2热传导方程的初值问题

§2热传导方程的初值问题

一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题)

??

???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t

u ),()0,(0

,),,(2

2

2? （）

偏导数的多种记号xx x t u x

u

u x u u t u =??=??=??22,,. 问题也可记为

??

?+∞

<<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0

,,),(2?.

Fourier 变换

我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上可

积，若积分

?

+∞

∞

-dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。

将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1

+∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{

}

∞<=+∞-∞=+∞-∞?

+∞

∞

-dx x f f L L )(|

),(),(1

，称为可积函数空间.

连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C ,

{}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。

定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分

),(?)(21

λπ

λf dx e x f x i =?

+∞

∞

--

有意义,称为Fourier 变换, )(?

λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ?

+∞

∞

--=

=dx e x f f Ff x i λπ

λλ)(21)(?)(

定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1

+∞-∞?+∞-∞∈C L f ,那么我们有

),()(?21lim

x f d e f N

N

x i N =?

+-∞

→λλπ

λ

公式称为反演公式.左端的积分表示取Cauchy 主值.

通常将由积分

)()(21

x g d e g x i ∨+∞

∞

-=?

λλπ

λ所定义的变换称为Fourier 逆变换.

因此亦可写成

()

f f =∨

?

即一个属于),(),(1

+∞-∞?+∞-∞C L 的函数作了一次Fourier 变换以后,再接着作一次Fourier 逆变换,就回到这个函数本身.

在应用科学中经常把)(?

λf 称为)(x f 的频谱.Fourier 变换的重要性亦远远超出求解偏微分方程的范围,它在其它应用科学中,如信息论,无线电技术等学科中都有着极为广阔的应用.它

是近代科学技术中得到广泛应用的重要数学工具.

定理的证明在经典书中都能查到(如姜礼尚,陈亚浙,<<数学物理方程讲义>>)

定理 设),(+∞-∞∈L f ，?

+∞

∞

--=dx e x f f

x i λπ

λ)(21

)(?，则)(?

λf 是有界连续函数,且 .0)(?lim =∞

→λλf

在运用Fourier 变换求解定解问题以前,我们先来介绍一些Fourier 变换的性质.

Fourier 变换的性质： 1.（线性性质） 若.2,1,),

,(=∈+∞-∞∈j C L f j j α则

(),??22112211f f f f αααα+=+∧

2.（微商性质）

若),,(),()(),(+∞-∞?+∞-∞∈'L C x f x f 则.?

f i dx df λ=??

?

??∧

证明 由假设),,(),()(),(+∞-∞?+∞-∞∈'L C x f x f 故0)(lim =∞

→x f x ,

事实上由),()(+∞-∞∈'C x f ,则dt t f f x f x

?'+=0

)()0()(,

因为),()(+∞-∞∈'L x f ,故有

?

±∞

±±∞

→'+==0

)()0()(lim dt t f f a x f x

又因),()(+∞-∞∈L x f ,必有0=±a .

由0)(lim =∞

→x f x ,利用分部积分公式

?

∞

+∞

--∧

'=

??

?

??dx e x f dx df x i λπ)(21

??

????--=?

+∞

∞

--∞

+∞

--dx e i x f e x f x i x

i ))(()(21λλλπ

).(?)(2λλπ

λλf i dx e x f i x i ==?

+∞

∞

--

附注 这个性质说明微商运算经Fourier 变换转化为乘积运算,因此利用Fourier 变换可把常系

数微分方程简化为函数方程,或把偏微分方程简化为常微分方程,正是由于这个原因,Fourier 变换成为解微分方程的重要工具. 3.（乘多项式）

若),()(),(+∞-∞∈L x xf x f 则有[])(?

)(λλ

f d d i

x xf =∧

. 证明 由于),()(),(+∞-∞∈L x xf x f ,故)(?

λf 是λ的连续可微函数,且有 []∧

+∞

∞

---=-=?

)()())((21

)(?x xf i dx e ix x f f d d x i λπ

λλ

附注 作为性质2,3的推论,若),,(),()(),(),()

(+∞-∞?+∞-∞∈'L C x f

x f x f m Λ则 ())1(,)(?≥=???

? ??∧

m f i dx f

d m m m λλ 若),,()(),(),(+∞-∞∈L x f x x xf x f m

Λ则

[

]

)1(,)(?

)(≥=∧

m f d d i x f x m

m m

m

λλ

4．（平移性质）

若),,()(+∞-∞∈L x f 则

[])1()(?)(≥=--∧

m f e a x f a i λλ

证明

[])

(?)(21)(21

)()(λπ

π

λλλf e dy e y f y

a x dx e a x f a x f a i a y i x i -∞

+∞

-+-+∞

∞

--∧==--=

-?

?

5.（伸缩性质）

若),,()(+∞-∞∈L x f 则

[])0(,)(?1)(≠=

∧

k k

f k kx f λ

证明 无妨设,0

[]

)(?11)(1211)(21)(21)(k

f k dy k

e y

f k dy k e

y f y kx dx

e kx

f kx f k

y

i k

y

i x i λππ

π

λ

λ

λ=???

??-=

==

??

?

∞

+∞--∞

-∞+-+∞

∞

--∧

6.（对称性质）

若),,()(+∞-∞∈L x f 则 ,)(?

)(λλ-=∨

f f 证明?

+∞

∞

-∨

=dx e x f f x i λπ

λ)(21

)(?

+∞

∞

---=

dx

e x

f x i )()(21λπ

.)(?λ-=f

7.（卷积定理）

若),,()(),(+∞-∞∈L x g x f ?

+∞

∞

--=

*dt t g t x f x g f )()()(称为f 与g 的卷积,

则),()(+∞-∞∈*L x g f ,且有()).(?)(?2)(λλπλg

f g f =*∧

证明 由积分交换次序定理

??

?

+∞∞

-+∞

∞

-+∞

∞

--=*dx dt t g t x f dx x g f |)()(|)(??+∞

∞-+∞

∞-??

? ??-≤dt dx t g t x f )()(?

?+∞

∞

-+∞

∞-??

? ??-=dt dx t x f t g )()(??+∞∞-+∞∞-?=dt t g dx x f )()( 故),()(+∞-∞∈*L x g f ,又由积分交换次序定理

()()()().??2)(21)(212)()(21)()(21)(λλππππππ

λλλλλλg

f dy e y f dt e t

g dx e t x f dt e t g dt t g t x f dx e g f y

i t i t x i t

i x

i =??=-=-=*??????∞+∞-∞+∞

---∞+∞-∞+∞

----+∞∞-+∞∞

--∧

下面作为例子,我们根据Fourier 变换的定义与性质求一些具体函数的Fourier 变换.

例1 设 ????

?>≤=A

x A x x f ,0,

1)(1,(其中常数0>A ).

求)(?

1λf .

解 由定义

?

?

----=

=

A

A

x i A

A

x i dx e dx e x f f λλπ

π

λ21)(21

)(?11

A

A

x i e i --??

? ??-=

λλπ121λλπA sin 2=. 例2 设??

?<≥=-0

,

00

,

)(2x x e x f x , 求)(?

2λf . ?

+∞

--=

221)(?dx e

e f x

i x λπ

λ?

+∞

+-=

)1(21dx e x i λπ

∞

++-??

? ??+-

=

0)1(1121x i e i λλπλ

πi +=11

21

.

例3 设,)(3x

e

x f -=求)(?3λf

?

+∞

∞

---=

dx e e

f x i x

λπ

λ21)(?3????

??+=

??∞--+∞+-0)1(0)1(21dx e dx e x

i x i λλπ ??

?

??-++=

λλπi i 1111212

12

21λ

π+=

. 例4 设,)(2

4x e x f -=求)(?4λf

?

+∞

∞

---=

dx e

e

f x

i x λπ

λ2

21)(?4?

∞

+∞

---'

??

? ??-=

dx e i e

x i x λλπ

1212

??

????-??? ??-=

?∞+∞---∞+∞---dx e xe i e e i x i x x x i λλλλπ

222121

[]∧

-=

2

2x xe i

λ

)(?

24λλ

λf d d -

= ， 上面最后一个等式应用了性质3. 因为)(?4λf 作为λ的函数适合下面常微分方程初值问题：

???

??

??==-=?∞+∞--2121)0(?,)(?

2)(?2444dx e f f d f d x πλλλλ, 解之得

4

42

2

1)(?λλ-

=e

f .

例5 设,)(2

5Ax e x f -=（0>A ）,求)(?5λf .

由性质5

()()

A

e

A A f A x A f x f f 444552

21)(?1)()()(?λλλ-

∧∧====.

例6 ),(

)(462

2

B

x f e

e

x f B x B

x ===???

? ??--(0>B )

()4

4662

2

)/1(

?/11()(?λλ

λB e

B B

f B

x f f -

∨=

=

=.

()()?+∞

∞

-∨*=

*λλπ

λd e g f x g f x

i )(21)( ??+∞

∞-+∞

∞-??? ??-=

λλπ

λd e dy y g y f x i )()(21

dy d e y g y f x i ??+∞

∞-+∞

∞-??? ??-=

λλπ

λ)()(21

dy d e y f e y g x

y i iyx ??+∞

∞-+∞

∞--??

? ??-=

λλπ

λ)()()(21 )()(2x g x f ∨∨=π,

()()g f g

f

g f ?==

???

? ??*∨

∨

∨

∧∧??22121ππ

π,

于是()∧∧∧

*=

?g f g f π

21,

因为()g

f g f ??2?=

*∧π, 所以()

()[]

g f g f g f *=

*=

?∨

∧∨

π

π

2121??

.

最后我们简单地介绍一些有关多维Fourier 变换的基本知识

定义 设),(),,,()(21n

n R L x x x f x f ∈=Λ那么积分

())(?)(21

λπλf dx e x f n

R

x i n

=?

?-,

有意义,称为)(x f 的Fourier 变换,)(?

λf 称为)(x f 的Fourier 变式.

定理（反演公式）若)()()(1n

n R L R C x f ?∈,则有

(

))()(?21lim

x f d e f

N

x i n

N =?

≤?∞

→λλλλπ

. ()?

?∨=

n

R

x i n

d e g x g λλπλ)(21

)(称为)(λg 的Fourier 逆变换.

定理表明()()f f f f ＝∧

∨∨

=,?容易证明关于一维Fourier 变换的性质1—7对于多维Fourier 变

换依然成立.根据上面Fourier 变换的定义,我们还有下面的结论： 8. 若),()()()(2211n n x f x f x f x f Λ=其中),,()(+∞-∞∈L x f i i 则有

)(?)(?1

i

i n

i f f λλ=∏= （） 利用这一性质,我们可求出函数2

2

1

)(i Ax n

i x

A e e

x f -=-∏==的Fourier 变式.

事实上(

)

A

Ax i i e

A

e

42

2

21λ-

∧

-=

,

()

(

)

A

n

A

n

i Ax n

i Ax n

i e

A

e A

e e

f i i

i 441

112

2

2

22121

)(?λ

λλ-

-

=∧

-=∧

-==

∏

=∏=??

? ??∏=.

Poisson 公式

在这一小节中我们应用Fourier 变换解初值问题

??

???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t

u ),()0,(0

,),,(2

2

2? （）

在方程（）两边关于变量x 作Fourier 变换,

?

+∞

∞

--=dx e t x u t u

x i λπ

λ),(21),(? ,

利用性质1和性质2,得到

?????==+=),(??),,(???02

2λ?

λλt u t f u

a dt u d 其中 ?

+∞

∞

--=dx e

t x u t u

x

i λπ

λ),(21),(?,?

+∞

∞

--=dx e x x i λ?π

λ?

)(21

)(?

[]∧=),(),(?t x f t f λ.

解之得

?---+=t t a t a d e f e t u 0

)(2

222),(??),(?ττλ?λτλλ,

现在对上式两边求反演,由反演公式,得

(

)

(

)

?

∨

--∨

-+=t

t a t

a d e f e t x u 0

)(2222),(??),(ττλ?

τλλ （）

由()

,21

42

2

A

Ax e A

e

i

λ-

∧

-=

取t a A 241

=则t

a x t a e t

a e 2222241211λ-∧

-=???

? ??, 即t a x t a e

e t a 222241

21λ-∧

-=???

? ??, 令2

2

4121),(x t

a e

t

a t x g -

=

,[]t a e t x g 2

2),(λ-∧

=,

从而有(

)

()g g e t

a *21

???22?π

?

?λ==∨

∨

- ?

+∞

∞

--=

ξξξ?π

d x g )()(21

?

∞

+∞

---=

ξξ?πξd t a

t

a x 224)()(21 （）

同理我们有

(

)(

)

g f t g f e

f t a *21

),(?),(?),(?)(22π

τλτλτλτλ=

-=∨

∨

-- ?∞+∞

----

-=ξτξτπτξd e f t a t a x )

(4)(22),()(21

（）

于是得

???

∞

+∞

----

∞

+∞

---

-+=

ξτπτξτξξ?πτξξd e

t a f d d t a

t x u t a x t t

a x )

(4)(0

4)(2222)

(21

)

,()

(21),(

在一定条件下,可以证明上述表达式的函数是方程问题的解. 定理 若),()(+∞-∞∈C x ?,且)(x ?有界,则?

∞

+∞

---

=

ξξ?πξd e

t a

t x u t

a x 224)()(21),(

在),0(+∞?R 上连续,且在),0(+∞?R 上具有任意阶的连续偏导数，

),(t x u 是问题??

???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x x

u a t u ),()0,(0

,,022

2?的解,

即),(t x u 满足方程和)(),(lim 00

x t x u x x t ?=→→+

. ?

∞

+∞

---

=

ξξ?πξd e

t a

t x u t

a x 224)()(21),(

?

+∞

∞

--+-=ηη?π

ξηηd e t a x t

a x 2

)2(1

2/)(

特别说明：当)(x ?连续,)(x ?是某些无界函数时,),(t x u 的表达式亦是解（)(x ?无界时，也可以是解）.

例1 求解?????=??=??=x

u

x u a

t u t sin ,022

2

解 1、直接观察x e t x u t a sin ),(2

-=是解. 2、?

+∞

∞

--+=

ηη?π

ηd e t a x t x u 2

)2(1

),(

?

+∞

∞

--+=

ηηπ

ηd e t a x 2

)2sin(1

()

?

+∞

∞

---+=

ηηηπηηd e t a x e t a

x 2

22sin cos 2cos sin 1

?+∞∞

--=

ηηπ

ηd e

t a x 2

2cos sin 1

?

+∞

∞

---=ηπ

ηη

d e e x t a

i 2

2212

sin

4

422

12

sin t a e x -=4

422

12

sin t a e x -=x e t a sin 2

-=, ()

4

2

2

2

1λη

-

∧

-=

e e .

例2求初值问题?????=??=??=x u

x u a

t u t cos ,022

2的解x e t x u t a cos ),(2-=.

例3求初值问题?????+===1

,

2

02

x u u a u t xx t 的解. 解1 直接观察t a x t x u 2

221),(++= 2. []

?+∞∞

--++=

ηηπ

ηd e t a x t x u 2

1)2(1

),(2

[]

?+∞∞

--+++=

ηηηπ

ηd e t a t ax x 2

1441

222

t a x 2221++=

从这几个实例上,更直观明显的证明求解公式的正确,对模型方程的正确性,提供保证.

?????++===1cos ,

2

2

x x u u a u t xx t 定理 设)(x ?在),(+∞-∞上连续且有界，

),(t x f ，(,)x f x t 在],0[),(T ?+∞-∞上连续且有界，

令 ?∞

+∞

---

=

ξξ?πξd e

t

a

t x u t

a x 224)()(21),(??∞

+∞

----

-+

ξτ

τξτπ

τξd e t f d a t a x t )

(4)(0

221

)

,(21

，

其中常数0>a ，则有)(),(lim 00,0x t x u t x x ?=+

→→；(,)u x t 问题

??

??

?+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0

,),,(22

2?

的解。

证明 由于ηη?π

η?

+∞

∞

--+=

d e t a x t x u 2

)2(1

),(ητηττπ

η?

?+∞

∞

---++

d e t a x f d t 2

),2(1

，

利用控制收敛定理，得),(lim 0,0t x u t x x +

→→)(0)(1

002

x d e x ?η?π

η=+=

?

+∞

∞

--；

22()4(,)())x a t

u x t d t t ξ?ξξ

--

+∞

-∞??=??

?22()4()

(,))x t a t d f d t ξττξτξ--+∞

--∞

???

(,)f x t +；

22()2

2

422(,)())x a t

u x t d x x ξφξξ

--

+∞

-∞

??=??

?22()2

4()

20

(,)

)x t

a t d f d x ξττξτξ--

+∞

--∞

???

，

显然成立2

22

(,)u u a f x t t x ??-=??，结论得证。

定理 假设函数),(t x f ，)(x ?关于x 都是解析的，则问题

??

???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t

u ),()0,(0

,),,(2

2

2?

的解可以写成

∑?∑∞=∞

=-+=0

0)2(20)

2(2),(!)]([)(!)(),(n t n x n n n n d x f n t a x n t a t x u τττ?

其中)()

2(x n ?

和),()2(τx f n x 分别是)(x ?和),(τx f 关于x 的n 2阶导数。

证明：?

+∞

∞

--+=

ηη?π

ηd e

t a x t x u 2

)2(1

),(

??

+∞

∞

---++t d d e t a x f 02

),2(1

τητητπ

η

?∑

∞+∞

--∞

==

ηη?π

ηd e t a k x k k k 2

)()2(!

)

(1

??∑

∞+∞

--∞

=-+

t k k k x d d e t k x f 00

)(2

)(!

),(1

τηηττπ

η ∑?∑∞=∞

=-+=0

0)2(20)

2(2),(!)]([)(!)(n t n x n n n n d x f n t a x n t a τττ?。

例 求解定解问题2

22

,(,0),

(,0)cos ,().u u a Ax x t t x

u x x x θ???-=-∞<<+∞>?????=-∞<<+∞?

其中,A θ是常数。 解

方法一：2

(,)cos (2)u x t x e

d ηθη+∞

--∞

=

+

??

+∞

∞

---++

t

d d

e t a x A 02

)2(1

τηητπ

η

2

cos cos2x a e d Axt ηθθη+∞

--∞

=

?+

22cos a t

e

x Axt θθ-=+；

方法二：2(2)0

()(,)(cos )!n

n n a t u x t x Axt n θ∞

==+∑ 220

()(1)cos !n

n n a t x Axt n θθ∞

==-+∑

22

cos a t e x Axt θθ-=+。

解的性质与物理解释（对齐次方程??

???==??-??),()0,(,022

2x x u x u a t u ?

1.（奇偶性与周期性）

若?是奇（偶,周期为l 的）函数,则解?

∞

+∞

---

=ξξ?πξd e

t a

t x u t

a x 224)()(21),(亦是x 的奇（偶,周

期为l 的）函数. 2.（无限传播速度）

如果杆的初始温度)(x ?只在小段),(00δδ+-x x 上不为零,不妨假设0)(>x ?,即

),(,0)(00δδ?+-∈>x x x x ,其它处0)(=x ?.那么当0>t ,杆上各点的温度0)(21)(21),(0022224)(4)(>=

=

?

?

+---

∞

+∞

---

δ

δ

ξξξξ?πξξ?πx x t

a x t

a x d e

t a

d e

t a

t x u

也就是说在顷刻之间,热量就传递到杆上的任意一点,当然在0x 附近的点所受到的影响较大（t

a x e

224)(ξ--来定）,而离0x 较远的点受到的影响较小.这与我们知道的物理现象一致.

初值问题解的渐近性态

讨论当+∞→t 时,热传导方程初值问题解的渐近性态.由前面的讨论可知,当)(x ?为有界

连续函数时,热传导方程的初值问题?????===)(,

2

x u u a u t xx t ?的解的唯一性,由下列Possion 积分给出

?

∞

+∞

---

=

ξξ?πξd e

t a

t x u t

a x 224)()(21),(.

为了讨论解的渐近性态,还需要对)(x ?加进一步的条件. 如果

?

+∞

∞

-dx x )(?收敛,则称),(1R L ∈?并记?+∞

∞

-=dx x R L )()

(1??

.

定理设?是有界连续函数,且),(1

R L ∈?则初值问题的唯一经典解（古典解）具有如下的渐近

性态：对一切0,>∈t R x 当+∞→t 时,一致地成立

0),(2

1→≤-

Ct

t x u ,（+∞→t ）.

其中C 为一个仅与a 与

)

(1R L ?

有关的正常数.

证明 由?

∞

+∞

---=

ξξ?πξd e

t a

t x u t

a x 224)()(21),(,

?

∞

+∞

---≤

ξξ?πξd e t a

t x u t

a x 224)()(21),(

?

+∞

∞

-≤

ξξ?πd t a

)(21

2

12

1)

(121--==Ct

t a R L ?π

证毕.

物理现象符合,高温→变低温,以至冷却到0. 热的不可逆性：

??

???=<+∞<<∞-=??-??),()0,(0

,,022

2x x u t x x u a

t

u ?

对一般的)(x ?,解不存在,说明热的逆现象是不确定的.

热传导方程的初值问题

§2热传导方程的初值问题 一维热传导方程的初值问题(或Cauchy 问题) ?? ???+∞<<∞-=>+∞<<∞-=??-??x x x u t x t x f x u a t u ),()0,(0 ,),,(2 2 2? （） 偏导数的多种记号xx x t u x u u x u u t u =??=??=??22,,. 问题也可记为 ?? ?+∞ <<∞-=>+∞<<∞-=-x x x u t x t x f u a u xx t ),()0,(0 ,,),(2?. Fourier 变换 我们将用Fourier 变换法求解热传导方程的柯西问题.为此我们将着重介绍Fourier 变换的基本知识.Fourier 变换在许多学科中是重要使用工具. 可积函数,设)(x f f =是定义在),(+∞-∞上的函数, 且对任意A B <，()f x 在[,]A B 上 可积，若积分 ? +∞ ∞ -dx x f )(收敛,则称)(x f 在),(+∞-∞上绝对可积。 将),(+∞-∞上绝对可积函数形成的集合记为),(1 +∞-∞L 或),(+∞-∞L ， 即{ } ∞<=+∞-∞=+∞-∞? +∞ ∞ -dx x f f L L )(| ),(),(1 ，称为可积函数空间. 连续函数空间: ),(+∞-∞上全体连续函数构成的集合,记为),(+∞-∞C , {}上连续在),(|),(+∞-∞=+∞-∞f f C ， {}上连续在),(,|),(1+∞-∞'=+∞-∞f f f C 。 定义 若),(+∞-∞∈L f ,那么积分 ),(?)(21 λπ λf dx e x f x i =? +∞ ∞ -- 有意义,称为Fourier 变换, )(? λf 称为)(x f 的Fourier 变式(或Fourier 变换的象). ? +∞ ∞ --= =dx e x f f Ff x i λπ λλ)(21)(?)( 定理 (Fourier 积分定理)若),(),(1 +∞-∞?+∞-∞∈C L f ,那么我们有

MATLAB编辑一维热传导方程的模拟程序

求解下列热传导问题： ()()()()?????????====-=≤≤=??-??1, 10,,1,010,001222ααL t L T t T z z T L z t T z T 程序： function heat_conduction() %一维齐次热传导方程 options={'空间杆长L','空间点数N' ,'时间点数M','扩散系数alfa','稳定条件的值lambda(取值必须小于',}; topic='seting'; lines=1; ； def={'1','100','1000','1',''}; h=inputdlg(options,topic,lines,def); L=eval(h{1}); N=eval(h{2}); M=eval(h{3}); alfa=eval(h{4}); lambda=eval(h{5});%lambda 的值必须小于 %*************************************************** ￥ h=L/N;%空间步长 z=0:h:L; z=z'; tao=lambda*h^2/alfa;%时间步长 tm=M*tao;%热传导的总时间tm t=0:tao:tm; t=t'; %计算初值和边值 @ T=zeros(N+1,M+1); Ti=init_fun(z); To=border_funo(t); Te=border_fune(t); T(:,1)=Ti; T(1,:)=To; T(N+1,:)=Te; %用差分法求出温度T 与杆长L 、时间t 的关系 ： for k=1:M m=2;

导热方程求解matlab

使用差分方法求解下面的热传导方程 2 (,)4(,) 0100.2t xx T x t T x t x t =<<<< 初值条件：2(,0)44T x x x =- 边值条件：(0,)0(1,)0 T t T t == 使用差分公式 1,,1,2 2 2 (,)2(,)(,) 2(,)()i j i j i j i j i j i j xx i j T x h t T x t T x h t T T T T x t O h h h -+--++-+= +≈ ,1,(,)(,) (,)()i j i j i j i j t i j T x t k T x t T T T x t O k k k ++--= +≈ 上面两式带入原热传导方程 ,1,1,,1,2 2i j i j i j i j i j T T T T T k h +-+--+= 令2 24k r h =，化简上式的 ,1,1,1,(12)()i j i j i j i j T r T r T T +-+=-++ i x j t j

编程MA TLAB 程序，运行结果如下 1 x t T function mypdesolution c=1; xspan=[0 1]; tspan=[0 0.2]; ngrid=[100 10]; f=@(x)4*x-4*x.^2; g1=@(t)0; g2=@(t)0; [T,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [x,t]=meshgrid(x,t); mesh(x,t,T); xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') function [U,x,t]=rechuandao(c,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) % 热传导方程：

一维热传导方程的差分格式

《微分方程数值解》 课程论文 学生姓名1：许慧卿学号：20144329 学生姓名2：向裕学号：20144327学生姓名3：邱文林学号：20144349学生姓名4：高俊学号：20144305学生姓名5：赵禹恒学号：20144359学生姓名6：刘志刚学号： 20144346 学院：理学院 专业：14级信息与计算科学 指导教师：陈红斌 2017年6 月25日

《偏微分方程数值解》课程论文 《一维热传导方程的差分格式》论文 一、《微分方程数值解》课程论文的格式 1）引言：介绍研究问题的意义和现状 2）格式：给出数值格式 3）截断误差：给出数值格式的截断误差 4）数值例子：按所给数值格式给出数值例子 5）参考文献：论文所涉及的文献和教材 二、《微分方程数值解》课程论文的评分标准 1）文献综述：10分； 2）课题研究方案可行性：10分； 3）数值格式：20分； 4）数值格式的算法、流程图：10分； 5）数值格式的程序：10分； 6）论文撰写的条理性和完整性：10分； 7）论文工作量的大小及课题的难度：10分； 8）课程设计态度：10分； 9）独立性和创新性：10分。 评阅人： - 2 -

一维热传导方程的差分格式 1 引言 考虑如下一维非齐次热传导方程Dirichlet 初边值问题 22(,),u u a f x t t x ??=+?? ,c x d << 0,t T <≤ (1.1) (,0)(),u x x ?= ,c x d ≤≤ (1.2) (,)(),u c t t α= (,)(),u d t t β= 0t T <≤ (1.3) 的有限差分方法, 其中a 为正常数,(,),(),(), ()f x t x t t ?αβ为已知常数, ()(0),c ?α= ()(0).d ?β= 称(1.2)为初值条件, (1.3)为边值条件. 本文将给出(1.1) (1.3)的向前Euler 格式, 向后Euler 格式和Crank Nicolson -格式, 并给出其截断误差和数值例子. 经对比发现, Crank Nicolson -格式误差最小, 向前 Euler 格式次之, 向后Euler 格式误差最大. 2 差分格式的建立 2.1 向前Euler 格式 将区间[,]c d 作M 等分, 将[]0,T 作N 等分, 并记 ()/h d c M =-, /T N τ=, j x c jh =+,0j M ≤≤, k t k τ=,0k N ≤≤. 分别称h 和τ为空间步长和时间步长.用 两组平行直线 j x x =, 0j M ≤≤, k t t =, 0k N ≤≤ 将Ω分割成矩形网格.记{} |0h j x j M Ω=≤≤, {}|0k t k N τΩ=≤≤, h h ττΩ=Ω?Ω. 称() ,j k x t 为结点[1] . 定义h τΩ上的网格函数 {}|0,0k j U j M k N Ω=≤≤≤≤, 其中() ,k j j k U u x t =. 在结点() ,j k x t 处考虑方程(1.1),有

热传导方程

前言 本文只是针对小白而写，可以使新手对热传导理论由很浅到不浅的认识，如想更深学习热传导知识，请转其它文档。 一、概念与常量 1、温度场： 指某一时刻下，物体内各点的温度分布状态。 在直角坐标系中：； 在柱坐标系中：； 在球坐标系中：。 补充：根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温度场是几维的、稳态的或非稳态的。 2、等温面与等温线： 三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等温面； 一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即为平面温度场中的等温线。 3、温度梯度： 在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化率最大的方向位于等温线的法线方向上。称过点P的最大温度变化率为温度梯度(temperature gradient)。用grad t表示。 定义为： 补充：温度梯度表明了温度在空间上的最大变化率及其方向，是向量，其正向与热流方向恰好相反。对于连续可导的温度场同样存在连续的温度梯度场。

在直角坐标系中： 3、导热系数 定义式：单位 导热系数在数值上等于单位温度降度(即1)下，在垂直于热流密度的单位面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数。 补充：由物质的种类、性质、温度、压力、密度以及湿度影响。 二、热量传递的三种基本方式 热量传递共有三种基本方式：热传导；热对流；热辐射 三、导热微分方程式（统一形式：） 直角坐标系： 圆柱坐标系： 球坐标系： 其中，称为热扩散系数，单位，为物质密度，为物体比热容，为物体导热系数，为热源的发热率密度，为物体与外界的对流交换系数。 补充： 1处研究的对象为各向同性的、连续的、有内热源、物性参数已知的导热物体。 2稳态温度场，即则有：，此式称为泊松方程。 3无内热源的稳态温度场，则有：，此式称为拉普拉斯方程。 四、单值条件 导热问题的单值条件通常包括以下四项： 1几何条件：表示导热物体的几何形状与大小（一维、二维或三维）

热传导方程及其定解问题的导出

第一章 热传导方程 本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇 到这类方程. §1 热传导方程及其定解问题的导出 1.1热传导方程的导出 物理模型 在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化. 以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律 物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和 . 在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律. 设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3), q 是热流密度(焦耳/秒·米2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒). 注意到在dt 时段内通过D 的边界D ?上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ?-(n 是 D ?的外法向),从而由能量守恒律,我们有 ,)||(21 21 120??????????+?-=-?==t t D t t D D t t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρ （1.1） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比 ,u k q ?-= （梯度? ?? ? ????????==?z u y u x u gradu u ,,） （1.2） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.

热传导方程的求解

应用物理软件训练 前言 MATLAB 是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，和Mathematica、Maple 并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其

他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。 本部分主要介绍如何根据所学热传导方程的理论知识进行MATLAB数值实现可视化。

题目：热传导方程的求解 目录 一、参数说明 (1) 二、基本原理 (1) 三、MATLAB程序流程图 (3) 四、源程序 (3) 五、程序调试情况 (6) 六、仿真中遇到的问题 (9) 七、结束语 (9) 八、参考文献 (10)

一、参数说明 U=zeros(21,101) 返回一个21*101的零矩阵 x=linspace(0,1,100);将变量设成列向量 meshz(u)绘制矩阵打的三维图 axis([0 21 0 1]);横坐标从0到21，纵坐标从0到1 eps是MATLAB默认的最小浮点数精度 [X,Y]=pol2cart(R,TH);效果和上一句相同 waterfall(RR,TT,wn)瀑布图 二、基本原理 1、一维热传导问题 （1）无限长细杆的热传导定解问题 利用傅里叶变换求得问题的解是： 取得初始温度分布如下 这是在区间0到1之间的高度为1的一个矩形脉冲，于是得 （2）有限长细杆的热传导定解问题

数理方法第二章热传导方程习题答案

第 二 章 热 传 导 方 程 §1 热传导方程及其定解问题的提 1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律 dsdt u u k dQ )(11-= 又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。 解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。记杆的截面面积4 2 l π为S 。由假设，在任意时刻t 到t t ?+内流入 截面坐标为x 到x x ?+一小段细杆的热量为 t x s x u k t s x u k t s x u k dQ x x x x ????=???-???=?+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+一小段中产生的热量为 ()()t x s u u l k t x l u u k dQ ??--=??--=111124π 又在时刻t 到t t ?+在截面为x 到x x ?+这一小段内由于温度变化所需的热量为 ()()[]t x s t u c x s t x u t t x u c dQ t ????=?-?+=ρρ,,3 由热量守恒原理得： ()t x s u u l k t x s x u k t x s t u c x t ??-- ????=????11 2 24ρ 消去t x s ??，再令0→?x ，0→?t 得精确的关系： ()11 224u u l k x u k t u c -- ??=??ρ 或 ()()11 22 2112244u u l c k x u a u u l c k x u c k t u --??=--??=??ρρρ 其中 ρ c k a =2 2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。 解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt n u D dM ??-=，其中D 为扩散系数，得 ?????= 2 1 t t s dsdt n u D M 浓度由u 变到2u 所需之溶质为 ()()[]???????????ΩΩΩ ??=??=-=2 12 1121,,,,,,t t t t dvdt t u C dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M 两者应该相等，由奥、高公式得： ????????Ω Ω??==????????? ??????+???? ??????+??? ??????=2 12 11t t t t dvdt t u C M dvdt z u D z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形1=C 。由于21,,t t Ω的任意性即得方程： ?? ? ??????+???? ??????+??? ??????=??z u D z y u D y x u D x t u C 3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以()t Q 表示它在单位体积中所储的热量，0Q 为初始时刻所储的热量，则Q dt dQ β-=，其中β为常数。又假设砼的比热为c ，密度为ρ，热传导系数为k ，求它在浇后温度u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由 Q dt dQ β-=及00Q Q t ==得()t e Q t Q β-=0。由假设，放热速度为 t e Q ββ-0 它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，(1.7)式得 ??? ? ??-=+??? ? ????+??+??=??-ρρββc k a e c Q z u y u x u a t u t 20222222 2

热传导方程傅里解

热传导方程傅里解

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达： 其中： ?u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。 ?/是空间中一点的温度对时间的变化率。 ?, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。 ?k决定于材料的热传导率、密度与热容。 热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。 如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。 热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。 热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。 利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式

其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。 热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与 Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。 就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。 以傅里叶级数解热方程[编辑] 以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下： 其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。 ?x是空间变量，所以x∈[0,L]，其中L表示棍子长度。

热传导方程

4热传导方程 §1方程的导出和定解问题 §2初值问题 §3有界域上的定解问题 §4应用举例—————————————————————————————————————— 1 方程的导出和定解问题 1. 1热传导方程 由于温度分布不均匀，热量从介质中温度高的地方流向温度低的地方称为热传导。介质内部的温度分布用函数u(x,y,z,t)表示。 定义热流密度q (x,y,z,t ) 为单位时间里通过单位横截面积的热量。 Fourier定理热流密度q与温度函数u的梯度成正比，比例系数k称为导热系数，记为 q= -k▽u (4.1) 在介质内部取一体积元，在x, x+dx ; y , y+dy ; z , z+dz 间，如图4.1 图4.1 体积元 热流从一个面流入，则会从另一个面穿出，净流人体积元的热量等于从一些面元流入的减去从其它面元流出的热量．这里符号规则规定热流流出为正．单位时间内流入小体积元内的总热量dQ为 dxdydz u k dxdy q q dxdz q q dydz q q dQ z z dz z z y y dy y y x x dx x x ) ()| | ( )| | ( )| | ( ?? =- - - - - - = ++ + 如果小体积元内无热源，则小体积元的温度变化正比于流入净热量，由比热定律有

dxdydzdt u k dudxdydz c )(??=ρ ( 4.2 ) 其中C 是介质的比热，ρ是质量密度．对于均匀和各向同性的介质， k c ,,ρ 都是正常数，式(4.2)可写成 Ω∈=?-a y x u a u t ,,022 其中c k a ρ/2=成为热导率。其大小取决于介质性质。表4.1列出部分材料的热导率。 表 4.1 部分材料的热导率 a 2 (cm 2/sec ) 银 1.71 铜 1.14 铝 0.86 铁 0.12 若物体内部有热源，比如有电流或有化学反应做出热量，将单位时间单位体积产热率称为热密度，记为 F= ( x , y , z , t )．那么，在式（4．2）右边应加上Fdxdydzdt 如如何一项．从而，导出非齐次热传导方程 ),,,(22t z y x f u a u t =?- ( 4.4 ) 其中，ρc F t z y x f /),,,(= 定解条件 ① ① 初始条件 ),,(),,,(z y x o z y x u ?= ( 4.5 ) 热传导方程只需一个初值条件，是因为热传导方程只含有u 对时间一阶偏导数u t 。 ②边界条件 当研究有界区域Ω内温度分布，边界条件通常有三大类 ( i )第一类边界条件 若已知区域边界上温度分布，则可以归结为第一类边界条件： ),,,(|)0,,,(1t z y x u z y x u =Ω? ( 4.6 ) 其中，Ω?是区域Q 的边界，),,(1z y x u 是Ω?上已知函数． ( ii )第二类边界条件 若已知区域边界上每一点的热流密度。由Fourier 定律，这实际上表示温度u 沿界面的法向导数是已知的，则可归结为第二类边界条件。 ),,,(2t z y x u n u =??Ω? ( 4.7 ) 其中, ),,,(2t z y x u 是边界上的已知函数。n 为Ω?的外法线方向的单位向量．值得注意的是，

3热传导方程的初边值问题

例4 周期初始温度分布 求解热传导方程t xx u u =,(,0)x t -∞<<+∞>给定初始温度分布 (,0)1cos 2,()u x x x =+-∞<<+∞。 解 4(,)1cos2t u x t e x -=+. 初始高斯温度分布 例 5求解定解问题22 22 0,(,0) (,0),()kx u u a x t t x u x e x -???-=-∞<<+∞>?????=-∞<<+∞? ， 其中常数0k >. 解 22()4(,)()x s a t u x t s e ds ?-- +∞ -∞ = ? 22 2()4x s ks a t e e ds -- +∞ --∞ = ? 222 2(41)24ka t s xs x a t e ds +-+- +∞ -∞ = ? 222 22224(41)()41414x ka t ka t s x ka t ka t a t e ds +- +++- +∞ -∞ = ? 22 2 222(41)()41 441 k ka t x x s ka t a t ka t e e ds +---+∞ ++-∞ = ? 2241 k x ka t e - += 2241 k x ka t - += . §3初边值问题 设长度为l ,侧表面绝热的均匀细杆,初始温度与细杆两端的温度已知,则杆上的温度分布 ),(t x u 满足以下初边值问题 ?? ? ??≤<==≤≤=<<<<=-T t t g t l u t g t u l x x x u T t l x t x f u a u xx t 0),(),(),(),0(,0), ()0,(0,0),,(212? 对于这样的问题,可以用分离变量法来求解. 将边值齐次化

热传导方程抛物型偏微分方程和基本知识

1. 热传导的基本概念 1.1温度场 一物体或系统内部，只要各点存在温度差，热就可以从高温点向低温点传导， 即产生热流。因此物体或系统内的温度分布情况决定着由热传导方式引起的传热速率（导热速率）。 温度场：在任一瞬间，物体或系统内各点的温度分布总和。 因此，温度场内任一点的温度为该点位置和时间的函数。 〖说明〗 若温度场内各点的温度随时间变化，此温度场为非稳态温度场，对应于非稳 态的导热状态。 若温度场内各点的温度不随时间变化，此温度场为稳态温度场，对应于稳态 的导热状态。 若物体内的温度仅沿一个坐标方向发生变化，且不随时间变化，此温度场为 一维稳态温度场。 1.2 等温面 在同一时刻，具有相同温度的各点组成的面称为等温面。因为在空间同一点不可能同时有两个不同的温度，所以温度不同的等温面不会相交。 1.3 温度梯度 从任一点起沿等温面移动，温度无变化，故无热量传递；而沿和等温面相交 的任一方向移动，温度发生变化，即有热量传递。温度随距离的变化程度沿法向最大。 温度梯度：相邻两等温面间温差△t与其距离△n之比的极限。 〖说明〗 温度梯度为向量，其正方向为温度增加的方向，与传热方向相反。 稳定的一维温度场，温度梯度可表示为：grad t = dt/dx

2. 热传导的基本定律——傅立叶定律 物体或系统内导热速率的产生，是由于存在温度梯度的结果，且热流方向和 温度降低的方向一致，即与负的温度梯度方向一致，后者称为温度降度。 傅立叶定律是用以确定在物体各点存在温度差时，因热传导而产生的导热速率大小的定律。 定义：通过等温面导热速率，与其等温面的面积及温度梯度成正比： q = dQ/ds = -λ·dT/dX 式中：q 是热通量（热流密度），W/m2 dQ是导热速率，W dS是等温表面的面积，m2 λ是比例系数，称为导热系数，W/m·℃ dT / dX 为垂直与等温面方向的温度梯度 “－”表示热流方向与温度梯度方向相反 3. 导热系数 将傅立叶定律整理，得导热系数定义式： λ= q/(dT/dX) 物理意义：导热系数在数值上等于单位温度梯度下的热通量。因此，导热系 数表征物体导热能力的大小，是物质的物性常数之一。其大小取决于物质的组成结构、状态、温度和压强等。 导热系数大小由实验测定，其数值随状态变化很大。 3.1 固体的导热系数 金属：35～420W/(m·℃)，非金属：0.2～3.0W/ (m·℃) 〖说明〗

传热学第二章答案

第二章 思考题 1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。 答：傅立叶定律的一般形式为： n x t gradt q ??-=λλ＝－，其中：gradt 为空间某点的温度梯度；n 是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q 为该处的热流 密度矢量。 2 已知导热物体中某点在x,y,z 三个方向上的热流密度分别为y x q q ,及z q ，如何获得该点的 热密度矢量？ 答：k q j q i q q z y x ?+?+?=，其中k j i ,,分别为三个方向的单位矢量量。 3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。 答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。 4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。 答：① 第一类边界条件：)(01ττf t w =>时， ② 第二类边界条件： )()( 02τλτf x t w =??->时 ③ 第三类边界条件： )()( f w w t t h x t -=??-λ 5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。 答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。 7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？ 答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。 6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？ 答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。 8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？ 答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。 9 肋片高度增加引起两种效果：肋效率下降及散热表面积增加。因而有人认为，随着肋片高度的增加会出现一个临界高度，超过这个高度后，肋片导热热数流量反而会下降。试分析这一观点的正确性。 答：错误，因为当肋片高度达到一定值时，通过该处截面的热流密度为零。通过肋片的热流已达到最大值，不会因为高度的增加而发生变化。 10 在式（2-57）所给出的分析解中，不出现导热物体的导热系数，请你提供理论依据。 答：由于式（2-57）所描述的问题为稳态导热，且物体的导热系数沿x 方向和y 方向的数值相等并为常数。 11 有人对二维矩形物体中的稳态无内热源常物性的导热问题进行了数值计算。矩形的一个边绝热，其余三个边均与温度为f t 的流体发生对流换热。你能预测他所得的温度场的解吗？ 答：能，因为在一边绝热其余三边为相同边界条件时，矩形物体内部的温度分布应为关于绝热边的中心线对称分布。 习题

第四章导热问题的数值解法

第四章导热问题的数值解法 1 、重点内容：①掌握导热问题数值解法的基本思路； ②利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。 §4—1导热问题数值求解的基本思想及内节点方程的建立由前述 3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种： （１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法 数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。 一．分析解法与数值解法的异同点： ?相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ， y ， z) ；② 。 ?不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。 数值求解的基本思路及稳态导热内节点离散方程的建立 二．解法的基本概念 ?实质 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图 4-1 表示。 由此可见： 1 ）物理模型简化成数学模型是基础； 2 ）建立节点离散方程是关键； 3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。 ?数值求解的步骤 如图 4-2 （ a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：（1）建立控制方程及定解条件 针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（ a ） 边界条件： x=0 时， x=H 时， 当 y=0 时，

第八章 热传导和扩散问题的傅里叶解

第八章 热传导方程的傅里叶解 第一节 热传导方程和扩散方程的建立 8.1.1 热传导方程的建立 推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。 热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用(,,,)u x y z t 表示介质内空间坐标为的一点在t 时刻的温度。若沿x 方向有一定的温度差，在x 方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x 方向的单位面积的热量q 与温度的沿x 方向的空间变化率成正比，即 x u q k x ?=-? （8-1.1） q 称为热流密度，k 称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相 反，即热量由高温流向低温。 研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有 x u q k x ?=-?，y u q k y ?=-?，z u q k z ?=-? 或 q k u =-?r 即热流密度矢量q r 与温度梯度u ?成正比。 下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。 第一步，定变量。研究介质x 位置处在t 时刻的温度(,)u x t 。 第二步，取局部。在介质内部隔离出从x 到x x +?一段微元长度，在t 到t t +?时间内温度的变化(,)(,)u u x t t u x t ?=+?-。 第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A ，质量密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k 。

第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t 到t t +?时间内吸收的热量为： Q c m u c A x u ρ=????=???? （8-1.2） 在t 到t t +?时间内，同过x 位置处的横截面的热量为： 1x x x Q q A t k u A t =???=-?? （8-1.3） 在t 到t t +?时间内，同过x x +?位置处的横截面的热量为： 2x x x x x Q q A t k u A t +?+?=???=-?? （8-1.4） 如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为(,)F x t ，则该热源在微元内产生的热量为： (,)3Q F x t t A x =???? （8-1.5） 第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。 123Q Q Q Q =-+ 即 (,)x x x x x c A x u k u A t k u A t F x t t A x ρ+?????=-??+??+???? (,)x x x x x u u u c k F x t t x ρ+?-??? =+?? 得到： (,)t xx k F x t u u c c ρρ = + 令 a = (,)(,)F x t f x t c ρ= 则得到热传导方程为 (,)2t xx u a u f x t =+ （8-1.6） 当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为 2t xx u a u = （8-1.7） 8.1.2 扩散方程的建立

(完整word版)MATLAB编辑一维热传导方程的模拟程序.doc

求解下列热传导问题： 2T 1 T 0 z L z 2 0 t T z,0 1 z 2 T 0, t 1, T L,t 0 L 1, 1 程序： function heat_conduction() % 一维齐次热传导方程 options={' 空间杆长 L',' 空间点数 N' ,' 时间点数 M',' 扩散系数 alfa',' 稳定条 件的值 lambda( 取值必须小于 0.5)',}; topic='seting'; lines=1; def={'1','100','1000','1','0.5'}; h=inputdlg(options,topic,lines,def); L=eval(h{1}); N=eval(h{2}); M=eval(h{3}); alfa=eval(h{4}); lambda=eval(h{5});%lambda 的值必须小于 0.5 %*************************************************** h=L/N;%空间步长 z=0:h:L; z=z'; tao=lambda*h^2/alfa;% 时间步长 tm=M*tao;%热传导的总时间 tm t=0:tao:tm; t=t'; %计算初值和边值 T=zeros(N+1,M+1); Ti=init_fun(z); To=border_funo(t); Te=border_fune(t); T(:,1)=Ti; T(1,:)=To; T(N+1,:)=Te; %用差分法求出温度 T 与杆长 L 、时间 t 的关系 for k=1:M m=2; while m<=N T(m,k+1)=lambda*(T(m+1,k)+T(m-1,k))+(-2*lambda+1)*T(m,k); m=m+1; end;

第三章热传导方程小结

第三章热传导方程 一、 小结 求解偏微分方程定结问题的另一个常用的方法是积分变换法。本章只限于介绍有广泛应用的傅立叶变换法。应用分离变量法与傅立叶变换法提供了热传导方程混合问题与初值问题的求解方法。 1．混合问题 一维齐次热传导方程带有齐次边界条件的混合问题，仍可用分离变量法求解。例如混合问题 2(0,0(I)(,0)()(0,)(,)0)t xx u a u t x l u x x u t u l t ??=><∈形式解（）就是问题（）的解，且当时， 对于方程或边界条件是非齐次的情况,处理方法和弦振动方程类似,可通过适当变换、叠加原理、齐次化原理化为问题（I ）。 对于高维热传导方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的问题。后者对某些特殊区域仍可用分离变量法求解。解本征值问题时，通常得到本征函数系是类特殊函数。 2．初值问题 无界杆热传导方程的初值问题 2(,)(0,(II)(,0)())t xx u a u f x t t x u x x ??=+>-∞<<∞??=?? 可用傅立叶变换求解，得形式解的表达式（泊松公式）为 2 222()()4() 40 (,)()(2)x x t a t a t u x t e d d d ξξτ?ξξξτ --- - ∞ ∞ --∞ = ? (,),(,)(-,),0,(2)C f x t t ?∈-∞+∞∞+∞>当且有界，在内连续可微且有界时则给出问

热传导方程

2.1初边值问题的求解 初边值问题???????=+=====<<>=-)4.2.......(.................... 0:)3.2.....(.............................. 0:0)2.2.....(....................).........(:0)1.2().........0,0(02hu u l x u x x u t l x t u a u x xx t ? 其中h 为正常数。 用分离变量求解。令)()(),(t T x X t x u =，这里)()(t T x X 和分别表示仅与x 有关和仅与t 有 关的函数。把它代入方程，得到T X a T X ' '='2,即X X T a T ''='2.这等式只在两边均等于常数时才成立。令此常数为λ-，则有 ) 6.2.......(..........0)5.2......(..........02=+''=+'X X T a T λλ 先考虑（2.6）.根据边界条件（2.3）、（2.4），)(x X 应当满足边界条件 )7.2.(..........0)()(,0)0(=+'=l hX l X X 对于边值问题（2.6）、（2、7），分类进行讨论。 ①当0≤λ时，只有平凡解;0≡X ②当0>λ时， )8.2.........(sin cos )(x B x A x X λλ+= 利用边界条件().000==A X ，得于是（2.7）的第二个边界条件得到 ()9.2.................0)sin cos (=+l h l B λλλ 为使)(x X 为非平凡解，λ应满足 )10.2(..........0sin cos =+l h l λλλ 即λ应是下述超越方程的正解： )11.2(..........tan h l λλ- = 令 )12.2.......(..........l v λ= 则（2.11）式变为 )13.2.........(tan lh v v - = 利用图解法或数值求解法可得出这个方程的根。方程（2.13）有可列无穷多个正根