排列数、组合数公式与二项式定理的应用

排列数、组合数及二项式定理整理

慈济中学全椒

1、排列数公式

m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！

)(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)．

2、排列恒等式

(1)

1(1)m

m n

n A n m A

-=-+;(2)

1m

m

n n n A A n m -=

-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;

(5)

1

1m m m n n n

A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L .

3、组合数公式

m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤).

4、组合数的两个性质 (1)

m n C =m

n n

C - ; (2) m n C +1

-m n C =m n C 1

+.

5、排列数与组合数的关系

m m

n n

A m C =?！ .

6、二项式定理：

011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L

【注】：

1．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做()n

a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r

n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r

n r

r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r

r n T C a b -+=表示。

2．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n

a b +与()n

b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .

④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0

1

2

,,,,,,.

r

n

n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

3．常用的结论：

令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *

-=-+-+++-∈L L

4．性质：

①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即

0n n n C C =，···1k k n n C C -=

②二项式系数和：令

1a b ==,则二项式系数的和为

0122r n

n n n n n n C C C C C ++++++=L L ，

变形式1221r n n

n n n n C C C C +++++=-L L 。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：

在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n

n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ，

从而得到：0242132111222

r r n

n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=

?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

00112220120120011222021210

01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),()

2

(1)(1),()

2

n n n n n

n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n

C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n

C -,12n n

C

+同时取

得最大值。

⑥系数的最大项：求()n

a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项

系数分别

为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112

r r

r r A A A A +++≥??

≥?，从而解

出r 来。

7、组合数公式的应用:

公式1

m m

c +m m c 1++m m c 2++……+m k m c +=1

1+++m k m c 此公式可由下面方法推得 从

1++n m 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数为1

1

+++m k m

c 先将其分为1++n m 个元素中不含其中一个元素1a 的和含元素1a 的两类而这两类的组合数分别为

1++m k

m

c 与

m k

m

c +即得

11

+++m k m

c =

1++m k

m

c +

m k

m

c +，依此再将组合数

1++m k

m

c 分为两类可得

1++m k m c =11+-+m k m c +m k m c 1

-+，不断将组合数上标为1+m 的项进行如此分类即得公式1。 公式2

0m

c .k n c +1m c .1-k n c +2m c .2-k n c +……+m m c m k n c -=k

n m c + 此公式可由下面方法推得。 从放在一个盒中的m 个不同黑球与n 个不同白球中任取出k 的球的方法种数为k

n m c +，将取出的k 个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个….k 个共k+1类，取法种数分别为0

m c .k

n c ，1

m c .1-k n c ，2m c .2

-k n c ，……，m

m

c m

k n

c -即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。

例1

n s =1×2+2×3+3×4+….. +n ×(n+1) 求n s

解：1×2+2×3+3×4+….. +n ×(n+1)= 2(2

2c +2

3c +24c +…+2

1+n c ) ∴n s =23

2+n c =

3

)1)(2(n

n n ++

例2 求n s =12+22+32+……+n 2

解：∵2

1+n c =

2

)1(n n + ∴22

1+n c =n 2+n ∴2（22c +23c +2

4c +…+21+n c ）=n s +2

)1(n n +

∴23

2+n c =n s +2)1(n n + 得3)1)(2(n n n ++=n s +2)1(n n +

整理得n s =6

)

12)(1(++n n n

例3求n s =13+23+33+……+n 3

解：∵3

2+n c =

6

)1)(2(n n n ++ ∴63

2+n c =n 3+3n 2+2n

6（33c +3

4c +35c +…+32+n c ）=n s +36)12)(1(++n n n +22

)1(n n +

∴64

3+n c =n s +36)12)(1(++n n n +22

)1(n n + 解出n s 并整理得

n s =4

)1(2

2n n + 用类似的方法可求出a n =n 4，a n =n 5，…的和。

例4 一盒有大小相同的黑球M 个，白球N 个，从中任取m 个球（m ≤M ，m ≤N ），求含有白球的个数ξ的数学期望。

∴E ξ=

m

N

M c +1

（11-m M N c c +222-m M N c c +…+（m-1）11M m N c c -+m 0

M m N c c ）

E ξ=

m N

M c N

+（

N 111-m M N c c +N 222-m M N c c +…+N m 1-11M m N c c -+N

m 0

M m N c c ） E ξ=

m

N

M c N

+（1

1--m M N c c +2

1

1--m M N c c +…+1

21M m N c c --+0

11M m N c c --）(∵

N

m m N c =1

1--m N c ) ∴E ξ=

m N

M c N

+1

1--+m M N c =

m

N

M c N

+M N m +m

M

N c +=N

M Nm +（此为超几何分布的数学期望） 8、二项式定理的应用：

题型一：二项式定理的逆用；

例：12321

666 .n n n n n n C C C C -+?+?++?=L

解：012233(16)6666n n n

n n n n n C C C C C +=+?+?+?++?L 与已知的有一些差距，

123211221666(666)6

n n n

n n n n n n n n C C C C C C C -∴+?+?++?=

?+?++?L L 0122111(6661)[(16)1](71)666

n n n n n n n n C C C C =+?+?++?-=+-=-L

练：1231393 .n n

n n n n C C C C -++++=L 解：设1231393n n

n n n n n S C C C C -=++++L ，则

122330122333333333331(13)1

n n n n

n n n n n n n n n n n S C C C C C C C C C =++++=+++++-=+-L L (13)141

33

n n n S +--∴==

题型二：利用通项公式求n x 的系数；

例：在二项式n

的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有3x 的项的系数？ 解：由条件知2

45n n

C -=，即2

45n C =，2900n n ∴--=，解得9()10n n =-=舍去或，

由

2102

1

10343

4110

10

()

()r r r

r

r

r r T C x x C x

--

+-

-+==，由题意102

3,643

r r r --

+==解得， 则含有3x 的项是第7项633

6110210T C x x +==,系数为210。

练：求29

1()2x x

-

展开式中9x 的系数？ 解：291821831999111()()()()222

r r r r r r r r

r r r T C x C x x C x x ----+=-=-=-，令1839r -=,则

3r =

故9x 的系数为3

39121()22

C -=-。

题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式210(

x +

的展开式中的常数项？ 解：5202102

110

10

1()()2r r

r

r

r r r T C x C x --+==，令5

2002r -=，得8r =，所以

88

910145()2256

T C ==

练：求二项式6

1(2)2x x

-的展开式中的常数项？

解：666216611(2)(1)()(1)2()22

r r r r r r r r r

r T C x C x

x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，所以33

46(1)20T C =-=-

练：若21

()n x x

+的二项展开式中第5项为常数项，则____.n =

解：42444212

51()()n n n n T C x C x

x

--==，令2120n -=，得6n =.

题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；

例：求二项式9

展开式中的有理项？

解：1271

936

219

9

()

()(1)r r r

r

r

r r T C x x C x

--+=-=-，令

276

r

Z -∈,(09r ≤≤)得39r r ==或，

所以当3r =时，

2746r -=，334

449

(1)84T C x x =-=-， 当9r =时，2736

r -=，393

3109

(1)T C x x =-=-。 题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；

例：若

n 展开式中偶数项系数和为256-，求n .

解：设

n 展开式中各项系数依次设为01,,,n a a a ???

1x =-令,则有010,n a a a ++???=①，1x =令,则有

0123(1)2,n n n a a a a a -+-+???+-=②

将①-②得：1352()2,n a a a +++???=-1

1352,n a a a -∴+++???=-

有题意得，1

822562n --=-=-，9n ∴=。

练：若n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 解：024*******r r n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???=Q L ，1

21024n -∴=，解

得11n =

所以中间两个项分别为6,7n n ==，5

65

451462n T C x -+==?，61

15

61462T x

-

+=?

题型六：最大系数，最大项；

例：已知1(2)2

n x +，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展

开式中二项式系数最大项的系数是多少？

解：4652

2,21980,n n n C C C n n +=∴-+=Q 解出714n n ==或，当7n =时，展开式中二

项式系数最大的项是45T T 和3

43471

35()2,22

T C ∴==

的系数，

434

571()270,2

T C ==的系数当14n =时，展开式中二项式系数最大的项是8T ，

777

8141C ()234322

T ∴==的系数。

练：在2()n a b +的展开式中，二项式系数最大的项是多少？

解：二项式的幂指数是偶数2n ，则中间一项的二项式系数最大，即211

2n

n T T ++=，也就是第

1n +项。

练：在(

2n x -的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 解：只有第5项的二项式最大，则

152

n

+=，即8n =,所以展开式中常数项为第七项等于6281

()72

C =

例：写出在7

()a b -的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？

解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(4,5第项)的二项式系数相等，且同时取

得最大值，从而有34347T C a b =-的系数最小，434

57T C a b =系数最大。

例：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2

n x +的展开式中系数最大的项？

解：由01279,n n n C C C ++=解出12n =,假设1r T +项最大，121212

11(2)()(14)22

x x +=+Q

111121211

12121244

44

r r r r r r r r r r r r A A C C A A C C --+++++?≥≥??∴=??≥≥???，化简得到9.410.4r ≤≤，又012r ≤≤Q ，10r ∴=，展开式中系数最大的项为11T ,有12101010

101112

1()4168962

T C x x == 例：在（7

)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；

解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n

b a +型来处理， 故此答案为第4项

4347y x C ，和第5项5

25

7y x C -。

练：在10

(12)x +的展开式中系数最大的项是多少？

解：假设1r T +项最大，1102r r r

r T C x +=?Q

111010111

12101022

2(11)12(10)22,

r r r r r r r r r r r r C C A A r r A A r r C C --+++++?≥≥-≥???∴=???≥+≥-≥????解得，化简得到

6.3

7.3k ≤≤，又010r ≤≤Q ，7r ∴=，展开式中系数最大的项为

777

7810215360.T C x x ==

题型七：含有三项变两项；

例：求当25

(32)x x ++的展开式中x 的一次项的系数？

解法①：2525(32)[(2)3]x x x x ++=++，2515(2)(3)r r r

r T C x x -+=+，当且仅当1r =时，

1r T +的展开式中才有x 的一次项，此时1

24125(2)3r T T C x x +==+，所以x 得一次项为144

5423C C x

它的系数为144

5423240C C =。

解法②：

255505145051455

555555(32)(1)(2)()(22)x x x x C x C x C C x C x C ++=++=++???+++???+

故展开式中含x 的项为45544

55522240C xC C x x +=，故展开式中x 的系数为240.

练：求式子31

(2)x x

+

-的常数项？

解：36

1(2)x

x +

-=，设第1r +项为常数项，则66261661(1)(

)(1)r

r r

r r r

r T C x

C x x

--+=-=-，得620r -=,3r =, 33

316(1)20T C +∴=-=-.

题型八：两个二项式相乘；

例：342

(12)(1)x x x +-求展开式中的系数.

解：333(12)(2)2,m m m m m

x x x +?=??Q 的展开式的通项是C C

444(1)C ()C 1,0,1,2,3,0,1,2,3,4,

n n n n n

x x x m n -?-=?-?==的展开式的通项是其中

342,02,11,20,(12)(1)m n m n m n m n x x +=======+-令则且且且因此

20022111122003434342(1)2(1)2(1)6

x C C C C C C ???-+???-+???-=-的展开式中的系数等于.

练：6

10

(1(1+求展开式中的常数项.

解：436

103412

610610(1(1m n m n

m n m n

C x C x C C x --++?=??展开式的通项为 0,3,6,

0,1,2,,6,0,1,2,,10,43,0,4,8,

m m m m n m n n n n ===???=???=???=???

===???其中当且仅当即或或

003468

6106106104246C C C C C C ?+?+?=时得展开式中的常数项为.

练：

2*31(1)(),28,______.n

x x x n N n n x

+++

∈≤≤=已知的展开式中没有常数项且则 解：

3431()C C ,n r n r r r n r n n x x x x x

---+

??=?展开式的通项为通项分别与前面的三项相乘可得

44142

C ,C ,C ,,28r n r r n r r n r n n n x x x

n --+-+???≤≤Q 展开式中不含常数项 441424,83,72,6, 5.n r n r n r n n n n ∴≠≠+≠+≠≠≠∴=且且，即且且

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 例：

2006(,,,_____.

x x S x S -==在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当

解：2006123200601232006(x a a x a x a x a x +++++L 设=-------①

2006123200601232006(x a a x a x a x a x --+-++L =-------②

3520052006200613520052()((a x a x a x a x x x -++++=-L ①②得

2006200620061

(()[((]2

x S x x x ∴=-展开式的奇次幂项之和为

32006

2

20062006300812

,]222

x S ?==-=-

=-当

题型十：赋值法；

例：设二项式1)n x

的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为s ,若

272p s +=,则n 等于多少？

解：若20121

)n n n a a x a x a x x

=+++???+，有01n P a a a =++???+，

02n

n n n S C C =+??+=，

令1x =得4n P =，又272p s +=,即42272(217)(216)0n n n n

+=?+-=解得

216217()n n ==-或舍去，4n ∴=.

练：若n

x x ???? ??-13的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

解：令1x =，则n

x x ?

??? ?

?-13的展开式中各项系数之和为264n

=，所以6n =，则展开

式的常数项为3

3

3

6(C ?540=-. 例：

20091232009200912

0123200922009(12)(),222

a a a x a a x a x a x a x x R -=+++++∈++???+L 若则

的值为

解：200920091212002200922009

1

,0,2222222a a a a a a x a a =

+++???+=∴++???+=-令可得 200912022009

01, 1.222

a a a

x a ==++???+=-在令可得因而 练：554321

54321012345(2),____.x a x a x a x a x a x a a a a a a -=+++++++++=若则

解：0012345032,11,x a x a a a a a a ==-=+++++=-令得令得

1234531.a a a a a ∴++++=

题型十一：整除性；

例：（02潍坊模拟）求证：15151

-能被7整除。 证明：15151

-Θ =1)249(51

-+

=

12.2.49.....2.49.2.49.4951

51

515050

512492

51501

51510

51-+++++C C C C C

=49P+1251-（*

∈N P ） 又Θ1)2(12

17351

-=-

=（7+1）171- =

17.....7.7.7.17

17161715

2171611717017-+++++C C C C C

=7Q （Q *

∈N ）

)(77715151Q P Q P +=+=-∴

15151

-∴能被7整除。

例：证明：22

*389()n n n N +--∈能被64整除

证：22

113

89989(81)89n n n n n n +++--=--=+--

011121111111888889n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=++???+++-- 011121118888(1)189n n n n n n C C C n n +-+++=++???++++--01112

111888n n n n n n C C C +-+++=++???+

由于各项均能被64整除22

*3

89()64n n n N +∴--∈能被整除

题型十二：利用二项式定理求近似值 例15．求6

998.0的近似值，使误差小于001.0；

分析：因为6998.0=6

)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。

解：6

998.0=6

)002.01(-=6

2

1

)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+

001.000006.0)002.0(15)

002.0.(22

2

63<=-?=-=

C T Θ，

且第3项以后的绝对值都小于001.0，

∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

∴6

998.0=6

)002.01(-)002.0(61-?+≈=988.0012.01=- 小结：由n

n

n n n n

x x x x C C C ++++

=+...1)1(22

1

，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的围可以忽略不计，因

此可以用近似计算公式：nx x n

+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：

2

2

)1(1)1(x n n nx x n -+

+≈+。

作业：1、求4)13(x

x +

的展开式；

解：原式=4

)1

3(

x

x +=2

4)13(x x + =

])3()3()3()3([144342

243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12

342++++x x x x x

=54112848122

++++x

x x x

2、计算c C C C n

n n

n n n n 3)1( (279313)

2

1

-++-+-； 解：原式=

n

n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3

33

22

11

-=-=-++-+-+-+

3、（03全国）9

2

)21(x

x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r r r r x x T C )21()(9291

-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r

x C 3189)2

1(--

令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9

x 的系数为：

221)21(33

9-=-C ，∴填2

21

- 4、（02全国）

7

2

)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3

x 的来源有：

① 第一个因式中取出2

x ，则第二个因式必出x ，其系数为

667

)2(-C

；

② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3

x ，其系数为

4

4

7

)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(44

766

7C C 填1008。

5、（04改编）3)21

(-+

x

x 的展开式中，常数项是 ； 解：3

6323

)1(])1([)21(x x x x x x -=-=-+

上述式子展开后常数项只有一项

3

3

33

6

)1(x x C -，即20-

6、（00京改编）求（103

)1

x

x -

的展开式的中间项；

解：,)1()(31010

1r r

r

r x

x T C -=

-+Θ∴展开式的中间项为53

55

10)1()(x

x C -

即：6

5

252x -。

当n 为奇数时，n

b a )(+的展开式的中间项是2

12121-+-n n n n b

a

C 和

2

12

121+-+n n n n

b

a

C

；

当n 为偶数时，n b a )(+的展开式的中间项是

2

2

2n n n n

b a C

。

7、（00京改编）求103

)1

(x

x -

的展开式中有理项共有 项；

解：3

410103

1010

1)1()1()

(r r

r

r

r

r

r x

x

r T C C

-

-+-=-=

Θ

∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。

8、（00）在二项式11

)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r

r r

r x T C

)1(1111

1-=

-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r

11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的

系数为

462)1(5

5

11

-=-C 9、求84)21(x

x +

展开式中系数最大的项；

解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有

??

?≥≥+-11k k

k k T T T T 又1

182.+--=r r r C T ，那么有

?????≥≥-+--+--+--k

k k k k k k k C C C C 2.2

.2.2

.8118228118 即???????

-≥?--?--≥--)!8(!!

82)!

9)!.(1(!82)!

10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k

???

??≥--≥-∴K

K K K 1922211

解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2537x T =和第4项2

747x T =。 9、 （99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，

则2

312420)()(a a a a a +-++的值为 ；

解： Θ443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++

=44)32.()32(+-+=1)1(4

=-

10、

（04天津）若200422102004

2004...)

21(x x a x a a x ++++=-，

则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；

解：Θ200422102004

2004...)

21(x x a x a a x ++++=-， 令1=x ，有1...)

21(20042102004

=++++=-a a a a 令0=x ，有1)

01(02004

==-a

故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+

11设015

5666...)12(a x a x a x a x ++++=-，

则=++++6210...a a a a ； 解：r r

r

r x T C )1()

2(66

1-=

-+Θ

∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++

=)()(5316420a a a a a a a ++-+++=0

组合数的计算公式

组合导学案 课题：组合数的计算公式 课型：新授 执笔： 审核: 使用时间： 一、学习目标 1、 掌握组合数的计算公式 2、 组合数公式的应用 二、重点难点 1、 组合数的计算公式 2、 用组合数的计算公式解决相关问题 三、学习内容 组合数的计算与选排列数的计算有紧密联系．对于n 个元素中选k 个的选排列，可以 分两步完成．第一步，在n 个元素中选出k 个构成一个组，这是一个组合问题，共可以构成 个组；第二步，对每一组中的 个元素作全排列，每一组的排列数是 个．根据分步计数法和乘法原理，选排列数 k n A =k n C k k A ， 所以 k n C = ， 以选排列数计算公式代入，即得组合数计算公式 k n C = 四、探究分析 1、把下面的问题归结为排列或组合问题，如果是组合问题请根据公式计算结果： (1)在人数为50人的班级中，选举正、副班长、学习委员、生活委员和文体委员各一人组成班委，求可能的组成方案数． (2)在人数为50人的班级中，选举5人组成班委，求班委可能的组成方案数． (3)由12人组成的篮球队中，需选5人作为首发阵容，求可组成多少个不同的首发阵容．又在50名啦啦队员中要挑选20人前往助阵，有几种挑选方案？ (4)10份内容相同的信函，发给20个人中的10人，每人一份，有几种发信的方案？ 方法总结： 2、计算： （1）26C ； （2）37C ； （3）3 100C ． 方法总结：

课堂训练 1．把下面的问题能归结为排列或组合问题吗？如果能，请写出排列数或组合数的记号，如果不能，请说明理由，组合问题请计算结果： (1)在人数为60人的班级中，分成各30名学生的两个助残公益活动小组，可以有多少种分 法？ (2)有一个由6人组成的全能乐队，每人都能演奏6种乐器．要挑选5名队员参加某次演出， 可以组建多少种不同的演出阵容？ (3)6个朋友互相握手道别，共握手多少次？ (4)5道习题任意选做3题，有多少不同的选法？ (5)10支球队进行循环赛，共需安排多少场比赛？ (6)某种饮料是混合四种原料配制而成．现在每种原料都有9种不同品牌可供选择，共有几 种选择原料的方案？ (7)正16边形有几条对角线？课后作业 1、把下列问题归结为排列或组合问题并计算结果 （1）某次文艺汇演欲从20个节目中选出15个节目参加正式演出，则不同的节目单共有多少种？（2）10份相同的纪念品送给12个人中的10个人，每人一份，有几种分配方案？ 2、某小组有男生3人，女生5人，现从中选出3人，要求男、女生都有，则共的选法有多少种？教学后记

人教A版高中数学选修2-3同步练习-第一章排列与排列数公式

第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式 A 级 基础巩固 一、选择题 1．从集合{3，5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少 个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④ B ．②④ C ．②③ D ．①④ 解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足 交换律，如53≠35 ，所以②是排列问题． 若方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1中不管a >b 还是a

是排列问题． 答案：B 2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为() A．6 B．4 C．8 D．10 解析：先排甲，有2种方法，排乙，丙共有A22种方法， 所以由分步乘法原理，不同的排列为2A22＝4(种)． 答案：B 3．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为() A．4 B．5 C．6 D．7 解析：因为A2n －A2n＝10，则(n＋1)n－n(n－1)＝10， ＋1 整理得2n＝10，所以n＝5. 答案：B 4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有() A．180种B．360种 C．15种D．30种 解析：由排列定义知选派方案有A46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B 5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有() A．24个B．30个C．40个D．60个 解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A24个，另一类是4作个位数，也有A24个．因此符合条件的偶数共有A24＋A24＝24(个)．

组合与组合数公式及性质

10.3组合与组合数公式及性质 达标要求 1．理解组合的概念． 2．掌握组合数公式． 3．理解排列与组合的区别和联系。 4．熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的 应用问题． 基础回顾 1．组合的概念：一般地，从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m （m n ≤）个元素的所有组合的个数，叫做 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号m n C 表示．． 3．组合数的公式： (1)(2)(1)!m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 或()!!! m n n C m n m =-（,n m N +∈且m n ≤） 4．组合数性质： （1）m n m n n C C -= （2）111m m m n n n C C C ++++= 典型例题 例题1 4名男生和6名女生选三人，组成三人实践活动小组。 (1) 共有多少种选法？ (2) 其中男生甲不能参加，有多少种选法？ (3) 若至少有1个男生，问组成方法共有多少种？ 解：(1) 共有310120C =种。 (2) 共有3984C =种 (3) 解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女， 分别有34C ，2146C C ，12 46C C ， 所以一共有3211244646100C C C C C ++= 种方法． 解法二：（间接法）33106100C C -= 例题2 100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查． (1) 都不是次品的取法有多少种？ (2) 至少有1件次品的取法有多少种？

排列组合的基本理论和公式

排列组合的基本理论和公式 排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2＋3＋1的和与2＋1＋3的和是一个组合． (一)两个基本原理是排列和组合的基础 (1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋mn种不同方法． (2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1 种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×m3×…×mn种不同的方法．这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理． 这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来． (二)排列和排列数 (1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．从排列的意义可知，如果两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序必须完全相同，这就告诉了我们如何判断两个排列是否相同的方法． (2)排列数公式：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列 当m＝n时，为全排列Pnn=n(n－1)(n－2)…3·2·1＝n！ (三)组合和组合数 (1)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合． 从组合的定义知，如果两个组合中的元素完全相同，不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个

排列数、组合数公式与二项式定理的应用

排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?++?=+-L . 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

排列与排列数公式

1.2排列与组合 1．2.1排列 第1课时排列与排列数公式 1．理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点) 2．理解排列数公式，能利用排列数进行计算和化简．(难点) [基础·初探] 教材整理1排列的概念 阅读教材P14～P16第二个思考下面第一自然段，完成下列问题． 1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列．() (2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题．() (3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．() (4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问

题．() (5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题．() 【解析】(1)×因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序相同． (2)√因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题． (3)×因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． (4)√因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题． (5)√因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题． 【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√ 教材整理2排列数与排列数公式 阅读教材P16第二个思考下面第二自然段～P18例2，完成下列问题. 1．A24＝________，A33＝________. 【解析】A24＝4×3＝12；A33＝3×2×1＝6. 【答案】12 6 2.A34 5！ ＝________. 【解析】A34 5！ ＝ 4×3×2 5×4×3×2×1 ＝ 1 5.

组合及组合数公式作业

组合与组合数公式 一、选择题 1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．4或2 D ．3 2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．28 D ．64 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．15 4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种 D ．10种 5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( ) 6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 二、填空题 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 8．不等式C 2n －n <5的解集为________． 9．若对任意的x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝???? ??－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n . 11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)

排列组合公式 全

排列组合公式 排列定义??? 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。 组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r),C(n,r)。 一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于 (1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力； (2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解； (3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大； (4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。 二、两个基本计数原理及应用 (1)加法原理和分类计数法 1．加法原理 2．加法原理的集合形式

3．分类的要求 每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) (2)乘法原理和分步计数法 1．乘法原理 2．合理分步的要求 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数 集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！ 集合B为数字不重复的六位数的集合。 把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。显然各子集没有共同元素。每个子集元素的个数，等于剩余的3个数的全排列，即3！ 这时集合B的元素与A的子集存在一一对应关系，则 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 这就是我们用以前的方法求出的P（9，6） 例2：从编号为1-9的队员中选6人组成一个队，问有多少种选法？ 设不同选法构成的集合为C，集合B为数字不重复的六位数的集合。把集合B分为子集的

排列组合和排列组合计算公式

排列组合和排列组合计算公式 排列组合公式/排列组合计算公式 排列P--_-和顺序有关 组合C一不牵涉到顺序的问题. 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法. "排列” 把5本书分给3个人，有几种分法 ”组合” 1.排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n, m)表示. . p (n, m)=n(n-1) (n2) ..... (n-m+1)= n!/(n-m)!规定0!=1). 2.组合及计算公式. 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成-一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数.用符号

c(n,m)表示. c (n, m)=p (n, m)/m!=n!/((n- m)!*m!} c(n,m)=c(n, n-m); 3.其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n, r)/r=n!/r (n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1, n2.... nk 这n个元 素的全排列数为n!/ (n1 !*n2!*. .. *nk!).k类元素,每类 的个数无限从中取出m个元素的组合数为c (m+k-1, m). 排列(Pnm(n为下标， m为上标)) Pnm=nX (n-1) .... (n-m+1) ; Pnm=n! / (n-m) ! (注: !是 阶乘符号) ; Pnn (两个n分别为上标和下标) =n! ; 0! =1;Pn1 (n 为下标1为上标) =n组合(Cnm(n为下标，m为上标)) Cnm=Pnm/Pmm; Cnm=n! /m! (n-m) ! ; Cnn (两个n分别为上 标和下标) =1 ; Cn1 (n 为下标1为上标) =n; Cnm=Cnn-m 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 !-阶乘，如 9! =9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n* (n-1)*(n-2).. (n-r+1); 因为从n到(n-r+1)个数为

排列组合计算公式

. 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标，m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m .

排列组合公式大全排列组合公式大全排列组合公式大全

排列组合公式 （1）掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的问题。 （2）理解排列、组合的意义。掌握排列数、组合数的计算公式，并能用它们解决一些简单的问题。 重点：两个原理尤其是乘法原理的应用。 难点：不重不漏。 知识要点及典型例题分析： 1．加法原理和乘法原理 两个原理是理解排列与组合的概念，推导排列数及组合数公式，分析和解决排列与组合的应用问题的基本原则和依据；完成一件事共有多少种不同方法，这是两个原理所要回答的共同问题。而两者的区别在于完成一件事可分几类办法和需要分几个步骤。 例1．书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书。 （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？ （2）若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法。 解：（1）由于从书架上任取一本书，就可以完成这件事，故应分类，由于有3种书，则分为3类然后依据加法原理，得到的取法种数是：3+5+6=14种。 （2）由于从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成3个步骤完成，据乘法原理，得到不同的取法种数是：3×5×6=90（种）。 （3）由于从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类情况（数语各1本，数英各1本，语英各1本）而在每一类情况中又需分2个步骤才能完成。故应依据加法与乘法两个原理计算出共得到的不同的取法种数是：3×5+3×6+5×

6=63（种）。 例2．已知两个集合A={1，2，3}，B={a,b,c,d，e}，从A到B建立映射，问可建立多少个不同的映射？ 分析：首先应明确本题中的“这件事是指映射，何谓映射？即对A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应。” 因A中有3个元素，则必须将这3个元素都在B中找到家，这件事才完成。因此，应分3个步骤，当这三个步骤全进行完，一个映射就被建立了，据乘法原理，共可建立不同的映射数目为：5×5×5=125（种）。 2．排列数与组合数的两个公式 排列数与组合数公式各有两种形式，一是连乘积的形式，这种形式主要用于计算；二是阶乘的形式，这种形式主要用于化简与证明。 连乘积的形式阶乘形式 Anm=n(n-1)(n-2)……(n-m+1) = Cnm= 例3．求证：Anm+mAnm-1=An+1m 证明：左边= ∴等式成立。 评述：这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质：n!(n+1)=(n+1)!可使变形过程得以简化。 例4．解方程. 解：原方程可化为： 解得x=3。 评述：解由排列数与组合数形式给出的方程时，在脱掉排列数与组合数的符

人教版高中数学《排列与排列数公式》全国一等奖教学设计

《排列与排列数公式》（第1课时）教学设计 一．教学内容解析 本节课是人教版A版《数学选修2-3》第一章第2节的第一节课，排列是一类特殊而重要的计数问题，教科书从简化运算的角度提出了排列的学习任务，通过具体实例概括而得出排列的概念，应用分步计数原理得出排列数公式，对于排列，有两个想法贯穿始终，一是根据一类问题的特点和规律寻找简便的计数方法，就像乘法作为加法的简便运算一样；二是注意应用两个计数原理思考和解决问题。 本节课具有承上启下的地位，理解排列的概念是应用分步计数原理推导排列数公式的前提，对具体的排列问题的分析又为排列数公式提供了基础。排列数公式的推导过程是分布计数原理的一个重要应用，同时，排列数公式又是推导组合数公式的主要依据。 基于学生的认知规律，本节课只是对排列和排列数公式的初步认识，在后面知识的学习过程中，逐步加深理解和灵活运用。 本节课的教学重点是排列的概念、排列数公式，教学难点是排列的概念，排列的概念有一定的抽象性，本节课结合教科书的编排，采取了由特殊到一般的归纳思想来建构概念的理解过程，通过引导学生分析三个典型事例，从中归纳出共同特征，再进一步概括出本质特征，得出排列的定义，再跟进10个具体事例多角度加深对概念的理解，并多次强调一个排列的特点，n个不同的元素，取出m个元素，元素的顺序，奠定学生对排列定义的理解基础，为后面组合概念的提出埋下伏笔。同时通过有规律的展示分步计数原理得到的一长串排列数，为后面水到渠成得到排列数公式作好铺垫，排列数公式的简单应用体现了排列简化步骤的优点，让学生直观感受学习排列的必要。 二．教学目标设置 1.通过几个具体实例归纳概括出排列的概念，并能运用排列的判断具体的的计数问题是否为排列问题；能利用分步计数原理推导排列数公式，能简化分步计数原理解决问题的步骤。在排列数符号及其公式的产生过程中体现简化的思想。学生学习后能够对排列或非排列问题作出准确的判断，能够分析原因，能够简单应用排列数公式。 2.在教学过程中，通过排列的概念、排列数公式的得到培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力，以及解决与计数有关的问题时主动联系排列相关知识的能力，体会排列知识在实际生活中的应用，增强学生学习数学的兴趣。 3.让学生学会通过对各种事情现象、本质的分析，得出一般的规律，通过由简到繁的着色问题、由繁到简的数学符号的引入过程体会丰富的数学文化. 三．学生学情分析 学生对两个计数原理已很好的掌握，但凡计数的问题能够往分类或分步的方向进行思考，学生的层次决定了学生有较强的理解、分析、解决问题的能力，有着大量的生活中诸如设置密码、车牌号、排队、参加活动、接力赛...与计数问题有关的经验，对数学中归纳化归、有特殊到一般的思想方法比较敏感，但抽象概括的能力较弱，排列概念的得到，要独立将颜色、数字、人抽象为元素，对着色的方案抽象出顺序有一定的困难，需在独立思考加协作讨论的基础上再由老师引导突破教学难点。 四．教学策略分析 在本节课的教学过程中将数学文化和数学知识、实际生活有机的融合，让抽象的数学概念形成的过程丰富多元，避免单调枯燥。

几个常用组合数公式.资料

几个常用组合数公式.

⑸①几个常用组合数公式 ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：（利用） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用递推）如：. vi. 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式其中的系数，左边为 ，而右边 四、排列、组合综合. 1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成一列，要求其中某个元素必相邻的排列有个.其中是一个“整体排列”，而则是“局部排列”. 又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为.

②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有. ③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有. 注：①③区别在于①是确定的座位，有种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取的2个，有不确定性. ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. 例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？（插空法），当n –m+1≥m, 即m≤时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则. ⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全 排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排 成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法. 例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？ 解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m！；解法二：（比例分配法）. ⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有. 例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有 （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （） 注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序 不变，共有多少种排法？有，当n –m+1 ≥m, 即m≤时有意义.

排列组合公式排列组合计算公式

排列组合公式排列组合 计算公式 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）

排列组合公式/排列组合计算公式2008-07-08 13:30 公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。 公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。 N-元素的总个数 R参与选择的元素个数 ！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r 举例： Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数 A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。 上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合， 我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则 应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（3，9)＝ 9*8*7,(从9倒数3个的乘积） Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟” A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小

组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法 解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法． 点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种 解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有9种． 点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果． （1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手 （2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法 （3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积 （4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法 分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与

组合及组合数公式作业

组合及组合数公式作业-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

组合与组合数公式 一、选择题 1．若C x 6＝C 26，则x 的值为( ) A ．2 B ．4 C ．4或2 D ．3 2．某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散没有任何三个村庄在一条直线上，现 要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为 ( ) A ．4 B ．8 C ．28 D ．64 3．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．15 4．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( ) A ．60种 B ．48种 C ．30种 D ．10种 5．平面直角坐标系中有五个点，分别为O (0,0)，A (1,2)，B (2,4)，C (－1,2)，D (－2,4)．则这五个点可以确定不同的三角形个数为( ) 6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 二、填空题 7．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________． 8．不等式C 2n －n <5的解集为________． 9．若对任意的x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是“具有伙伴关系”的集合．集合M ＝ ?????? ????－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________． 10．计算：(1)C 58＋C 98100·C 77 ； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55； (3)C n n ＋1·C n －1n . 11．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图) (1)图中有多少个矩形？ (2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？ 12．假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？ (1)没有次品；(2)恰有两件是次品；(3)至少有2件次品．

组合与组合数公式

组合与组合数公式 1．组合的定义 一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 组合的概念中有两个要点：(1)取出元素，且要求n 个元素是不同的；(2)“只取不排”，即取出的m 个元素与顺序无关，无序性是组合的特征性质 2．组合数的概念、公式、性质 组合数 定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个 数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数 表示法 C m n 组合数 公式 乘积式 C m n ＝A m n A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！ 阶乘式 C m n ＝ n ！ m ！（n －m ）！ 性质 C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1 n 备注 ①n ，m ∈N * 且m ≤n ；②规定：C 0 n ＝1 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)从a 1，a 2，a 3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C 2 3.( ) (2)从1，3，5，7中任取两个数相乘可得C 2 4个积．( ) (3)C 3 5＝5×4×3＝60.( ) (4)C 2 016 2 017＝C 1 2 017＝2 017.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ 若A 3 n ＝8C 2 n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 答案：A 计算：(1)C 3 7＝________；(2)C 18 20＝________． 答案：(1)35 (2)190

排列组合和排列组合计算公式.

排列组合公式/排列组合计算公式 排列P------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列" 把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1). 2．组合及计算公式 从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n为下标，m为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n

组合数公式总结

组合数公式总结 ①几个常用组合数公式 n n n n n n C C C 2210=+++ 111111 211 5314201 1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)! 1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法. v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：4 13353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++ 证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=?++?+?+?-- ，而右边n n C 2= 举例： 103020301020101011209101720310182021019201102020010C C C C C C C C C C C C C C ==++++++ 这里构造二项式()()()302010111x x x +=++其中20 x 的系数.

选排列数计算公式

排列导学案 课题：选排列数计算公式 课型：新授 执笔： 审核: 使用时间： 一、学习目标 1、 选排列数的计算公式 2、 全排列数的计算公式 二、重点难点 1、 选排列数的计算公式 2、 全排列数的计算公式 三、学习内容 1、选排列数的计算公式 k n A =n ?(n -1)?22--k n A =n ?(n -1)?(n -2)?33 --k n A =... k n A =1 2)...1)((12)...1)(()]1()...[2)(1(??---??---?----k n k n k n k n k n n n n n !=n ?(n -1)?(n -2)?...?3?2?1， k n A = )! (!k n n - 2、全排列计算公式 n n A = )! (! n n n -=n !=n ?(n -1)?(n -2)?...?3?2?1． 四、探究分析 1、计算： (1)55A ； (2)5 10 6105A A -； (3)5 70 670A A ． 方法总结： 2、以所有26个英文字符组成一个26位的密码，规定在一个密码中不出现相同的字符，那么可以组成多少种不同的密码？以单台计算机去解密，若计算机解密的速度是每秒钟107个不同的密码，那么最坏的情况下，需要多长时间才能解密？ 方法总结：

课堂训练 1．计算： (1)45A ；(2)55A ；(3)3 10 5104A A ；(4)810 7 10A ． 课后作业 1. 写出字母a ,b ,c 的全排列． 2. 填表： 3. 古代兵营以白天挂彩旗、黑夜挂彩灯的方式传递信息，若使用7面不同颜色的彩旗或7只不同的颜色的彩灯，从上至下挂成一列来表达要传递的信息，那么可以表示多少种不同的信息？ 4. 6位同学站一列，要求甲必须在乙前面，共有多少种排法？ 教学后记

全错位排列数公式的推导与化简

全错位排列数公式的推导与化简 一、提出问题 装错信封问题：一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，若他把这n封信都装错了信封，那么装错信封的装法共有多少种？这是被著名数学家欧拉称为“组合数论的一个妙题”. 把n个编号元素放在n个编号位置，元素编号与位置编号各不对应的排列方法称为错位排列法. 将编号分别为1，2，3，…，n的n个不同元素a1，a2，a3，…，an，安排在这n个位置作全排列，若某个排列中每个元素都错位，则把这个全排列称为这n个不同元素的一个全错位排列.n个不同元素所有的全错位排列的个数称为全错位排列数，记为Dn，易得D1=0，D2=1，D3=2. 二、递推关系式 对于n=4，D4推导如下：按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C13=3种排法. 1234a3a1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是a3，此时应考虑a1的位置，包括两种情况.若a1安排在第三个位置，则a2和a4排法是D2=1；若a1不安排在第三个位置，而a2不排在第二个位置，a4不排在第4个位置，对应的排法是D3=2.因此，当第一个位置安排的是a3时，对应

的排法共有D2+D3=3，而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以D4=C13（D2+D3）=9. 对于Dn，推导如下： 按分步乘法计数原理考虑，第一步，先安排好第一个位置，有C1n-1=n-1种排法. 12…m…nama1第二步，当安排好第一个位置后，假设安排的是am，此时应考虑a1所放的位置，包括两种情况. 若a1安排在第m个位置，则对应的排法是Dn-2；若a1不安排在第m个位置，由于a2不排在第二个位置，…，an不排在第n个位置，对应的排法是Dn-1.因此，当第一个位置安排的是an时，对应的排法共有Dn-1+Dn-2.而第一个位置安排的各种情况地位相当，所以Dn=C1n-1（Dn-1+Dn-2）. （1）整理Dn-nDn-1=-[Dn-1-（n-1）Dn-2].这表明，{Dn-nDn-1}是以D2-2D1=1为首项，公比为-1的等比数列，于是 Dn-nDn-1=（-1）n-2，故Dn=nDn-1+（-1）n，其中n≥2，n ∈N+. （2） 对于（1）式还有一种方法：设满足题意的放法有Dn种，当加入第n+1个元素和编号时，对于Dn的每一种放法，都可以把第i（i=1，2，3，…，n）个元素与第n+1个元素互换，把第i个元素放入第n+1个位置，有nDn种放法；也可先把第n+1个元素放入第i个位置，还余下n个位置，而把第i 个元素不放入第n+1个位置，其它元素也不放在对应的位置，