函数的连续性与间断点

第 6 次课 2 学时

§1.9 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。

1．函数的增量

一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ??-2即 u=u

对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ?，则函数有相应的增量00((y y f x f x ??=?， +x)-　)

（几何解释）

21()2 1.f x x =-??例设分别求：

(1)　x 由１变到1.2时，

（2) x 由１变到0.8时，

的增量x 和y .

解：（略）

2．函数的连续性

如果自变量 x 的增量 x ?很小时，函数y 的增量y ? 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。

定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ?→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ?=+?-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ?→??=。 例2 ：证明函数2

()21f x x =-在x=1 处连续。

证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ?→?→→+?→??????---=?+???

???=?+?=?

?=-= ，　f(x): f(1)f(1+x)

y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在　处连续　．

（类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）

[]0

00000000()()

lim lim ()()0lim ()()x x x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x f x ?→→→=+??→→?=-?-== ，则当时， ，这时根据定义１　， y=0 可以写作 ，即　.

定义2：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果0x x → 时f(x)的极限存在，且等于它在0x 的函数值,即0

0lim ()()x x f x f x →=　，则称 f(x) 在点0x 连续。 左（右）连续：若)()0()(lim 00x f x f x f x x =-=-←→，就称)(x f 在0x 点左连续。若)()0()(lim 00x f x f x f x x =+=+

→，就称)(x f 在0x 点右连续。 如果)(x f 在区间I 上的每一点处都连续，就称)(x f 在I 上连续；并称)(x f 为I 上的连续函数；若I 包含端点，那么)(x f 在左端点连续是指右连续，在右端点连续是

指左连续。

连续函数的图像是一条不断开的曲线。

定义1ˊ：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对0,0>?>?δε，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f ，就称)(x f 在0x 点连续。

定理：)(x f 在0x 点连续)(x f ?在0x 点既左连续，又右连续。

【例3】多项式函数在),(+∞-∞上是连续的；所以)()(lim 00

x f x f x x =→，有理函数在分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。

以上由§1.6【例2】的推论1、推论2即得。

【例4】不难证明x y x y cos ,sin ==在),(+∞-∞上是连续的。

【例5】证明x x f =)(在0=x 点连续。 证明：0lim lim ,0)(lim lim 0

00000===-=+→+→-→-→x x x x x x x x ，又0)0(=f ，所以由定理 ? x x f =)(在0=x 点连续；

或由前§1.4习题5知)0(0lim 0

f x x ==→，所以 ? x x f =)(在0=x 点连续。 【例6】讨论函数???<-≥+=02

02x x x x y 在0=x 的连续性。 解：220)2(lim lim ,220)2(lim lim 0

0000000=+=+=-=-=-=+→+→-→-→x y x y x x x x ，因为22≠-，所以该函数在0=x 点不连续，又因为2)0(=f ，所以为右连续函数。

二、函数的间断点

通俗地说，若)(x f 在0x 点不连续，就称0x 为)(x f 的间断点，或不连续点，为方

便起见，在此要求0x 的任一邻域均含有)(x f 的定义域中非0x 的点。间断点有下列三种情况：

（1）)(x f 在0x x =没有定义；

（2）)(lim 0

x f x x →不存在； （3）虽然)(lim 0x f x x →存在，()f x 在0x 点也有定义，但)()(lim 00

x f x f x ≠→。 几种常见的间断点类型：

【例7】设21)(x x f =

，当∞→→)(,0x f x ，即极限不存在，所以0=x 为)(x f 的间断点。因为∞=→2

01lim x x ，所以0=x 为无穷间断点。 【例8】x

y 1sin =在0=x 点无定义，且当0→x 时，函数值在1-与1+之间无限次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。

1.????∈=Q x Q x x f 1

)( x ?均为振荡间断点。 2、?????===或无理数1,00

1

)(x q p x q x f Q x ∈不连续，Q x ?连续。 【例9】 x x y sin =在0=x 点无定义，所以0=x 为其间断点，又1sin lim 0=→x x x ，所以若补充定义1)0(=f ，那么函数在0=x 点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。

【例10】 [例6]的函数在0=x 点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于)0(f 的，这种间断点称为跳跃间断点。例如x y sgn =在0=x 处即为跳跃间断点。

归纳：(1)∞=→)(lim 0

x f x x ，0x 为无穷间断点； (2))(lim 0

x f x x →震荡不存在，0x 为震荡间断点； (3))()(lim 00

x f A x f x x ≠=→，0x 为可去间断点； (4))(lim )(lim 0

000x f x f x x x x +→-→≠，0x 为跳跃间断点。

如果)(x f 在间断点0x 处的左右极限都存在，就称0x 为)(x f 的第一类间断点，显然它包含(3)、(4)两种情况；否则就称为第二类间断点。

函数的间断点

函数间断点求法两个基本步骤 1、间断点（不连续点）的判断 在做间断点的题目时，首要任务是将间断点的定义熟记于心。下面我们一起看一下教材上间断点的定义： 2、间断点类型的判断 找出函数的间断点后，然后判断间断点的类型，主要通过间断点的左右极限情况来划分： （1）第一类间断点：在间断点处的左右极限都存在．可以分为以下两种： ①可去间断点：左右极限存在且相等； ②跳跃间断点：左右极限存在但不相等． （2）第二类间断点：在间断点处的极限至少有一个不存在．经常使用到的，有以下两种形式的第二类间断点： ①无穷间断点：在间断点的极限为无穷大．

②振荡间断点：在间断点的极限不稳定存在． ?间断点： 是f(x)的间断点，f(x)在 点处的左右极限都存在为第一类间断点. f(x)在 点处左右极限至少有一个不存在，则 是f(x)的第二类间断点. 第一类间断点中 可去间断点 ： 左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等 第二类间断点：无穷间断点，振荡间断点等. 下面通过一道具体的真题，说明函数间断点的求法： 函数的间断点 一、函数的间断点 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一： 1．在0x x =没有定义； 2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0 lim →不存在；

3．虽在0x x =有定义，且()x f x x 0 lim →存在，但()()00 lim x f x f x x ≠→； 则函数()x f 在点0x 为不连续，而点0x 称为函数()x f 的不连续点或间断点． 下面我们来观察下述几个函数的曲线在1=x 点的情况，给出间断点的分类： 在1=x 连续． 在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断，1→x 极限为2． 在1=x 间断， 1→x 左极限为2，右极限为1． 在0=x 间断，0→x 极限不存在． 像②③④这样在0x 点左右极限都存在的间断，称为第一类间断，其中极限存在的②③称作第一类间断的可补间断，此时只要令()21=y ，则在1=x 函数就变成连续的了； ④被称作第一类间断中的跳跃间断．⑤⑥被称作第二类间断，其中⑤也称作无穷间断，而⑥ 称作震荡间断． 就一般情况而言，通常把间断点分成两类：如果0 x 是函数()x f 的间断点，但左极限 ① 1+=x y ② 11 2- +=x x y ③ ???≥<+=1111x x x y ，， ④ ???≥<+=1 1 1x x x x y ，，⑥ x y 1sin =

函数的连续性与间断点

第七节 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作 x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量 x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数 ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值 )(x f 都满足不等式：ε <-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义） ，（2） )(lim 0 x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且 )()(lim 000 x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连

函数的连续性与间断点(重点内容全)

函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ?，即x ?＝1x －2x 。（增量可正可负）。 例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=?+x x 时，函数值的改变量。 2．函数在点连续的定义 定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ?=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ?＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当 0x x →时的极限存在，即)()(lim 00 x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。 定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。 注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝ )(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00 x f x f x x =→。 3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义： （1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续?)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。 （2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续?)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。 显然，函数y ＝)(x f 在点0x 处连续?函数y ＝)(x f 在点0x 处既左连续又右连

第8节 函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点 教学目的：理解函数连续的概念，会判断函数间断点的类型，了解初等函数的连 续性和闭区间上连续函数的性质，并会应用这些性质。 教学重点：连续的定义，间断点的分类 教学难点：连续的定义，间断点的分类 教学过程： 一、函数的连续性 对()x f y =，当自变量从0x 变到x ，称0x x x -=?叫自变量x 的增量，而 ()()00x f x x f y -+=?叫函数y 的增量． 定义 设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量0x x x -=?趋于零时，对应的函数的增量()()00x f x x f y -+=?也趋于零，那么就称函数()x f y =在点0x 连续． 它的另一等价定义是：设函数()x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，如果函数()x f 当 0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00 lim x f x f x x =→，那么就 称函数()x f y =在点0x 连续． 下面给出左连续及右连续的概念． 如果()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =-，就说函数() x f 在点0x 左连续．如果()()0lim 00 0+=+→x f x f x x 存在且等于()0x f ，即()()000x f x f =+， 就说函数()x f 在点0x 右连续． 在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线． 二、函数的间断点 设函数()x f 在点0x 的某去心邻域内有定义．在此前提下，如果函数()x f 有下列三种情形之一： 1．在0x x =没有定义； 2．虽在0x x =有定义，但()x f x x 0 lim →不存在；

函数的连续性与间断点

第 6 次课 2 学时

§1.9 函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 连续性是函数的重要性态之一，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。 1．函数的增量 一个变量u 由初值1u 变到终值2u ，终值与初值之差称为u 的增量( 或改变量)，记作 1,u u ??-2即 u=u 对于函数()y f x =，设它在0x 及0x 的某个邻域内有定义，在0x 处给自变量 x 一个增量x ?，则函数有相应的增量00((y y f x f x ??=?， +x)-　) （几何解释） 21()2 1.f x x =-??例设分别求： (1)　x 由１变到1.2时， （2) x 由１变到0.8时， 的增量x 和y . 解：（略） 2．函数的连续性 如果自变量 x 的增量 x ?很小时，函数y 的增量y ? 也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。 定义 1：设)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，如果当自变量x 在0x 的增量0x ?→时，相应函数的增量00()()0y f x x f x ?=+?-→，就称函数)(x f y =在0x 点处连续。 注 ：)(x f 在0x 点连续0lim 0x y ?→??=。 例2 ：证明函数2 ()21f x x =-在x=1 处连续。 证明：函数的定义域为(),-∞+∞，在x=1 的邻域内有定义。 ()()()()2222002:1112*1142lim lim 420()211x x x x x x y x x f x x x ?→?→→+?→??????---=?+??? ???=?+?=? ?=-= ，　f(x): f(1)f(1+x) y=f(1+x)-f(1)=21+x 故 在　处连续　． （类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）

函数的连续性与间断点共5页

一、函数的连续性 变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差 u 2u 1就叫做变量u 的增量, 记作u , 即u u 2u 1. 设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量 x 在这邻域内从x 0变到x 0x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到 f (x 0 x ), 因此函数y 的对应增量为 y f (x 0 x ) f (x 0). 函数连续的定义 设函数y f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量 x x x 0 趋于零时, 对应的函数的增量 y f (x 0x ) f (x 0 )也趋于零, 即 lim 0 =?→?y x 或)()(lim 00 x f x f x x =→, 那么就称函数y f (x )在点x 0 处连续. 注 ①0)]()([lim lim 000 =-?+=?→?→?x f x x f y x x ②设x x 0+x , 则当 x 0时, x x 0, 因此 lim 0 =?→?y x 0 )]()([lim 00 =-→x f x f x x )()(lim 00 x f x f x x =→. 函数连续的等价定义2:设函数y f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义 的正数 , 总存在着正数 , 使得对于适合不等式

|x x 0|< 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式 |f (x )f (x 0)|< , 那么就称函数y f (x )在点x 0处连续. 左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =- →, 则称y f (x )在点0x 处左连续. 如果)()(lim 00x f x f x x =+ →, 则称y f (x )在点0x 处右连续. 左右连续与连续的关系: 函数y f (x )在点x 0处连续?函数y f (x )在点x 0处左连续且 右连续. 函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例: 1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(￥, ￥) 内是连续的. 这是因为, f (x )在( ￥, ￥)内任意一点x 0处有定义, 且 ) ()(lim 00 x P x P x x =→ 2. 函数 x x f =)(在区间[0, ￥)内是连续的. 3. 函数y sin x 在区间( ￥, ￥)内是连续的. 证明 设x 为区间( ￥, ￥)内任意一点. 则有

函数间断点的图解法

函数间断点的图解法 李小平 (株洲职业技术学院 株洲 412001) 在高等数学教学中，当讲到函数的连续性概念时，就要讲到第一类间断点和第二类间断点的概念，倘若用文字来说明它们的区别，学生是很难理解透彻，倘若将抽象问题具体化，用图像的方法来说明，其教学效果是显著的。 1、间断点的概念 根据函数()y f x =在点0x 处的极限情况，函数的间断点可分为两类： ①00lim ()x x f x →+、00 lim ()x x f x →?都存在的间断点，就是第一类间断点； ②不为第一类间断点的间断点，就是第二类间断点[1]。 第一类间断点的定义，学生从字面上可以理解，但第二类间断点的定义，太抽象了，单从定义上看，学生难以接受，理解不透彻，教学中需要从其他方面着手帮助学生理解，直观的图像法是最好的教学手段，下面讲到的就是第一、二类函数间断点的图像和实例。 2、用图像来说明 2.1第一类间断点的图像 以下图1至图4是第一类间断点的图像。 对图1来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →?都存在，00lim ()x x f x →+=00 lim ()x x f x →?，但0()f x 不存在。 例如2(,2)()2(2,) x x f x x x ?∈?∞=?∈+∞?，函数()f x 在2x =处为第一类间断点（因为函数 ()f x 在2x =时未定义）。 对图2来说：00lim ()x x f x →+、00lim ()x x f x →?都存在，000 lim ()()x x f x f x →?=，但 [作者简介]：李小平，株洲职业技术学院副教授、程序员。

数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说,连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x) = f ( x0), (1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为 又如, 函数lim x →2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5= f (2 ). f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0, x =0 在点x = 0 连续, 因为 lim x →0 f ( x) = lim x →0 x sin 1 x =0= f ( 0). 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x-x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy= f ( x) - f ( x0) = f ( x0 + Δx)- f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y= f( x)在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx →0

70 第四章 函数的连续性 由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的, 因而也可直接用ε- δ方 式来叙述, 即: 若对任给的ε>0 , 存在δ> 0 , 使得当|x - x 0 | <δ时有 | f (x)- f ( x 0 ) |<ε, (2) 则称函数 f 在点 x 0 连续 . 由上述定义, 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念 之间的联系.首先, f 在点x 0 有极限是f 在x 0 连续的必要条件;进一步说“, f 在 点x 0 连续”不仅要求f 在点x 0 有极限,而且其极限值应等于f 在x 0 的函数值 f( x 0) .其次,在讨论极限时,我们假定f 在点x 0 的某空心邻域U °( x 0 )内有定 义( f 在点x 0 可以没有定义),而“f 在点x 0 连续”则要求f 在某U( x 0 )内(包括 点x 0)有定义,此时由于(2)式当x = x 0 时总是成立的,所以在极限定义中的“0 <|x - x 0 |<δ”换成了在连续定义中的“|x - x 0 |<δ”.最后,(1)式又可表示为 lim x → x f (x)= f lim x , x → x 可见“f 在点x 0 连续”意味着极限运算lim x → x 与对应法则 f 的可交换性 . 例1证明函数 f (x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续, 其中 D ( x ) 为狄利克雷 函数 . 证 由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ?1 , 对任给的ε>0 , 为使 | f ( x) - f ( 0) | = | xD( x ) | ? | x | <ε, 只要取δ=ε,即可按ε-δ定义推得f 在x =0连续. □ 相应于f 在点x 0 的左、右极限的概念,我们给出左、右连续的定义如下: 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义.若 lim x → x + f (x)= f (x 0) lim - x → x f (x)= f (x 0) , 则称 f 在点 x 0 右( 左) 连续 . 根据上述定义1 与定义2 , 不难推出如下定理 . 定理4.1 函数 f 在点x 0 连续的充要条件是:f 在点 x 0 既是右连续, 又是 左连续 . 例 2 讨论函数 在点 x = 0 的连续性 . 解 因为 f ( x ) = x + 2 , x ? 0 , x - 2 , x <0 lim x → 0 + lim x → 0 - f ( x ) = lim x → 0 + f (x)= lim x → 0 - ( x + 2 ) = 2 , ( x - 2) = - 2, 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, 从而它在 x = 0 不连续( 见 ●

函数的间断点

函数的间断点 一、复习回顾 函数()f x 在点0x 处连续的定义：()f x 在点0x 的某一邻域内有定义，且()()00lim x x f x f x →= 即：极限值等于函数值。 二、出示反例，揭示课题 是不是所有的函数都是连续的呢？观察以下几个函数的图象： ①()2 x x f x x += ②()1,0,0,01,0.x x f x x x x +? ③()1,0,1,0.x x f x x x +>?=?-≤? ④()1f x x = 不难发现，这些函数的图象在0x =这点处不连续，我们把不连续的点称为函数的间断点。 虽然都是间断点，这些间断点有什么区别吗？这节课我们就一起来研究函数的间断点。 三、比较差异，学会分类 刚才我们说0x =是函数的间断点，说明函数在0x =处不满足连续的定义，那么究竟哪里不满足连续的定义呢？下面我们逐一对这四个函数进行分析。 ①左边()()00 lim lim 11x x f x x →→=+= 右边()0f 不存在，所以在0x =处不连续，也就是间断 ②左边()0lim 1x f x →=，右边()00f = ，但是()()0 lim 0x f x f →≠，所以在0x =处间断 ①和②，当0x →时，函数的极限值存在，但函数在0x =处的函数值不存在或者虽然存在，但函数值与极限值不相等，像这样的间断点叫做可去间断点。 所以一般地，如果()0lim x x f x →存在，但()0f x 不存在或()()0 0lim x x f x f x →≠，则这种间断点称为可去间断点。 按照刚才的分析过程，请大家分别考察一下③和④中0x →时的极限值 ③()0lim 1x f x -→=-，()0 lim 1x f x +→=，左极限和右极限都存在但不相等。像这样的间断点叫做跳跃间断点。 一般地，如果()()00 lim lim x x x x f x f x -+→→≠，则这种间断点称为跳跃间断点。 根据定义，我们知道函数在可去间断点、跳跃间断点处的左、右极限都存在，所以我们把可去间断点、跳跃间断点统称为第一类间断点。 ④()0lim x f x -→，()0 lim x f x +→不存在 像④，如果()f x 在点0x 处的左极限或右极限不存在，称点0x 为第二类间断点。 思考：第一类断点和第二类间断点有什么不同？ 四、例题讲解，课堂练习

高数 函数四类间断点

函数间断点知识笔记 间断点的条件: 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义,在此前提下,如果函数()f x 有下列三种情形之一： (1) 在0x x 没有定义 (2) 在0x x 有定义，但0 lim ()x x f x 不存在 (3) 在0x x 有定义，0lim ()x x f x 存在,但0 0lim ()()x x f x f x 那么函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为函数()f x 的不连续点或间断点 无穷间断点： ()tan()f x x ()tan()f x x 在2x 无定义,且2 lim tan()x x 震荡间断点： 1()sin()f x x

1()sin(f x x 在点0x 没有定义,当0x 时，函数值在1 和-1之间变动无限多次 可去间断点： （图不是很好看） 21()1 x f x x 21()1x f x x 在点1x 没有定义，但在这里有211 1lim =lim(1)21x x x x x 如果补充定义:令(1)2f 那么函数在点1x 成为连续，这种情况间断点为可去间断点 同例有函数:,1,()1, 1.2 x x f x x ，这里就不论述了. 跳跃间断点： 1,0,()0,0,1,0.x x f x x x x

当0x 时, 0000lim ()lim (1)1lim ()lim (1)1x x x x f x x f x x 左右极限都存在但不相等,故0 lim ()x f x 不存在,因图像在0x 处产生跳跃现象，该类间断点成为跳跃间断点 第一类间断点： 左极限0()f x 和0()f x 都存在的间断点（跳跃间断点和可去间断点） 第二类间断点： 非第一类间断点的所有间断点.(无穷间断点和震荡间断点)

函数的连续性连续性与间断点

增量：变量"从初值 1变到终值巴，则“卫一"称为变量I的增量或 改变量，记为，即'■-二 对于函数「，当自变量从 6变到二时I称为自变量工 的增量； 对应的函数值从/（心）变到/K1，如叮0）-/? 7E十㈤-/（心）称为函数°的增量。 注：增量可正可负。

图3-1 定义设函数」-■■在点门的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量-一 --趋于零时，对应函数的增量 I 一」「:匚:也趋于零 lim ]/国 +&) -/E)]?Q 那么就称函数」■■在点 r连续，i 称为函数J \的连续 点。 如“?=lim[/(x0十㈤-/(r0)] = 0 r「寺血I/W - /(勺)]=0 丄」- -■- 可与^成:_极限 所以此定义也可改写为 如果！］丁—定义设函数」在点"的某一邻域内有定义, 那么就称函数?- L在点'连续。 由定义可知，函数在点连续，必满足三个条件 (1) '在点&有定义 Im; /(A) (2)-」存在(左、右极限存在且相等) to/W=/(x0) 如果三条中有一条不满足，则■■' '■'■■■在厂点就不连续。 (3)

1< 2 解 在 〔处 图 3-2 SF ~* 0— Hrn /W ir- rti-t- WO- /w 例1设 尹十4 解丿「丿是一分段函数, 所以'；L '''不存在，故在 「「=〔处不连续。 例2讨论函数 在卞=：，二=［及=-处的连续性。 liin =lim (x-t =-l T TT (T 4旷 :亠二二、」讨论-‘ ‘在工=〔的连续性。 x >

lim /(A ) 片0 不存在，所以不连续。 在K =］处: = lim_2x = 2, lun / (x) = lim (f +1) = 2, jf-^r r-j-l" x-4r FT ■广 在x = 2处: bm 丁(￡ = bm.C?十 1) = 5, Inn /迂)=lim +(lx 十 4) = 5r JCT ST r ->2 KT Z* 富—^2，2 /⑵7所以连续。 左连续、右连续: 在可点左连续; 在仓点右连续。 Inn /?=/(!) =2 ?->i 所以连续。 Inn /㈤ 若心町 存在且等于 朗怒g),则称临 lim j (x) 若宀血+ …存在且等于 f ，则称八工)

函数的间断点分类

怎么理解函数的间断点及其分类？ [答] 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f(x)在点x=x0的连续性，主要是讨论极限()x f lim x x0 → 。按现行高等数学教材的定义，只有当f(x)在 x 0的邻域或某个去心邻域 ? ? ? ? ?δ ∧ , x U 内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此 极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。如果极限没有意义，说函数f(x)在点x0是连续或间断，也就没有意义。此外，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。 间断点的分类也按极限()x f lim x x0 → 的情况来分：左、右极限都存在的间断点称第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点两种）左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点，以及其它有名称或无名称的间断点）。此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如 ()x e x f 1 1=，x=0是()x f 1 的第二类间断点。因此()+∞ = +0 1 f，()0 1 = - f， 所以x=0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。 ()x ln x f= 2，x=0是()x f 2 的第二类（无穷）间断点（虽然在x=0只有单侧极 限）；x=-1即不是()x f 2 的间断点，也不是连续点。 ()x x f= 3，x=0是()x f 3 的连续点，因为()()03 3 f x f lim x = + → ，即()x f 3 在x=0 右连续，而在x<0时()x f 3 无定义。 () x x sin x f= 4，x=0是()x f 4 的第一类（可去）间断点，因为右极限存在， 而左极限无意义。

函数的连续性的例题与习题.docx

函数的连续性的例题与习题 函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第 二类是对间断点(或区间)的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质 (最值性质，零点存在性质)，进行理论分析。 下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试 着做！这是与看文学小说的最大区别。 要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？ 如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？ 一.函数的连续 例1.1 (例1.20 ( —)，这个序号值的是《函数连续性(一)屮的例题号，请对照) 设f(x)满足/(x+ y) = f(x) + f(y),且f(x)在兀=0连续。证明：/(兀)在任意点兀处连续。 分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要 比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么 在本题里，要证的是“/(无)在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点兀，用函数连续的定义来证 明在 x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个？这要看己知条件，哪个容易用，就 用那一个。 在本题中，提供了条件/(X4-y) = f(x) + f(y),也就是f(x+y)-f(x) = f(y),你的脑海 里就要想到，如果设 y =心，那么就有 0 = /(x+Ar)-/(x) = /(Ar)；这个时候，你应该立即“闪 过”，要用题目给的第二个条件了： /(兀)在x = Q 连续！它意味着：lim /(0 + ZL Y ) = /(0)O A A ->0 证明的思路就此产生！ 证明：因为 /(%+夬彷 X ，取)=0,则有 f(x) = f(x) + /(0),所以/(0) = 0o (#) 对于固定的x (任意的！)，若 取y = Ax,有 Ay = f(x +心)—/(x) = /(Ax), (+) 在(+ )式两边取心 TO 的极限，那么 lim Ay = lim (/(x + Ax) - /(x)) = lim /(Ax), 心T O 心T O 心T O /(兀)在x = 0连续，所以lim /(O + Ax) = /(O),代入(#)的结果，就有 心一>0 lim /(0 + Ax) = lim /(Ax) = f(0) = 0 , Av->0 但从(&)知，lim Ay = lim /(Ax),所以 lim Ay = 0 o (&) 由已知条件:

函数间断点

关于“函数间断点”的教学探讨 函数的连续性是微积分讨论的一个重要内容,给定一个函数我们需要确定该函数的连续区间和间断点,而初等函数在其定义区间上都是连续的,所以间断点就成为讨论的重点。在给出间断点的定义之前,首先给出函数f(x)在点x0连续的定义: 定义1设函数f(x)在点x0的某邻域内有定义,如果limx?x0f(x)=f(x0)那么就称函数f(x)在点x0连续。如果limx?x0-f(x)=f(x0),就说f(x)在点x0左连续;如果limx?x0+f(x)=f(x0),就说f(x)在点x0右连续。函数在端点连续是指在右端点左连续,在左端点右连续。 那么如何理解函数f(x)在点x0不满足连续的条件呢? “高等数学”(第五版)给出的定义: 定义2设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义,如果函数f(x)有下列三种情形之一: (1)在x=x0没有定义; (2)虽在x=x0有定义,但limx?x0f(x)不存在; (3)虽在x=x0有定义,且limx?x0f(x)存在,但limx?x0f(x)≠f(x0), 则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。 上面间断点的定义是在函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义的前提下给出的,如果函数f(x)在开区间(a,b)内有定义,但在端点无定义,那么端点就不作为间断点考虑。但是前面已经给出函数在端点连续的概念,基于数学知识的系统性和完备性,不应该排除在端点不连续、即端点作为间断点的客观存在。所以不满足函数“在点x0的某邻域有定义”应理解为“在点x0无定义,但在其附近有定义”更准确,这里的“附近”应解释为点x0的某去心邻域或左去心邻域或右去心邻域。所以上面的定义2可叙述为下面的形式: 定义3如果函数f(x)具有下列三种情形之一: (1)在点x0无定义(但在其附近有定义); (2)虽在点x0有定义,但limx?x0f(x)不存在; (3)虽在点x=x0有定义,且limx?x0f(x)存在,但limx?x0f(x)≠f(x0),则称函数f(x)在点x0不连续,点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点。 事实上,对开区间(a,b)的两个端点做连续性的讨论是非常必要的,就以初等函数来说,如果函数在闭区间上有定义,则在该闭区间上连续,那么函数在端点附近的特性及图形是很明了的,但是如果函数在开区间内有定义,而在端点无定义,则在端点附近函数的特性要复杂的多,我们看下面的例题: 例1函数y=lnxx在区间(0,+∞)上有定义,x=0是函数的间断点。由于limx?0+lnxx=-∞,所以x=0是函数的无穷间断点。对于开区间端点性质的讨论可以延伸到函数的作图和积分的计算。该函数的图形如图1所示,其中直线x=0是曲线的铅垂渐近线积分∫10lnxxdx是广义积分,由于∫10lnxxdx=limε?0+∫1εlnxxdx=limε?0+12ln2x|1ε=12limε?0+(-ln2ε)=-∞该广义积分发散。 例2函数y=ln(1+1x)x在(-∞,-1)U(0,+∞)上有定义,x1=-1与x2=0是函数的间断点,因为limx?-1-ln(1+1x)x=+∞,limx?0+ln(1+1x)x=0所以,x1=-1是无穷间断点,x2=0是可去间断点。该函数的图形如图2所示,其中直线x=-1是曲线的铅垂渐进线。图2积分∫10ln(1+1x)xdx是定积分,而∫-1-2ln(1+1x)xdx是广义积分。∫10ln(1+1x)xdx=∫10xln(1+1x)dx=12[x2ln(1+1x)+x-ln(1+x)]10=12∫-1-2ln(1+1x)xdx=limε?0+∫-1-ε-2xln(1+1x)dx=12limε?0+[x2ln(1+1x)+x-ln|1+x|]-1-ε-2=2ln2+12该广义积分收敛。 例3函数y=sinlnx在(0,+∞)上有定义,x=0是函数的间断点,由于极限limx?0+sinlnx不存在,且属于振荡无极限,所以x=0是非无穷第二类间断点。图3该函数的图形如图3所示。由于函数y=sinlnx在(0,1]上有界,积分∫10sinlnxdx是一个定积分,且∫10sinlnxdx=xsinlnx|10-∫10coslnxdx=-xcoslnx|10-∫10sinlnxdx=-1-∫10sinlnxdx于是∫10sinlnxdx=-12ProbeintotheTeachingoftheFunction’sDiscontinuousPo

函数间断点分类及类型

§1.5.3函数的间断点及类型 刘毅 财经管理系 【课题】函数的间断点及类型（新授课） 【课时】1课时 【教材分析】本节内容选自经济科学出版社《经济数学基础》第一章第五节，p17。本内容是之前函数连续性的自然延伸部分。因本书的很多重要内容都是以连续函数作为论述前提的。因此函数的间断点这部分内容往往得不到有效的重视。其实，我们通过函数间断点的讨论和其类型的分辨，反过来这会我们对连续函数的性质的理解更加深刻也更加丰满，这就犹如通过正、反两个方向观察事物那样。 【学情分析】所教班级为13会计6班，虽然班级已经参加并顺利通过成考。但实际上班级中大部分学生的数学能力还是很薄弱的。还未养成良好的学习习惯，知识遗忘速度很快，学习比较被动。 这就决定了在授课时需要将内容的难度降低，合理安排、积极利用图像，缩减知识点。 【教学目标】知识目标：了解间断点的主要类型和分类 能力目标：能通过图形判断间断点的类型， 能对简单函数间断点的类型进行判断（复杂函数不涉及） 情感目标：通过对非连续函数间断点的研究讨论，使学生对连续性有了更全面 的认识和理解，体现了对立统一的数学思想 【教学重难点】 重点：函数间断点的类型 难点：间断点的类型判断 【教学思路】 ①复习函数连续性相关知识（三个必备条件） ②给出几种常见的非连续函数的图像，分析他们不连续的原因。给出分类及名称 ③通过对上一节内容中已讨论过的非连续函数的再次分析，即加深了连续性的理解，也为学生演示了通过计算推理分辨间断点类型的方法。这样也给学生的学习降低了难度。 ④通过简单的图像展示，简单函数的间断点判断的练习。让学生进一步明确间断点的分类，也进一步明确了连续性的三个必要条件。 【教学过程】 一、复习和引入 ①函数连续性的特点:“紧紧跟随” ②两个数学式的含义 ③函数连续性的等价公式 二、新课讲解和探究 1、函数间断点的定义 00,()(),()(). f x x x f x 如果上述三个条件中只要有一个不满足则称函数在点处不连续或间断并称点为的不连续点或间断点①在某点没定义