2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学
(全卷满分160分,考试时间120分钟)
棱锥的体积1
3
V Sh =,其中S 为底面积,h 为高.
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上........
. 1.(2012年江苏省5分)已知集合{124}A =,
,,{246}B =,,,则A B = ▲ . 【答案】{}1,2,4,6。 【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B = 。
2.(2012年江苏省5分)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校
高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 ▲ 名学生. 【答案】15。 【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层,再在各层内随机抽样或机械抽样,分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起,分组减小了各抽样层变异性的影响,抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此,
由3
50=15334
?++知应从高二年级抽取15名学生。
3.(2012年江苏省5分)设a b ∈R ,,117i
i 12i
a b -+=
-(i 为虚数单位),则a b +的值为 ▲ . 【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。 【分析】由117i
i 12i
a b -+=
-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++,所以
=5=3a b ,,=8a b + 。
4.(2012年江苏省5分)下图是一个算法流程图,则输出的k 的值是 ▲ .
【答案】5。 【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:
是否继续循环
k 2k 5k 4-+
循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 -2 第三圈 是 3 -2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈
否
输出5
∴最终输出结果k=5。
5.(2012年江苏省5分)函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ .
【答案】(
0。
【考点】函数的定义域,二次根式和对数函数有意义的条件,解对数不等式。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得
1266000112log 0log 620
?????
?????
。 6.(2012年江苏省5分)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,3-为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是 ▲ . 【答案】
3
5
。 【考点】等比数列,概率。
【解析】∵以1为首项,3-为公比的等比数列的10个数为1,-3,9,-27,···其中有5个负数,1个正数1计6个数小于8,
∴从这10个数中随机抽取一个数,它小于8的概率是
63
=105
。 7.(2012年江苏省5分)如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,3cm AB AD ==,12cm AA =,则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3.
【答案】6。
【考点】正方形的性质,棱锥的体积。
【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形,∴△ABD 中BD cm ,BD (它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高)。
∴四棱锥11A BB D D -的体积为123
?。由
8.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线
22
214
x y m m -=+则m 的值为 ▲ . 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由
22
214
x y m m -=+得a b c
∴=c e a 244=0m m -+,解得=2m 。
9.(2012年江苏省5分)如图,在矩形ABCD 中,2AB BC =,点E 为BC 的中点,
点F 在边CD 上,若AB AF AE BF
的值是 ▲ .
。
【考点】向量的计算,矩形的性质,三角形外角性质,和的余弦公式,锐角三角函数定义。
【解析】
由AB AF
cos AB AF FAB ∠=
cos =AF FAB DF ∠
。
∵AB =
DF =1DF =
。∴1CF =。
记AE BF
和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=,,则θαβ=+。
又∵2BC =,点E 为BC 的中点,∴1BE =。
∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-
)
=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=?
。
本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解。
10.(2012年江苏省5分)设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-,
上, 0111()201
x x ax f x bx x <+-??
=+??+?≤≤≤,
,,,其中a b ∈R ,
.若1322f f ????
= ? ?????
, 则3a b +的值为 ▲ . 【答案】10-。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,∴()()11f f -=,即2
1=
2
b a +-+①。
又∵311=1222f f a ????
=--+ ? ?????
,
1322f f ????
= ? ?????
, ∴1
4
1=
23
b a +-+②。 联立①②,解得,=2. =4a b -。∴3=10a b +-。
11.(2012年江苏省5分)设α为锐角,若4cos 65απ?
?+= ??
?,则)122sin(π+a 的值为 ▲ .
【考点】同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数。 【解析】∵α为锐角,即02
<<
π
α,∴
2=
6
6
2
6
3
<<
π
π
π
π
πα+
+
。 ∵4cos 65απ??+= ???,∴3sin 65απ?
?+= ??
?。
∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ?????
?+=++ ? ? ??????
? 。
∴7cos 2325απ?
?+= ???
。
∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12
343434a a a a π
π
πππππ???
?+
+
-+-+ ? ????
?
247
=
2525- 12.(2012年江苏省5分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若
直线2y kx =-
上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 ▲ . 【答案】
4
3
。 【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离
【解析】∵圆C 的方程可化为:()2
241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1。
∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点;
∴存在0x R ∈,使得11AC ≤+成立,即min 2AC ≤。 ∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-
的距离
,∴
2≤,解得
403
k ≤≤
。 ∴k 的最大值是
43
。 13.(2012年江苏省5分)已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ,的值域为[0)+∞,
,若关于x 的不等式
()f x c <的解集为(6)m m +,,则实数c 的值为 ▲ .
【答案】9。
【考点】函数的值域,不等式的解集。
【解析】由值域为[0)+∞,,当2
=0x ax b ++时有2
40a b =-=V ,即2
4
a b =,
∴2
22
2
()42a a f x x ax b x ax x ??=++=++
=+ ???
。 ∴2
()2a f x x c ?
?=+< ??
?
解得2a x +<
,22a a x <。
∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +,
,∴)()622
a
a -=,解得9c =。
14.(2012年江苏省5分)已知正数a b c ,
,满足:4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,,则b
a
的取值范围是 ▲ . 【答案】[] 7e ,。 【考点】可行域。
【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥,
可化为:354a c a b
c c a b
c c
b e c
??+≥???+≤????≥?。
设
==a b
x y c c
,,则题目转化为: 已知x y ,满足35
4
00x
x y x y y e
x >y >+≥??+≤?
?≥???
,,求y x 的取值范围。 作出(x y ,)所在平面区域(如图)。求出=x y e 的切 线的斜率e ,设过切点()00P x y ,的切线为()=0y ex m m +≥, 则
00000
==y ex m m
e x x x ++,要使它最小,须=0m 。 ∴
y
x
的最小值在()00P x y ,处,为e 。此时,点()00P x y ,在=x y e 上,A B 之间。 当(x y ,)对应点C 时, =45=205=7=7=534=2012y x y x y
y x y x y x
x --??????
?--??, ∴y
x
的最大值在C 处,为7。 ∴
y
x
的取值范围为[] 7e ,,即b a 的取值范围是[] 7e ,。
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......
内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.
15.(2012年江苏省14分)在ABC ?中,已知3AB AC BA BC =
. (1)求证:tan 3tan B A =;
(2
)若cos C =求A 的值. 【答案】解:(1)∵3AB AC BA BC =
,∴cos =3cos AB AC A BA BC B ,即
c o s =3c o s A C A B C B 。
由正弦定理,得=
sin sin AC BC
B A
,∴sin cos =3sin cos B A A B 。 又∵0B >,。∴sin sin =3cos cos B A
B A
即tan 3tan B A =。
(2)∵
cos 0C ,∴sin C =。∴tan 2C =。 ∴()tan 2A B π?-+?=??,即()tan 2A B +=-。∴tan tan 21tan tan A B A B +=-- 。 由 (1) ,得2 4tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -,。 ∵cos 0A >,∴tan =1A 。∴= 4 A π 。 【考点】平面微量的数量积,三角函数的基本关系式,两角和的正切公式,解三角形。 【解析】(1)先将3AB AC BA BC = 表示成数量积,再根据正弦定理和同角三角函数关系 式证明。 (2)由cos C = 可求tan C ,由三角形三角关系,得到()tan A B π?-+???,从而根据两角和的正切公式和(1)的结论即可求得A 的值。 16.(2012年江苏省14分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,1111AB AC =,D E , 分别是棱1BC CC ,上的点(点D 不同于点C ),且AD DE F ⊥, 为11B C 的中点. 求证:(1)平面ADE ⊥平面11BCC B ; (2)直线1//A F 平面ADE . 【答案】证明:(1)∵111ABC A B C -是直三棱柱,∴1CC ⊥平面ABC 。 又∵AD ?平面ABC ,∴1CC AD ⊥。 又∵1AD DE CC DE ⊥?, ,平面111BCC B CC DE E = ,,∴AD ⊥平面11BCC B 。(lb ylfx ) 又∵AD ?平面ADE ,∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。 (2)∵1111A B AC =,F 为11B C 的中点,∴111A F B C ⊥。 又∵1CC ⊥平面111A B C ,且1A F ?平面111A B C ,∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ?,平面11BCC B ,1111CC B C C = ,∴1A F ⊥平面111A B C 。 由(1)知,AD ⊥平面11BCC B ,∴1A F ∥AD 。 又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ,∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】(1)要证平面ADE ⊥平面11BCC B ,只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可。它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD D E ⊥证得。 (2)要证直线1//A F 平面ADE ,只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可。 17.(2012年江苏省14分)如图,建立平面直角坐标系xoy ,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 221 (1)(0)20 y kx k x k =- +>表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,试问它的横坐标a 不 超过多少时, 炮弹可以击中它?请说明理由. 【答案】解:(1)在221(1)(0)20y kx k x k =- +>中,令0y =,得221 (1)=020 kx k x -+。 由实际意义和题设条件知00x >k >,。 ∴2202020= ==10112 k x k k k ≤++,当且仅当=1k 时取等号。 ∴炮的最大射程是10千米。 (2)∵0a >,∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >,使221 (1)=3.220 ka k a -+成立, 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根。 由()() 2 22=204640a a a ?--+≥得6a ≤。 此时,0k (不考虑另一根) 。 ∴当a 不超过6千米时,炮弹可以击中目标。 【考点】函数、方程和基本不等式的应用。 【解析】(1)求炮的最大射程即求221 (1)(0)20 y kx k x k =-+>与x 轴的横坐标,求出后应用基本不等式求解。 (2)求炮弹击中目标时的横坐标的最大值,由一元二次方程根的判别式求解。 18.(2012年江苏省16分)若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点。 已知a b ,是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值; (2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点; (3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-, ,求函数()y h x =的零点个数. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点, ∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0,。 (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- , ∴()()2 3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -,。 ∵当2x <-时,()0g x <';当21 ∵当21 (3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-。 先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈- 当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ,注意 到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。 当 2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----, (1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根。 由(1)知()()()=311f'x x x +-。 ① 当()2x ∈+∞,时,()0f 'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而 ()(2)=2f x >f 。 此时()=f x d 在()2+∞,无实根。 ② 当()1 2x ∈,时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数。 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根。 ③ 当()1 1x ∈-,时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数。 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根。 因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ,满足12=1 =2x x ,;当 2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ,,,满足2 =3, 4, 5i x 现考虑函数()y h x =的零点: ( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ,,满足12==2t t 1,。 而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个 零点。 ( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ,,,满足 2 =3, 4 , 5i t 综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数() y h x =有9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。 (2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点。 19.(2012年江苏省16分)如图,在平面直角坐标系xoy 中,椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、 右焦点分别为1(0)F c -,,2(0)F c , .已知(1)e ,和e ? ?? 都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点,且直线1AF 与直线2BF 平行,2AF 与1BF 交于点P . (i )若12AF BF -= ,求直线1AF 的斜率; (ii )求证:12PF PF +是定值. 【答案】解:(1)由题设知,222== c a b c e a +,,由点(1)e , 在椭圆上,得 222222222222 2 2 22 111=1===1 e c b c a b a a b b a b a a b + =? + ?+??, ∴22=1c a -。 由点e ? ?? 在椭圆上,得 2 2 2224222244 1311144=0=214e c a a a a a b a a -????+=?+=?+=?-+? ∴椭圆的方程为2 212 x y +=。 (2)由(1)得1(10)F -,,2(10)F , ,又∵1AF ∥2BF , ∴设 1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-,, ()()11221200A x y B x y y >y >,,,,,。 ∴( ) 2 2122 111111 1221=022=1 x y m y my y m my x ?+=??+--??+?+?。 ∴ )21212 m AF m +++。① 同理,)222 12 m BF m +-+。② (i )由①②得,12AF BF -= 得2 m =2。 ∵注意到0m >,∴m 。 ∴直线1 AF 的斜率为 1m 。 (ii )证明:∵ 1AF ∥2 BF ,∴ 2 11 BF PB PF AF =,即 212 1 1111 11BF PB PF BF AF PB PF AF PF AF +++=+?=。 ∴1 1112 = AF PF BF AF BF +。 由点B 在椭圆上知,12BF BF += () 1 1212 =AF PF BF AF BF +。 同理。() 2 2112 =BF PF AF AF BF +。 ∴( )( ) 122 1221121212 2+= AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++ 由①②得,)212 1=2 m AF BF m +++,2 2 1 =2 m AF BF m ++ , ∴12+PF PF ∴12PF PF +是定值。 【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。 【解析】(1)根据椭圆的性质和已知(1)e , 和e ? ?? 都在椭圆上列式求解。 (2 )根据已知条件12AF BF -= ,用待定系数法求解。 20.(2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足: 2 2 1n n n n n b a b a a ++= +,*N n ∈, (1)设n n n a b b +=+11 ,*N n ∈,求证:数列2 n n b a ???? ?? ?? ? ?? ???? 是等差数列; (2)设n n n a b b ? = +21,*N n ∈,且{}n a 是等比数列,求1a 和1b 的值. 【答案】解:(1)∵n n n a b b + =+11 ,∴1n a += ∴ 1 1n n b a ++=。∴ ()2 2 2 2111*n n n n n n b b b n N a a a ++??????-=-=∈ ? ? ??????? 。 ∴数列2 n n b a ?????? ?? ??????? 是以1 为公差的等差数列。 (2)∵00 n n a >b >,,∴()()2 2 222 n n n n n n a b a b 则212= a a 1 log q n > 时,11n n a a q +=(﹡)矛盾。 若01, 1 log q n >a 时,111n n a a q <+=,与(﹡)矛盾。 ∴综上所述,=1q 。∴()1*n a a n N =∈a >q ,∴当1