝43， 而三棱锥B1－ABC的体积等于三棱锥A－B1BC的体积， 即VB1－ABC＝VA－B1BC＝1 3×S△B1BC·AD＝ 1 3×43×23＝8. 【点评】锥体的体积求解的关键是求高,本题利用面面垂直的性质定理，通过作交线的垂线，得到线面垂直,从而找到高所在直线． 例2：如图2,在边长为6 cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．求多面体E－AFNM的体积． 图2

【解答】 ∵ ⎭ ⎬⎫AB ⊥BE AB ⊥BF ⇒AB ⊥平面BEF 且AB ＝6，BE ＝BF ＝3∴V A －BEF ＝9， 又V E －AFNM V E －ABF ＝S 四边形AFNM S △ABF ＝34∴V E －AFNM ＝274. 【点评】 本题中求多面体E －AFNM 的体积，采取的是比例 法，由于E 点到平面ABF 的高不易求出，故采取等体积转化，先 求出整个三棱锥的体积，再通过同高可以将体积转化为面积之 比． 如图3，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面 ABCD 为直角梯形且AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，PA ＝AD ＝DC ＝2，AB ＝4. (1)求证：BC ⊥PC ； (2)四面体A －PBC 的体积． 【解答】 (1)证明：作CE ⊥AB 于点E ，则AE ＝EB ＝ CE ＝2，BC ＝22，连结AC ，则AC ＝22，故∠ACB ＝ 90°，即AC ⊥CB .又PA ⊥平面ABCD ，故PA ⊥BC ∴BC ⊥平面PAC 又PC ⊂面PAC ，因此BC ⊥PC . 图3 (2)过A 作AM ⊥PC ，由(1)易得BC ⊥平面PAC ，故BC ⊥AM ，所以AM ⊥PBC ， 因此线段AM 的长为点A 到平面PBC 的距离． 在Rt △PAC 中，PC ＝23，AM ＝263，即点A 到平面PBC 的距离为263 . 在△PBC 中，PC ＝23，BC ＝22，PB ＝25， 由余弦定理得cos ∠PBC ＝PB 2＋BC 2－PC 22PB ·BC ＝105 ，