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清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权

()x x x ρ=

-****0123(),(),(),()T x T x T x T x .

证明：

**2

*20

1**20

()()()(21)(21)211()()()()()211()22

()()1()1()()()()()1n

n m n

n m n m n n

n m x T x T x dx x T x dx

x x

t x x T x T x dx t T t dt t t t T t dt

T x x

x T

x T x dx t T t t ρρρ---=---=-=++-=

--=

-????

?令，则

由切比雪夫多项式1

01=02

m n dt m n m n ππ

≠???

=≠??==???

所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权2

()x x x

ρ=

*00*11*

2*33233()(21)1()(21)21

()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181

T x T x T x T x x T x T x x x x

T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-

14.已知实验数据如下：

i x 19 25 31 38 44 i y

19.0

32.3

49.0

73.3

97.8

用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差解：法方程为

22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ??????

=????

??????

?? 即

5327271.453277277699369321.5a b ??????=????????????

解得

0.972579

0.050035a b =??

拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差

0[]0.015023i i

i y a bx σ==--=∑

21.给出()ln f x x =的函数表如下：

0.4 0.5 0.6 0.7 ln x

-0.916291

-0.693147

-0.510826

-0.356675

用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =）解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有

100.60.5

0.693147

0.510826

0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52

j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑

所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--

2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===

由拉格朗日插值定理有

(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)

0.916291

0.6931470.510826

(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)

2.041150 4.0684752)().217097

()

j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以

2ln 0.54(0.54)0.615320

L ≈=-

误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-?

23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。

i x -0.3 -0.1 0.1 0.3 ()i f x

-0.20431

-0.08993

0.11007

0.39569

边界条件''(0.3)''(0.3)0s s -==

解：由剖分节点可知012

121211

0.2,,22h h h λλμμ======= 101221236[,,] 6.4215,6[,,] 6.4215d f x x x d f x x x ====

得到方程组

1212 6.421521 6.421522M M ?

??????=???????????????

解得12 2.5686M M == 注意到030M M ==

得到三次样条插值函数()s x

322322.1405 1.92645 1.0642150.000632,[0.3,0.1]1.28430.002773,[0.1,0.1]2.1405 1.926450.9357850.000632,[0.1,0.()3]x x x x x x x x x x x s x ++-∈--+-∈--?+∈=+-?

???

29.确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所

构造出的求积公式所具有的代数精度：（1）()()(0)()h

h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++?

解：取2()1,,f x x x =，有

21h

h h dx A B C -=≈++?

xdx Ah Ch -=

=-+?

22223h

h x dx Ah Ch -==+? 解以上方程，得1

4,33

A C h

B h ===

求积公式为141()()(0)()333

h f x dx hf h hf hf h -≈-++?

取3

()f x x =，30,()(0)()0h

x dx Af h Bf Cf h -=-++=?

取4()f x x =，

4544542112,()05333

()(0)()

x dx h h h B h h h x dx Af h Bf Cf h --=

-+?+?=≠-++?

?所以

因此构造的求积公式代数精度为3

30.证明求积公式

133()[5()8(0)5()]955f x dx f f f -≈-++? 的代数精度为5 证明：取()i f x x =

则对0i ≥任意的，有1

11+11-1110,11(1)()|=2

111

i i i

i i f x dx x dx x i i i i ++--?--?

===?++?+???为奇数

，为偶数 1

01121()133133133

[5()8(0)5()]=[5()5()]=[-5()5()]=09559559551331

0[5()8(0)5()]=[585]=295591331332

2[5()8(0)5()]=[55]=9559553134[5()895i f x f f f f f f f i f f f x dx

i f f f x dx

i f --++++=++++==++?+?==+??为奇数时，为奇函数

时，时，时，141161

31992

(0)5()]=[55]=5925255133127276

6[5()8(0)5()]=[55]=955912512525f f x dx

i f f f x dx

--+?+?==++?+?≠??时，

从而有62

68()0,05,()0725175

i E x i E x =≤≤=-=≠ 所以求积公式的代数精度为5 33.求1212,,,x x A A ,使公式1

11220()()()x A f x A f x x

≈+为高斯型求积公式解：构造区间[0,1]x

的二次正交多项式22()P x x ax b =++ 由2()P x 与1x 和正交，可得

2200220())253P x dx x ax b dx a b x x ==++=++

220

222

0()()753xP x dx x x ax b dx a b x x ==++=++

联立以上方程，可得6

3,7

a b =-= 所以2263()7

P x x x =-+

求2()P x 的零点即为高斯求积公式的节点

121

(326/5)0.11558711007

(326/5)0.7415557471

7x x =

-==+=

2100120

1211210

15()()()1 1.304290310

3615

()()()10.6957096903

36A x l x dx x dx x x x x A x l x dx x dx x x x x ρρ=====-=====-??

李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,* 57 1.0.x =? 解：* 1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。解：

*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q

清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法,Lanczos算法与MINRES算法)

高等数值计算实践题目一 1. 实践目的本次计算实践主要是在掌握共轭梯度法，Lanczos 算法与MINRES 算法的基础上，进一步探讨这3种算法的数值性质，主要研究特征值特征向量对算法收敛性的影响。 2. 实践过程（一）生成矩阵（1）作5个100阶对角阵i D 如下： 1D 对角元：1,1,...,20,1+0.1(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 2D 对角元：1,1,...,20,1+(-20),21,...,100j j d j d j j ==== 3D 对角元：,1,...,80,81,81,...,100j j d j j d j ==== 4D 对角元：,1,...,40,41,41,...,60,41+(60),61,...,100j j j d j j d j d j j =====-= 5D 对角元：,1,...,100j d j j == 记i D 的最大模特征值和最小模特征值分别为1i λ和i n λ，则i D 特征值分布有如下特点： 1D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较小， 2D 的特征值有较多接近于i n λ，并且1/i i n λλ较大， 3D 的特征值有较多接近于1i λ，并且1/i i n λλ较大， 4D 的特征值有较多接近于中间模特征值，并且1/i i n λλ较大， 5D 的特征值均匀分布，并且1/i i n λλ较大（2）随机生成10个100阶矩阵j M ： (100(100))j M fix rand = 并作它们的QR 分解，得j Q 和j R ，这样可得50个对称的矩阵T ij j i j A Q DQ =，其中i D 的对角元就是ij A 的特征值，若它们都大于0，则ij A 正定，j Q 的列就是相应的特征向量。结合（1）可知，ij A 都是对称正定阵。

数值分析作业答案

数值分析作业答案插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。（1）用单项式基底。（2）用Lagrange插值基底。（3）用Newton基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）用单项式基底设多项式为: ，所以：所以f(x)的二次插值多项式为：（2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为：由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有式中令得插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件知有二重零点xk和k+1。设确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可；当时，，构造关于变量t的函数显然有在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得而，将代入，得到推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有：确定误差限：记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有而最值进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。

数值分析第一次作业及参考答案

数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表：（3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及

(3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位）解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++-

数值分析作业答案part

6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。解雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 ||

清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验

高等数值分析第二次实验作业

T1.构造例子特征值全部在右半平面时, 观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态, 和相应重新启动算法的收敛性. Answer: （1）构造特征值均在右半平面的矩阵A ：根据实Schur 分解，构造对角矩阵D 由n 个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特征值i i i αβ± i i i i i S αββα-?? = ??? 这样D=diag(S 1,S 2,S 3……S n )矩阵的特征值均分布在右半平面。生成矩阵A=U T AU ，其中U 为正交阵，则A 矩阵的特征值也均在右半平面。不妨构造A 如下所示： 2211112222 /2/2/2/2N N A n n n n ?-?? ? ? ?- ? = ? ? ? - ? ?? ? 由于选择初值与右端项：x0=zeros(2*N,1);b=ones(2*N,1); 则生成矩阵A 的过程代码如下所示： N=500 %生成A 为2N 阶 A=zeros(2*N); for a=1:N A(2*a-1,2*a-1)=a; A(2*a-1,2*a)=-a; A(2*a,2*a-1)=a; A(2*a,2*a)=a; end U = orth(rand(2*N,2*N)); A1 = U'*A*U; （2）观察基本的Arnoldi 和GMRES 方法编写基本的Arnoldi 函数与基本GMRES 函数，具体代码见附录。 function [x,rm,flag]=Arnoldi(A,b,x0,tol,m) function [x,rm,flag]=GMRES(A,b,x0,tol,m) 输入:A 为方程组系数矩阵，b 为右端项，x0为初值，tol 为停机准则，m 为人为限制的最大步数。输出:x 为方程的解，rm 为残差向量，flag 为解是否收敛的标志。外程序如下所示： e=1e-6; m=700;

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

第7章复习与思考题

求f (X )= 0的零点就等价于求(x )的不动点，选择一个初始近似值X 0，将它代入X =「(X ) 的右端，可求得 X 1 h%X °)，如此反复迭代有 X k 1 二(X k ), k =0,1,2,..., (X)称为迭代函数，如果对任何 X 。? [a,b]，由x k 卜h%x k ),k =0,1,2,...得到的序列〈X k 1有极限则称迭代方程收敛，且X* =?(x*)为?(X )的不动点故称 X k q 二(X k ), k =0,1,2,...为不动点迭代法。 5?什么是迭代法的收敛阶？如何衡量迭代法收敛的快慢？如何确定 X k 1 二「(X k )(k =0,1,2,...)的收敛阶 P219 设迭代过程X k 1'h%X k )收敛于 (X)的根X*，如果当k > 时，迭代误差 e k = x k - x *满足渐近关系式 —t C,C =const 式 0 e/ 则称该迭代过程是 p 阶收敛的，特别点，当 p=1时称为线性收敛，P>1时称为超线性收敛， p=2时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。 6?什么是求解f(x)=0的牛顿法？它是否总是收敛的？若 f(X*) =0，X*是单根，f 是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法: 当| f (X k )卜J 时收敛。 7?什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用 2点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618小于牛顿法2 计算量弦截法 <牛顿法(减少了倒数的计算量) 8?什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？ P229 X - m X k 1 =X k f (X k ) f (X k )

数值分析作业答案(第5章)

5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。证明由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=，其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。又由A L A a a T 121110=????? ?，其中

??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ，可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定

清华大学高等数值计算(李津)实践题目二(SVD计算及图像压缩)(包含matlab代码)

第1部分方法介绍奇异值分解（SVD ）定理：设m n A R ?∈，则存在正交矩阵m m V R ?∈和n n U R ?∈，使得 T O A V U O O ∑??=?? ?? 其中12(,, ,)r diag σσσ∑=，而且120r σσσ≥≥≥>，(1,2, ,)i i r σ=称为A 的奇异值，V 的第i 列称为A 的左奇异向量，U 的第i 列称为A 的右奇异向量。注：不失一般性，可以假设m n ≥，（对于m n <的情况，可以先对A 转置，然后进行SVD 分解，最后对所得的SVD 分解式进行转置，就可以得到原来的SVD 分解式）方法1：传统的SVD 算法主要思想：设()m n A R m n ?∈≥，先将A 二对角化，即构造正交矩阵1U 和1V 使得 110T B n U AV m n ?? =?? -?? 其中1200n n B δγγδ??? ???=?????? 然后，对三角矩阵T T B B =进行带Wilkinson 位移的对称QR 迭代得到:T B P BQ =。当某个0i γ=时，B 具有形状12B O B O B ?? =? ??? ，此时可以将B 的奇异值问题分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题；而当某个0i δ=时，可以适当选取'Given s 变换，使得第i 行元素全为零的二对角阵，因此，此时也可以将B 约化为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。在实际计算时，当i B δε∞≤或者() 1j j j γεδδ-≤+（这里ε是一个略大于机器精度的正数）时，就将i δ或者i γ视作零，就可以将B 分解为两个低阶二对角阵的奇异值分解问题。

数值分析作业答案.doc

第2章插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。（1）用单项式基底。（2）用Lagrange 插值基底。（3）用Newton 基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）用单项式基底设多项式为:2 210)(x a x a a x P ++=，所以：64 211111 1111122 2 211 200 -=-==x x x x x x A 3 76144 211111114241 13110111)() ()(22 221120 022 2 22 11 120 00-=-= ---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2 3694211111114411 31101111)(1)(1 )(122 221120 02 2 22112 001=--= --==x x x x x x x x f x x f x x f a 6 5654 2 1 1111114 2 1 3 11011111) (1)(1)(122 2 21120 022 11 00 2=--= ---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：26 52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底 )21)(11() 2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l )21)(11() 2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l ) 12)(12() 1)(1())(())(()(1202102+-+-=----= x x x x x x x x x x x l

清华大学高等数值分析作业李津1——矩阵基础

20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，1 11n n T n ij i j j i j L I e e α-==+??=- ??? ∑∑ 证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。对矩阵A 进行LU 分解，()() () ()()1 11 1111L M n M M M n ---=-=??-………… ，其中()1n T n ij i j i j M j I e e α=+??=+ ??? ∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。 ()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n T n ij i j i j I e e α=+??- ???∑。故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+?? ??=- ? ? ????? ∏∑ 上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故 11n n T n ij i j j i j L I e e α==+??=- ??? ∑∑。数学证明：1n T ij i j i j e e α=+?? ???∑具有 ,0 00n j j A -?? ??? 和1,1000n j n j B -+-+?? ?? ? 的形式，且有 +1,-11,10000=000n j j n j n j A B --+-+???? ?????? ? 而1 1n n T ij i j j k i j e e α-==+?? ??? ∑∑具有1,1000n k n k B -+-+?? ???的形式，因此： 1 311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+??????????????=---?? ? ? ? ? ? ? ? ???????????????????????=-- ? ? ?????∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T T k n ik i k k k i k e I e e α--===+????=- ?? ?????? ∑∑∑#

数值分析作业答案

第2章插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。（1）用单项式基底。（2）用Lagrange 插值基底。（3）用Newton 基底。证明三种方法得到的多项式是相同的。解：（1）用单项式基底设多项式为:2 210)(x a x a a x P ++=，所以：64 211111 1111122 2 211 200 -=-==x x x x x x A 所以f(x)的二次插值多项式为： 2 6 52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底 Lagrange 插值多项式为：所以f(x)的二次插值多项式为：226 52337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下： Newton 所以f(x)的二次插值多项式为：2 2 6 52337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有式中.,11h x x h x x i i +=-=+- 令 634103 9-≤h e 得00658.0≤h 插值点个数

是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710Λf 及]2,,2,2[810Λf 。解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系：所以有：1! 7! 7!7)(]2,,2,2[)7(7 1 === ξf f Λ 15、证明两点三次Hermite 插值余项是并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。设确定函数k(x): 当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可；当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数显然有在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈， ),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ代入，得到推导过程表明ξ依赖于1,+k k x x 及x 综合以上过程有：!4/)())(()(212)4(3+--=k k x x x x f x R ξ 确定误差限：记)(x I h 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。 n a b h n k kh a x k -==+=),,1,0(,Λ 在区间[x k ，x k+1]上有而最值)(,16 1)1(max )()(max 4 4221 02121 sh x x h h s s x x x x k s k k x x x l k +== -=--≤≤+≤≤+ 进而得误差估计：)(max 3841)()()4(4 x f h x I x f b x a h ≤≤≤ - 16、求一个次数不高于4次的多项式)(x p ，使它满足0)0()0(='=p p ，

清华大学杨顶辉数值分析第5次作业答案

2．定义映射22:B R R →，()B x y =，满足y Ax =，其中 0.80.40.10.4A ??=????，2,x y R ∈ 则对任意的2 ,u v R ∈ 1111119 ||()()||||||||()||||||||||||||10B u B v Au Av A u v A u v u v -=-=-≤-=- 故映射B 对一范数是压缩的由范数定义 ||||1 ||||max |||| 1.2 x A Ax ∞∞∞===，知必然存在0 x ， 0||||1 x ∞= 使得0|||||||| 1.2 Ax A ∞∞== 设012(,)T x x x = 取 12(,0),(0,)T T u x v x ==-，则 u v x -=，有 00||()()||||||||()|||||||||| 1.21||||||||B u B v Au Av A u v Ax A x u v ∞∞∞∞∞∞∞ -=-=-===>==- 故有||()()||B u B v ∞->||||u v ∞ -，从而映射B 对无穷范数不是压缩的 4. 证明：对任意的,[,]x y a b ∈ 由拉格朗日中值定理，有 ()()'()()() 1e G x G y G x y x y e ξ ξξ-=-=-+ 其中0111b b e e e e ξξ<≤<++ 所以 |()()||()||| 11b b e e G x G y x y x y e e ξξ-=-≤-++ 故G 为[,]a b 上的压缩映射而 ()ln(1)ln x x G x e e x =+>= 即()G x x =无根

数值分析习题集和答案

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y . 27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足

清华大学高等数值分析实验设计及答案

高等数值分析实验一工物研13 成彬彬2004310559 一．用CG，Lanczos和MINRES方法求解大型稀疏对称正定矩阵Ax=b 作实验中，A是利用A= sprandsym(S,[],rc,3)随机生成的一个对称正定阵，S是1043阶的一个稀疏阵 A= sprandsym(S,[],0.01,3); 检验所生成的矩阵A的特征如下： rank(A-A')=0 %即A=A’，A是对称的； rank(A)=1043 %A满秩 cond(A)= 28.5908 %A是一个“好”阵 1．CG方法利用CG方法解上面的线性方程组 [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,1043); 结果如下： Iter=35，表示在35步时已经收敛到接近真实x relres= norm(b-A*x)/norm(b)= 5.8907e-007为最终相对残差绘出A的特征值分布图和收敛曲线： S=svd(A); %绘制特征值分布 subplot(211) plot(S); title('Distribution of A''s singular values');; xlabel('n') ylabel('singular values') subplot(212); %绘制收敛曲线 semilogy(0:iter,resvec/norm(b),'-o'); title('Convergence curve'); xlabel('iteration number'); ylabel('relative residual'); 得到如下图象：

为了观察CG方法的收敛速度和A的特征值分布的关系，需要改变A的特征值： (1).研究A的最大最小特征值的变化对收敛速度的影响在A的构造过程中，通过改变A= sprandsym(S,[],rc,3)中的参数rc(1/rc为A的条件数)，可以达到改变A的特征值分布的目的：通过改变rc=0.1，0.0001得到如下两幅图以上三种情况下，由收敛定理2.2.2计算得到的至多叠代次数分别为：48，14和486，由于上实验结果可以看出实际叠代次数都比上限值要小较多。由以上三图比较可以看出，A的条件数越大，即A的最大最小特征值的差别越大，叠代所需要的步骤就越多，收敛越慢。 (2)研究A的中间特征值的分布对于收敛特性的影响：为了研究A的中间特征值的分布对收敛速度的影响，进行了如下实验：固定A的条件数，即给定A的最大最小特征值，改变中间特征值得分布，再来生成A，具体的实现方法是，先将原来的生成A进行特征值分解： [U,S]=svd(A);

数值分析作业答案(第5章)part2

.证明： (1).如果A 是对称正定矩阵，则1-A 也是对称正定矩阵 (2).如果A 是对称正定矩阵，则A 可以唯一地写成L L A T =，其中L 是具有正对角元的下三角矩阵。证明： (1).因A 是对称正定矩阵，故其特征值i λ皆大于0，因此1-A 的特征值1 -i λ也皆大于0。因此1 -i λ也皆大于0，故A 是可逆的。又 111)()(---==A A A T T 则1-A 也是对称正定矩阵。 (2).由A 是对称正定，故它的所有顺序主子阵均不为零，从而有唯一的杜利特尔分解 U L A ~ =。又 022211111 12 22 11111DU u u u u u u u u u U n n nn =?? ?????? ??????????=????????? ?? ?= 其中D 为对角矩阵，0U 为上三角矩阵，于是 0~ ~DU L U L A == 由A 的对称性，得 ~ T T T L D U A A == 由分解的唯一性得 ~ L U T = 从而 ~~ T L D L A = 由A 的对称正定性，如果设),,2,1(n i D i =表示A 的各阶顺序主子式，则有 011>=D d ，01 >= -i i i D D d ，n i ,,3,2 =

故 2 12 1 2 12 121D D d d d d d d d d d D n n n =?????? ? ?????? ?????????? ?????=????????????= 因此 T T T LL D L D L L D D L A ===)(21~ 2 1~ ~2 121~ ，其中2 1~ D L L =为对角元素为正的下三角矩阵。 .用列主元消去法解线性方程组 ??? ??=++-=-+-=+-6 1531815331232 1321321x x x x x x x x x 并求出系数矩阵A 的行列式(即A det )的值。解 ?? ?? ??????----?→?-=???? ??????----?→??? ??? ?????----??→?- =-=?113/110053/7101513 186 76/3118/176/7053/7101513 186111153312151318)(323 2 18 1 21312 1m b A m m r r 所以解为33=x ，22=x ，11=x ，66det -=A 。

清华大学高等数值分析第一次实验作业

高等数值分析第二次作业第四题姓名：---- 学号：------- 时间：11月20日 1、构造例子说明 CG 的数值性态. 当步数 = 阶数时 CG 的解如何? 当 A 的最大特征值远大于第二个最大特征值, 最小特征值远小于第二个最小特征值时方法的收敛性如何? 答：1）构造矩阵如下首先，构造一个非常病态的矩阵。构造矩阵的条件数K(A)为1015，可以得到收敛曲线如下图所示 010******* 400500600 7008009001000 10 -10 10-8 10-6 10-4 10-2 10 102 104 106 算法的收敛曲线 (阶数n=1002) 迭代次数 ||r k ||/||b || 第二种方法构造矩阵（良态）：条件数不大的矩阵也能够使迭代步数大于等于矩阵阶数，构造一个良态的矩阵如下：使其特征值为等比数列，即 1000 510 i i =λ 由此得到的矩阵A 最大特征值为105，最小为1，的条件数是105，特征值分布如下图

10 10 1 10 2 103 10 4 10 5 10 6 A 的特征值分布情况特征值收敛曲线如下图，发现使用CG 法仍然可以收敛，但是收敛速度非常缓慢，即使到1000步也难以达到理想的残差，说明即使问题的条件数较小，即良态的，CG 方法也可能收敛非常慢。 0200400 60080010001200 10 -3 10 -2 10 -1 10 10 1 算法的收敛曲线 (阶数n=1001) 迭代次数 ||r k ||/||b || 从上面的结果中可以看出，当矩阵的迭代步数等于阶数时 a. 往往收敛曲线不平滑，震荡非常严重，残差的2范数没有最优性； b. 但是方法的相对残差大体上仍然具有下降趋势，最终仍然能够收敛。矩阵的病态性延迟了方法的收敛。 c. 条件数较小的矩阵也会出现收敛缓慢的现象，这与特征值的分布有关。 2）构造矩阵1002阶的A ，其中，A 的最大的特征值为109，最小特征值为1，其具有如下的特征值分布

数值分析报告 (李庆扬版)

《数值分析》作业学院：机械学院专业：机械工程姓名：赵博学号：2014520024 日期：2015年6月29日

第二章作业问：用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。答：VB程序如下： Option Explicit Sub czfl(ByRef x() As Single, y() As Single, n As Integer, x1 As Double, f As Double) Dim i, j As Integer Dim p As Single Dim appexcel As Object Dim wbmybook As Object Dim wsmysheet As Object Set appexcel = CreateObject("excel.application") Set wbmybook = appexcel.workbooks.Add Set wsmysheet = appexcel.worksheets.Add f = 0 For i = 0 To n p = 1 For j = 0 To n If i <> j Then p = p * (x1 - x(j)) / (x(i) - x(j)) End If Next j wsmysheet.cells(i + 1, 1) = Str(p) wsmysheet.cells(i + 1, 2) = Str(p * y(i)) f = f + p * y(i) Next i wsmysheet.cells(n + 1, 3) = "最终结果" + Str(f) appexcel.Visible = True End Sub Private Sub Command1_Click(Index As Integer) Dim x() As Single

清华大学杨顶辉数值分析第6次作业

李庆扬数值分析第五版习题复习资料清华大学出版社

清华大学高等数值计算(李津)实践题目一(共轭梯度CG法,Lanczos算法与MINRES算法)

数值分析作业答案

数值分析第一次作业及参考答案

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清华大学贾仲孝老师高等数值分析报告第二次实验

李庆扬-数值分析第五版第7章习题答案(0824)汇编

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数值分析作业答案(第5章)

清华大学高等数值计算(李津)实践题目二(SVD计算及图像压缩)(包含matlab代码)

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