浅谈度量空间

度 量 空 间

摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过

程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.

关键词: 度量空间 导集 闭集

正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的

抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.

1.度量空间的定义

度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.

定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；

(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.

定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.

2 度量空间的一些例子

例2.1 离散的度量空间

设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令

()??

?=≠=y

x y

x y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.

例2.2 序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及

() ,,,,21n y ηηη=，令

()i

i i

i i i

y x d ηεηε-+-=∑∞

=121,1， 易知()y x d ,满足距离条件

0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =. (2.1)

下验证()y x d ,满足距离条件

),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立. (2.2)

为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式

.111b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++

事实上，考察[)∞,0上的函数

()t

t

t f +=

1 由于在[)∞,0上，()()

011

2

'>+=

t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式

b a b a +≤+，我们得到

b

b a

a b

a b b

a a b

a b a b

a b a ++

+≤

+++

++=

+++≤

+++1111.11.

令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得

i

i i

i i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+

-+-≤-+-111. 由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.

例2.3 有界函数空间()A B

设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义

()()()t y t x y x d A

t -=∈sup ,.

下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立

()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x A

t A

t -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .

所以

()()()()()()t y t z t z t x t y t x A

t A

t A

t -+-≤-∈∈∈sup sup sup .

即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..

例2.4 可测函数空间)(X M

设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于

1)

()(1)()(<-+-t g t f t g t f

所以这是X 上的可积函数，令

?-+-=X

dt t g t f t g t f g f d )

()(1)()(),(

如果把)(X M 中的两个几乎处处相等的函数视为)(X M 中的同一个元，那么利用

不等式

.111b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++

及积分性质很容易验证),(g f d 是距离. 因此)(X M 按上述距离),(g f d 成为度量间.

例2.5 []b a C ,空间

令[]b a C ,表示闭区间[]b a ,上的实值（或复值）连续函数全体，对[]b a C ,中任意两点,,y x 定义

)()(max ),(t y t x y x d b

t a -=≤≤

容易验证它满足距离条件(2.1)和(2.2).

例2.6 2l

记{}?

?????∞<==∑∞

=12

2

k k k x x x l .设{}{}22,l y y l x x k k ∈=∈=定义

2

1

12)(),(??

?

???-=∑∞

=k k k x y y x d .

则d 是2l 的距离。距离条件(2.1)是容易得出的，现检验条件(2.2) . 对任何正整数n ，()()n n x x x ,,1 =和()()n n y y y ,,1 = 都R 中的元素，由

Cauchy 不等式

∑∑∑===?≤??

? ??n

k k n k k n k k k y x y x 12

122

1

再令右端 ∞→n ，即得

∑∑∑∞

=∞==?≤??

? ??12

122

1k k

k k n k k k y x y x

再令左端的∞→n ，即得

∞

? ??∑∑∑∞

=∞=∞=12

122

1k k

k k k k k y x y x 由此可得

∑∑∑∑∞

=∞=∞=∞

=++=+1

2

1

1

2

1

2)(k k

k k k k k k k k

y y x x y x

∑∑∑∑∞

=∞

=∞=∞=+?+≤1

2

2

11

21

21

2

)(2k k k k

k k

k k

y y x x

2

21

12

2112????

????????? ??+??? ??=∑∑∞=∞=k k k k y x

令取{}{}{}.,,k k k ζζηηξξ===以 k k k k k k y x ζηξζ-=-=,代入上式，即可得ζηξ,,的三点不等式

),(),(),(ηζζξηξd d d +≤

由上述例子可见，度量空间除了有限维的欧几里德空间 n R 之外，还包括其他的空间.

3 度量空间的一些简单性质

定理3.1 设()p X ,是一个度量空间，则拓扑空间X 是一个离散空间当且仅当p 是一个离散的度量.

证 充分性 若p 是一个离散的度量，则对于任意的∈x X ，存在实数0>x δ，使得对于任意的∈y X ,x y ≠ ,有()x y x p δ>,.于是x 的球形邻域(){}x x B x =δ,,所以，{}x 为开集.由x 的任意性以及开集的性质，故X 为离散空间.

必要性 若X 为离散空间，则对于任意的∈x X ,单点集{}x 为开集，于是存

在x 的球形邻域(){}x x B =ε, ,令2

ε

δ=

x ，则对于任意的X y ∈并且x y ≠,有()y x p ,x δ>.所以, p 为离散的度量.

定理3.2 度量空间的每一个子集的导集都是闭集.

证 设()ρ,X 为一个度量空间，A 是X 的任意一个子集.欲证A 的导集()A d 为闭集，只需证()()()A d A d d ?.

如果()()φ=A d d ,显然()()()A d A d d ?.

如果()()φ≠A d d ,由于()()()A d A A d d ?,所以对于任意∈x ()()A d d ,有

∈x A 或∈x ()A d .

若∈x A ，则对于x 的任意一个球形邻域()ε,x B ,有

()ε,x B (){}()φ≠-x A d .

于是，对于任意的

∈y ()ε,x B (){}()φ≠-x A d ,

则x y ≠，取

()(){}y x p y x p ,,,min -=εδ

则

()()εδ,,x B y B ?,

并且

(){}()φδ≠-y A y B ,

又由于

(){}()y A y B - δ,(){}()x A y B - δ,?(){}()x A x B - ε,,

所以

(){}()x A x B - ε,φ≠，

因此

∈x ()A d .

综上，对于任意∈x ()()A d d ,有∈x ()A d .所以，()()()A d A d d ?. 定理3.3 度量空间中的每一个单点集都是闭集.

证 ()ρ,X 为一个度量空间，∈x X ,对于任意X y ∈,x y ≠,令()2

,y x p =

ε，于是0>ε,并且(){}φε=x y B ,,所以,y ?{}x ,于是{}x ={}x ,因此，单点集{}x 为闭集.由x 的任意性，度量空间X 中的每一个单点集都是闭集.

定理3.4 X 是一个度量空间，如果X 有一个基只含有有限个元素，则X 必为只含有有限多个点的离散空间.

证 假设X 是无限集.由于X 是一个度量空间，由定理3.1可知，X 中的每一个单点集都是闭集，于是，对于任意∈x X ，集合X -{}x 都是开集.因此，拓扑空间X 中有无穷多个不同的开集.又由已知X 有一个基只含有有限个元素，它们中的任意多个元素之并只能组成有限个开集，所以X 中的开集只有有限个，这与上述矛盾！因此假设错误，X 只能是有限集.最后，由于含有有限多个点的度量空间都是离散的度量空间，故由定理1可知，X 是一个离散空间.

定理3.5 度量空间X 中的任何一个收敛序列都只有惟一的极限. 证 设()ρ,X 是一个度量空间，{}+∈z i i x 是X 中的一个收敛序列.假若序列

{}+

∈z

i i x 至少有两个极限x 和y .由于x y ≠,则()0,>y x p .设

ε=()0,>y x p ,

于是对于x 的球形邻域()ε,x B ,存在1M ∈+Z ,使得当>i 1M 时，有i x ∈()ε,x B ;对于y 的球形邻域()ε,y B ,存在2M ∈+Z ,使得当>j 2M 时，有i x ∈()ε,y B .则一方面

()ε,x B ()ε,y B φ=. （3.1）

另一方面，令

max =M {1M ,2M },

于是当>i M 时，有

i x ∈()ε,x B ()ε,y B ，

这与（3.1）式矛盾！所以假设错误.

因此，度量空间X 只有一个极限.

定理3.6 设X 是一个度量空间，A ?X ,x ?X 有一个序列{}+∈z i i x 在

{}x X -中并且收敛于x 当且当x 是集合X 的一个凝聚点.

证 必要性 设序列{}+∈z i i x 在{}x X -中并且敛于x .如果U 是x 的一个邻域，则存在∈M +Z 使

{21,++M M x x …}U ?,

因此

{21,++M M x x ,…}?{}()x A U - ,

从而

{}()x A U - φ≠.

所以x 是A 的一个凝聚点.

充分性 如果x 是A 的一个凝聚点，则对于x 任意一个球形邻域()ε,x B 有

()ε,x B {}()x A - φ≠,

于是对于任给的正实数ε有

02>i

ε

,

其中∈i +Z .并且

??

?

??i x B 2,ε{}()x A - φ≠. 所以对于每一个∈i +Z ,任取

i x ∈??

?

??i x B 2,ε{}()x A - φ≠,

则序列{i x }+∈z i ? {}x A -中并且收敛于x .

4 度量空间的紧致性和完备性

4.1 度量空间的紧致性

定义4.1.1 设A 是度量空间()p X ,中的一个非空子集.集合A 的直径

diam ()A 定义为

diam ()A ={}?

?

?∞∈是有界的如果是有界的

如果A A A y x y x ,),(sup ρ

定义4.1.2 设()p X ,是一个度量空间，A 是X 的一个开覆盖.实数0>λ成为开覆盖A 的一个Lebesgue 数，如果对于X 中的任何一个子集A ，只要

diam ()A λ<，则A 包含于开覆盖A 的某一个元素之中.

Lebesgue 数不一定存在。例如考虑实数空间?的开覆盖

{}?

??

???∈++--∞+Z n n n n n )11,1()1,(

则任何一个实数都不是它的Lebesgue 数.

定理4.1.1(Lebesgue 数定理) 序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue 数.

证 设X 是一个序列紧致的度量空间，A 是X 的一个开覆盖.假若开覆盖A

没有Lebesgue 数，则对于任何+∈Z i ，实数i

1

不是A 的Lebesgue 数，所以X 有一

个子集i E 使得diam ()i

E i 1

<并且i E 不包含于A 的任何元素之中.

在每一个i E 之中任意选取一个点i x ，由于X 是一个序列紧致空间，所以序列,,21x x …有一个收敛的子序列,,10N N x x …设这个子序列收敛于X y ∈.由于A 是X 的一个开覆盖，故存在∈A A 使得X y ∈，并且存在实数0>ε使得球形邻域

()A y B ?ε,.由于序列,,10N N x x …收敛于y ，所以存在整数0>M 使得当M i >时

)2

,(ε

y B x i N ∈.令k 为任意一个整数，使得>k ε2+M ,则对于任何k N E z ∈有

ερρρ<+≤),(),(),(y x x z y z k k N N

这证明

k N E ∈??A y B ),(ε A 与k N E 的选取矛盾.

定理4.1.2 每一个序列紧致列紧致的度量空间都是紧致空间.

证 设X 是一个序列紧致的度量空间,A 是X 的一个开覆盖.根据Lebesgue 数定理，X 的开覆盖A 有一个Lebesgue 数，设为0>λ.

令B =???

?????? ??3,λx B ，它是X 的开覆盖，我们先来证明B 有一个有限覆盖

假设B 没有有限覆盖，任意选取一点∈1x X ，对于1>i ,假定点1x ,2x ，1,-i x 已

经取定，由于????????? ??

??? ?

???? ??-3,,,3,,3,121λλλi x B x B x B 不是X 的覆盖，选取X x i ∈使得

??? ?

?

??-=3,11λj i j i x B x ，按照归纳原则，序列1x ，2x 已经取定，易见对于任意

j i ,+∈Z ,j i ≠，有()3

,λ

ρ≥

j i x x ，序列1x ,2x ，没有任何收敛的子序列，（因为

任何X y ∈的球形邻域??

?

??6,λy B 中最多只能包含这个序列中的一个点.）这与X 是

序列紧致空间相矛盾.

现在设???

?????? ????? ????? ??3,,....,3,,3,21λλλn x B x B x B 是开覆盖B 的一个有限子覆盖.由

于其中每一个元素的直径都小于λ，所以对于每一个i =1，2,…,n 存在∈i A A 似

的???

?

?3,λj x B i A ? .于是，{}n A A A ...,,21 是A 的一个子覆盖.

定理4.1.3 设X 是一个度量空间，则下列条件等价

（1） X 是一个紧致空间； （2） X 是一个列紧空间； （3） X 是一个序列紧致空间； （4） X 是一个可数紧致空间.

4.2 度量空间的完备性

定理4.2.1 设()ρ,X 是一个度量空间.则()ρ,X 是紧致的当且仅当()ρ,X 是一个完全有界的完备度量空间.

证 设度量空间()ρ,X 是紧致的.任意给定实数0>ε，由球形邻域构成的集族(){}X x x B ∈ε,是X 的开覆盖，它有一个有限子覆盖，设为

()()(){}εεεn x B x x B ,,,,,21 .易见有限集合{}n x x x ,,,21 是X 的一个ε网.这证明

X 是完全有界的.

为证明()ρ,X 是完备的，设序列{}+∈z n n x 是X 中的一个Cauchy 序列.由于紧致的度量空间是序列紧致的，所以序列{}+∈z n n x 有一个收敛的子序列，设这个子序列收敛于x 这时序列{}+∈z n n x 也必收敛于x .这证明X 中的每一个Cauchy 序列都收敛.

另一方面，设()ρ,X 是一个完全有界的完备度量空间.为证明X 是紧致的.只需证明它是序列紧致的.由于X 是一个完备度量空间，这又只要证明X 中的每一个序列有一个子序列是Cauchy 序列.

设{}+∈z n n x 是X 中的一个序列.我们按归纳方式对于每一个+∈Z i 定义一个序列{}+∈=z n in i y α如下：首先，令=1α{}+∈z n n x .其次对于1>i ，假定i α已经定

义.设{}m z z z ,,,21 是X 的一个)1(2+-i 网，因此球形邻域构成的集族

()()()()()(){}

11

2

1

1

2,,,2,,2,+-+-+-i m

i i z

B z B z B 覆盖X .

由于可以再从某一个()()

12,+-i j z B （其中m j ≤≤1）中选取i α的一个子序列

1+i α.

根据定义立即可见，对与每一个1>i 序列i α是序列1-i α的一个子序列，并且对于任何+∈Z n m ,有()()12,+-

于是序列{}=∈z n n x 的子序列串,,2,1, =i i α的“对角线”序列{}+∈=z i ii y α是序

列{}+∈z n n x 的一个子序列，由于对于任意i ，j i Z j ≤∈+,，有()

()12,+-

定理4.2.2（Baire ） 设X 是一个完备的度量空间.如果 ,,21G G 是X 中的可数个稠密的开集,则i i G +∈Z 是X 中的一个稠密子集.

证 设 ,,21G G 是X 中的可数个稠密的开集.为证明i i G G +∈=Z 是X 中的一个稠密子集，只要证明对于X 中的任何一个非空开集U 有φ≠G U .

设U 是X 中的一个非空开集.我们对于每一个+∈Z i ，定义一个球形邻域()i i x B ε,如下：

任意选取X x ∈1和11<ε于是有().,11εx B 对于1≥i ，假设()i i x B ε,已经定义.由于1G 是一个稠密的开集，所以i G U 是X 中的一个非空开集.任意选取1+i x 和1

1

01+<<+i i ε使得()i i i G U x B ?++11,ε.根据以上做法，我们有：对于任何+∈Z i ,

(1)i

i 1

<ε;

(2)()()i i i i x B x B εε,,11?++; (3) ()i i i G U x B ?++11,ε

根据定理4.2.1，由于(1)和(2)，可见()φε≠++∈+

11,i i Z i x B

由于(3)，()()i Z i i i Z i G U x B +

+

∈++∈?11,ε

G U G U i Z i =??

? ??=+∈ 所以φ≠G U .

参考文献：

《实变函数论与泛函分析》高等教育出版社

泛函分析知识点

泛函分析知识点 知识体系概述 （一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立： （1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0?x=y; （2）对称性：d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y); 则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间S 例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X) 例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球 定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义 U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε} 为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限 定义 若{x n }?X, ?x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞ = 则称x 是点列{x n }的极限. 3. 有界集 定义 若()(),sup ,x y A d A d x y ?∈=<∞，则称A 有界 4. 稠密集 定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。 5. 可分空间 定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。 第三节 连续映射 1.定义 设X=(X,d),Y=(Y , ~ d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任 意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足 ()0,d x x δ < 的x ，有 ()~ 0,d Tx Tx ε <，

GIS空间分析论文

《空间分析》 课 程 报 告 学院： 专业： 学号： 姓名：

引言 (3) 1. 学校选址研究的意义 (3) 2. 位址选择准备 (4) 2.1位址选择 (4) 2.2 学校选址的一般要求 (4) 2.3 确定权重 (4) 2.4 学校选址框架图 (5) 3. 利用ArcGIS进行学校选址 (5) 3.1 距离制图 (5) 3.2 表面分析 (5) 3.3 重分类 (5) 3.3.1 新值取代原来值 (5) 3.3.2 重新组合分类原值 (6) 3.3.3 以一种分类体系对原始值进行分类 (6) 3.3.4 指定值空值设置 (6) 3.4 栅格计算 (6) 4. 实验数据 (6) 5. 数据处理过程及结果 (6) 5.1 添加数据，并设置空间分析环境 (6) 5.2 提取学校和娱乐场所直线距离数据集 (8) 5.2 从DEM 数据提取坡度数据集 (9) 5.3 重分类数据集 (10) 5.3.1 重分类坡度数据集 (10) 5.3.2 重分类娱乐场直线距离数据集 (11) 5.3.3 重分类现有学校直线距离数据集 (12) 5.3.4 重分类土地利用数据集 (13) 6.结论 (16)

GIS在学校选址中的应用 姓名： 学号： 摘要： 栅格数据结构简单、直观，非常利于计算机操作和处理，是GIS常用的空间基础数据格式。基于栅格数据的空间分析是GIS空间分析的基础，也是ArcGIS空间分析模（SpatialAnalyst）的核心内容。ArcGIS 空间分析模块（Spatial Analyst）提供了一个范围广阔且功能强大的空间分析和建模工具集，它允许用户从GIS数据中快速获取所需信息，并以多种方式进行分析操作，包括距离制图、密度制图、表面生成、表面分析、统计分析、重分类、栅格计算，等等。合理的学校空间位置布局，有利于学生的上课与生活。学校的选址问题需要考虑地理位置、学生娱乐场所配套、与现有学校的距离间隔等因素，从总体上把握这些因素能够确定出适宜性比较好的学校选址区。 关键词：栅格数据；空间分析；学校选址 中图分类号：查中图分类号手册文献标志码： The application of GIS in school location Abstract: Raster data structure is simple, intuitive,and very easy to computer operation and treatment, it is the commonly used in GIS space based on data format. The space analysis based on the grid data is the fundamental of GIS spatial analysis,also is core content to ArcGIS space analysis module (Spatial Analyst). ArcGIS space analysis module (Spatial Analyst) provides a wide range and powerful Spatial analysis and modeling tool set,which allows users get the information quickly from GIS data, and to provides various analysis operations, including distance drawing, density drawing, surface formation, surface analysis, statistical analysis,reclassification, and raster calcunation, and so on. Reasonable school space position is good for the students of study and life. School issues consider the site selection of the geographical position, places of entertainment facilities, and existing school distance interval in general and other factors. Grasping these factors can determine the suitability better school location area. Key words: Raster data；Spatial Analyst；school location 引言 社会的发展带动了各行各业的发展，学校是培养人才的地方，ArcGIS具有功能强大、应用领域非常广泛，在社会公共安全与应急服务、国土资源管理、遥感、智能交通系统建设、水利、电力、石油、国防、公共医疗卫生、电信等方面和领域都有深入的应用。强大的空间分析功能是ArcGIS的特点与核心之一。无论对于栅格数据还是矢量数据、低维的点、线、面对象还是三维动态对象，都可以通过其空间分析功能的实现得到较为理想的结果。ArcGIS9的空间分析模块（ArcGIS Spatial Analyst）功能的实现主要是基于栅格数据进行的，其可以完成常用的数据转换、分析、统计、分类和显示等功能。空间分析模块是Arcgis进行空间分析的主要模块，其他的一些模块可以帮助用户进行专题性较强、较有特色的空间分析，如统计分析模块、三维分析模块等。ArcGIS Spatial Analyst被紧密的集成在ArcGIS Desktop地理数据处理环境中，因此一些复杂的分析问题的解决比以往更加容易。地理数据处理模型不仅易于创建和执行，并且是独立存档的，使得用户能够迅速理解所进行的空间分析处理。位置的选择是修建学校的先决条件，地理信息系统依靠强大的空间分析和可视化功能使学校选址更具直观性和可行性。本文研究的学校选址问题是利用遗传算法以最小成本为目标,在某一

泛函分析部分知识点汇总

度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离， 使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。 泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范 线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。 一、度量空间的进一步例子 1、度量空间 设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y) 与之对应，而且这一对应关系满足下列条件： 1° 的充要条件为x=y 2° 对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空 间。x 中的元素称为点。 2、常见的度量空间 （1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称 为离散的度量空间。 （2）序列空间S 令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点 令 称 为序列空间。 （3）有界函数空间B(A ） 设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A) 中任意两点x,y ，定义 （4）可测函数空间 设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度， 若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。令 （5）C[a,b]空间 令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意 两点x,y ，定义 二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间 1、收敛点列 设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列 是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。 收敛点列性质： （1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯 一的。 （2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。 (,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠?=?=?(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()| f t g t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-?(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x

最新泛函分析考试题集与答案

泛函分析复习题2012 1．在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量 空间，p 为何值时，R 是赋范空间。 解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有： ),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立 即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ， 有2112=+≤p p p ，所以，1≤p 若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,， 必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ， 当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。 2．若),(d X 是度量空间，则)1,m in(1d d =，d d d +=12也是使X 成为度量空间。 解：由于),(d X 是度量空间，所以X z y x ∈?,,有： 1）0),(≥y x d ，因此0)1),,(m in(),(1≥=y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2≥+= y x d y x d y x d 且当y x =时0),(=y x d ， 于是0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 和0) ,(1) ,(),(2=+=y x d y x d y x d 以及若

0)1),,(m in(),(1==y x d y x d 或0) ,(1) ,(),(2=+= y x d y x d y x d 均有0),(=y x d 成立，于是y x =成立 2）),(),(y x d x y d =， 因此),()1),,(m in()1),,(m in(),(11y x d y x d x y d x y d === 和),() ,(1) ,(),(1),(),(22y x d y x d y x d x y d x y d x y d =+=+= 3）),(),(),(z y d y x d z x d +≤，因此 }1),,(),(m in{)1),,(m in(),(1z y d y x d z x d z x d +≤= ),(),()1),,(m in()1),,(m in(11z y d y x d z y d y x d +=+≤ 以及设x x x f += 1)(，0)1(1)(2 >+='x x f ，所以)(x f 单增， 所以) ,(),(1),(),(),(1),(),(2z y d y x d z y d y x d z x d z x d z x d +++≤+= ),(),(1) ,(),(),(1),(z y d y x d z y d z y d y x d y x d +++++= ),(),() ,(1) ,(),(1),(22z y d y x d z y d z y d y x d y x d +=+++≤ 综上所述)1,m in(1d d =和d d d += 12均满足度量空间的三条件， 故),(1y x d 和),(2y x d 均使X 成为度量空间。

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b

a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积

空间统计-空间自相关分析

空间自相关分析 1.1 自相关分析 空间自相关分析是指邻近空间区域单位上某变量的同一属性值之间的相关程度，主要用空间自相关系数进行度量并检验区域单位的这一属性值在空间区域上是否具有高高相邻、低低相邻或者高低间错分布，即有无聚集性。若相邻区域间同一属性值表现出相同或相似的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域也高（低），则称为空间正相关；若相邻区域间同一属性值表现出不同的相关程度，即属性值在空间区域上呈现高（低）的地方邻近区域低（高），则称为空间负相关；若相邻区域间同一属性值不表现任何依赖关系，即呈随机分布，则称为空间不相关。 空间自相关分析分为全局空间自相关分析和局部空间自相关分析，全局自相关分析是从整个研究区域内探测变量在空间分布上的聚集性；局域空间自相关分析是从特定局部区域内探测变量在空间分布上的聚集性，并能够得出具体的聚集类型及聚集区域位置，常用的方法有Moran's I 、Gear's C 、Getis 、Morans 散点图等。 1.1.1 全局空间自相关分析 全局空间自相关分析主要用Moran's I 系数来反映属性变量在整个研究区域范围内的空间聚集程度。首先，全局Moran's I 统计法假定研究对象之间不存在任何空间相关性，然后通过Z-score 得分检验来验证假设是否成立。 Moran's I 系数公式如下： 11 2 11 1 ()()I ()()n n ij i j i j n n n ij i i j i n w x x x x w x x =====--= -∑∑∑∑∑(式 错误！文档中没有指定样式的文字。-1) 其中，n 表示研究对象空间的区域数；i x 表示第i 个区域内的属性值，j x 表示第j 个区域内的属性值，x 表示所研究区域的属性值的平均值；ij w 表示空间权重矩阵，一般为对称矩阵。 Moran's I 的Z-score 得分检验为：

概率论

1.1.1 确定性现象 在自然界和人类社会生活中，人们观察到的现象大体可以分为两种类型：确定性现象与随机现象． 确定性现象是在一定条件下必然发生（或出现）某个结果的现象，这一类现象也称为必然现象． 例如，①向上抛一块石头必然会落下；②在标准大气压下，水在100oC时一定沸腾；③异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥；?? 确定性现象蕴含的客观规律，我们称为确定性规律，它是人类早期科学研究的主要课题．同学们中小学所接触的自然科学知识几乎都是这些规律的知识． 如，前例①中我们知道那是万有引力定律在作用；前例②中我们知道了水的沸点是与大气压成正比的规律；前例③中如果我们进一步的知道点电量及它们之间的距离，就可以算出它们之间的作用力??这些确定性规律只要我们掌握了，如果给出了具体的初始条件，那么我们就可以明确甚至是精确地知道会发生什么结果． 对于确定性规律，大致地可以得出如下的特点： (1)如果给定某种初始条件，则发生的结果唯一； (2)一旦知道了它的规律，则结果的可以预知的． 换句话说，确定性现象在相同条件下进行多次重复观察或实验，它发生的结果仍然保持不变． 1.1.2 随机现象 随机现象，是在确定的条件下观察一次，只发生（或出现）一个结果，但在相同的条件下进行多次重复观察时，却可以发生多种不同结果的现象． 例如，①在相同的条件下抛同一枚硬币，可能出现正面也可能是反面；②在相同的条件下抛掷同一枚骰子，可能出现1点，也可能出现2点，等等；③某城市某个月内交通事故发生的次数可能为0，可能为1，等等；④对某只灯泡做寿命实验，其寿命的可能值为无数多个；?? 随机现象是事前无法预知结果的，因为在相同条件下，可以出现这个结果，也可以出现那个结果，如在相同的条件下抛掷同一枚骰子，我们无法事先预知六面中哪一面会朝上． 1.1.3 统计规律性(1)--抛硬币实验 因此，人们不禁地要问，随机现象是不是毫无规律可循呢？表面上看，随机现象的发生完全是“偶然的”，或“原因不明的”，没有什么规律可循．但事实上并非如此，人们经过长期的反复实践，逐渐发现所谓的无规律可言，只是针对一次或几次观察而言，当在相同条件下进行大量观察时，随机现象会呈现某种规律．典型的例子就是历史上抛掷硬币的实验： 从试验结果可以看出，在大量的重复实验中，硬币出现正面与反面的机会几乎是相等的，而不是杂乱无章法． 1.1.4 统计规律性(2)--其他实验 我们知道，随机现象在相同条件下进行大量观察时呈现出某种规律性．下面再列举几个例子． 1.根据各个国家各时期的人口统计资料，新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1:1． 2.人的高度虽然各不相同，但通过大量的统计，如果在一定范围内把人的高度按所占的比例画出“直方图”，就可以连成一条和铜钟的纵剖面一样的曲线． 1.1.5 统计规律性(3)--规律描述 从上面的例子我们确实看到，在相同条件下大量重复观察时，随机现象呈现出某种规律，称这种规律为统计规律．概率论和数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门学科． 既然概率统计研究的是随机现象的统计规律性，那么我们有必要具体了解那是什么样的规律．通过上面的例子，可以总结出统计规律的特点： (1)随机性每个结果是否出现是随机会而定的，是客观存在的，人为是无法对它进行控制与支配的； (2)频率的稳定性在大量重复的观察中，各个结果出现的频率是稳定的． 一方面，随机性（也称偶然性，不确定性）是客观存在的，它使得人们无法预知会出现哪个结果，也不会更不可能因为发现了频率的稳定性之后就消失．另一方面，频率的稳定性客观上证实了随机现象的各个结果之间存在着某种内在的必然联系，这种必然联系决定了每个结果出现的可能性大小． 通俗地讲，统计规律性就是：每个结果的发生(或出现)都是随机的，但是每个结果发生的内在比例是固定的．

《空间数据分析》课程论文

南京市银行网点的空间分布特征及影响因素研究 （测绘工程学院地理信息系统专业地信2012班） 摘要：伴随着互联网技术在经济领域的全面渗透，银行业金融电子化改造来临了。许多银行网点的分布多以行政层级制来决定网点的建设，忽视市场规律的作用，对市场的分析不够，进而导致有些银行网点经营状况不佳。随着市场经济的深化，银行间的竞争日趋激烈，如何科学的布局银行网点，无疑已成为一个迫切需要解决的问题。本文选取南京市城区为研究区域，以南京市地理基础数据,借助GIS空间分析技术、统计分析、核密度分析、主成分分析等研究方法,进行银行网点布局特征研究。 结果表明：南京市各个城区的银行网点数量存在较大差异，鼓楼区最多，雨花台区最少，银行网点主要积聚在城市的中心区以及各城区的中心，同时具有商业繁华区聚集性;高校区聚集性;交通便利区指向性;相对于以鼓楼区、白下区、玄武区为中心的区域，外围城区银行网点聚集程度较低。随着空间尺度不同，银行集聚区形成机制差异较大，小尺度集聚区形成主要受到交通便利性的影响，比如典型的有浦口区和六合区。较大尺度银行集聚区则更加关注服务对象。通过分析可知城区面积、人口、GDP 总量、交通等是影响银行网点布局的重要区位因子。最后给出改善南京市城区银行网点分布的建议。 关键词：南京市；银行网点；布局；影响因素 1引言 1.1研究意义 在江苏省经济快速发展的背景下，作为经济发展中心的南京，分析其银行网点的空间分布特征，研究其影响因素，这对于了解南京市第三产业的发展格局，促进南京市金融产业的发展，进而推动南京市经济的快速发展具有重要意义。从GIS空间分析视角，对银行网点的空间分布进行研究，具有一定现实意义。首先其能够指导金融业的发展规划，尤其是空间布局方面；其次随着南京市城市规模不断的扩大，能够为今后银行选址及分布提供指导。 1.2国内外相关研究进展 1.2.1 国外研究现状 自20世纪50年代以来，国内外学者对金融地理学展开了一些的研究。Hepworth(1981)探讨了国际金融中心形成的主要影响因素和简单的发展历程；E.P.Davis(1988)则将企业选址理论运用到国际金融中心形成的研究中去[1]。 20世纪年代以来研究主要集中在城市中心商务区，学术界普遍存在这样一种共识：集聚在市中心能使金融业更方便地获得外部效益和信息资源[2]。尽管城市空间格局不断重组，但对于一个城市的高端服务业（如金融、保险、证劵）的布局来说，集聚经济发挥的作用始终没有减弱，它们总倾向于布局在CBD[3]。学者们对影响金融业布局因素的研究较多，有学者强调集聚作用，有学者强调文化根植[4]，还有学者认为信息的共享性和易获得性至关重要。大体可以分为4个因素：经济因素、空间因素、信息因素、人文因素。随着研究的进一步深入，银行业空间布局作为金融地理学的重要研究内容，逐渐受到学者重视，金融行业也被细分为银行业、基金业、保险业和证劵业等分支行业，每种行业都具备独特的功能和特定的布局形式。将不同类型的金融机构的区位进行比较研究，通常会得到明显的差别。从单一类别来看，国外学者对银行业布局的理论和实证研究都比较成熟，早在20世纪80年代就进行了大量案例研究。例如Yamori 究利用多元离散模型研究了日本跨国银行在其国际化过程中选址的考虑因素，研究发现人均国内生产总值与其海外银行的投资规模关系密切[5]。 可以看出，国外学者的研究视角多是国家或区域层面上的，更多的是关注跨国银行与政治、经济和社会发展的关系，在研究方法上通常是建立数学模型，借助软件进行求解。 1.2.2 国内研究现状 国内有关金融及银行网点空间分布研究的主体是银行的从业人员，主要从金融网络及金融网点经营与管理的角度探讨。改革开放以来银行网点的研究首先集中在不同类银行的发展形势。各大银行的功能定位，一些学者则从研究方法入

空间计量经济学分析

空间计量经济学分析 空间依赖、空间异质性 ?传统的统计理论是一种建立在独立观测值假定基础上的理论。然而，在现实世界中，特别是遇到空间数 据问题时，独立观测值在现实生活中并不是普遍存在的（Getis, 1997）。 ?对于具有地理空间属性的数据，一般认为离的近的变量之间比在空间上离的远的变量之间具有更加密切 的关系（Anselin & Getis，1992）。正如著名的Tobler地理学第一定律所说：“任何事物之间均相关，而离的较近事物总比离的较远的事物相关性要高。”（Tobler，1979） ?地区之间的经济地理行为之间一般都存在一定程度的Spatial Interaction，Spatial Effects）：Spatial Dependence and Spatial Autocorrelation）。 ?一般而言，分析中涉及的空间单元越小，离的近的单元越有可能在空间上密切关联（Anselin & Getis, 1992）。 ?然而，在现实的经济地理研究中，许多涉及地理空间的数据，由于普遍忽视空间依赖性，其统计与计量 分析的结果值得进一步深入探究（Anselin & Griffin, 1988）。 ?可喜的是，对于这种地理与经济现象中常常表现出的空间效应（特征）问题的识别估计，空间计量经济 学提供了一系列有效的理论和实证分析方法。 ?一般而言，在经济研究中出现不恰当的模型识别和设定所忽略的空间效应主要有两个来源（Anselin， 1988）：空间依赖性（Spatial Dependence）和空间异质性（Spatial Heterogeneity）。 空间依赖性 ?空间依赖性（也叫空间自相关性）是空间效应识别的第一个来源，它产生于空间组织观测单元之间缺乏 依赖性的考察（Cliff & Ord, 1973）。 ?Anselin & Rey（1991）区别了真实（Substantial）空间依赖性和干扰（Nuisance）空间依赖性的不同。 ?真实空间依赖性反映现实中存在的空间交互作用（Spatial Interaction Effects）， ?比如区域经济要素的流动、创新的扩散、技术溢出等， ?它们是区域间经济或创新差异演变过程中的真实成分，是确确实实存在的空间交互影响， ?如劳动力、资本流动等耦合形成的经济行为在空间上相互影响、相互作用，研发的投入产出行为及政策 在地理空间上的示范作用和激励效应。 ?干扰空间依赖性可能来源于测量问题，比如区域经济发展过程研究中的空间模式与观测单元之间边界的 不匹配，造成了相邻地理空间单元出现了测量误差所导致。 ?测量误差是由于在调查过程中，数据的采集与空间中的单位有关，如数据一般是按照省市县等行政区划 统计的，这种假设的空间单位与研究问题的实际边界可能不一致，这样就很容易产生测量误差。 ?空间依赖不仅意味着空间上的观测值缺乏独立性，而且意味着潜在于这种空间相关中的数据结构，也就 是说空间相关的强度及模式由绝对位置（格局）和相对位置（距离）共同决定。 ?空间相关性表现出的空间效应可以用以下两种模型来表征和刻画：当模型的误差项在空间上相关时，即 为空间误差模型；当变量间的空间依赖性对模型显得非常关键而导致了空间相关时，即为空间滞后模型（Anselin，1988）。 空间异质性 ?空间异质性（空间差异性），是空间计量学模型识别的第二个来源。 ?空间异质性或空间差异性，指地理空间上的区域缺乏均质性，存在发达地区和落后地区、中心（核心） 和外围（边缘）地区等经济地理结构，从而导致经济社会发展和创新行为存在较大的空间上的差异性。 ?空间异质性反映了经济实践中的空间观测单元之间经济行为（如增长或创新）关系的一种普遍存在的不 稳定性。 ?区域创新的企业、大学、研究机构等主体在研发行为上存在不可忽视的个体差异，譬如研发投入的差异 导致产出的技术知识的差异， ?这种创新主体的异质性与技术知识异质性的耦合将导致创新行为在地理空间上具有显著的异质性差异， 进而可能存在创新在地理空间上的相互依赖现象或者创新的局域俱乐部集团。 ?对于空间异质性，只要将空间单元的特性考虑进去，大多可以用经典的计量经济学方法进行估计。 ?但是当空间异质性与空间相关性同时存在时，经典的计量经济学估计方法不再有效，而且在这种情况下，

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用 学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。 一、度量空间和赋范线性空间 （一）度量空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n维欧氏空间n R（有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。 1．度量定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d()与之对应，而且这一对 应关系满足下列条件： 1°d()≥0 ，d()=0 ?x=y（非负性） 2°d()= d() （对称性） 3°对?z ，都有d()≤d()() （三点不等式） 则称d()是x、y之间的度量或距离（或），称为 ()度量空间或距离空间()。 （这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d()，只要 满足1°、2°、3°都称为度量。这里“度量”这个名 称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描 述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被 认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 ⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个 集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为 (X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。 ⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观 起见，今后称度量空间()中的元素为“点” ，例如若 x X ∈，则称为“X 中的点” 。 ⑷ 在称呼度量空间()时可以省略度量函数d ，而称“度 量空间X ” 。 1.1举例 1.11离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点∈X ，令 ()1x y d x y =0x=y ≠??? ，当，，当，则称（X ，d ）为离散度量空间。 1.12 序列空间S ：S 表示实数列（或复数列）的全体，d()＝1121i i i i i i ?η?η∞=-+-∑； 1.13 有界函数空间B(A)：A 是给定的集合，B(A)表示A 上有界

GIS-空间分析论文

空间分析在GIS中的应用研究进展 摘要空间分析是地理学和其他相关学科的重要研究手段与方法，其 重要性日益引起关注。空间分析以处理地理空间有关的信息为特长，以综合 处理空间信息为方向，具有解决复杂问题的强大信息处理能力，根据GIS 处 理对象界定空间分析的功能。 关键词空间分析；GIS；空间模型；研究进展 随着对地观测、社会经济调查、计算机网络和格网信息处理能力的迅速提高，空间数据正在以指数级增加，通用和专用的空间数据结构，应用于具体事物的管理信息系统以及对这些海量空间数据进行深加工以获得高附加值信息产品的GIS空间信息分析技术成为空间信息三大领域。专门的空间信息分析理论和技术正在迅速发展，已在遥感生态环境、地球科学、社会经济等领域得到诸多成功的应用，展现出广阔的应用潜力由于空间分析的应用领域极广，学科新兴，源于不同领域的分析方法内涵和外延不同，分别对应不同的称谓，有空间分析( Spatial Analysis) 空间数据分析( Spatial data Analysis) 空间统计( Spatial Statistics) 地统计学( Geostatistics) 等空间分析的对象来源于真实的地理世界；经过人脑认知形成人脑中的图像，表现为场和对象;具体可以抽象为点线面图；最后需要测量表达为计算机所识别的空间数据矩阵的形式，而空间分析的具体操作对象是空间数据矩阵。 1 空间分析的内容和技术方法 1．1 内容空间分析以处理地理空间有关的信息为特以综合处理空间信息为方向，具有解决复杂问题的强大处理能力，根据GIS 处理对象界定空间分析的功能。 1．2 技术方法空间分析的技术方法主要有：地图的空间分析技术，如GIS 中的缓冲区、叠加分析，以及陈述彭院士提出的地学图谱方法；空间动力学分析，有水文模型、空间价格竞争模型、空间择位模型等；基于地理信息的空间分析，或称空间信息分析，以及结合各专业领域空间分析的模型方法等。 2 GIS 与空间分析方法的结合 2.1 空间分析 空间分析是基于地理对象的位置和形态特征的数据分析技术，是各类综合性

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

泛函分析度量空间知识和不动点的应用

泛函分析度量空间知识和不动点的应用 第七章度量空间和赋范线性空间知识总结 一、度量空间的例子 定义：设X 为一个集合，一个映射d ：X ×X →R 。若对于任何x,y,z 属于X ，有 （I ）（正定性）d(x,y ）≥0，且d(x,y)=0当且仅当 x = y ； （Ⅱ）（对称性）d(x,y)=d(y,x ）； （Ⅲ）（三角不等式）d(x,z ）≤d(x,y)+d(y,z ） 则称d 为集合X 的一个度量（或距离）。称偶对（X ，d ）为一个度量空间，或者称X 为一个对于度量d 而言的度量空间。根据定义引入度量空间有离散的度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间、C 【a ，b 】空间、2l 空间，这6个空间是根据度量空间的定义可证它们是度量空间，在后面几节中给出它们相关的性质。 二、度量空间中的极限，抽密集，可分空间： 证明极限有二种方法： 1、定义法：设{}n x 是（X ，d ）中点列，如果存在x ∈X ，是lim (,)n x d x x →∞ =0，则称点列{} n x 是（X ，d ）中的收敛点列，x 是点列{}n x 的极限。 2、M 是闭集是充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。即若n x M ∈，n=1、，2……， n x x →，则x M ∈。 给出n 维欧氏空间、C[a,b]序列空间、可测函数空间中点列收敛的具体意义，由这些系列例子可以看到，尽管在各个具体空间中各种极限概念不完全一致，所以我们引入度量空间中的稠密子集和可分空间的概念，根据定义可得出n 维欧氏空间n R 是可分空间，坐标为有理数的全体是n R 的可数稠密集，离散度量空间X 可分的充要条件为X 是可数集。l ∞ 是不可分空间。 三、连续映射 证明度量空间的连续映射有四种方法： 1、定义法：设X=（X ，d ），Y=（Y ，d ）是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映射，0 x X ∈，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ 0，使对X 中一切满足d （x ，0x ）δ 的x ，有 (,)d Tx Tx ε ，则称T 在0x 连续。 2、对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 得某个δ—邻域V 使TV ?U ，其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。 3、定理1：设T 是度量空间（X ，d ）到度量空间（Y ，d ）中的映射，那么T 在0 x X ∈连

基于住宅的功能空间研究与设计毕业论文

基于住宅的功能空间研究与设计毕业论文 1 绪论 住宅是“家”的场所,是安抚、孕育人的品质,振奋人们的精神,滋养人的事业的场所,具有安定民心、淳化风气、防疾患、减少犯罪和使人体会到自身价值和人生真谛等功能。每一个家庭都生活在有限的空间里,无论其居住面积的大与小,都面临合理组织空间的问题。以下我们就住宅的功能空间设计进行分析，同时就住宅空间组合的原则进行探讨。 1、住宅的功能空间 住宅部空间组成至少应包括起居室(厅)、卧室、厨房、卫生间、餐室、过厅、过道、储藏室、阳台等。这些空间对于居家生活活动有着不同的功能，各有不同的设计要求。 1.1 起居室(厅) 起居室是供居住者会客、娱乐、团聚等活动的空间。是一个公共活动的共用空间，是住宅设计中最活跃的因素。(住宅建筑规)(G8 50368-2005)(以下简称(规))要求“起居室(厅)应有直接采光、自然通风，有较好的朝向和视野，其使用面积不应小干12m2: 1997年1月2日建设部发布的《2000年小康型城市住宅科技产业的工程城市示小区规划设计导则》(以下简称(导则))建议的起居厅使用面积已达18～25m2。起居室的面积应根据使用的人数和具体功能来确定，面积太小，使用不方便，面积过大也会使人感到空旷，给居住者在心理上产生一种孤独感。起居室(厅)的门洞布置应相对集中留出完整墙面方便家具的布置和使用，减少通行路线交叉穿越，避免相互干扰。 1.2 卧室 卧室主要用于人们的睡眠、休息、更衣、梳妆等活动的场所，是住宅中私

密性要求最高的地方。(规)规定“卧室的设计应使每个卧室相对独立，卧室之间不应穿越;卧室应有直接采光、自然通风卧室使用面积不宜小于下列规定:双人卧室为10m2，单人卧室为6m2。卧室宜集中布置在较隐蔽的安静空间，并且应当隔声良好，应注意防止视线的干扰。形状应规整，便于家具设备的布置。卧室的面积大小主要应该看家具设备布置的需要，太大的卧室会造成空虚感，也不利于节能。因此，最基本卧室面积应为3× 3.3=10m2，较理想的主卧室开间在3.6m以上，面积在15m2左右。 1.3 厨房 厨房是供居住者进行炊事活动的空间，厨房是家务劳动时间最长的地方，也是室噪声和污染最严重的地方。厨房的功能已从过去单一的烹调行为发展为集仓储、加工、清洗、烹饪和配餐等多种功能于一体的综合服务空间。厨房的设计应有足够的面积。良好的通风、排烟、排气，减少对室环境的污染和影响。(规)规定:一类和二类住宅厨房的使用面积不应小于4m2，三类和四类住宅为5m2;大小尺寸应满足设备设施布置的需要，单排布置设备的厨房净宽不应小于1.5m，双排布置设备的厨房其两排设备的净距不应小于0.9m;操作面净长不应小于2.1m，厨房的净高不应低于2.2m。 1.4 餐室 餐室的设计应满足家庭成员同时进餐以及可能的家庭宴会的需要，可以和厨房合设或分设。餐厅和厨房合设同一空间，面积利用充分，但受油烟影响大，适于住宅面积不大的中小套型住宅;独立设置的餐室面积要求比较大。适合大中套型住宅。对于面积不大的餐室，可与起居室连成一体，扩大空间感，或用简洁的落地玻璃隔断等分隔，独立餐室面积一般8-14m2，空间接近方形为佳。 1.5 卫生间 卫生间是供居住者进行方便、洗浴、盆洗等活动的空间。(规)规定“每

拓扑空间与度量空间性质异同浅析论文

拓扑空间与度量空间性质异同浅析摘要：拓扑空间是度量空间的延伸，是用抽象化的语言来阐述相关概念，蕴含着丰富的性质。本文将拓扑空间中一些性质与度量空间中的一些性质做了一些比较，特别是对拓扑空间中相关反例进行了研究。 关键词：拓扑空间，度量空间，可分性 拓扑空间和度量空间是数学专业的最基本内容之一，研究他们的基本定义和相关性质是后续研究的重要基础，下面我们将其相关定义和性质进行梳理。 一、相关定义 拓扑空间的定义如下： 定义1. 设x是一非空集合，x的一个子集族称为x的一个拓扑，如果它满足： （1）都包含在中 （2）中任意多个成员的并集仍在中 （3）中有限多个成员的交集仍在中 度量空间的定义如下： 定义2. 集合x上的一个度量是一个映射：,它满足 （1）正定性. , ,, 当 （2）对称性. , （3）三角不等式. , 当集合x上规定了一个度量后，称为度量空间。从相关定义中看出，若将度量空间中的开子集取作球形邻域，则拓扑空间是度量空间的推广。常见的度量空间有下面的一些例子:

例1：欧氏空间赋予距离拓扑后为度量空间。 例2：空间x赋予如下度量：，则x为度量空间。 例3：对实数上的闭区间上连续函数空间，我们可以赋予如下最大模范数诱导的度量，即任意两个连续函数的的距离为这两函数差的最大模，同样对于可导函数，光滑函数都有类似的定义。 例4：在辛几何中，在哈密顿微分同胚群中hofer曾定义了如下度量： 从其诱导的范数称为hofer范数，该范数是研究辛拓扑、辛嵌入的强有力武器。 二、相关性质 度量空间中许多性质都发源于欧氏空间，它们满足、、、分离公理与、可数公理，但有许多性质到拓扑空间就不再保持。例如可分性就不再保持。 命题1：可分度量空间的子空间也是可分的。 证明:不妨假设x是可分的度量空间，a是x的子空间，b为x的可数稠密子集。下面证明为a的可数稠密子集。 首先证明为a的可数子集。因为b为可数子集，可数集的子集仍为可数集，所以为a的可数子集。 其次证明为a的稠密子集，此时需要在子空间拓扑下讨论，即需证明a中任何开集与的交不空，由子空间拓扑定义，a中开集u为x中开集p与a的交，即.又因为b为x的稠密子集，即x的任何开集与b的交非空。所以，从而得证。 但可分拓扑空间的子空间一般是不可分的，例子参见[1]。