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第 2 章

逻辑代数和逻辑函数化简

基本概念：逻辑代数是有美国数学家 George Boole 在十九世纪提出 , 因此也称

布尔代数 , 是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。也叫开关代数，是研究只用 0 和

1 构成的数字系统的数学。

基本逻辑运算和复合逻辑运算

基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。

复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。

基本逻辑运算

～ 220V

1. “与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具

备时，事件才会发生。

②运算电路：开关 A 、B 都闭合，灯 F 才亮。

③表示逻辑功能的方法：

真值表

A B F 灯 F 的状态代表开关 A 、B 的状态代

0 0

表输入：

0 1 0 输出：

1 0 0 “ 0”表示亮；

“0”表示断开；

表达式： F A B

= ? 逻辑符号：

A &

FA FA F

国家标准以前的符号

欧美符号

功能说明：有 0 出 0，全 1 出 1。

在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号：

A B

通过“ ?”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。推广：当有 n 个变量时： F=A 1A 2 A 3 ? ? ? A n “与”运算的几个等式：

0?0=0，0?1=0， 1?1=1

A?0=0（0-1 律）， A?1=A （自等律），A?A=A （同一律）， A?A?A=A （同一律）。

2. “或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只

要具备一个，事件就会发生。

②运算电路：开关 A 、B 只要闭合一个，灯 F 就亮。

～220V

③表示逻辑功能的方法：

逻辑功能：有 1 出 1，全 0 出 0。

真值表：（略）

表达式： F=A+B

逻辑符号：

≥ 1

A FA

国家标准

以前的符号

欧美符号

推广：当有 n 个变量时： F=A 1+A 2+ A 3+? ? ? +A n

“或”运算的几个等式：

0+0=0，0+1=1， 1+1=1

A+0=A （自等律） A+1=1（ 0-1 律），A+A=A （同一律）。

上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。

3．“非”运算

①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，事件不

发生；当条件不具备时，事件反而发生了。

②运算电路：开关 A 闭合，灯 F 不亮。～ 220V

③表示逻辑功能的方法：

逻辑功能：入 0 出 1，入 1 出 0。

真值表：（略）

表达式： F= A

逻辑符号：

F A

国家标准

以前的符号

欧美符号

“非”运算的几个等式：

A =A （还原律）；A+ A =1、AA =0（互补律）。

2.1.2

复合逻辑运算

1．“与非”运算

“与”和“非”的组合。有专门实现这种运算的实际器件（如

TTL 与非门等）。

逻辑符号：

A &

A F

国家标准

以前的符号

欧美符号

表达式： F= AB ；真值表：（略），逻辑功能为：有 0 出 1，全 1 出 0。

2．“或非”运算

“或”和“非”的组合。也有专门实现这种运算的实际器件（如

TTL 、 CMOS 与

非门等）。

逻辑符号：

≥1

FA F

国家标准以前的符号

欧美符号

表达式： F= A B ；真值表：（略），逻辑功能为：有 1 出 0，全 0 出 1。

3．“与或非”运算

逻辑符号：

A & ≥ 1

B F

C +

国家标准以前的符号欧美符号

表达式： F= AB CD ；真值表：（略）。

4．“异或”运算

逻辑功能：两变量状态相异出 1，相同出 0。真值表：（略）。

表达式： F=A B= A B + A B

逻辑符号：

A =1

A A B

国家标准

以前的符号

欧美符号

“异或”运算的几个等式：

0 = A ；A 1 = A ；A

；A

A =1 = 0

5．“同或”运算

逻辑功能：两变量状态相异出 0，相同出 1。。

逻辑符号：

A =1

A F

A B

⊙

国家标准以前的符号

欧美符号

与“异或” 运算正好相反，也称“异或非” 运算。“异或” 运算的几个等式（略）。

逻辑代数的基本定律及规则

2.2.1 逻辑代数的基本定律

或者称为基本公式：

0-1 律： 1· A=A ； 0+A=A 。

0· A=0； 1+A=1。

交换律： AB=BA ； A+B=B+A 。

结合律： A （ BC ）=（AB ） C ； A+（B+C ） =（ A+B ）+C 。

分配律： A （ B+C ）=AB+AC ；A+BC=（ A+B ）（ A+C ）。

互补律： A A =0；A+ A =1。

重叠律： AA=A ； A+A=A 。还原律： A =A ；反演律： AB = A

B ； A

B = A B

吸收律 1： A+AB= A ； A （A+B ） = A 。吸收律 2： A+ A B= A+B ； A （ A +B ） = AB 。吸收律 3： AB+ A B = A ；（A+B ）（A+ B ）= A 。

冗余定理： AB+ A C+BC= AB+ A C ；（A+B ）（ A +C ）（B+C ）=（A+B ）（ A +C ）。

证明：左边 =AB+ A C+BC （A+ A ）

= AB+ A C+ABC+ A BC

= AB （ C ） + A C （ B ） = AB + A C=右边

（证毕）

1+ 1+

冗余定理指出：当某变量以互补形式出现在两个与项中时，这两个与项的其余

因子组成的第三项为多余项。

推论：

C+BCf

( a ，b ，

，? = AB

+ A

c )

+ A

多余项

2.2.2 逻辑代数的基本规则

1．代入规则

将逻辑等式中的某一变量都代之以另一个逻辑函数，此等式仍成立。

例： AB = A B 。用 BC 代替等式中的 B 得

A( BC ) = A BC = A B C

反复运用代入规则可得：

ABCD

= A B C D

。扩大了等式的应用范围。

2．对偶规则

如果将任一逻辑函数式 F=f ( A ，B ，C ，? ) 中所有的

·换成 +

所得到的新函数 F ˊ就是 F 的对偶式。此即对偶规

+ 换成 ·

则。运用时注意：

0 换成 1

1 换成 0

①原运算顺序不变（可运用扩号保证）。

例：求 F

CD (C D) B 的对偶式。 = AB B

解： F =[( A B) B(C D)] (C D B)

F 与

F 互为对偶， ( F ) F 。

还要注意到：对偶关系不是相等的关系，即 F ≠F 。

运用对偶规则可以使要记忆的公式减少一半。

观察 P27 中的基本公式可以发现，

只要记住左半部分，运用对偶规则就能得到右半部分。

3．反演规则

如果将任一逻辑函数式F=f( A，B，C，? ) 中所有的

·换成 +

+换成·

0换成 1

1换成 0

原变量换成反变量反变量换成原变量所得到的新函数 F 就是 F 的反函数。此即反演规则。运用时注意：

①原运算顺序不变（可运用扩号保证）。

②原式的公共非号保持不变。

例：求 F=( A B C D ) E 的反函数。

解： F = A (B C D) E

公共非号也可以改变，但在消去公共非号的同时，公共非号下面的子函数保持原状。如上例：

F A (B C? D) E ，与F A ( B C D) E 相等。（应用摩根定律）

从原函数求反函数的过程叫做反演。摩根定律是进行反演重要工具。

例如，将 F=( A B C D ) E 两边同时取反并反复运用摩根定律的：

F = ( A B C D ) E = (A B C D ) E = A B C D E = A ( B C D ) E

当函数较简单时，可以用摩根定律求反，当函数比较复杂时，用反演规则求反比较方便。

逻辑函数的表示方法及其转换

除用文字描述以外，还有四种描述形式：真值表、表达式、卡诺图、逻辑图

2.3.1逻辑表达式

完备函数的概念：我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；

逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑

集”。

一. 逻辑表达式的类型

每种函数对应一种逻辑电路。同一个函数逻辑有多种表达形式：

F AC AB = AC BC AA

C (A B) A ( A B) （冗余定理、互补律） = + + + A B = = ( A B)( A C )

= AC AC

← AC A B （还原律、摩根定律） = A B A

← ( A B)(A

C ) （还原律、摩根定律）

= AC AB = AB AC

← (A B)( A C ) （反演规则再求反）

= ABC

ABC A BC A BC

← AC A B = AC ( B B ) AB(C C )

用互补律配项

二．逻辑函数的标准形式

1．最小项

（ 1）定义：对于 N 个变量，如果 P 是一个含有 N 个因子的乘积项，而且在 P 中

每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现，且仅出现一次，则称

P 是

N 个变量的一个最小项。

简单地说：最小项就是包含全部变量的与项。例如：

AB C 、 AB C 、 ABC 、 A BC 、 AB C 、 AB C 、 ABC 、 ABC 都是三个变量的最

小项。

而 A B 、 AB 、 AB 、AB 都是两个变量的最小项，而对于三个或者三个以上的变量来说，它们就是一般乘积项。所以：

提及最小项一定要说明变量的数目。 N 个变量共有 2n 个最小项。

(2) 性质

取三个变量的全体最小项观察：

A BC 、 A

C 、 ABC 、 ABC 、 AB C 、 AB C 、 ABC 、 ABC

对应的取值组合： 000 001 010 011 100 101 110 111

①每个最小项都对应了一组变量取值。对任一最小项，只有与之对应的那一组

变量取值才是它的值为

“1”；

②任意两个不同最小项之积恒为 0；

③全体最小项的逻辑和恒为 1；

④两个逻辑相邻的最小项可以合并为一项，从而消去一个因子。

(3) 最小项标准表达式

任何一个逻辑函数都能表示成最小项之和的形式，而且这种表示形式是唯一的，这就是标准与或式，也叫最小项标准表达式。

由一般式→标准与或式的变换步骤： ①用公式把一般式化为一般与或式；

②若式中的某一项缺少某个变量，就用该变量的原变量和反变量之和去乘这一

项，然后拆成两项，直到补齐所缺变量为止。

例：写出 F= AB

B C 的标准与或式。（F= AB B C = AB

B C ）

解： ①化为一般与或式

F A B B C 冗余

②补齐所缺变量 F = A B(C C ) BC ( A A ) = A BC AB C A BC ABC

也可以由 F AB

BC 列出真值表，直接写出最小项标准表达式。

最小项标准表达式的另一种表示形式：

A BC 、 A

C 、 ABC 、 ABC 、 AB C 、 AB C 、 ABC 、 ABC

对应的取值组合： 000 001 010 011 100 101 110 111 二进制换十进制

3 4 5 6 7

记为

m 0

m 1

m 2

m 3

m 4

m 5

m 6 m 7

F A BC

AB C

A BC

ABC 还可以表示成：

m 4 m 3 m 2 F ∑m （，，，） F m 0

+ + + 或者写成

= = 0 2 3 4

根据逻辑函数的特点，这种表示方法 ①便于转换成卡诺图； ②便于写出反函数。

比如 F ∑

m （，，，）的反函数

∑ m （，，，）。

0 2 3 4

F = 1 5 6 7

2.3.2 真值表

真值表：输入变量各种可能的取值组合及其对应的函数值，排列在一起而组成

的表格。

例如：奥运会举重比赛，有三个裁判

A 、

B 、

C ??（多数表决。）

分析：输入变量： A、B、C，个人认为通过，

A B C F 取值为“ 1”，否则，为“ 0”

0 0 0 0

输出函数： F，结果通过，取值为“ 1”，否则，

0 0 1 0 为“ 0”。0 1 0 0 列出所有可能的情况，得到真值表。0 1 1 1

F = A BC AB C ABC ABC 1 0 0 0

优点：直观明了，便于将实际逻 1 0 1 1

1 1 0 1

辑问题抽象成数学表达式

1 1 1 1

缺点：难以用公式和定理进行运

算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。

2.3.3卡诺图

优点：便于求出逻辑函数的最简与或表达式。

缺点：只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。

F BC 00

01 11 10

1 0 1 1

A 1

1 0 0 1

2.3.4逻辑图

逻辑图：用基本逻辑单元和逻辑部件的逻辑符号构成的变量流程图。

Y AB BC CA

优点：最接近实际电路。

缺点：不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。

2.3.5波形图

输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形，已知A、B 的波形，画 Y=AB的波形。

优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。

缺点：难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。

2.3.6 逻辑函数表示方法间的相互转换

逻辑函数有四种表示方法，它们之间的相互转换，是分析、设计逻辑电路的关

键。

1. 真值表→函数表达式

曾写过多数表决问题 ( 上例 ) 的表达式，归纳如下：

①把表中函数值为“ 1”的变量组合挑出来；

F=1 的组合有四种（顺序 ABC ）： 011

101 110 111

②把取值为“ 1”的变量写成原变量，为“ 0”的写成反变量，得乘积项；

对应的乘积项：

A BC A

C AB C ABC

③把所得的乘积项加起来，即得标准的与或式。

F= ABC + AB C + AB C + ABC

再看一例：奇偶性判别问题的真值表。

2. 表达式→真值表

把逻辑变量各种可能的取值组合分别代入式

中计算，求出相应的函数值并填入表中。

F 1 、F 2 的真值表

例：已知 F 1 AB BC CA ，

A B C F 1 F 2

AB B C C A

，

0 0 0 0 0 F =

0 0 1 1 1

说明 F 1、F 2 的关系。

0 1 0 1 1 三个变量，将八种组合代入计算，得真值表。 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 由真值表可知： F 1 = F 2

1 0 1 1 1 （ F 1 的三项可以写成：

1 1 0 1 1

AB = AB (C C ) = AB C ABC

BC = BC ( A A) = ABC ABC

C A =CA(B B ) = A BC AB C

对 F 2 可以做同样的处理。）

3. 逻辑图→表达式

每一张逻辑图的输入输出之间都有一定的逻辑关系，这一逻辑关系可以用一个逻辑函数表示。所以，逻辑图也是逻辑函数的一种表示方法。逻辑图与实际电路接近，这是它的突出优点。

每个门电路（或逻辑部件）都有一个反映输入输出关系的表达式。所以，可根据给出的逻辑图，从输入到输出逐级写出输出端的表达式。

A B

例：写出右图所示逻辑图的表达式。

A B ， 3 A B ，

解 1： F = F =

F 2= F 1 F 2 = A B A B

A B

4．表达式→逻辑图

函数表达式由“与”“或”“非”等运算组成。所以只要用“与门”“或

门”“非门”等门电路来实现这些运算，

就能得到与逻辑表达式对应的逻辑图。

例：画出与 F= AAB B AB

对应的逻辑图。

逻辑函数的化简法

＆

A AB

A ＆

＆

B AB

2.4.1

关于逻辑函数化简的几个问题

1．化简的意义：

对于一个逻辑函数来说，如果表达式比较简单，那么实现这个逻辑函数所需要

的元件（门电路）就比较少。所以化简的意义是：节约器材、降低成本、提高可靠

性。

2．什么是最简与或式

理论分析原则：在与或表达式中，若与项个数最少，且每个与项中变量的个数也最少，则该式就是最简与或式。

表达式最简，不一定就节约了器材，还有个利用率的问题（经济问题）、可靠性问题、工作速度问题、消除竞争冒险问题等等。

2.4.2 逻辑函数的代数化简法

用基本公式和常用公式进行推演的化简方法叫做公式化简法。

能否快速准确地得到最简结果，与对公式的掌握的熟练程度及化简经验密切相

关（熟能生巧，实践出真知）。

大致可归纳为以下几种方法：

1．并项法：利用 A+A=1，将两项合并为一项，消去一个变量。 ( 或者利用全体最小项之和恒为“ 1”的概念，把 2n 项合并为一项，消去 n 个变量。 )

例： F ( AB AB)C ( AB A B )C = ( AB A B AB AB )C C

两个变量的全体最小项或者：

F ( AB A B)C ( AB AB )C = =

（ A B)C ( A B)C

C 或者： F ( AB A B)C ( AB

AB )C

ABC ABC ABC ABC

= + + +

AC( B+B) +AC( B+B) = AC+AC=C

例 2： F A BC

AC BC =( AB

A B )C

根据吸收律 A+AB=A+B 得： =( AB A B )C =( A B

AB)C

( AB+A+B) C

反演律 B A B C

A C C

=( + + ) =(1+

) =

．吸收法：利用 A AB A 吸收多余项。

互补律 0-1 律

2 + = 例 3：F=AC+ABCD( E+F) = AC + ACBD( E+F)= AC

例 4：F= A ABC(B

AC D) BC = A ( A BC )( B ACD ) BC

=( A BC )+ ( A BC )( B ACD ) =

A BC

3．消去法：利用 A+AB=A+B 消去多余的因子。

例 5： F = AB AC B C = AB ( A

B )

C = AB ABC

= AB C

4．消项法：利用

AB+AC+BC = AB+AC 消去多余的项。

消项法与吸收法类似，都是消去一个多余的项。只是前者运用冗余定理，

后者利用吸收律 ( ?) 。

例 5：F= A B +AC+ C D+ADE = A B +AC+ C D

5．配项法：利用

A=AB+AB 将一项变为两项，或者利用

项，然后（配项目的）寻找新的组合关系

进行化简。

例 6： F

AB BC

B C AB

冗余定理增加冗余

+AC

（冗余定理）

= AB + AC + BC + BC A B

= AB + A C + BC

或者：F AB BC BC A B

AB (C C ) BC ( A A) B C AB （前 2 项变为 4 项）

= AB C AB C ABC A BC B C AB

=BC AC AB

在实际化简时，上述方法要综合利用。公式法化简的优点是没有任何局限性；缺点是化简结果是否最简不易看出。

A B C( B CD CD )

例 7： =( A B)( A B )( A B)( A D C)

吸收律( Ⅲ)反演律吸收法

= AB( AD C ) + ABC (CD )

= A BC 互补律

公式法化简时采用与或式比较方便，基本公式比较容易记忆和套用（习

惯问题）。当遇到或与式的时候，可以利用对偶规则，将或与式转换为与或

式。化为最简式后，再利用对偶规则换回或与式（原函数的最简式）。

例如上例：F

B )( A B)( AD C) A B

C ( BC

D CD )

=( A B)( A

= ( A B)( A B )( A B)( A D C )

F AB AB AB A C CD ← ( A D )C

A A

B A

C +CD

=A+B+C+ CD

=A+B+C

F( F ) =ABC

2.4.3逻辑函数的卡诺图化简法

真值表是描述逻辑功能的重要工具，但作为运算工具就不太方便。卡诺图是美国工程师卡诺（ Karnaugh）和维奇 (Veiitch) 首先提出的一种作图方法，卡诺

图既保留了真值表的特性，又便于作逻辑运算。也称为真值图。

一、逻辑函数的卡诺图表示法

1．什么是卡诺图

把逻辑函数的最小项填入特定的方格内排列起来，让他们不仅几何位置相邻，

而且逻辑上也相邻，这样得到的阵列图叫做卡诺图。

2．卡诺图的构成

①变量卡诺图一般画成正方形或长方形，对于

n 个变量，分割出 2n 个小方格；

②变量的取值顺序按格雷码 ( 循环码 ) 排列，并作为每个小方格的编号。

设 B 3B 2B 1B 0 是二进制码， G 3G 2G 1G 0 是格雷码，则 G i =B i B i +1 。

当 B 3B 2B 1B 0=0000， G 3 G 2G 1 G 0=0000，当 B 3B 2B 1B 0=0001， G 3G 2 G 1G 0=0001?

下面依次画出

2～ 5 变量的卡诺图。

BC 00

11 10

A B A B

m 0

m 1

m 3

m 2

0 两个变用编号

A 1 A

B A B

量的最

表示最 A 1

m 4

m 5

m 7

m 6

CDE 000

001 011 010 110 111

101

100

0 1

2 AB

0 1 3

4 00

7 6

10 14

15 13

13 15

14 B 24 25

26 30

31 29

28 A

9 11

16 17

18 22

23 21

3．从真值表→卡诺图

F 的真值表

卡诺图是真值表的阵列图形式，仅排列方 A

B C F 式不同，故他们的对应关系十分明显。

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

BC 00

1 0 0 1 A

1 0 1 0

1 1

1 1 0 0

4．表达式→卡诺图

①求函数的标准与或式，并编号；

②画卡诺图；

③在图中找到与函数所对应的最小项方格并填“

1”，其余的添“ 0”。

例：将 F= A BC

A BC A

C ABC

填入卡诺图。

解： F= AB C A BC ABC

ABC

∑ m(0 ， 2， 4， 6)

F BC

“额外收获” ：通过卡诺图

①方便地求反函数。如本例 F 的反函数为

A 1

F =∑ (1 ， 3， 5， 7)

②方便地求最大项表达式。

得到反函数 F 后，两边求反得：

F = F = AB C

ABC

ABC ABC

用摩根定律得： F= A BC ABC ABC ABC

再用一次摩根定律可得原函数的最大项表达式：

F= ( A B C )( A B C )( A B C )( A B C )

实用中，当给出的表达式是一般与或式时，通常采用“观察法”直接填入卡诺图。

例：将 F= C BD A B AD AB C

00 01

11 10

填入卡诺图。

C 统辖的方格为右边两列，填“1”； 01 B

D 共辖的方格为中间两行和中间两 11

列的交汇处，填“ 1”；

剩余的方格填“ 0”。

二、利用卡诺图化简逻辑函数

0 1 1 1

1 1 1 1

1．卡诺图化简函数的依据

逻辑相邻的 2n 个最小项相加，能消去

n 个变量。

逻辑相邻：相同变量的两个最小项只有一个因子不同，则他们在逻辑上相邻。

例如： ABC+AB C =AB

A B CD+ AB CD+ABCD+ AB CD=CD

C D

A B

1 A B C D 3 A B CD

2 A B C D 0 A B C D A B C D 4

A B C D 5

A B C D 7 A B C D 6

A B C D

A B C D 12 A C B D 13 A B C D 14

在卡诺图中合并最小项的规律（以四个变量为例）①相邻的两个最小项可以合并为一项，消去一个变量（挨着，一行两端，一列

两端）。

②相邻的四个最小项可以合并为一项，消去两个变量（组成方块，一行，一列，两行末端，两列末端，四角）。

③相邻的八个最小项合并为一项，消去三个变量（两行，两列，两边的两行或者两列）。

例：∑ m(0,8)= B C D

（一列的两端）

∑ m(0,2,8,10)= B D （四角）

∑ m B D （两行末端） (4,6,12,14)=

∑ m

A B （一行） (4,6,12,14) =

∑ m

D （两列） (1,3,5,7,9,11,13,15) =

∑ m

B （两边的两行）

(0,1,2,3,8,9,10,11) =

2．化简步骤

①画函数 F 的卡诺图；

②把可以合并的最小项的分别圈出，每个包围圈中的最小项可合并为一项；

③把各个合并项加起来即可。

例 1：把 F A B C D

∑ m

化为最简与或式。

( , , , )= (0,6,8,9,10,11,12,13)

解：把四个包围圈对应的乘积项加起来

F A B C D AB AC

B C D A BCD

( , , ,

00 01

也可以圈“ 0”，但得出的是 F ：

F = A D AB C ABC

A BC

0 0 0 1

3．化简注意事项

①所有为 1 的最小项必须在某一个包围

圈中，且圈中 1 的个数必须是 2n个；

②包围圈中 1 的个数越多越好（变量少），

而包围圈的个数越少越好（乘积项少）；

③卡诺图中的 1 可以重复使用（重叠律），但每个包围圈中应至少含一个新1！否则，该乘积项就是多余的；

④圈 1 得原函数，圈 0 得反函数。

F CD

00 01 11 10 00 01 11 10

AB AB

0 1 1 0 1 1 0 1 00 00

01 0 0 1 1 01 0 1 1 1

0 1 1 B

0 0 1

11 0 11 1

0 0 1 1 A

0 0 0 0

10 10

C C

红色包围圈中的四个 1 都被蓝色包围圈是正确的圈法，化圈过，所以与红色包围圈对应的简结果含三个与项。而红色包围圈CD项是多余的。是错误的，结果含四个与项。

如果给出的是或与式，可以先用对偶规则化为与或式，再填入卡诺图化简。

为获得原函数，对化简结果运用一次对偶规则即可。

2.4.4具有约束的逻辑函数的化简

1．什么叫约束、约束项、约束条件①各逻辑变量取

值之间的相互制约关系叫做约束。例如教材 2.4.1

中所举的液位控制例子：

A(40m)、 B(30m) 、C(20m) 分别代表不同的液位液位控制系统真值表

高度，高于某点取“ 0”，低于某点取“ 1”。

A B C S L

SL M M

M、 M代表两台电动机，“ 1”转“ 0”停。

0 0 0 0 0

ABC=000，液位≥ 40m，M S、 M L均为“ 0”；0 0 1 ××ABC=001，表示液位低于 20m，又高于 30m(或者0 1 0 ××

40 m) ，显然，这种情况不可能出现。0 1 1 ××

同理， ABC=010、011、 101 都不会出现，这就

1 0 0 1 0

1 0 1 ××

是变量取值的约束。

1 1 0 0 1

②不可能出现的取值组合所对应的最小项就是 1 1 1 1 1

约束项。

③全体约束项之和所构成的表达式叫约束条件。本例为：

AB C ABC A BC AB C =0，或者写成∑ d(1,2,3,5)=0

约束条件是一个值恒为0 的表达式！

上例中的逻辑函数可表示成：

M S=∑ m(4,7)+ ∑ d(1,2,3,5)

L ∑ d

M ∑ m

(1,2,3,5)

= (6,7)+

M S AB C ABC

或者：AB C ABC ABC ABC =0（约束条件）

M L ABC ABC

AB C A BC A BC AB C =0（约束条件）

2．在卡诺图中怎样处理约束项

在与约束项对应的小方格中打“×”，表示与约束项对应的值是“0”或“ 1”是无意义的。（因为这种取值组合永远不会出现。）

液位控制系统的卡诺图：

M S

M L

BC 00 01 11 10 BC 00 01 11 10

0 ××× A 0 ×××0 0

A 1 1 × 1 0

A 1

0 × 1 1

B B

逻辑函数的化简方法

一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。常用方法有： ①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。 ②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。 ③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子 ④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。 ⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。 1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。

用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。 2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填 1，其余方格中填 0。方法二：根据函数式直接填卡诺图。用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。注意：卡诺图中所有的 1 都必须圈到，不能合并的 1 单独画圈。说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。合并最小项的原则： 1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图; 画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小

(完整版)§8.5逻辑代数公式化简习题2-2017-9-10

第8章 §8.5 逻辑代数公式化简习题2 1 第8章 §8.5 逻辑代数公式化简习题2 （一）考核内容 1、第8章掌握逻辑运算和逻辑门；掌握复合逻辑运算和复合逻辑门；掌握逻辑函数的表示方法；掌握逻辑代数的基本定理和常用公式；掌握逻辑函数的化简方法。 8.6 逻辑函数的化简 8.6. 1 化简的意义 1、所谓化简就是使逻辑函数中所包含的乘积项最少，而且每个乘积项所包含的变量因子最少，从而得到逻辑函数的最简与–或逻辑表达式。逻辑函数化简通常有以下两种方法：（1）公式化简法又称代数法，利用逻辑代数公式进行化简。它可以化简任意逻辑函数，但取决于经验、技巧、洞察力和对公式的熟练程度。（2）卡诺图法又称图解法。卡诺图化简比较直观、方便，但对于5变量以上的逻辑函数就失去直观性。 2、逻辑函数的最简形式同一逻辑关系的逻辑函数不是唯一的，它可以有几种不同表达式，异或、与或、与或非—非、与非—与非、或与非、与或非、或非—或非。一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。（1）与或表达式：AC B A Y += （2）或与表达式：Y ))((C A B A ++= （3）与非-与非表达式：Y AC B A ?= （4）或非-或非表达式：Y C A B A +++= （5）与或非表达式：Y C A B A += 3、公式化简法（1）、并项法：利用公式A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。例题1： B B A A B =+= （2）、吸收法：利用公式 A A B A =+，吸收掉多余的乘积项。例题2：E B D A AB Y ++= B A E B D A B A +=+++= （3）、消去法：利用公式B A B A A +=+，消去乘积项中多余的因子。例题3：AC AB Y += C B A A C B A ++=++= （4）、配项消项法：利用公式C A AB BC C A AB +=++，在函数与或表达式中加上多余的项— —冗余项，以消去更多的乘积项，从而获得最简与或式。例题4： B A C AB ABC Y ++=

逻辑代数化简练习

逻辑代数化简练习一、选择题 1. 以下表达式中符合逻辑运算法则的是。 A.C ·C =C 2 B.1+1=10 C.0<1 D.A +1=1 2. 逻辑变量的取值１和０可以表示：。 A.开关的闭合、断开 B.电位的高、低 C.真与假 D.电流的有、无 3. 当逻辑函数有n 个变量时，共有个变量取值组合？ A. n B. 2n C. n 2 D. 2n 4. 逻辑函数的表示方法中具有唯一性的是。 A .真值表 B.表达式 C.逻辑图 D.卡诺图 5.F=A B +BD+CDE+A D= 。 A.D B A + B.D B A )(+ C.))((D B D A ++ D.))((D B D A ++ 6.逻辑函数F=)(B A A ⊕⊕ = 。 A.B B.A C.B A ⊕ D. B A ⊕ 7．求一个逻辑函数F 的对偶式，可将F 中的。 A .“·”换成“+”，“+”换成“·” B.原变量换成反变量，反变量换成原变量 C.变量不变 D.常数中“0”换成“1”，“1”换成“0” E.常数不变 8．A+BC= 。 A .A + B B.A + C C.（A +B ）（A +C ） D.B +C 9．在何种输入情况下，“与非”运算的结果是逻辑0。 A ．全部输入是0 B.任一输入是0 C.仅一输入是0 D.全部输入是1 10．在何种输入情况下，“或非”运算的结果是逻辑0。 A ．全部输入是0 B.全部输入是1 C.任一输入为0，其他输入为1 D.任一输入为1 二、判断题（正确打√，错误的打×） 1．逻辑变量的取值，１比０大。（）。 2．异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。（）。 3．若两个函数具有相同的真值表，则两个逻辑函数必然相等。（）。 4．因为逻辑表达式A+B+AB=A+B 成立，所以AB=0成立。（） 5．若两个函数具有不同的真值表，则两个逻辑函数必然不相等。（） 6．若两个函数具有不同的逻辑函数式，则两个逻辑函数必然不相等。（） 7．逻辑函数两次求反则还原，逻辑函数的对偶式再作对偶变换也还原为它本身。（）

《数字电路逻辑设计》逻辑函数及其化简练习题

《数字电路逻辑设计》练习题 ---------- 逻辑函数及其化简一. 用公式证明下列各等式。 1.()= D = +BC+BCD = +D= AB AC B C D AB AC D AB AC B CD AB AC AB AC +++=+++++++原式左边右边 2. A +BC (1+D)++BC =++BC=++BC =BC+BC=+BC=A C A B C D A BC A C A B A C A B A C B A A ?+?+??=+?????原式左边（）右边 3. BCD BCD ACD+ABC +A BCD +BC +BCD BC +BD =BCD+A BCD BCD+BCD +ABC +BC +ACD =BCD+A BCD+BD+BC +ACD =BCD+ACD+BCD+BD+BC =BCD+ACD+BD+DC+BC =BCD+BD+DC+BC =C D+B + B D+C =BC+BD+BC= D D BC D D D D D D ++???=+?+???????原式左边（）（）右边 4. AB B+D CD+BC+A BD+A+CD=1=AB B+D CD BC+A BD A+C+D =AB+ B+D+CD)(B+C C D =(B+C +C D =BC+BD+CD+C+D=1=????????原式左边（）++(B+D)）+ 右边二. 写出下列各逻辑函数的最小项表达式及其对偶式、反演式的最小项表达式 1. F=ABCD+ACD+BD =m m(0,1,2,3,5,7,8,9,10,13) F*=m(2,5,6,7,8,10,12,13,14,15) ∑=∑∑（4,6,11,12,14,15）F 2. F=AB+AB+BC =m m(0,1,6) F*=m(1,6,7) ∑=∑∑（2,3,4,5,7）F 3. F=AB+C BD+A D =m m(023******* ) F*=m(34511121315) B C +?++∑=∑∑（1,5,6,7,8,9,13,14,15） F ，，，，，，，，，，，，三. 用公式法化简下列各式 1. F=ABC+A CD+AC =A(BC+C)+A CD=AC AB A CD =C(AD)AB=AC+CD+AB A ??++?++ 2. F=AC D+BC+BD+AB+AC+B C =AC D+BC+BD+AB+AC+BC+B C =AC D+BC+AC+B =AD+C+B ????? 3. F=(A+B)(A+B+C)(A+C)(B+C+D)F*= AB+ABC+AC+BCD = AB+AC+BCD=AB+AC F=(F*)*=(A+B)(A+C)=AC+AB ∴ 4. F=AB+A B BC+B C AB+A B BC+B C AB+A B BC+B C A B C A A F C AB BC C AB B C C ???=?+?=?+?+=++?+=+?+ 5. F=AC+B ()()()()C B AC AC F A C B C ABC ABC AB A C BC C ABC ABC AB C A B C AC BC ++=++++=+?++++=+=+=+ 四. 用图解法化简下列各函数。 1. F=ABC+A CD+AC ?

课后习题答案_第2章_逻辑代数及其化简

第2章逻辑代数及其化简 2-1 分别将十进制数，和转换成二进制数。解答： 10=(1,2 …)2 10=(111,,1100, ,1100,…)2 10=(1,0111, 2-2 分别将二进制数101101.和转换成十进制数。解答： (101101.)2=(45.)10 2=10 2-3 分别将二进制数和转换成十六进制数。解答： =(26.9C)16 2=(0010,,1100)2 =16 2=(1,0101,,1110)2 2-4 分别将十六进制数和6C2B.4A7H转换成二进制数。解答：

16=(11,1010,,1110,1011)2 (6C2B.4A7)16=(110,1100,0010,,1010,0111)2 2-5 试用真值表法证明下列逻辑等式： (1) AB A C BC AB C (2) AB AB BC AB AB AC (3) AB BC C A AB BC CA (4) AB AB BC AC A BC (5) AB BC CD D A ABCD ABCD (6) AB AB ABC A B 证明： (1) AB A C BC AB C ++=+ 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。 (2) AB AB BC AB AB AC ++=++ 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。 (3) AB BC C A AB BC CA ++=++ 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。 (4) AB AB BC AC A BC +++=+ 真值表如下所示：

由真值表可知，逻辑等式成立。(5) AB BC CD D A ABCD ABCD +++=+ 真值表如下所示：

逻辑函数的公式化简方法

逻辑函数的化简方法一、教学时数：30分钟授课类型：理论课二、教学目的、要求：通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用公式法来化简逻辑函数。三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法四、教学难点：配项消项法五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟）通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德摩根定理： 2、 A B A AB =+ 3、 A A B A =+ 4、B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。 B A B A +=?B A B A ?=+

9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y,如果将Y 中所有的“.”换成“+”，“+”换成“.”；“0”换成“1”， “1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟）将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。（最简与非与非式）（最简与或式） C A AB Z C A AB Z =+= （最简与或非式）（最简或非或非式）（最简或与式）C A B A Z C A B A Z C A B A Z +=+++=++=) )(( （三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟）将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟）由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式 A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。例题1： B B A AB =+= 2、吸收法：利用公式A AB A =+，吸收掉多余的乘积项。例题2：E B D A AB Y ++=

逻辑代数的化简

《电子线路》教学导学案课题名称：逻辑代数的基本定律及应用实施课时2课时教学目标（知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观）1．熟悉逻辑代数的基本定律2．会运用这些定律解题教学重点逻辑代数的基本定律应用教学难点逻辑代数的基本定律的应用教学资源无教学实施过程：教学内容：复习： 1．默写各种门电路的符号，函数表达式 2．默写各门电路逻辑功能 B、引入逻辑代数的作用：把一个逻辑电路的简化问题变成相应的逻辑函数式的化简，为设计和认识逻辑电路带来方便。 C、新授一、逻辑代数基本定律 1．交换律： A+B = B+A A·B = B·A 2．结合律： A +（B+C）=（A+B）+ C A ·（B+C）=（A·B）·C 3．分配律： A + B·C=（A+B）·（A+C） A ·（B+C）=A·B+A·C 4．互补律： 1 = +A A 教师活动：要求每位学生拿出空白纸教师提问简单讲述引入教师讲解有哪些基本定律，告诉学生该如何记忆，可以让学士快速记忆5分钟后在试着默写学生活动：回答教师提问注意听讲尝试记忆尝试默写

0=?A A 5．反演律（摩根定律） ???? ?+=??=+B A B A B A B A 练习：用列真值表的方法验证摩根定律 6．逻辑函数式在等号两边的各项不可任意消去。 “=”表明逻辑功能是相同的，不是数值相等。例： ①A +=A +C 则=C 因为当=1，可能B≠C ②=AC ，则B = C 因为A =时有可能B C 二、逻辑函数式的化简 1．并项法： 1=+A A 例：B B A AB =+ () B A C C B A C B A C B A =+=+ 2．吸收法： A +AB = A 3．消去法：B A B A A +=+ 例：() B A C AB C B C A AB ++=++C AB AB ?+== A B + C 4．配项法：() B B A A += 例1：() BC A A C A AB BC C A AB +++=++ C A BC A ABC AB +++= C A AB += 例2：求证：B A AB B A B A +=+ 证：()() B A B A B A B A ++=? B A AB += 要求学生分两大组用真值表的方法验证摩根定律讲解化简过程中注意事项讲解例题，各种方法的使用可以让学生先试着化简在仔细讲解运用真值表的方法验证摩根定律完成任务一注意听讲完成对应练习完成任务二边仔细听讲，边仔细思考试着化简

逻辑函数及其化简

第2章逻辑函数及其化简内容提要本章是数字逻辑电路的基础，主要内容包含：（1）基本逻辑概念，逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）及其复合运算（与非、或非、与或非、同或、异或等）。（2）逻辑代数运算的基本规律（变量和常量的关系、交换律、结合律、分配律、重叠律、反演律、调换律等）。（3）逻辑代数基本运算公式及三个规则（代入规则、反演规则和对偶规则）。（4）逻辑函数的五种表示方法（真值表法、表达式法、卡诺图法、逻辑图法及硬件描述语言）及其之间关系。本章主要讲述了前三种。（5）逻辑函数的三种化简方法（公式化简法、卡诺图法和Q–M法）。教学基本要求要求掌握：（1）逻辑代数的基本定律和定理。（2）逻辑问题的描述方法。（3）逻辑函数的化简方法。重点与难点本章重点：（1）逻辑代数中的基本公式、基本定理和基本定律。（2）常用公式。（3）逻辑函数的真值表、表达式、卡诺图表示方法及其相互转换。

（4）最小项和最大项概念。（5）逻辑函数公式化简法和卡诺图化简法。主要教学内容 2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算2.1.1 三种基本运算 2.1.2 复合运算 2.2 逻辑代数运算的基本规律 2.3 逻辑代数的常用运算公式和三个规则2. 3.1 逻辑代数的常用运算公式 2.3.2 逻辑代数的三个规则 2.4 逻辑函数及其描述方法 2.4.1 逻辑函数 2.4.2 逻辑函数及其描述方法 2.4.3 逻辑函数的标准形式 2.4.4 逻辑函数的同或、异或表达式 2.5 逻辑函数化简 2.5.1 公式法化简 2.5.2 卡诺图化简

2.1 逻辑代数中的三种基本运算和复合运算 2.1.1 三种基本运算 1. 与运算（逻辑乘） 2. 或运算（逻辑加） 3. 非运算（逻辑非） 2.1.2 复合运算 1. 与非运算与非运算是与运算和非运算的组合，先进行与运算，再进行非运算。 2. 或非运算

逻辑代数化简试

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逻辑函数的公式化简方法

逻辑函数的公式化简方法 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

1.2逻辑函数的化简方法一、教学时数：30分钟授课类型：理论课二、教学目的、要求：通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用公式法来化简逻辑函数。三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法四、教学难点：配项消项法五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟）通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德摩根定理： 2、A B A AB =+ 3、 A A B A =+ 4、B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。 9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y,如果将Y 中所有的“.”换成“+”， “+”换成“.”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成B A B A +=?B A B A ?=+

原变量，那么所得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟）将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。（三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟）将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟）由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。例题1：B A C AB ABC Y ++= 2、吸收法：利用公式A AB A =+，吸收掉多余的乘积项。例题2：E B D A AB Y ++= 3、消去法：利用公式 B A B A A +=+，消去乘积项中多余的因子。例题3：BD A C AB Y ++= 4、配项消项法：利用公式C A AB BC C A AB +=++，在函数与或表达式中加上多余的项——冗余项，以消去更多的乘积项，从而获得最简与或式。（常称之为冗余定理）例题4：C B C A C B C A Y +++=（加上乘积项B A ）（四）重点、难点巩固：（4分钟）加强练习：DEF E B ACEF BD C A AB D A AD Y +++++++= （五）布置作业：（1分钟）通过布置习题，让学生在课后通过习题巩固知识。课本习题：题1.9（9）、（10）黑板板书：

逻辑代数及逻辑函数化简.doc

第 2 章逻辑代数和逻辑函数化简基本概念：逻辑代数是有美国数学家 George Boole 在十九世纪提出 , 因此也称布尔代数 , 是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。也叫开关代数，是研究只用 0 和 1 构成的数字系统的数学。基本逻辑运算和复合逻辑运算基本逻辑运算：“与”、“或”、“非”。复合逻辑运算：“与非”、“或非”、“与或非”、“异或”、“同或”等。 A B 基本逻辑运算～ 220V F 1. “与”运算①逻辑含义：当决定事件成立的所有条件全部具备时，事件才会发生。 ②运算电路：开关 A 、B 都闭合，灯 F 才亮。 ③表示逻辑功能的方法：真值表 A B F 灯 F 的状态代表开关 A 、B 的状态代 0 0 表输入： 0 1 0 输出： 1 0 0 “ 0”表示亮； “0”表示断开； 1 1 1 表达式： F A B = ? 逻辑符号： A & FA FA F B B B 国家标准以前的符号欧美符号功能说明：有 0 出 0，全 1 出 1。在大规模集成电路可编程逻辑器件中的表示符号： A B A B A B & F F F

通过“ ?”接入到此线上的输入信号都是该与门的一个输入端。推广：当有 n 个变量时： F=A 1A 2 A 3 ? ? ? A n “与”运算的几个等式： 0?0=0，0?1=0， 1?1=1 A?0=0（0-1 律）， A?1=A （自等律），A?A=A （同一律）， A?A?A=A （同一律）。 2. “或”运算①逻辑含义：在决定事件成立的所有条件中，只要具备一个，事件就会发生。 A ②运算电路：开关 A 、B 只要闭合一个，灯 F 就亮。 B ～220V F ③表示逻辑功能的方法：逻辑功能：有 1 出 1，全 0 出 0。真值表：（略）表达式： F=A+B 逻辑符号： A ≥ 1 F A FA F B + B B 国家标准以前的符号欧美符号推广：当有 n 个变量时： F=A 1+A 2+ A 3+? ? ? +A n “或”运算的几个等式： 0+0=0，0+1=1， 1+1=1 A+0=A （自等律） A+1=1（ 0-1 律），A+A=A （同一律）。上次课小结：与、或的功能、表达式等，几个等式。 3．“非”运算 ①逻辑含义：当决定事件的条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件反而发生了。 R ②运算电路：开关 A 闭合，灯 F 不亮。～ 220V A F ③表示逻辑功能的方法：逻辑功能：入 0 出 1，入 1 出 0。真值表：（略）表达式： F= A

逻辑函数的公式化简方法

1.2逻辑函数的化简方法一、教学时数：30分钟授课类型：理论课二、教学目的、要求：通过介绍、讲解逻辑函数化简方法中的公式法，让学生能够运用公式法来化简逻辑函数。三、教学重点：公式法中的并项法、吸收法、消去法、配项消项法四、教学难点：配项消项法五、教学方法：采用通过师生互动的方法让学生回答问题，上讲台解答题目的方法，让学生参与进来课堂教学中来。六、教学内容: （一）回顾常用的公式与两个重要规则：（3分钟）通过提问让大家回顾上节课的知识，并将重点部分展示出来。为了节省时间，这部分的内容用PPT 展示。 1、德摩根定理： 2、 A B A AB =+ 3、 A A B A =+ 4、B A B A A +=+ 5、C A AB BC C A AB +=++ 6、AB B A B A B A +=+ 7、C A B A C A AB +=+ 8、代入规则:在任何逻辑等十种，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。 9、反演规则：对于任意一个函数表达式Y ,如果将Y 中所有的“.”换成“+”，B A B A +=?B A B A ?=+

“+”换成“.”；“0”换成“1”， “1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是Y 的反函数Y 。（反演规则很有用，但在这一节我们主要用德摩根定理） (二)介绍逻辑函数的各种最简式：（3分钟）将各种类型的逻辑函数最简式在PPT 中展示出来，让学生思考他们是属于哪种最简式。（最简与非与非式）（最简与或式） C A AB Z C A AB Z =+= （最简与或非式）（最简或非或非式）（最简或与式）C A B A Z C A B A Z C A B A Z +=+++=++=) )(( （三）运用公式法的四种方法来化简逻辑函数（19分钟）将前三道例题在PPT 中展示出来，请学生上讲台到黑板上解答题目。（4分钟）由三道例题引出前三种方法，在引出第四种方法（15分钟） 1、并项法：利用公式 A B A AB =+，把两个乘积项合并起来，消去一个变量。例题1：B A C AB ABC Y ++= B B A AB =+= 2、吸收法：利用公式A AB A =+，吸收掉多余的乘积项。例题2：E B D A AB Y ++= B A E B D A B A +=+++=

逻辑代数的化简算法

逻辑代数的化简算法观察函数 1.该函数有四个逻辑变量，可表示成 Y=f(A、B、C、D) 2.该函数有三个乘积项：第一项有四个因子——四个变量在乘积项中都出现了。第二项有三个因子——缺少变量B（或）。第三项缺少变量C、D（或、）。 3.第一个乘积项是A、B、C、D的一个最小项，其余二项均不是A、B、C、D的最小项。最小项：n个逻辑变量A1、A2、…… An组成的逻辑系统中含n个因子的乘积项——每个变量（或）在乘积项中只出现一次，称这样的乘积项为最小项。两个逻辑变量A、B有22＝4个最小项，分别是：、、、。三个逻辑变量A、B、C有23＝8个最小项，分别是：、、、、、、、。四个逻辑变量A、B、C、D有24＝16个最小项。练习：写出A、B、C、D的十六个最小项。最小项的性质：（1）对变量的任意一组取值，只有一个最小项为1，其余最小项全为0。二变量A、B的最小项为：、、、。对A、B的任意一组取值： A=0 B=0 =1 其余三项全为0，即＝＝＝0 A=0 B=1 = 1 其余三项全为0

A=1 B=0 = 1 其余三项全为0 A=1 B=1 = 1 其余三项全为0 （2）全体最小项之和为1。（读者自己证明）（3）任意两个最小项的乘积为0。最小项的编号：三变量A、B、C的八组取值000、001、……111能分别使八个最小项的值为1，又与十进制数0，1……7的二进制数表示相同。用0～7编号八个最小项，记为：m0、m1、m2、m3、m4、 m5、m6、m7，则m7＝m111＝，……m4＝m100＝，m0＝m000＝。练习：读者试写出四变量A、B、C、D的十六个最小项m0、m1 (15) 逻辑函数的最小项之和形式任何逻辑函数都可化为最小项之和的标准形式例：将下列函数化为最小项之和的形式反函数的最小项之和表示例：求二变量A，B的逻辑函数的反函数。解一：

逻辑代数化简练习

逻辑代数化简练习一、选择题 1、以下表达式中符合逻辑运算法则的就是。 A 、C ·C =C 2 B 、1+1=10 C 、0<1 D 、A +1=1 2、逻辑变量的取值１与０可以表示: 。 A 、开关的闭合、断开 B 、电位的高、低 C 、真与假 D 、电流的有、无 3、当逻辑函数有n 个变量时,共有个变量取值组合？ A 、 n B 、 2n C 、 n 2 D 、 2n 4、逻辑函数的表示方法中具有唯一性的就是。 A 、真值表 B 、表达式 C 、逻辑图 D 、卡诺图 5、F=A B +BD+CDE+A D= 。 A 、D B A + B 、D B A )(+ C 、))(( D B D A ++ D 、))((D B D A ++ 6、逻辑函数F=)(B A A ⊕⊕ = 。 A 、 B B 、A C 、B A ⊕ D 、 B A ⊕ 7.求一个逻辑函数F 的对偶式,可将F 中的。 A 、“·”换成“+”,“+”换成“·” B 、原变量换成反变量,反变量换成原变量 C 、变量不变 D 、常数中“0”换成“1”,“1”换成“0” E 、常数不变 8.A+BC= 。 A 、A + B B 、A + C C 、(A +B )(A +C ) D 、B +C 9.在何种输入情况下,“与非”运算的结果就是逻辑0。 A.全部输入就是0 B 、任一输入就是0 C 、仅一输入就是0 D 、全部输入就是1 10.在何种输入情况下,“或非”运算的结果就是逻辑0。 A.全部输入就是0 B 、全部输入就是1 C 、任一输入为0,其她输入为1 D 、任一输入为1 二、判断题(正确打√,错误的打×) 1. 逻辑变量的取值,１比０大。( )。 2. 异或函数与同或函数在逻辑上互为反函数。( )。 3.若两个函数具有相同的真值表,则两个逻辑函数必然相等。( )。 4.因为逻辑表达式A+B+AB=A+B 成立,所以AB=0成立。( ) 5.若两个函数具有不同的真值表,则两个逻辑函数必然不相等。( ) 6.若两个函数具有不同的逻辑函数式,则两个逻辑函数必然不相等。( ) 7.逻辑函数两次求反则还原,逻辑函数的对偶式再作对偶变换也还原为它本身。( ) 8.逻辑函数Y=A B +A B+B C+B C 已就是最简与或表达式。( ) 9.因为逻辑表达式A B +A B +AB=A+B+AB 成立,所以A B +A B= A+B 成立。( )

逻辑函数的卡诺图化简法

第十章数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法 1．图形图象法：用卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的方法。卡诺图是按一定规则画出来的方框图。优点：有比较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来比较容易。缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实用价值了。公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。 2．最小项（1）定义：是一个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。如：Y=F （A ，B ）（2个变量共有4个最小项B A B A B A AB ） Y=F （A ，B ，C ）（3个变量共有8个最小项C B A C B A C B A BC A C B A C B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最小项。三变量最小项真值表（2）最小项的性质 ①任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为1： ②任意两个最小项的乘种为零； ③全体最小项之和为1。（3）最小项的编号：把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用m i 表示。 3．最小项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或式。而且这种形式是惟一的，即一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B) =ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++ 例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=

逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。但首先需要了解最小项的概念。一、最小项的定义及其性质 1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是 1. 每项都只有三个因子 2. 每个变量都是它的一个因子 3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n＝3 时，最小项有23＝8个

2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。 3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC 是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3 按此原则，3个变量的最小项

二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系, 将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。由此可见，任一个逻辑函数都可化成为唯一的最小项表达式。

Multisim化简逻辑函数式

用Multisim进行逻辑函数式的化简一、实验目的（1）学习使用电子设计仿真软件Multisim （2）学习使用Multisim中“逻辑转换器”完成逻辑函数化简与变换二、实验要求逻辑函数式Y已知，用Multisim将下逻辑函数式Y化为最简与或的形式。逻辑函数式Y如下面所示： ∑58,57,52,51,42,41,36,29,24,23,20,19,15,14,12,9,8m Y=（A, B, C, D, E, F）=() ()50,49,35,34,33,22,21,6,3d+ 三、实验仪器计算机一台四、实验原理逻辑函数的表示方法和化简方法五、实验内容 1、打开软件的步骤（1）开始运行Multisim软件，如下图（1）所示：

（2）找到逻辑转换器，图标“”如下图（2）箭头所示： (3) 找到逻辑转换器“XLC1”后，点击鼠标左键，将它拖放在中间部分那里，如下图（3）所示：图（3）

（4）接着，在上图（3）的图标中，用鼠标左键双击两次，打开逻辑转换器，图下图（4）所示：图（4） 2、实验的步骤：（1）因为题目中，Y的逻辑函数式： ∑58,57,52,51,42,41,36,29,24,23,20,19,15,14,12,9,8m Y=（A, B, C, D, E, F）=() ()50,49,35,34,33,22,21,6,3d+ 所以在图（4）的逻辑转换器中，点选A、B、C、D、E、F按钮，图下图（5）红色的矩形框所示：图（5）

（2）将逻辑函数式Y中的约束项和无关项的最小编号分别填到上图的“？”中，其中m中的有数字的，用“1”代替“？”，在d 中数字的用“x”代替“？”，其余的用“0”代替“？”。填入逻辑转换器后，如下图所示（6）红色的圈中所示：图（6）（3）然后点击逻辑转换器操作窗口右半部分上边的第二个按钮如下图（7）红色椭圆圈所示，即可完成从逻辑式的转换，如下图（7）中红色方框中所示：图（7） Y(A、B、C、D、E、F) =A'B'CD'E'F'+A'B'CD'E'F+A'B'CDE'F'+A'B'CDEF'+A'B'CDEF+A'BC'D 'EF+A'BC'DE'F'+A'BC'DEF+A'BCD'E'F'+A'BCDE'F+AB'C'DE'F'+AB'C D'E'F+AB'CD'EF'+ABC'D'EF+ABC'DE'F'+ABCD'E'F+ABCD'EF'

逻辑代数基础作业题

第三章逻辑代数基础（Basis of Logic Algebra） 1．知识要点逻辑代数（Logic Algebra）的公理、定理及其在逻辑代数化简时的作用；逻辑函数的表达形式及相互转换；最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质；利用卡诺图（Karnaugh Maps）化简逻辑函数的方法。重点： 1．逻辑代数的公理（Axioms）、定理（Theorems），正负逻辑（Positive Logic, Negative Logic）的概念与对偶关系（Duality Theorems）、反演关系（Complement Theorems）、香农展开定理，及其在逻辑代数化简时的作用； 2．逻辑函数的表达形式：积之和与和之积标准型、真值表（Truth Table）、卡诺图（Karnaugh Maps）、最小逻辑表达式之间的关系及相互转换； 3．最小项（Minterm）和最大项（Maxterm）的基本概念和性质； 4．利用卡诺图化简逻辑函数的方法。难点：利用卡诺图对逻辑函数进行化简与运算的方法（1）正逻辑（Positive Logic）、负逻辑（Negative Logic）的概念以及两者之间的关系。数字电路中用电压的高低表示逻辑值1和0，将代数中低电压（一般为参考地0V）附近的信号称为低电平，将代数中高电压（一般为电源电压）附近的信号称为高电平。以高电平表示1，低电平表示0，实现的逻辑关系称为正逻辑（Positive Logic），相反，以高电平表示0，低电平表示1，实现的逻辑关系称为负逻辑（Negative Logic），两者之间的逻辑关系为对偶关系。（2）逻辑函数的标准表达式积之和标准形式（又称为标准和、最小项和式）：每个与项都是最小项的与或表达式。和之积标准形式（又称为标准积、最大项积式）：每个或项都是最大项的或与表达式。逻辑函数的表达形式具有多样性，但标准形式是唯一的，它们和真值表之间有严格的对应关系。由真值表得到标准和的具体方法是：找出真值表中函数值为1的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最小项（变量值为1的对应原变量，变量值为0的对应反变量），将这些最小项相或，即得到标准和表达式。由真值表得到标准积的具体方法是：找出真值表中函数值为0的变量取值组合，每一组变量组合对应一个最大项（变量值为1的对应反变量，变量值为0的对应原变量），将这些最大项相与，即得到标准积表达式。

逻辑函数化简

一、章节名称： 3.2逻辑函数的卡诺图化简法二、教学目的与要求： 1. 掌握卡诺图基本概念及基本知识 2. 掌握逻辑函数卡诺化简法 3. 掌握具有约束条件的逻辑函数化简法三、教学重点与难点：重点：卡诺图化简法。难点：合并最小项规律，具有约束条件的逻辑函数化简法。四、教学手段：板书与多媒体课件演示结合五、教学方法：课堂讲授、提问和讨论六、教学过程：（一）复习与导入： 1、逻辑代数的三个规则。 2、逻辑代数的化简。（二）新课讲授： 3.2逻辑函数的卡诺图化简法一、逻辑函数的最小项及其性质 1、最小项的定义对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P是N个变量的一个最小项。 2个最因为每个变量都有以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以N个变量有N 小项。 2、最小项的性质 P24表-16列出了三个变量的全部最小项真值表。由表可以看出最小项具有下列性质：性质1：每个最小项仅有一组变量的取值会使它的值为“1”，而其他变量取值都使它的值为“0”。性质2：任意两个不同的最小项的乘积恒为“0”。性质3：全部最小项之和恒为“1”。由函数的真值可以很容易地写出函数的标准与或式，此外，利用逻辑代数的定律、公式，可以将任何逻辑函数式展开或变换成标准与或式。

例： C B A B C A C AB ABC B B AC A A BC C C AB AC BC AB Y +++=+++++=++=) ()()( 例： C AB ABC C B A C B A C C AB C B A C B A AB C B A B A AB C B A AB AB C B A AB AB C B A AB Y +++=+++=+++=+??=+++=++=)())(()( 3、最小项编号及表达式为便于表示，要对最小项进行编号。编号的方法是：把与最小项对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数，就是该最小项的编号。在标准与或式中，常用最小项的编号来表示最小项。如： ABC C AB C B A BC A Y +++=常写成7653),,(m m m m C B A F Y +++==或∑=m Y )7,6,5,3( 二、逻辑函数的卡诺图表达法 1、逻辑变量卡诺图卡诺图也叫最小项方格图，它将最小项按一定的规则排列成方格阵列。根据变量的数目N ，则应有n 2个小方格，每个小方格代表一个最小项。卡诺图中将N 个变量分成行变量和列变量两组，行变量和列变量的取值，决定了小方格的编号，也即最小项的编号。行、列变量的取值顺序一定要按格雷码排列。P26列出了二变量、三变量和四变量的卡诺图。卡诺图的特点是形象地表达了各个最小项之间在逻辑上的相邻性。图中任何几何位置相邻的最小项，在逻辑上也是相邻的。所谓逻辑相邻，是指两个最小项只有一个是互补的，而其余的变量都相同，所谓几何相邻，不仅包括卡诺图中相接小方格的相邻，方格间还具有对称相邻性。对称相邻性是指以方格阵列的水平或垂直中心线为对称轴，彼此对称的小方格间也是相邻的。卡诺图的主要缺点是随着变量数目的增加，图形迅速复杂化，当逻辑变量在五个以上时，很少使用卡诺图。 2、逻辑函数卡诺图用卡诺图表示逻辑函数就是将函数真值表或表达式等的值填入卡诺图中。可根据真值表或标准与或式画卡诺图，也可根据一般逻辑式画卡诺图。若已知的是一般的逻辑函数表达式，则首先将函数表达式变换成与或表达式，然后利用直接观察法填卡诺图。观察法的原理是：在逻辑函数与或表达式中，凡是乘积项，只要有一个变量因子为0时，该乘积项为0；只有乘积项所有因子都为1时，该乘积项为1。如果乘积项没有包含全部变量，无论所缺变量为1或者为0，只要乘积项现有变量满足乘积项为1的条件，该乘积项即为1。例1：可写成

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