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多项式例讲解答

【代数十讲】

多项式例讲

陶平生

基本内容：多项式的整除问题，分解问题，多项式根的问题，分圆多项式，拉格朗日插值多项式，多项式的可约性，结构与存在问题，多项式的构造与应用．

1、对于一个整系数的非零多项式()f x ，若其全体系数是互质的，就称()f x 为本原多

项式；证明高斯引理：两个本原多项式的乘积仍是本原多项式．

证：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ ，1110()m m m m g x b x b x b x b --=++++ 是两个本原多项式，而1110()()()m n m n m n m n x f x g x e x e x e x e ?++-++-==++++ 是它们的乘积，今用反证法，假若()x ?不是本原的，即是说，()x ?的系数组01,,,m n e e e + 有异于1±的公因子，那么就有一个质数p 能整除()x ?的每一个系数01,,,m n e e e + ；

因为()f x 是本原的，所以p 不能同时整除()f x 的每一个系数，令i a 是第一个不能被

p 整除的系数，即011,,,i p a p a p a - ，而i p a 宎

a ；同样，因()g x 也是本原的，令j

b 是第一个不能被p 整除的系数，即011,,,j p b p b p b - ，而j p b 宎

；我们来看()x ?的系数i j e +，由乘积定义，

11221122()()i j i j i j i j i j i j e a b a b a b a b a b ++-+--+-+=++++++ ，据假设，i j p e +，而右端除了i j a b 这一项外，其它项皆是p 的倍数，而i j p a b 宎

，矛盾！ 2、

设p 为奇质数，1n p <-，1

011()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 为整系数多项式，

若在集合{}1,2,,1p - 中，有1n +个或更多个i x ，使()i f x 都是p 的倍数，则()f x 的所有系数01,,,n a a a 都是p 的倍数．

证：引理：设1n ≥，对于一元n 次整系数多项式()f x ，若有质数()p f a ，则可将f 表成如下形状：()()()f x x a g x m p =-+．其中()g x 为1n -次整系数多项式，m 为整数．

事实上，如设()()()f x x a g x r =-+，则有()f a r =，由()p f a 得p r ，设r m p =，即有()()()f x x a g x m p =-+．

回到本题，对多项式()f x 的次数n 归纳，1n =时，设01()f x a x a =+，如有12x x <， {}12,1,2,,1x x p ∈- ，使得10112021(),()f x a x a f x a x a =+=+都是p 的倍数，则 21(()())p f x f x -，即021()p a x x -，而2111x x p ≤-<-，p 为质数，则0p a ，于是

()101()p

f x a x -，即1p

a ，因此1n =时结论成立．

假设在1n k =-时，对于1k -次多项式f ，结论成立，考虑n k =情况，设1k p <-，而01,,,k x x x 是集合{}1,2,,1p - 中的1k +个数（不妨设01k x x x <<< ），使得对于

k 次多项式1

011()k

k k k f x a x a x

a x a --=++++ ，

每个()i f x 都是p 的倍数．因0()p f x ，据引理，()f x 可表为0()()()f x x x g x m p =-+ …… ○1，其中()g x 是1k -次整系数多项式，再分别用12,,,k x x x 代人○1，得到0()()()i i i f x x x g x m p =-+，1,2,,i k = ，由于011i x x p ≤-<-，p 为质数，则(),1,2,,i p g x i k = ，而()g x 是1k -次整系数多项式，由归纳假设，()g x 的系数皆是p 的倍数．代人○1得，()f x 的系数皆是p 的倍数．故当n k =时结论也成立，因此由归纳法，对所有11n p ≤<-，结论都成立．

3、设11112010!232010m ??=++++? ??

? ，证明：22011m ．

证：注意到2342010134201012342009m =????+????++????? 为集合 {}1,2,,2010M = 中每次取2009个元素的乘积之和，故可考虑以1,2,,2010 为根的多

项式()(1)(2)(2010)f x x x x =--- …… ○1，将其展开后，设为

2010

2009

2008

122009()122010f x x

a x

a x =+++++???

2010

(1)(2010!1)()x

g x =-+++，其中2008

2007

122009()()g x a x a x

a x =+++ ，

因2011为质数，故当x M ∈时，()2010

20111x -（据费尔马定理），又因2011(2010!1)

+（据威尔逊定理），且当1,2,,2010x = 时，()0f x =，所以当1,2,,2010x = 时，皆有2011()g x ，因此()g x 的所有系数皆是2011p =的倍数，令,1,2,,2009i i a pb i == ，

有201020092

120082009()2010!f x x pb x pb x a x =+++++ ，…○2，（其中2011p =）

由○1，(2011)2010!f =，所以由○2中取2011x =有

2010

2009

12200820092011

2011

201120110b b b a +?+?++?+?= ……○

据○3，2

20092011a ，由○1，2009a 就是()f x 展开式中的一次项系数，即为m ，因此得， 2

2011m ．

（注意，本题中的2011可改为任意奇质数p ）．

4、

设,,a b c 为实数，0a c <，2

()f x ax bx c =++0++=，

证明： 3(1)04f f ??

???

．

证：

c +=-

，3

f a c a ?

=++=

?，

而(1)())

f a b c a b c =++=++-

c a

???

，由于30,0c a

-<>>-

>，

所以(1)0

f f ?

，于是方程有一根在区间1??

? ???中；又因0a c <，则方程有一负

根，因此方程在区间0,

?中无根，即在此区间内()f x 不变号，因30,4?

∈ ?

，则

34f ??

???与f ?

同号，所以3

(1)04f f ??

?< ???

． 5、2()f x ax bx c =++(0)a ≠为实系数二次多项式，已知当1x ≤时有()1f x ≤；

证明：在2x ≤时有()7f x ≤，并确定等号能否取到？

证：当1,0,1x =-时分别有11,11,11a b c c a b c -≤++≤-≤≤-≤-+≤ …○*，据此又有，11c -≤-≤ …①，22222a b c -≤++≤ …②，22222a b c -≤-+≤ …③，

11a b c -≤-+-≤ ……④，由○

*得，11a c -≤+≤ ……⑤，由①⑤，22a -≤≤，所以424a -≤≤ … ⑥，由○

*及④得11b -≤≤ …… ⑦ 据①②⑥得，7427a b c -≤++≤，由①③⑥得7427a b c -≤++≤，即(2)7,(2)7f f ≤-≤，又因2

()24b b f x a x c a a ?

?=++- ?

?；

(1)、如果22b a

≥，则()f x 在[2,2]-上单调，故当2x ≤时，

()max((2),(2))7f x f f ≤-≤；

(2)、如果22b a

<，则当2b x a

=-时，()f x 取得极值，其值为2

()24b b

f c a

，

而2

()2224222

b b

b f

c c c b c a

≤+

?=+≤．即当2x ≤时，

()m ax((2),(2),)72b f x f f f a ??

≤--≤ ???

．

其中等号可以取到，例如函数2()21f x x =-．

6、设二次函数2()2011f x x ax b =++，其中,a b 是给定的实数；

证明：至多只有两个不同的整数12,x x ，使得12()1005,()1005f x f x ≤≤．证：反证法，假若有三个不同的整数123,,x x x ，使得()1005,1,2,3i f x i ≤=，则其中必有两个点位于对称轴22011

a x =-?的同一侧，（其中包括有一个点位于对称轴上的

情况），不妨设，2122011a x x >≥-?，因12,x x 为整数，则211x x -≥，

所以120,122011

22011

a a x x +

≥+

≥??，由此得1212011

a x x ++

≥，

于是12212010()()()()f x f x f x f x ≥+≥-222211(2011)(2011)x ax b x ax b =++-++

21212011()()20112011

a x x x x =-++

≥，矛盾！因此所设不真，从而结论得证．

7、设21

20121()n n

n f x a a x a x

--=++++ 的根都是正整数，且(1)1f =，求1a ．

解：设方程()0f x =的2n 个正整数根为122,,,n x x x ，

则122()()()()n f x x x x x x x =--- ，于是1221(1)(1)(1)(1)n f x x x ==--- ，因此，

等式右端为2n 个1-之积，所以2i x =，1,2,,2i n = ，而2()(2)n

f x x =-，据二项展开

式，其一次项为1212112(2)

224n n n n a x C x nx n x --=?-=-?=-?，即14n

a n =-?． 8、设多项式()p x 的次数不大于2n ，（*

n N ∈），且对每个整数[,]k n n ∈-，都有

()1p k ≤；证明：对每个实数[,]x n n ∈-，都有2()2

p x ≤．

证：对21n +个值,1,,k n n n =--+ 使用拉格朗日插值公式，有

()()

k n

i k n i n

x i p x p k k i

=-≠-≤≤-=

-∑

∏

，因为当,1,,k n n n =--+ 时有()1p k ≤，所以

()()

k n

i k i k n i n

n i n

x i x i p x p k k i

k i

=-=-≠≠-≤≤-≤≤--≤

≤

--∑

∑∏

∏

，注意到，对每个实数[,]x n n ∈-，

有

(2)!i k n i n

x i n ≠-≤≤-≤∏

，这是由于，当k x n ≤≤时，

得

((1))((1))i k n i n

x i x k x n x k x n ≠-≤≤-=-+-?--+∏

()()!(1)(2)(2)!n k n k n n ≤-?-+= ，同理可证n x k -≤<情形．

于是得到，

211

(2)!

()!()!

n k

n i k i k n i n

n i n x i n n C k i

k i

n k n k -≠≠-≤≤-≤≤-≤≤=--+-∏

∏

22220

(2)!

()2

()!()!

!(2)!n

k n

k k n n p x C

n k n k k n k =-==≤

==+--∑

∑∑．

9、设2()f x ax bx c =++为整系数多项式，且在1,2,3,4,5x =时，()f x 都是质数，

证明：()0f x =无有理根．

证：假若()0f x =有有理根x ，则可将()f x 分解为1122()()()f x m x n m x n =++，其中1212,,,m m n n 为整数，故对于(1)f ，1122,m x n m x n ++必有一个，当1x =时取值为1或

1-；对于(2),(3),(4),(5)f f f f 亦是如此，于是1122,m x n m x n ++中，必有一个，在

1,2,3,4,5x =时三次取到1，不妨设11m x n +三次取到1，若去掉绝对值符号，必有x 的两

个相异值,αβ，使得11m x n +两次取到相同的值（1或1-），设为1111m n m n αβ+=+，即1()0m αβ-=，于是10m =，这说明，()f x 为一次多项式，矛盾！因此结论成立．

10、设122011122011,,,,,,,a a a b b b 为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张 20112011?的方格表中，即在位于第i 行与第j 列的交叉处的方格中填入数i j a b +；

已知表中任一行的各数的乘积皆是2011，证明：表中任一列的各数的乘积也是2011．

证：第i 行的各数乘积为：122011()()()2011,1,2,,2011i i i a b a b a b i +++== ，故知122011,,,a a a 是多项式122011()()()()2011f x x b x b x b =+++- …… ○1 的2011个相异根，因此该多项式又可表为：122011()()()()f x x a x a x a =--- ……○2 取k x b =-，1,2,,2011k = ，则由○1，()2011k f b -=-，由○2，122011()()()()k k k k f b b a b a b a -=-+++ ，因此，

122011()()()2011k k k b a b a b a +++= ，

左边恰是表中第k 列各数之积，1,2,,2011k = ． 11、已知对任何整数x ，三项式2

ax bx c ++都是完全平方数；

证明，,,a b c 为整数，且24b ac =．

证：记()2

f x ax bx c =++，先证，,,a b c 为整数．

易得，()0c f =为平方数，()()211b f f =--，()()2112a f f c =+--皆为整数，若b 不是整数，则2b 为奇数，设221b n =+，于是 ()42 mod 4b ≡，又因0c ≡或()1 mod 4，()()16820 mod 4a a =?≡，则

()41642f a b c =++≡或()3 mod 4，即()4f 不为平方数，矛盾.

因此b 为整数，继而 ()1a f b c =--为整数. 为证2

4b ac =，采用结构转换法：

()0

.若0b c ≠，则y Z ?∈，()()()()

21f cy a cy b cy c c acy by =++=++为平方数，而

c 是非零平方数，因此，y Z ?∈，()2

1g y acy by =++的值为平方数.

*k N ?∈，分别取2k

y b =±，则有整数, k k u v ，使

()()()2

2221k

g b ac b b b u =++=，()()()2

2221k

k g b ac b b b v -=-+=，相乘并

整理得 ()()()

212k

k k acb u v b

+=+ ……○1

由于22

21k

acb +与2

2k b 互质，可知○1中的三项两两互质，且2

b 为偶数，故由勾股

数定理，有互质整数,k k m n ，使

2222

k k acb m n +=+ ……○

22k

k k b m n = ……○

据○2知，,k k m n 一奇一偶，据对称性，不妨总设k m 为奇数（对每个k ）.故由○3，

k m 是2b 的因数，但2

b 的奇因数个数有限，故当k 依次取1,2, 时，必有k m 的两值相同，

设为() ,s t m m s t =<，将○2、○3换为：

()()()()

2222

216214 , 22 522 7t

s t t s s s t s s t t acb m n acb m n b m n b m n ?+=+?+=+????==???? ○7÷○5得，2

t s

n n -=，则22222t s t s n n -=，因此，()2222221 t s t s s n n n --=- ○8

○

6-○4得，()2

2222

1 s

t s

s n n acb

--=- ○

9，从而据○8、○9，()2222221s t s acb --()22221 t s s n -=-，因22210 t s -->，故得，

222

s acb n = ……○10，由○4、○

10得，2

1s m =，再由○

5，

244s

s s s b m n n == ……○

11，因此，2422

242s s

b acb =?，

所以 24b ac =. (又由 ,,a b c 为整数，c 为平方数，0b c ≠，则a 为平方数.)

()0

2.若0b c =，如果0c =，由于x Z ?∈，()2

f x ax

bx =+为平方数，则

()()2

242f b b

a =+为平方数，因为42a +不是平方数，必有0

b =，此时

()()2

,1f x ax a f ===平方数，且24b ac =；

如果0, 0c b ≠=，则x Z ?∈，()2

f x ax c =+为平方数，注意()0c f =

为平方数，由(

)(()444, 41f

c a f c a =+=+皆为平方数，所以

44, 41a a ++皆为平方数，令2

44, 41a u a v +=+=，则

()()2

3u v u v u v =-=+-，得 3, 1u v u v +=-=，因此2, 1u v ==，0a =，所以，

,a c 为平方数，且2

4b ac =．

总之在每一情况下皆有，,a c 为平方数，b 为整数且24b ac =，（令22

,a d c e ==，

则2b de =，所以()2

2ax bx c dx e ++=+，即这种多项式是完全平方式.）

因此所证的结论成立.

12、对于集合{}12,,,m A a a a = ,记12()m P A a a a = .设99

122010,,,()n A A A n C = 是

集合{}1,2,,2010 的所有99元子集，求证:1

2011

()n

i P A =∑.

证一：构造多项式2010()(1)(2)(2010)2010!f n n n n n =----- ，其中n Z ∈，注意2011为素数，由威尔逊定理知，2010!1(mod 2011)≡-，又由费尔马定理，当2011 n 时，20101(mod 2011)n ≡，所以对于每个n Z ∈，

(1)、当2011

n 时，()(1)(2)(2010)0(mod 2011)f n n n n ≡---≡ ； (2)、当2011n ，()(1)(2)(2010)2011!f n n n n ≡---- 2011!2011!0(mod 2011)≡-≡．

即()0(mod 2011)f n ≡在m od 2011意义下有2011个解，而()f n 是一个2009次多项式，对于每个n Z ∈都有2011()f n ，所以()f n 的各项系数都能被2011整除．

因为1

()n

i i P A =∑就是多项式()f n 中n 的1911次项的系数，故有1

2011

()n

i P A =∑．

证二：对于集合{}1,2,,2010 的每个99元子集{}1299

,,,i A a a a = ，对应于集合{}1,2,,2010

中惟一的99元子集{}1299,,,i B b b b = ，其中2011k k b a =-，1,2,,99k = . 由于99

()992011k k k a b =+=?=∑奇数，故集合,i i A B 是集合{}1,2,,2010 的两个不同的子

集.当i A 通过集合{}1,2,,2010 的所有99元子集时，

i B 也通过集合{}1,2,,2010 的所有99元子集．而

12991299()()(2011)(2011)(2011)i i P A P B a a a a a a +=+--- 12991299()()()0a a a a a a ≡+---≡ （m od 2011）,

于是 1

2()()()0(m od 2011)n

i i

i i i P A P A P B ====

+≡∑∑∑ ,所以 1

2011()n

i P A =∑．

13、证明：满足不等式

12200101

2200x x x +

>--- 的实数x 的集合E 可以表为一

些互不相交的开区间之并，试求出这些区间长度的总和．解：考虑函数12

200

()101

200

f x x x x =

+++

---- ，由于当1x <时，()0f x <，故

在区间(,1)-∞内，不存在使()0f x >的实数x ；

对于集{1,2,,200} 中的任一个k ，由于当0x k →-时，()f x →-∞，而当

0x k →+时，()f x →+∞，且当x →+∞时，10x →-，所以方程()0f x =在区间

(1,2),(2,3),,(199,200),(200,)+∞ 内各有一个解；依次记这200个解为12200,,,x x x ，

于是函数()y f x =的图像大致如下：

今构作多项

式

()(1)(2)(200)()p x x x x f x =---? ，

由于()p x 是一个200次多项式，故方程()0p x =至多有200个互异根，显然每个使()0f x =的i x 都是()0p x =的根（注意 1,2,,200x = 都不是()0p x =的根，因为每个x k =均使()f x 无意义）．因此12200,,,x x x 便是()0p x =的全部根．这表明,每个k x 是其所在区间

(,1)k k +,1,2,,199k = 及(200,)+∞中的唯一根．

从而不等式()0f x >的解集是12200(1,)(2,)(200,)E x x x = ，故得所有区间长度的总和为 12200(1)(2)(200)S x x x =-+-++-

200

122001

()(12200)102010i

i x x x x

==+++-+++=

-?∑ ………①

注意 12200()(1)(2)(200)(10)1

200

p x x x x x x x =---?+

++---- …②

如将()p x 展开，其最高项系数为10-，设

200

199

198

12199200()10p x x

a x

a x a =-+++++ ………③

又有12200()10()()()p x x x x x x x =---- …………④

据③④得，200

110

i i x a ==

∑ （其中1a 为()p x 的199

的系数）

下面由②直接计算199x 的系数1a : 由于在12200()(1)(2)(200)(

10)1

200

p x x x x x x x =---?+

---- 中，199

的系数

是10(12200)1020100?+++=? ，（这是因为，在(1)(2)(200)k

x x x x k

---?

- 中，

199

的系数为k ，1,2,,200k = ．）

所以()p x 中的199x 的系数是(101)20100+?，即11120100a =?；

从而200

111201010

i i x a ==

=?∑．由①得，200

1020102010i

i S x

-?=∑.

14、2011个实数122011, ,,x x x 满足方程组 2011

1, 1,2,,2011.21

k k x n n k

n ==

=++∑

试计算 2011

k k x k =+∑

的值.

解：构作2011次多项式：

()()()()()2011

121220112111

2011x x x f

x x x x x x x x ?

???

=+++++

???+++???

… ○1 据条件，当分别取1,2,,2011x = 时，皆有()0f x =，因此有常数c ，使 ()()()()122011f x c x x x =--- ……○2，于○1、○2中，分别取12

x =-

，得

14023

c =

，因此 ()()()()11220114023

f x x x x =

--- ……○

3，于是 ()()()()2011

121220112111

2011x x x x x x x x x x ?

???

+++++

???

+++???

()()()11220114015

x x x =

--- ……○

4，再于○4中令 12

x =，

得 2011

k k x k =+∑

211144023??

- ?

15、,,a b c 是三个互异整数，对任一整系数多项式()f x ，证明：以下三个等式：

(),(),()f a b f b c f c a ===不可能同时成立．

证：设01()n n f x a a x a x =+++ ，则

12()()()()()()(,)n

n f a f b a a b a a b a a b a b a b ?-=-+-++-=-? ，

其中(,)x y ?是一个整系数多项式，(,)a b ?是一个整数；由于a b ≠，则()()(,)f a f b a b a b

?-=-；同理有

()()(,)f b f c b c b c

?-=

-，()()(,)f c f a c a c a

?-=

-，(,),(,),(,)a b b c c a ???皆为整数．

假若(),(),()f a b f b c f c a ===同时成立，那么以上三式成为： (,),(,),(,)b c c a a b a b b c c a a b

b c

c a

???---=

---，因此

(,)(,)(,)1a b b c c a ?????=，于是(,)(,)(,)1a b b c c a ???===，由此得 a b b c c a -=-=-，不妨设a b c >>，上式成为

a b b c a c -=-=-，于是a b c ==，这与条件矛盾！

因此(),(),()f a b f b c f c a ===不可能同时成立．

16、证明任一多项式()f x 都可以表示成两个严格单调递增的多项式之差．

证：对多项式()f x 的次数n 归纳．若0n =，设()f x c =（常数），这时有

()()f x c x c x ==+-，而多项式(),()g x x c x x ?=+=皆为严格单增． 1n =时，设(),(0)f x ax b a =+≠，任取正数p a >，则0p a +>，这时有

()()()f x ax b p a x b px =+=++-，而多项式()()g x p a x b =++与()x px ?=皆为

严格单增．因此1n =时结论成立，也就是2n <时结论成立．

今设(2)n k k <≥时结论皆已成立，考虑n k =的情况：

(1)、若k 为偶数，记2k m =，这时可设2()()()k m

f x ax

g x ax g x =+=+，

()g x 是次数低于k （即低于2m ）的多项式，据二项式定理，

212121

()()21m m m x a x ax x m ?++??+-=+??+，其中()x ?的次数低于2m ，而多项式

()

m x a ++与多项式21m x +皆为严格单增，由于多项式(),()g x x ?的次数皆低于(2)k m =，

则多项式()()g x x ?+的次数也低于k ，故由归纳假设，存在严格单增多项式11(),()g x x ?，使得11()()()()g x x g x x ??+=-，若取21

1111()()()

,()()21

m m F x g x x a G x x x

m m ?++=+

+=+

++，则

()()()f x F x G x =-，其中(),()F x G x 皆是严格单调递增多项式．

(2)、若k 为奇数，记21k m =+，这时可设21

()()()k m f x ax g x ax

g x +=+=+，其中()g x 是次数低于k （即不超过2m ）的多项式，据(1)的讨论知，存在严格单调递增多项式(),()F x G x ，使得()()()g x F x G x =-；又对于21m ax +，任取正数p a >，得

()m m m ax

p a x

+++=+-，令212111()()(),()()m m F x F x p a x G x G x px ++=++=+，

则21

11()()()()m f x ax

g x F x G x +=+=-．因此n k =时结论也成立，从而本题结论得证．

17、设有多项式序列{}()n p x ：()2

111()2,()(),2,3,,k k p x x p x p p x k -=-==

证明：对于任何正整数n ，方程()n p x x =的根全为相异实数．

证：易得2224221()()2(2)242p x p x x x x =-=--=-+，2

32()()2p x p x =-=

()2

422x x =-+-，……，因此()n p x x = … ○

1是关于x 的2n 次方程，它的实根个数不多于2n 个；注意到，方程1()p x x =，即2

2x x -=的根为1-与2；而方程2()p x x =，

即4242x x x -+=可分解为2

(1)(2)(1)0x x x x +-+-=，其各根都介于1-与2之间，因此猜测，对每个正整数n ，这一结论也是成立的．

引理：对每个正整数n ，方程()n p x x =的任何实根的绝对值皆不大于2．

即要证，对于绝对值大于2的任何实数x ，皆有()n p x x ≠．据2x >，可令2x a =+，

0a >，对n 归纳，1n =时，2

1()2(2)2422p x x a a a a x x =-=+-=++>+=≥，

设当n k =时已有()k p x x >，记(),0k k k p x x a a =+>，则因2x >，有

1()()2()2222k k k k k p x p x x a x a x a x x

x +=-=+-=++->->-

()1x

x x =->，

（这里用到，2x >，即11x ->．）因此引理成立．现在设2cos ,0x θθπ=≤≤，则()2

1()2cos 22cos 2p x θθ=-=，

()

2()2cos 222cos 2p x θ

θ=-=，……，()

()2cos 222cos 2n n

n p x θ

θ-=-=，

于是方程()n p x x =成为2cos 22cos n θθ=，即cos 2cos n θθ= …○2 据○2得，22n k k k θπθ=+及22n m m m θπθ=-，,m k 为整数，所以 22,21

k m n

k m ππθθ=

--，由于0θπ≤≤，故得方程○1的两组共2n 个实根：

2cos

,0,1,,2

121

n k n

k x k π-==-- …○

3，1

2cos

,1,,2

n m n

m y m π-==+ …○4

接下来要证，○3○4中的2n 个数彼此相异，事实上，由于余弦函数在[0,]π严格单减，所以同一组的12n -个值互异；再说明○3中的任一数与○4中任一数互异，反证法，若有i j x y =，其中{}{}110,1,,21,1,2,,2n n i j --∈-∈ ，则两个角都属于[0,]π，则有

i j =

-+，于是2121

i j -=

+，因奇数21n +与21n

-互质，所以21n

j +，矛盾！

因此○3○4中的2n 个数彼此相异，而它们是方程()n p x x =的全部根．

18、设()f

x 是给定的次数为正整数的实系数多项式，证明：对于每个正数c ，存在一

个正整数0n 满足如下条件：对每个次数0n ≥且首项系数为1的实系数多项式()p x ，满足不等式()()f

p x c ≤的整数x 的个数均不超过()p x 的次数．

讲解：由于()f x 的次数1≥，则当x →∞时，()f x →+∞，故00,0c x ?>?>，只要0x x >，就有()f x c >；而满足0x x ≤的整数x 只有有限多个，从而使得

()

x c ≤的整数x 只有有限多个．

今设()p x 是任一个首项系数为1的k 次实系数多项式，其中0k n ≥，（0n 待定），任取1k +个互不相同的整数：121k b b b +<<< ，由拉格朗日插值多项式，有

()()1

k j i i i j

i j

x b p x p b b b +=≠-=

-∑

∏

，因为()p x 的首项系数为1，比较两边的首项系数，得

()()1

111k k i i i i j i

j i

i j

p b p b b b b b ++==≠≠=

≤

--∑

∑

∏

……○1

设()()(){}121m ax ,,,k p b p b p b M += ，因12111i i i k b b b b b b -++<<<<<<< 为不同的整数，其中小于i b 的b 值有1i -个，故121,,,i i i i b b b b b b ---- 是1i -个不同的正整数，其乘积()1!i ≥-，又因在这1k +个数中，大于i b 的有1k i +-个，所以，121,,,i i i i i k b b b b b b +++--- 是1k i +-个不同的正整数，于是其乘积

()1!k i ≥+-，因此得，()()1!1!i j i j

b b i k i ≠-≥-+-∏ ……○

2 由○1得，()()()1

11!1!

k k i i i j i

i j p b M i k i b b ++==≠≤

≤

-+--∑

∑

∏

()()1

1!1!

k i M k k i k i +==

-+-∑

k k

i r

i r M

M C C k k k +-==?=

=∑∑，所以 0

0!!2

n k

n k M ≥≥

；

今取0n 为满足

00!2

n n x >的最小正整数；由于0M x >，故有()

f M c >，而

()()0m ax i i M p b p b ==，即在1

,,,k b b b

+ 中，至少有一个整数0

i b 使得

()

0i p b M x =>，从而()()0

i f

p b c >，因此在1

,,,k b b b

+ 中，满足()()

p b c ≤的

整数至多k 个，而由121,,,k b b b + 的任意性可知，任何1k +个整数中，至多k 个整数x 满足()()

p x c ≤，从而在全体整数中，满足()()

p x c ≤的整数至多k 个．

（其中()deg k p x =），

19、设2n ≥，对于n 元复数集{}12,,n A a a a = ，{}12,,n B b b b = ，

证明以下恒等式成立：

11()

()

i k

i n

i i n

k k k i k i i i i k i k a

b b

a a a

b b ======≠≠++=

--∏∏∑

∑

∏

．

证一：需要用到拉格朗日插值公式：若()f x 为n 次多项式，121,n a a a + 是任意1n +个两两不等的数，则有：

()()()()()()()()()()()()

()()()23113112121311212321n n n n x a x a x a x a x a x a f x f

a f a a a a a a a a a a a a a ++++------≡++------

+()()()()

()()()

12111121n n n n n n x a x a x a f a a a a a a a ++++------

．

今证本题：构作1n -次多项式()()()1

i i f x x a x b ===

+--∏∏ 对于n 元集

{}12,,,n A a a a -=--- ，{}12,,,,n B b b b = 有 ()()

()1

n k k

i i f a a

b +=-=-+∏，

()()1

k k

i i f b b

a ==

+∏，由L -插值公式，对于集A -，有

()()

()

111

11111i

n i n i k i n i k k k

i n k k i n

k i k

i i n i k i n i k x a x a f

x f a a

b a a a

a +≤≤≠≤≤≠-==≤≤≤≤≠≤≤≠++=-=

-+-+--∏∏∑

∑∏∏

∏

()()()

()()

11k

i n

i i n i

k i n i k

i n i k a

b x a a a ≤≤=≤≤±≤≤≠+=

+-∏∑

∏∏

同样，对于集B ，有 ()()

()()

11k

i n

i i n i

k i n i k

i n i k b

a f x x

b b b ≤≤=≤≤±≤≤≠+=

--∏∑

∏∏

，比较两个表达式中()f x 的1n x -的系数，即有

()

()()

i n

i i n k k

i n i k a

b a

a ≤≤=≤≤≠+=

-∏∑

∏()

()

i n

i i n

k k

i i n i k b

a b

b ≤≤=≤≤≠+-∏∑∏．

证二：分两种情况考虑：

1）若对任何{},1,2,l j n ∈ ，均有0l j a b +≠，这时，构作如下两个n 元线性方程组：

21112112

2122

212111n n

n n n n

n n n x x x a b a b a b x x x a b a b a b x x x a b a b a b ?+++=?+++??+++=?

+++???

?+++=?+++? ……① 1

21112112

2122

212111n n

n n n n

n n n y y y b a b a b a y y y b a b a b a y y y b a b a b a ?+++=?+++??+++=?

+++???

?+++=?+++? …… ②

记①的系数行列式为n D ，先说明0n D ≠

121

1111

11111n

n n n n n n

a b a b a b a b a b a b D a b a b a b ++++++=+++

将上面各列分别减去第n 列，再先按行，后按列分别提取公因式得

2122

11111111()1()

1111

n n n

i n i n n

i i n n n n a b a b a b b

b a b a b a b D b

a a

b a b a b ---==-+++-+++=

++++∏∏

将上面各行分别减去第n 行，再先按行，后按列分别提取公因式得

2122

111

11101110()

()0()

()

11101

n n n n

i n

i n i i n n

n n

i n

i i i n n n n a b a b a b b

b a

a a

b a b a b D b

a a

b a b a b a b ----==-==----+++--+++=

?+++++∏∏∏∏

()()1()()

n n i n i n i n n

n i n i a a b b D a b a b b a --=--=

?+++∏

．

据这一递推关系以及111

1D a b =

+，且由0l j a b +≠，{},1,2,l j n ∈ ，立得0n D ≠，从而

方程组①有唯一的一组解12,,n x x x ．代入①后，①式便成为n 个等式，由这组等式可知，

关于t 的方程

121

1n n

x x x t b t b t b +

=+++ … … ③

有n 个根12,,n t a a a = ．

将③整理为11212()0n n n n t b b b x x x t -++++----+=

据根与系数关系，有121212()n n n a a a b b b x x x +++=-+++---- ，即121212n n n x x x a a a b b b +++=+++++++

… … ④

又因方程组②的系数行列式恰好是n D 的转置,其值也不为0，于是方程组②有唯一的解12,,n y y y ，

同理求得121212n n n y y y a a a b b b +++=+++++++ … ⑤ 从而1212n n y y y x x x +++=+++ ． … … ⑥

下面我们直接从①②来计算,,1,2,k k x y k n = ．

121

1111111

11111

111111k k k n

k k n x n n n k n k n n

a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b D a b a b a b a b a b -+-+-+++++++++++=+++++

再对系数行列式n D 变换，保留第k 列，其余诸列各减去第k 列，然后先按行，后按列分别提取公因式得：

1121

11111()

111111

()

111111n

k k n

i i i k k k n n n

i i n n n k n k n n

a b a b a b a b a b b

b a b a b a b a b a b D b

a a

b a b a b a b a b -+=≠-+=-++++++-+++++=

++++++∏∏

()

k n

i i i k x n

i i b

b D b

a =≠=-=

?+∏∏．

故由克莱姆法则：

11()

()

k n

i x i k n n

i i i k

a D x D b

b ==≠+=

-∏∏，同理可得11()

()

i i k n

i i i k

b y a

a ==≠+=

-∏∏。

将,,1,2,k k x y k n = 一起代入⑥式，得111

11()

()

i k

i n

i i n

k k k i k i i i i k i k a

b b

a a a

b b ======≠≠++=

--∏∏∑

∑

∏

．

2）当存在{},1,2,l j n ∈ 使0l j a b +=时，则被证式左右两端均有一个加项为0，这时，变换编号，令

n l a a '=，l n a a '=，i i a a '=，（当,i l n ≠） n j b b '=，l n b b '=，i i b b '=，（当,i j n ≠）

则1

11111

111

()

()()n

n n k

i k

n n i i i i n

n n k k k k k i k i k

i k

i i i i i i k i k i k i k a

b b

a a

b b a a a b b a a b b ----====--========≠≠≠≠''''++++-=

-''''----∏∏∏∏∑

∑

∏

⑦ （注）

假若⑦式右端仍有l a ''，j b ''，使得0l j a b ''''+=，则可继续按上述方法替换下去，直到任一形

如s r

a b + 的和式皆不为0，于是⑦式右端最终化为1

()

()()()()m

i m

i i m

k k k i k i

i i i k i k a

b b a

a b b ======≠≠++-

--∏∏∑∑

∏

，

2m n ≤≤，则与情形1）中的和式本质上没有区别．由1）的结果可知，其值为0，而这也

就是：111

11()

()

i k

i n

i i n

k k k i k i i i i k i k a

b b

a a a

b b ======≠≠++=

--∏∏∑

∑

∏

．

由以上两步讨论，便证得本题结论．

（注）当0l j a b +=，即0n

n a b ''+=，即n n b a ''=-，于是k n k n a b a a ''''+=-，而1

1()

()

()()()

()

()()()()n

n n k

i k

n k i k

i i i i n

n n k k k k k i k

i k

n k i k

i i i i i i k i k i k i k a

b a b a b a b a b a a a a a a a a a a --====--========≠≠≠≠''''''''+++++=

''''''''-----∏∏∏∏∑

∑

∏

∏∏

同理有1

111

1()

()

()n n k

i k

i i n

n k k k i k

i i i i k i k b

a b a b b b b -==-====≠≠''++=

''--∏∏∑

∑

∏

．

20、设()1

121n n n n n f

x x a x

a x

a x a ---=

+++++ ()*,0,n a n ≠∈N 为x 的n 次整系

数不可约多项式，若它的每个根的模都不大于1；

证明：存在

m 以及整系数多项式()g x ，使()() 1.m

f x

g x x =-

证：首先说明，对于确定的正整数n ，其各根的模皆不超过1的n 次整系数（首项系数为1的）多项式只有有限多个.

事实上，设12,,,n x x x 是()f x 的n 个复根，则由 ()1

121n

n n n n f x x a x

a x

a x a ---=+++++ ()()()12n x x x x x x =---

()()()

()

()12

1211k k

n n n k

i i j i i i n

x x x

x x x x

x x x x x x ---=-+-+-++-∑∑∑ 得

i n

a x

x n C =

≤

≤=∑∑，

i j n

a x x

x x C =

≤

≤∑∑

，…，

,k k k

k i i i i i i n a x

x x x x x C =

≤≤∑∑

，121.n

n n n a x x x C === 记 {}12max ,,,,n

n n n M C C C = 则,i i a M ?≤，且因i a 为整数，故这种多项式的每个系

数都只有有限多种选择，从而这种多项式只有有限个，它们构成集合F . 今设 ()1

121n

n n n n f x x a x

a x

a x a ---=+++++ ，()0n a ≠是集合F 中的一个多项式，

而12,,,n x x x 是它的n 个根，，由于0n a ≠，则0i x ≠，()1,2,,i n =

构作多项式序列{}k f ，其中()()()12k k k k n f x x x x x x =--- ，()1,2,3,k =

则k f 各根的模也不超过1，且k f 也是n 次整系数多项式，其首项系数为1，常数项不为0，（这是由于，将k f 的右端展开后，每个系数都是关于12,,,n x x x 的整系数对称多项式，它

可表为关于12,,,n x x x 的基本对称多项式 1,i

x σ=

∑

x x

σ=

∑，…，12n n x x x σ= 的整系数多项式，即表为整数12,,,n a a a 的整系数多

项式，故k f 的系数为整数）.

考察无穷序列12,,,,,k f f f 所有k f F ∈，其中必有无穷多个相同的多项式，设为

12r k k k f f f ==== ，于是*

12,,,,r r r k

n r x x x ?∈N 是11112,,,k

n x x x 的一个排列形式，

但是n 个数111

12,,,k k k n x x x 的全体排列只有有限多个，故其中必有两个相同的排列.

设（12,,,r

k k k n x x x ）()12,,,s

k k k

x x x = .

记 s r k k m -=，*m ∈N , 则由 1122,,,s

k k k k k k n n x x x x x x ===

以及{}1,2,,,0,i i n x ?∈≠ 得 12

1,1,,1m m m

n x x x === . 由()f x 的不可约性，因此，12,,,n x x x 是多项式()1m

p x x =-的n 个不同的根.

记m n k -=，且设()p x 的另外k 个根为12,,,k t t t ，而()()()()1

1211k

k k k k g x x t x t x t x b x

b x b --=---=++++ ，则

()()()p x f x g x =，由于()(),p x f x 都是整系数多项式，故其虚根成对，从而

()g x 的虚根也成对，因此()g x 为实系数多项式. 再证()g x 为整系数多项式，由

()()1

1111n

n k

k n n k k

a x

a x a x

b x

b x b ----++++++++ 1m

=-，有

1n k a b =-

110n k n k a b a b --+= 21120n k n k n k a b a b a b ----++=

由于1211,,,,,n n n n a a a a a --= 为整数，故由以上诸卷积，可依次求得11,,,k k b b b - 为整数，因此()g x 为整系数多项式.