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工程数学知识点(简版)

工程数学知识点

第一篇线性代数

第１章行列式

1．二阶、三阶行列式的计算Ｐ2

2．行列式的性质（转置，换行，数乘，求和，数乘求和）Ｐ3，Ｐ4，P52——3（2）

3．行列式展开（代数余子式）Ｐ7

4．利用性质及行列式展开法则计算行列式（造零降阶法） 5．字母型行列式计算（爪型）Ｐ53——5（2）

6．矩阵的定义、矩阵的行列式的定义及矩阵与行列式的区别

7．矩阵的运算（加减Ｐ20、数乘Ｐ21、乘法Ｐ22、转置Ｐ26、方阵的幂、乘法不满足交换律和消去律）（n n kD k D =）

8．特殊的矩阵（对角、数量、单位矩阵（E ）、三角形矩阵） 9．矩阵的初等变换（三种）、行阶梯形、行最简形 10．逆矩阵的定义、运算性质 11．伴随矩阵Ｐ38

12．利用初等变换求逆矩阵——P44例31（两阶更简单） 13．矩阵的秩的概念及利用初等变换求矩阵的秩

第２章线性方程组

1．线性方程组的求解（分非齐次的和齐次的）P65例3、例4

第３章

特征值的求解（特征向量不作要求）Ｐ89例1

第二篇概率论

第4章

概率的基本概念及计算

１、基本概念：必然现象、随机现象、随机试验、样本空间、样本点、随机

事件（事件）、基本事件（样本点）、不可能事件、必然事件、事件的包含与相等、和（并）事件、积（交）事件、互不相容（互斥）的事件、逆事件、频率、概率、概率的可加性（互不相容）、概率的加法公式（相容）、古典（等可能）概型P130、放回抽样方式、不放回抽样方式P132——例13、事件相互独立、条件概率Ｐ135引例２、基本公式：

概率的可加性（互不相容）()()1

n i i P A A A P A ==∑

概率的加法公式（相容）()()()()P A B P A P B P AB =+-击落飞机问题

概率的乘法公式()()()P AB P B P A B =

逆事件的概率()

()1P A P A =-

事件A 和B 独立，则有()()()P AB P A P B = ３、基本结论：

当事件A 和B 相互独立时，我们可以证明，事件,;,;,A B A B A B 亦相互独立。

第5章随机变量

１、基本概念：随机变量、离散型和连续型随机变量、离散型随机变量的概率分

布律、概率分布函数（{}(),F x P X x x =≤-∞<<+∞）、连续型随机变量的概率密度函数（密度函数或密度）、分布函数

（{}()(),x

P X x F x

f t d t x -∞

≤=

=-∞<<+∞?，{}

{}1P X x P X

x >=

-≤）Ｐ158、Ｐ161——例20、随机变量的独立、随机变量的函数及其分布（P192定理）

２、基本公式：六种分布的分布律或概率密度函数

服从正态分布的随机变量的概率计算Ｐ165——例23、例25

３、基本结论：连续型随机变量在某一点的概率为0，即{}0P X x ==

第6章随机变量的数字特征、几个极限定理

１、基本概念：离散型和连续型随机变量的数学期望Ｐ190、方差Ｐ198及其性

质、随机变量函数的数学期望Ｐ195——例12、k 阶（原点）矩、k 阶中心矩

２、基本公式：

（1）数学期望（平均值、期望值、均值）：１）{}1

()i i i i i i E X x P X x x p ∞

∞

=====∑∑，()()E X xf x dx +∞

-∞

２）1

(),()(())(),()(())()()i i i Y g X E Y E g X g x p E Y E g X g x f x dx ∞

+∞

-∞

======∑?

(),()(),()()(),()()()E C C E CX CE X E X Y E X E Y E XY E X E Y X Y ==+=+=（,独立）

（2）方差：

１）2

()[()][()][()]()i i i D X E X E X x E X p x E X f x dx ∞

+∞

-∞

==-=-=-∑?

２）22()()[()]D X E X E X =-

2()0,()(),()()()D C D CX C D X D X Y D X D Y X Y ==+=+（,独立）

（3）标准差（均方差）

：X σ=（）３、基本结论：

（1）0－1（p ）分布：（Ｐ151表格形式）{}1(1),0,1k k P X k p p k -==-=

()E X p =，()(1)D X pq p p ==-

（2）n 重贝努里试验、二项分布（b(n,p)）：

{}(1),0,1,2,

,k k

n k n P X k C p p k n -==-=Ｐ153——例10

()E X np =，()(1)D X npq np p ==-

（3）泊松公布（Poisson ()πλ）：{},0,1,2,!k

e P X k k k λλ-==

()E X λ=，()D X λ=

***在实际计算中，当10,0.1n p ≥≤时，我们有如下的泊松近似公式

(1)

, !

k k k

n k

e C p p np k λλλ---≈=

（4）指数分布（(),0E λλ>）：0

()0

e x

f x x λλ-?>=?

≤?，10()0

e x F x x λ-?->=?≤?

()E X λ

，2

()D X λ=

（5）均匀分布（(,)U a b ）：1

()0

a x

b f x b a

=-???其它

，0

()1

x a x a F x a x b b a x b

≤??-?

-?≥?? ()2a b E X +=，2

()()12

b a D X -=

（6）正态分布（2(,)N μσ）

：22

()2(),x f x x μσ--

-∞<<+∞

()E X μ=，2(),()D X X σσσ==

（7）标准正态分布（(0,1)N ）

：2

(),x x x ?-=-∞<<+∞，()()1x x Φ+Φ-=

（8）n 个相互独立的正态随机变量的线性函数还是服从正态分布（Ｐ202）

第三篇数理统计

第7章数理统计的基本概念１、基本概念：总体（母体）、个体、样本（子样）、样本观测值（实现）、简单

随机样本（随机性、独立同分布性）、统计量的判断Ｐ218、统计量的观测值、抽样分布２、基本公式：

（1）样本平均值：1

i i X X n ==∑

（2）样本方差：22

11()()11n n

i i i i S X X X nX n n ===-=---∑∑ （3）

样本标准差：S =（4）样本k 阶原点矩：1

1,1,2,

n k

k i i A X k n ===

∑

（5）样本k 阶中心矩：1

1(),1,2,

k k i i B X X k n ==-=

∑

３、基本结论：（1）定理2：

122

22222

(0,1),,,

,,,()

n n

X N X X X X X X X n χχχ~=+++~设为的一个样本，它们的平方各也是

一个随机变量，记则

（2）

22122

(,),,,

,(0,1),1,2,

)().

n n

i i i X N X X X X X X N i n n μσμσμ

χσ

=~--~=~∑设和已知，为的一个样本，

于是

则有Ｐ221例1

（3） 2222()(),()2n E n D n χχχχ~==若，则（4）

2221122122

1212()()()

Y n Y n Y Y Y Y n n χχχχ~~+~+分布的可加性：若，，且与独立，

则

（5）定理3

：2(0,1),(),()X N Y n X Y t n χ~~~若且与（6）定理4：22/(),(),(,)/X M

X m Y n X Y F F m n Y n

χχ~~=~若且与独立，则（7）定理5：

2212,,

(,),(,)n X X X N X N μσμσ~若为总体的一个样本则样本均值

（8）定理6：2122222

(,),(1)(1)2(),()1

n X X X N X S X S n S n E S D S n μσχσ

σσ-~-==

-若为正态总体的一个样本则对于样本

均值和样本方差有

（1）和相互独立

（2）（3）

（9）定理7

：

212,,

(,),(1)

n X X X N t n μσ~-若为正态总体的一个样本则

（10）定理8：

()1222

1212112222

122

121

(,)(,),(,

)n n X X X Y Y Y N N X Y S S X Y X Y N U n n μσμσμμσσμμ----~-+

若和分别为总体和的

相互独立的样本样本均值分别为和，样本方差分别为和则(1)或

()1

2222

121

1122

12,(2)

(1)(1) 2

X Y T t n n

n S n S S n n μμσσσ

σ---==~+--+-=

+-(2)当未知，但时,其中

（11）定理9：1222

1212112222

1222

122221

(,)(,),,

(1,1)

n n X X X Y Y Y N N S S S F n n S μσμσσσ~--设和分别为总体和的

相互独立的样本样本方差分别为和则

（12）Z 分布：22

()x x x ?-

-∞<<+∞

Z 的上侧α分位点Z α：{}(),b

P Y b f y dy b

Z αα+∞

>==?

Z 的下侧α分位点1Z α-：

{}{}10

(),()1,a a

P Y a f y dy P Y a f y dy a

Z ααα+∞

-≤==>==-??

或

Z 的双侧α分位点/2Z α，1/2Z α-：

{}1/2/2/2()1,,b

P a Y b f y dy a

Z Z b Z αααα-<<==-=-?

（13）2()n χ分布：

()n χ的上侧α分位点2

()n αχ：{}2(),()b

P Y b f y dy b

n ααχ+∞

>==?

2()n χ的下侧α分位点21()n αχ-：

{}{}210(),()1,()a

P Y a f y dy P Y a f y dy a

n αααχ+∞-≤==>==-??

或

2()n χ的双侧α分位点21/2()n αχ-，2

/2()n αχ：

{}22

1/2/2()1,(),()b

P a Y b f y dy a

n b n αααχχ-<<==-?

当n 充分大（>45

）时，有2

21()(2

n Z α

αχ≈（费歇）（14）()t n 分布：

()t n 的上侧α分位点()t n α：{}(),()b

P T b f t dt b t n αα+∞

>==?

()t n 的下侧α分位点1()t n α-：{}1()1,()a

P T a f t dt a t n αα+∞

->==-?

()t n 的双侧α分位点1/2()t n α-，/2()t n α：

{}1/2/2/2()1,()(),()b

P a T b f t dt a t n t n b t n αααα-<<==-=-?

当n>30时，()t n 分布和标准正态分布就很接近了，由此当n 较大时，就可以用标准正态分布的分位点取代()t n 分布的分位点。（15）12(,)F n n 分布：

12(,)F n n 的上侧α分位点12(,)F n n α： {}12(),(,)b

P F b f x dx b

F n n αα+∞>==?

12(,)F n n 的下侧α分位点112(,)F n n α-： {}112()1,(,)a

P F a f x dx a

F n n αα+∞->==-?

12(,)F n n 的双侧α分位点1/212(,)F n n α-，/212(,)F n n α：

{}1/212/212/2211

()1,(,),(,)(,)

a P a F

b f x dx a

F n n b

F n n F n n αααα-<<==-=

第8章

参数估计

１、基本概念：矩估计法、无偏估计（()E θθ=）、有效性（方差较小）、置信区

间（置信度）２、基本公式：（1）矩估计法：

0－1（p ）分布{}1(1),0,1k k P X k p p k -==-=：()p X =无偏估计二项分布（b (m,p )）：

2221

11/1/, /(*)n i i p X A X X X X m X X S n ==+-=+-=-∑

均匀分布（(0,)U θ）：2X θ=（无偏估计）

指数分布（(),0E λλ>）0()0

x e x f x x λλ-?>=?

≤?：1/X λ=

正态分布（2

(,)N μσ

）22

()2(),x f x x μσ--=-∞<<+∞：

1 () ()n

i i X X X n μσ===-∑无偏估计

３、基本结论：（1）矩估计法：样本矩作为总体矩的估计；总体未知参数的估计由矩的估计得

到；同一参数利用不同的矩，得到的估计量是不同的。（2）对于任意一个总体，样本均值X 和样本方差2S 是总体均值()E X 和总体方

差()D X 的无偏估计，*2S 是总体方差()D X 的渐近无偏估计（50n >）。（3） 121

,,1,()n

n i i i i i a a a a a X E X ===∑∑若给定的满足则是总体期望的无偏估计，

即同一参数的无偏估计并不唯一。

（4）

22/2

2/2/2222

22/21/2(,)1,

((,,)((1),(1))(1)(1)(,)

(1)(1)

X N X Z X Z CONFIDENCE n Z X n X n n S n S n n αααααααμσασμασσμμσχχ-~--+=-

-+-----若总体，置信度已知，则未知参数的置信区间为未知，则未知参数的置信区间为未知，则未知参数的置信区间为Ｐ241——例18，例20

（5）当n 固定时，随着置信度的降低，区间长度随之减小；如果既要具有较小

的区间长度，又要保持较高的置信度，必须增大样本容量n 。

（6）

2212//222

1212/212/2122(,)1,2,1,

(())(()(2),()(2))i i i i i i X N i X Y Z X Y Z X Y S n n X Y S n n ααμσασμμσσσμμσ~=-----+=---+--++-若两个正态总体，置信度已知，则未知参数的置信区间为

未知，但则未知参数的置信区间为

未知，则未知参数22

122211222/21221/212/11((,)(1,1)(1,1)

S S S F n n S F n n αασσ-----的置信区间为

第9章假设检验

１、基本概念：参数检验与非参数检验、随机误差与系统误差、原（零）假设与

备选假设、临界值、接受域、拒绝域、显著性水平、第一类错误（弃真）、第二类错误（取伪）、双边假设检验、单边假设检验（>右边；<左边）、分布拟合检验２、基本公式：３、基本结论：

（1）小概率事件在一次试验中几乎不可能发生（实际推断原理）。（2）单个正态总体的参数假设检验：

１）220/2

0/2

/2/22200(,),((0,1)(,)(,),,X N X Z Z X U N U Z Z U X N U Z U Z αααααα

μσαμσμμμσαμσμμμμ~-+=

~-~≤<≥>-若总体，显著性水平的双边假设检验，

已知，则的接受域为或者，则的接受域为——检验若总体，显著性水平的单边假设检验，

已知，则的接受域为则的接受域为Ｐ251——例1,例3

２）220/2/22200(,),(1)((1),(1))(,),(1),(1).

X N X T t n H t n t n T X N T t n T t n ααααμσαμσμσαμσμμμμ~=

~----~≤<-≥>--若总体，显著性水平的双边假设检验，

未知，则，

的接受域为——检验

若总体，显著性水平的单边假设检验，

未知，则的接受域为则的接受域为

３）22

220

222

01/2/222

0221

00(,),(1)(1)((1),(1))(,),()()(),

i X N n S n H n n X N X

n T n αααμσασμχχσ

χχχμσασμμχχσ

σσχσσ-=~-=

~---~-=

~≤<≥∑若总体，显著性水平的双边假设检验，

未知，则，

的接受域为——检验

若总体，显著性水平的单边假设检验，已知，，

则的接受域为则的接受域21().T n αχ->为

（3）两个独立正态总体的参数假设检验：

(

)

(

)2121

2/2/2121

12(,)1,2,,

(0,1)(,);

(2)(i i i i

X N i X Y X Y U N U Z Z X Y X Y T t n n T T t αααμσαμμμμσμμμμσσσ~==----==

~-=----===

~+-<若两个正态总体，显著性水平的双边假设检验，

已知，，

则的接受域为的右边假设检验，未知，但，，

则的接受域为121222

12112222212

1/212/2122);

(1,1))((1,1),(1,1)).

i n n S S F F n n S S F F n n F n n αασσσμσ-+-===~------的双边假设检验，

未知，，

则的接受域为（4）基于成对数据的假设检验：作数据对的差,1,2

i i i d x y i n =

2202

/2/2(0,)1,2,

,,,

0(1)((1),(1)).

i d N i n d S T t n T t n t n αασαμμσ~=====~----若正态总体，显著性水平的双边假设检验，和分别表示样本均值和方差，

未知，，

则的接受域为

（5）大样本下总体参数的假设检验（非正态总体或未知总体分布）：

U N

==~

由中心极限定理，总体方差已知：

（，）

总体方差未知，为样本方差：

（，）

（6）分布拟合检验：

50,5,()

()

(1),

(1)()

50,5,()

()

(1),

(1)()

i i

n np F x

n np

k F x

n np F x r

n np

k r

k r F x

χχ

≥≥

=~-

≥≥

=~--

<--

∑

显著性水平，的形式和参数已知，

当时，接受假设，即总体分布可以认为是

显著性水平，中有个未知参数，

当时，接受假设，即总体分布可以认为是

第10章方差分析和回归分析

１、基本概念：方差分析、试验指标、因素、水平、单因素不等（等）重复试验、双因素无（有）重复实验、方差分析及基本假定（正态性方差齐性线性性）、随机误差、系统误差、均方（Ｐ271、Ｐ275）相关关系、理论回归方程、回归函数（一元（多元）线性（非线性）回归）、相关分析、样本回归方程、散点图、回归值、最小二乘法、最小二乘估计、正规方程、样本相关系数２、基本公式：

（1）单因素方差分析：

１）总均值：

11111

111

()

j j

n n

r r r

ij j j j

j i j i j

E X n

n n n

μμμ

=====

===

∑∑∑∑∑

２）样本总平均：

1j n

j i

x x

n==

=∑∑

３）水平

A下样本均值：

1j n

j ij

x x

=∑

４）单因素方差分析的数学模型：

012

,(0,)

1,2,1,2,

ij j ij ij

ij j

X N

i n j r

μδεεσ

μδσ

δδδ

=++~

====

相互独立，，，

其中及都是未知参数,

：

5）单因素样本总偏差平方和：

2211

()()()()()j

n n n r

j j T ij ij j i j i j i n r

j j ij j E A

j i j S x x x x x x x x n x x S S ??======??====-=-+-=-+-=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑

6）2

1111221111111j

j j

j n n r

r T ij ij j i j i n n r r A ij ij E T A j i j i j S x x n S x x S S S n n ========??=- ? ???????=-=- ? ? ? ?????

∑∑∑∑∑∑∑∑实际应用中，为方便计算：，，（2）双因素无重复试验的方差分析：

１）双因素无重复试验方差分析的数学模型：

01120212,(0,)1,2,

1,2,,,0000

ij i j ij ij ij r

i j i j i j r s x N i r j s H H μαβεεσεμαβσαβαααβββ===+++~==========

==∑∑，

相互独立，，，　

其中及都是未知参数,并且有，：：

２）双因素无重复试验样本总偏差平方和：

2222

()()()()i j i j T ij ij i

E A B

S x x x x x x x x x x S S S ????=-=--++-+-=++∑∑∑∑∑∑∑∑

3）22

222

21()()11()()11()()()()()

/(i j T ij ij i

i i A i i

i j j B j i

E T A B

i ij j ij j i j

i i S x x x x x x T rs

S x x s x x T T s rs S x x r x x T T r rs S S S S T x T x T T T x T s ??????????????=-=--+-

=-=-=

-=-=-=

-=--=====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑其中行总和，列总和，总和行平均)/()()

j j x T r x T rs ??==，　列平均，　/平均

（3）双因素等重复试验的方差分析：

1）11

11,1,2,

,1,1,2,,,1,2,,,1,2,

,r s

i j s

i i ij j r

j j ij i i i i j j j ij i rs A i r

s B j s

r A i r B j s μμμμμμαμμβμμμμα==?=?=??======-==-==+∑∑∑∑ 总均值下均值下均值的效应的效应 1

()1,2,

,1,2,

0,0,0,0,

j ij i j i j ij

ij ij i j i j r

j ij ij i j i j i rj s A B βμμμμμαβγγμμμμα

βγγ????====++--+=+++===--+====∑∑∑∑其中称为水平和的交互效应，并有

2）双因素等重复试验方差分析的数学模型：

2201120212031112,(0,)1,2,

1,2,1,2,,,,000

ijk i j ij ijk ijk ijk i j ij r s rs x N i r j s k t H H H μαβγεεσεμαβγσαααβββγγγ=++++~=============

==，

相互独立，，，，

其中及都是未知参数,

：：：

3）双因素等重复试验样本总偏差平方和：

1112

111

()[()()()()]()()()()r

T ijk i j k r

ij i j ij i j ijk i j k r

r s r s

ij i j ij i j ijk i j k i j i j S x x x x x x x x x x x x x x st x x rt x x t x x x x ===??????????===??????????========-=-+-+-+--+=-+-+-+--+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑误差平方和 2

111

()()()()r s t

ij E ijk i j k r

i A i s

j B j r

ij i j A B i j T E A B A B

S x x A S st x x B S rt x x A B S t x x x x S S S S S ?===??=??=??????==?=-=-=-=--+=+++∑∑∑∑∑∑∑　因素的效应平方和因素的效应平方和和交互效应平方和则总偏差平方和可以分解为

4）2

111

122

122111111111r s t

T ijk i j k r A i i s B j j r s A B

ij A B i j E T A B A B

S x T rst

S T T

st rst S T T

rt rst

S T T S S t rst

S S S S S ===??=??=??==?=-

=-=-=---=---∑∑∑∑∑∑∑

（4）一元线性回归模型：

222

2()()(,)(0,)

E Y f x a bx

Y Y N a bx a b x Y a bx N σσσεεσ==+~+=++~假设是方差同为的正态分布，则其中和及都是不依赖于的未知参数，即，

（5）一元线性样本回归方程及其解：y a bx =+

212

2112

211

()()()()n

i i

i xy xx n

i n

xx i i i i n

yy i i i i n

xy i i i i i i x y nx y

b S S a y bx

S x x x nx

S y y y ny

S x x y y x y nx y

========-=

==--=-=-=-=-=--=-∑∑∑∑∑∑∑∑/，为计算方便，引入

（6）样本相关系数：

2()()

/()1,100,0,0,0,0,0,0,n

xx yy

x x y y S b S S S S b x y b x y b x y b x γγγγγγγγ--=

==≤>><=>=∑衡量线性关系的密切程度越接近，相关程度越紧密,越接近，相关程度越松散

当时与正相关；当<时与负相关；当时与线性无关；

回归直线平行于轴，线性回归方程无意义

（7）

３、基本结论：

（1）单因素方差分析：

１）定理１：22/()E S n r σχ~-，

２）定理２：2

220201(/(1))1/(1),(1)

A j j j A E A T E A E S r n r H S r S S H S S S n σδσχχ=-=+-~-=+~-∑当为真时，与

相互独立当为真时，

３）

0/()/(1)E A S n r H S r σσ--是的无偏估计，

当为真时，也是的无偏估计

４）

0/(1)(1,)

/()(1,)

A E E S r S F F r n r S n r S H F F r n r αα-=

=~--->--单因素方差分析：统计量显著性水平为，的拒绝域是

５）

/21((j k j k x x t n r αμμα????---±-的置信度为的置信区间为

（2）双因素无重复试验方差分析：

１）222

2201022220122202220102()(1)(1)

()(1)()(1)/((1)(1))/(1)()(1)/(1)()(1)/(1)E A i i

B j i

E A A B B T E S r s E S r s E S s r H H S r s H S r E S r H S s E S s H H S rs σσασβσχσχσσχσσχ=--=-+=-+~--~-=-~-=-~-∑∑无论和是否为真，都有当为真时，，当为真时，，当和都为真时，，

２）0102/(1)((1),(1)(1))

/((1)(1))/(1)((1),(1)(1))

/((1)(1))((1),(1)(1))((1),(1)A

A A E

E B

B B E

E A A S r S

F F r r s S r s S S s S F F s r s S r s S H F F r r s H F F s r ααα-==~------=

=~----->--->--双因素无重复试验方差分析：统计量统计量显著性水平为，的拒绝域是的拒绝域是(1))s -

（3）双因素等重复试验方差分析：

１）2

212

211220102032220102()(1)

()(1)(1)()(1)(1)

()(1)(1)(1)(1)

/((1))

/(1)()(1)E

i A i s j B j r s ij A B i j E A A S E rs t S E st r r S E rt s s S E t r s r s H H H S rs t H S r E S r H S σασβσγσσχσχσ==?===-=+--=+--=+----~-~-=-∑∑∑∑无论,,是否为真，都有当为真时，，当为真时，22222203010203/(1)()(1)

/((1)(1))()(1)(1),,,B B A B A B A B A B E s E S s H S r s E S r s H H H S S S S σχσσχσ???~-=-~--=--，当为真时，，当,,都为真时，相互独立

２）01/(1)((1),(1))

/((1))/(1)((1),(1))

/((1))/((1)(1))((1)(1),(1))/((1))((A

A A B

E B

B B E

E A B

A B A B E

E A S r S

F F r rs t S rs t S S s S F F s rs t S rs t S S r s S F F r s rs t S rs t S H F F r αα???-==~----=

=~-----=

=~---->双因素等重复试验的方差分析：统计量统计量统计量显著性水平为，的拒绝域是02031),(1))((1),(1))((1)(1),(1))

A A rs t H F F s rs t H F F r s rs t αα-->-->--- 的拒绝域是的拒绝域是

（4）最小二乘估计的统计性质：

222221

(,),(,/)(,/),(,

)

i i n

i xx xx

y N a bx y N a bx n x

b N b S a N a nS σσσσ=~+~+~~∑

（5）一元线性回归总偏差yy S 平方和的分解：

2()()()(2)

yy i i i i i i i e r e S y y y y y y S S S n σχ====-=-+-=+-∑∑∑（剩余平方和）（回归平方和）且　

（6） 2σ的无偏估计：2

/(2)e S n σ=-

21()n

e i yy xy i i S y y S bS ==-=-∑

（7）直线回归的显著性检验：

0102

2/2:0:0()(01)

()(2)(2)/1

(12)

/(2)

(12)

r e H b H b H b b S b S U N U Z b b S b S T t n T t n S F F n S n F F n ααασσσ

=≠-=

~>-=

~->-=

~-->-检验的假设为当成立时

已知，统计量，拒绝域为未知，统计量拒绝域为统计量，拒绝域为，

（8）系数b 的置信度为1α-置信区间： /2/2((2)/,(2)/xx b t n S b t n S αασσ--+-

（9）相关性检验：0/2:0()

(2)(2)

H x y T t n T t n αρ==

~->-和不相关统计量拒绝域为

（10）利用回归方程进行预测：

000

()

(,),(,[]),

(

)

(0,[1]),

(0,1),

(2)

/(2)

(

x x

y N a bx y N a bx

n S

x x

y y N

n S

U N

n n

T U t n

y y

σσ

σσχ

+++

-~++

-~-

==~-

给定置信度，的置信区间为

/2/2

000

0/2

(2),(2))

1((),())

()(2)

()(),()()

n n

y y x y x

x n

x x

y x y x y x y x

αδδ

δδ

--+

=-=+

即的置信度为的预测区间为

当的值越靠近时，预测区间宽度越小，说明预测越精确

如果让在一定范围内变化，则区间下限和上限分别构成曲线

这两条曲线形成一个y a bx x

带域，包含回归直线，且在处带宽最小

/2/2

()

1(2)

(,)

x x

n t n Z

n S

y Z y Z

αα

σσ

++-=

当很大时，近似地为1，且

于是的预测区间简化为

（11）利用回归方程进行控制（n较大时）：

11/2

22/2

y a bx Z

?''

=+-

=++

（12）可化为一元线性回归的例子

常用的excel命令：

二项分布：=BINOMDIST(x,n,p,01)（0—概率密度，1—累积分布）返回概率、=CRITBINOM(n,p,临界值)返回成功次数

泊松分布：=POISSON(x,均值,01)

指数分布：=EXPONDIST(x,参数,01)

正态分布：=NORMDIST(x,均值,标准差,01)、=NORMINV(p,均值,标准差)

标准正态分布：=NORMSDIST(x)、=NORMSINV(p)

样本方差：=V AR 样本标准差：=STDEV

样本协方差：=COV AR 样本相关系数：=CORREL（分析工具——相关分析）卡方分布：=CHIDIST(x,自由度)（单尾）返回α值、

CHIINV(p,自由度) （单尾）返回卡方值

t分布：=TDIST(x,自由度,12) （1—单尾，2—双尾）返回概率、

=TINV(p,自由度) （p—双尾）返回t值

F分布：=FDIST(x,自由度1,自由度2) （单尾）返回α值、

=FINV(p,自由度1,自由度2) （单尾）返回概率F值

人教版小学数学知识点总结(完整版)

人教版小学数学知识点归纳第一章数和数的运算一概念（一）整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2 、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、数的整除整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。例如15÷3=5，所以15能被3整除，3能整除15。如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数。倍数和约数是相互依存的。一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数 28=2×2×7 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况： 1和任何自然数互质。相邻的两个自然数互质。两个不同的质数互质。当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

(完整版)人教版小学数学知识点整理(全)

一年级数学知识点 1、开口向左读大于，尖角向左读小于，一双筷子是等于。比较两数大和小，前面数大用大于，前面数小用小于，两边相等用等于。大于号，开口朝着大数。小于号，屁股撅给小数瞧。2、把几部分的数合起来，求一共有多少要用加法计算。如：从总数里拿走（或去掉、吃了、飞了）一部分，求另一部分是多少用减法计算。如： 3、一个数加0或减0，还得这个数。 4、6个面都相同的是正方体；长长方方的是长方体；上下一样粗细，两头是圆形的是圆柱；圆圆的，可以向任意方向滚动的是球。长方体、正方体、圆柱和球都是立体图形。 5、长方形、正方形、圆和三角形都是平面图形，都是立体图形上的一个平平的面。长方形和正方形的区别是看边的长短，长方形的对边相等，正方形的４条边都相等。长方体和正方体的区别是看面的形状，正方体的６个面都是正方形。 6、分类的标准不同，分类的结果就不同。 7、大问号，弯弯绕，问个问题不知道，一滴眼泪往下掉。大括号，像花边，两条花边分两方，两边合起就用它。问号挂在括号下，加法来算共多少。问号掉在括号上，减法来算一部分。正确使用加减法，解决问题我最棒。 8、计算连加，先把前两个数相加，再把得数与第三个数相加。 9、计算连减，先把前两个数相减，再用得数减去第三个数。 10、加数+加数=和被减数-减数=差 11、凑十法：九凑一，一凑九。八凑二，二凑八。七凑三，三凑七。六凑四，四凑六。双五相见就满十。 12、从右边起，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位。有１个十在十位写１，有２个十在十位写２，有几个一在个位写几。个位上的数是几就表示几个一，十位上的数是几就表示几个十。读数写书都从高位起。 13、最大的一位数是９，最小的两位数是１０。 14、确定位置时，一般横为行，竖为列。交换两个加数的位置，和不变。如：８＋７﹦７＋８﹦１５ 15、破十法就是先把十几分成十和几，先用十减去减数，减得的结果再和几合起来。 16、人民币的单位有元、角、分。 1元=10角 1角=10分 17、时针最粗、最短，分针较细、较长。认识钟面上的刻度：钟面上有12个大格，每个大格里面有5个小格。时针转动1大格是1小时，分针转动1小格是1分钟。 1时=60分认识整时与半时，先看分针指哪里。整时分针指１２，时针指几是几时。半时分针指向６，时针就在两数间，半时时针过了几，我们就读几十半。 18、９加几、８加几、７加几、６加几的计算技巧：大数是９，用小数减１，剩几就是十几。如：９＋６＝？，大数是９，小数是６，用小数６－１＝５，所以９＋６＝１５。大数是８，用小数减２，剩几就是十几。大数是７，用小数减３，剩几就是十几。大数是６，用小数减４，剩几就是十几。

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

最全初中数学知识点全总结

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式de加减、一元一次方程、图形de认识初步四个章节de内容. 第一章有理数一、知识框架二．知识概念 1.有理数： (1)凡能写成)0 p q,p( p q ≠ 为整数且形式de数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数de分类: ① ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数② ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度de一条直线. 3．相反数： (1)只有符号不同de两个数，我们说其中一个是另一个de相反数；0de相反数还是0； (2)相反数de和为0 a+b=0 a、b互为相反数. 4.绝对值： (1)正数de绝对值是其本身，0de绝对值是0，负数de绝对值是它de相反数；注意：绝对值de意义是数轴上表示某数de点离开原点de距离； (2) 绝对值可表示为： ?? ? ? ? < - = > = )0 a( a )0 a( )0 a( a a或 ? ? ? < - ≥ = )0 a( a )0 a( a a；绝对值de问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数de绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大de反而小；（5）数轴上de两个数，右边de数总比左边de数大；（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

小学数学知识点大全

小学数学知识点大全（一）笔算两位数加法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位加起； 3、个位满10向十位进1。（二）笔算两位数减法，要记三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。（三）混合运算计算法则 1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； 2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； 3、算式里有括号的要先算括号里面的。

（四）四位数的读法 1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； 2、中间有一个0或两个0只读一个“零”； 3、末位不管有几个0都不读。（五）四位数写法 1、从高位起，按照顺序写； 2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。（六）四位数减法也要注意三条 1、相同数位对齐； 2、从个位减起； 3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。（七）一位数乘多位数乘法法则 1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； 2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。

（八）除数是一位数的除法法则 1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； 2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。（九）一个因数是两位数的乘法法则 1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； 2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； 3、然后把两次乘得的数加起来。（十）除数是两位数的除法法则 1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， 2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； 3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。

新人教版小学数学1-6年级知识点【全】

小学数学知识整理第一部分：数与代数一、数的认识【1】我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3，……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。自然数的单位是1。自然数和0都是整数。连续自然数相差1。【2】像…，-3，-2，-1，0，1，2，3…这样的数统称整数。整数的个数是无限的。【3】一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数法叫做十进制计数法。整数和小数都是按照十进制计数法写出的数。计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。一个整数含有数位的个数叫做位数。最小的一位数是1。【4】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。（例如）读作：一百零二亿五千零二十万零五十。【5】整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没

有，就在那个数位上写0。（例如）七十亿零三百万四千写作：00。【6】准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。（例如）把 00 改写成以“万”做单位的数是 125430 万；改写成以“亿”做单位的数亿。【7】近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。（例如）15 省略“亿”后面的尾数约是 13 亿。【8】四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。（例如）省略 345900 “万”后面的尾数约是 35 万；省略 20 “亿”后面的尾数约是 47 亿。【9】整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或b能整除a。（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么我们就说6能被3整除（或6能被2整除），或3能整除6（或2能整除6）。【10】如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或a的约数）。倍数和约数是相互依存的。（例如）6÷3=2（或2×3=6），那么6就是3和2的倍数，2和3就是6的因数（或a的约数）。【11】一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。一个数最小的倍数等于它最大的约数。（例如）9的最小的因数是1，最大的因数是9，最小的倍

高等数学考试知识点

《高等数学》考试知识点一、函数、极限、连续考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；

10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质；二、一元函数微分学考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径；考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；

初中数学知识点大全(超全、超好用)

初中数学知识点大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③ 对角线相等的平行四边形是矩形。 ④ 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。多边形： ①N 边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平均数：对于N 个数X 1，X 2…X N ，我们把（X 1+X 2+…+X N ）/N 叫做这个N 个数的算术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

小学数学知识点集锦(打印版)

小学数学知识点集锦（打印版）第一部分：概念（一）整数 1、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 2、一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位：一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 4、 5、数的整除：整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。

6、如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 7、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 8、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、 9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 9、2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 10、5的倍数特征：个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 11、 3的倍数特征：一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：15、108、204都能被3整除。 12、能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 13、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53 、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 14、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 15、1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

(完整word版)人教版小学数学知识点总结大全

小学数学知识点大全第一章数和数的运算一、概念（一）整数 1、整数的意义自然数和0都是整数。 2、自然数我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3、计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。其中“一”是计数的基本单位。10个1是10，10个10是100……每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4、数位计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。 6、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。 7、一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。 ⑴准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。例如把 1254300000 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成以亿做单位的数 12.543 亿。 ⑵近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。例如： 1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。⑶四舍五入法：求近似数，看尾数最高位上的数是几，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾数向前一位进1。这种求近似数的方法就叫做四舍五入法。

所有数学知识点汇总

小学数学1-6年级所有重点知识点汇总1数学法则知识 1.笔算两位数加法，要记三条 A.相同数位对齐； B.从个位加起； C.个位满10向十位进1。 2.笔算两位数减法，要记三条 A.相同数位对齐； B.从个位减起； C.个位不够减从十位退1，在个位加10再减。 3.混合运算计算法则 A.在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算； B.在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减； C.算式里有括号的要先算括号里面的。 4.四位数的读法 A.从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推； B.中间有一个0或两个0只读一个“零”； C.末位不管有几个0都不读。 5.四位数写法 A.从高位起，按照顺序写； B.几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写“0”。

6.四位数减法也要注意三条 A.相同数位对齐； B.从个位减起； C.哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。 7.一位数乘多位数乘法法则 A.从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数； B.哪一位上乘得的积满几十就向前进几。 8.除数是一位数的除法法则 A.从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数； B.除数除到哪一位，就把商写在那一位上面； C.每求出一位商，余下的数必须比除数小。 9.一个因数是两位数的乘法法则 A.先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐； B.再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐； C.然后把两次乘得的数加起来。 10.除数是两位数的除法法则 A.从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小， B.除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商； C.每求出一位商，余下的数必须比除数小。 11.万级数的读法法则 A.先读万级，再读个级； B.万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个“万”字； C.每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个“零”。 12.多位数的读法法则 A.从高位起，一级一级往下读； B.读亿级或万级时，要按照个级数的读法来读，再往后面加上“亿”或“万”字； C.每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个零。

小学数学知识点大全(一)教学提纲

小学数学知识点大全（一）一、小学数学知识点（一年级）小学数学一年级知识点（一） ★读数、写数。 1、读20以内的数。顺数：从小到大的顺序0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 倒数：从大到小的顺序20 19 18 17 ······ 单数：1、3、5、7、9 ······ 双数：2、4、6、8、10 ······ 2、两位数 (1)我们生活中经常遇到十个物体为一个整体的情况，实际上十个“1”就是一个“10”，一个“10”就是十个“1”。如：A：11里有(1)个十和(1)个一; 11里有(11)个一。 B：看数字卡片(11~20)，说出卡片上的数是由几个十和几个一组成的。

★比较大小和第几 1、例如给数字娃娃排队：5、6、10、3、20、17，可以按从大到小的顺序排列，也可以按从小到大的顺序排列。 (注意做题时，写一个数字，划去一个，做到不重不漏。) 2、任意取20以内的两个数，能够用谁比谁大或谁比谁小说一句话。 3、“比”字的用法看“比”字的后面是谁，比几大1就要在几的基础上加1，比几小1就要在几的基础上减1。如：比5小2的数是(3)，比4多3的数是(7)。 4、几和第几 △▲▲★△☆☆△△△▲★★★☆★ 观察图，说说有几个图形?(16个图形)从左数第几位是什么?从右数第几位是什么?把左边三个圈起来;把右边第2个圈起来。 (复习此类知识时，分清左右，同时确定方向;知道几个和第几个的区别。) 5、相邻数 2的前面是1，2的后面是3，2再添上1就是3，3再去掉1就是2，与2相邻的数是1和3。

整理全面《高中数学知识点归纳总结》

教师版高中数学必修+选修知识点归纳引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点：重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数难点：函数、圆锥曲线高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻辑、充要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求和、数列的应用 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、数量积及其应用 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

初中数学知识点大全(完整版)

第一册第一章有理数 1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“一”的书叫做负数。以前学过的0以外的数叫做正数。数0既不是正数也不是负数，0是正数与负数的分界。在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。 ⑵同一根数轴，单位长度不能改变。一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 1.2.4绝对值一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。 ⑵两个负数，绝对值大的反而小。 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法有理数的加法法则： ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a+ b= b+ a 三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加法结合律：(a + b) + c = a+ (b + c)

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小学数学知识点大全常用的数量关系式 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数小学数学图形计算公式 1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2、正方体（V:体积 a:棱长）表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3、长方形（ C：周长 S：面积 a：边长）周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高） (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah 7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8、圆形（S：面积 C：周长л d=直径 r=半径） (1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr (2)面积=半径×半径×л 9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr或лd) (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3 11、总数÷总份数＝平均数 12、和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 13、和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 14、差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 15、相遇问题相遇路程＝速度和×相遇时间相遇时间＝相遇路程÷速度和速度和＝相遇路程÷相遇时间 16、浓度问题溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度溶液的重量×浓度＝溶质的重量溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 17、利润与折扣问题利润＝售出价－成本利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比

人教版小学数学知识点梳理

人教版小学数学知识点梳理板块一：数与代数知识框架数的认识加减法数乘除法与数的运算代数解决问题式与方程常见的量比和比例数学思考：找规律和数学广角

数与代数具体内容： 1.1数的认识：整数： 1.1—20的认识一年级上 2.100以内数的认识（读和写都从高位起）一年级下 3.万以内数的认识：认识计数单位“千”及相邻计数的进率；10000以内数的读、写和组成大小比较；中间、末尾有0的万以内数的读、写；近似数的含义及应用。读法：从高位读起，千位上是几就读几千，中间有一个或两个零只读一个零，末位的零不读。二年级下 4.大数的认识：亿以内数的认识：数位顺序读写比较；十进制计数法：每相邻的两个计数单位之间的进率都是十的的计数方法。省略尾数求近似数。四年级上分数： 1.分数的初步认识：认识几分之一；比较同分母分数的大小；同分母分数的简单加减法。三年级上 2.分数的再认识：五年级下 1.分数的意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。 2.分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数，叫做分数单位 3.分数和除法的联系：分数的分子就是除法中的被除数，分母就是除法中的除数。 4.分数和小数的联系：小数实际上就是分母是10、100、1000……的分数。 5.分数和比的联系：分数的分子就是比的前项，分数的分母就是比的后项。 6、分数的分类：分数可以分为真分数和假分数。真分数：分子小于分母的分数叫做真分数。真分数小于1。

假分数：分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或者等于1。把假分数写成整数部分和真分数的形式就是带分数。 7.最简分数：分子与分母互质的分数叫做最简分数。 8、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（零除外），分数的大小不变。 9、用分数的基本性通分约分：最简分数的概念：分子分母的公因数只有1 约分的概念：把一个分数化成和它相等，但分子分母都比较小的分数。（约分用最大公因数）通分的概念：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数。（通分用最小公倍数） 10.比较同分母或同分子的大小 11.公因数、公倍数：几个数公有的因数，叫做这几个数的因数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。 12.分数和小数的互化 13．互质数：公因数只有1的两个数叫做互质数。百分数： 1.表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。百分数也叫做百分率或者百分比。百分数通常用“%”来表示 2.百分数的意义和读写；百分数、小数、分数的转化。 3.求常见的百分率；求一个数比另一个数多（少）百分之几求一个数比另一个数多（少）百分之几的数是多少；有关折扣的实际问题；有关纳税的实际问题；有关利率比例的意义；六年级上

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