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函数的概念、定义域及解析式

一．课题：函数的概念及解析式

二．教学目标：了解映射的概念,在此基础上加深对函数概念的理解；能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数；理解分段函数的意义．三．教学重点：函数是一种特殊的映射,而映射是一种特殊的对应；函数的三要素中对应法则是核心，定义域是灵魂．

四．教学过程：

（一）主要知识：

1．对应、映射、像和原像、一一映射的定义；

映射----设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中的任意一个元素X，在集合B中都有唯一确定的元素Y与之对应，那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射。记作f:A→B.

其中X叫做Y的原象，Y叫做X的象。映射是特殊的对应，只能一对一或多对一，不能一对多。

一一映射-----在集合A到集合B的映射中，若集合B中的任意一个元素在集合A中都有唯一的元素与之对应，那么就说这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射。

2．函数的概念

函数的传统定义和近代定义；

传统定义-------如果在某变化过程中有两个变量X、Y，对于X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，Y都江堰市有唯一的值和它对应，那么Y就是X的函数。记为Y=f（X）

近代定义-----函数是由一个非空数集另一个非空数集的映射。（或如果A、B 都是非空的数集，那么从A到B的映射f：A→B叫做A到B的函数。原象的集合Ａ叫做函数的定义域，象的集合Ｃ叫做函数的值域）。函数是特殊的映射，只能是从非空数集到非空数集的映射。

3．函数的三要素及表示法．

函数的三要素-----定义域、值域、对应法则。（是判断两个是否为同一函数的依据）由于值域可由定义域和对应法则唯一确定，故也可说函数只有两要素，即判两个函数是否为同一函数可用定义域和对应法则来判断。

函数的表示法通常有：解析法、列表法、图象法。

4，函数的解析式：函数的解析式是指用运算符号和等号把数和表示数的字母连结而成的式子。

对应法则是函数的：“核心”它是自变量与因变量沟通的桥梁，它给出了当已知一个自变量的值时，得出对应的函数值的一种算法。求函数的解析式，本质上就是要弄清函数的对应法则。

分段函数的概念：有些函数在它的定义域中，对于自变量X的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。注意分段函数是一个函数而不是几个函数。故分段函数的定义域是指“各段”对应的X的范围的并集；其值域也是“各段”对应的Y值的范围的并集。

5.函数的定义域----是指使函数有意义的自变量的取值范围。

函数的定义域基本上分为两类：（1）限定定义域（2）自然定义域

限定定义域：它是指受应用条件或附加条件的制约的定义域。

（二）主要方法：

1．对映射有两个关键点：一是有象，二是象惟一，缺一不可；

2．对函数三要素及其之间的关系给以深刻理解，这是处理函数问题的关键；

3．理解函数和映射的关系，函数式和方程式的关系．

4函数的定义域

(1)求函数定义域的依据

<1>含有分式的，分母不能为零。如 Y=1

21x - 由2X –1≠0

得X ≠12 所以得函数的定义域为（–∞，12

）∪（12

，+∞） <2>含有偶次方根的，被开方式大于或等于零；如 Y= 21x -由2X

–1≥0得X ≥12 所以得函数的定义域为[12

，+∞)

<3>含有对数式的，真数要大于零；如 Y=log (21)a x - (a>0,且a ≠1)

由2X –1>0得X>12 所以函数的定义域为（12

，+∞）

<4>指数式中，若指数为零，则底数不能为零；如 Y=0(21)x -

由2X –1≠0得X ≠12

所 (2)

复合函数的定义域 <1>已知f(x)的为定义域为[a,b], 求f(x+m)的定义域

由a≤x+m≤b 解得a–m≤x≤b–m

为f(x+m)的定义域

如已知f(x)的为定义域为[1，2], 求f(x+1)的

定义域

解: 由1≤x+1≤2 解得0≤x≤1 所以

f(x+1)的定义域为﹛x∣0≤x≤1﹜

<2>已知f(x+m)的定义域为[a,b],求f(x)的定义

域

解: 由a≤x≤b 解得a+m≤x+m≤b+m 为f(x)的定义域(即求x+m的取值范围或求

g(x)=x+m的值域)

如已知f(x+2)的为定义域为[0,1], 求f(x)的定

义域

: 解∵0≤x≤1 ∴ 2≤x+2≤3 所以f(x)的

定义域为﹛x∣2≤x≤3﹜

<3>已知f(x+m)的定义域为[a,b]求f(x+n)的定

义域

由f(x+m)的定义域求出f(x)的定义域，再由f(x)

的为定义域求出f(x+n)的定义域

如已知f(x–2)的为定义域为[1，3], 求f(x+5)

的定义域

: 解∵1≤x≤3 ∴–1≤x–2≤1 ∴f(x)

的定义域为﹛x ∣–1≤x ≤1﹜

又由 –1≤x+5≤1 解得–6≤x+5≤–4

所以 f(x+5)的定义域为 ﹛x ∣–6≤x ≤–4﹜

4．求函数的解析式的问题常见的有五种情况：

（1）有时在解决实际问题时，需建立函数关系式（这种情况下要引入合适的变量）

（2）在已知解析式的结构特点的情况下求解板式（可用待定系数法求之）。

（3）已知f[g(x)]=h(x)，求f(x)（常采用换元法或配凑法求之）

（4）已知关于f(x)，f(–x),

1()f x

等的等式，求（常采用消元法求之）（5）求某些抽象函数的解析式

（三）例题分析：例1．（1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y x →=；

（2）*{|2,}A x x x N =≥∈，{}|0,B y y y N =≥∈，2:22f x y x x →=-+；

（3）{|0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y x →=

上述三个对应（2）是A 到B 的映射．

例2．已知集合{}(,)|1M x y x y =+=，映射:f M N →，在f 作用下点(,)x y 的象是(2,2)x y ，则集合N = （ D ）

()A {}(,)|2,0,0x y x y x y +=>> ()B {}(,)|1,0,0x y xy x y =>>

()C {}(,)|2,0,0x y xy x y =<< ()D {}(,)|2,0,0x y xy x y =>> 解法要点：因为2x y +=，所以2222x y x y +?==．

例3．设集合{1,0,1}M =-，{2,1,0,1,2}N =--，如果从M 到N 的映射f 满足条件：对M 中的每个元素x 与它在N 中的象()f x 的和都为奇数，则映射f 的个数是（ D ）

()A 8个 ()B 12个 ()C 16个 ()D 18个解法要点：∵()x f x +为奇数，∴当x 为奇数1-、1时，它们在N 中的象只能为偶数2-、0或2，由分步计数原理和对应方法有239=种；而当0x =时，它在N 中的象为奇数1-或1，共有2种对应方法．故映射f 的个数是

第一讲函数的定义域和解析式

函数的定义域和解析式一．知识点 1常见函数的定义域：①分母不为零；②被开偶次方的数大于等于零；③0x 中x 不等于0 ④log a x 中0,1a a >≠，0x >；⑤x a 中0,1a a >≠⑥tan x 中,2x k k Z ππ≠+ ∈ 2.抽象函数的定义域：①定义域是指自变量x 的范围；②()f 中，()内的取值范围相同。 3.同一函数的判断：两个函数有相同的定义域和解析式。二．常考题 1．函数()lg 43 x y x -=-的定义域是___________ 2．已知函数()3f x +的定义域是[]4,5-，则函数()23f x -的定义域是___________ 3．设()2lg 2x f x x +=-，则22x f f x ????+ ? ????? 的定义域是___________ 4．已知函数()2lg 2194y mx m x m ??=++++??的定义域是R,则m 的取值范围是 ___________。 5． .若函数()253 x f x x -=-的值域为[)4,+∞，()f x 的定义域是. _________。 6．已知函数()21f x x =-，()2,01,0x x g x x ?≥=?-

函数的概念与定义域

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一、函数的概念一、映射 1．映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按照某种对应关系f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有惟一元素和它对应，这样的对应叫做集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →:; 2．象与原象：如果B A f →:是一个A 到B 的映射，那么和A 中的元素a 对应的元素叫做象， a 叫做原象; 3.映射的性质： ①方向性：集合A 到集合B 的映射与集合B 到集合A 的映射是不同的; ②任意性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都要有象，但不要求B 中的每一个元素在A 中都要有原象; ③惟一性：集合A 中元素的象是惟一的，即“一对一”、“多对一”是允许的，但“一对多”是不允许的. 二、函数 1．定义：设A 、B 是两个非空数集．．，B A f →:是从A 到B 的一个映射，则映射B A f →:就叫做A 到B 的函数，记作：()x f y =; 2．函数的三要素为:定义域、值域、对应法则，两个函数当且仅当定义域和对应法则分别相同时，二者才能称为同一函数; 3．函数的表示法有：解析式、列表法、图像法. 例1、（1）给出下列四个对应,是映射的是（） ① ② ③ ④ A.②④ B.①② C. ②③ D.①④ (2)设{}{}|02,|12,A x x B y y =≤≤=≤≤在下图中,能表示从集合A 到集合B 的映射是 a m b c n A B a m b c p A B n a m b p A B n a m b A B c . A y 1 2 x O 1 2 . B y 1 2 x O 2 1 . D y 1 2 1 2 x O . C y 1 2 1 2 O x

函数的定义域及函数的解析式解读

函数的定义域及函数的解析式因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨. 一、函数的定义域［例1］求下列函数的定义域 (1)ｙ＝－22 1x ＋１ (2)ｙ＝4 22--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x (5)ｙ＝3 142-+-x x (6)ｙ＝)13(1 13-+--x x x (7)ｙ＝ x 1 11 11++ (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域. 解：(1)ｘ∈R (2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝ (3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝ (4)要使函数有意义，必须使? ??≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝

(5)要使函数有意义，必须使?????≠-≥-0 3042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝ (6)要使函数有意义，必须使???≠-≠-0 1301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝ (7)要使函数有意义，必须使??????? ????????≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－ 2 1＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≥a 3｝当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a 3｝当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为?，故原函数定义域为? 评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成. (2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论. ［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域. (2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域. (3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域. 分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样. (2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域. (3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用. 解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1) ∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ

函数的基本概念与定义域

学生：科目：第阶段第次课教师：课题函数的基本概念与定义域教学目标1.了解函数的的基本概念，并能熟练的应用 2.理解函数的三种表示方法，了解分段函数，并能够简单的应用 3.会求函数的定义域重点、难点函数的定义的理解；求简单函数的定义域考点及考试要求 1.了解函数的概念； 2.理解函数的三种表示方法； 3.了解简单的分段函数教学容知识框架知识点一、区间的概念设b a R b a< ∈且 , , 定义名称符号数轴表示 } | {b x a x≤ ≤闭区间] , [b a } | {b x a x< <开区间) , (b a } | {b x a x< ≤前闭后开区间) , [b a } | {b x a x≤ <前开后闭区间] , (b a 区间是集合的有一种形式.对于区间的理解应注意：（1）区间的左端点必修小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a；（2）注意开区间) , (b a与点) , (b a在具体情景中的区别.若表示点) , (b a的集合应为{}),(b a；（3）用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别； DOC格式.

例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器，以单位时间体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数32341++-= ax ax ax y 的定义域为R ，数a 的取值围. 例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）

高中数学-函数的解析式和定义域

6 函数的解析式和定义域一、基础训练 1．函数的定义域是． 2．已知函数的定义域为，则的定义域为． 3．在一定范围内，某种产品的购买量吨与单价元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨800元；购买2000吨，每吨700元．那么客户购买400吨，单价应该是元． 4．已知，则． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围是． 6．若函数，那么． 7．（2011江西卷）若函数，则函数的定义域是． 8．若函数的定义域为实数集，则实数的取值范围是．二、例题精讲例1．求下列函数的定义域．（1）；（2）；（3）．例2．已知函数的定义域为，求下列函数的定义域．（1）；（2）．例3．（1）设二次函数的最大值为13，且，求的解析式；（2）已知，求的解析式和定义域．例4．已知函数，其中．

（1）求函数的定义域；（2）若对任意，恒有，求的取值范围．三、巩固练习 1．已知，则． 2．函数的定义域是． 3．若（），则，． 4．设函数的定义域为，函数的定义域为，若，则实数的取值范围是．四、要点回顾 1．函数的解析式是函数的一种表示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是求出函数的定义域．求函数表达式的主要方法有：待定系数法、换元法等．如果一直函数解析类型，可以用待定系数法．已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围． 2．函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．（1）定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考题中，通过函数性质或函数应用来考察，具有隐蔽性，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．（2）确定定义域的原则是： 1当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． 2当函数用图像给出时，函数的定义域是指图像在轴上投影所覆盖的实数的集合． 3当函数用解析式给出时，函数的定义域就是指使解析式有意义的自变量取值的集合． 4当函数用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．函数的解析式和定义域作业

求函数的定义域及解析式

高一数学必修1 编号:SX--01--06 《求函数的定义域及解析式专题》导学案撰稿:张娜审核: 涂珎时间:2010.9.5 姓名: 班级: 组别: 组名:____________ 【学习目标】 1、熟练掌握求具体函数和抽象函数的定义域的一般方法； 2、熟练运用换元法、待定系数法、解方程组等方法求函数的解析式. 【重点难点】重点：求函数的定义域及解析式难点：求函数的定义域及解析式【知识链接】函数的三要素：定义域、解析式、值域【学习过程】知识点一：求具体函数的解析式例1求下列函数的定义域：（1）x y 213- =；（2）x x y ---= 11；（3）30 +=x x y ；（4）11+?-=x x y . 点拨：求具体函数的定义域，其实质是求使解析式各部分有意义的未知数的取值范围. 知识点二求抽象函数的定义域抽象函数是没有明确给出具体解析式的函数，求抽象函数的定义域问题主要有四种题型：题型一：已知的定义域的定义域，求 ))(()(x g f x f 解法：若b x g a x g f b x a x f ≤≤≤≤)())(()(中，则的定义域为，从中解得x 的取值范围即

为))((x g f 的定义域例2、已知函数的定义域求的定义域为)5(],5,1[)(--x f x f . 题型二：已知的定义域的定义域，求)())((x f x g f 解法：若)()(,))((x g u x g n x m n x m x g f =≤≤≤≤的范围，设确定则由的定义域为，则的定义域的范围即为是同一函数，所以与又)()()()(),())((x f x g x f u f u f x g f = 例3、已知函数的定义域，求函数的定义域是)(]3,0[)1(x f x f -. 题型三：已知的定义域的定义域，求))(())((x h f x g f 解法：先由的的定义域求得的定义域，再由定义域求得))(()()())((x h f x f x f x g f 定义域例4、若函数的定义域求的定义域为)1(],2,2 1[)1(--+x f x f . 题型四：求运算型的抽象函数（由有限个抽象函数经四则运算得到的函数）的定义域解法：先求出各个函数的定义域，再求交集例5、若的定义域，求的定义域为 )()()(]5,3[)(x f x f x x f +-=-?.

《高一数学必修1》函数的概念、定义域、值域练习题(含答案)(最新整理)

2 函数的概念、定义域、值域练习题班级：高一（3）班姓名：得分：一、选择题（4 分×9=36 分） 1. 集合 A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从 A 到 B 的函数是( ) A ．f (x )→y 1 x B ．f (x )→y 1 2 x C ．f (x )→y ＝ D ．f (x )→y ＝＝＝ x 2 3 3 2. 函数 y ＝ 1－x 2＋ x 2－1的定义域是( ) A ．[－1，1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．[0，1] D ．{－1，1} 3. 已知 f (x )的定义域为[－2，2]，则 f (x 2－1)的定义域为( ) A ．[－1， 3] B ．[0， 3] C ．[－ 3， 3] D ．[－4,4] 4. 若函数 y ＝f (3x －1)的定义域是[1，3]，则 y ＝f (x )的定义域是( ) A ．[1，3] B ．[2，4] C ．[2，8] D ．[3，9] 5. 函数 y ＝f (x )的图象与直线 x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上 1 6. 函数 f (x )＝ ax 2＋4ax ＋3 的定义域为 R ，则实数 a 的取值范围是( ) 3 3 3 A ．{a |a ∈R } B ．{a |0≤a ≤ } C ．{a |a ＞ } D ．{a |0≤a ＜ } 4 4 4 7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与营运年数 x (x ∈N )为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过( )年． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．(安徽铜陵县一中高一期中)已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝ 1－x 2 x 2 (x ≠0)，那么f (1 ) 等于( ) A ．15 B ．1 C ．3 D ．30 9．函数 f (x )＝ 2x －1，x ∈{1,2,3}，则 f (x )的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．{1，3， 5} D ．R 二、填空题 x

函数的定义域、值域及解析式

函数的定义域、值域及解析式【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。【教学内容】 1.定义高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域常见函数的定义域与值域函数解析式定义域值域一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念

求函数的定义域与值域的常用方法完整版

求函数的定义域与值域的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

求函数的定义域与值域的常用方法引入：自变量x 的取值范围为定义域因变量y 的取值范围为值域求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式（一）解析式的表达形式（解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式（是大部分函数的表达形式）例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法（根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法例1.已知：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)；解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

高中数学函数的解析式和抽象函数定义域练习题

1、分段函数已知???>-≤+=) 0(2)0(1)(2x x x x x f 则（1）若=)(x f 10，则x= ；（2）)(x f 的值域为 _____. 2、画出下列函数的图象（请使用直尺） (1) Z x x y ∈-=,22且 2≤x (2) x x y -=2 3、动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ，试写出线段AP 的长度y 与P 点的行路程x 之间的函数关系式。 4、根据下列条件分别求出函数)(x f 的解析式观察法(1)221)1(x x x x f +=+ 方程组法x x f x f 3)1(2)()2(=+ D P C P A P B

换元法（3）13)2(2++=-x x x f 待定系数法（4）已知()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ,求()x f 。（复合函数的解析式）---代入法（5）已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f ]和)]([x f g 的解析式。 5、抽象函数的定义域的求解 1、若函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(-x f 的定义域为。 2、若函数)1(2-x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为。练习：1、若x x x f 2)1(+=+,求)(x f 。 2、函数)(x f 满足条件10)()(+-=x xf x f ，求)(x f 的解析式。 3、已知)(x f 是二次函数，且满足()10=f ,()()x x f x f 21=-+，求()x f 的表达式。 4、若()32+=x x f ，)()2(x f x g =+，求函数)(x g 的解析式 5、已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；

函数的定义域值域和解析式

函数的定义域、值域和解析式 1．函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式定义域值域一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域

,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域（1）1 log 1 )(2-=x x f （2）)1(log 1 |2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0 ; 解：（1）由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x ＞2． ∴所求定义域为（2，+∞） ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得 ∴所求定义域为（3，+∞）（3）由题意化简故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域（1） y=2 3 2 531 x x -+-; （2）)34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法： ①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为［0, 3 1］ . （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞ ). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 .

函数的解析式以及定义域的求法讲义

函数的解析式以及定义域的求法一：学生情况及其分析：上海高一学生，不等式学完了，国庆没有上课，这节课给她巩固求解析式的方法，思维灵活，自己动手能力挺好，所以有些例题有留给她一定的思考空间。二：教学目的： 1.学习函数的表示方法中的解析式的求法， 2.会求解简单函数以及复合函数的定义域三：教学设计： 1，教学回顾：函数的概念是什么？函数的三要素是什么？函数的表示方法有哪些？ 2，教学过程：一、解析式的求解（一）换元法：已知f （g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令t=g(x),再求出f(t)可得f （x ）的解析式。换元后要确定新元t 的取值范围。例1．若x x x f -=1)1(,求)(x f . 分析：怎么能由)1(x f 的解析式得到)(x f 的解析式，他们的联系是什么？练习1．已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 练习2.已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。思考：已知2 21)1 (x x x x f +=+，求()f x 的表达式。分析：题型好像和上面一样，是不是能用同样的方法做出来？（二）配凑法：把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析式的右端整理成只含有g(x)的形式，再把g(x)用x 代替。一般的利用完全平方公式例2．若x x x f 2)1(+=+,求)(x f . 分析：观察怎么才能得到f(x)？练习1．已知) 123f x =+，求()f x 的表达式。

（三）待定系数法：已知函数模型（如：一次函数，二次函数，指数函数等）求解析式，首先设出函数解析式，根据已知条件代入求系数例3. 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 分析：对于一次函数的解析式，我们是不是很熟悉，那能不能先设出他的一般形式呢？练习1．已知f (x )是二次函数，且满足f (x +1)+f (x －1)=2x 2－4x ，求f (x )．练习2.已知一次函数()f x ，()()1223f x f x x -+=+，求函数()f x 的解析式。（四）解方程组法: 求抽象函数的解析式，往往通过变换变量构造一个方程，组成方程组，利用消元法求f （x ）的解析式例4．设,)1(2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 分析：我们用1/x 去代替x 试试看有什么惊人的效果！练习1.若x x x f x f +=-+1)1()(,求)(x f . （五）特殊值法; 一般的，已知一个关于x,y 的抽象函数，利用特殊值去掉一个未知数y ，得出关于x 的解析式。例5：已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f 分析：题干中信息太少？就用你能看得见的条件呗，那令谁等于0呢？练习1.函数f(x)对一切实数x,y 均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成立，且f(1)=0.求f(x)的解析式。练习2.已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b =-=--+求()f x 。（六）代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。例6.已知：函数)(2 x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式分析：两点关于某点对称时有什么特征？

函数的概念及其定义域

2．1 函数概念 1．对于函数y ＝f (x )，以下说法正确的有( ) ①y 是x 的函数； ②对于不同的x ，y 的值也不同； ③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量； ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．区间(0,1)等于( ) A ．{0,1} B ．{(0,1)} C ．{x |0

2．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1 B ．y ＝x 0和y ＝1 C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2 D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x (x )2 3．函数y ＝21－1－x 的定义域为( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，0)∪(0,1] C ．(－∞，0)∪(0,1) D ．[1，＋∞) 4．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)的值是( ) A ．π2 B ．Π C.π D ．不确定 5．已知函数f (x )的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x )的图像的只可能是( ) 6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝??? c x ，x