第六章 计算方法简介

94 第六章 计算方法简介

§1 数值逼近

1.1

插值

许多实际问题都要用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数虽然可能在某个区间上具有很好的性质（连续、光滑等），但没有函数的表达式信息，我们只能通过实验或者观测得到函数在一些点i x 上的函数值

)(i i x f y =),2,1,0(n i =，这是一张函数表.有些函数虽然有解析式，但由于计算

复杂，使用不方便，我们通常也造一个函数表，例如三角函数表、平方根表等.

为了研究函数的性质，往往还需要求出不在函数表上的函数值，因此我们希望根据给定的函数表构造一个既能反映函数)(x f y =的性质、又便于计算的简单函数

)(x P ，用)(x P 来近似)(x f .这就是插值所要研究的问题.

)(x P 称为)(x f 的插值函数.常用的插值函数是代数多项式或分段代数多项式.

1.1 Lagrange 插值 1.1.1 方法介绍

Lagrange 插值方法即，给定n 个插值节点以及对应的函数值信息，

)(i i x f y =),2,1,0(n i =，利用n 次Lagrange 插值多项式公式，则对插值区间内

任意x 的函数值y 可通过下式近似求得：

)()(1

1

∏

∑≠==--=n

k

j j j

k j n k k x x x x y x y .

其中

∏≠=--n

k

j j j

k

j

x x

x x 1称为插值基函数.可见，在Lagrange 插值中，对应1+n 个节点的

插值基函数一共有1+n 个，每个基函数是一个n 次多项式. 1.1.2 MATLAB 实现 Lagrange.m

% y=lagrange(x0,y0,x)，表示对x0，y0的节点信息使用Lagrange插值所得的多项式在x点的取值.

function y=lagrange(x0,y0,x)

n=length(x0);m=length(x);

for i=1:m

z=x(i);

s=0.0;

for k=1:n

p=1.0;

for j=1:n

if j~=k

p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=p*y0(k)+s;

end

y(i)=s;

end

>> x=[0.4:0.1:0.8];

>> clear

>> x=[0.4:0.1:0.8];

>> y=[-0.9 -0.6 -0.5 -0.35 -0.22];

>> lagrange(x,y,0.54)

ans =

-0.5572

1.2分段低次插值

1.2.1 方法介绍

95

96 利用给出的节点信息使用多项式插值，一般认为插值多项式的次数越高，对原

函数的近似越好，但事实并非如此.19世纪Runge给出了一个反例，说明了插值多项式次数高并不意味着近似程度好.

为了避免误差大的缺点，通常采用分段低次插值的做法.所谓分段低次插值，就是先把插值区间分成若干段，在每一段上进行低次多项式插值.

1.2.2 MATLAB实现

MATLAB自身提供了用于插值的内部函数interp1.该命令的使用方法为y=interp1(x,y,xi,’method’),其中(x,y)是已知的一组节点信息，xi表示插值函数在xi点取值，method表示所使用的插值方法，可选的方法有：

● nearest 线性最近项插值；

● linear 线性插值；

● spline 三次样条插值；

● cubic 三次插值.

例：正弦函数的插值.

>> x=[0:0.1:10];

>> y=sin(x);

>> xi=0:.25:10;

>> yi=interp1(x,y,xi);

>> plot(x,y,'o',xi,yi)

97

1.3 Hermite 插值 1.3.1 方法介绍

不少实际问题中不但要求在节点上函数值相等，还要求导数值也相等，甚至要求高阶导数值也相等，满足这一要求的插值多项式是Hermite 插值多项式.以下只给出函数值与一阶导数值个数相等且已知的情形.

已知n 个插值节点n x x x ,,,21 及其对应的函数值n y y y ,,,21 和一阶导数值

'

'2'1,,,n

y y y .则计算插值区域内任意x 的函数值y 的Hermite 插值公式为 ∑=+--=n

i i i i i i i y y y a x x h x y 1

'])2)([()(,

其中

∑

≠=≠=-=--=n

j

i i j

i i n

i

j j j

i j i x x a x x x x h 12

1

1

,)(

.

1.3.2 MATLAB 实现 hermite.m

% 使用方法 y=hermite(x0,y0,y1,x),其中x0表示已知节点，

% y0表示已知节点上的函数值信息，y1表示已知节点上的函数导数值信息, % x 表示插值多项式在x 上取值. function y=hermite(x0,y0,y1,x) n=length(x0),m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j~=i

98 h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end

yy=yy+h*((x(i)-x0(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end

>> x0=[0.3 0.32 0.35]; >> y0=[0.3 0.3 0.34]; >> y1=[0.9 0.94 0.93]; >> x=[0.3:0.005:0.35]; >> y=hermite(x0,y0,y1,x);

1.4 三次样条插值 1.4.1 方法介绍

前面讨论的分段低次插值函数有一致收敛性，但光滑性较差.样条函数可以给出光滑的插值函数.其中重要的是三次样条函数.

设区间],[b a 上给定有关划分,10b x x x a n =<<<= S 为],[b a 上满足下面条件的函数： ●),(2

b a C S ∈；

●S 在每个子区间],[1+i i x x 上是三次多项式. 则称S 为关于划分的三次样条函数.

要确定三次样条函数，还需要边界条件.常用的边界条件有三种类型： ●);(')('),(')('00n n x f x S x f x S == ●);('')(''),('')(''00n n x f x S x f x S ==

99

●.,,1,0),()(0n j x S x S n j j ==

1.4.2 MATLAB 实现

interp1函数中，method 参数选为’spline ’即可，或者使用MATLAB 自带的spline 函数.下面举例说明spline 函数的应用. >>x=0:12; >>y=tan(pi*x/25); >>xi=linspace(0,12); >>yi=spline(x,y,xi);

此例利用数据x 和y ，通过三次样条插值，计算得到正切函数的插值多项式在xi 处的取值. 1.2

数值积分与数值微分

许多实际问题需要计算函数的积分和微分，理论上计算积分的方法是利用微积分基本定理，计算微分的方法是利用微分的定义.但在实际应用中，函数的表达式往往是未知的，或者即使函数表达式已知，也未必满足理论公式的条件，并且在计算机实现上，还需要把连续的问题离散化.因此，我们要使用数值的方法来计算积分和微分.

数值积分和数值微分的基本思想是，利用已有的节点以及节点上函数值的信息，先用插值多项式近似未知函数，再用我们熟知的方法求插值多项式的积分和微分，作为未知函数的积分和微分的近似.

2.1 数值积分 2.1.1 方法介绍 对于积分

?

b

a

dx x f )((这里只考虑一元函数的积分)，将积分区间],[b a 划分为n

等分，步长n

a

b h -=

，选取节点kh a x k +=，),,2,1,0(n k =，利用前面提到的多项式插值理论，可构造插值型的求积公式

100 ∑=-=n

k k n k n x f C a b I 0

)()()(

称为Newton －Cotes 公式，其中)

(n k C 称为Cotes 系数，只与k n ,有关，可以通过计

算得到.下表给出常用的几个Cotes 系数：

特别地，Newton －Cotes 公式 ●当1=n 时，称为矩形公式； ●当2=n 时，称为梯形公式； ●当3=n 时，称为Simpson 公式； ●当4=n 时，称为Cotes 公式.

如果直接应用上述公式，计算结果的误差还比较大，原因是插值的节点个数较少，在积分区间较大的情况下会产生很大的误差.实际应用中的做法是先将积分区间作一定的分划，然后在每个区间上应用上述公式，这样可以提高精度.改进后的公式分别称为复化矩形公式、复化梯形公式、复化Simpson 公式和复化Cotes 公式.另外,为了得到更高的代数精度,还有Gauss 求积公式和Romberg 求积公式,细节可参考相关文献资料.

2.1.2 MATLAB 实现

MATLAB 中自带了求积分的几个函数,这里我们把它们列表如下：

101

例：求积分?

+1

24

dx x x

. fun.m

function y=fun(x) y=x./(4+x.^2); >>quad(’fun ’,0,1) ans = 0.1116

除数值积分函数外，MATLAB 还提供了两个符号积分函数int 和symsum 。关于它们的使用方法可参看MATLAB 的帮助文件，这里不做展开.

2.2 数值微分

微分和差分也是进行数学计算的重要部分，但由于计算中很少出现稳定性和精度问题，所以相应的算法也较少。MATLAB 提供了几个功能函数用于解决微分和和差分问题。下面举例说明diff 和jacobian 这两个函数的用法： ● diff

例：求)sin(2

x 的导数. >> x=sym('x'); >> diff(sin(x^2)) ans = 2*cos(x^2)*x ● jacobian

例：求如下函数的Jacobi 矩阵.

????

?

??+-++=z e z x e y x z y x F y z cos 5sin 2),,(2

>> x=sym('x');y=sym('y');z=sym('z');

>> f1='[2*x+sin(y)+exp(z);x^2-5*z;exp(y)+cos(z)]';

102 >> jacobian(f1,[x,y,z]) ans =

[ 2, cos(y), exp(z)] [ 2*x, 0, -5] [ 0, exp(y), -sin(z)] 1.3

求解非线性方程组

非线性方程的求根一般采用遍历法、二分法和迭代法求解.遍历法由于计算量大，精度差，一般只有搜索到根区间时使用.下面主要介绍二分法和迭代法，迭代法主要介绍不动点迭代和Newton 迭代.

3.1 二分法

二分法的理论依据是闭区间上连续函数的介值定理，即：如果)(x f 是],[b a 上的连续函数，且0)()(

对此区间二分，再用介值定理找到有根区间，再二分，直到有根区间长度足够小，二分结束，用当前区间的中点作为根的近似.这就是二分法.

由于该算法较为简单，在计算机上的实现这里不做介绍. 3.2 不动点迭代 3.2.1 方法介绍

设一元函数)(x f 是连续的，要求解0)(=x f ，为了进行迭代，变换方程形式为)(x x ?=，于是构造迭代公式)(1k k x x ?=+.如果)(*∞→→k x x k ，则称此迭代为不动点迭代.但此迭代是否收敛与)(x ?的形式有关，并且如果收敛，收敛速度也受)(x ?影响.

3.2.2 MATLAB 实现 g.m

function y=g(x) y=log(3*x.^2);

103

iterate.m

% y=iterate(x)，其中x 是迭代的初值 function y=iterate(x) x1=g(x); n=1;

while (abs(x1-x)>=1.0e-6)&(n<=1000) x=x1; x1=g(x); n=n+1; end y=x1; >>iterate(3) ans= 3.7331

3.2 Newton 迭代 3.2.1 方法介绍

Newton 法是最重要，而且是应用最为广泛的一种迭代法.在这里对其推导不做介绍.Newton 法的迭代公式为：

)

(')

(1k k k k x f x f x x -

=+.

Newton 法是局部平方收敛的，因此使用它计算更快捷. 3.2.2 MATLAB 实现

类似不动点迭代，可以编写Newton 迭代的MATLAB 程序，这里还要计算的一项是导函数.代码的细节略去.

另外，在MATLAB 的Symbolic Toolbox 中提供了用于求解非线性方程（组）的函数fsolve ，使用极其简便.

例：

fc.m

function y=fc(x)

y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2cos(x(2));

y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2sin(x(2));

y=[y(1) y(2)];

>> x0=[0.5 0.5];

>> fsolve('fc',x0)

ans =

0.5265 0.5079

§2数值代数

求解线性方程组和求解矩阵的特征值问题的算法很多，细节可以参考数值分析的书籍.而在MATLAB中，有着现成的函数可供调用，这些函数集许多优秀算法于一身，而且是算法自适应的，即根据不同的已知条件选择合适的算法来计算.

2.1求解线性方程组

Ax 的解法一般可分为两类：一是直接法，通过矩阵的变形、关于线性方程组b

消去直接得到方程的解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法；二是迭代法，就是用某种极限过程去逐渐逼近方程组精确解的方法，迭代法是解大型稀疏矩阵方程组的重要方法.

1.1 直接法

关于线性方程组的直接解法，常见的有Gauss消去法、选主元消去法、平方根法.追赶法等等，大多数数值分析的书都有比较详尽的介绍.

在MATLAB中，只须用一个“\”就解决问题.虽然表面上是一个简单的符号，但内部却包含了许多算法，如对超定方程组使用最小二乘法，对不定方程组它将给出范数最小的一个解，解三对角方程组使用追赶法等等.

具体用法为：初始化矩阵A和右端向量b，那么

>>x=A\b

1.2 迭代法

104

105

常见的迭代法有Jacobi 迭代、Gauss －Seidel 迭代和SOR 迭代，这里我们只介绍Jacobi 迭代法，另外两个迭代法与Jacobi 迭代法类似，可在相关参考书上找到算法的细节.

设A 是n 阶非奇异方阵，把A 写成U L D A --=，其中D 是对角矩阵，它的对角元对应A 的对角元，而L 和U 分别是A 的严格下三角部分和严格上三角部分（不包括对角元），则b D x U L D x 11)(--++=，由此构造迭代法f Bx x k k +=+1，其中)(1U L D B +=-，b D f 1-=.

Jacobi 迭代法的MATLAB 实现如下： jacobi.m

% 使用方法y=jacobi(a,b,x0)

% 其中a 是系数矩阵，b 是右端向量，x0是迭代的初始向量 function y=jacobi(a,b,x0) D=diag(diag(a)); U=-triu(a,1); L=-tril(a,-1); B=D\(L+U); f=D\b; y=B*x0+f; n=1;

while norm(y-x0))>=1.0e-6 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end y

106 例：求解方程组???

?

? ??=????? ??????? ??----679102021010110321x x x

>>a=[10 -1 0;-1 10 -2;0 -2 10]; >>b=[9;7;6];

>>jaboci(a,b,[0;0;0]) y=

0.9958 0.9579 0.7916 2.2

特征值问题

在实际应用中，求解特征值问题的常见算法有幂法、QR 算法等，其中幂法及其变形（反幂法）是求解矩阵端部特征值和对应特征向量的有效方法，QR 算法是求解矩阵所有特征值和特征向量的迭代法.

在MATLAB 中，主要应用eig 函数或eigs 函数（针对稀疏矩阵）来求解特征值问题.

例： >>A=rand(3); >>[V,d]=eig(A) V =

-0.6571 -0.7865 0.7614 -0.2275 0.3771 -0.6380 -0.7186 0.4892 0.1154 d =

1.6175 0 0 0 0.4332 0 0 0 0.6121

107

上例计算随机生成的三阶矩阵的特征值和特征向量，返回V 表示特征向量构成的矩阵，D 表示以所有特征值为对角元的对角矩阵.

如果求解线性方程组或特征值问题中的矩阵是大型稀疏的，有专门的算法可供选择，例如投影类的子空间迭代法，算法的实现可调用现有的一些软件包.

§3 微分方程数值解

科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题，这类问题最简单的形式是下面的一阶方程的初值问题：

?

?

?==.)(),

,('00y x y y x f y 这一部分我们介绍其数值解法以及在MATLAB 中的应用.所谓数值解法，就是寻求)(x y 在一系列离散节点

<<<<<<+1321n n x x x x x

上的近似值 ,,,,,121+n n y y y y .这里我们介绍Euler 方法和Runge －Kutta 方法. 1、

Euler 方法

对初值问题进行变换，用差商近似导数，有

),(11n n n

n n

n y x f x x y y =--++，

进而得到),(1n n n n y x hf y y +=+，这里h 表示相邻两个节点1,+n n x x 之间的距离.这就是著名的Euler 格式.如果给定初值0y ，那么可以逐步算出 ,,21y y .Euler 格式实际上是做了线性近似. 2、

Runge －Kutta 方法

2.1 方法介绍

Runge －Kutta 方法实质上是间接地使用Taylor 展开二阶近似的一种方法（Taylor 级数展开到二次项），如果解的光滑性较好，那Runge －Kutta 方法的精度比Euler 法要高.

108 经典的四阶Runge－Kutta格式为

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+

+

=

+

+

=

+

+

=

=

+

+

+

+

=

+

).

,

(

),

2

,

2

(

),

2

,

2

(

),

,

(

),

2

2

(

6

3

4

2

3

1

2

1

4

2

2

1

1

hK

y

h

x

f

K

K

h

y

h

x

f

K

K

h

y

h

x

f

K

y

x

f

K

K

K

K

K

h

y

y

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

但需要注意的是，Runge－Kutta方法基于函数的Taylor展开，因此要求所求

的解具有很好的光滑性，反之，如果解的光滑性差，那么使用Runge－Kutta方法可能效果会比较差.在实际计算中，应针对问题的具体特点选择合适的算法.

2.2 MATLAB实现

MATLAB中有几个专门用于解常微分方程的功能函数，如ode23、ode45、ode23s 等.

ode23系列采用二阶、三阶的Runge－Kutta方法，ode45系列则采用四阶、五阶的Runge－Kutta方法.以ode45为例演示该函数的用法：

fun.m

function f=fun(x,y)

f=-2*y+2*x.^2+2*x;

>> ode45('fun',[0,0.5],1)

数值计算方法学习指导书内容简介

数值计算方法学习指导书内容简介 数值计算方法学习指导书内容简介《数字信号处理学习指导》是浙江省高等教育重点建设教材、应用型本科规划教材《数字信号处理》(唐向宏主编，浙江大学出版社出版，以下简称教材)的配套学习指导书，内容包括学习要求、例题分析、教材习题解答、自测练习以及计算机仿真实验等。学习指导书紧扣教材内容，通过例题讲解，分析各章节的学习重点、难点以及需要理解、掌握和灵活运用的基本概念、基本原理和基本方法。全书共有66例例题分析、121题题解、2套自测练习和6个mat1ab计算机仿真实验。 数值计算方法学习指导书目录绪论 第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 1.2 例题 1.3 教材习题解答 第2章离散系统的变换域分析与系统结构 2.1 学习要点 2.2 例题 2.3 教材习题解答 第3章离散时间傅里叶变换

3.1 学习要点 3.2 例题 3.3 教材习题解答 第4章快速傅里叶变换 4.1 学习要点 4.2 例题 4.3 教材习题解答 第5章无限长单位冲激响应(iir)数字滤波器的设计5.1 学习要点 5.2 例题 5.3 教材习题解答 第6章有限长单位冲激响应(fir)数字滤波器的设计6.1 学习要点 6.2 例题 6.3 教材习题解答 第7章数字信号处理中的有限字长效应 7.1 学习要点 7.2 例题 7.3 教材习题解答 第8章自测题 8.1 自测题(1)及参考答案 8.2 自测题(2)及参考答案 第9章基于matlab的上机实验指导 9.1 常见离散信号的matlab产生和图形显示

9.2 信号的卷积、离散时间系统的响应 9.3 离散傅立叶变换 9.4 离散系统的频率响应分析和零、极点分布 9.5 iir滤波器的设计 9.6 fir滤波器的设计 数值计算方法学习指导书内容文摘第1章离散时间信号与系统 1.1 学习要点 本章主要介绍离散时间信号与离散时间系统的基本概念，着重阐述离散时间信号的表示、运算，离散时间系统的性质和表示方法以及连续时间信号的抽样等。本章内容基本上是“信号与系统”中已经建立的离散时间信号与系统概念的复习。因此，作为重点学习内容，在概念上需要明白本章在整个数字信号处理中的地位，巩固和深化有关概念，注意承前启后，加强葙关概念的联系，进一步提高运用概念解题的能力。学习本章需要解决以下一些问题： (1)信号如何分类。 (2)如何判断一个离散系统的线性、因果性和稳定性。 (3)线性时不变系统(lti)与线性卷积的关系如何。 (4)如何选择一个数字化系统的抽样频率。 (5)如何从抽样后的信号恢复原始信号。 因此，在学习本章内容时，应以离散时间信号的表示、离散时间系统及离散时间信号的产生为主线进行展开。信号的离散时间的表示主要涉及序列运算(重点是卷积和)、常用序列、如何判

数学快速计算法

数学快速计算法 二位数乘法速算总汇 1、两位数的十位相同的,而个位的两数则是相补的(相加等于10)女口:78 X 72= 37 X 33= 56 X 54= 43 X 47 = 28 X 22 46 X 44 (1) 分别取两个数的第一位,而后一个的要加上一以后,相乘。 (2) 两个数的尾数相乘,(不满十,十位添作0) 78X 72=5616 37 X 33=1221 56 X 54= 3024 43 X 47= 2021 (7+1) X 7=56 (3+1) X 3=12 (5+1) X 5=30 (4+1) X 4=20 8X 2=16 7 X 3=21 6 X 4=24 3 X 7=21 口决:头加1,头乘头,尾乘尾 2、两个数的个位相同,十位的两数则是相补的 如:36 X 76= 43 X 63= 53 X 53= 28 X 88= 79 X 39 (1) 将两个数的首位相乘再加上未位数 (2) 两个数的尾数相乘(不满十,十位添作0) 36X 76=2736 43 X 63=2709 3X 7+6=27 4 X 6+3=27 6X 6=36 3 X 3=9 口决:头乘头加尾,尾乘尾 3、两位数的十位差1,个位的两数则是相补的。 如:48 X 52 12 X 28 39 X 11 48 X 32 96 X 84 75 X 65

即用较大的因数的十位数的平方,减去它的个位数的平方。

48 X 52=2496 12 X 28 = 336 39 X 11= 819 48 X 32=1536 2500-4=2496 400-64=336 900-81=819 1600-64=1536 口决:大数头平方 —尾平方 4、一个乘数十位加个位是 9,另一个乘数十位和个位是顺数 X 78 = 81 X 23 = 27 X 89 = 5 23 2 如:12 X 13= 13 X 15= 14 X 15= 16 X 18= 17 X 19= 19 X 18= (1) 尾数相乘 ,写在个位上 (满十进位 ) (2) 被乘数加上乘数的尾数 12X 13=156 13 X 15= 195 14 X 15=210 16 X 18= 288 2X 3=6 3 X 5=154X 5=20 6 X 8=48 12+3=15 13+5=18 14+5=19 16+8=24 口决:尾数相乘 ,被乘数加上乘数的尾数 （满十进位 ） 6、任何二位数数乘于 11 如 :36 X 45 = 72 X 67 = 45 1 、解 : 3+1=4 4 X 4 = 1的6补5 数是 4X 5=20所以 36 X 45= 1620 2、解: 7+1=8 8 X 6 = 4的8补7 数是 8X 3=24所以 72 X 67 = 4824 3、解: 4+1=5 5 X 7=3的5补8 数是 5X 2=10所以 45 X 78 = 3510 5、10-20 的两位数乘法

库存成本计算方法简介

库存成本计算方法简介 一、常用的几种成本核算方法 1）、移动平均 存货的计价方法之一。 是平均法下的另一种存货计价方法。 即企业存货入库每次均要根据库存存货数量和总成本计算新的平均单位成本,并以新的平均单位成本确定领用或者发出存货的计价方法。 单位成本=存货成本/存货数量 移动加权平均法,是指以每次进货的成本加上原有库存存货的成本,除以每次进货数量与原有库存存货的数量之和,据以计算加权平均单位成本,以此为基础计算当月发出存货的成本和期末存货的成本的一种方法. 移动加权平均法是永续制下加权平均法的称法。 移动加权平均法： 移动加权平均法下库存商品的成本价格根据每次收入类单据自动加权平均；其计算方法是以各次收入数量和金额与各次收入前的数量和金额为基础，计算出移动加权平均单价。其计算公式如下： 移动加权平均单价= (本次收入前结存商品金额+本次收入商品金额)/(本次收入前结存商品数量+本次收入商品数量 ) 移动加权平均法计算出来的商品成本比较均衡和准确，但计算起来的工作量大，一般适用于经营品种不多、或者前后购进商品的单价相差幅度较大的商品流通类企业。 2）、全月平均 加权平均法,亦称全月一次加权平均法,是指以当月全部进货数量加上月初存货数量作为权数,去除当月全部进货成本加上月初存货成本,计算出存货的加权平均单位成本,以此为基础计算当月发出存货的成本和期末存货的成本的一种方法。 加权单价＝（月初结存货成本＋本月购入存货成本）/（月初结存存货数量＋本月购入存货数量）

注：差价计算模块中原来就是按这种方法处理 月综合差价率＝（期初差价＋入库差价）／（期初金额＋入库金额） 差价＝出库金额＊月综合差价率 3）、先进先出 物料的最新发出(领用)以该物料(或该类物料)各批次入库的时间先后决定其存货发出计价基础，越先入库的越先发出。 采用先进先出法时，期末结存存货成本接近现行的市场价值。这种方法的优点是企业不能随意挑选存货的计价以调整当期利润；缺点是工作量比较繁琐，特别是对于存货进出量频繁的企业更是如此。同时，当物价上涨时，会高估企业当期利润和库存价值；反之，会低估企业存货价值和当期利润。 4）、后进先出 与先进先出发正好相反。 在物价持续上涨时期，使当期成本升高，利润降低，可以减少通货膨胀对企业带来的不利影响，这也是会计实务中实行稳健原则的方法之一 5）、个别计价法 个别计价法是指进行存货管理时存货以单个价格入帐 6）、计划成本法 计划成本法先要制定计划价格，按计划价格发出材料，然后分摊材料差异（成本会计，制造业） 例：物品A，计划成本120（暂估入账），实际成本100，计划和实际相差20（结转材料成本差异）

数值计算方法教学大纲

《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。

（5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。

数学快速计算方法_乘法速算

一.两个20以内数的乘法 两个20以内数相乘,将一数的个位数与另一个数相加乘以10,然后再加两个尾数的积,就是应求的得数。如12×13＝156,计算程序是将12的尾数2,加至13里,13加2等于15,15×10＝150,然后加各个尾数的积得156,就是应求的积数。 二.首同尾互补的乘法 两个十位数相乘,首尾数相同,而尾十互补,其计算方法是:头加1,然后头乘为前积,尾乘尾为后积,两积连接起来,就是应求的得数。如26×24＝624。计算程序是:被乘数26的头加1等于3,然后头乘头,就是3×2＝6,尾乘尾6×4＝24,相连为624。 三.乘数加倍,加半或减半的乘法 在首同尾互补的计算上,可以引深一步就是乘数可加倍,加半倍,也可减半计算,但是:加倍、加半或减半都不能有进位数或出现小数,如48×42是规定的算法,然而,可以将乘数42加倍位84,也可以减半位21,也可加半倍位63,都可以按规定方法计算。48×21＝1008,48×63＝3024，48×84=4032。有进位数的不能算。如87×83＝7221,将83加倍166,或减半41.5,这都不能按规定的方法计算。 四.首尾互补与首尾相同的乘法 一个数首尾互补,而另一个数首尾相同,其计算方法是:头加1,然后头乘头为前积,尾乘尾为后积,两积相连为乘积。如37×33＝1221,计算程序是(3＋1)×3×100＋7×3＝1221。 五.两个头互补尾相同的乘法

两个十位数互补,两个尾数相同,其计算方法是:头乘头后加尾数为前积,尾自乘为后积。如48×68＝3264。计算程序是4×6＝24 24＋8＝32 32为前积,8×8＝64为后积,两积相连就得3264。 六.首同尾非互补的乘法 两个十位数相乘,首位数相同,而两个尾数非互补,计算方法:头加1,头乘头,尾乘尾,把两个积连接起来。再看尾和尾的和比10大几还是小几,大几就加几个首位数,小几就减掉几个首位数。加减的位置是:一位在十位加减,两位在百位加减。如36×35＝1260,计算时(3＋1)×3＝12 6×5＝30 相连为1230 6＋5＝11,比10大1,就加一个首位3,一位在十位加，1230＋30＝1260 36×35就得1260。再如36×32＝1152,程序是(3＋1)×3＝12,6×2＝12,12与12相连为1212,6＋2＝8,比10小2减两个3,3×2＝6,一位在十位减,1212－60就得1152。 七.一数相同一数非互补的乘法 两位数相乘,一数的和非互补,另一数相同,方法是:头加1,头乘头,尾乘尾,将两积连接起来后,再看被乘数横加之和比10大几就加几个乘数首。比10小几就减几个乘数首,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减,如65×77＝5005,计算程序是(6＋1)×7＝49，5×7＝35,相连为4935,6＋5＝11,比10大1,加一个7,一位数十位加。4935＋70＝5005 八.两头非互补两尾相同的乘法 两个头非互补,两个尾相同,其计算方法是:头乘头加尾数,尾自乘。两积连接起来后,再看两个头的和比10大几或小几,比10大几就加几个尾数,小几就减几个尾数,加减位置:一位数十位加减,两位数百位加减。如67×87＝5829,计算程序是:6×8＋7＝55,7×7＝49,相连为5549,6＋8＝14,比10大4,就加四个7,4×7＝28,两位数百位加,5549＋280＝5829

数值计算方法教学大纲(本)

数值计算方法教学大纲(本) 本着“崇术重用、服务地方”的办学理念和我校“高素质应用型人才”的培养目标，特制定了适合我校工科专业本科生的新教学大纲。 一、课程计划 课程名称：数值计算方法Numerical Calculation Method 课程定位：数学基础课 开课单位：理学院 课程类型：专业选修课 开设学期：第七学期 讲授学时：共15周，每周4学时，共60学时 学时安排：课堂教学40学时+实验教学20学时 适用专业：计算机、电科、机械等工科专业本科生 教学方式：讲授（多媒体为主）+上机 考核方式：考试60%+上机实验30%+平时成绩10% 学分：3学分 与其它课程的联系 预修课程：线性代数、微积分、常微分方程、计算机高级语言等。 后继课程：偏微分方程数值解及其它专业课程。 二、课程介绍 数值计算方法也称为数值分析，是研究用计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门学科。随着计算科学与技术的进步和发展，科学计算已经与理论研究、科学实验并列成为进行科学活动的三大基本手段，作为一门综合性的新科学，科学计算已经成为了人们进行科学活动必不可少的科学方法和工具。 数值计算方法是科学计算的核心内容，它既有纯数学高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际实验的高度技术性的特点，是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程.主要介绍插值法、函数逼近与曲线拟合、线性方程组迭代解法、数值积分与数值微分、非线性方程组解法、常微分方程数值解以及矩阵特征值与特征向量数值计算，并特别加强实验环节的训练以提高学生动手能力。通过本课程的学习，不仅能使学生初步掌握数值计算方法的基本理论知识，了解算法设计及数学建模思想，而且能使学生具备一定的科学计算能力和分析与解决问题的能力，不仅为学习后继课程打下良好的理论基础，也为将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 科学计算是21世纪高层次人才知识结构中不可缺少的一部分，它潜移默化地影响着人们的思维方式和思想方法，并提升一个人的综合素质。

第六章 计算方法简介

94 第六章 计算方法简介 §1 数值逼近 1.1 插值 许多实际问题都要用函数)(x f y =来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数虽然可能在某个区间上具有很好的性质（连续、光滑等），但没有函数的表达式信息，我们只能通过实验或者观测得到函数在一些点i x 上的函数值 )(i i x f y =),2,1,0(n i =，这是一张函数表.有些函数虽然有解析式，但由于计算 复杂，使用不方便，我们通常也造一个函数表，例如三角函数表、平方根表等. 为了研究函数的性质，往往还需要求出不在函数表上的函数值，因此我们希望根据给定的函数表构造一个既能反映函数)(x f y =的性质、又便于计算的简单函数 )(x P ，用)(x P 来近似)(x f .这就是插值所要研究的问题. )(x P 称为)(x f 的插值函数.常用的插值函数是代数多项式或分段代数多项式. 1.1 Lagrange 插值 1.1.1 方法介绍 Lagrange 插值方法即，给定n 个插值节点以及对应的函数值信息， )(i i x f y =),2,1,0(n i =，利用n 次Lagrange 插值多项式公式，则对插值区间内 任意x 的函数值y 可通过下式近似求得： )()(1 1 ∏ ∑≠==--=n k j j j k j n k k x x x x y x y . 其中 ∏≠=--n k j j j k j x x x x 1称为插值基函数.可见，在Lagrange 插值中，对应1+n 个节点的 插值基函数一共有1+n 个，每个基函数是一个n 次多项式. 1.1.2 MATLAB 实现 Lagrange.m

工程量快速计算的基本方法经验

工程量快速计算的基本方法经验 本章所述工程量快速计算的基本方法包括：练好“三个基本功”；合理安排工程量计算顺序；灵活运用“统筹法”计算原理；充分利用“工程量计算手册”等四项内容。在实际工作中，只要能够熟练掌握，充分利用以上“基本方法”，就可以快速提高工程量计算业务水平。 第一节练好“三个基本功” 练好“三个基本功”包括：提高看图技能；熟悉常用标准图做法；熟悉工程量计算规则，等三个方面。 一、提高看图技能 工程量计算前的看图，要先从头到尾浏览整套图纸,待对其设计意图大概了解后，再选择重点详细看图。在看图过程中要着重弄清以下几个问题： （一）建筑图部分 1、了解建筑物的层数和高度（包括层高和总高）、室内外高差、结构形式、纵向总长及跨度等。 2、了解工程的用料及作法，包括楼地面、屋面、门窗、墙柱面装饰的用料及法。 3、了解建筑物的墙厚、楼地面面层、门窗、天棚、内墙饰面等在不同的楼层上有无变化（包括材料做法、尺寸、数量等变化），以便采用不同的计算方法。 （二）结构图部分 1、了解基础形式、深度、土壤类别、开挖方式（按施工方案确定）以及基础、墙体的材料及做法。 2、了解结构设计说明中涉及工程量计算的相关内容，包括砌筑砂浆类别、强度等级，现浇和预制构件的混凝土强度等级、钢筋的锚固和搭接规定等，以便全面领会图纸的设计意图，避免重算或漏算。 3、了解构件的平面布置及节点图的索引位置,以免在计算时乱翻图纸查找，浪费时

间。 4、砖混结构要弄清圈梁有几种截面高度，具体分布在墙体的那些部位，圈梁在阳台及门窗洞口处截面有何变化，内外墙圈梁宽度是否一致，以便在计算圈梁体积时，按不同宽度进行分段计算。 5、带有挑檐、阳台、雨篷的建筑物，要弄清悬挑构件与相交的连梁或圈梁的连结关系，以便在计算时做到心中有数。 目前施工图预算和工程量清单的编制主要是围绕工程招投标进行的，工程发标后按照惯例，建设单位一般在三天以内要组织有关方面对图纸进行答凝，因此，预算（或清单）编制人员在此阶段应抓紧时间看图，对图纸中存在的问题作好记录整理。在看图过程中不要急于计算，避免盲目计算后又有所变化造成来回调整。但是对“门窗表”、“构件索引表”、“钢筋明细表”中的构件以及钢筋的规格型号、数量、尺寸，要进行复核，待图纸答凝后，根据“图纸答凝纪要”对图纸进行全面修正，然后再进行计算。 计算工程量时，图中有些部位的尺寸和标高不清楚的地方，应该用建筑图和结构图对照着看，比如装饰工程在计算天棚抹灰时，要计算梁侧的抹灰面积，由于建筑图中不标注梁的截面尺寸，因此，要对照结构图中梁的节点大样计算。再如计算框架间砌体时，要扣除墙体上部的梁高度，其方法是按结构图中的梁编号，查出大样图的梁截面尺寸，标注在梁所在轴线的墙体部位上，然后进行计算。 从事概预算工作时间不长,而又渴望提高看图技能的初学人员，在必要时应根据工程的施工进度，分阶段深入现场了解情况，用图纸与各分项工程实体相对照，以便加深对图纸的理解，扩展空间思维,从而快速提高看图技能。 二、熟悉常用标准图做法 在工程量计算过程中，时常需要查阅各种标准图集，实在繁琐，如果能把常用标准图中的一些常用节点及做法，留在记忆里，在工程量计算时，不需要查阅图集就知道其工程内容和做法，这将节省不少时间，从而可以大大提高工作效率。 工程中常用标准图集基本上为各省编制的民用建筑及结构标准图集，而国标图集以采用

RCS计算方法简单介绍

Radar Cross Section and Farfield Simulation of an This article demonstrates the RCS and farfield simulation of an electrically large airplane. The airplane consists of PEC and is illuminated by a plane wave from the front at a frequency of 4GHz. The simulation is performed with the new Integral Equation solver (I-solver) of CST MICROWAVE STUDIO? (CST MWS). The new I-solver is based on the electric field integral equations and on the discretization by the Method of Moments (MoM). To enhance the numerical complexity the new I-solver applies the Multilevel Fast Multipole Method (MLFMM) which yields an efficient complexity for electrically large structures. As a result, the new Integral Equation solver of CST MWS is very accurate and efficient. Figure 1:Geometry of the airplane Figure 1 shows the geometry of the airplane. The length and width of the airplane is about 27 meters, and the total height is Figure 2:Plane wave illumination from the front at 4GHz We perform a monostatic RCS simulation as well as calculate the farfield and surface current distributions for the airplane. The

OEE介绍和计算方法说明

OEE(Overall Equipment Effectiveness), 即设备综合效率，其本质就是设备负荷时间内实际产量与理论产量的比值。企业在进行OEE计算时常常遇到很多迷惑的问题，如工厂停水 、停电、停气、停汽使设备不能工作，等待定单、等待排产计划、等待检查、等待上 一道工 序造成的停机，不知如何计算。本文引入非设备因素停机的概念，修改了OEE的算 法，使计算 得到的OEE更能够真实反映设备维护的实际状况，让设备完全利用的情况由完全有效生 产率这 个指标来反映。本文同时介绍了在不同情况下如何分析设备损失的PM分析流程。 1、 OEE表述和计算实例 OEE= 时间开动率×性能开动率×合格品率 其中，时间开动率 = 开动时间/负荷时间 而，负荷时间 = 日历工作时间-计划停机时间 开动时间 = 负荷时间–故障停机时间–设备调整初始化时间 性能开动率 = 净开动率×速度开动率 而，净开动率 = 加工数量×实际加工周期/开动时间 速度开动率 = 理论加工周期/实际加工周期 合格品率 = 合格品数量/ 加工数量 在OEE公式里，时间开动率反映了设备的时间利用情况；性能开动率反映了设备的

性能发 挥情况；而合格品率则反映了设备的有效工作情况。反过来，时间开动率度量了设备 的故障 、调整等项停机损失，性能开动率度量了设备短暂停机、空转、速度降低等项性能损 失；合 格品率度量了设备加工废品损失。 OEE还有另一种表述方法，更适用于流动生产线的评估, 即 OEE= 时间开动率×性能开动率×合格品率 而，时间开动率 = 开动时间/计划利用时间 而，计划利用时间 = 日历工作时间-计划停机时间 开动时间 = 计划利用时间–非计划停机时间 性能开动率 = 完成的节拍数/计划节拍数 其中,计划节拍数 = 开动时间/标准节拍时间 合格品率 = 合格品数量/加工数量 这与前述的OEE公式实际上是同一的。 计算：停机时间 = 115+12 = 127 min 计划开动时间 = 910 – 127 = 783 min 时间开动率 = 783/910 = 86% 计划节拍数 = 开动时间/标准节拍时间 = 783/3 = 261

计算方法

计算方法 日照间距的计算方法：以房屋长边向阳，朝阳向正南，正午太阳照到后排房屋底层窗 日照间距 台为依据来进行计算。由图可知：tanh=(H-H1)/D,由此得日照间距应为：D=(H-H1)/tanh；式中：h—太阳高度角；H—前幢房屋女儿墙顶面至地面高度；H1—后幢房屋窗台至地面高度。(根据现行设计规范，一般H1取值为0.9m，H1>0.9m时仍按照0.9m取值）实际应用中，常将D换算成其与H的比值，即日照间距系数（即日照系数=D/H），以便于根据不同建筑高度算出相同地区、相同条件下的建筑日照间距。如居室所需日照时数增加时，其间距就相应加大，或者当建筑朝向不是正南，其间距也有所变化。在坡地上布置房屋，在同样的日照要求下，由于地形坡度和坡向的不同，日照间距也会随之改变。当建筑平行等高线布置，向阳坡地，坡度越陡，日照间距可以越小；反之，越大。有时，为了争取日照，减少建筑间距，可以将建筑斜交或垂直于等高线布置。住宅正面间距，应按日照标准确定的不同方位的日照间距系数控制，也可采用《城市居住区规划设计规范》（GB50180-93）中表5.0.2-2 不同方位间距折减系数换算。 编辑本段换算表 表5.0.2-2不同方位间距折减换算表 方位0°～15° （含） 15°～30° （含） 30°～45° （含） 45°～60°（含）>60 折减 值 1.0L 0.9L 0.8L 0.9L 0.95L 注：1、表中方位为正南向(0°)偏东、偏西的方位角；2、L为当地正南向住宅的标准日照间距(m)；3、本表指标仅适用于无其它日照遮挡的平行布置条式住宅之间。日照间距系数是一个非常不全面的设计依据，随着计算机的普及，计算方法已经改进为计算机日照分析。（来源：清华大学建筑学院人居环境模拟实验室）http://caad.arch.tsinghua .edu. cn/index.php/research/25-sunshine/48-sun-shadow-analysis-background 编辑本段具体操作方法 建筑日照计算简介建筑日照计算在上世纪上半叶主要采用2类方法：第一类：作图法，包括：正日影图、棒影图、瞬时阴影图及分时阴影叠合图（影子信封）。第二类：模型测试，使用建筑的缩尺模型和日规仪进行分析。上世纪80年代国外开始采

几种常用的计算方法说明

几种常用的计算方法说明 一、热套联接 热套联接是工程常用的装配方法，一般通过铁损法或电热板加热法将工件装配孔加热，使孔径膨胀，然后将轴装入。待孔径冷却后，形成相当紧度配合。 目前也有采用液态氮将轴冷却，使轴颈缩小，然后装配。待轴温升至正常室温时，形成紧度配合。 热套联接在水轮发电机组安装中，主要用于转子轮辐与轴、推力头与轴及水轮机止漏环的装配。热套前，应调整热套部件的水平及垂直度，测量各配合断面实际最大过盈量。 1、 热套膨胀量计算 热套膨胀量一般由制造厂给出。没有具体要求时可按国标（GB/T8564—2003）要求进行计算： K=Δmax +D/1000+δ 式中 K ——装配工件内孔所需膨胀量，mm ； Δmax ——实测最大过盈值，mm ； D ——最大轴径，mm ； δ——取值，0.5~1mm ； 2、 加热温度计算 T max =ΔT+T 0 式中 T max ——最大加热温度，℃； ΔT ——加热温升，℃； T 0 ——室温，℃； 其中 D αK = ?T K ——装配工件内孔所需膨胀量，mm ； α——膨胀系数，钢材α=11X10-6 D ——内孔标称直径，mm 。 3、电热器加热总容量 T GC K P T ?= P ——电热器总容量，KW ； K 0——保温系数，一般取2~4； ΔT ——计算温差，℃； G ——被加温部件总重量，kg ； C ——被加热部件材料的比热容，钢材取C=0.5kj/（kg·K ）； T ——预计所需加热时间，s 。

三 螺栓联接 螺栓联接在水轮发电机组安装中应用广泛。为了保证螺栓联接的可靠性，螺栓的紧力应满足要求。螺栓拧紧过程中，同一组合面各螺栓的紧力必须保持一致，并要对称拧紧，避免机件歪斜和螺栓受力不均。 在水轮发电机组安装中，主要大件的连接，其螺栓紧力都有具体要求，所有连接拧紧过程中都要进行螺栓伸长值的测量。 1、 螺栓伸长值计算 []E L L σ= ? 或 SE FL L = ? 式中 ΔL —— 计算的螺栓伸长值，mm ； [б]——螺栓许用拉应力，一般采用[б]=120~140Mpa ； L ——螺栓长度，从螺母高度的一半算起，mm ； E ——螺栓材料弹性系数，一般E=2.1X105Mpa ； F ——螺栓最大拉伸力，N ； S ——螺栓截面积，mm 2； 2、 螺栓伸长值测量 螺栓伸长值的测量通常采用百分表配合测杆测量法及螺母转角测量法。第一种测量方法要求螺栓是中空的，孔的两端带有一段螺纹，用于固定测杆和表架。螺栓拉伸前后的百分表读数之差即为螺栓的伸长值。其测量简图如图3—2及图3—3所示。 图3—2大中型机组螺栓伸长量的侧量 图3—3中小型连轴螺栓伸长量的测量 l.下法兰，2.主轴法兰，3.侧杆；4.螺母 1.圆柱销；2.螺栓，3.水轮机轴， 5.百分表座； 6.百分表，7 .螺栓 4.发电机轴；5.螺母．6.高度游标尺

常用数值计算方法及仿真软件简介a

1.1.1 常用数值计算方法 自1864年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁波理论与应用的发展已经过了100多年的历史。对电磁分布边值问题的求解从图解、模拟、解析到目前所采用的数值计算方法，经历了四个过程。解析方法只能解决一些经典问题，具体到复杂的实际环境，往往需要通过数值解得到具体环境中的电磁波特性。随着高速和大容量计算机技术的飞速发展，电磁数值计算已经发展成为一门新兴的重要学科，已提出多种实用有效的求解麦克斯韦方程的数值方法，主要有矩量法（MOM）、有限元法（FEM）、有限积分法（FIT）、和时域有限差分法（FDTD）等。基于这些数值计算方法开发出了许多优秀的电磁仿真软件。 一个好的数值算法可以很接近地模拟出微波器件的特性，这对于工程设计和研究而言，可以避免很多次的“cut-and-try”（试凑），节省时间从而提高了效率。 求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell方程的解，借助于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。数值算法的基本思想就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。 目前常见的几种数值分析方法如表错误！文档中没有指定样式的文字。-1 电磁数值算法分类所示。针对本论文所应用到的方法，下面简要叙述常用的几种数值方法及相应的商业软件。

1.1.1.1 有限元法 基于有限元方法(FEM)计算电磁问题，其基本构想是将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分成有限个小区域，每个小区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域上的函数被离散化，由此获得一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近似数值。 广义的来说，三维麦克斯韦方程是三维电磁问题的三维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选取由麦克斯韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足矢量亥姆赫兹方程作为支配方程。如Ansoft HFSS 软件[i]的支配方程为： 2010r r E k E εμ??????-= ??? (错误！文档中没有指定样式的文字。-1) 由变分原理，上式的泛函可以写为： ()()() 201r r F E E E k E E d εμΩ??=????????-?Ω???? (错误！文档中没有指定 样式的文字。-2) 将这一个三维问题的泛函通过多面体离散成单元小矩阵，矩形块、四面体和六面体等都可以被选用做基本的离散单元，但是，不同离散单元对于有限元运算的精度、速度和内存需求都有不同。Ansoft HFSS 软件采用四面体作为基本离散单元，如图 错误！文档中没有指定样式的文字。-1所示，并选用上一世纪80 年代以后才被应用于电磁学中的棱边元作为矢量基函数。 假设图 错误！文档中没有指定样式的文字。-1所示的四面体内的未知函数e φ能够近似为 z d y c x b a e e e e e +++=φ (错误！文档中没有指定样式的文 字。-3)

快速计算方法

快速计算方法？ 1.十几乘十几口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。例：12×14=？解: 1×1=1 2＋4＝6 2×4＝8 12×14=168 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 2.头相同，尾互补(尾相加等于1 0)：口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。例：23×27=？解：2＋1＝3 2×3＝6 3×7＝21 23×27=621 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 3.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加1后，头乘头，尾乘尾。例：37×44=？解：3+1=4 4×4=16 7×4=28 37×44=1628 注：个位相乘，不够两位数要用0占位。 4.几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：21×41=？解：2×4=8 2+4=6 1×1=1 21×41=861 5.11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：11×23125=？解：2+3=5 3+1=4 1+2 =3 2+5=7 2和5分别在首尾11×23125=254375 注：和满十要进一。 6.十几乘任意数： 口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13×326=？解：13个位是3 3×3+2=11 3×2+6=12 3×6=18 13×326=42 38 注：和满十要进一。 快速计算方法？ 数学快速计算方法 第一讲加法速算 一.凑整加法 凑整加法就是凑整加差法,先凑成整数后加差数,就能算的快。8+7=15 计算时先将8凑成10 8加2等于 10 7减2等于5 10＋5=15

如17＋9=26 计算程序是17+3=20 9-3=6 20+6=26 二 .补数加法 补数加法速度快,主要是没有逐位进位的麻烦。补数就是两个数的和为10 100 1000 等等。8+2=10 78+22=100 8是2的补数，2也是8的补数，78是22的补数，22也是78的补数。利用补数进行加法计算的方法是十位加1，个位减补。例如6+8=14 计算时在6的十位加上1，变成16，再从16中减去8的 补数2就得14 如6+7=13 先6+10=16 后16-3=13 如27+8=35 27+10=37 37-2=35 如25+85=110 25+100=125 125-15=110 如867+898=1765 867+1000=1867 1867-102=1765 三.调换位置的加法 两个十位数互换位置，有速算方法是：十位加个位，和是一位和是双，和是两位相加排中央。例如61＋16

工程量快速计算方法

工程量快速计算方法 工程量是施工企业编制工程形象进度统计报表，向工程建设投资方结算工程价款的重要依据。今天我们总结了几方面工程量估算的便捷方法，一起来看吧。 平整场地 计算规则： 1、清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、定额规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 计算方法： 1、清单规则的平整场地面积：清单规则的平整场地面积＝首层建筑面积。 2、定额规则的平整场地面积：定额规则的平整场地面积＝首层建筑面积。 注意事项：

1、有的地区定额规则的平整场地面积：按外墙外皮线外放2m计算。计算时按外墙外边线外放2m的图形分块计算，然后与底层建筑面积合并计算；或者按“外放2m 的中心线×2=外放2m面积”与底层建筑面积合并计算。?为什么夫妻“雲雨”，女性很难达到“癫峰”？与这几点有关这样的话计算时会出现如下难点： 1）划分块比较麻烦，弧线部分不好处理，容易出现误差； 2）2m的中心线计算起来较麻烦，不好计算； 3）外放2m后可能出现重叠部分，到底应该扣除多少不好计算。 2、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量，每边外放的长度不一样。 开挖土方 计算规则： 1、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。

2、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。 计算方法： 1、清单规则： 1）计算挖土方底面积： 方法一：利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。外墙外边线到垫层外边线的面积计算（按外墙外边线外放图形分块计算或者按“外放图形的中心线×外放长度”计算）。 方法二：分块计算垫层外边线的面积（同分块计算建筑面积）。 2）计算挖土方的体积： 土方体积＝挖土方的底面积×挖土深度。 2、定额规则： 利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。 V=1/6×H×(S上+ 4×S中+ S下)计算土方体积（其中，S上为上底面积，S中为中截面面积，S下为下底面面积）。

计算方法作业第六章

1．考虑两个线性方程组，其系数矩阵如下 1211 11...23211111...1212341,121 1111...3452..............................121111... 12 21n n A A n n n n n ? ???? ?-??????--?? +?? ????==--??????+???? ??-?? ? ?????++-?? 问题的真解均取为[1,1,1,1,...1]T x =，线性方程组的右端项用这个真解计算出来。相应的问题分别称为问题I 和问题II 。请进行如下数值实验： （1） 对问题I 分别用Gauss 消元法，Cholesky 方法，修改的LDLT 算法，追赶法四 种方法求解，其中n=100； （2） 对问题II 分别用Gauss 消去法，列主元Gauss 消去法，不做行交换的列主元 Gauss 消去法求解，其中n=6； （3） 不断增加问题II 的矩阵阶数n=6,8,10,…,20，重复（2）的工作，看看会有什么 问题发生？解释其原因。 （1） Gauss ： 计算程序： n=100; A=2*eye(n); for i=1:n-1 A(i+1,i)=-1; A(i,i+1)=-1; end b=0; b(1)=1; b(100)=1; [x,XA]=GaussJordanXQ(A,b); Gauss 消元法源程序： %用Gauss 消元法解线性方程组 function [x,XA]=GaussJordanXQ(A,b) N = size(A); n = N(1); for i=1:(n-1)

for j=(i+1):n if(A(i,i)==0) disp('对角元素为0！'); %防止对角元素为0 return; end l = A(j,i); m = A(i,i); A(j,1:n)=A(j,1:n)-l*A(i,1:n)/m; %消元方程 b(j)=b(j)-l*b(i)/m; end end x=SolveUpTriangle(A,b); %通用的求上三角系数矩阵线性方程组的函数XA = A; %消元后的系数矩阵 （SolveUpTriangle.m）解上三角方程组源程序：%解上三角方程组 function x=SolveUpTriangle(A,b) N = size(A); n = N(1); x(n)=b(n)/A(n,n); for k=n-1:1 s=0; for i=k+1:n s=s+A(k,i)*x(i); end x(k)=(b(k)-s)/A(k,k); end 结果： x1=[0,0,0,…..0,0,1]T x2=[0,0,0,…..0,0,0.3820]T x3=[0,0,0,…..0,0,0.9900]T x4=[1,1,1,…..1,1,1]T Cholesky：

计算数学简介

计算数学简介 一、什么是计算数学 现代的科学技术发展十分迅速，他们有一个共同的特点，就是都有大量的数据问题。比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星试制开始到发射、回收为止，科学家和工程技术人员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的计算。发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收下落角度等等需要进行精确的计算。又如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性质、它们之间的相互作用和转化规律，这里面也有大量的数据计算问题。 计算问题可以说是现代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教育等等，那一行那一业都有许多数据需要计算，通过数据分析，以便掌握事物发展的规律。 研究计算问题的解决方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做计算数学(computational mathematics)。随着计算机的问世到当前状况，计算数学已经从数值分析(numerical analysis)、科学与工程计算(scientific and engineering computing)发展到二十一世纪的计算科学(computational sciences)阶段。 计算数学属于应用数学的范畴，它主要研究有关的数学和逻辑问题怎样由计算机加以有效地解决。科学计算的兴起是20世纪后半叶最重要的科技进步之一。计算与理论及实验相并列，已经成为当今世界科学活动的第三种手段。 二、计算数学的内容 计算数学也叫做数值计算方法或数值分析。主要内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特征值的求法，最优化计算问题，概率统计计算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和误差分析等理论问题。 我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代数方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是数值分析的方法。对于一般的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采用数值分析的办法。怎样找出比较简洁、误差比较小、花费时间比较少的计算方法是数值分析的主要课题。 在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的计算是比较简单的，是比较容易进行的。迭代法还可以用来求解线性方程组的解。求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速度快，近似误差小。在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。此外，一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用计算机的条件下也可以得到广泛的应用。 在计算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。数值逼近也叫近似代替，就是用简单的函数去代替比较复杂的函数，或者代替不能用解析表达式表示的函数。数值逼近的基本方法是插值法。初等数学里的三角函数表，对数表中的修正值，就是根据插值法制成的。 在遇到求微分和积分的时候，如何利用简单的函数去近似代替所给的函数，以便容易求到和求积分，也是计算方法的一个主要内容。微分方程的数值解法也是近似解法。常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。 有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。有限元素法是近代才发展起来的，它是以变分原理和区域剖分插值作为基础的方法。在解决椭圆型方程边值问题