定积分与微积分基本定
理
Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
课题:定积分与微积分定理使用时间:2011-10-11
【使用说明及学法指导】
1.先仔细阅读教材选修2-2:,再思考知识梳理所提问题,有针对性的二次阅读教材,构建知识体系,画出知识树;
2.限时30分钟独立、规范完成探究部分,并总结规律方法.
【学习目标】
1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义。
2.直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分。
3.应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值.?
学习重点:正确计算定积分,利用定积分求面积。
学习难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题。
学习策略:
①运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念。
②求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.
③求导运算与求原函数运算互为逆运算.
【课前预习】
一、基础知识梳理:
知识点一:定积分的概念
如果函数在区间上连续,用分点
将区间分为n个小区间,在每个小区间上任取一点
(i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即=,这里,与分别叫做积分与积分,区间
叫做,函数叫做,叫做,叫做 .
说明:(1)定积分的值是一个常数,可正、可负、可为零;(2)用定义求定积分的四个基本步骤:①分割;②近似代替;③求和;④取极限.
知识点二:定积分的几何意义:
设函数在区间上连续.
在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的;
在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示曲边梯形面积
的;
在上,当既取正值又取负值时,曲线的某些部分在轴的上方,而其他部分在轴下方,如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号,在轴下方的图形的面积赋予负号;
在一般情形下,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积 .
知识点三:定积分的性质:
(1)(为常数),
(2),
(3)(其中),
知识点四:微积分基本定理:
微积分基本定理(或牛顿-莱布尼兹公式):
如果在上连续,且,则
。其中叫做的一个原函数.
注意:
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数.由此,求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数,其中c为常数.
知识点五:应用定积分求曲边梯形的面积:
1. 如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积:
2.如图,由三条直线,,轴(即直线)及一条曲线
()围成的曲边梯形的面积:
3.由三条直线轴及一条曲线(不妨设在区间上,
在区间上)围成的图形的面积:
=+.
4. 如图,由曲线及直线,围成图形的面积:?
知识点六:定积分在物理中的应用
①变速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程,等于其速度函数
在时间区间上的定积分,即.
②变力作功物体在变力的作用下做直线运动,并且物体沿着与相同的方向从移动到
,那么变力所作的功.
规律方法指导
3.利用定积分求由两条曲线围成的平面图形面积的步骤:
(1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像;
(2)解方程组求出交点坐标,确定积分的上、下限;
(3)借助图形确定出被积函数;
(4)写出平面图形的定积分表达式;
(5)运用公式求出平面图形的面积.
二、我的知识树:
【我的疑问】
【课内探究】
经典例题精析:
类型一:利用定积分的几何定义求定积分:
1.说明定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。【变式】由,,以及轴围成的图形的面积写成定积分是
____________;
类型二:运用微积分定理求定积分
例题:运用微积分定理求定积分:
计算下列定积分的值:
(1),(2),(3)?
类型三:运用积分的性质求定积分:
例题3.求定积分:;
类型四:利用定积分求平面图形面积
例题4.求直线与抛物线所围成的图形面积.
【变式】求由曲线(),,围成的平面图形的面积.
二、总结提升
1.知识方面:
2.数学思想方法:
课题:定积分与微积分定理
【课后训练案】
使用说明:1.限时45分钟完成:2.独立、认真;规范快速。
1.说明下列定积分所表示的几何意义,并根据其意义求出定积分的值。
(1);(2);?
2.利用定积分的几何定义求定积分:
(1);(2)
3.计算下列定积分的值:
(1);(2);(3).
4.已知函数,计算.
5.求由曲线围成的平面图形的面积.
6.求抛物线与直线所围成的图形的面积.
【自主纠错】请珍惜每一次训练的机会,发现自己存在的问题,重视纠错,总结经验,继续前进!
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
微积分基本定理 一、教材分析 1、教材的地位及作用 微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书(人教版)高二年级数学(选修2-2)第一章第六节内容,本节内容共设计两个课时,这是第一课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习,它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 2、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1)知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会求简单的定积分。 (2)过程与方法目标:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 (3)情感、态度与价值观目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 3、教学重点、难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。(根据教材内容特点及教学目标的要求) 难点:了解微积分基本定理的含义。(根据学生的年龄结构特征和心理认知特点) ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位。 二、教法和学法 1、教法: 素质教育理论明确要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高,根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、
1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y =x2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =??01(x2-x)dx B .S =??01(x -x2)dx C .S =??01(y2-y)dy D .S =??01(y -y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x2,故函数y =x2与y =x 所围成图形的面积S =??0 1(x -x2)dx. 2.(2010·日照模考)a =??02xdx ,b =??02exdx ,c =??02sinxdx ,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A .a 1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积. 7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 教学过程 一、课堂导入 问题:什么是定积分?定积分与微积分基本定理是什么? 二、复习预习 1.被积函数若含有绝对值号,应先去绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 5.将要求面积的图形进行科学而准确的划分,可使面积的求解变得简捷. 三、知识讲解 考点1 定积分的概念 设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上用分点a=x0 在每个小区间内任取一点ξi,作和式I n=∑n-1 i=0 f(ξi)Δx i.当λ→0时,如果和式的极限存在,把和式I n的极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]上的定积分,记作?b a f(x)d x,即?b a f(x)d x=lim λ→0∑n-1 i=0 f(ξi)Δx i,其中f(x)叫做被积函数,f(x)d x叫做被积式,a 为积分下限,b为积分上限. (1)?b a kf(x)d x=k?b a f(x)d x (k为常数). (2)?b a[f(x)±g(x)]d x=?b a f(x)d x±?b a g(x)d x. (3)?b a f(x)d x=?c a f(x)d x+?b c f(x)d x (a 定积分与微积分基本定理 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件,要做到心中有数! 学习目标: ● 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念、几何意义. ● 直观了解微积分基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分. ● 应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值. 重点难点: ● 重点:正确计算定积分,利用定积分求面积. ● 难点:定积分的概念,将实际问题化归为定积分问题. 学习策略: ● 运用“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法,理解定积分的概念. ● 求定积分主要是要找到被积函数的原函数,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于被积函数. ● 求导运算与求原函数运算互为逆运算. 二、学习与应用 常见基本函数的导数公式 (1)()f x C =(C 为常数),则'()f x = (2)()n f x x =(n 为有理数),则'()f x = (3)()sin f x x =,则'()f x = (4)()cos f x x =,则'()f x = (5)()x f x e =,则'()f x = (6)()x f x a =,则'()f x = “凡事预则立,不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前,看看你的知识贮备过关了吗? (7)()ln f x x =,则'()f x = (8)()log a f x x =,则'()f x = 函数四则运算求导法则 设 ()f x ,()g x 均可导 (1)和差的导数:[()()]'f x g x ±= (2)积的导数:[()()]'f x g x ?= (3)商的导数:()[]'() f x g x = (()0g x ≠) 知识点一:定积分的概念 如果函数)(x f 在区间[,]a b 上连续,用分点b x x x x x a n n =<??<<<=-1210将区间[,]a b 分为n 个小区间,在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点i ξ(i =1,2,3…,n ),作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ,当∞→n 时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做)(x f 在区间[,]a b 上的 .记作 .即()b a f x dx ?= , 这里, 分别叫做积分下限与积分上限, 叫做积分区间, 叫做被积函数, 叫做积分变量, 叫做被积式. 说明: (1)定积分的值是一个 ,可正、可负、可为零; (2)用定义求定积分的四个基本步骤: 知识点二:定积分的几何意义 设函数)(x f 在区间[]b a ,()a b ≠上连续. 在[]b a ,上,当0)(≥x f 时,定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线)(x f y =以 及直线b x a x ==,与x 轴围成的曲边梯形的 ; 知识要点——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材,尝试把下列知识要点内容补充完整,带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID : #tbjx6#233073 微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?微积分基本定理(17)
7.微积分基本定理练习题
定积分与微积分基本定理
定积分与微分基本定理
微积分基本定理 教案
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
定积分及微积分基本定理练习题及答案