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2019年北京市西城区高三理科数学期末试题及答案

高考数学精品复习资料

2019.5

北京市西城区20xx — 第一学期期末试卷

高三数学（理科） 20xx.1

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题

目要求的一项．

1．设集合{|1}A x x =>，集合{2}B a =+，若A B =?，则实数a 的取值范围是（）

（A ）(,1]-∞- （B ）(,1]-∞

（C ）[1,)-+∞

（D ）[1,)+∞

2. 下列函数中，值域为R 的偶函数是（）

（A ）21y x =+ （B ）e e x x y -=- （C ）lg ||y x = （D ）2y x =

3. 设命题p ：“若1sin 2

α=，则π6

α=”，命题q ：“若a b >，则

a b

<”，则（）（A ）“p q ∧”为真命题（B ）“p q ∨”为假命题（C ）“q ?”为假命题（D ）以上都不对

4. 在数列{}n a 中，“对任意的*n ∈N ，2

12n n n a a a ++=”是“数列

{}n a 为等比数列”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（）（A ）1623+ （B ）1625+ （C ）2023+ （D ）

2025+

侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

1 1

开始 4

x >输出y 结束

否是输入x

y=12

○

6. 设x ，y 满足约束条件1,3,,x y y m y x +-??

???

≤≤≥ 若3z x y =+的最大值与最小值的差为7，则实数m =（）

（A ）3

2 （B ）32- （C ）14

（D ）14-

7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

不超过4千米的里程收费12元;

超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；

当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.

相应系统收费的程序框图如图所示，其中x （单位：千米）为行驶里程，y （单位：元）为所收费用，用[x ]表示不大于x 的最大整数，则图中○

1处应填（）（A ）1

2[]42y x =-+ （B ）1

2[]52y x =-+

（C ）1

2[]42y x =++

（D ）1

2[]52

y x =++

8. 如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，且2DE AE =，2CF BF =.如果对于常数λ，在正方形ABCD 的四条边上，有且只有6个不同的点P 使得=PE PF λ?成立，那么λ的取值范围是（）（A ）(0,7) （B ）(4,7) （C ）(0,4)

E F

D P C A B

B O

C A N

（D ）(5,16)-

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知复数z 满足(1i)24i z +=-，那么z =____.

10．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若A B =，3a =，2c =，则cos C =____.

11．双曲线C ：22

1164

x y -=的渐近线方程为_____；设12,F F 为双曲线C 的左、右焦点，P 为C 上一

点，且1||4PF =，则2||PF =____.

12．如图，在ABC ?中，90ABC ∠=，3AB =，4BC =，点O 为BC 的中点，以BC 为直径的半圆与AC ，AO 分别相交于点M ，N ，则AN =____；

= ____.

13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带

队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）

14. 某食品的保鲜时间t （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系6

0,2

64, , 0.

kx x t x +?=?>?≤ 且

该食品在4C 的保鲜时间是16小时.

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论： ○

1 该食品在6C 的保鲜时间是8小时；

○

2 当[6,6]x ∈-时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少； ○

3 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ○

4 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间. 其中，所有正确结论的序号是____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数3

()cos (sin 3cos )2

f x x x x =+-

，x ∈R . （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）设0α>，若函数()()g x f x α=+为奇函数，求α的最小值.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：甲 6 6 9

乙

（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；

（Ⅱ）如果7x y ==，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x 的所有可能取值.（结论不要求证明）

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，135BCD ∠=，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=,2AB AC PA ===, ,E F 分别为,BC AD 的中点，点M 在线段PD 上.

（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAC ；

（Ⅱ）若M 为PD 的中点，求证：//ME 平面PAB ；

（Ⅲ）如果直线ME 与平面PBC 所成的角和直线

ME 与平面ABCD 所成的角相等，求

的值.

F C

B E

18．（本小题满分13分）

已知函数2

()1f x x =-，函数()2ln g x t x =，其中1t ≤．

（Ⅰ）如果函数()f x 与()g x 在1x =处的切线均为l ，求切线l 的方程及t 的值；（Ⅱ）如果曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点，求t 的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C :)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2

，点3(1,)2A 在椭圆C 上.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O 为圆心的圆，满足此圆与l 相交两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），且使得直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

在数字21,2,

,()n n ≥的任意一个排列A ：12,

,,n a a a 中，如果对于,,i j i j *∈，

那么就称(,)i j a a 为一个逆序对. 记排列A 中逆序对的个数为()S A .

如=4n 时，在排列B ：3, 2, 4, 1中，逆序对有(3,2)，(3,1)，(2,1)，(4,1)，则()4S B =.

（Ⅰ）设排列 C ： 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出()S C 的值；

（Ⅱ）对于数字1，2，，n 的一切排列A ，求所有()S A 的算术平均值；

（Ⅲ）如果把排列A ：12,,

,n a a a 中两个数字,()i j a a i j <交换位置，而其余数字的位置保持不变，

那么就得到一个新的排列A '：12,,

,n b b b ，求证：()()S A S A '+为奇数.

北京市西城区20xx — 第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

20xx.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A 2．C 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．13i -- 10．7

11．12

y x =±

12 12． 132- 916

13．54 14．○1 ○4 注：第11，12题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：3

()cos (sin 3cos )2

f x x x x =+- 23

sin cos (2cos 1)2x x x =+

sin 2cos 222x x =+ ………………4分

sin(2)3x =+，

………………6分

所以函数()f x 的最小正周期2π

=π2

T =

. ………………7分

由πππ

π2π+232

22x k k -+≤≤，k ∈Z ，

得5ππππ+1212

x k k -

≤≤，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ

ππ+]1212

[k k -,，k ∈Z . ………………9分（注：或者写成单调递增区间为5ππ

ππ+)1212

(k k -

,，k ∈Z . ）（Ⅱ）解：由题意，得π

()()sin(22)3

g x f x x αα=+=++，

因为函数()g x 为奇函数，且x ∈R ，

所以(0)0g =，即π

sin(2)03

α+=， ………………11分

所以π

2π3

k α+=，k ∈Z ，解得ππ

k α=

-，k ∈Z ，验证知其符合题意. 又因为0α>，所以α的最小值为

. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件A ， ………………1分由题意，得24

21()C 3P A =

=，所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为1

. ……4分

（Ⅱ）解：由题意，X 的所有可能取值为13，15，16，18， ………………5分

且3(13)8P X ==，1(15)8P X ==，3(16)8P X ==，1

(18)8

P X ==，………………7分

所以X 的分布列为：

X 13 15 16 18

8 18

38 18

……………… 8分所以3131

()13151618158888

E X =?+?+?+?=. ………………10分

（Ⅲ）解：x 的可能取值为6，7，8. ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在平行四边形ABCD 中，因为AB AC =，135BCD ∠=，所以AB AC ⊥.

由,E F 分别为,BC AD 的中点，得//EF AB ，

所以EF AC ⊥. ………………1分

因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，且90BAP ∠=，

所以PA ⊥底面ABCD . ………………2分

又因为EF ?底面ABCD ，

所以PA EF ⊥. ………………3分又因为PA

AC A =，PA ?平面PAC ，AC ?平面PAC ，

所以EF ⊥平面PAC . ………………4分（Ⅱ）证明：因为M 为PD 的中点，F 分别为AD 的中点，所以//MF PA ，

又因为MF ?平面PAB ，PA ?平面PAB ，所以//MF 平面PAB . ………………5分同理，得//EF 平面PAB . 又因为=MF

EF F ，MF ?平面MEF ，EF ?平面MEF ，

所以平面//MEF 平面PAB . ………………7分

又因为ME ?平面MEF ，

所以//ME 平面PAB . ………………9分

（Ⅲ）解：因为PA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，所以,,AP AB AC 两两垂直，故以,,AB AC AP 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如上图建立空间直角坐标系，

则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0),(1,1,0)A B C P D E -，

所以(2,0,2)PB =-，(2,2,2)PD =--，(2,2,0)BC =-， ………………10分设

([0,1])PM

λλ=∈，则(2,2,2)PM λλλ=--，所以(2,2,22)M λλλ--，(12,12,22)ME λλλ=+--，

易得平面ABCD 的法向量(0,0,1)=m . ………………11分设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0BC ?=n ，0PB ?=n ，得220,

220,

x y x z -+=??

-=? 令1x =, 得(1,1,1)=n . ………………12分

因为直线ME 与平面PBC 所成的角和此直线与平面ABCD 所成的角相等，

F C

B E

z y

所以|cos ,||cos ,|ME ME <>=<>m n ，即||||||||||||

ME ME ME ME ??=

??m n m n ， ………………13分所以 2|22|||3

λλ-=，解得332λ-=

，或33

λ+=（舍）. ………………14分

18.（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：求导，得()2f x x '=，2()t

g x x

，(0)x >． ………………2分由题意，得切线l 的斜率(1)(1)k f g ''==，即22k t ==，解得1t =． ……………3分又切点坐标为(1,0)，所以切线l 的方程为220x y --=． ………………4分（Ⅱ）解：设函数2()()()12ln h x f x g x x t x =-=--，(0,)x ∈+∞． ………………5分 “曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点”等价于“函数()y h x =有且仅有一个零点”．

求导，得2222()2t x t

h x x x x

-'=-=. ………………6分

① 当0t ≤时，

由(0,)x ∈+∞，得()0h x '>，所以()h x 在(0,)+∞单调递增．

又因为(1)0h =，所以()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………8分

② 当1t =时，

当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：

(0,1)

(1,)+∞

()h x '

0 +

()h x

↘

↗

所以()h x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，

所以当1x =时，min

()

(1)0h x h ==，

故()y h x =有且仅有一个零点1，符合题意． ………………10分

③ 当01t <<时，令()0h x '=，解得x t =．

当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：

(0,)t

(,)t +∞

()h x '

0 +

()h x

↘

↗

所以()h x 在(0,)t 上单调递减，在(,)t +∞上单调递增，所以当x t =时，min

()

()h x h t =． ………………11分

因为(1)0h =，1t <，且()h x 在(,)t +∞上单调递增，所以()(1)0h t h <=. 又因为存在12e

(0,1)t

-∈ ，111122()12ln 0t

h t -

-=--=>e

e e

e ，

所以存在0(0,1)x ∈使得0()0h x =，

所以函数()y h x =存在两个零点0x ，1，与题意不符.

综上，曲线()y f x =与()y g x =有且仅有一个公共点时，t 的范围是0{|t t ≤，或1}t =.

………………13分

19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，得32

c a =，222a b c =+， ………………2分又因为点3

(1,)2

A 在椭圆C 上，

所以221314a

+=， ………………3分

解得2a =，1b =，3c =，

所以椭圆C 的方程为14

=+y x . ………………5分

（Ⅱ）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为225x y +=. ………………6分证明如下：

假设存在符合条件的圆，并设此圆的方程为222(0)x y r r +=>.

当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为m kx y +=. ………………7分

由方程组22

,1,4

y kx m x y =+??

?+=?? 得0448)14(222=-+++m kmx x k ， ………………8分因为直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，

所以2221(8)4(41)(44)0km k m ?=-+-=，即2241m k =+. ………………9分

由方程组222

y kx m x y r =+??+=? 得2222(1)20k x kmx m r +++-=， ………………10分则22222(2)4(1)()0km k m r ?=-+->.

设111(,)P x y ，222(,)P x y ，则122

21km x x k -+=+，22

1221

m r x x k -?=+， ………………11分设直线1OP ，2OP

的斜率分别为1k ，2k ，所以22

1212121212121212

()()()y y kx m kx m k x x km x x m k k x x x x x x +++++=== 222

22222222222111

m r km k km m m r k k k m r m r k --?+?+-++==--+， ………………12分

将2

41m k =+代入上式，得221222(4)1

4(1)

r k k k k r -+?=+-.

要使得12k k 为定值，则22

41r r

-=-，即25r =，验证符合题意. 所以当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足12k k 为定值1

. ………………13分

当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±，此时，圆225x y +=与l 的交点12,P P 也满足12

k k =-. 综上，当圆的方程为225x y +=时，圆与l 的交点12,P P 满足斜率之积12k k 为定值14

-. ………………14分

20．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：()10S C =； ………………2分（Ⅱ）解：考察排列D ：

121,,,,n n d d d d -与排列1121,,

,,n n D d d d d -：，

因为数对(,)i j d d 与(,)j i d d 中必有一个为逆序对（其中1i j n <≤≤），且排列D 中数对(,)i j d d 共有2(1)

C 2

n n n -=个， ………………3分所以1(1)

()()2

n n S D S D -+=

. ………………5分所以排列D 与1D 的逆序对的个数的算术平均值为(1)

n n -. ………………6分而对于数字1，2，

，n 的任意一个排列A ：12,,,n a a a ，都可以构造排列A 1：

121,,,,n n a a a a -，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为

(1)

n n -. 所以所有()S A 的算术平均值为

(1)

n n -. ………………7分（Ⅲ）证明：○

1当1j i =+，即,i j a a 相邻时，不妨设1i i a a +<，则排列A '为12112,,,,,,,,i i i i n a a a a a a a -++，

此时排列A '与排列A ：12,,,n a a a 相比，仅多了一个逆序对1(,)i i a a +，

所以()()1S A S A '=+，

所以()()2()1S A S A S A '+=+为奇数. ………………10分 ○2当1j i ≠+，即,i j a a 不相邻时，

假设,i j a a 之间有m 个数字，记排列A ：1212,,,,,,,

,i m j n a a a k k k a a ，

先将i a 向右移动一个位置，得到排列A 1：12112,,,,,,,,,,,

,i i m j n a a a k a k k a a -，

由○1，知1()S A 与()S A 的奇偶性不同，再将i a 向右移动一个位置，得到排列A 2：121123,,,,,,,,

,,,

,i i m j n a a a k k a k k a a -，

由○1，知2()S A 与1()S A 的奇偶性不同，

以此类推，i a 共向右移动m 次，得到排列A m ：1212,,

,,,,,,,,m i j n a a k k k a a a ，再将j a 向左移动一个位置，得到排列A m +1：1211,,

,,,

,,,,

,i m j i n a a a k k a a a -，

以此类推，j a 共向左移动m +1次，得到排列A 2m +1：121,,,,,,,,

,j m i n a a a k k a a ，

即为排列A '，

由○1，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，

而排列A 经过21m +次的前后两数交换位置，可以得到排列A '，所以排列A 与排列A '的逆序数的奇偶性不同，所以()()S A S A '+为奇数.

综上，得()()S A S A '+为奇数. ………………13分

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

2019年高考数学理科全国三卷

2019年高考数学理科全国三卷 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国三卷) 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 2|1B x x =≤，则A B =（） A. {1,0,1}- B.{0,1} C.{1,1}- D. {0,1,2} 2.若(1)2z i i +=，则z =（） A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i + 3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100名学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（） A. 0.5 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.8 4.24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 5.已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5=3a 3+4a 1，则a 3=（） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.已知曲线ln x y ae x x =+在(1,)ae 处的切线方程为y =2x +b ，则（） A.,1a e b ==- B.,1a e b == C.1,1a e b -== D.1,1a e b -==- 7.函数3 222 x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（） A. B. C. D.

2020-2021高考理科数学模拟试题

高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<