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高中数学第二册上第八章圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质

课题：8．4双曲线的简单几何性质

教学目的：

1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质

2．掌握标准方程中c

,的几何意义

3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题

教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程

教学难点：渐近线几何意义的证明

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利

它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分

坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学运动变化和对立统一的思

想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学

利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点

本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别对圆锥

曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来

以1=±b

a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222

b y a x

对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的

教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律

本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念

教学过程：

一、复习引入：

二、讲解新课： 1．范围、对称性

由标准方程122

22=-b

y a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实

数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向

来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线

双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

2．顶点

顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，

b 叫做虚半轴长

讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程

22=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点

()0,),0,(21a A a A -，且x

轴为双曲线

122

22=-b

y a x 的对称轴，

0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线

122

22=-b

y a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程122

22=-b

y a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实

数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。但Y 轴上的两个特殊点

()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用

把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不

要把虚轴与椭圆的短轴混淆

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

3．渐近线

过双曲线122

22=-b

y a x 的两顶点21,A A ，

作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在

直线方程是x a b

y ±=（0=±

a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线分析：要证明直线x a

b y ±=（0=±

x ）是双曲线122

22=-b

y a x 的渐近线，即要证明

随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢

也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜

但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题转化为求｜MN ｜最后强调，对圆锥曲线

而言，渐近线是双曲线具有的性质

22||||a x a

b x a b MN MQ --=

< ＝)(22a x x a

-- 2

x x ab -+=

（||MQ 0??→?∞

→x ） 4．等轴双曲线

a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线

结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y ±= 它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴

所成的角

5．共渐近线的双曲线系

如果已知一双曲线的渐近线方程为

x a b y ±

=)0(>±=k x ka

，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2

222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b

y a x 6．双曲线的草图

利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并

根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线

焦点在y 轴的情况同学们自己研究 7．离心率

概念：双曲线的焦距与实轴长的比a

a c e ==22，

叫做双曲线的离心率

范围：1>e

双曲线形状与e 的关系：

1122

222-=-=-==e a

c a a c a b k ，因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； (2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约

利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔

窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解这样做将有助于实在本节的

这个难点

8．离心率相同的双曲线

(1)计算双曲线19

2=-y x 的离心率0e ；

(2)离心离为0e 的双曲线一定是19

2=-y x

如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？ (3)离心率为

的双曲线有多少条？分析：2222)(1)(1ka

a b a b a a c e +=+=+==的关系式，并从

中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k ：1(k>0)的双曲线，其离心率e 2

9．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线如

191622=-y x 与16

2=-x y 注意的区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同

通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭

之意

1）性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线

的焦点在同一圆上

2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

3）

共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么

样的特征：可设为)0(122

2≠=-λλk

y x ，当0>λ时交点在x

轴，当0<λ时焦点在y 轴上

三、讲解范例：

例1. 求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率.

解: 把方程化为标准方程得,13422

22=-x y

可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3半焦距: 焦点坐标: (0,-5),(0,5) 离心率:

例二．求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率

3422=+=c 4

c e

（1）32822=-y x （2）422-=-y x

（3）125

492

2-=-y x

例2.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴,它的一个焦点F （5，0）,且离心率e 可以使方程04

1)1(22=+--x e x 有相等的实根，求满足条件的双曲线方程

例3.已知双曲线虚轴的一个端点为M, 两焦点分别 F 1 , F 2 , 且 12021=∠MF F , 则双曲线的离心率为(B ) A ．3B ．26C ．3

D ．33

（参考例题）

例1 求双曲线14

=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、

虚半轴长和渐近线方程，并作出草图

分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答

解：把方程化为标准方程12

122

22=-y x

由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2．顶点坐标是（－1，0），（1，0）

5212222=+=+=b a c 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．

渐近线方程为02

=±

，即x y 2±= 例2 求与双曲线19

162

2=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线

的方程

分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可

解：设与13422

22=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的

双曲线的方程为λ=-22

223

4y x

则 λ=--22223)3(4)33( ，从而有16

=λ

所求双曲线的方程为99

16112

2=-

y x 例3求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解：把方程化为标准方程

422

22=-x y 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．

5342222=+=+=b a c

焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)．离心率4

a c e 渐近线方程为y x 43±=，即x y 3

4±=

例4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．

分析：本题建立合适的坐标系是关键。注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X 轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。

解：如图所示，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x 轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．

设双曲线的方程为122

22=-b

y a x )0,0(>>b a

令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B 、C 在双曲线上，所以

1)55(12252

222=--b y ① 且1121322

22=-b

y ② 解方程组，得

y =

（负值舍去）

代入方程①，得)55125(

1225

=--b

化简得

19b 2＋275b －18150＝0 ③ 解方程③(使用计算器计算)，得 b≈25(m)．

所以所求双曲线方程为

625

1442

2=-y x 点评：这是一个有实际意义的题目．解这类题目时，首先

要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来．四、课堂练习：

1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是

)(1

4)(1

16)(2

222

222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 答案：A

2 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有

(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条答案：C

3 .若方程a

k 4y a k 3x 2

2-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )

(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4

a )

∪(-3

,+∞)

答案：B

4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是

(A)138********x y -= (B)133********

x y -= (C)536554122x y -= (D)554536

122

x y -= 答案：A

5 .与双曲线x y 22

916

-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，

9)的双曲线的方程是（）

(A)

x y 22144811-= (B)--=x y 22

144811 (C)x y 22

169

1-= (D)-

+=x y 22274811(/) 答案：D

6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、3

，则

它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是（） (A)(0，±5)，

(B)(0，±532)， (C)(0，±53

2)， (D)(0，

±53

)，

答案：A

7 .双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )

(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16

答案：A

1 .方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m

(A)(0,±-m n ) (B)(0,±-n m ) (C)(±-m n ,0) (D)(±-n m ,0)

2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D

(A)x 23-y 2=1和y 29

-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x

3=1

(C)y 2

-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2

=1和92x -3

2y =1

3 .与双曲线116

2=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }

32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）1

4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( A )

（A ）1322

=-y x （B ）1322

=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13

222=-

y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( C )

（A ）（-∞,0）（B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)

6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足

|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D

(A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5

7 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C )

(A)arcsin α (B)αcos b

a (C)αsec (D)tg2α

8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

9 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x

－4y ＋c = 0，则准线方程为 ( D ) (A)5162±

=x (B)5162±=y (C)5

2±=x (D)5

92±=y

10 .与双曲线x m y n

=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( D ) (A)

-+=x m y n

1 (B)

x m y n

1-= (C)

x m y n

1-=- (D)x m y n

1+=-

五、小结：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线

草图的画法；双曲线12222=-b

y a x 的渐近线是x a b

y ±=，但反过

来此渐近线对应的双曲线则是

)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-22

22b

y a x 六、课后作业：

七、板书设计（略）八、课后记：

高中数学双曲线抛物线知识点总结

双曲线平面内到两个定点,的距离之差的绝对值是常数2a(2a< )的点的轨迹。方程 22 221(0,0)x y a b a b -=>> 22 2 21(0,0)y x a b a b -=>> 简图范围 ,x a x a y R ≥≤-∈或 ,y a y a x R ≥≤-∈或顶点 (,0)a ± (0,)a ± 焦点 (,0)c ± (0,)c ± 渐近线 b y x a =± a y x b =± 离心率 (1)c e e a = > (1)c e e a = > 对称轴关于x 轴、y 轴及原点对称关于x 轴、y 轴及原点对称准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± a 、 b 、 c 的关系 222c a b =+ 考点题型一求双曲线的标准方程 1、给出渐近线方程n y x m =±的双曲线方程可设为2222(0)x y m n λλ-=≠，与双曲线 22221x y a b -=共渐近线的方程可设为22 22(0)x y a b λλ-=≠。 2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。（1）虚轴长为12，离心率为 54 ；（2）焦距为26，且经过点M （0，12）；（3）与双曲线 22 1916 x y -=有公共渐进线，且经过点(3,23A -。 _x _ O _y _x _ O _y

解：（1）设双曲线的标准方程为22221x y a b -=或22 221y x a b -=(0,0)a b >>。由题意知，2b=12，c e a ==54 。 ∴b=6，c=10，a=8。 ∴标准方程为236164x -=或22 16436 y x -=。（2）∵双曲线经过点M （0，12）， ∴M （0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a=12。又2c=26，∴c=13。∴2 2 2 144b c a =-=。 ∴标准方程为 22 114425y x -=。（3）设双曲线的方程为22 22x y a b λ -= (3,23A -Q 在双曲线上 ∴(2 2 33 1916 -= 得1 4 λ= 所以双曲线方程为22 4194 x y -= 题型二双曲线的几何性质方法思路：解决双曲线的性质问题，关键是找好体重的等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出c e a = 和222 c a b =+的关系式。【例2】双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为2c ，直线l 过点（a ，0）和（0，b ），且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和s ≥4 5 c 。求双曲线的离心率e 的取值范围。解：直线l 的方程为 1x y a b -=，级bx+ay-ab=0。由点到直线的距离公式，且a ＞1，得到点（1，0）到直线l 的距离12 2 d a b = +，同理得到点（-1，0）到直线l 的距离22 2 d a b = +，

双曲线几何性质 (1)

百度文库- 让每个人平等地提升自我！ 1 双曲线的几何性质学习目标：理解并掌握双曲线的几何性质，能根据性质解决一些基本问题，进一步体会数形结合的思想. 学习重点：双曲线的几何性质及其运用. 一、学习情境类比椭圆几何性质和研究方法，我们应该如何去研究双曲线的几何性质？二、学习任务（理P56—P58例3完；文P49—P51例3完）问题1: 画出 1 3 42 2 2 2 = - y x 与 1 3 42 2 2 2 = - x y 的图形，观察图形你能得出双曲线的哪些性质？问题2: 请分别从图形和方程两个角度解释这些性质. 标准方程图象范围对称轴对称中心实虚轴顶点渐近线离心率 a,b,c关系 A级理P61 (文P53) 1、2、3、4 B级习题理2.3 (文2.2) 3、4 选做题 1、已知椭圆方程 1 9 16 2 2 = + y x 和双曲线方程 1 9 16 2 2 = - x y 有下列说法： ①椭圆和双曲线的实轴长都是4，但椭圆和双曲线的实轴分别在x轴和y轴上; ②椭圆的长半轴长是4，双曲线的实轴长是3 ③它们的焦距都是10 其中说法正确的个数是（） A、0 B、1 C、2 D、3个 2、根据下列条件，求双曲线方程 ①与双曲线1 4 16 2 2 = - y x 有公共焦点，且过点（2 3，2） ②与双曲线1 9 16 2 2 = - y x 有共同的渐近线，且过点（3 2，-3）三、归纳反思椭圆和双曲线几何性质的比较：椭圆双曲线定义标准方程图形 (顶点坐标) (焦点坐标) 范围轴对称轴 (对称中心) 离心率及其范围 a,b,c关系渐近线

双曲线的简单几何性质总结归纳

双曲线的简单几何性质一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

高中数学-双曲线例题

高中数学-双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解：（1）当9-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92， 16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25

∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()16014162 2<<=+--λλ λy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。例3 已知双曲线116 92 2=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF ∴362212221=-+PF PF PF PF ∴10022 21=+PF PF ∵()100441222221=+==b a c F F ∴ο9021=∠PF F （2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例 4 已知1F 、2F 是双曲线14 22 =-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ?的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ?中的勾股定理可求21PF F ?的面积．解：∵P 为双曲线14 22 =-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F ∵ο9021=∠PF F ∴在21F PF Rt ?中，202 2122 21==+F F PF PF

双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质山丹一中周相年教学目标: (1 知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结,推荐文档

北安一中高二数学导学案主备人：陈叔彤审阅人：高二数学组备课日期：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结课时：课时班级：姓名：【学习目标】知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围：由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性：对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

高中数学双曲线经典例题

高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是

4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为．二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形

1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型

高中数学双曲线函数的图像与性质及应用

一个十分重要的函数的图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式 ab b a ≥+2”一节课中已经隐含了函数x x y 1 +=的图象、性质与重要的应用，是高考要求范围内的一个重要的基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校的同学而言，我们务必要系统介绍学习 x b ax y + =（ab ≠0）的图象、性质与应用． 2．1 定理：函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的双曲线．首先，我们根据渐近线的意义可以理解：ax 的值与x b 的值比较，当x 很大很大的时候， x b 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是ax 的值；当x 的值很小很小，几乎为0的时候，ax 的值几乎可以忽略不计，起决定作用的是x b 的值．从而，函数x b ax y +=（ab ≠0）表示的图象是以y=ax 和x=0（y 轴）的直线为渐近线的曲线．另外我们可以发现这个函数是奇函数，它的图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象，系数都是字母，因此要证明曲线是双曲线是很麻烦的，我们通过一个例题来说明这一结论．例1．若函数x x y 3 233+= 是双曲线，求实半轴a ，虚半轴b ，半焦距c ，渐近线及其焦点，并验证双曲线的定义．分析：画图，曲线如右所示；由此可知它的渐近线应该是x y 3 3 = 和x=0两条直线；由此，两条渐近线的夹角的平分线y=3x 就是实轴了，得出顶点为A （3，3），A 1（-3，-3）； ∴ a=OA =32, 由渐近线与实轴的夹角是30o，则有a b =tan30o, 得b=2 , c=22b a +=4, ∴ F 1(2,32)F 2(-2,-32)．为了验证函数的图象是双曲线，在曲线上任意取一点P （x, x x 3 233+）满足3421=-PF PF 即可；

高中数学《双曲线》典型例题12例(含标准答案)

《双曲线》典型例题12例典型例题一例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时， k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25

∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223，，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法．（2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面．典型例题三例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小．

《双曲线的简单几何性质》教学设计.

《双曲线的简单几何性质》教学设计首都师范大学附属丽泽中学宛宇红靳卫红一、教材分析 1.教材中的地位及作用本节课是学生在已掌握双曲线的定义及标准方程之后，在此基础上，反过来利用双曲线的标准方程研究其几何性质。它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点，是深入研究双曲线，灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础，更能使学生理解、体会解析几何这门学科的研究方法，培养学生的解析几何观念，提高学生的数学素质。 2.教学目标的确定及依据平面解析几何研究的主要问题之一就是：通过方程，研究平面曲线的性质。教学参考书中明确要求：学生要掌握圆锥曲线的性质，初步掌握根据曲线的方程，研究曲线的几何性质的方法和步骤。根据这些教学原则和要求，以及学生的学习现状，我制定了本节课的教学目标。（1）知识目标：①使学生能运用双曲线的标准方程讨论双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质； ②掌握双曲线标准方程中c ,的几何意义，理解双曲线的渐近 a, b 线的概念及证明； ③能运用双曲线的几何性质解决双曲线的一些基本问题。（2）能力目标：①在与椭圆的性质的类比中获得双曲线的性质，培养学生的观察能力，想象能力，数形结合能力，分析、归纳能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法； ②使学生进一步掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的概念的理解。

（3）德育目标：培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的，变化的观点分析理解事物。 3.重点、难点的确定及依据对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中我把渐近线的发现作为重点，充分暴露思维过程，培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，巧妙地应用极限思想导出了双曲线的渐近线方程。这样处理将数学思想渗透于其中，学生也易接受。因此，我把渐近线的证明作为本节课的难点，根据本节的教学内容和教学大纲以及高考的要求，结合学生现有的实际水平和认知能力，我把渐近线和离心率这两个性质作为本节课的重点。 4.教学方法这节课内容是通过双曲线方程推导、研究双曲线的性质，本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中可以与其类比讲解，让学生自己进行探究，得到类似的结论。在教学中，学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，凡是难度不大，经过学习学生自己能解决的问题，应该让学生自己解决，这样有利于调动学生学习的积极性，激发他们的学习积极性，同时也有利于学习建立信心，使他们的主动性得到充分发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，而学生对渐近线的发现与证明方法接受、理解和掌握有一定的困难。因此，在教学过程中着重培养学生的创造性思维，通过诱导、分析，从已有知识出发，层层设（释）疑，激活已知，启迪思维，调动学生自身探索的内驱力，进一步清晰概念（或图形）特征，培养思维的深刻性。例题的选备，可将此题作一题多变（变条件，变结论），训练学生一题多解，开拓其解题思路，使他们在做题中总结规律、发展思维、提高知识的应用能力和发现问题、解决问题能力。

(完整)江苏省高中数学公式

高中数学公式（苏教版）使用说明：本资料需要有经验老师讲解每一个公式，然后根据公式出一个题来运用、理解公式，天天坚持直到高考。这样效果极佳；另外术业教育每天出一份高考数学挑战题卡（上传到学优高考网），保证你的学生数学成绩能够从20分迅速提高到100分，这项成果经过我们十几年的教学实践总结，效果绝对好。一、集合 1. 集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2. 非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3. 空集的符号为? 二、函数 1. 定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2. 偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减单调减函数：与增函数相反 4. 指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数；当10<a 时，x a y log =为增函数