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小学数学分数裂项

考试要求

（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。（4） 4、通项归纳

知识结构

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

a b

?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有

1111()a b b a a b

=-?- 2、对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有： 1111

[]()(2)2()()(2)

n n k n k k n n k n k n k =-?+?+?+++

1111

[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)

n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-?+?+?+?+?++?+?+

3、对于分子不是1的情况我们有：

? ??+-=+k n n k n n k 11

)(

()11h h n n k k n n k ??

=- ?++??

()()()()()

211

22k n n k n k n n k n k n k =-+++++

()()()()()()()()

311

23223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++

()()(

)()()11

222h

h n n k n k k

n n k n k n k ??=

-??+++++??

()()()()()()()()11

233223h h

n n k n k n k k

n n k n k n k n k n k ??=

-??++++++++??

()()()

21111212122121n n n n n ??

=+- ?-+-+??

二、裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。三、复杂整数裂项型运算

复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。

整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N 。N 取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。

需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。

此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。四、“裂和”型运算

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11

a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）

2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

重难点

（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。（3）通项归纳

例题精讲

一、用裂项法求1

()(2)

n n k n k ++型分数求和

【例 1】 11

123234

789

??????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】()()()()()()()()111111

11211211n n n a n n n n n n n n n n ??+--=

==-??-??+-??+-??+????

原式111111

11121223233467787889??????

????=

?-+-++-+- ? ? ? ?????????????????????

11121289??=

?- ?????

35144

【答案】35144

。【巩固】

1111

(12323434599100101)

++++

???????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】1111

[](1)(2)2(1)(1)(2)

n a n n n n n n n =

=-+++++

原式111111111[()()()...()]212232334455699100100101

?-+-+-++-???????? 111212100101??=?-??????

5049

20200

【答案】5049

20200

。

【例 2】计算：

111

135357579

200120032005

+++

????????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式11111114133535572001200320032005??

????

??=

-+-+

+- ? ? ????????????????

11141320032005??=

?- ?????

1004003

12048045

【答案】1004003

12048045

。

【巩固】计算：

123234

9899100

??????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】原式11111111

()21223233434989999100

=?-+-++???+-???????

111()21299100=?-?? 14949

29900=?

4949

19800

【答案】4949

19800

。

二、用裂项法求2()(2)

n n k n k ++型分数求和

分析：

2()(2)

n n k n k ++（n,k 均为自然数）

211

()(2)()()(2)

k n n k n k n n k n k n k =-

+++++

【例 1】 4444

(135357939597959799)

++++

???????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】原式11111111

()()......()()133535579395959795979799

=-+-++-+-????????

139799=-

?? 3200

9603

【答案】3200

9603

。

【巩固】

444

(135357939597)

+++

?????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式111111

(

)()......()1335355793959597

=-+-++-?????? 11

139597

?? 9212

27645

【答案】9212

27645

。

三、用裂项法求1

()(2)(3)

n n k n k n k +++型分数求和

分析：

()(2)(3)

n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）

1111

()()(2)(3)3()(2)()(2)(3)

n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++

【例 1】计算： 111

......1234234517181920+++

?????????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式 1111111

[(

)()......()]3123234234345171819181920

=-+-++-????????????

111[]3123181920

=-???? 1139

20520

【答案】1139

20520

【巩固】

11111

123423453456678978910

+++???++

??????????????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式11111

113123234234345

7898910??

=?-+-++

???????????????

11131238910??=?- ???????119

2160

【答案】119

2160

。

四、用裂项法求3()(2)(3)

n n k n k n k +++型分数求和

分析：

3()(2)(3)

n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）

311

()(2)(3)()(2)()(2)(3)

k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++

【例 2】计算：

333

(1234234517181920)

+++

????????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式111111

(

)()......()123234234345171819181920

=-+-++-????????????

123181920=

???? 1139

6840= 【答案】1139

6840

。【巩固】

333

(1234234521222324)

+++

????????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式1

111111

3[(...)]3123234234345212223222324

=??-+-++-????????????

11123222324

-????

422231

222324??-=??

2023

12144

【答案】2023

12144

。

五、复杂裂项

【例 3】 111

1112123

12100

+++

+++++

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有：112(11)11122==+??，112(12)21223

==+?+?，

原式222

2120099

2(1)1

122334

100101101101101

++++

=?-==???? 【答案】99

1101。

【巩固】23

1112(12)(123)

(1239)(12310)

?++?+++++

+?+++

+（）

【考点】分数裂项【难度】☆☆ 【题型】解答

【解析】（法一）：原式234

1()1336610

4555

=-+++

???? 1111111113366104555??=--+-+-+

- ???

11155?

?=-- ???

155

（法二）：先找出通项的规律为

[][]

12(1)12n

n n ++

+-?++

有

[][]

12(1)12n

n n ++

+-?++

(1)(1)

n n n n =

-??+?

(1)(1)

n n n =

-??+

而

411

2(1)(1)(1)(1)n n n n n n n ??=?-??-??+-??+??

（法三）：21

1=1(12)3

231

1-=1(12)(12)(123)6

-?++?++

2341

11(12)(12)(123)(123)(1234)10

--=?++?++++?+++

发现1+2=3，1+2+3=6，1+2+3+4=10，…，也就是说当作为最后一个减数分母的最后一个乘数为

多少，作为最终结果的单位分数的分母就是多少．

所以，原题中最后一个减数分母的最后一个乘数为1+2+3+4+…+9+10=55，所以最终计算结果为

155

．（法三）：

11(12)12

=-?++

311

(12)(123)12123=-+?+++++

411

(12)(123)1231234

=-+?+++++++,

=(1239)(123910)123912310

+++

+?++++++++

+++++

原式11111

=111212123123912310????

?--

-----

? ?

?+++++++

++++

?????

=12310

++++

【答案】155

。

【例 4】 222222111111

31517191111131+++++=------ .

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】填空【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-?+，

原式111111(

)()()()()()24466881010121214

=+++++?????? 1111111111111()244668810101212142=-+-+-+-+-+-? 111()2142

=-?

314

【答案】314

。

【巩固】计算：2222

111111

(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-?-?-?-??-

?-= 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】填空【解析】2111131(1)(1)22222-

=-?+=?，211124

1(1)(1)33333

-=-?+=?，……所以，

原式132448502233

4949=????

?15025

24949

=?=

【答案】

2549

。

【例 5】计算：2222222222315171

1993119951315171

1993119951

++++++++

++=----- ．【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】填空【解析】原式22222

22222111113151711993119951?

?????????

=++++++

++++ ? ? ? ? ?-----??????

????

222997244619941996??

=+++

??????

1111

11997244619941996??=+-+-+

- ???

199721996??=+- ???

997

1996

= 【答案】997

9971996

。

【巩固】计算：222222

22222213243598100213141

991

+++++++

+=---- ．

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】填空

【解析】2221310213+=-，2222420318+=-，22235344115+=-，……由于104233=，204288=，344

21515=，

可见，原式2222444

222

213141

991=++++---- 1

111298413243598100??

=?+?+++

??????

111111

111964123243598100??=+??-+-+-+

- ???

119621299100??=+?+-- ???

199

196329900

=+-?

4751

198

4950

= 【答案】4751

1984950

。

【例 6】计算：

222222

357

12233478

++++

???? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】原式222222

222222222132438712233478

----=+++

+???? 2222222

111111112233478=-+-+-++

- 2118

=- 6364

【答案】6364

。

【巩固】计算：222

212350133557

99101

+++

+=???? ．【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】填空

【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为

221-，241-，261-，……，2

1001-，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可

以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．

原式222

22212461004214161

1001??=?++++ ?----??

222211111111142141611001??

=?++++++++

?----??

11111504133557

99101??

?+++++

???????

1111111

11501423355799101??

??=

?+?-+-+-++

- ???????

11150142101????=

?+?- ???????

150

4101=? 6312

101

= 【答案】6312101

。

【例 7】 23

1(12)(12)(123)

(12349)(12350)

?++?+++++

+?+++

【解析】原式＝

312?＋633?＋1064?＋15105?＋ (1275122550)

＝（-

31）＋（-3161）＋（-6110

1）＋（-1225112751）＝

1275

1274 【答案】1275

1274

。【巩固】

234

100

1(12)(12)(123)(123)(1234)

(1299)(12100)

+++

?++?++++?+++++

+?++

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】计算【解析】

2111(12)112=-?++，311

(12)(123)12123

+?+++++，……， 100

(1299)(12100)

129912100

+?++

+++++++，所以原式1112100

+++

15050

=- 5049

5050

【答案】5049

5050

。

课堂检测

1、计算：

3245671255771111161622222929

++++++=?????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆ 【题型】填空【解析】原式1111111111111255771111161622222929=-+-+-+-+-+-+1

= 【答案】12

。

2、 22222222

122318191920122318191920

++++++??++

???? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式1232341918192021919 (217362123431819201912020)

=++++++++++=+?+= 【答案】193620

。 3、

100

211

321121111++++

++++++ 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。

从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有

21221)11(111?=?+=，3

2)21(1211?=

?+=+，……，原式101

101200)10111(21011002432322212==-?=?++?+?+?=

4、

999897

123234345

99100101

+++

????????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】99123??＝1001123-??＝100123??－123?＝100123??－1

98234??＝1002234-??＝100234??－2234??＝100234??－1

97345??＝1003345-??＝100345??－3345??＝100345??－1

?……

199100101??＝1009999100101-??＝10099100101??－9999100101??＝10099100101??－1

100101?

原式100100100100111

...(...)123234345991001012334100101

++++-+++???????????

11111100()()22101002101=??---

5124

101

= 【答案】5124

101

。

5、

333

(1234234517181920)

+++

????????? 【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】原式11111113[(...)]3123234234345171819181920

=??-+-++-????????????

123181920

???? 319201

181920??-=??

1139

6840

【答案】

1139

6840

。家庭作业

1、计算：

123234

8910

=?????? ．

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】填空

【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．

原式3234

316

123234

8910+++=

??????

111

283212323489101232348910????

=?++

+?+++

??????????????

111111111132212232334

899102334910????

=??-+-+

-+?+++ ? ?????????????

31111111122129102334910????

=?-+?-+-++

- ? ???????

3111122290210????=

?-+?- ? ?????

7114605

-- 2315

也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+

?+?++?+?+?+，再将每一项的()()2

12n n +?+与()()

12n n n ?+?+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．

【答案】2315

。

2、计算：57

1719

1155234345

891091011

?++

+????????（

）

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】（法一）：本题的重点在于计算括号内的算式：

1719

234345

891091011

????????．这个算式不同于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况．所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形式．

观察可知523=+，734=+，……即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以

1719

234345

891091011

???????? 2334

910

234345

91011

+++=++

??????

111111

34244535

1011911

+++++

?????? 1

1111

1344510112435

911????

=+++

++++ ?

???????????

111111111111111113445

10112243546

810911????=-+-++

-+?-+-+-++-+- ? ?????

11111113112210311????=-+?-+- ? ?????8128332533??=+?+ ???3155

= 所以原式31

115565155

=．（法二）：上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法．由于分子成等差数列，而等差数列

的通项公式为a nd +，其中d 为公差．如果能把分子变成这样的形式，再将a 与nd 分开，每一项都变成两个分数，接下来就可以裂项了．

1719

234345891091011++

???????? 122132

182192

234345

891091011

+?+?+?+?=++

???????? 122132

182192

234234345345

891089109101191011

????=

++++

+++

???????????????? 11112

2222343458910910113445

9101011????

=+++

+++++

+ ?

?????????????????

11111111111

11222334344591010113445

1011????=?-+-++

-+?-+-++

- ? ???????????

1111122231011311????=

?-+?- ? ???????

112234131

12220311422055

-+-=-=，所以原式31

115565155

=．（法三）：本题不对分子进行转化也是可以进行计算的：

1719

234345891091011

???????? 51171117111911223342344528991029101011????????=

?-+?-++

?-+?- ? ? ? ?????????????

????

5175197119171191223223422452291021011

??????

?+-?+-?++-?-? ? ? ???????????? 51111191

223344*********

=?++++

????? 5111931

1231022055

+--=

所以原式31

115565155

=．（法四）：对于这类变化较多的式子，最基本的方法就是通项归纳．先找每一项的通项公式：

(1)(2)

n n a n n n +=

++（2n =，3， (9)

如果将分子21n +分成2n 和1，就是上面的法二；如果将分子分成n 和1n +，就是上面的法一．【答案】651。

3、计算：

345

124523563467

10111314

+++

????????????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是5个连续自然数的乘积，所以可以先将每一项的分子、分母都乘以分子中的数．即：

原式222

345121234523456345671011121314

=+++

???????????????? 现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性，可以用平方差公式：23154=?+，24264=?+，25374=?+……

原式222

345121234523456345671011121314

=+++

???????????????? 154264374

10144

123452345634567

1011121314

?+?+?+?+=

+++

????????????????

1111234345456

11121344441234523456345671011121314??

=++++ ?

???????????

+++++ ???????????????????

1111111223343445

1112121311111112342345234534561011121311121314??

?-+-++

- ?????????

+-+-++- ?????????????????????

111112231213123411121314????=

?-+- ? ?????????????

111112212132411121314=

-+-?????1771811121314+=-???11821114=-??1175

8308616

=-=

【答案】75616

。

4、计算：

111

135246357

202224

+++

????????

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】原式＝

1135??＋1357??＋…+1192123??+1246??+…+1

202224??

＝14(113?－12123?)＋14(124?－12224?) ＝40483＋652112＝28160340032＋10465

340032 ＝

38625

340032

【答案】38625

340032

。

5、计算：

11111

2232342345

234200

+++++

+++++++++

【考点】分数裂项【难度】☆☆☆ 【题型】解答【解析】()()1221133332

n a n n n n n n ??

==?- ?+++??

原式=

2111111113142536

199202???-+-+-++

- ???

2111111323200201202???++--- ???

=430933

2030100

【答案】430933

12030100

。

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1(1) n n +型分数求和分析：因为111n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111(1)1 n n n n =-++ （二）用裂项法求 1()n n k +型分数求和分析：1() n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111()[]()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111()()n n k k n n k =-++ （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以 () k n n k +＝11n n k -+

（四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ （五）用裂项法求1()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析：1()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ （六）用裂项法求 3()(2)(3)k n n k n k n k +++型分数求和分析：3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 311()(2)(3)()(2)()(2)(3) k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 记忆方法： 1.看分数分子是否为1； 2.是1时，裂项之后需要整体×首尾之差分之一； 3.不是1时不用再乘； 4.裂项时首尾各领一队分之一相减。

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1) n n +型分数求和分析：因为 111n n -+＝11 (1)(1)(1) n n n n n n n n +-= +++（n 为自然数）所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 ......101111125960+++???的和。 111111111 ()()......()101111125960106012 =-+-++-= -= （二）用裂项法求 1 () n n k +型分数求和分析： 1 () n n k +型。（n,k 均为自然数）因为 11111()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 。所以1111()()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ????? 111111*********()()()()()25727929112111321315= -+-+-+-+- 111111********* [()()()()()][]2577991111131315251515 =-+-+-+-+-=-= （三）用裂项法求 () k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求 2222 (1335579799) ++++????的和 1111111198 (1)()()......( )13355797999999 =-+-+-++-=-= （四）用裂项法求 2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2)k n n k n k ++（n,k 均为自然数）则 211 ()(2) ()()(2) k n n k n k n n k n k n k = - +++++ 【例4】计算： 4444 (135357939597959799) ++++???????? 11111111()()......()()133535579395959795979799 1132001397999603 =-+-++-+-????????=-= ?? （五）用裂项法求 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++型分数求和分析： 1 ()(2)(3) n n k n k n k +++（n,k 均为自然数） 1111 ()()(2)(3)3()(2)()(2)(3) n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-++++++++ 【例5】计算：111 ......1234234517181920+++ ????????? 1111111 [()()......()] 3123234 2343451718191819201111139[]312318192020520 =-+-++-????????????=--=???? （六）用裂项法求 3()(2)(3) k n n k n k n k +++型分数求和分析： 3()(2)(3) k n n k n k n k +++（n,k 均为自然数）

分数裂项求和

学生曹一诺学校年级六年级科目数学教师陈作谦日期16年4月24日时段15:00-17:00 次数第一次课题分数裂项求和教学重点难点重点：清楚掌握几种简单的裂项求和的方法及其解答过程。难点：能判断所处题目的特点，并用其对应的方法进行解答。教学步骤及教学内容一、作业检查：平时成绩中上，卓师的小升初模拟试题测试结果，数学为46分二、课前热身：与学生探讨小升初的意义，互动中令学生明白考试的应对方式。三、内容讲解：先做几个题目：（1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，（2）求 2222 ...... 1335579799 ++++ ???? 的和这种题目就是分数裂项求和的运用。分数裂项求和，分成减法裂项和加法裂项：减法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的差；加法裂项就是：分母化成两个数的积，分子化成这两个数的和。（1）+ ? + ? + ?7 5 2 5 3 2 3 1 2……+ 11 9 2 ? ，

解：原式= +?+?+?7 55 -7533-5311-3……+11 99-11? =( + ??+??+??)7 55-757()533-535()311-313 ……+( 11911 ?-11 99?) )11 191()7151()5131()3111(-+??+-+-+-= 11 191715151313111-+??+-+-+-= 11 111-= 11 10= （2）求 2222 (1335579799) ++++????的和解：原式=+?+?+?7 55-75 33-53 11-3……+99 9797-99? 1111111 (1)()()......() 3355797991 1999899 =-+-+-++-=-= 再看一道例题：例1：计算：72 17561542133011209127651-+-+-+ - 解：原式=98988787767665655454434332321?+-?++?+-?++?+-?++?+- ）（）（）（）（）（）（）（9 1818171716161515141413131211+-+++-+++-+++-= 9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11--++--++--++--= 9 11-=

分数乘法与分数裂项法

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 分数乘法与分数裂项法分数乘法与分数裂项法【专题解析】我们知道，分数乘法的运算是这样的：分数乘分数，应该分子乘分子，分母乘分母（当然能约分的最好先约分在计算）。分数乘法中有许多十分有趣的现象与技巧，它主要通过些运算定律、性质和一些技巧性的方法，达到计算正确而迅速的目的。 1、运用运算定律：这里主要指乘法分配律的应用。对于乘法算式中有因数可以凑整时，一定要仔细分析另一个因数的特点，尽量进行变换拆分，从而使用乘法分配律进行简便计算。 2、充分约分：除了把公因数约简外，对于分子、分母中含有的公因式，也可直接约简为 1。进行分数的乘法运算时，要认真审题，仔细观察运算符号和数字特点，合理进行简算。需要注意的是参加运算的数必须变形而不变质，当变成符合运算定律的形式时，才能使计算既对又快。【典型例题】——乘法分配律的妙用 44 例 1．计算：（1）×37 4567 2003 44 44 44 分析与解：观察这两道题的数字特点，第（1）题中的与 1 只相差 1 个分数单位，如果把写成（1－） 45 45 45 67 的差与 37 相乘，再运用乘法分配律可以使计算简便。同样，第（2）题中可以把整数 2004 写成（2003+1）的和与 2003（2）2004× 相乘，再运用乘法分配律计算比较简便。 1/ 10

【举一反三】43 56 56 ×37 （2）×37 （3）×56 44 57 57 17 1 4 1 例 2．计算：（1）72 × （2）73 × 17 24 15 8 4 4 1 分析与解：（1）72 把改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。（2）73 把 17 17 15 16 改写成(72 + )，再运用乘法分配律计算比常规方法计算要简便得多。 15计算：（1）【举一反三】4 7 计算：（1）20 × 7 10（2）166 13 × 13 32（3）573 1 × 13 8（4）641 1 × 17 9【小试牛刀】

六年级分数-裂项法

知识要点和基本方法 1.2分数计算(裂项法) 分数计算是小学数学的重要内容，也是数学竞赛的重要内容之一。分数计算同整数计算一样既有知识要求又有能力要求。法则、定律、性质是进行计算的依据，要使计算快速、准确，关键是掌握运算技巧。对算式认真观察，剖析算是的特点及个数之间的关系，巧妙、灵活的运用运算定律，合理改变运算顺序，使计算简便易行，这对启迪思维，培养综合分析、推理能力和灵活的运算能力, 都有很大的帮助。公式: (1)平方差公式：a2 b2(a b) (a b) (2)等差数列求和公式: a i a2 a3 a n 1 a n 1 a1 2 a n n (3)分数的拆分公式: n(n 1) 1 n(n d) 裂项法：例1. 计算: 例2. 计算: 10X 11 1 2 3 _1 +11X 12 1 ..... +—— 3 4 99 1 +……+59X 60 1 100 例7. 例8. 例3. 1111 计算：2 + 6 + / + 20 1 1 + — + — +30 +42 例9. 例4. 计算: —1——+ -—— 10X 11 11X 12 1 +……+19X 20 例10. 例5. 1 1 计算2X 3 + 3X4 + 1 1 +6X7 +7X8 例11. 1 1 1 1 1 1 1 6 + ' —+— +— + 12 + 20 + 30 + 矗+56 + 72 1 1 1 1 1 1 + —+ + —- + —+ 3 15 35 63 99 143 1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13 13 2 2 2 2 2 3 15 35 63 99 1 丄丄丄 1 1 8 24 48 80 120 168 计算: 1 计算: 计算: 计算: 计算: 16 例6. 计算: 例12. 计算: 例13. 计算: 112 11 +丄+土+丄+丄+ 1 2 2 1 + — + 1 2 2 3 1 ----------- F 1 2 3 2 3 2 1 + Y +仝+丄 3 3 3 3 1 例14. 计算: 2X( 1 —丄)X 2丿 20052-------------- +……+ 12 3 4 「-亠) 20042 100 +……+ + 100 100 1 旦+……+ 100 1 100 X( 1 2 3 2005 1 1 1 —2) X ......... X( 1 ---------- ) 2003222

分数裂项法解分数计算

分数裂项计算本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项一、“裂差”型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2) n n n ?+?+，1(1)(2)(3)n n n n ?+?+?+形式的，我们有：裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。【例 1】 111111223344556 ++++=????? 。【巩固】 111 (101111125960) +++??? 【巩固】 2222109985443 ++++=????L 【例 2】 111111212312100 ++++++++++L L L 【例 3】 111113355799101 ++++=????L 【巩固】计算：1111251335572325???++++= ??????? L 【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008 +++++?????L 【巩固】计算：3245671255771111161622222929 ++++++=?????? 【例 4】计算：11111111()1288244880120168224288 +++++++?= 【巩固】 11111111612203042567290 +++++++=_______ 【巩固】 11111113610152128 ++++++= 【巩固】计算：1111111112612203042567290 --------＝【巩固】 11111104088154238 ++++= 。【例 5】计算：1111135357579200120032005 ++++????????L 【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23 ?+???+++= ??? -?& 【例 7】计算：11111123420261220420 +++++L 【巩固】计算：11111200820092010201120121854108180270 ++++= 。【巩固】计算：1122426153577 ++++= ____。【巩固】计算：1111111315356399143195 ++++++ 【巩固】计算：15111929970198992612203097029900+++++++=L ．

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项求和标准个性化教案公司内部编号：（GOOD-TMMT-MMUT-UUPTY-UUYY-DTTI-

变形裂项：先变形为直接裂项。【典型例题】例1 计算：观察：直接裂项2 11121121-=?= 31 2132161-=?= 41 31431121-=?= ............. = 201 ( )()=?1（）-（） ( )()=?= 1 301（）-（）解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 65 例2 计算：7217 561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 41 314343127+=?+= 920= =?+545451 41+ ............... ()() 115630+==?（）+（） ()( ) 136742+==?（）+（）解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 151414131312 11+-+++-+++-+++-= 例3.+?+?+?7 52532312……+ 1192 ? 变形裂项： .............. 解：原式)11 1 91()7 15 1()5 13 13 1 11-++-+-+-= （）（例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一”

解：原式128 1 12811281641321161814121 - +++++++=）（例5 1 101 1811611411212 2222-+-+-+-+- 由)()(2 2 b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为：解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试：【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960) +++ ???的和。（二）用裂项法求1 () n n k +型分数求和分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ????? （三）用裂项法求 () k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11 n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝()k n n k +

小学奥数分数求和专题总结

分数求和分数求和的常用方法： 1、公式法，直接运用一些公式来计算，如等差数列求和公式等。 2、图解法，将算式或算式中的某些部分的意思，用图表示出来，从而找出简便方法。 3、裂项法，在计算分数加、减法时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以互相抵消，从而使计算简便。 4、分组法，运用运算定律，将原式重新分组组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算。 5、代入法，将算式中的某些部分用字母代替并化简，然后再计算出结果。典型例题一、公式法：计算： 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 分析：这道题中相邻两个加数之间相差20081，成等差数列，我们可以运用等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2来计算。 20081+20082+20083+20084+…+20082006+2008 2007 =（20081＋2008 2007）×2007÷2 =2 11003 二、图解法：计算：21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 分析：解法一，先画出线段图：从图中可以看出：21 ＋41＋81＋161＋321＋641=1－641=64 63 解法二:观察算式，可以发现后一个加数总是前一个加数的一半。因此，只要添上一个加数641，就能凑成32 1，依次向前类推，可以求出算式之和。 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 =21 ＋41＋81＋161＋321＋（641＋641）－64 1 =21 ＋41＋81＋161＋（321+32 1）－641

…… = 21 ×2－64 1 =6463 解法三：由于题中后一个加数总是前一个加数的一半，根据这一特点，我们可以把原式扩大2倍，然后两式相减，消去一部分。设x= 21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1 ① 那么，2x=（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1）×2 =1+21 ＋41＋81＋161＋321 ② 用②－①得 2x －x=1+ 21 ＋41＋81＋161＋321－（21 ＋41＋81＋161＋321＋64 1） x=64 63 所以，21 ＋41＋81＋161＋321＋641=6463 三、裂项法 1、计算：21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 分析：由于每个分数的分子均为1，先分解分母去找规律：2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，30=5×6，……110=10×11，这些分母均为两个连续自然数的乘积。再变数型：因为 21=211?=1－21，61=321?=21－31，121=431?=31－4 1，……，1101=11101?=101-111。这样将连加运算变成加减混合运算，中间分数互相抵消，只留下头和尾两个分数，给计算带来方便。 21+61＋121＋201＋301＋……＋901＋110 1 =1－21＋21－31＋31－41＋……＋91－101＋101-11 1 =1－11 1 =11 10 2、计算：511?＋951?＋13 91?＋……＋33291?＋37331?

分数裂项求和标准个性化教案

分数裂项求和标准个性化教案 This manuscript was revised on November 28, 2020

两数之差。直接裂项加法裂项：分母分成两数之积，分子为两数之和。变形裂项：先变形为直接裂项。【典型例题】例1 计算：观察：直接裂项2 11121121-=?= 312132161-=?= 4131431121-=?= ............. =201()()=?1 （）-（） ( )()=?= 1 301（）-（）解：原式 = 651 541431321211?+ ?+?+?+? = 1-61 5151414131312121-+-+-+-+ = 1-61 = 6 5 例2 计算：72 17561542133011209127651-+-+-+- 观察：直接裂项3121323265+=?+= 4 1314343127+=?+= 920==?+54545141+ ............... ()() 1156 30+==?（）+（） ( )( ) 1367 42 += =?（）+（）解：原式）（）（）（）（）（）（）（9 18 18 17 17 16 16 15 15 14 14 13 13 12 11+-+++-+++-+++-= 例3. +?+?+?7 52532312 (1192) 变形裂项： ..............

解：原式)11 1 91 ()715 1()5 13 13 111- ++-+-+-= （）（例4 1111111 248163264128 +++ +++ 观察前一个数是后一个数的2倍，“补一退一” 解：原式128 1 1281128164132116181 4 12 1- +++++ ++=）（例5 1 101 18116114112122222-+ -+-+-+- 由)()(22b a b a b a +?-=-知，可以将原式变形为：解：原式11 91 971751531311?+ ?+?+?+?= 牛刀小试：【我能行】 1． +?+?+?1999 19981199819971199719961……+ 200220011 ?+20021 2．521?+851?+1181?+……+29 261? 分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求 1 (1)n n +型分数求和分析：因为11 1n n -+＝11(1)(1)(1) n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数）所以有裂项公式：111 (1)1 n n n n =-++ 【例1】求111 (101111125960) +++ ???的和。（二）用裂项法求1 () n n k +型分数求和分析：1 ()n n k +型。（n,k 均为自然数）因为11111 ()[]()()()n k n k n n k k n n k n n k n n k +-=-=++++ 所以1111 () ()n n k k n n k =-++ 【例2】计算11111577991111131315++++ ?????

分数裂项求和方法总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和 1 1 分析：因为------ ------- n n 1 n 1 n n(n 1) n(n 1) （n为自然数） n（n 1）所以有裂项公式: 1 1 1 n(n 1) n n 1 【例 1】10 11 1 11 12 的和。 59 60 1 1 10 60 丄 12 （二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。（n,k均为自然数） n（n k）因为 1(1 所以【例 2】 n(n k)] n(n k) n(n k) ") 1 计算5 7 9 11 11 13 13 15 1 勺 1(1 9 2'9 1 1、，1 1 )( 丄(丄丄) 2 11 13 1 1 )( 丄(1 1) 2 5 7 111 -[( )( )( ,、 ,、 2 5 7 7 9 9 11 11 1 3 13 15

2[515] 丄 15 （三）用裂项法求—「型分数求和 n（n k）分析： k - 型（n,k均为自然数） n（n k） 1 1 _ n k n k n n k n(n k) n(n k) n(n k) 所以 k _ 1 1 n(n k) n n k 亠2 2 2 2 【例3】求2的和 1 3 3 5 5 7 97 99 （四）用裂项法求仝型分数求和 n(n k)(n 2k) 分析：2k 均为自然数）分析： n（n k)(n (n,k 2k) 2k 1 1 n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k) 【例4】计算：- 4 4 4 4 1 1 1 1 (1 3)( ) (- 3 5 5 1 1 99 98 99

小学六年级数学难题：分数计算(裂项法)

、裂项法小学数学课本在讨论分数加减法时曾指出：两个分母不同的分数相加减，自然数，公分母正好是它们的乘积.把这个例题推广到一般情况，就有一个很有用的等式：下面利用这个等式，巧妙地计算一些分数求和的问题例1 计算：分析与解此题按常规方法先通分后再求和，显然计算起来十分繁杂是 1 ，而分母又都是相邻两个自然数的积，符合上面等式的要求.如果按上面等式把题目中的前12 个加数也分别写成两个单位分数之差的形式，就得到下面12 个等式：

上面12 个式子的右面相加时，很容易看出有许多项一加一减正好相互抵消变为0，这一来问题解起来就十分方便了像这样在计算分数的加、减时，先将其中的一些分数做适当的拆分，使得其中一部分分数可以相互抵消，从而使计算简化的方法，我们称为裂项法. 例2 计算：分析与解这里的每一项的分子是1，分母不是相邻两个自然数的积，但都是从 1 开始的连续若干个自然数的和，这使我们联想到计算公式：1+

当n分别取1，2，3，?，100时，就有即题目中的每一项都变成了一个分子为2、分母为相邻两个自然数乘积的形式，略加变形就得到例 1 的形式，仿照例 1 的方法便可求出解来

分析与解猛一看，此题似乎无法下手，而且与裂项法也没关系.但小学数学课本上曾说过，减法是加法的逆运算.换句话说，任一加法算式都可以改为这个题的答案是否只有这一个呢？如果不只一个，怎样才能找出所有答案呢？为此，我们来讨论这类问题的一般情况.设n、x、y 都是自然数，且当t=1 时，x=7，y=42，当t=2 时，x=8，y=24，当t=3 时， x=9，y=18，当t=4 时，x=10，y=15，当t=6 时，x=12，y=12，当t=9 时，x=15，y=10，

分数裂项求和方法复习总结

分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求1 (1) n n+ 型分数求和分析：因为11 1 n n - + ＝ 11 (1)(1)(1) n n n n n n n n + -= +++ （n为自然数）所以有裂项公式： 111 (1)1 n n n n =- ++ 【例1】求 111 (101111125960) +++ ??? 的和。 111111 ()()......() 101111125960 11 1060 1 12 =-+-++- =- = （二）用裂项法求1 () n n k + 型分数求和分析： 1 () n n k + 型。（n,k均为自然数）因为11111 ()[] ()()() n k n k n n k k n n k n n k n n k + -=-= ++++ 所以 1111 () () n n k k n n k =- ++ 【例2】计算 11111 577991111131315 ++++ ????? 111111********* ()()()()() 25727929112111321315 =-+-+-+-+-11111111111 [()()()()()] 2577991111131315 =-+-+-+-+-

111[]2515115 =-= （三）用裂项法求() k n n k +型分数求和分析： () k n n k +型（n,k 均为自然数） 11n n k -+＝()()n k n n n k n n k +-++＝() k n n k + 所以()k n n k +＝11n n k -+ 【例3】求2222 (1335579799) ++++????的和 1111111(1)()()......()335579799 1199 9899 =-+-+-++-=-= （四）用裂项法求2()(2) k n n k n k ++型分数求和分析： 2()(2) k n n k n k ++（n,k 均为自然数） 211()(2)()()(2)k n n k n k n n k n k n k =-+++++ 【例4】计算：4444 (135357939597959799) ++++????????

《并项分组求和与裂项法》教学设计.doc

一、学情分析：学生在前一阶段的学习中已经基本掌握了等差、等比数列这两类最基本的数列的定义、通项公式、求和公式，同时也掌握了与等差、等比数列相关的综合问题的一般解决方法。本节课作为一节专题探究课，将会根据已知数列的特点选择适当的方法求出数列的前n项和，从而培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力。二、教法设计：本节课设计的指导思想是：讲究效率，加强变式训练、合作学习。采用以问题情景为切入点，引导学生进行探索、讨论，注重分析、启发、反馈。先引出相应的知识点，然后剖析需要解决的问题，在例题及变式中巩固相应方法，再从讨论、反馈中深化对问题和方法的理解，从而较好地完成知识的建构，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。在教学过程中采取如下方法： ①诱导思维法：使学生对知识进行主动建构，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性； ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性； ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。三、教学设计： 1、教材的地位与作用：对数列求和的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考的内容；另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。化归与转化思想是本课时的重点数学思想方法，化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想，即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的一种数学思想方法；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。 2、教学重点、难点：教学重点：根据数列通项求数列的前n项，本节课重点学习并项分组求和与裂项法求和。教学难点：解题过程中方法的正确选择。 3、教学目标： (1)知识与技能：会根据通项公式选择求和的方法，并能运用并项分组求和与裂项法求数列的前n项。 (2)过程与方法： ①培养学生观察、分析、归纳、猜想的能力、逻辑思维能力以及演绎推理的能力； ②通过阶梯性练习和分层能力培养练习，提高学生分析问题和解决问题的能力，使不同层次的学生的能力都能得到提高。 (3)情感、态度与价值观： ①通过对数列的通项公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列通项和数列求和问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。四、教学过程：

分数计算题之裂项求和

六奥第三讲分数计算题之裂项求和教学课题：分数计算技巧（2）教学课时：两课时教学目标：在分数运算中，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等，这堂课主要学习裂项法，会用裂项法解决简单的实际问题。教学重难点：经历裂项的探究过程，观察裂项的规律。教具准备：本周通知：教学过程：一、故事导入一天，旅店服务员碰上了一个难题：一下子来了11位旅客，每个人都要一个单人房间，可当时旅店里只有10间空房。来客都很坚决，非单人房不可。当时只好设法把这11位客人安排在10个客房中。而每个房间只许一人，这是无论如何也做不到的。可是，那位服务员想出了一个办法，他能解决这个伤脑筋的难题。他的主意是，把第一位客人安排在1号房间，请他同意让第十一位客人暂时（5分钟左右）也在他房间里呆一下。这两位客人安排好后，他把其他客人逐一分配到其他各号房间去；把第三位客人分配到2号房；把第四位客人分配到3号房；把第五位客人分配到4号房；把第六位客人分配到5号房；把第7位客人分配到6号房，把第八位客人分配到7号房；把第九位客人分配到8号房；把第十位客人分配到9号房。这时第10号房间还空着，他就把暂时呆在1号房的第十一位客人请了过来，满足了全体旅客的要求。这里问题何在呢？二、新课学习师：例1：4 31321211?+?+?怎么求？师：谁来展示一下你的做法？根据学生摆的情况，师板书各种情况。（逐一相加）师：还有不同的做法吗？生：没有了。师：211?=1- 21，321?= 21- 3 1，你能发现什么？生：一个分数可以拆成两个分数的差，中间的都可以抵消掉。师：很好，这里我们发现，拆项后，前一个分数的第二项和后一个分数的第一项是可以抵消的。 11111144771010131316 ++++?????，你能发现它和上一题有什么区别吗？（教师要关注拆分的时候，两个分数分母的关系，到底是差几。在学生自主探索的基础上，教师注意引导学生：拆分之后，分数的大小会发生什么变化）师：那我们就来看一下裂项公式。 )11(-b a a b k b a k -?=?）（例2：11212313419899199100 ?+?+?++?+?…

初中裂项求和问题(可编辑修改版)

初中数学解题研究：裂项求和问题（分数类）难道者：四川崇州平生曜曜摘要：本文由浅入深介绍了初中数学中一些特殊分数串求和的个例，由最初的非裂项归纳手段逐渐过渡到后期的裂项式高效手段，并在本文所议范围内总结了裂项求和的右脑记忆诗。文中涉及了数学解题的部分规律，如数学思想、思维策略等，还模拟了一场教学启发的理想化进程。最后笔者把数学母题比作一颗星舍，解题就好比是在房舍里整理物饰，有时我们会触碰到一些窗户，于里外窥，会洞见星野，星夜灿烂，牵引导航。文末的最后一道思考题为笔者偶开了一扇视窗，深为动情，随饮醉吟唱，为觅知音，抛砖引玉，不知几何！关键词：单独形式，申述，归纳，转化，旧模式，新环境，做题不能白做，过程与结论，窥望备注：文本中没有明显标记行文脉络，请留意“问题（一）”至“问题（七）”的字眼即可！正文 “裂项求和”这个概念所指代的是一种专门针对“某类题”的解题方法，自从此法被命名为“裂项求和”而被考生广而所知以后，他们便开始以这种高效而冰冷的手法偶逢时机地收割分数。

中、高考分数是进入名校的敲门砖，大气文凭是进入理想行业的敲门砖，足见提高考分是考生的迫切需要，是家长的迫切期待。提高考分总是主管部门难以释怀的心理情愫，更是达官草民观想教学有效性的无情准则。面对数学考卷上百分之七十到八十的中、低档考题，考生若不能快速而准确地作答，就已经在时间的掌控上沦为弱者，要想在更短的时间内抓获难题分数，若用痴人说梦形之有过，那用力不从心形之可否？裂项求和当属那百分之二十到三十的难题一类，考生在考场若有幸重逢，且能速速斩之，足足可叹三生有幸。但命题者岂能如此鲁莽让吾等轻易得成？如果裂项求和是初中教材上的基本技能，那么将之设成中考题的概率极高，但若不是，那么命题者偶却将之铺于考卷之上时，意欲又作何为？是想检验考生的运气吗？你看，这个考生恰好掌握了裂项求和的技能，他一下就把分数抓稳当了！这能是命题者的意图吗？真若如此，把烫手类分数全寄挂在考生的运气上，试问这样的考试何以有公平性可言？所以目前中考若选用裂项求和作为考题，那它一定不会以如下外貌形式单独出现在考生眼前：单独形式（1）：求的值.100 991431321211?++?+?+? 单独形式（2）：求的值.() 11431321211+++?+?+?n n

分数拆分(裂项法)

2008年10月4日六年级基本公式：()111n n+1n n 1-+＝；推广形式：()111n n+d d n n d ??-??+?? 1＝例1、计算：11111122334989999100+++++?????=（1－21）＋（21－31）＋（31－41）＋……＋（991－1001）=1－1001=100 99。例2、计算： 1111112612203042+++++=76；例3、计算：1111111357911104088154238340+++++=20 336；例4、计算：=?+++?++?++?+200120002001200043433232212122222222 200120004000 注意：拆分未必拆成两个分数之差，有的时候，需要拆成两个分数之和；可以利用公式： 11m+n m n mn +＝例5、计算：1111(1)(1)(1)(1)2233441010 -?-?-??-???? (1120) 提示：1n n 1(n 1)(n 1)1n n n n n n ?--+- ==???。解：原式＝1324359112233441010????????????……＝111210?＝1120 例6、计算：60 59605859586035343602423260131211+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ = 解答：因为()2 1211121-=-??=-+++n n n n n n n n ，所以 ()886 59212 112 592221160 59605859586035343602423260131211=+++?+=++++=+??? ??+++??? ??++++??? ??++++??? ??++++ 【课堂练习】 1. 计算：111116425672-+++=9 8；

小学数学分数裂项

分数裂项求和方法总结

最新分数裂项法解分数计算

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