椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
课程标准
核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质．
2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想.
直观想象 数学运算
知识点1 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2
b 2
＝1(a ＞b ＞0) 范围
－a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b
－b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a
顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0，
b )
A 1(0，－a )，A 2(0，a ),
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b
焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)
F 1(0，－c )，F 2(0，c )
焦距 |F 1F 2|＝2c
对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝c
a (0 1－b 2a 2＝11＋b 2c 2 .） 注：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a ＋c ，最小值为a －c . (4)椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置． (5)已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，a 为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点． (6)椭圆的离心率e 的大小反映椭圆的扁平程度，e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆． 拓展：用离心率e ＝c a 来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在Rt △BF 2O 中，cos ∠BF 2O ＝c a ，记e ＝c a ，则0 椭圆越扁；e 越小，∠BF 2O 越大，椭圆越接近于圆． (7)常用椭圆方程的设法 ①与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：1 22 22=+++m b y m a x )(2b m -> ②有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k b x a y =+22 22（0>k ，焦点 在x 轴上） 【即学即练1】求椭圆x 2＋9y 2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 【解析】把已知方程化成标准方程为x 281＋y 2 9＝1，于是a ＝9，b ＝3，c ＝81－9＝62， 所以椭圆的长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝22 3 . 两个焦点的坐标分别为F 1(－62，0)，F 2(62，0)，四个顶点的坐标分别为A 1(－9,0)，A 2(9,0)，B 1(0，－3)，B 2(0,3)． 【即学即练2】椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±10,0) B ．(±69，0) C ．(0，±13) D ．(0，±69) 【解析】由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．故选D 【即学即练3】已知椭圆22 2 2 :1(0)1+=>+x y C a a a 的短轴长和焦距相等，则a 的值为（ ） A ．1 B 2 C ． 32 D 3【解析】由题设易知：椭圆参数b c =，即有2221+-=a a a ，可得1a =． 故选：A 【即学即练 4】比较椭圆①x 2＋9y 2＝36 与②x 29＋y 2 5 ＝1的形状，则________更扁(填序号)． 【解析】x 2＋9y 2＝36 化为标准方程为x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；x 29＋y 2 5 ＝1的离 心率e 2＝2 3.因为e 1＞e 2，故①更扁． 【即学即练5】焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程为( ) A.x 24＋y 2 3＝1 B.x 24＋y 2 ＝1 C.y 24＋x 2 3 ＝1 D ．x 2＋ y 2 4 ＝1 【解析】依题意，得a ＝2，a ＋c ＝3，故c ＝1，b ＝22－12＝3，故所求椭圆的标准方程 是x 24＋y 2 3＝1.故选A 【即学即练6】与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 2 4＝1 B ．x 2 ＋y 2 6 ＝1 C.x 26＋y 2 ＝1 D.x 28＋y 2 5 ＝1 【解析】椭圆 9x 2＋4y 2＝36 可化为x 24＋y 2 9 ＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)， 故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)，则 c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6， 则所求椭圆的标准方程为 x 2＋y 2 6 ＝1.故选B 【即学即练7】若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为________． 【解析】∵椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，∴1 m ＝2，∴m ＝ 14 . 【即学即练8】椭圆C ：22 21(3)3 x y a a + =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，经过点1F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，若2ABF 的周长为16，则椭圆C 的离心率为（ ） A 13B 11C ．1 2 D 3【解析】由题可知416a =，即4a =，所以椭圆C 的离心率16313 e -== . 故选：A. 【即学即练9】已知椭圆()22 2210x y a b a b +=>>上存在点P ，使得213PF PF =，其中1F ，2 F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1 ,12 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】由椭圆的定义得122PF PF a +=，又∵213PF PF =，∵13 2 PF a =，212PF a =， 而12122PF PF F F c -≤=，当且仅当点P 在椭圆右顶点时等号成立， 即31222a a c -≤，即2a c ≤，则1 2c e a =≥，即112e ≤<. 故选：D ． 知识点2 点与椭圆的位置关系 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 2 0a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20 b 2>1. 【即学即练10】已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2 n 2＝1上，则下列说法正确的是( ) A ．点(－2,3)在椭圆外 B ．点(3,2)在椭圆上 C ．点(－2，－3)在椭圆内 D ．点(2，－3)在椭圆上 【解析】D 【即学即练11】已知直线l 过点(3，－1)，且椭圆C ：x 225＋y 2 36＝1，则直线l 与椭圆C 的公 共点的个数为( ) A ．1 B ．1或2 C ．2 D ．0 【解析】因为直线过定点(3，－1)且3225＋(－1)2 36＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线 l 与椭圆有2个公共点．故选C 知识点3 直线与椭圆的位置关系 直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的位置关系，判断方法： 联立⎩⎪⎨⎪ ⎧ y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消y 得一元二次方程． 当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切； 当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离． 【即学即练12】对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24 ＋y 2 ＝1的位置关系． 【解析】由⎩⎪⎨⎪ ⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ， 得x 2 4 ＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5 【即学即练13】若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 2 2 ＝1相切，则斜率k 的值是( ) A.63 B ．－63 C ．± 63 D ．± 33 【解析】把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1，得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k 2＝2 3， ∴k ＝±6 3 . 故选C 知识点4 直线与椭圆相交的弦长公式 1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． 2．求弦长的方法 (1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． (2)根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为： |AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 1＋1 k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 注：（1）已知弦AB 是椭圆22 221x y a b +=（0a b >>）的一条弦，中点M 坐标为00(,)x y ， 则AB 的斜率为20 20b x a y -，运用点差法求AB 的斜率，设11(,)A x y ，22(,)B x y ；A 、B 都 在椭圆上，22 1122 2 2 2222 11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：2222 121222 0x x y y a b --+=，1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 即 2201212 2212120b x y y x x b x x a y y a y -+=-⋅=--+，故2020 AB b x k a y =- （2）弦AB 的斜率与弦中心M 和椭圆中心O 的连线的斜率之积为定值：22a b - 【即学即练14】已知椭圆x 225＋y 2 16＝1，过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ， B 两点，则|AB |＝________. 【解析】易求得a ＝5，b ＝4，所以|AB |＝2b 2a ＝2×425＝32 5 . 【即学即练15】已知F 是椭圆x 225＋y 2 9＝1的一个焦点，AB 为过椭圆中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 【解析】由题意知，S △ABF ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1 2 |OF |·2b ＝12.故选D 【即学即练16】已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为45 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，若()3,2M -为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是（ ） A 3 B ．1 2 C ． 25 D 5【解析】设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，222222 112222222 2b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 相减得22 12121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，因直线AB 的倾斜角为45，即直线AB 的 斜率为12 12 1y y x x -=-， 又()3,2M -为线段AB 的中点，则126x x +=-，124y y +=，因此有22 460a b -=，即2 22 3 b a =， 所以椭圆C 的离心率22223 1a b b e a --. 故选：A 【即学即练17】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>3 直线l 与椭圆C 交于A ， B 两点且线段AB 的中点为()3,2M ，则直线l 的斜率为________. 【解析】由题意可得223 1c b e a a ==-6a =， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2222 112222221,1x y x y a b a b +=+=， 两式相减可得 ()()()()12 1212122 2 0x x x x y y y y a b -+-++=， AB 的中点为(3,2)M ，12126,4x x y y +=+=∴， 则直线斜率212122********* y y x x b k x x a y y -+= =-⋅=-⨯=--+. 故答案为：1-. 考点一 由标准方程研究几何性质 解题方略： 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置； (3)求出a ，b ，c ； (4)写出椭圆的几何性质． 注：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍． 【例1-1】已知椭圆C 1：x 2100＋y 2 64 ＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且 椭圆C 2的焦点在y 轴上． (1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质． 【解析】(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 2 64＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)， (－6,0)，离心率e ＝3 5 ； (2)椭圆C 2：y 2100＋x 2 64 ＝1， 性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称； ③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④焦点：(0,6)，(0，－6)； ⑤离心率：e ＝3 5 . 【例1-2】椭圆22 13x y m + =-的一个焦点坐标为()0,1-，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．4 C ．4- D ．2- 【解析】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y 轴上，所以有31m --=，解得4m =-． 故选：C. 变式1：已知椭圆22 14x y m + =的焦距为3m 的值不可能为（ ） A ．1 B ．7 C ．1- D 7【解析】由题知，3c 若4m >，则2 a m =，24 b =， 所以7m =，即7m =±； 若4m <，则24a =，1b m ==，即1m =±. 故选：D 【例1-3】【多选】已知椭圆22 2 2 12:55,:11612 +=+ =x y C x y C ，则（ ） A ．12,C C 的焦点都在x 轴上 B ．12,C C 的焦距相等 C ．12,C C 没有公共点 D ．2C 比1C 更接近圆 【解析】对于A ，因为椭圆1C 的标准方程为22 15 y x + =，所以1C 的焦点在y 上，所以A 不正确； 对于B ，因为椭圆1C 的焦距为2514-，椭圆2C 的焦距为216124-=，所以B 正确； 对于C ，作出椭圆12,C C 的图象，由图象可知，椭圆12,C C 没有公共点，所以C 正确； 对于D ，因为椭圆1C 的离心率为125=e ，2C 的离心率为22142==e ，所以12e e >，所以D 正确. 故选：BCD. 变式1：已知椭圆22 194 x y + =与椭圆()221494x y k k k +=<--，则下列结论正确的是（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 【解析】∵4k <， 9k ∴->40k ->且9(4)94k k ---=-， ∴椭圆22194 x y +=与椭圆 22 1(4)94x y k k k +=<--的关系是有相等的焦距． 故选：C ． 考点二 利用几何性质求标准方程 解题方略： 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝c a 等． 注：（1）与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为：1 22 22=+++m b y m a x )(2b m -> （2）有相同离心率：k b y a x =+2222（0>k ，焦点在x 轴上）或k b x a y =+22 22（0>k ，焦 点在x 轴上） 【例2-1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是4 5 ； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解析】(1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5. 又∵e ＝ c a ＝4 5，∴c ＝4. ∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. ∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 2 9＝1. (2)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 2 9＝1. 变式1：已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5 5 ， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________． 【解析】∵e ＝c a ＝5 5， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2. 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 2 4a 2＝1(a >0)， ∵椭圆过点P (－5,4)，∴ 25a 2＋5×164a 2 ＝1. 解得a 2 ＝45.∴椭圆方程为x 245＋y 2 36 ＝1. 答案：x 245＋y 2 36＝1 变式2：若直线240x y ++=过椭圆()22 2210x y a b a b +=>>短轴端点和左顶点，则椭圆方程为 （ ） A ．22 142 x y += B ．22 1164 x y + = C ．22 1416x y += D ．22 1129 x y += 【解析】直线240x y ++=交x 轴于(4,0)-，交y 轴于(0,2)-，依题意，4,2a b ==， 所以椭圆方程为22 1164 x y + =. 故选：B 变式3：古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 均在y 轴上，椭圆C 的面积为23π， 且短轴长为23C 的标准方程为（ ） A ．2 2112 x y += B ．22 143x y += C ．22 134x y += D ．22 1163 x y += 【解析】因为椭圆C 的焦点在y 轴上，故可设其方程为22221y x a b +=， 根据题意可得23ab ，223b =，故可得2,3a b ==， 故所求椭圆方程为：22 134 x y +=. 故选：C. 变式4：已知F (3,0)是椭圆的一个焦点，过F 且垂直x 轴的弦长为3（ ） A ．245x + 2 36y = 1 B ．2 36x + 227y = 1 C ．227x + 2 18 y = 1 D ．2 18x + 29 y = 1 【解析】依题意22 22 3 24333,32c b a b a a b c =⎧⎪⎪=⇒==⎨⎪=+⎪⎩ 所以椭圆方程为22 12718 x y +=. 故选：C 考点三 点与椭圆的位置关系 解题方略： 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 2 0b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20 b 2>1. （一）点和椭圆位置关系的判断 【例3-1】点(1,1)与椭圆22 132x y +=的位置关系为（ ） A ．在椭圆上 B ．在椭圆内 C ．在椭圆外 D ．不能确定 【解析】115 1326 +=<，可知点(1,1)在椭圆内．故选：B. （二）根据点和椭圆位置关系求参数 【例3-2】点(),1A a 在椭圆22 142 x y +=的外部，则a 的取值范围是（ ） A ．(2,2 B ．() ,22,-∞-⋃+∞ C ．()2,2- D ．()1,1- 【解析】因为点(),1A a 在椭圆22 142 x y +=的外部，所以21142a +>,解得 (2) (2)a ∈-∞+∞，，, 故选：B. 变式1：若点()1,A m 在椭圆22 :142 x y C +=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(6,6 B ．66⎛ ⎝⎭ C ．66 ,,2⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．33⎛ ⎝⎭ 【解析】22 1142m +<，所以66m ⎛∈ ⎝⎭，故选：B. （三）点和椭圆位置关系的应用 【例3-3】若直线9mx ny +=和圆229x y +=没有公共点，则过点(),P m n 的直线与椭圆22 1109 x y +=的交点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 【解析】因为直线9mx ny +=和圆229x y +=没有交点， 所以圆心()0,0到直线90mx ny +-=的距离2 2 93d m n -=>+， 可得：229m n +<， 即点(,)m n 在圆229x y +=内， 又因为圆2 2 9x y +=内切于椭圆22 1169 x y +=， 所以点 (),m n 在椭圆22 1169 x y +=内， 即过点(),m n 的直线与椭圆22 1169 x y +=有两个交点. 故选：C. 变式1：已知椭圆2 214 x y +=经过点(),P m n ，则22m n +的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．(]0,4 C ．[)4,+∞ D ．[]1,4 【解析】因为椭圆2214x y +=经过点(),P m n ，所以2214m n +=，所以22 14m n =-， 则22 2 2 2 31144 m m m n m +=+-=+． 因为椭圆2 214 x y +=经过点(),P m n ，所以22m -≤≤，即204m ≤≤， 故22m n +的取值范围是[]1,4． 故选：D ． 考点四 求椭圆的离心率 解题方略： 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝c a 求解．若已知a ， b 或b ， c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求 出c 或a ，再代入公式e ＝c a 求解． (2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围． （一）求椭圆的离心率 【例4-1】若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 【解析】如图，△BF 1F 2是正三角形， ∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°， ∴cos 60°＝c a ＝12，即椭圆的离心率e ＝1 2 ，故选A. 变式1：若椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为( ) A.16 17 B.41717 C.45 D.255 【解析】依题意得c ＋b 2c －b 2＝53，∴c ＝2b ，∴a ＝b 2＋c 2＝5b ，∴e ＝c a ＝2b 5b ＝25 5.故选D. 变式2：已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥ x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP ―→＝2PB ―→ ，则椭圆的离心率是( ) A.32 B.22 C.13 D.12 【解析】如图，∵AP ―→＝2PB ―→ ，∴OA ＝2OF ，∴a ＝2c ，∴e ＝12.故选D 变式3：已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝b 相交于A ，B 两点，O 是坐标原点， 如果△AOB 是等边三角形，那么椭圆E 的离心率等于( ) A.36 B.34 C.33 D.32 【解析】不妨设点B 在第一象限，则B ⎝⎛⎭⎫bc a ，b ，由题意知OB 的倾斜角是60°，所以b bc a ＝a c ＝3，则椭圆的离心率e ＝c a ＝3 3.故选C. 变式4：F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴的顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，那么该椭圆的离心率为( ) A.22 B.24 C.12 D.32 【解析】如图所示，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，P (－ c ，m )． ∵OP ∥AB ，∴△PFO ∽△BOA ， ∴c a ＝m b ，① 又∵P (－c ，m )在椭圆上，∴c 2a 2＋m 2 b 2＝1，② 将①代入②得2c 2 a 2＝1， 即e 2＝12，∴e ＝2 2，故选A. 变式5：已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ，2BF 的 延长线交C 于Q ，1BQ FQ =，则C 的离心率e =（ ） A ．1 2 B ．2 3 C ． 22 D ． 33 【解析】由椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为B ， 可得：()()()120,,,0,,0B b F c F c -.如图示： 1212,BF BF a OF OF c ====. 设2QF m =，则1 FQ BQ a m ==+. 由椭圆的定义可得：1 22FQ F Q a +=，即2a m m a ++=，解得：1 2 m a =. 所以在1BQF 中，11 33,,22BF a BQ a FQ a ===，所以1111122cos 332BF a QBF BQ a ∠===. 在12BF F △中，1212,2BF BF a F F c ===，所以 ()2 2 2111cos cos 22cos 121b F BF OBF OBF a ⎛⎫ ∠=∠=∠-=- ⎪⎝⎭ . 所以21213b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2 23 b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以222 22113c b e a a ==-=，所以e =3e =3. 故选：D 变式6：椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若 直线,AP AQ 的斜率之积为1 4 ，则C 的离心率为（ ） A 3 B ． 22 C ．1 2 D ．13 【解析】设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由1 4 AP AQ k k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由22 11221x y a b +=，得() 22212 12b a x y a -=， 所以 () 22212 22 114 b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率223 1c b e a a =- A. 变式7：已知直线l ：)3y x c =+过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F ，与椭圆在x 轴 上方的交点为P ，Q 为线段PF 的中点，若OQ c =，则椭圆的离心率为（ ） A 31 - B 31 C 2D ．1 2 【解析】直线l ：过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点F ，设椭圆的右焦点为M ， 所以60PFM ∠=︒， 又O 是FM 的中点，Q 是PF 的中点，所以1 ||||2 OQ PM =， 又||OQ c =，所以||2PM c =，又||2FM c =，所以PFM △是等边三角形， 所以||2PF c =，又P 在椭圆上，所以||||222PM PF a c c +==+， 所以24a c =，所以离心率为12 c e a ==， 故选：D ． （二）求椭圆的离心率的取值范围 【例4-2】已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为________． 【解析】依题意可得2c ≥2b ，即c ≥b . 所以c 2≥b 2，从而c 2≥a 2－c 2， 即 2c 2≥a 2，e 2＝ c 2a 2≥12，所以e ≥2 2 . 又因为0 所以椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭ ⎫22，1. 变式1：椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭 圆离心率的取值范围． 【解析】设P (x ，y )，由∵APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22 . ∵y 2＝ax －x 2.∵ 又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2 b 2＝1.∵ 把∵代入∵化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即 (x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0， ∵x ＝ab 2 a 2－ b 2，又0 ∵0 a 2－ b 2 . 又∵0 2 2 22:10x y C a b a b +=>>，对于C 上的任意一点P ，圆222:O x y b +=上均 存在点M ，N 使得60MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．3⎛ ⎝⎦ B ．3 ⎡⎢⎣ C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】 如上图，当P 位于右端点（做端点也相同），如果60MPN ︒∠≥，则对于C 上任意的点P ，在圆O 上总存在M ，N 点使得 60MPN ︒∠= ， 此时，130,sin 2b MPO MPO a ︒ ∠≥∠= ≥ ，222332,,4c b a e e a ∴≥=≤≤ ； 故选：A. 变式3：已知椭圆C ：22 221x y a b +=（0a b >>）的左､右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为 直径的圆与直线20bx ay ab -+=相交，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．6⎛ ⎝⎭ B ．6⎫ ⎪⎪⎝⎭ C ．2⎫ ⎪⎪⎝⎭ D ．2⎛ ⎝⎭ . 【解析】由题设，以线段12A A 为直径的圆为222x y a +=，与直线20bx ay ab -+=相交， 22 a a b <+，可得222233()b a c a =-<，即22 3 e > ，又01e <<， 6 1e <<. 故选：B 变式4：已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，O 为坐标原点，点M 是C 上点（不在坐标轴上），点N 是2OF 的中点，若MN 平分12F MF ∠，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．1 ,12 ⎛⎫ ⎪⎝ ⎭ B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】因为O 是12F F 的中点，N 是2OF 的中点，所以123NF NF =， 因为MN 平分12F MF ∠，所以 12 MF MF = 12 3NF NF =， 因为122MF MF a +=，所以132a MF =，22a MF =，由32a a c a c -<<+（或2 a a c a c -<<+）， 得椭圆C 的离心率12 c e a =>，又1e <，所以椭圆C 的离心率的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：A ． （三）由椭圆的离心率求参数（范围） 【例4-3】已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝1 2.求k 的值． 【解析】分两种情况进行讨论． (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，由a 2＝k ＋8，b 2＝9，得 c 2＝k －1. 3.1.2 椭圆的简单几何性质 课程标准 核心素养 1.掌握椭圆的简单几何性质． 2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想. 直观想象 数学运算 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 x 2a 2＋y 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2 b 2 ＝1(a ＞b ＞0) 范围 －a ≤x ≤a 且－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b 且－a ≤y ≤a 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0),_ B 1(0，－b )，B 2(0， b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a ), B 1(－b,0)，B 2(b,0) 轴长 长轴长＝2a ，短轴长＝2b 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) 焦距 |F 1F 2|＝2c 对称性 对称轴x 轴和y 轴，对称中心(0,0) 离心率 e ＝c a (0 抛物线的简单几何性质 抛物线的实际应用 抛物线的标准方程 抛物线的几何特征与概念 范围、对称性、顶点、 离心率 3.3.1抛物线及其标准方程 教学设计 抛物线的研究是类比椭圆、双曲线的研究方法进行的.先抽象抛物线的几何特征，然后通过坐标法建立它的标准方程，再利用方程研究它的几何性质，并利用这些性质解决简单的实际问题.整体研究框架如下： 通过本节课的学习，学生不仅能掌握抛物线的几何特征，定义和标准方程，为后面学习抛物线的性质及其在实际问题中的应用打好基础.而且有助于学生观察分析能力与抽象概括能力的培养，有助于学生运算技能的训练与提高，对学生进一步理解解析法和数形结合思想有很好的作用.也进一步巩固了圆锥曲线的学习流程与研究方法. 二、学情分析 抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见的一种曲线.学生很早就认识了抛物线，知道斜抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图像是抛物线等等.可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观的认识. 三、教学目标 1.能通过实验探究 ，理解抛物线的定义； 2.类比椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并解决简单的问题； 3.体会建立曲线方程的方法，发展直观想象、数学运算素养. 四、教学重难点 1.理解抛物线定义 2.推导抛物线的标准方程 五、教学过程 1导入新课 世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜 “中国天眼”--500m口径抛物面射电望远镜的轴截 面是一个开口向上的抛物线的一部分。 2抛物线定义的形成 2.1尺规作图，观察抛物线的形成过程 如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上， 一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的 一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等 于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一 点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把 绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线． 问题1：你能发现点P满足的几何条件吗？ 设计意图：类比椭圆和双曲线的学习，制定研究路线图。发展学生数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养。 2.2几何画板演示，观察抛物线的特征 探究：动点 M到定点 F的距离与动点 M到定直线 l （不过点 F）的距离相等时，点 M的轨迹是什么？ ，分别表示什么呢？ 问题2：MH MF 设计意图：引导学生关注动点到定点与到定直线的距离，从而可以用几何特征表述抛物线的定义. 问题3：说到抛物线，你能联想到哪些抛物线形状的图形呢？ 设计意图：让学生联想生活、科研和生产中的抛物线，并引导学生联想二次函数，产生思维冲突. 3类比探究，建立方程 问题4：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 【活动预设】 （1）分组合作探究； 知识点一： 一、共价键 1．共价键的概念和特征 原子间通过 所形成的相互作用。 微点拨 【答案】共用电子对 2．共价键的类型(按成键原子的原子轨道重叠方式分类) (1)σ键 形成 由成键原子的s 轨道或p 轨道“头碰头”重叠形成 类型 s-s 型 共价键的方向性决定了分子的立体构型，并不是所有共价键都具有方向性，如两个s 电子形成共价键时就没有方向性。 知识精讲 考点导航 第05讲 共价键 s-p型p-p型 特征以形成化学键的两原子核的为轴做旋转操作，共价键的电子云的图形，这种特征称为 (2)π键 形成由两个原子的p轨道“”重叠形成pp π键 特征π键的电子云形状与σ键的电子云形状有明显差别：每个π键的电子云由两块组成，它们互为，这种特征称为；π键旋转；不如σ键，较易 (3)判断σ键、π键的一般规律 共价单键为键；共价双键中有一个键，另一个是键；共价三键由一个键和两个键构成。 【答案】连线不变轴对称肩并肩镜像镜面对称不能牢固断裂σ σ π σ π 【即学即练1】 1．下列关于σ 键和π键的说法不正确的是 A．σ 键能单独形成，π键不能单独形成 B．σ 键可以绕键轴旋转，π键不能绕键轴旋转 C．双键中一定有一个σ 键，一个π键，三键中一定有一个σ 键，两个π键 D．CH3-CH3、CH2=CH2、CH≡CH中的σ 键都是C-C键，所以键能都相同 【答案】D 【解析】A．分子中可只含σ键，但含π键时一定含σ键，则σ键一般能单独形成，而π键一般不能单独形成，A正确； B．σ键为球对称，π键为镜面对称，则σ键可以绕键轴旋转，π键一定不能绕键轴旋转，B 正确； C．双键、三键中均只含1个σ键，其余为π键，则碳碳双键中有一个σ键，一个π键，碳碳三键中有一个σ键，两个π键，C正确； D．三种分子中分别含C-C、C=C、C≡C键和C-H键，所以σ键也包含C-H键，且碳原子与碳原子之间的键长、键能均不相同，D错误； 答案选D。 二项分布与超几何分布 一n重伯努利试验 1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． 注意点：在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验． 二二项分布的推导 二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0 三二项分布的简单应用 利用二项分布求解“至多”“至少”问题的概率，其实质是求在某一范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率． 四二项分布的均值与方差 1．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． 2．若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求 五二项分布的实际应用 二项分布的实际应用类问题的求解步骤 (1)根据题意设出随机变量； (2)分析随机变量服从二项分布； (3)求出参数n和p的值； (4)根据二项分布的均值、方差的计算公式求解． 六二项分布的性质 二项分布概率最大问题的求解思路 七超几何分布 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝C k M C n－k N－M C n N，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}． 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 注意点： (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”． 2022-2023学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷 1. 直线x+y−√3=0的倾斜角等于( ) A. 45∘ B. 90∘ C. 120∘ D. 135∘ 2. 抛物线x2=4y的准线方程为( ) A. x=1 B. x=−1 C. y=1 D. y=−1 3. 在空间直角坐标系O−xyz中，点A(1,3,0)，B(0,3,−1)，则( ) A. 直线AB//坐标平面xOy B. 直线AB⊥坐标平面xOy C. 直线AB//坐标平面xOz D. 直线AB⊥坐标平面xOz 4. 在(2x+1)4的展开式中，x2的系数为( ) A. 6 B. 12 C. 24 D. 36 5. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则二面角D1−BC−D的余弦值为( ) A. √5 5B. 2√5 5 C. √10 10 D. 3√10 10 6. 若直线3x+4y+m=0与圆(x+1)2+y2=1相离，则实数m的取值范围是( ) A. (−∞,−8)∪(2,+∞) B. (−∞,−2)∪(8,+∞) C. (−∞,−2)∪(2,+∞) D. (−∞,−8)∪(8,+∞) 7. 2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有( ) A. A33种 B. 2A33种 C. A55−A33种 D. A53种 8. 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+(a+1)y+4=0平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 9. 如图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为( ) A. 3√3m B. 3√3 2m C. 4√2m D. 4√2 3 m 基础知识精练 知识点1 由双曲线方程探究其简单性质 1、如图，双曲线C ： 110 9 2 2 =y x 的左焦点为1F ，双曲线上的点1P 与2P 关于y 轴对称，则||||1112F P F P 的 值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2、双曲线 116 9 2 2 =y x 的左顶点与右焦点的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 3、在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为02=y x ，则 它的离心率为（ ） A. 5 B. 2 5 C. 3 D. 2 4、双曲线12 2=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为（ ） A. 4 1 B. -4 C. 4 D. 4 1 5、在平面直角坐标系中，双曲线 14 2 2 2 =+m y m x 的离心率为5，则m 的值为（ ）。 6、已知双曲线的方程是14491622 =y x 。 （1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）21,F F 为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足32||||21=•PF PF ，求21PF F ∠的大小。 知识点2 由双曲线的性质探求其方程 7、已知双曲线C ：)0,0(12 2 2 2>>=b a b y a x 的焦距为10，点P （2,1）在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为（ ） A. 15202 2=y x B. 120522=y x C. 1208022 =y x D. 180 202 2 =y x 8、已知双曲线)0,0(122 2 2 >>=b a b y a x 的一个焦点为)0,52(F ，且离心率2 5=e ，则双曲线的标准方 程为（ ）。 9、求满足下列条件的双曲线的标准方程。 （1）双曲线过点)29,3(，离心率3 10 = e ； （2）过点P （2，-1），渐近线方程是y=±3x ； （3）与双曲线 13 42 2=x y 有相同的渐近线，且经过点M （3，-2）； （4）与椭圆 116 252 2=+x y 有公共焦点，且过点)10,2(。 1.4 空间向量的应用（教案）-2022-2023学年高二数学教 材配套教案（人教A版2019选择性必修第一册） 【教学目标】 1.理解空间向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则； 2.掌握使用坐标法求解空间向量的相关问题； 3.能够应用空间向量解决立体几何中的实际问题。 【教学内容分析和设计】 一、概念和性质 1.向量的基本概念及向量的相等和共线 2.向量的加、减、数乘及点积的定义和运算法则； 3.向量的模长、单位向量、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关概念。 二、坐标法 1.空间直角坐标系及三维空间中向量的坐标表示； 2.向量的加、减、数乘及点积的坐标表示； 3.坐标法求解向量的模长、方向余弦、共面、垂直、夹角等相关问题。 三、应用实例 1.以向量为工具，解决平面或空间几何中的相关问题； 2.以向量为工具，解决机器人运动的问题； 3.以向量为工具，理解矢量力在立体图形中的应用。 【课时安排】 本次教学安排5课时。 【教学步骤设计】 一、由图至式，引入空间向量的定义及基本概念。 1.结合实际，引导学生发现向量的概念，并介绍向量的基本性质； 2.引导学生掌握向量的相等、共线的判定方法。 二、向量的表示及运算法则 3.引导学生理解向量的加、减、数乘及点积，并讲解相应的运算法则； 4.以包括网格点的三维空间相互平移, 介绍向量的模长、单位向量、方向余弦及夹角等相关概念； 5.练习向量的加、减、数乘及点积的计算。 三、空间向量的坐标表示 6.介绍空间直角坐标系，并讲解向量的坐标表示及相应的运算法则； 7.练习空间向量的坐标表示及计算。 四、应用实例 8.引导学生理解向量的应用，解决平面或空间几何中的相关问题； 9.引导学生掌握向量在机器人运动中的应用； 10.以矢量力为例，引导学生理解其在立体图形中的应用。 五、课后作业 湖南师大附中2022-2023学年度高二第一学期期中考试 数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．当2 3 ＜m ＜1时，复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．曲线221259x y +=与曲线 22 1925x y k k +=--（9k <且0k ≠）的（ ） A ．长轴长相等 B ．短轴长相等 C ．焦距相等 D ．离心率相等 3．数列{}n a 的通项()374,4, ,4,n n t n n a t n -⎧-+≤=⎨>⎩若{}n a 是递增数列，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(4,7) B ．32,75⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．32,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．(1,7) 4．,,PA PB PC 是从点P 出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60︒，那么直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ） A B C D ．1 2 5．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（ ） A ．35 B ．42 C ．49 D ．56 6．半径为5的圆O 内有一点P ，已知4OP =，过点P 的21条弦的长度构成一个递增的等差数列{}n a ，则{}n a 的公差的取值范围为（ ） A ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．14,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．已知0ω>，函数()sin f x x ω=在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上存在最值，则ω的取值范围是（ ） A ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1339,,2222⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．133,,222⎛⎫⎛⎫ +∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 8．已知函数2()f x x mx n =++，则存在,m n ∈R ，对任意的x ∈R 有（ ） 2022-2023学年河北省石家庄市普通高校对口单招数学自考真题(含答案) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________ 一、单选题(20题) 1.直线x-y=0,被圆x2+y2=1截得的弦长为（） A. B.1 C.4 D.2 2. A. B. C. D. 3. A. B. C. D. 4.若事件A与事件ā互为对立事件，则P(A) +P(ā)等于( ) A.1/4 B.1/3 C.1/2 D.1 5.在2，0，1，5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为（） A.3/4 B.5/8 C.1/2 D.1/4 6.下列函数中，在区间(0,)上是减函数的是( ) A.y=sinx B.y=cosx C.y=x D.y=lgx 7.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（） A.（x+1）2+（y-1）2=2 B.（x-1）2+（y+1）2=2 C.（x-1）2+（y-1）2=2 D.（x+1）2+（y+1）2=2 8.以坐标轴为对称轴，离心率为，半长轴为3的椭圆方程是（）A. B.或 C. D.或 9.过点A(-1，0)，B(0,-1)直线方程为（） A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+l=0 D.x-y+l=0 10. 11. A.(5, 10) B.(-5, -10) C.(10, 5) D.(-10, -5) 12. A.10 B.5 C.2 D.12 13.若f（x）=log a x（a＞0且a≠1）的图像与g（x）=log b x（b＞0， b≠1）的关于x轴对称，则下列正确的是（） A.a＞b B.a=b C.a＜b D.AB=1 14.若不等式x2+x+c＜0的解集是{x|-4＜x＜3}，则c的值等于（） A.12 B.-12 C.11 D.-11 15.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件）与x售价（元）满足一次函数：m=162-3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（） A.30元 B.42元 C.54元 D.越高越好 16.在等差数列中，若a3+a17=10，则S19等于（） A.75 B.85 C.95 D.65 17.函数y=3sin+4cos的周期是（） A.2π B.3π C.5π D.6π 18. A. 正态分布一正态曲线及其性质 1．我们称f(x)＝ ()2 2 2 1 e 2 xμ σ σ - - π ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函 数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4．正态曲线的特点： (1)非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方． (2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1. (3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值 1σ2π . (5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. (7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5．正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 二利用正态分布的性质求概率 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682_7； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954_5； P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997_3. 三正态分布的应用 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 2.2.2 椭圆的几何性质(一) 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形． 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标 思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样 的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？ 答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比c a 称为椭圆的离心率． 记为：e ＝c a . (2)对于x 2a 2＋y 2 b 2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0， c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2＋y 2＝a 2.(如图) 1．椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×) 2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×) 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 2 16＝1.(×) 4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋ c .(c 为椭圆的半焦距)(√) 类型一 由椭圆方程研究其几何性质 例1 求椭圆9x 2＋16y 2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2 9 ＝1， 排列与组合 一排列概念的理解 1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_完全相同；(2)元素的排列顺序也相同． 注意点： (1)要求m≤n. (2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同． 二画树状图写排列 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 (1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式． (2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列． 三简单的排列问题 要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么． 四排列数公式 1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示． 2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ n！ n－m！ (n，m∈N*，m≤n)． 3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列． 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！. 规定：0！＝1. 注意点： (1)乘积是m个连续正整数的乘积； (2)第一个数最大，是A的下标n； (3)第m个数最小，是n－m＋1. 五利用排列数公式化简与证明 排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算． 六排列数公式的简单应用 对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行． 七元素的“在”与“不在”问题 解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法． 排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”． 八“相邻”与“不相邻”问题 处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干 3.3 抛物线 考纲要求 1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、准线)．(重点) 2．能根据几何性质求最值，能利用抛物线的定义进行灵活转化，并能理解数形结合思想，掌握抛物线的简单应用．(难点) 知识解读 知识点①抛物线的概念 平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 知识点①抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y 2＝2px (p ＞0) y 2＝－2px (p ＞0) x 2＝2py (p ＞0) x 2＝－2py (p ＞0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离 图形 顶点 O (0,0) 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F ⎝⎛⎭⎫p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭ ⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎫0，－p 2 离心率 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈R x ≤0，y ∈R y ≥0，x ∈R y ≤0，x ∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P (x 0，y 0)) |PF |＝x 0＋p 2 |PF |＝－x 0＋p 2 |PF |＝y 0＋p 2 |PF |＝－y 0＋p 2 知识点①必记结论 1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径． 2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程为x ＝－a 4 . 拓展三：空间向量中动点的设法 立体几何是高考必考的核心问题之—，每年都会考查一道大题，主要考查点线面位置关系的判定、体积问题、空间角、动点问题.其中最复杂的是将动点加入到要考查的问题中，立体几何中的动点问题因其能够较好地考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力而受到命题者青睐.求解此类动点问题采用向量法（坐标法）来求解可以避开复杂的中间分析过程，将待求目标表示成变量的函数模型，借助函数求值域的方法求出最值. 知识点1 空间向量可解决的立体几何问题 用表示直线的方向向量，用表示平面的法向量 1、判定（证明）类 （1）线面平行： （2）线面垂直：（3）面面平行： （4）面面垂直： 2、计算类： ,a b ,a b ,m n ,αβa b a b ⇔∥∥a b a b ⊥⇔⊥m n αβ⇔∥∥m n αβ⊥⇔⊥ 利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为 ,m n ，则 ①两直线,l m 所成的角为θ(02 π θ<≤ ),； ①直线l 与平面α所成的角为θ(02 π θ≤≤ ),； ①二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),|| |cos ||||n | m n m θ⋅= 或（视平面角与法向量夹角关系而定） ①点到平面距离：设为平面外一点，为平面上任意一点， 则到平面的距离为， 即在法向量上投影的绝对值. 知识点2 空间向量动点的设法 在立体几何解答题中常常涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧： 1、理念：先设再求——先设出所求点的坐标，再想办法利用条件求出坐标 2、解题关键：减少变量数量——可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），要考虑减少变量的个数，最终所使用变量的个数可根据如下条件判断： （1）直线（一维）上的点：用一个变量就可以表示出所求点的坐标 （2）平面（二维）上的点：用两个变量可以表示所求点坐标 规律：维度=所用变量个数 3、如何减少变量： cos cos ,a b a b a b θ⋅== cos ,sin a m a m a m θ⋅= =cos cos ,m n m n m n θ⋅== cos cos ,m n m n m n θ⋅=-=- A αP αA αA AP n d n α-⋅=AP n (),,x y z (),,x y z 圆锥曲线的方程章末检测卷（二） 说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。 2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。 3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。 第I 卷(选择题 共60分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1．抛物线2 16 x y =的焦点到圆22:680C x y x +-+=上点的距离的最大值为（ ） A ．6 B ．2 C ．5 D ．8 【解析】 拋物线2 16 x y =的焦点为()0,4F ， 圆22680x y x +-+=，即22(3)1x y -+= 所以，圆心为()3,0C ，半径1r =，5FC = F 到圆C 上点的距离的最大值为||6FC r +=. 故选：A. 2．设P 为椭圆22 :193 x y C +=上一点，12,F F 分别是C 的左，右焦点．若121PF PF -=，则1PF = （ ） A ．3 2 B ．52 C ．72 D ．92 【解析】椭圆22 :193 x y C +=的长半轴长为3， 由椭圆的定义可知1226PF PF a +==， 由121216 PF PF PF PF ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，可得172PF =． 故选：C 3．已知双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率e 是它的一条渐近线斜率的2倍，则e =（ ） A 23 B 2 C 3 D ．2 【解析】由题意得2222c b a a a b c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩,解得2243c a =，即23 e = 故选：A. 4．已知双曲线2 213 x y -=的右焦点为F ，以F 为圆心且过坐标原点O 的圆与双曲线的一条 渐近线交于点A ，则OA =（ ） A ．2 B ．3 C ．23 D ．72 【解析】依题意得(2,0)F ，渐近线为30x =， 所以F 到渐近线的距离为113 d = =+， 所以222||2||22123OA OF d =-=-=. 故选：C 5．已知双曲线22 :14x y E m -=的一条渐近线方程为320x y +=，则下列说法正确的是（ ） A ．E 的焦点到渐近线的距离为2 B ．6m = C ．E 的实轴长为6 D ． E 13 【解析】依题意可得 32m = 9m =，故B 不正确； 3b m =,2a =,2213c a b += 所以E 2 2 313332 =+，故A 不正确； 因为2a =，所以E 的实轴长为24a =，故C 不正确； E 的离心率为2 222 1c a b b a a a +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭ 2 31312⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：D 期中学业水平质量检测（A 卷） 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A. B. C. D. 2. 已知命题p ：10,2x x x ∀>+ ，那么p ⌝是( ) A. 00010,2x x x ∃+ < B. 10,2x x x ∀>+< C. 00010,2x x x ∃>+< D. 10,2x x x ∀<+< 3. 下列图像中不能作为函数图像的是( ) A. B. C. D. 4. “4x >”是“2230x x -->”的( ) A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( ) A. ||y x = B. 1y x =- C. 1y x = D. 24y x =-+ 6. 函数3x y =与3x y -=的图象关于下列那种图形对称( ) A. x 轴 B. y 轴 C. 直线y x = D. 原点中心对称 7. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：①对任意的 ，且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立；②(2)0.f -=则不等式()0f x x >的解集为( ) A. (2,0)(2,)-⋃+∞ B. (,2)(0,2)-∞-⋃ C. (2,0)(0,2)-⋃ D. (,2)(2,)-∞-⋃+∞ 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，已知函数()[]f x x x =-，则下列选项中，正确的是( ) A. ()f x 的最大值为1，没有最小值 B. ()f x 的最小值为0，没有最大值 C. ()f x 没有最大值，没有最小值 D. ()f x 的最大值为1，最小值为0 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求） 9. 已知幂函数()(n f x x n =为常数)，则下列命题正确的是( ) A. 若幂函数过点1(3,)9 ，则2n =- B. 若12 n =，则函数()f x 在(0,)+∞是增函数 C. 222(25)(3)x x ---+>- D. 若3n =，则函数()f x 在R 是增函数，且为奇函数 10. 某食品的保鲜时间(y 单位：小时)与储存温度(x 单位：C ︒满足函数关系： ( 2.718,,kx b y e e k b +==为常数).若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在22C ︒的保鲜时间是48小时，则关于该食品保鲜的描述正确的结论是( ) A. 0k > B. 储存温度越高保鲜时间越长 C. 在11C ︒的保鲜时间是96小时 D. 在33C ︒的保鲜时间是24小时 11. 已知0x >，0y <，且1x y +=，则( ) A. 220x y -< B. 914x y + C. 221x y --> D. 2222x y x y --+<+ 3.1.2椭椭椭椭椭椭椭椭椭椭2椭 一、单选题 1. 已知点(4,2)M 是直线l 被椭圆22 1369 x y + =所截得的线段AB 的中点，则直线l 的斜率为( ) A. 2- B. 12 C. 12 - D. 2 2. 过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>中心的直线交椭圆于,A B 两点，右焦点为2(,0)F c ，则 2ABF ∆的最大面积是( ) A. ab B. ac C. bc D. 2b 3. 已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB = ，则椭圆的离心率是( ) A. B. C. 13 D. 12 4. 过椭圆22 143 x y + =的右焦点F 作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A ，B ，C ，D 四点，则 11|||| AB CD +的值为( ) A. 18 B. 16 C. 1 D. 712 二、多选题 5. 已知椭圆的左、右焦点为12,F F ，O 为坐标原点，直线 y x =-过2F 交C 于,A B 两点，若1AF B 的周长为8，则( ) A. 椭圆焦距为3； B. 椭圆方程为2 214x y +=； C. 弦长 ； D. 46 = .5 OAB S 6. 已知直线l ：23y x =+被椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>截得的弦长为7，则下列直线 中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( ) A. 23y x =- B. 21 y x =+ C. 23y x =-- D. 23y x =-+ 22 22:1(0)x y C a b a b +=>> 西工大附中2022-2023学年上学期1月期末 高二数学 一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若一数列为1，73，143，213，…，则983是这个数列的（ ）． A ．不在此数列中 B ．第13项 C ．第14项 D ．第15项 2．若过点(00)， 的直线l 与圆C ：22(2)(2)16x y ++-=相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值（ ） A ．2 B ．C ．4 D ．3．不等式(2)0x x -<成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．02x << B ．01x << C ．1x ≥- D ．13x << 4．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为M ，若 11C M xAB yAD zAA =++，则(),,x y z =（ ） A ．11,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,,122⎛⎫--- ⎪⎝⎭ D ．11,,122⎛⎫ -- ⎪⎝⎭ 5．已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为8，且一个焦点是圆22680x y x +-+=的圆 心，则该椭圆的左顶点为（ ） A ．(2,0)- B ．(3,0)- C ．(4,0)- D ．(5,0)- 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3695,15=S S S ==，则 A ．35 B ．30 C ．25 D ．15 7．已知抛物线22y px =与直线40ax y +-=相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F ，那么 等于（ ） 拓展二：与圆有关的最值问题 知识点1 圆的最值问题 求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为： 与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 圆的最值类型： 一、圆上动点到定点距离的最值问题 圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于r PC +||，最小值等于. 圆内一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于r PC +||，最小值等于||PC r -. 二、圆上动点到定直线的距离的最值问题 圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径. 三、圆的切线长最值问题 四、由直线与圆的位置关系求距离的最值 五、过圆内定点的弦长的最值问题（最长弦、最短弦问题） 设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 六、与斜率、距离、截距有关的圆的最值问题 处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： （1）形如u ＝y －b x －a 的最值问题，可转化过定点(a ，b )的动直线斜率的最值问题求解． （2）求形如u ＝ax ＋by 的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是： ①数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y 轴上的截距取得最值； ①把u ＝ax ＋by 代入圆的方程中，消去y 得到关于x 的一元二次方程，由Δ≥0求得u 的范围，进而求得最值. （3）求形如u ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x －a )2＋(y －b )2看作是点(a ，b )与圆上的点(x ，y )连线的距离的平方，利用数形结合法求解. 七、利用对称性求最值 形如|PA |＋|P Q|形式的与圆有关的折线段问题(其中P ，Q 均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．①“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决. 考点一 圆上动点到定点的距离的最值问题 【例1-1】圆()()22 341x y -+-=上一点到原点的距离的最大值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 PC r -椭圆的简单几何性质 2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
3.3.1抛物线及其标准方程教学设计-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第05讲共价键 2022-2023学年高二化学同步精品讲义(人教2019选择性必修2 )
7.4二项分布与超几何分布(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性
2022-2023学年北京市西城区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
双曲线的几何性质同步练习-山东师范大学附属中学2021-2022学年高二上学期数学人教A版
1.4 空间向量的应用(教案)-2022-2023学年高二数学教材配套教案(人教A版2019选择性必
精品解析：湖南师范大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
2022-2023学年河北省石家庄市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)
7.5正态分布(教师版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修三
2018-2019学年高二数学讲义选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2(一)
6.2排列与组合(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册
抛物线(教案)-2022-2023学年高二数学教材教案(人教A版2019选择性必修第一册)
2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展三：空间向量中动点的设法
章末检测卷(二)2022-2023学年高二数学同步精品讲义(人教A版2019选择性必修第一册)
期中学业水平质量检测(A卷)-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义
椭圆的简单几何性质第二课时同步练习2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)
陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题(含答案)
2022-2023人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：与圆有关的最值问题(详解版)