浅谈度量空间资料

度 量 空 间

摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过

程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.

关键词: 度量空间 导集 闭集

正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的

抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.

1.度量空间的定义

度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.

定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；

(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.

定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.

2 度量空间的一些例子

例2.1 离散的度量空间

设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令

()??

?=≠=y

x y

x y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.

例2.2 序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及

() ,,,,21n y ηηη=，令

()i

i i

i i i

y x d ηεηε-+-=∑∞

=121,1， 易知()y x d ,满足距离条件

0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =. (2.1)

下验证()y x d ,满足距离条件

),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立. (2.2)

为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式

.111b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++

事实上，考察[)∞,0上的函数

()t

t

t f +=

1 由于在[)∞,0上，()()

011

2

'>+=

t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式

b a b a +≤+，我们得到

b

b a

a b

a b b

a a b

a b a b

a b a ++

+≤

+++

++=

+++≤

+++1111.11.

令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得

i

i i

i i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+

-+-≤-+-111. 由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.

例2.3 有界函数空间()A B

设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义

()()()t y t x y x d A

t -=∈sup ,.

下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立

()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x A

t A

t -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .

所以

()()()()()()t y t z t z t x t y t x A

t A

t A

t -+-≤-∈∈∈sup sup sup .

即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..

例2.4 可测函数空间)(X M

设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于

1)

()(1)()(<-+-t g t f t g t f

所以这是X 上的可积函数，令

?-+-=X

dt t g t f t g t f g f d )

()(1)()(),(

如果把)(X M 中的两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中的同一个元，那么利用

不等式

.111b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++

及积分性质很容易验证),(g f d 是距离. 因此)(X M 按上述距离),(g f d 成为度量间.

例2.5 []b a C ,空间

令[]b a C ,表示闭区间[]b a ,上的实值（或复值）连续函数全体，对[]b a C ,中任意两点,,y x 定义

)()(max ),(t y t x y x d b

t a -=≤≤

容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).

例2.6 2l

记{}?

?????∞<==∑∞

=12

2

k k k x x x l .设{}{}22,l y y l x x k k ∈=∈=定义

2

1

12)(),(??

?

???-=∑∞

=k k k x y y x d .

则d 是2l 的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) . 对任何正整数n ，()()n n x x x ,,1 =和()()n n y y y ,,1 = 都R 中的元素，由

Cauchy 不等式

∑∑∑===?≤??

? ??n

k k n k k n k k k y x y x 12

122

1

再令右端 ∞→n ，即得

∑∑∑∞

=∞==?≤??

? ??12

122

1k k

k k n k k k y x y x

再令左端的∞→n ，即得

∞

? ??∑∑∑∞

=∞=∞=12

122

1k k

k k k k k y x y x 由此可得

∑∑∑∑∞

=∞=∞=∞

=++=+1

2

1

1

2

1

2)(k k

k k k k k k k k

y y x x y x

∑∑∑∑∞

=∞

=∞=∞=+?+≤1

2

2

11

21

21

2

)(2k k k k

k k

k k

y y x x

2

21

12

2112????

????????? ??+??? ??=∑∑∞=∞=k k k k y x

令取{}{}{}.,,k k k ζζηηξξ===以 k k k k k k y x ζηξζ-=-=,代入上式，即可得ζηξ,,的三点不等式

),(),(),(ηζζξηξd d d +≤

由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 n R 之外，还包括其他的空间.

3 度量空间的一些简单性质

定理3.1 设()p X ,是一个度量空间，则拓扑空间X 是一个离散空间当且仅当p 是一个离散的度量.

证 充分性 若p 是一个离散的度量，则对于任意的∈x X ，存在实数0>x δ，使得对于任意的∈y X ,x y ≠ ,有()x y x p δ>,.于是x 的球形邻域(){}x x B x =δ,,所以，{}x 为开集.由x 的任意性以及开集的性质，故X 为离散空间.

必要性 若X 为离散空间，则对于任意的∈x X ,单点集{}x 为开集，于是存

在x 的球形邻域(){}x x B =ε, ,令2

ε

δ=

x ，则对于任意的X y ∈并且x y ≠,有()y x p ,x δ>.所以, p 为离散的度量.

定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.

证 设()ρ,X 为一个度量空间，A 是X 的任意一个子集.欲证A 的导集()A d 为闭集，只需证()()()A d A d d ?.

如果()()φ=A d d ,显然()()()A d A d d ?.

如果()()φ≠A d d ,由于()()()A d A A d d ?,所以对于任意∈x ()()A d d ,有

∈x A 或∈x ()A d .

若∈x A ，则对于x 的任意一个球形邻域()ε,x B ,有

()ε,x B (){}()φ≠-x A d .

于是，对于任意的

∈y ()ε,x B (){}()φ≠-x A d ,

则x y ≠，取

()(){}y x p y x p ,,,min -=εδ

则

()()εδ,,x B y B ?,

并且

(){}()φδ≠-y A y B ,

又由于

(){}()y A y B - δ,(){}()x A y B - δ,?(){}()x A x B - ε,,

所以

(){}()x A x B - ε,φ≠，

因此

∈x ()A d .

综上，对于任意∈x ()()A d d ,有∈x ()A d .所以，()()()A d A d d ?. 定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.

证 ()ρ,X 为一个度量空间，∈x X ,对于任意X y ∈,x y ≠,令()2

,y x p =

ε，于是0>ε,并且(){}φε=x y B ,,所以,y ?{}x ,于是{}x ={}x ,因此，单点集{}x 为闭集.由x 的任意性，度量空间X 中的每一个单点集都是闭集.

定理3.4 X 是一个度量空间，如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为只含有有限多个点的离散空间.

证 假设X 是无限集.由于X 是一个度量空间，由定理3.1可知，X 中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意∈x X ，集合X -{}x 都是开集.因此，拓扑空间X 中有无穷多个不同的开集.又由已知X 有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以X 中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，X 只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，X 是一个离散空间.

定理3.5 度量空间X 中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限. 证 设()ρ,X 是一个度量空间，{}+∈z i i x 是X 中的一个收敛序列.假若序列

{}+

∈z

i i x 至少有两个极限x 和y .由于x y ≠,则()0,>y x p .设

ε=()0,>y x p ,

于是对于x 的球形邻域()ε,x B ,存在1M ∈+Z ,使得当>i 1M 时，有i x ∈()ε,x B ;对于y 的球形邻域()ε,y B ,存在2M ∈+Z ,使得当>j 2M 时，有i x ∈()ε,y B .则一方面

()ε,x B ()ε,y B φ=. （3.1）

另一方面，令

max =M {1M ,2M },

于是当>i M 时，有

i x ∈()ε,x B ()ε,y B ，

这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.

因此，度量空间X 只有一个极限.

定理3.6 设X 是一个度量空间，A ?X ,x ?X 有一个序列{}+∈z i i x 在

{}x X -中并且收敛于x 当且当x 是集合X 的一个凝聚点.

证 必要性 设序列{}+∈z i i x 在{}x X -中并且敛于x .如果U 是x 的一个邻域，则存在∈M +Z 使

{21,++M M x x …}U ?,

因此

{21,++M M x x ,…}?{}()x A U - ,

从而

{}()x A U - φ≠.

所以x 是A 的一个凝聚点.

充分性 如果x 是A 的一个凝聚点，则对于x 任意一个球形邻域()ε,x B 有

()ε,x B {}()x A - φ≠,

于是对于任给的正实数ε有

02>i

ε

,

其中∈i +Z .并且

??

?

??i x B 2,ε{}()x A - φ≠. 所以对于每一个∈i +Z ,任取

i x ∈??

?

??i x B 2,ε{}()x A - φ≠,

则序列{i x }+∈z i ? {}x A -中并且收敛于x .

4 度量空间的紧致性和完备性

4.1 度量空间的紧致性

定义4.1.1 设A 是度量空间()p X ,中的一个非空子集.集合A 的直径

diam ()A 定义为

diam ()A ={}?

?

?∞∈是有界的如果是有界的

如果A A A y x y x ,),(sup ρ

定义4.1.2 设()p X ,是一个度量空间，A 是X 的一个开覆盖.实数0>λ成为开覆盖A 的一个Lebesgue 数，如果对于X 中的任何一个子集A ，只要

diam ()A λ<，则A 包含于开覆盖A 的某一个元素之中.

Lebesgue 数不一定存在。例如考虑实数空间?的开覆盖

{}?

??

???∈++--∞+Z n n n n n )11,1()1,(

则任何一个实数都不是它的Lebesgue 数.

定理4.1.1(Lebesgue 数定理) 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue 数.

证 设X 是一个序列紧致的度量空间，A 是X 的一个开覆盖.假若开覆盖A

没有Lebesgue 数，则对于任何+∈Z i ，实数i

1

不是A 的Lebesgue 数，所以X 有一

个子集i E 使得diam ()i

E i 1

<并且i E 不包含于A 的任何元素之中.

在每一个i E 之中任意选取一个点i x ，由于X 是一个序列紧致空间，所以序列,,21x x …有一个收敛的子序列,,10N N x x …设这个子序列收敛于X y ∈.由于A 是X 的一个开覆盖，故存在∈A A 使得X y ∈，并且存在实数0>ε使得球形邻域

()A y B ?ε,.由于序列,,10N N x x …收敛于y ，所以存在整数0>M 使得当M i >时

)2

,(ε

y B x i N ∈.令k 为任意一个整数，使得>k ε2+M ,则对于任何k N E z ∈有

ερρρ<+≤),(),(),(y x x z y z k k N N

这证明

k N E ∈??A y B ),(ε A 与k N E 的选取矛盾.

定理4.1.2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.

证 设X 是一个序列紧致的度量空间,A 是X 的一个开覆盖.根据Lebesgue 数定理，X 的开覆盖A 有一个Lebesgue 数，设为0>λ.

令B =???

?????? ??3,λx B ，它是X 的开覆盖，我们先来证明B 有一个有限覆盖

假设B 没有有限覆盖，任意选取一点∈1x X ，对于1>i ,假定点1x ,2x ，1,-i x 已

经取定，由于????????? ??

??? ?

???? ??-3,,,3,,3,121λλλi x B x B x B 不是X 的覆盖，选取X x i ∈使得

??? ?

?

??-=3,11λj i j i x B x ，按照归纳原则，序列1x ，2x 已经取定，易见对于任意

j i ,+∈Z ,j i ≠，有()3

,λ

ρ≥

j i x x ，序列1x ,2x ，没有任何收敛的子序列，（因为

任何X y ∈的球形邻域??

?

??6,λy B 中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与X 是

序列紧致空间相矛盾.

现在设???

?????? ????? ????? ??3,,....,3,,3,21λλλn x B x B x B 是开覆盖B 的一个有限子覆盖.由

于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个i =1，2,…,n 存在∈i A A 似

的???

?

?3,λj x B i A ? .于是，{}n A A A ...,,21 是A 的一个子覆盖.

定理4.1.3 设X 是一个度量空间，则下列条件等价

（1） X 是一个紧致空间； （2） X 是一个列紧空间； （3） X 是一个序列紧致空间； （4） X 是一个可数紧致空间.

4.2 度量空间的完备性

定理4.2.1 设()ρ,X 是一个度量空间.则()ρ,X 是紧致的当且仅当()ρ,X 是一个完全有界的完备度量空间.

证 设度量空间()ρ,X 是紧致的.任意给定实数0>ε，由球形邻域构成的集族(){}X x x B ∈ε,是X 的开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为

()()(){}εεεn x B x x B ,,,,,21 .易见有限集合{}n x x x ,,,21 是X 的一个ε网.这证明

X 是完全有界的.

为证明()ρ,X 是完备的，设序列{}+∈z n n x 是X 中的一个Cauchy 序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的，所以序列{}+∈z n n x 有一个收敛的子序列，设这个子序列收敛于x 这时序列{}+∈z n n x 也必收敛于x .这证明X 中的每一个Cauchy 序列都收敛.

另一方面，设()ρ,X 是一个完全有界的完备度量空间.为证明X 是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于X 是一个完备度量空间，这又只要证明X 中的每一个序列有一个子序列是Cauchy 序列.

设{}+∈z n n x 是X 中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个+∈Z i 定义一个序列{}+∈=z n in i y α如下：首先，令=1α{}+∈z n n x .其次对于1>i ，假定i α已经定

义.设{}m z z z ,,,21 是X 的一个)1(2+-i 网，因此球形邻域构成的集族

()()()()()(){}

11

2

1

1

2,,,2,,2,+-+-+-i m

i i z

B z B z B 覆盖X .

由于可以再从某一个()()

12,+-i j z B （其中m j ≤≤1）中选取i α的一个子序列

1+i α.

根据定义立即可见，对与每一个1>i 序列i α是序列1-i α的一个子序列，并且对于任何+∈Z n m ,有()()12,+-

于是序列{}=∈z n n x 的子序列串,,2,1, =i i α的“对角线”序列{}+∈=z i ii y α是序

列{}+∈z n n x 的一个子序列，由于对于任意i ，j i Z j ≤∈+,，有()

()12,+-

定理4.2.2（Baire ） 设X 是一个完备的度量空间.如果 ,,21G G 是X 中的可数个稠密的开集,则i i G +∈Z 是X 中的一个稠密子集.

证 设 ,,21G G 是X 中的可数个稠密的开集.为证明i i G G +∈=Z 是X 中的一个稠密子集，只要证明对于X 中的任何一个非空开集U 有φ≠G U .

设U 是X 中的一个非空开集.我们对于每一个+∈Z i ，定义一个球形邻域()i i x B ε,如下：

任意选取X x ∈1和11<ε于是有().,11εx B 对于1≥i ，假设()i i x B ε,已经定义.由于1G 是一个稠密的开集，所以i G U 是X 中的一个非空开集.任意选取1+i x 和1

1

01+<<+i i ε使得()i i i G U x B ?++11,ε.根据以上做法，我们有：对于任何+∈Z i ,

(1)i

i 1

<ε;

(2)()()i i i i x B x B εε,,11?++; (3) ()i i i G U x B ?++11,ε

根据定理4.2.1，由于(1)和(2)，可见()φε≠++∈+

11,i i Z i x B

由于(3)，()()i Z i i i Z i G U x B +

+

∈++∈?11,ε

G U G U i Z i =??

? ??=+∈ 所以φ≠G U .

参考文献：

《实变函数论与泛函分析》高等教育出版社

泛函分析知识点

泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任 意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，

泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x

最新泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若

0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

空间统计-空间自相关分析

空间自相关分析 1.1 自相关分析 空间自相关分析是指邻近空间区域单位上某变量的同一属性值之间的相关程度，主要用空间自相关系数进行度量并检验区域单位的这一属性值在空间区域上是否具有高高相邻、低低相邻或者高低间错分布，即有无聚集性。若相邻区域间同一属性值表现出相同或相似的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域也高（低），则称为空间正相关；若相邻区域间同一属性值表现出不同的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域低（高），则称为空间负相关；若相邻区域间同一属性值不表现任何依赖关系，即呈随机分布，则称为空间不相关。 空间自相关分析分为全局空间自相关分析和局部空间自相关分析，全局自相关分析是从整个研究区域内探测变量在空间分布上的聚集性；局域空间自相关分析是从特定局部区域内探测变量在空间分布上的聚集性，并能够得出具体的聚集类型及聚集区域位置，常用的方法有Moran's I 、Gear's C 、Getis 、Morans 散点图等。 1.1.1 全局空间自相关分析 全局空间自相关分析主要用Moran's I 系数来反映属性变量在整个研究区域范围内的空间聚集程度。首先，全局Moran's I 统计法假定研究对象之间不存在任何空间相关性，然后通过Z-score 得分检验来验证假设是否成立。 Moran's I 系数公式如下： 11 2 11 1 ()()I ()()n n ij i j i j n n n ij i i j i n w x x x x w x x =====--= -∑∑∑∑∑(式 错误！文档中没有指定样式的文字。-1) 其中，n 表示研究对象空间的区域数；i x 表示第i 个区域内的属性值，j x 表示第j 个区域内的属性值，x 表示所研究区域的属性值的平均值；ij w 表示空间权重矩阵，一般为对称矩阵。 Moran's I 的Z-score 得分检验为：

概率论

1.1.1 确定性现象 在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象． 确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象． 例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识． 如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果． 对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的． 换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象 随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象． 例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验 因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验： 从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验 我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述 从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科． 既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的． 一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小． 通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．

泛函分析题1.2完备化答案

泛函分析题1_2完备化p13 1.2.1 (空间S) 令S为一切实(或复)数列 x = ( ξ1, ξ2, ..., ξn, ... ) 组成的集合，在S中定义距离为 ρ(x, y) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk -ηk |/(1 + | ξk -ηk | )， 其中x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，y = ( η1, η2, ..., ηk, ... )．求证S为一个完备的距离空间．证明：(1) 首先证明ρ是S上的距离． ρ的非负性和对称性是显然的； 因为实函数f (t) = t /(1 + t ) = 1 - 1/(1 + t )在[0, +∞)严格单调增， 故对任意a, b∈ ，有 | a |/(1 + | a |) + | b |/(1 + | b |) ≥ | a | /(1 + | a | + | b |) + | b |/(1 + | a | + | b |) = ( | a | + | b | )/(1 + | a | + | b |) ≥ ( | a + b | )/(1 + | a + b |)， 由此可立即得知ρ在S上满足三角不等式． 所以，ρ是S上的距离，从而(S, ρ)为距离空间． (2) 设{x n}是S中的一个Cauchy列，记x n = ( ξ1(n), ξ2(n), ..., ξk(n), ... )． 则?k∈ +，(1/2k) · | ξk(n)-ξk(m)|/(1 + | ξk(n)-ξk(m)| ) ≤ρ(x n, x m) → 0 (m, n→∞)．， 因此| ξk(n)-ξk(m)| → 0 (m, n→∞)． 故{ξk(n)}n ≥ 1是 (或 )中的Cauchy列，因此也是收敛列． 设ξk(n)→ξk ( n→∞)，并设x = ( ξ1, ξ2, ..., ξk, ... )，则x∈S． 下面证明ρ(x n, x)→ 0 ( n→∞)． ?ε > 0，存在K∈ +，使得∑k > K (1/2k) < ε /2． 又存在N∈ +，使得?n∈ +，当n > N时，?k≤K都有| ξk(n)-ξk | < ε /2． 此时，ρ(x n, x) = ∑k ≥ 1 (1/2k) · | ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) = ∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) + ∑k > K (1/2k)·| ξk(n)-ξk |/(1 + | ξk(n)-ξk | ) ≤∑k ≤K (1/2k)·| ξk(n)-ξk | + ∑k > K (1/2k) < (ε /2) ·∑k ≤K (1/2k) + ε /2 < ε /2 + ε /2 = ε． 所以，x n→x ( n→∞)． 因此S中的Cauchy列都是收敛列，故S为完备距离空间． 1.2.2 在一个度量空间(X, ρ)上，求证：基本列是收敛列，当且仅当其中存在一串收敛子列． 证明：必要性是显然的，只证明充分性． 设{x n}是X中的一个Cauchy列，且{x n}有一个收敛子列{x n(k)}，记x n(k) →x． ?ε > 0，存在N∈ +，使得?m, n≥N都有ρ(x n, x m) < ε /2．

空间计量经济学分析

空间计量经济学分析 空间依赖、空间异质性 ?传统的统计理论是一种建立在独立观测值假定基础上的理论。然而，在现实世界中，特别是遇到空间数 据问题时，独立观测值在现实生活中并不是普遍存在的（Getis, 1997）。 ?对于具有地理空间属性的数据，一般认为离的近的变量之间比在空间上离的远的变量之间具有更加密切 的关系（Anselin & Getis，1992）。正如著名的Tobler地理学第一定律所说：“任何事物之间均相关，而离的较近事物总比离的较远的事物相关性要高。”（Tobler，1979） ?地区之间的经济地理行为之间一般都存在一定程度的Spatial Interaction，Spatial Effects）：Spatial Dependence and Spatial Autocorrelation）。 ?一般而言，分析中涉及的空间单元越小，离的近的单元越有可能在空间上密切关联（Anselin & Getis, 1992）。 ?然而，在现实的经济地理研究中，许多涉及地理空间的数据，由于普遍忽视空间依赖性，其统计与计量 分析的结果值得进一步深入探究（Anselin & Griffin, 1988）。 ?可喜的是，对于这种地理与经济现象中常常表现出的空间效应（特征）问题的识别估计，空间计量经济 学提供了一系列有效的理论和实证分析方法。 ?一般而言，在经济研究中出现不恰当的模型识别和设定所忽略的空间效应主要有两个来源（Anselin， 1988）：空间依赖性（Spatial Dependence）和空间异质性（Spatial Heterogeneity）。 空间依赖性 ?空间依赖性（也叫空间自相关性）是空间效应识别的第一个来源，它产生于空间组织观测单元之间缺乏 依赖性的考察（Cliff & Ord, 1973）。 ?Anselin & Rey（1991）区别了真实（Substantial）空间依赖性和干扰（Nuisance）空间依赖性的不同。 ?真实空间依赖性反映现实中存在的空间交互作用（Spatial Interaction Effects）， ?比如区域经济要素的流动、创新的扩散、技术溢出等， ?它们是区域间经济或创新差异演变过程中的真实成分，是确确实实存在的空间交互影响， ?如劳动力、资本流动等耦合形成的经济行为在空间上相互影响、相互作用，研发的投入产出行为及政策 在地理空间上的示范作用和激励效应。 ?干扰空间依赖性可能来源于测量问题，比如区域经济发展过程研究中的空间模式与观测单元之间边界的 不匹配，造成了相邻地理空间单元出现了测量误差所导致。 ?测量误差是由于在调查过程中，数据的采集与空间中的单位有关，如数据一般是按照省市县等行政区划 统计的，这种假设的空间单位与研究问题的实际边界可能不一致，这样就很容易产生测量误差。 ?空间依赖不仅意味着空间上的观测值缺乏独立性，而且意味着潜在于这种空间相关中的数据结构，也就 是说空间相关的强度及模式由绝对位置（格局）和相对位置（距离）共同决定。 ?空间相关性表现出的空间效应可以用以下两种模型来表征和刻画：当模型的误差项在空间上相关时，即 为空间误差模型；当变量间的空间依赖性对模型显得非常关键而导致了空间相关时，即为空间滞后模型（Anselin，1988）。 空间异质性 ?空间异质性（空间差异性），是空间计量学模型识别的第二个来源。 ?空间异质性或空间差异性，指地理空间上的区域缺乏均质性，存在发达地区和落后地区、中心（核心） 和外围（边缘）地区等经济地理结构，从而导致经济社会发展和创新行为存在较大的空间上的差异性。 ?空间异质性反映了经济实践中的空间观测单元之间经济行为（如增长或创新）关系的一种普遍存在的不 稳定性。 ?区域创新的企业、大学、研究机构等主体在研发行为上存在不可忽视的个体差异，譬如研发投入的差异 导致产出的技术知识的差异， ?这种创新主体的异质性与技术知识异质性的耦合将导致创新行为在地理空间上具有显著的异质性差异， 进而可能存在创新在地理空间上的相互依赖现象或者创新的局域俱乐部集团。 ?对于空间异质性，只要将空间单元的特性考虑进去，大多可以用经典的计量经济学方法进行估计。 ?但是当空间异质性与空间相关性同时存在时，经典的计量经济学估计方法不再有效，而且在这种情况下，

逻辑伪度量空间中的孤立点

ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃｔ露ｉｏｎｓ计算机工程与应用２０１０。４雠１１）１◎博士论坛。 逻辑伪度量空间中的孤立点 李璧镜Ｌ２，王国俊? ＬＩＢｉ＿ｊｉｎｇｌ，２，ＷＡＮＧＧｕｏ－ｊｕｎｌ １．陕西师范大学数学与信息科学学院，西安７１００６２ ２．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１００７ １．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ，ＳｈａａｎｘｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ’ａｎ７１００６２，Ｃｈｉｎａ ２．ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＢａｏｊｉＣｏｌｌｅｇｅｏｆＡｒｔｓａｎｄＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂａｏｊｉ，Ｓｈａａｎｘｉ７２１００７，Ｃｈｉｎａ Ｅ?—ｍａｉｌ：ｌｂｊ２００７＠１６３．ｃｏｒｎ ＬＩＢｉ－ｊｉｎｇ，ＷＡＮＧＧｕｏ－ｊｕ儿ｂ恻ｐｏｉｎｔｓｉｎｌｏｇｉｃｐｓｅｕｄｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２０１０．４６（１１）：１－２． Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔｓｉｎｌｏｇｉｃｐｓｅｕｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅｓｉｎｄｕｃｅｄｂｙｉｎｔｅｇｒａｌｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓｉｎＭＴＬａｒｅｄｉｓｓｅｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓａ∞ｄｅｆｉｎｉｔｅｌｙｎｏｔｔｈｅｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔｓｉｎｃｏｒｒｅｓｐｏｎｇｄｉｎｇ８ｐ骶：髓ｗｈｅｎｔｈｅｉｒｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓａｌｅｎｏｔｅｑｕａｌｔｏｚｅｒｏｉｓｐｒｏｖｅｄ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｆｏｒｔｈｅｆｏｒｍｕｌａｓｗｈｏｓｅｔｒｕｔｈｄｅｇｒｅｅｓｅｑＩｌａｌＺｅｒＯ，ｔｈｅｅｏｎｃｌｕｓｉｏｍａ托ｃｏｍｐｌｅｔｅｄｄｉｆｆｅｒｅｎｔｗｈｅｎｅｖｅｒｔｈｅｃｈａｒａｅｔｅｒｉｓ－在ｃｏｆｌｏｇｉｃｓｙｓｔｅｍｓａ１１ｅｃｈａｎｇｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｉｎｔｅｇｒａｌｔ／ｕｔｈｄｅｇｒｅｅ；ｌｏｇｉｃｐｓｅｕｄｏ－ｍｅｔｒｉｃｓｐａｃｅ；ｉｓｏｌａｔｅｄｐｏｉｎｔ 摘要：在逻辑系统ＭＴＬ中，对全体逻辑公式集上建立的逻辑伪度量空同进行研究，讨论了孤立点的情形，指出积务真度不为零的公式一定不是对应空间中的孤立点，而对于积分真度为零的公式，则要分不同性质类型的系统讨论，得到的情形也完全不同。 关键词：积分真度；逻辑伪度量空间；孤立点 ＤＯＩ：１０．３７７８／ｊ．ｉｓｓｎ．１００２－８３３１．２０１０．１１．００１文章编号：１００２－８３３１（２０１０）１１－０００１－．０２文献标识码：Ａ中图分类号：０１４２ １引言 逻辑系统的建立最终是为了推理【煳，而进行推理的角度有很多，可以从逻辑公式间固有的蕴含关系出发借助推理规则得到结论，也就是所说的语构理论；也可以借助赋值，刻画出公式之间的距离大小，从而形成—个公式集上的度量空间，进而在空间内进行推理，甚至近似推理。由于公式间的距离有多种不同形式的定义方法，从而可以诱导出不同的空间，例如概率伪度量空间昀，Ｄ—逻辑空间［７－８１，逻辑伪度量空间卿等等，而文献［９】中所定义的方式被更多的人接受，应用也最广泛。针对由左连续的三角模对应的逻辑系统（ＭｒｒＬ），讨论了赋值格是单位闭区间时生成的逻辑伪度量空间中孤立点的情形，以明确具有什么性质的公式是对应空间中的孤立点，从而为进一步讨论此类空间的其他性质，为在此类逻辑系统中进行近似推理打下基础。 ２预备知识 定义１闭设＠：［ｏ，１】叫ｏ，１】是二元函数，如果当口，ｂ，ｃ∈【０，ｌ】时 （１）固６：６＠Ｄ； （２）（国６）＠ｃ－－ａ＠（ｂ＠ｅ）； （３）囝１铷； （４）若６≤ｃ，则ａ＠６≤◇。 则称。为【０，ｌ止的三角模，简称ｔ一模。 定义２阁三角模＠叫左连续的，如果对于每个ａＥ［ｏ，１】，有工（Ｖｂｉ）＝ＶＡ（６；）。这里Ａ（ｘ）－－－ａ＠。 ｆＥ，ＩＥｆ 命题ｌ圈设。是［０，１】上的左连续的三角模，在［０，ｌ】上定义二元运算一如下： ６‘一ｃ＝Ｖ协ｋ＠６≤ｃ｝，茹，ｂ，Ｃ∈【０，ｌ】 则 （１）国６≤ｃ当且仅当ｎ≤６一ｃ，即—是与＠互为伴随对； （２）ｂ－－＊ｃ＝ｌ当且仅当ｂ≤ｃ； （３）口≤６—呛当且仅当ｂ≤旷＋ｃ； （４）口－＋（６—圮）＝６—＋（旷～）； （５）１飞：ｃ； （６）卜Ａｃ＿ＦＡ（６飞；），（Ａｂｉ）飞＝＾（６一）； ｉＥｌｉＥｌｌＥｌｌｔｌ （７）６一ｃ关于ｅ单调递增，关于ｂ耸ｔｉｇｌ递减。 定义３嘲设—是ｆ０，ｌ】上的二元运算，如果—满足上述命题中的性质（２）一（７），则称为［０，１止的正则蕴涵算子。 基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．１０７７１１２９）；宝鸡文理学院重点科研项目（Ｎｏｚｌ（２５１９）。作者筒介：李壁镜（１９８１一），女，博士研究生，讲师，研究方向：不确定性推理。模态逻辑；王国俊（１９３５一），男，博士生导师，教授，研究方向：不确定性推理，非经典数理逻辑等。 收稿日期：２０１０－０１—２０修囿日期：２０１０－０３一０１ 万方数据

13 度量空间的可分性与完备性

1.3度量空间的可分性与完备性 在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R还具有完备性，即R中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1设X是度量空间，,A B X ?，如果B中任意点x B ∈的任何邻域(,) O xδ内都含有A的点，则称A在B中稠密．若A B ?，通常称A是B的稠密子集． 注1：A在B中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1设(,) X d是度量空间，下列命题等价： (1) A在B中稠密； (2) x B ?∈，{} n x A ??，使得lim(,)0 n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A ' =，A为A的闭包，A'为A的导集(聚点集)）； (4) 任取0 δ>，有(,) x A B O xδ ∈ ?．即由以A中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合覆盖B． 证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2稠密集的传递性设X是度量空间，,, A B C X ?，若A在B中稠密，B在C 中稠密，则A在C中稠密． 证明由定理1.1知B A ?，C B ?，而B是包含B的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A在C中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass多项式逼近定理) 闭区间[,] a b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,] P a b在连续函数空间[,] C a b中稠密． 参考其它资料可知：

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

泛函分析度量空间知识和不动点的应用

泛函分析度量空间知识和不动点的应用 第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）； （Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ） 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。 二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。 给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。 三、连续映射 证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连

拓扑空间与度量空间性质异同浅析论文

拓扑空间与度量空间性质异同浅析摘要：拓扑空间是度量空间的延伸，是用抽象化的语言来阐述相关概念，蕴含着丰富的性质。本文将拓扑空间中一些性质与度量空间中的一些性质做了一些比较，特别是对拓扑空间中相关反例进行了研究。 关键词：拓扑空间，度量空间，可分性 拓扑空间和度量空间是数学专业的最基本内容之一，研究他们的基本定义和相关性质是后续研究的重要基础，下面我们将其相关定义和性质进行梳理。 一、相关定义 拓扑空间的定义如下： 定义1. 设x是一非空集合，x的一个子集族称为x的一个拓扑，如果它满足： （1）都包含在中 （2）中任意多个成员的并集仍在中 （3）中有限多个成员的交集仍在中 度量空间的定义如下： 定义2. 集合x上的一个度量是一个映射：,它满足 （1）正定性. , ,, 当 （2）对称性. , （3）三角不等式. , 当集合x上规定了一个度量后，称为度量空间。从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广。常见的度量空间有下面的一些例子:

例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间。 例2：空间x赋予如下度量：，则x为度量空间。 例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义。 例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中hofer曾定义了如下度量： 从其诱导的范数称为hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器。 二、相关性质 度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持。例如可分性就不再保持。 命题1：可分度量空间的子空间也是可分的。 证明:不妨假设x是可分的度量空间，a是x的子空间，b为x的可数稠密子集。下面证明为a的可数稠密子集。 首先证明为a的可数子集。因为b为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为a的可数子集。 其次证明为a的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明a中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，a中开集u为x中开集p与a的交，即.又因为b为x的稠密子集，即x的任何开集与b的交非空。所以，从而得证。 但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1]。

概率论综述

概率论综述

第一章 事件与概率 §1. 随机现象与统计规律性 一.随机现象 概率论（probability theory ）是研究随机现象的数量规律的数学分支。本节概述他的研究对象及殊地位。 在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。 另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。这种现象称之为随机现象（random phenomenon ）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。 二.频率稳定性 对于随机事件A,若在N 次实验中出现了n 次，则称 N n A F N =)( 为随机事件A 在N 次实验中出现的频率. 有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。 对于一个随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A 的概率（probability ）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。 三.频率与概率 首先，概率具有非负性 0)(≥A F N 其次，对于必然发生的事件，在N 此试验中应出现N 次。若以Ω记必然事件，则应有 1)(=ΩN F 还有，若A 及B 是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B 表示A 或B 至少出现其一这一事件，则应有

度量空间的可分性与完备性

1.3 度量空间的可分性与完备性 在实数空间R 中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的，我们称此性质为实数空间R 的可分性．同时，实数空间R 还具有完备性，即R 中任何基本列必收敛于某实数．现在我们将这些概念推广到一般度量空间． 1.3.1 度量空间的可分性 定义1.3.1 设X 是度量空间，,A B X ?，如果B 中任意点x B ∈的任何邻域(,)O x δ内都含有A 的点，则称A 在B 中稠密．若A B ?，通常称A 是B 的稠密子集． 注1：A 在B 中稠密并不意味着有A B ?．例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数中稠密．无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数． 定理1.3.1 设(,)X d 是度量空间，下列命题等价： (1) A 在B 中稠密； (2) x B ?∈，{}n x A ??，使得lim (,)0n n d x x →∞ =； (3) B A ?（其中A A A '=U ，A 为A 的闭包，A '为A 的导集(聚点集)）； (4) 任取0δ>，有(,)x A B O x δ∈?U ．即由以A 中每一点为中心δ为半径的开球组成的集合 覆盖B ． 证明 按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得． 定理1.3.2 稠密集的传递性 设X 是度量空间，,,A B C X ?，若A 在B 中稠密，B 在C 中稠密，则A 在C 中稠密． 证明 由定理1.1知B A ?，C B ?，而B 是包含B 的最小闭集，所以B B A ??，于是有C A ?，即A 在C 中稠密．□ 注2：利用维尔特拉斯定理可证得{定理(Weierstrass 多项式逼近定理) 闭区间[,]a b 上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限．} (1)多项式函数集[,]P a b 在连续函数空间[,]C a b 中稠密． 参考其它资料可知： (2)连续函数空间[,]C a b 在有界可测函数集[,]B a b 中稠密． (3)有界可测函数集[,]B a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 利用稠密集的传递性定理1.3.2可得： (4)连续函数空间[,]C a b 在p 次幂可积函数空间[,]p L a b 中稠密(1p ≤<+∞)． 因此有[,][,][,][,]p P a b C a b B a b L a b ???． 定义1.3.2 设X 是度量空间，A X ?，如果存在点列{}n x A ?，且{}n x 在A 中稠密，则称A 是可分点集(或称可析点集)．当X 本身是可分点集时，称X 是可分的度量空间．

泛函分析中的度量空间

泛函分析主要内容 泛函分析是20世纪30年代形成的数学分科。是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。 1、度量空间 定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有 （I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当 x = y； （II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)； （III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z） 则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。 例：实数带有由绝对值给出的距离函数d(x, y) = |y?x|，和更一般的欧几里得n维空间带有欧几里得距离是完备度量空间 2、赋范线性空间 泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔

伯特空间。 例：任何赋范向量空间通过定义d(x, y) = ||y?x|| 也是度量空间。 (如果这样一个空间是完备的，我们称之为巴拿赫空间)。例：曼哈顿范数引发曼哈顿距离，这里在任何两点或向量之间的距离是在对应的坐标之间距离的总和。 3、希尔伯特空间 希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不变子空间。该问题在某些特定情况下的答案是肯定的。 4、巴拿赫空间 巴拿赫空间理论（Banach space）是192O年由波兰数学家巴拿赫（S.Banach)一手创立的，数学分析中常用的许多空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。大多数巴拿赫空间是无穷维空间，可看成通常向量空间的无穷维推广。