量子力学课后习题答案
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0
3109.2 ,??==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
ννπνρννd e c h d kT
h 1
1
83
3
-=
， 及λ
νc
=
、λλ
νd c
d 2
-
=得
1
185
-=
kT
hc e
hc λλλπρ，
令kT hc
x λ=
，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1
5-=x x
e xe
用图解法求得97.4=x ，即得
97.4=kT
hc
m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.
解：010
A 7.09m 1009.72=?≈=
=-mE
h p h λ #
1.3. 氦原子的动能为kT E 2
3
=
，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010
A 63.12m 1063.1232=?≈==
=-mkT
h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1
23K J 1038.1--??=k
#
1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123
T J 10
923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及
K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量2222
1
2q p E μωμ+=
可以化为
(
)
1222
222
2=???
? ??+
μωμE q E
p
的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2
2,2μω
μE
b E a =
=，相空间面积为
,2,1,0,2===
=
=?n nh E
E
ab pdq ν
ω
ππ
所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν
方法2：一维谐振子的运动方程为02
=+''q q ω，其解为
()?ω+=t A q sin 速度为 (
)?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为
()()nh T
A dt t A dt t A pdq T T
==++=+=???2)cos 1(2cos 2202202
22
μω?ωμω?ωμω， ,2,1,0=n
νμωnh T
nh A E ===222， ,2,1,0=n
（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由R v evB 2μ=，得eB
v
R μ=
再由量子化条件?
== ,3,2,1,n nh pdq ，以2
2
,e
B R R Rv p ===?
?μμ??分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
nh eBR Rv d p d p ====?
?220
22ππμ??π
??， ,2,1=n ，由此得半径为eB
n R
=
， ,2,1=n 。 电子的动能为B n eB
n B e eBR v E B μμμμμ==???? ??==
222
2212121 动能间隔为J B E B 23
10
9-?==?μ
热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为kT E =，所以当K 4=T 时，J E 23
1052.4-?=；当K
100=T 时，J E 21
1038.1-?=
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子波长最大是多少？
解：转化条件为2
c h e μν≥，其中e μ为电子的静止质量，而λ
νc
=
，所以c
h
e μλ≤
，即有
08
3134
max A 024.010
3101.910626.6≈????===--c e c h λμλ（电子的康普顿波长）。 第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
)]
r ()r ()r ()r ([m 2i ]
e )r (e )r (e )r (e )r ([m
2i )
(m 2i J e
)r ( )
t (f )r ()t r (**Et i
Et i **Et i Et i **Et
i
ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（，
可见t J 与
无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r
e r -==
1
)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?s i n r 1e r 1e r r 0
r mr
k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3
020
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr k r mr k r r ik r r r ik r r m i r e r r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3020
220
*
2*222 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )2(-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。 补充：设ikx
e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∞==??∞
∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)(2
=?
∞
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为
12
==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
2
2x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 222
2
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
2
2x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψ 令2
2
2 mE k =，得
0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④
根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B
⑥ 0sin =?ka A
)
,3 ,2 ,1( 0
sin 0 ==?=∴≠n n ka ka A π
∴x a
n A x π
ψsin )(2= 由归一化条件 1)(2
=?
dx x ψ
得 1sin 0
2
2
=?
a
xdx a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
x a n a x a
A πψsin 2)(2
2=
∴=
?
2
2
2 mE k =
),3,2,1( 22
2
22 ==?n n ma
E n π可见E 是量子化的。 对应于n E 的归一化的定态波函数为 ??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ 2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1
='
证：??
?
??≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ
由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2
222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-
'=+-'=+'==-----∞
?
?
??π
ππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
'
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
2
22
22322
2
112 24)()(x
x
e
x e x x x ααπ
απ
α
αψω--?=??==
2
2]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπαω--= 令0 )(1=dx x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α 由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。显然不是最大几率的位置。
2
22
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
ααααπ
αω----=---=而
0142 )(32
12
12<-=±
=e dx x d x παω， 可见μωα
±=±=1x 是所求几率最大的位置。 2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的
宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d ψψψμ=+-
① 将式中的)(x x -以代换，得 )()()()(222
2x E x x U x dx d -=--+--
ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得 )()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=-+--
ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ=-? ④ 由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。 )()( x c x -=?ψψ ⑤
④乘 ⑤，得 )x ()x (c )x ()x ( 2
-=-ψψψψ， 可见，12
=c ，所以 1±=c 当1+=c 时，)x ()x ( ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称，
当1-=c 时，)()( x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称，
当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 2.7 一粒子在一维势阱中 ????
?≤>>=a
x a
x U x U ,0 ,0)(0
运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d ψψψμ=+-
按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 211012
2
2ψψψμ=+-
a x <<∞- ① Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx d ψψμ=- a x a ≤≤- ② Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx
d 233032
2
2ψψψμ=+- ∞< Ⅰ： 0) (212 01 =--''ψμψ E U ④ Ⅱ：. 0E 2222 =+''ψμψ ⑤ Ⅲ：0)(232 03 =--''ψμψ E U ⑥ 令 22 2 20212 )(2 E k E U k μμ=-= 则 Ⅰ： 012 11 =-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 022 22 =-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213 =-''ψψk ⑨ 各方程的解为 x k x k 3222x k x k 11 1 1 1 Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有 0 )(0 )(31=?∞=?-∞E A 有限有限ψψ 因此 x k 3x k 111 Fe Be -==ψψ 由波函数的连续性，有 ) 13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a () 12( Fe a k cos D a k sin C ),a ()a () 11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a () 10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232a k 22322222a k 12122a k 211 11 1 -----=-?'='=+?=+=?-'=-'+-=?-=-ψψψψψψψψ 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 F e k aD k sin k aC k cos k 00 F e aD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k 00aD k cos aC k sin B e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+---- 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须 0Be k a k sin k a k cos k 0 e a k cos a k sin 00 a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=-------- ]a k 2c o s k k 2a k 2s i n )k k [(e ] a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin e k a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0 a k cos a k sin e k e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0a k sin k a k cos k e 022122122a k 222 1222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122a k 2222a k 21a k a k 12222a k 2222a k 1a k 12222a k 222222a k 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-==----- ----=------------------ ∵ 012≠-a k e ∴02cos 22sin )(22122 122=--a k k k a k k k 即 022)(2122 12 2=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。 方法二：接（13）式 a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21221222+= +- a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21 221222+- =+ 2cos k 2 2sin )( 0 2cos 2 2sin ) 1( 0 cos sin cos sin cos sin 0)cos sin )(sin cos ( 0)cos sin )(sin cos ( )cos sin )(sin cos (0 )cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212 22122212 22222122212222122221 2221222122212221222122212 2212221 2 2212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k 另一解法： (11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=?- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=?- )a ( k a tgk k ) 12()10() 13()11(122=?+- (11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=? (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=? 令 ，，a k a k 22==ηξ 则 ) d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或 )f ( a U 2)k k (2 202 22122 μηξ=+=+ 合并)b ()a (、： 212221222k k k k a k tg -= 利用a k tg 1a tgk 2a k 2tg 22 22-= 2-7一粒子在一维势阱 ? ??≤>>=a x a x U x U ,0,0)(0 中运动，求束缚态)0(0U E <<的能级所满足的方程。 解：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：11012 2ψψψμE U =+''- （χ≤0） Ⅱ：222 2ψψμ E =''- （0＜χ＜2a ） （b ） k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( ) 13 ( ) 11 ( 1 2 2 - = ? - + Ⅲ：33032 2ψψψμ E U =+''- （χ≥2a ） ??? ? ? ? ???=--''=+''=--''?0)(2020)(232 0322212 01 ψμψψμψψμψ E U E E U ?? ???=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 32132 222222202 11211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 1 1 1 1 32221cos sin -+-++=+=+=ψψψ )(0 )(31=?∞=?-∞E B 有限有限ψψ 因此 x k x k Fe Ae 1131 -==∴ψψ 由波函数的连续性，有 ) 7( Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2() 6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2() 5( C k A k ),0()0() 4( D A ),0()0(a k 22232a k 212222322121211 1--=+?=-=-?'='=?'='=?=ψψψψψψψψ (7)代入(6) a k D k k a k C k k a k D a k C 21 2212222sin 2cos 2cos 2sin +- =+ 利用(4)、(5)，得 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ???????<≤≤-<≤<∞=，，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10 x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d ψψψμ=+- 对各区域的具体形式为 Ⅰ：)0( )(21112 <=+''-x E x U ψψψμ 02cos 22sin )()(02cos 22sin )(00]2cos 22sin )[( 2sin 2cos 2cos 2sin 2212212221221 221221 2 2121222221=---=+-∴≠=+-+-=+a k k k a k k k k k a k a k k k k k A a k a k k k k k A a k D k k a k A a k A a k A k k 即得两边乘上 Ⅱ：)0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμ Ⅲ：)( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ：)( 02442 x b E <=+''-ψψμ 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ 而 . 0)( 222 02 =--''ψμψ E U ① 0)( 232 13=++''ψμψ E U ② 02424 =+''ψμψ E ③ 对于束缚态来说，有0<<-E U ∴ 02212=-''ψψk 2 021) ( 2 E U k -=μ ④ 03233=+''ψψk 2 123) ( 2 E U k +=μ ⑤ 042 44 =+''ψψk 224/2 E k μ-= ⑥ 各方程的解分别为 x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 3 3 1 1 42232cos sin -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，得 0 )(4=?∞E 有限， ψ ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得 A B -=?= )0()0(21ψψ ∴ )(332x k x k e e A --=ψ a k D a k C e e A a a x k x k 2232c o s s i n )()()(33+=-?=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133 sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨ b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243 cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩ 由⑦、⑧，得a k D a k C a k D a k C e e e e k k a k a k a k a k 222221cos sin cos cos 1111+-=-+-- (11) 由 ⑨、⑩得D b k k C b k k D b k k C b k k )cos ()sin ()sin ()cos (23232222--=- 0)sin cos ()sin cos (223 2 2232=+- =+D b k b k k k C b k b k k k (12) 令21 11 11k k e e e e a k a k a k a k ?-+=--β，则①式变为 0)sin cos ()cos sin (2222=++-D a k a k C a k a k ββ 联立(12)、(13)得，要此方程组有非零解，必须 0) s i n c o s ()c o s s i n ()c o s s i n ()s i n c o s (2222223 22232=+-+-+a k a k a k a k b k b k k k b k b k k k ββ )()1()( 0)1)(((c o s ))((sin 0cos cos sin cos )cos sin sin sin sin sin cos sin sin sin cos cos 0)cos sin ( )cos sin ()sin cos )(sin cos ( 3 23223223222222223222322222223 22232223 2 22223 222ββββββ ββ ββ-+ =-=+-+--=+---+++++=+-?? --++k k k k a b tgk k k a b k k k a b k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k a k b k a k b k a k b k k k a k b k k k b k b k k k a k a k b k b k k k a k a k 即 把β代入即得 )()1()( 111111112132322a k a k a k a k a k a k a k a k e e e e k k k k e e e e k k a b tgk -----+--++=- 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 # 附：从方程⑩之后也可以直接用行列式求解。见附页。 ）） （） （b k a k e k b k a k e k b k a k e k b k a k e k k e e k b k a k e k b k a k e k k b k a k e k b k a k e k k e e e k b k k b k k e b k b k a k a k e e k e k b k k b k k e b k b k a k k a k k e e e k b k k b k k e b k b k a k k a k k k e e a k a k e e b k b k b k b k b k b k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k a k 222223222223212222223222222232322222222132222222222322222222222 22sin sin sin cos cos cos cos sin )( sin cos sin sin cos sin cos cos )( sin cos cos sin 0cos sin )( sin cos cos sin 0 sin cos ) (00 sin cos 0cos sin 00sin cos )(0cos sin )(33331133331133113311331111--------------------++-+------=----= +------==---+--- )](sin )()(cos )[( )](sin )()(cos )([)](cos )(sin )[( )](sin )(cos )[(313131131123122223123122223122123122 2232=-++----+-+-=-+----+---=-------b k a k b k a k b k a k a k b k a k a k e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k k a b k k k k e e a b k k k a b k k k e e e a b k k a b k k k e e )( )()()]()[( 0 )]()()[( )]()()([ 231223123122 2312 2 231222312312 22311133=--+--+--=-++----++-?--k k k e k k k a b tgk k k k e k k k e a b tgk k k k k k k e a b tgk k k k k k k a k a k b k b k 此即为所求方程。 第三章 力学量的算符表示 3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπ α ψ2 2 22)(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x U μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =； (3)动量的几率分布函数。 解：(1) ? ∞ ∞ --==dx e x x U x 2 22 2222121απ αμωμω μωμωπαπαμω ?==?= 2 2 222211121221 ω 41= (2) ?∞∞-==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμ μ ?∞∞----=dx e dx d e x x 2 22 221 22 221 )(21ααμπ α ?∞∞ ---= dx e x x 2 2)1(22222αααμπα ][22 22 222 22??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμπα? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 4 1 4121=-=-=U E T (3) ?= dx x x p c p )()()(*ψψ 21 2 2 21?∞ ∞---= dx e e Px i x απ απ ? ∞ ∞ ---= dx e e Px i x 222 1 21απ απ ? ∞ ∞--+-=dx e p ip x 2222222)(21 21 αααπ α π ? ∞ ∞ -+-- =dx e e ip x p 2222 22)(212 21 αααπ απ παπ α πα2 212 222 p e - = 2 2221 απ αp e - = 动量几率分布函数为 2 22 1 )()(2 απ αωp e p c p -= = # 3.2.氢原子处在基态0/30 1 ),,(a r e a r -= π?θψ，求： (1)r 的平均值； (2)势能r e 2 -的平均值； (3)最可几半径； (4)动能的平均值； (5)动量的几率分布函数。 解：(1)?θθπτ?θψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0 220 /230 2 0??? ? ∞ -= = ? ∞ -=0 /233 04dr a r a a r 04 03023 2!34a a a =??? ? ??= 2203020 /23 2 20 /23 2 20 2/23 2 2214 4 s i n s i n 1)()2(000a e a a e dr r e a e d drd r e a e d drd r e r a e r e U a r a r a r - =??? ? ??-=-=-=-=-=? ??? ??? ∞ -∞ -∞ -ππππ? θθπ?θθπ (3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ?? = π π ?θθ?θψω0 20 22 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2 /230 04-= 2 /230 04)(r e a r a r -= ω 0/2030 )2 2(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令 0321 , ,0 0) (a r r r dr r d =∞==?=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置 /222 03022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω 08) (2 30 2 20 <- =-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。 (4) 2 22?21??-==μ μ p T ???∞--?-=ππ?θθπμ02002 /2/302 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ???∞---=ππ?θθπμ02002/22/3 02 sin )]([11200d drd r e dr d r dr d r e a a r a r ? ∞ ----=0 /0 203 2 )2(1(240 d r e a r r a a a r μ 2 2 20204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τ?θψψd r r p c p ),,()()(* ?= ??? -∞ -= π π θ?θθππ20 cos 0 2 /30 2 /3 sin 1 )2(1 )(0 d d e dr r e a p c pr i a r ?? -= -∞ -π θθπππ cos 0 /2 30 2 /3)cos ( )2(20 d e dr e r a pr i a r ? ∞ --= cos /230 2 /30) 2(2πθπππpr i a r e ipr dr e r a ?∞---= /30 2 /3)()2(20dr e e re ip a pr i pr i a r πππ ])1(1)1(1[)2(2202030 2 /3p i a p i a ip a +--= πππ 2 222 003 30)1(421 p a a ip ip a +=π 2 22 2 044003 30 ) (24 +=p a a a a π 2 22202/30) ()2( +=p a a π 动量几率分布函数 4 22025302 ) (8)()( +==p a a p c p πω # 3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是 0==θe er J J 2 sin m n e r m e J ψθ μ?= 证：电子的电流密度为 )(2* *m n m n m n m n e i e J e J ψψψψμ ?-?-=-= ?在球极坐标中为 ? θθ?θ?? +??+??=?sin 11r e e r r e r 式中?θe e e r 、、为单位矢量 ])s i n 11( )s i n 11([2* *m n r m n m n r m n e r e e r r e r e e r r e i e J e J ψ? θθψψ? θθψμ?θ?θ??+??+??-??+??+??-=-= )]sin 1sin 1()1 1()([2* **** *m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n r r r e r r e r r e ie ψ? ψθψ?ψθψθψψθ ψψψψψμ?θ??-??+??-??+??-??-= m n ψ中的r 和θ部分是实数。 ∴ ?ψψθμe im im r ie J m n m n e )(sin 222--- = ?ψθ μe r m e m n 2sin -= 可见，0==θe er J J 2 sin m n e r m e J ψθ μ?- = 3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。 (1)求一圆周电流的磁矩。 (2)证明氢原子磁矩为 ???? ?? ?--==)( 2)( 2CGS c me SI me M M z μμ 原子磁矩与角动量之比为 ?????? ?--=)( 2)( 2CGS c e SI e L M z z μμ 这个比值称为回转磁比率。 解：(1) 一圆周电流的磁矩为 A dS J iA dM e ?==? （i 为圆周电流，A 为圆周所围面积） 22 )sin (sin θπψθ μr dS r m e m n ?-= dS r m e m n 2 sin ψθπμ - = θψθπμ drd r m e m n 2 2sin - = )(θrdrd dS = (2)氢原子的磁矩为 ??? ∞ - ==π θθψπμ 22 sin drd r m e dM M m n ??∞?- =πθθψπμ 0022 sin 22drd r m e m n ?θθψμππd drd r m e m n ???∞-=20002 2 sin 2 μ 2m e -= )(SI 在CGS 单位制中 c m e M μ2 -== 原子磁矩与角动量之比为 )( 2SI e L M L M z z z μ-== )( 2CGS c e L M z z μ-= 3.5 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是I L H 22 =，L 为角动量，求与此对应的量子体系 在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动： 解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则有 2 2 Z L L = 哈米顿算符 2 2 222?21??d d I L I H Z -==, 其本征方程为 (t H 与?无关，属定态问题) ) (2)( )()(22 22 2 22?φ??φ?φ?φ? IE d d E d d I -==- 令 22 2 IE m =，则 0)()( 2 2 2=+?φ? ?φm d d 取其解为 ? ?φim Ae =)( (m 可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有 ?π??φπ?φim im e e =?=++) 2()()2( 即 12=π m i e , ∴m= 0，±1，±2，… 转子的定态能量为I m E m 22 2 = (m= 0，±1，±2，…) 可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 ? φim m Ae =, A 为归一化常数，由归一化条件 π π ??φφπ π 2121 220 2 20 * = ?===? ?A A d A d m m ∴ 转子的归一化波函数为 ? π φim m e 21= 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。 (2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为 2?21?L I H = t H 与?无关，属定态问题，其本征方程为 ),(),(?212?θ?θEY Y L I = (式中),(?θY 设为H ?的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(?2?θ?θIEY Y L = 令 22 λ=IE ，则有 ),(),(?22?θλ?θY Y L = 此即为角动量2 ?L 的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(2 22 =+==λL 其波函数为球谐函数?θ?θim m m m e P N Y )(cos ),( = ∴ 转子的定态能量为 2)1(2I E += 可见，能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。 3.6 设t=0时，粒子的状态为 ]cos [sin )(212 kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。 解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(21 21212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ ]cos 2cos 1[2kx kx A +-= )]()(1[2 212221ikx ikx kx i kx i e e e e A --++--= ππ21 ][2221212212210? ++--=--ikx ikx kx i kx i x i e e e e e A 可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0 动能μ22 n p 的可能值为μ μμμ2 2 2 2 02 2222222 k k k k 对应的几率n ω应为 π2)16 16 16 16 4(2 2222?A A A A A π2)8 1 81 81 81 21(A ? 上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得 ππω222)1644(12 22?=??+==∑A A A n n ∴ π/1=A ∴ 动量p 的平均值为 2162162162216202 222=??-??+??-??+==∑ ππππωA k A k A k A k p p n n n ∑==n n n p p T ωμμ2222 28 1 2281202222??+??+=μμ k k μ 852 2 k = 3.7 一维运动粒子的状态是 ???<≥=-0 ,0 0 ,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。 解：(1)先求归一化常数，由 ?? ∞ -∞ ∞ -==0 2222 )(1dx e x A dx x x λψ 2341 A λ= ∴2 /32λ=A x xe x λλψ22/32)(-= )0(≥x 0)(=x ψ )0( ??∞∞-+-∞∞--?==dx x xe dx x e p c x ik ikx )(2)21()(21)()(2/32 /1ψλπψπλ ?∞∞-+-∞+-+++-=dx e ik e ik x x ik x ik )(0)(2/131[)22(λλλλπλ 22/132 2/13) (1 )22()()22( p i ik x +==+=λπλλπλ 动量几率分布函数为 2 2223 32 222 3 2 )(1 2) (12)()(p p p c p += += =λπ λλπλω (2) ?? ∞ ∞ ---∞ ∞ --== dx e dx d x e i dx x p x p x x )(4)(?)(3*λλλψψ ? ∞ ∞ ----=dx e x x i x λλλ23 )1(4 ? ∞ ∞ ----=dx e x x i x λλλ223 )(4 )4141( 42 2 3λλλ- -= i 0= 3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数 )()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。 解：由波函数)(x ψ的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。粒子能量的本征函数和本征值为 ?? ? ??≥≤≤≤a x x a x x a n a x ,0 ,0 0 ,s i n 2)(π ψ 2 2 222a n E n μπ = ) 3 2 1( ，，，=n 动量的几率分布函数为2 )(n C E =ω ?? == ∞ ∞ -a n dx x x a n dx x x C 0 *)(sin )()(ψπ ψψ 先把)(x ψ归一化，由归一化条件， ??? +-=-== ∞ ∞-a a dx x ax a x A dx x a x A dx x 0 22220 222 )2()()(1ψ ? +-=a dx x ax x a A 43222 )2( 30 )523(5 25552 a A a a a A =+-= ∴5 30 a A = ∴ ? -??=a n dx x a x x a n a a C 0 5 )(sin 302π ]sin sin [1520203x xd a n x x xd a n x a a a a ??-= ππ a x a n n a x a n x n a x a n x n a x a n n a x a n x n a a 0 3 33 22222 2323]cos 2sin 2 cos sin cos [152ππππππππππ-- ++-= ])1(1[1543 3n n --= π ∴ 2 662])1(1[240)(n n n C E --==πω ??? ??=== ,6 ,4 ,20 5 3 1960 66n n n ，，，，，π ??==∞ ∞-a dx x p x dx x H x E 02 )(2?)()(?)(ψμ ψψψ ? --?-= a dx a x x dx d a x x a 2 2 25)](2[)(30μ )32 (30)(303 3520 52 a a a dx a x x a a -=-= ? μμ 2 2 5a μ = 3.9.设氢原子处于状态 ),()(2 3),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ--= Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 2 2 2 22 282 s s e n e E μμ- =- = )2(=n 角动量平方有确定值为 2 2 2 2)1( =+=L )1(= 角动量Z 分量的可能值为 01=Z L -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 4 3 其平均值为 4 343041-=?-?= Z L 3.10一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ? ??<≥∞=a r a r r U ,0; ,)( 求粒子的能级和定态函数。 解：据题意，在a r ≥的区域，∞=)(r U ，所以粒子不可能运动到这一区域，即在这区域粒子的波函数 0=ψ (a r ≥) 由于在a r <的区域内，0)(=r U 。只求角动量为零的情况，即0= ，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布与角度?θ、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与r 有关，而与?θ、无关。设为)(r ψ，则粒子的能量的本征方程为 ψψ μE dr d r dr d r =- )(1222 令 222 ,)( E k rE r U μψ==，得 022 2=+u k dr u d 其通解为 kr r B kr r A r kr B kr A r u sin cos )(sin cos )( +=-∴+=ψ 波函数的有限性条件知， =)0(ψ有限，则 A = 0 ∴ kr r B r sin )(= ψ 由波函数的连续性条件，有 0sin 0)(=?=ka a B a ψ ∵0≠B ∴),2,1( ==n n ka π a n k π= ∴ 2 2222a n E n μπ = 简述建立量子力学基本原理的思想方法 摘要：量子力学是大学物理专业的一门必修理论基础课程，它研究的对象是分子、原子和基本粒子。本文对建立量子力学基本原理的思想方法作一简单叙述，供学员在学习掌握量子力学的基本理论和方法时参考。 关键词：量子力学；力学量；电子；函数 作者简介 0引言 19世纪末，由于科学技术的发展，人们从宏观世界进入到微观领域，发现了一系列经典理论无法解释的现象，比较突出的是黑体辐射、光电效应和原子线光谱。普朗克于1900年引进量子概念后，上述问题才开始得到解决。爱凶斯坦提出了光具有微粒性，从而成功地解释了光电效应。 1量子力学 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。量子力学不仅是近代物理学的基础理论之一，而且在化学等有关学科和许多近代技术中也得到了广泛的应用。 2玻尔的两条假设 玻尔在前人工作的基础上提出了两条假设，成功地解释了氢原子光谱，但对稍微复杂的原予(如氦原子)就无能为力。直到1924年德布罗意提出了微观粒子具有波粒二象性之后才得到完整解释。 1924年，德布罗意在普朗克和爱因斯坦假设的基础上提出了微观粒子具有波粒二象性的假设，即德布罗意关系。1927年，戴维孙和革末将电子作用于镍单晶，得到了与x射线相同的衍射现象，从而圆满地说明了电子具有波动性。 2.1自由粒子的波动性和粒子性 它的运动是最简单的一种运动，它充分地反映了自由粒子的波动性和粒子性，将波(平面波)粒( p，E) 二象性统一在其中。如果粒子不是自由的，而是在一个变化的力场中运动，德布罗意波则不能描写。我们将用一个能够充分反映二象性特点的 量子力学教案 主讲周宙安 《量子力学》课程主要教材及参考书 1、教材： 周世勋，《量子力学教程》，高教出版社，1979 2、主要参考书： [1] 钱伯初，《量子力学》，电子工业出版社，1993 [2] 曾谨言，《量子力学》卷I，第三版，科学出版社，2000 [3] 曾谨言，《量子力学导论》，科学出版社，2003 [4] 钱伯初，《量子力学基本原理及计算方法》，甘肃人民出版社，1984 [5] 咯兴林，《高等量子力学》，高教出版社，1999 [6] L. I.希夫，《量子力学》，人民教育出版社 [7] 钱伯初、曾谨言，《量子力学习题精选与剖析》，上、下册，第二版，科学出版社，1999 [8] 曾谨言、钱伯初，《量子力学专题分析（上）》，高教出版社，1990 [9] 曾谨言，《量子力学专题分析（下）》，高教出版社，1999 [10] P.A.M.Dirac,The Principles of Quantum Mechanics (4th edition), Oxford University Press (Clarendon),Oxford,England,1958；（《量子力学原理》，科学出版社中译本，1979） [11]https://www.wendangku.net/doc/4c174322.html,ndau and E.M.Lifshitz, Quantum Mechanics (Nonrelativistic Theory) (2nd edition),Addison-Wesley,Reading,Mass,1965；（《非相对论量子力学》，人民教育出版社中译本，1980） 第一章绪论 量子力学的研究对象： 量子力学是研究微观粒子运动规律的一种基本理论。它是上个世纪二十年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。它不仅在进到物理学中占有及其重要的位置，而且还被广泛地应用到化学、电子学、计算机、天体物理等其他资料。 §1.1经典物理学的困难 一、经典物理学是“最终理论”吗？ 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段。那时，一般物理现象都可以从相应的理论中得到说明： 机械运动（v< 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 《量子力学》题库 一、 简答题 1 试写了德布罗意公式或德布罗意关系式，简述其物理意义 答：微观粒子的能量和动量分别表示为： 其物理意义是把微观粒子的波动性和粒子性联系起来。等式左边的能量和动量是描述粒子性的；而等式右边的频率和波长则是描述波的特性的量。 2 简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 答：波函数的统计解释是：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。按这种解释，描写粒子的波是几率波。 3根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 答：根据量子力学中波函数的几率解释，因为粒子必定要在空间某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率总和为1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度而不决定于强度的绝对大小；因而将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，这是其他波动过程所没有的。 4设描写粒子状态的函数ψ可以写成2211??ψc c +=，其中1c 和2c 为复数，1?和2?为粒子的分别属于能量1E 和2E 的构成完备系的能量本征态。试说明式子 2211??ψc c +=的含义，并指出在状态ψ中测量体系的能量的可能值及其几率。 答：2211??ψc c +=的含义是：当粒子处于1?和2?的线性叠加态ψ时，粒子是既处于1?态，又处于2?态。或者说，当1?和2?是体系可能的状态时，它们的线性叠加态ψ也是体系一个可能的状态；或者说，当体系处在态ψ时，体系部分地处于态1?、2?中。 在状态ψ中测量体系的能量的可能值为1E 和2E ，各自出现的几率为2 1c 和 2 2c 。 5什么是定态？定态有什么性质？ 答：定态是指体系的能量有确定值的态。在定态中，所有不显含时间的力学量的几率密度及向率流密度都不随时间变化。 6什么是全同性原理和泡利不相容原理？两者的关系是什么？ 答：全同性原理是指由全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。 泡利不相容原理是指不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学试题集 判断题 1、量子力学中力学量不能同时有确定值。（×） 2、量子力学中能量都是量子化的。（√） 3、在本征态中能量一定有确定值。（√） 4、波函数一定则所有力学量的取值完全确定。（×） 5、量子力学只适用于微观客体。（×） 6．对于定态而言，几率密度不随时间变化。( √ ) 7．若，则在其共同本征态上，力学量F和G必同时具有确定值。( √ ) 8．所有的波函数都可以按下列式子进行归一化： 。 ( × ) 9．在辏力场中运动的粒子，其角动量必守恒。( √ ) 10．在由全同粒子组成的体系中，两全同粒子不能处于同一状态。( × ) 选择题（每题3分共36分） 1．黑体辐射中的紫外灾难表明：C A. 黑体在紫外线部分辐射无限大的能量； B. 黑体在紫外线部分不辐射能量； C.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式； D.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论。 2．关于波函数Ψ的含义，正确的是：B A. Ψ代表微观粒子的几率密度； ψ*代表微观粒子出现的几率密度； B. Ψ归一化后，ψ C. Ψ一定是实数； D. Ψ一定不连续。 3．对于偏振光通过偏振片，量子论的解释是：D A. 偏振光子的一部分通过偏振片； B.偏振光子先改变偏振方向，再通过偏振片； C.偏振光子通过偏振片的几率是不可知的； D.每个光子以一定的几率通过偏振片。 4．对于一维的薛定谔方程，如果Ψ是该方程的一个解，则：A ψ一定也是该方程的一个解； A. * ψ一定不是该方程的解； B. * ψ一定等价； C. Ψ与* D.无任何结论。 5．对于一维方势垒的穿透问题，关于粒子的运动，正确的是：C A. 粒子在势垒中有确定的轨迹； B.粒子在势垒中有负的动能； C.粒子以一定的几率穿过势垒； D 粒子不能穿过势垒。 6．如果以∧ l 表示角动量算符，则对易运算] ,[y x l l 为：B A. ih ∧ z l B. ih ∧ z l ∧ x l ∧x l 7．如果算符∧ A 、∧ B 对易，且∧ A ψ =A ψ，则： B A. ψ 一定不是∧ B 的本征态； B. ψ一定是 ∧ B 的本征态； C.*ψ一定是∧ B 的本征态； D. ∣Ψ∣一定是∧ B 的本征态。 8．如果一个力学量 ∧ A 与H ∧ 对易，则意味着∧ A ：C A. 一定处于其本征态； B.一定不处于本征态； C.一定守恒； D.其本征值出现的几率会变化。 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学考试题 （共五题，每题20分） 1、扼要说明： （a ）束缚定态的主要性质。 （b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明： （a ）∧ K 的本征值是实数。 （b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。 （c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν） （a ）求能级的精确值。 （b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0 （a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。 （b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。 （b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2 λ，则 ［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝2 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22 E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2 ［ω+ων22］ （b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ω 21± ，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0） ＝ω 21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2 (0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为 第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、何为束缚态？ 2、当体系处于归一化波函数ψ(,)?r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)? r t 状态中测量力学量F 的可能 值及其几率的方法。 3、设粒子在位置表象中处于态),(t r ? ψ,采用 Dirac 符号时，若将ψ(,)? r t 改写为ψ(,)? r t 有何不 妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 4、简述定态微扰理论。 5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1. 束缚态: 无限远处为零的波函数所描述的状态。能量小于势垒高度，粒子被约束在有限的空间内运动。 2. 首先求解力学量F 对应算符的本征方程：λλλφφφλφ==F F n n n ??，然后将()t r ,? ?按F 的本征态展开： ()?∑+=λφφ?λλd c c t r n n n ,? ，则F 的可能值为λλλλ,,,,n 21???，n F λ=的几率为2 n c ，F 在λλλd +~范围内 的几率为λλd c 2 3. Dirac 符号是不涉及任何表象的抽象符号。位置表象中的波函数应表示为?r ? 。 4. 求解定态薛定谔方程ψψE H =∧ 时，若可以把不显含时间的∧ H 分为大、小两部分∧ ∧ ∧ '+=H H H ) (0，其中（1） ∧) (H 0的本征值)(n E 0和本征函数)(n 0ψ 是可以精确求解的，或已有确定的结果)(n )(n )(n ) (E H 0000ψ ψ =∧，（2）∧ 'H 很 小，称为加在∧) (H 0上的微扰，则可以利用) (n 0ψ和) (n E 0构造出ψ和E 。 5. Gerlack Stein -实验证明了电子自旋的存在。 一、概念题：（共20分，每小题4分） 1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 3、测不准关系是否与表象有关？ 4、在简并定态微扰论中，如?()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 5、在自旋态χ12 ()s z 中，?S x 和?S y 的测不准关系(?)(?)??S S x y 22?是多少？ 一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。 1、条件：①能量比无穷远处的势小；②能级满足的方程至少有一个解。 2、不一定，只有在它们共同的本征态下才能同时确定。 3、无关。 4、因为作为零级近似的波函数必须保证()()()()()()()()011 1 00E H E H n n n n ??φφ--=-有解。 5、16 4 η。 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共40 分） 1. 微观粒子具有波粒二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用厄米算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的本征值。 7．定态波函数的形式为：t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的________。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为：2 η ± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案 量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2 代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱 中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是 2002级量子力学期末考试试题和答案 B 卷 一、（共25分） 1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分） 3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分） 4、在一维情况下，求宇称算符P ?和坐标x 的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间t 和能量E 的测不准关系。（5分） 二、（15分）已知厄密算符B A ?,?，满足1??22==B A ，且0????=+A B B A ，求 1、在A 表象中算符A ?、B ?的矩阵表示； 2、在A 表象中算符B ?的本征值和本征函数； 3、从A 表象到B 表象的幺正变换矩阵S 。 三、（15分）线性谐振子在0=t 时处于状态 )21exp(3231)0,(2 2x x x ααπαψ-??????-=，其中 ημω α=，求 1、在0=t 时体系能量的取值几率和平均值。 2、0>t 时体系波函数和体系能量 的取值几率及平均值 四、（15分）当λ为一小量时，利用微扰论求矩阵 ??? ?? ? ?++λλλλλλ23303220 21的本征值至λ的二次项，本征矢至λ的一次项。 五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? 一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。 2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。 3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q S ????φ+= 4、宇称算符P ?和坐标x 的对易关系是：P x x P ?2],?[-=，将其代入测不准关系知，只有当0?=P x 时的状态才可能使P ?和x 同时具有确定值，由)()(x x -=δδ知，波函数)(x δ满足上述要求，所以)(x δ是算符P ?和x 的共同本征函数。 5、设F ?和G ?的对易关系k ?i F ?G ?G ?F ?=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ?、G ?和k 在态ψ中的平均值，令 F F ?F ?-=?，G G ?G ?-=?， 则有 42 2 2 k )G ?()F ?(≥???，这个关系式称为测不准关系。 时间t 和能量E 之间的测不准关系为： 2η ≥ ???E t 二、1、由于1?2=A ，所以算符A ?的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ?的矩阵是：???? ??-=1001)(?A A 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［ ］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) 0λhc (B) 0 λhc m eRB 2)(2+ (C) 0λhc m eRB + (D) 0λhc eRB 2+ ［ ］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［ ］ 4．4737： 在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［ ］ 5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［ ］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光 (B) 两种波长的光 (C) 三种波长的光 (D) 连续光谱 ［ ］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV ，当氢原子从能量为－0.85 eV 的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［ ］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV ，10.2 eV 和 1.9 eV (D) 12.1 eV ，10.2 eV 和 3.4 eV ［ ］ 9．4241： 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h (B) )/(eRB h (C) )2/(1eRBh (D) )/(1eRBh ［ ］ 10．4770：如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的 (A) 动量相同 (B) 能量相同 (C) 速度相同 (D) 动能相同 ［ ］ 11．4428：已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 23cos 1)(π?= ψ ( - a ≤x ≤a )，那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为 (A) 1/(2a ) (B) 1/a (C) a 2/1 (D) a /1 ［ ］ 12．4778：设粒子运动的波函数图线分别如图(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确定 粒子动量的精确度最高的波函数是哪个图？ 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 νc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(| |5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλ λ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。简述建立量子力学基本原理的思想方法
量子力学简明教程
量子力学课后答案第一二章
《量子力学》题库
量子力学教程课后习题答案
量子力学试题集
量子力学教程第二版答案及补充练习
量子力学考试题
量子力学课后习题答案
量子力学基础概念试题库完整
量子力学教程周世勋_课后答案
量子力学教程课后习题答案高等教育
量子力学试题2008年含答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学试题及答案
大学物理量子力学习题附答案
量子力学(周世勋)课后答案-第一二章
- 量子力学课后习题答案
- 程守洙《普通物理学》(第6版)(下册)-第13章 早期量子论和量子力学基础-课后习题详解【圣才出品】
- 量子力学(周世勋)课后答案解析-第一二章
- 曽谨言量子力学第1章习题解答
- 《量子力学教程》周世勋课后答案
- 完整版量子力学教程习题答案周世勋.ppt
- 量子力学教程周世勋_课后答案
- 量子力学教程(第三版)周世勋课后答案详解
- 苏汝铿量子力学课后习题及答案
- 第一章 量子力学基础课后习题
- 李有泉量子力学简明教程课后习题参考答案第三章
- 量子力学习题答案.
- 量子力学课后答案
- 《量子力学教程》周世勋 课后答案
- 量子力学(周世勋)课后答案-第一二章电子版本
- 量子力学教程第二版答案及补充练习
- 量子力学教程课后习题答案
- 量子力学课后习题答案
- 量子力学周世勋第二版课后习题解答第1章
- 量子力学教程课后习题答案