高中数学复习-命题及其关系、充分条件与必要条件

1．2命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念

(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．

(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．

(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．

(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．

(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题间的相互关系

(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)

(2)真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．

3．充分条件和必要条件

(1)如果p?q，则称p是q的______，q是p的_____________________________________________．

(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．

(3)如果p?q，但q p，那么称p是q的________条件．

(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件．

(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

自查自纠

1．(1)判断真假判断为真判断为假

(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题

(5)若q，则p若p，则q若q，则p

2．(1)

(2)①相同②没有关系

3．(1)充分条件必要条件

(2)p?q q?p充要条件p?q

(3)充分不必要(4)p q q?p

(5)p q q p

下列语句为命题的是()

A．对角线相等的四边形

B．a＜5

C．x2－x＋1＝0

D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形

解：只有选项D是可以判断真假的陈述句，故选D.

(教材改编题)“x＝2”是“x2－4＝0”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：x2－4＝0，则x＝±2，故是充分不必要条件．故选A.

(2017·天津)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：2－x≥0，则x≤2，|x－1|≤1，则－1≤x－1≤1，0≤x≤2，据此可知，“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.

命题“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的逆否命题是________．

解：原命题的逆否命题是若整数a不是奇数，则a能被2整除．故填若整数a不是奇数，则a能被2整除．已知集合M＝{x|1

解：a＝2时亦有M?N.故填充分不必要．

类型一四种命题及其相互关系

写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：

(1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数；

(2)在△ABC中，若AB＞AC，则∠C＞∠B；

(3)若x2－2x－3＞0，则x＜－1或x＞3.

解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数．

逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.

否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数．

逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0.

这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题．

(2)逆命题：在△ABC中，若∠C＞∠B，则AB＞AC.

否命题：在△ABC中，若AB≤AC，则∠C≤∠B.

逆否命题：在△ABC中，若∠C≤∠B，则AB≤AC.

这里，四种命题都是真命题．

(3)逆命题：若x＜－1或x＞3，则x2－2x－3＞0.

否命题：若x2－2x－3≤0，则－1≤x≤3.

逆否命题：若－1≤x≤3，则x2－2x－3≤0.

这里，四种命题都是真命题．

【点拨】写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p与结论q，将原命题写成“若p，则q”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x＜－1或x＞3”的否定形式是“x≥－1且x≤3”，即“－1≤x≤3”．

写出下列命题的否定形式和否命题：

(1)若xy＝0，则x，y中至少有一个为零；

(2)若a＋b＝0，则a，b中最多有一个大于零；

(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；

(4)有理数都能写成分数．

解：(1)否定形式：若xy＝0，则x，y都不为零．

否命题：若xy≠0，则x，y都不为零．

(2)否定形式：若a＋b＝0，则a，b都大于零．

否命题：若a＋b≠0，则a，b都大于零．

(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．

否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等．

(4)否定形式：有理数不都能写成分数．

否命题：非有理数不都能写成分数．

类型二充要条件的判定

指出下列各组中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sin A＝sin B；

(2)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；

(3)非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；

(4)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.

解：(1)在△ABC中，A＝B?sin A＝sin B；反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(三角形三个内角之和为180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要条件．

(2)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p?q但q p，故p是q的充分不必要条件．

(3)显然x∈(A∪B)不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分条件．

(4)易知p：x＋y＝8，q：x＝2且y＝6，显然q?p，但p q，即q是p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．

【点拨】充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断；

(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．

(1)设角A，B，C是△ABC的三个内角，则“A＋B

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则p是q的()

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解：(1)若A＋B＜C，则C＞π

2，即△ABC为钝角三角形．反之，若△ABC为钝角三角形，则角C不一定为钝

角．故选A.

(2)因为p：a≥0，q：0≤a≤1，所以p是q的必要不充分条件．故选B.

类型三充要条件的应用

(1)(2016·绍兴一中期中)已知“p：(x－m)2>3(x－m)”是“q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为()

A．(－∞，－7)∪(1，＋∞)

B．(－∞，－7]∪[1，＋∞)

C．(－7，1)

D．[－7，1]

(2)已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是()

A．(－∞，－1] B．(－1，＋∞)

C．[3，＋∞) D．(3，＋∞)

解：(1)由(x－m)2＞3(x－m)得x＜m或x＞3＋m，所以p：x＜m或x＞3＋m；解x2＋3x－4＜0得－4＜x＜1，所以q：－4＜x＜1.因为p是q的必要不充分条件，所以m≥1或m＋3≤－4，得m≥1或m≤－7.故选B. (2)依题意，P＝{x|f(x＋t)＋1＜3}＝{x|f(x＋t)＜2}＝{x|f(x＋t)＜f(2)}，Q＝{x|f(x)＜－4}＝{x|f(x)＜f(－1)}．因为函数f(x)是R上的增函数，所以P＝{x|x＋t＜2}＝{x|x＜2－t}，Q＝{x|x＜－1}，要使“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，需有2－t＜－1，解得t＞3.故选D.

【点拨】(1)求解充要条件的应用问题时，一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值进行检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现错误．

(1)设p ：|4x －3|≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )

A.???

?0，12 B.???

?0，12 C ．(－∞，0]∪???

?12，＋∞ D ．(－∞，0)∪????12，＋∞

解：由|4x －3|≤1得12

≤x ≤1，由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)＝(x －a )[x －(a ＋1)]≤0得a ≤x ≤a ＋1， 因为p 是q 的必要不充分条件，

所以p 是q 的充分不必要条件，有?????a ≤12，a ＋1＞1 或?????a ＜12，a ＋1≥1，

得0≤a ≤12.故选A . (2)若“x m ＋1”是“x 2－2x －3>0”的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．

解：由已知易得{x |x 2－2x －3>0} {x |x m ＋1}，又{x |x 2－2x －3>0}＝{x |x <－1或x >3}，所以?????－1≤m －1，m ＋1＜3或?

????－1＜m －1，m ＋1≤3， 解得0≤m ≤2.故填[0，2]．

1．命题及其真假判断

(1)判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．只有这两个条件都具备的语句才是命题．

(2)判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．

2．四种命题间的相互关系及应用

(1)在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．

(2)当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．

(3)判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断．

3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论．

4．充要条件的三种判断方法

(1)定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p ?q 及q ?p 的真假；第三步，下结论．

(2)等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题．一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假．

(3)集合法：写出集合A ＝{x |p (x )}及B ＝{x |q (x )}，利用集合之间的包含关系加以判断：

①若A ?B ，则p 是q 的充分条件；

②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；

③若B ?A ，则p 是q 的必要条件；

④若B A ，则p 是q 的必要不充分条件；

⑤若A ＝B ，则p 是q 的充要条件；

⑥若A

B 且B A ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．

1．设a ，b 是向量，命题“若a ＝－b ，则|a |＝|b |”的逆命题是( )

A ．若a ≠－b ，则|a |≠|b |

B ．若a ＝－b ，则|a |≠|b |

C ．若|a |≠|b |，则a ≠－b

D ．若|a |＝|b |，则a ＝－b

解：只需将原命题的结论变成新命题的条件，同时将原命题的条件变成新命题的结论即可，即“若|a |＝|b |，则a ＝－b ”．故选D .

2．(2015·安徽)设p ：11，则p 是q 成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：由q ：2x ＞1，解得x ＞0，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件．故选A .

3．下列有关命题的说法正确的是( )

A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”

B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件

C ．命题“?x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”的否定是“?x ∈R ，均有x 2＋x ＋1<0”

D ．命题“若x ＝y ，则cos x ＝cos y ”的逆否命题为真命题

解：A 中，否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”；B 中，x ＝－1?x 2－5x －6＝0，反之则不成立，应为充分不必要条件；C 中，命题的否定应为“?x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”；D 中，原命题为真命题，因此，其逆否命题为真命题．故选D .

4．设a ，b ∈R ，已知p ：a ＝b ；q ：????a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：a ＝b 是????a ＋b 22≤a 2＋b 22等号成立的条件．故选A .

5．“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：若“a ＝1”，则函数f (x )＝|x －a |＝|x －1|在区间[1，＋∞)上为增函数；当a ＝0时，f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上亦为增函数，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．故

选A . 6．(2017·北京)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：若?λ<0，使m ＝λn ，即两向量反向，夹角是180°，那么m ·n ＝|m ||n |cos1800＝－|m ||n |<0，反过来，若m ·n <0，那么两向量的夹角为(90°，180°]，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m ＝λn ，所以是充分不必要条件．故选A .

7．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是________．

解：“都是”的否定是“不都是”，故其逆否命题是“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”．故填若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数．

8．(2017·株洲模拟)设a ，b ∈R ，那么“e a b ＞e ”是“a ＞b ＞0”的________条件．

解：e a b ＞e ?a b ＞1，而a ＞b ＞0?a b ＞1，但a b

＞1a ＞b ＞0(如a ＝－2，b ＝－1)．故填必要不充分． 9．写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． 解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0；(真)

否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1；(真)

逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0.(真)．

10．若p ：a ∈R ，a 2<1，q ：关于x 的一元二次方程x 2＋(a ＋1)x ＋a －2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，判断p 是q 的什么条件？

解：一元二次方程的判别式Δ＞0，故其有两个不等实根．p ：a ∈R ，a 2＜1?－1＜a ＜1?a －2＜0，可知方程的两根异号，故p 是q 的充分条件；显然p 不是q 的必要条件，如当a ＝1时，方程的一个根大于零，另一根小于零．因此p 是q 的充分不必要条件．

11．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，且p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．

解：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a

B ＝{x |x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x >2}．

因为p 是q 的必要不充分条件，

所以q 是p 的必要不充分条件，所以A B .

所以a ≤－4或3a ≥2.

又a <0，所以a 的取值范围是(－∞，－4]．

下列各组中，p 是q 的充要条件的是( )

①p ：m <－2或m >6；q ：y ＝x 2＋mx ＋m ＋3有两个不同的零点．

②p ：cos α＝cos β；q ：tan α＝tan β.

③p ：A ∩B ＝A ；q ：?U B ??U A .

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①

解：对于①中q ，Δ＝m 2－4(m ＋3)＞0，得m ＞6或m ＜－2，故是充要条件；

对于②，cos π3＝cos ????－π3，但tan π3≠tan ???

?－π3，故p q ，tan π3＝tan 4π3，但cos π3≠cos 4π3，q p ，故p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件；

对于③，A ∩B ＝A ?A ?B ??U B ??U A ，故是充要条件．故选C .

命题与条件

第三讲 命题与条件 一、课前练习 已知函数2()1,,f x ax a R x R =-∈∈，集合 {}()A x f x x ==，集合[]{} ()B x f f x x ==， 且A B =≠?，求实数a 的取值范围。 解： 二、知识要点 1、命题与推出关系 （1）命题：表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成. （2）推出关系：如果α这件事成立可以推出β这件事也成立，那么就说由α可以推出β，记作：αβ?. （3）正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明，即证明满足命题条件能推出命题结 论；错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例，即举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子. 例1、判断下列语句是否为命题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？ (1) 你是高一学生吗？ (2) 过直线AB 外一点作该直线的平行线． (3) 个位数是5的自然数能被5整除． (4) 互为余角的两个角不相等． (5) 竟然得到5＞9的结果! (6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似． 解： 由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的例子即可，这在数学中称为“举反例”． 要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论． 一般地，如果事件α成立可以推出事件β也成立，那么就说由α可以推出β，并用记号 α?β表示，读作“α推出β”．换言之，α?β表示以α为条件，β为结论的命题是真命题． 如果事件α成立，而事件β不能成立，那么就说事件α不能推出事件β成立，可记作α β．换言之，α β表示以α为条件，β为结论的命题是一个假命题．

高中数学 命题知识点考点典型例题

高二数学选修1－1知识点 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句. 假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ?，则q ?”. 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ?，则p ?”. 6、四种命题的真假性：

例题：一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（）A．真命题与假命题的个数相同 B．真命题的个数一定是偶数 C．真命题的个数一定是奇数 D．真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 答案（找作业答案--->>上魔方格） 一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题， 原命题与逆否命题具有相同的真假性， 否命题与逆命题具有相同的真假性， ∴真命题的若有事成对出现的， 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 7、若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 若p q

高考高中数学四种命题的相互关系

四种命题的相互关系 教学目标 ：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命 题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力 . 教学重点 ：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点： 利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型 ：新授课 教具准备 ：多媒体课件． 教学过程 ： 一． 复习引入 ： 1. 教学四种命题的概念 ： 原命题 若 p ，则 q 逆命题 若 q ，则 p 否命题 若 p ， 则 q 逆否命题 若 q ，则 p 二． 新课教授 1.四种命题间的相互关系 下列四个命题中， （ 1）若 f (x) 是正弦函数，则 f (x) 是周期函数； （ 2）若 f (x) 是周期函数，则 f (x) 是正弦函数； （3）若 f (x) 不是正弦函数，则 f (x) 不是周期函数； （4）若 f (x) 不是周期函数，则 f (x) 不是正弦函数； 命题（ 1）与命题（ 2）（ 3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答） 原 命 题 互 逆 逆 命 题 归纳：原命题、逆命题、否命题 若 p 则 q 互 若 q 则 p 否 和逆否命题之间的关系： 为 逆 互 互 否 为 逆 否 否 互 否 命 题 逆否命题 若 ┐q 则 ┐p 若 ┐p 则 ┐q 互 逆 2.四种命题真假性之间的关系 （1）讨论： ①例 1 中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系： （学生回答）：原命题（ 1）为真 其逆命题（ 2）为假 其否命题（ 3）为假 其逆否命题（ 4）为真 发现有以下规律： 原命题 真 逆命题 假 否命题 假 逆否命题 真 ②（探究中）以“若 x2－ 3x ＋2＝ 0，则 x ＝ 2”为原命题，写出其逆命题，否命题及逆否命题， 并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：若 x2－ 3x ＋2＝ 0，则 x ＝ 2，为假

高中数学 充分条件、必要条件与命题的四种形式练习题

充分条件、必要条件与命题的四种形式 1．选择题： (1)“1、x 、9成等比数列”是“x ＝3”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (2)“a ＝2”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线ax ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 (3)若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b ＝a ·c ”是“a ⊥(b －c )”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．填空题 (4)设a 、b 、c 、d ∈R ，则复数(a ＋b i )(c ＋d i )为实数的充要条件是________ (5)“a ＝1”是“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、 “充要”、或“既不充分又不必要”填空) (6)???>>1121x x 是???>>+122 121x x x x 的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、或“既不充分又不必要”填空) 3．解答题 (7)下列四个命题 ①设a ，b ∈R ，已知命题p ：a ＝b ；命题2)2 (:2 22b a b a q +≤+，则p 是q 成立的充分不必要条件； ②“tan α ＝1”是“4 π=α”的充要条件； ③“a ＝1”是“函数f (x )＝｜x －a ｜在区间[1，＋∞)上为增函数”的必要不充分条件； ④设f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，h (x )＝f (x )＋g (x )，则“f (x )，g (x )均为偶函数”是“h (x )为偶函数”的充分而不必要的条件中．写出正确命题的序号并说明理由． (8)已知数列{a n }和{b n }满足)(21221*N ∈++++++= n n na a a b n n ，求证：{a n }是等差数列的充要条件是{b n }是等差数列．本题可利用公式为： 6 )12)(1(21222++=+++n n n n (9)已知p ：｜x －4｜≤6，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，若?p 是?q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范 围． 答案：充分条件、必要条件与命题的四种形式 (1)C (2)B 提示：a ＝－2时，两直线平行． (3)C (4)ad ＋bc ＝0 (5)解：a ＝－1时，函数y ＝cos2ax －sin2ax ＝cos 2ax ＝cos 2x 的最小正周期为π成立，所以答案充分不必要．

高中数学知识点总结(精华版)

高中数学知识点总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 3.包含关系 A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+. 5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1 个；非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <- ? 11 ()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(210时，若[]q p a b x ,2∈- =，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=； []q p a b x ,2?- =，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.

高考高中数学四种命题的相互关系

原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题 若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互四种命题的相互关系 教学目标：1.熟练四种命题之间的关系，及四种命题的真假性之间的关系，并能利用四种命 题真假性之间的内在联系进行推理论证 2.培养学生简单推理的思维能力. 教学重点：四种命题之间的相互关系即真假性之间的联系 教学难点：利用真假性之间的内在联系进行推理论证． 授课类型：新授课 教具准备：多媒体课件． 教学过程： 一．复习引入： 1. 二．新课教授 1.四种命题间的相互关系 下列四个命题中， （1）若f (x) 是正弦函数，则f (x) 是周期函数； （2）若f (x) 是周期函数，则f (x) 是正弦函数； （3）若f (x) 不是正弦函数，则f (x) 不是周期函数； （4）若f (x) 不是周期函数，则f (x) 不是正弦函数； 命题（1）与命题（2）（3）（4）之间的关系我们已经了解，那么任意两个命题间的关系是： （老师引导—学生回答） 归纳：原命题、逆命题、否命题 和逆否命题之间的关系： 2.四种命题真假性之间的关系 （1）讨论： ①例1中三个命题的真假与它们的逆命题、否命题、逆否命题的真假间关系： （学生回答）：原命题（1）为真 其逆命题（2）为假 其否命题（3）为假 其逆否命题（4）为真 发现有以下规律： 题，并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：若x2－3x ＋2＝0，则x ＝2，为假

其逆命题为：若x ＝2，则x2－3x ＋2＝0，为真 其否命题为：若x2－3x ＋2≠0，则x ≠2，为真 其逆否命题为：若x ≠2，则x2－3x ＋2≠0，为假 发现有另外的规律， ③再举其它例子：写出“同位角相等，两直线平行”的逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。 （学生回答）： 原命题为：同位角相等，两直线平行，为真 其逆命题为：两直线平行，同位角相等，为真 其否命题为：同位角不相等，两直线不平行，为真 其逆否命题为：两直线不平行，同位角不相等，为真 发现还存在以下规律： ④把以上命题改成：同位角不相等，两直线平行，写出其逆命题，否命题及逆否命题，并判断真假性。 （学生回答）：原命题为：同位角不相等，两直线平行，为假 其逆命题为：两直线平行，同位角不相等，为假 其否命题为：同位角相等，两直线不平行，为假 其逆否命题为：两直线不平行，同位角相等，为假 发现： （2）归纳总结：可以发现，一般的四种命题的真假性，有且仅有以上的四种情况。（让学生课下举例子验证） 并且由于逆命题与否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间有以下关系：（教师引导，与学生一起归纳）： ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性 ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系 四种命题真假性之间的联系可以为我们进行推理论证带来方便，例如，由于原命题与其逆否命题有相同的真假性，当直接证明一个命题为真命题有困难时，可以通过证明其逆否命题为真命题来简介地证明原命题为真。 3.例题分析：证明：若222p q +=，则2p q +≤.（教师引导→学生板书→教师点评）

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、 幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、 函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频 率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

(完整word版)高中数学各章节知识点汇总

高中数学各章节知识点汇总

目录 第一章集合与命题 (1) 一、集合 (1) 二、四种命题的形式 (2) 三、充分条件与必要条件 (2) 第二章不等式 (1) 第三章函数的基本性质 (2) 第四章幂函数、指数函数和对数函数（上） (3) 一、幂函数 (3) 二、指数函数 (3) 三、对数 (3) 四、反函数 (4) 五、对数函数 (4) 六、指数方程和对数方程 (4) 第五章三角比 (5) 一、任意角的三角比 (5) 二、三角恒等式 (5) 三、解斜三角形 (7) 第六章三角函数的图像与性质 (8) 一、周期性 (8) 第七章数列与数学归纳法 (9) 一、数列 (9) 二、数学归纳法 (10) 第八章平面向量的坐标表示 (12) 第九章矩阵和行列式初步 (14) 一、矩阵 (14) 二、行列式 (14) 第十章算法初步 (16) 第十一章坐标平面上的直线 (17) 第十二章圆锥曲线 (19) 第十三章复数 (21)

第一章集合与命题 一、集合 1.1 集合及其表示方法 集合的概念 1、把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合简称集 2、集合中的各个对象叫做这个集合的元素 3、如果a是集合A的元素，就记做a∈A，读作“a属于A” 4、如果a不是集合A的元素，就记做a ? A，读作“a不属于A” 5、数的集合简称数集： 全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N 不包括零的自然数组成的集合，记作N* 全体整数组成的集合，即整数集，记作Z 全体有理数组成的集合，即有理数集，记作Q 全体实数组成的集合，即实数集，记作R 我们把正整数集、负整数集、正有理数、负有理数、正实数集、负实数集表示为Z+、Z-、Q+、Q-、R+、R- 6、把含有有限个数的集合叫做有限集、含有无限个数的集合叫做无限极 7、空集是指不用含有任何元素的集合，记作? 集合的表示方法 1、在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再画一条竖线，在竖线之后写上集合中元素所共同具有的特性，这种集合的表示方法叫做描述法 1.2 集合之间的关系 子集 1、对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的子集，记做A?B或B?A，读作“A包含于B”或“B包含A” 2、空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集 3、用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图 相等的集合 1、对于两个集合A和B，如果A?B，且B?A，那么叫做集合A与集合B相等，记作“A=B”，读作“集合A等于集合B”，如果两个集合所含元素完全相同，那么这两个集合相等

高中数学四种命题经典例题

例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．

分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y不全为0”，这要特别小心． 例5有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 A B B A B [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题；

高中数学充分条件与必要条件-例题解析

充分条件与必要条件 例题解析 能力素质 例1 已知p ：x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，q ：x 1＋x 2＝－5，则p 是q 的 [ ] A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换． 解 ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1，x 2的值分别为1，－6， ∴x 1＋x 2＝1－6＝－5． 因此选A ． 说明：判断命题为假命题可以通过举反例． 例2 p 是q 的充要条件的是 [ ] A ．p ：3x ＋2＞5，q ：－2x －3＞－5 B ．p ：a ＞2，b ＜2，q ：a ＞b C ．p ：四边形的两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形 D ．p ：a ≠0，q ：关于x 的方程ax ＝1有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价． 解 对A ．p ：x ＞1，q ：x ＜1，所以，p 是q 的既不充分也不必要条件； 对B ．p q 但q p ，p 是q 的充分非必要条件； 对C ．p q 且q p ，p 是q 的必要非充分条件； 对．且，即，是的充要条件．选．D p q q p p q p q D ??? 说明：当a ＝0时，ax ＝0有无数个解． 例3 若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的 [ ] A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 分析 通过B 、C 作为桥梁联系A 、D ． 解 ∵A 是B 的充分条件，∴A B ① ∵D 是C 成立的必要条件，∴C D ② ∵是成立的充要条件，∴③C B C B ?

新课标人教A版高中数学全部知识点归纳总结

高三第一轮复习资料（注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻 辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、 值域与最值、反函数、三大性质、函 数图象、指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数 列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、 和、差、倍、半公式、求值、化 简、证明、三角函数的图象与性 质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、 数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式 的证明、不等式的解法、绝对值不 等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位 置关系、线性规划、圆、 直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直 线与圆锥曲线的位置关系、 轨迹问题、圆锥曲线的应用

【高中数学,四种命题及其关系】 高中数学命题及关系知识点

【高中数学,四种命题及其关系】高中数学 命题及关系知识点 四种命题及其关系高考频度：★★☆☆☆难易程度：★★☆☆☆原命题为“若互为共轭复数，则”，关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假 D．假、假、假 【参考答案】B 【解题必备】四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下： （1）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．即命题表述形式原命题若p，则q 逆命题若q，则p 否命题若，则逆否命题若，则（2）①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明； 而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.

即 1．设有下面四个命题：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数满足，则； ：若复数，则. 其中的真命题为 A． B． C． D． 2．设,命题“若,则方程有实根”的逆否命题是 A．若方程有实根，则 B．若方程有实根，则 C．若方程没有实根，则 D．若方程没有实根，则 1．【答案】B 【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.学-科网 2． 【答案】D 【解析】原命题的逆否命题是：若方程没有实根，则，故选D.

高中数学- 四种命题 四种命题间的相互关系

1.1.2 四种命题 1．1.3 四种命题间的相互关系 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假． 2．过程与方法 培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力． 3．情感、态度与价值观 激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考，勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣． ●重点、难点 重点：四种命题之间相互的关系． 难点：正确区分命题的否定形式及否命题． 通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种

命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点． (教师用书独具) ●教学建议 这节内容是以概念的理解和关系的思辨为主的，因此采用以讲解和练习强化为主要方法，并在讲解过程中引导和启发学生的思维，让学生充分地思考和动手演练．宜采取的教学方法：(1)启发式教学．这能充分调动学生的主动性和积极性，有利于学生对知识进行主动建构，从而发现数学规律；(2)讲练结合法．这样更能突出重点、解决难点，让学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高． 学习方法：(1)由特殊到一般的化归方法：学习中学生在教师的引导下，通过具体的实例，让学生去观察、讨论、探索、分析、发现、归纳、概括；(2)讲练结合法：让学生知道数学重生在运用，从而检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其差距并及时加以补救．通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想． ●教学流程 创设问题情境，给出四个命题，引出问题：四个命题的条件与结论有何区别与联系？?引导学生观察、比较、分析，得出四种命题的概念与他们之间的相互关系.?

高中数学—命题和充要条件—学生版

命题和充要条件 知识梳理 一、命题的概念 1、一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 2、命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 3、一般地，如果命题α成立可以推出命题β也成立，那么就说由可以推出 ，记作βα?。 相反的，如果 成立不能推出 成立，那么就说由 不可以推出 ，记作α β。 4、如果 ，并且αβ?，那么就说与 等价，记作βα?。 二、四种命题形式 1、一个数学命题用条件，结论 表示就是“如果 α，那么”，把结论与条件交换，就得到一个新命题“如 果 ，那么 ”，我们把这个命题叫做原命题的逆命题。 2、如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件与结论的否定，我们把这两个命题叫做互否命题。如 果其中一个叫做原命题，那么另外一个叫做原命题的否命题。 3、命题 、 的否定分别记作α、β。 4、如果把原命题“如果 ，那么 ”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就可以得到一个新命题， 我们将它叫做原命题的逆否命题。 5、四种命题形式及其相互关系: 6、常见结论的否定形式：（拓展内容）

三、充要条件 1、充分条件与必要条件： 一般地，用α、β分别表示两个命题，如果 成立，可以推出 也成立，即 ，那么 叫做 的充分 条件。叫做 的必要条件。 2、充要条件： 如果既有，又有 ，即有βα?，那么 既是 的充分条件又是 的必要条件，这时我们就说 是 的充要条件。 例题解析 一、有关命题的概念 【例1】判断下列语句是否是命题： ⑴张三是四川人；⑵1010是个很大的数；⑶220x x +=；⑷2 60x +>；⑸112+>； 【例2】判断下列语句是不是命题，若是，判断出其真假，若不是，说明理由. （1）矩形难道不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （3）求证：R x ∈，方程012 =++x x 无实根. （4）5>x （5）人类在2020年登上火星. 【例3】下面有四个命题：①若a -不属于N ，则a 属于N ；②若a b ∈∈N N ， ，则a b +的最小值为2；③212x x +=的解可表示为{}11， ．其中真命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

高中数学知识大全(完整)

第一章 集合和命题 1. 集合及其表示法 能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集； 集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和无序性； 集合常用大写字母A 、B 、 C …表示，集合中的元素用小写字母a 、b 、c …表示；如果a 是集合A 的元素，就记作A a ∈，读作“a 属于A ”，如果a 不是集合A 的元素，就记作A a ?，读作“a 不属于A ” 数的集合简称数集；全体自然数组成的集合，即自然数集，记作N ，不包括零的自然 数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z ；全体有理数组成的集合即有理数集，记作Q ；全体实数组成的集合即实数集，记作R ；另外正整数集、负整数集、 正有理数集、负有理数集、正实数集、负实数集分别表示为+Z 、-Z 、+Q 、-Q 、+R 、 -R ； 点的集合简称点集，即以直角坐标平面内的点作为元素构成的集合； 含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集； 规定空集不含元素，记作?； 集合的表示方法常用列举法和描述法； 将集合中的元素一一 列出来，并且写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法；在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式，再划一条竖线，在竖线后面写上集合中元素所共同具有的特性，即{}p x x A 满足性质|=，这种表示集合的方法叫做描述法；

2. 集合之间的关系 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ， 那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?，读作“A 包含于B”或“B 包含A”； 空集包含于任何一个集合，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；所以若B A ?，不要遗漏?=A 的情况； 对于一个含有n 个元素的集合P ，它的子集个数为n 2真子集个数为12-n ，非空子集个数为12-n ，非空真子集的个数为22-n ； 用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用图叫做文氏图； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?且A B ?，那么叫做集合A 与集合B 相等，记作B A =，读作“集合A 等于集合B ”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等； 对于两个集合A 和B ，如果B A ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合的B 真子集，记作B A ≠ ?或 A B ≠ ?，读作“A 包含于B ”或“B 真包含A ”； 对于数集N 、Z 、Q 、R 来说，有R Q Z N ≠ ≠ ≠ ???； 3. 集合的运算 一般地，由集合A 和集合B 的所有公共元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作B A ，读作“A 交B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=且| ； 由所有属于集合A 或者属于集合B 的元素组成的集合叫做集合A 、B 的并集，记作B A ，读作“A 并B ”，即{}B x A x x B A ∈∈=或| ； 在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个确定的集合叫做全集，常用符合U 表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素； 设U 为全集，A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做集合A 在 全集U 中的补集，记作A C U ，读作“A 补”，即{}A x U x x A C U ?∈=,| 德摩根定律：()B C A C B A C U U U =；()B C A C B A C U U U = 容斥原理：用A 表示集合A 的元素个数，则B A B A B A -+=； C B A A C C B B A C B A C B A +---++=；

高中数学选修2-1知识点

高二数学选修2－1 第一章：命题与逻辑结构 知识点： 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p，则q”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p，则q”，它的逆命题为“若q，则p”. 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若p ?”. ?，则q 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。 若原命题为“若p，则q”，则它的否命题为“若q ?”。 ?，则p 6、四种命题的真假性： 原命题逆命题否命题逆否命题 真真真真 真假假真 假真真假 假假假假 四种命题的真假性之间的关系： ()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若p q ?，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． 若p q ?，则p是q的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧． 当p、q都是真命题时，p q ∧ ∧是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，p q 是假命题． 用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨． 当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题． 对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作p ?． 若p是真命题，则p ?必是假命题；若p是假命题，则p ?必是真命题． 9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“?”表示．

高中数学第一章常用逻辑用语1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1推出与充分条件、必要条件课堂导学

1.3.1 推出与充分条件、必要条件 课堂导学 三点剖析 一、充分条件与必要条件的判断 【例1】在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由. (1)A：|p|≥2，p∈R.B：方程x2+px+p+3=0有实根； (2)A：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切.B：c2=(a2+b2)r2. 解析：(1)当|p|≥2时，例如p=3，则方程x2+3x+6=0无实根，而方程x2+px+p+3=0有实根，必有p≤-2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件. (2)若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，圆心到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，所以c2=(a2+b2)r2；反过来，若c2=(a2+b2)r2，则=r成立，说明 x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离等于r，即圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，故A是B的充分必要条件. 温馨提示 对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断. 二、探究充分条件与必要条件 【例2】设定义域为R的函数f(x)=则关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0 有7个不同实数解的充要条件是( ) A.b＜0且c＞0 B.b＞0且c＜0 C.b＜0且c=0 D.b≥0且c=0 解析：f(x)= 故函数f(x)的图象如右图. 由图知，f(x)图象关于x=1对称，且f(x)≥0, 若方程f2(x)+bf(x)+c=0 ①有7个解，则方程t2+bt+c=0 ②有两个不等实根，且一根为正，一根为0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有4个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有8个解. ∵f(x)=0满足方程，则c=0,

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．