关于函数连续性与间断点的分析方法研究

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关于函数连续性与间断点的分析方法研究

作者：徐森

来源：《科技视界》2015年第02期

【摘要】根据函数连续性的定义，讨论的初等函数间断点的判断方法。从函数极限存在

性入手，给出了判断函数间断点类型的一般步骤。通过几个特出非初等函数连续性和间断点的讨论，说明了判定过程，对于函数连续性和间断点的教学具有一定的指导意义。

【关键词】连续函数;间断点;初等函数;分段函数

函数连续性是高等数学中衔接函数极限和函数微分的重要概念，函数连续性与间断点则是教学中的一个重点概念，如何讨论函数连续性，判断函数间断点的类型则是学生学习的一个难点。本文从函数连续性的定义入手，分析了判断函数间断点的一般步骤，为这一环节的教学提供了思路。

1 函数间断点的判断

函数连续性一般定义为：“设函数f（x）在x0的一个邻域内有定义，如果■f（x）存在，且■f（x）=f（x0），则称函数f（x）在x0处是连续的”[1]。又根据初等函数极限的存在性，“初等函数极限必存在，且等于该点处的函数值”，从而可以得到函数连续性的一个重要概念：“初等函数在其定义域内必连续”。所以，一般的初等函数可能的间断点往往在其函数定义域范围之外，从而函数间断点的判断问题就转化为函数定义域的问题。例如，函数■的可能间断点在x=0处;函数■的可能间断点在x=0，x=1处。

分段函数是数学中常见的一类函数。分段函数本身不是初等函数，但一般分段函数在其不同区间上的函数均为初等函数。按照“初等函数在其定义域内必连续”的概念，分段函数在其不同区间上均连续，则分段函数的可能间断点往往出现在其分段点处。例如，函数f（x）=1-x，x1可能的间断点在x=1，x=-1处。

2 函数间断点类型的判断

函数间断点分为可去间断点和跳跃间断点，该两类间断点统称为“第一类间断点”;除此之

外的间断点均称为“第二类间断点”。

根据可去间断点和跳跃间断点的定义[2]可以得到以下结论：

结论1：左右极限存在是x0为f的第一类间断点的必要条件。

结论2：函数极限存在是x0为f的可去间断点的必要条件。