六年级奥数.杂题.构造与论证(ABC级).教师版

（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题.

（2） 利用基本染色去解决相关图论问题．

各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．

组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色．

一、 最佳安排和选择方案

【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到

第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次?

【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234；

现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123；

现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312；

最后将第1卷和第2卷对调即可．

所以，共需调换4+3+2+1=10次．

例题精讲

重难点

知识框架

构造与论证

【答案】10次

【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数．

本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数．

【答案】偶数

【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有

10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一

场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜

几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?

【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答

【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高．

当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得

10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛

共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111

3

，推知，必

有人得分不超过11分.

也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.

【答案】胜3场

【巩固】 n 支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，

平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问：

（1）n =4是否可能？

（2）n =5是否可能？

【考点】构造与论证 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 （1）我们知道4个队共进行了2

4C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为

24C ×2=12.因为每一队至少胜一场，

所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以 4个队得分最少2+3+4+5=14＞12，不满足.即n =4不可能。

（2）我们知道5个队共进行25C 场比赛，而每场比赛有2分产生，所以4个队的得分总和为25C ×2=20.

因为每一队至少胜一场，所以得分最低的队至少得2分，又要求每个队的得分都不相同，所以5个队得分最少为2+3+4+5+6=20，满足.即n =5有可能.但是我们必须验证是否存在实例.如下所示，A 得2分，C 得3分，D 得4分，B 得5分，E 得6分.其中“A B ”表示A 、B 比赛时，A 胜B ；“B --C ”表示B 、C 比赛时，B 平C ，余下类推.

【答案】（1）不可能 （2）可能

【例 3】 如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任

意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M .求M 的最小值并完成你的填图.

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的．

因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5×(1+2+3+…+10)=275．

每次和都小于等于朋，所以10M大于等于275，整数M大于28．

下面来验证M=28时是否成立，注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27．因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为1，这样从1填起，容易排出适当的填图.

【答案】

【巩固】如图，在时钟的表盘上任意作9个120°的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数．并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立．

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【关键词】2009年，清华附中，入学测试

【解析】略．

【答案】要在表盘上共可作出12个不同的扇形，且1～12中的每个数恰好被4个扇形覆盖．将这12个扇形分为4组，使得每一组的3个扇形恰好盖住整个表盘．那么，根据抽屉原理，从中选择9个扇

形，必有

9

13

4

??

+=

??

??

个扇形属于同一组，那么这一组的3个扇形可以覆盖整个表盘．

另一方面，作8个扇形相当于从全部的12个扇形中去掉4个，则可以去掉盖住同一个数的4个扇形，这样这个数就没有被剩下的8个扇形盖住，那么这8个扇形不能盖住整个表盘

【例4】在1997×1997的正方形棋盘上的每格都装有一盏灯和一个按钮．按钮每按一次，与它同一行和同一列方格中的灯泡都改变一次状态，即由亮变为不亮，或由不亮变为亮．如果原来每盏灯都

是不亮的，请说明最少需要按多少次按钮才可以使灯全部变亮?

【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答

【解析】最少要1997次，将第一列中的每一格都按一次，则除第一列外，每格的灯都只改变一次状态，由不亮变成亮．而第一列每格的灯都改变1997次状态，由不亮变亮．如果少于1997次，则至少有一列和至少有一行没有被按过，位于这一列和这一行相交处的灯保持原状，即不亮的状态．【答案】1997次

【例5】1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数．现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．那么，选为仪仗队的运动

员最少有多少人?

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?

考虑到44的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式．因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，…，44这43个数．

但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?构造2×97，3×96，4×95，…，44×45，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43为最小值，即为所求.

【答案】43

【巩固】一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和.问：这组数之和的最小值是多少?当取到最小值时，这组数是怎样构成的?

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】首先把这组数从小到大排列起来，那么最小的肯定为1，1后面只能是1的2倍即2，2后面可以是3或4，3的后面可以是4，5，6；4的后面可以是5，6，8．最大的为25．下面将所有的可能情况列出：

1，2，3，4，…，25所有的和是35；

1，2，3，5，…，25所有的和是36；

1，2，3，6，…，25所有的和是37；

1，2，4，5，…，25所有的和是37；

1，2，4，6，…，25所有的和是38；

1，2，4，8，…，25所有的和是40.

25是奇数，只能是一个偶数加上一个奇数．在中间省略的数中不能只有1个数，所以至少还要添加两个数，而且这两个数的和不能小于25，否则就无法得到25这个数．要求求出最小值，先看这两个数的和是25的情况，因为省略的两个数不同于前面的数，所以从20+5开始．

25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+11=13+12．

这些数中20，19，18，17太大，无法产生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12．

看这些谁能出现和最小的1，2，3，4，…，25中，检验发现没有可以满足的：

再看1，2，3，5，…，25，发现1，2，3，5，10，15，25满足，所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61 【答案】1+2+3+5+10+15+25=36+25=61

【例6】2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的获胜。甲、乙轮流取，如果甲先取，如何才能保证赢？

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】先从简单的情况看起，看看棋子数量较少时，在什么情况下先取者胜，什么情况下后取者胜．可以列表如下：

棋子数是1～8时比较容易看得出来是先取者胜还是后取者胜，可以看出只有棋子数是2枚和8枚时是后取者胜，其他情况下都是先取者胜．

当棋子数大于8时，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子数变成前面已有的棋子数．先取者为了取胜，第一次取后，应该使剩下的棋子数是后取者胜的情况，比如变成剩下2枚或8枚．这样推下去，可以发现只有当棋子数是8的倍数或者除以8余2时，是后取者胜，其他情况下是先取者胜．

题目中有2004枚棋子，除以8余4，所以先取者肯定可以取胜．不过取胜的策略比较灵活，不能明确地说每次后取者取多少枚先取者就相应地取多少枚，应该从除以8的余数来考虑：

⑴先取者第一次可以先取4枚，这样还剩下2000枚，2000除以8的余数是0；

⑵先取者为了保证获胜，在每一次后取者取了之后，先取者再取的时候，应该使得自己取后剩下

的棋子数是8的倍数或者除以8余2；

⑶后取者每次可以取1，3，4，7枚，每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，所以

每次后取者取后剩下的棋子数除以8的余数是7，5，4，1或1，7，6，3.

所以接下来先取者可以对应地取7，3，4，1或1，7，4，3枚棋子，这样剩下的剩下的棋子数除以8的余数为0，2，0，0或0，0，2，0.

这样就保证了第⑵点．

⑷每次先取者取后剩下的棋子数除以8的余数是0或2，那么最后一枚棋子肯定是先取者取得，

所以先取者获胜．

【答案】见解析

【巩固】桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁获胜．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答

【解析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论

对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜．现在桌上有55根火柴，55÷4=13……3，所以只要甲第一次取走3根，剩下52根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜．

【答案】甲必胜

【巩固】桌子上放着55根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根．规定谁取走最后一根火柴谁输．如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？

【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答

【解析】因为最后留给对方1根火柴者必胜，按照逆推的方法分析，只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜．甲先取，只要第一次取2根，剩下53根（53除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给以，甲必胜．

【答案】甲必胜

【例7】桌上有两堆棋子，分别有12粒和28粒，甲乙两人轮流从其中的一堆里取出若干粒，不能同时在两堆中都取，也不能不取．且取出的棋子数必须是另一堆棋子数的约数．取到最后一粒者为

胜．如果甲先取，____________采用正确的策略，必胜．

【考点】构造与论证【难度】5星【题型】解答

【关键词】2007年，迎春杯，六年级，初赛

【解析】从棋子数较少的时候开始分析．如果两堆棋子个数相等，则后取的一方有必胜策略，先取的一方从一堆里面取几个，后取的一方就可以从另一堆里面取几个．如果较少的一堆只有1个棋子，则如果取走这个棋子，对方必胜（任何数都是0的约数，可以一次取走），所以只有取较多的一堆的棋子，而且只能取1个，所以可以分析出，较多的一堆有奇数个棋子时，后取者有必胜策略；

较多的一堆有偶数个棋子时，先取者有必胜策略．如果较少的一堆有2个棋子，此时如果较多的一堆有奇数个棋子，根据前面的分析，先取者可以从2个棋子的一堆中取走1个而获胜；如果较

多的一堆有偶数个棋子，根据前面的分析，如果一方从某一堆中取走奇数个棋子，则对方有必胜策略；如果从较多的一堆中取走2个棋子，则可以分析出，较多的一堆棋子数被4除余2时，后取者有必胜策略；较多的一堆棋子数被4整除时，先取者有必胜策略．继续分析，可总结一般规律：如果两堆棋子数目写成二进制后，末尾0的个数相等(包含同为0个，也就是都是奇数的情况)，则后取的一方有必胜策略，否则先取的一方有必胜策略．考虑二进制表达式，分别是1100和11100．0的个数相等，所以乙有必胜策略．如果两堆的末尾0的个数相等，例如都有n个．则从一堆中取的棋子数目末尾的0至多n个．如果取的棋子数目末尾的0个数为n，则相减后会发现所得的差的末尾0的个数超过n；如果取的棋子数目末尾的0个数小于n，则相减后会发现所得的差的末尾0的个数也小于n．所以，从0的个数相等的状态取一次只能到达0的个数不相等的状态．另一方面，从0的个数不相等的状态，总可以从0较多的一堆取出和0较少的一堆的0个数一样多的棋子，这样两堆末尾0的个数就一样多了．

【答案】乙

【巩固】有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根．两人轮流在其中任一堆中拿取,取的根数不限,但不能不取.规定取得最后一根者为胜者.如果都采用最佳方法，那么谁将获胜？

【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答

【解析】先取者在35根一堆的火柴中取11根火柴,使得取后剩下两堆的火柴数相同以后无轮对手在某一堆取几根火柴,你只需在另一堆也取同样多根的火柴只要对手有火柴可取,你也有火柴可取,也就是说,最后一根火柴总会被你拿到.这样先取者胜.

【答案】先取者胜

【例8】小明的左衣袋和右衣袋中分别装有6枚和8枚硬币，并且两衣袋中硬币的总钱数相等。当任意从左边衣袋取出两个硬币与右边衣袋的任意两个硬币交换时，左边衣袋的钱总数要么比原来的

钱数多2分，要么比原来的钱数少2分，那么两个衣袋中共有多少分钱？

【考点】构造与论证【难度】2星【题型】解答

【解析】【解析】首先考虑两枚硬币在一起能组成多少种面值，（2分（1+1），3分（2+1），4分（2+2），

6分（5+1），7分（5+2），10分（5+5）），因为题意中都是围绕着左边衣袋来说的，所以将此处作为题目的突破口，列表如下：

由表中很容易得出，只有当左手为4分时，题意才成立，那么易判断出，左手口袋中6枚硬币应都是2分面值，那么左边口袋总值为12分，右边也应为12分，所以共有24分。（教师在此处不妨问学生右边口袋应该是怎样的构成：6分或2分的是由1分和5分组成的，5分的数量如果多于2个，考虑最差情况，会摸出10分的情况，所以只能是1个5分，7个1分。）

【例9】在10×19方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和．问最多能得到多少个不同的和数?

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0，1，2，3，4，…，18，19这20个．

下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现．

如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能．

如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.

【答案】19

【例10】在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子?

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行(某列)有空格，必空偶数格．而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格．由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格．其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意．此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示．

【答案】48

【巩固】【巩固】在下图中有16个黑点，它们排成了一个4×4的方阵．用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形．现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】至少要除去6个点，如下所示为几种方法：

【答案】6个

【例11】用数字0和1组成的88个数围成一圈，使得其中任意连续的32个数中最多有9个1。求证:这88个数中至多有24个1。

【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答

【解析】略．

【答案】用反证法,

设:满足条件:"用数字0和1组成的88个数围成一圈，使得其中任意连续的32个数中最多有9个1"的数字圈中,1的个数多于24,不妨设有25个1.

从任意一个数开始,顺序取: 第1---32个数为A组,33---64为B组,65--88这24个数为C组.

由于A,B组中1的个数都不超过9,故C组中1的个数必不小于7.由此推出:任意连续的24个数中1的个数必不小于7.

再次从任意位置开始,顺序取: 1--24, 25----48, 49---72, 73---88, 分为4 组,由于前三组中1的个数都不小于7,即前三组中1的总数不少于21,故最后一组:73----88这18个数中,1的个数不得多于4个. 由此, 知任意连续的18个数中1的个数不得不得多于4.

再次从任意位置开始,顺序取: 1--18, 19---36, 37---54, 55---72, 73--88. 分为5 组,由于其中1的个数

六年级奥数竞赛试题及答案

六年级奥数竞赛试题 一.计算: ⑴. =?+???+?+?+?100991431321211 ⑵. 13471711613122374?+?+?= ⑶. 222345567566345567+??+= ⑷. 45 13612812111511016131+++++++= 二.填空: ⑴.甲、乙两数是自然数,如果甲数的 65恰好是乙数的4 1.那么甲、乙两数之和的最小值是 . ⑵.某班学生参加一次考试,成绩分优、良、及格、不及格四等.已知该班有21的学生得优,有31的学生得良,有71的学生得及格.如果该班学生人数不超过60人,则该班不及格的学生有 人. ⑶.一条公路,甲队独修24天完成,乙队独修30天完成.甲乙两队合修若干天后,乙队停工休息,甲队继续修了6天完成,乙队修了 天. ⑷. 用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数. ⑸.“IMO ”是国际数学奥林匹克的缩写,把这三个字母写成三种不同颜色,现有五种不同颜色的笔,按上述要求能写出 _______种不同颜色搭配的“IMO ”. ⑹不定方程172112=+y x 的整数解是 . ⑺一个正方体的表面积是384平方分米，体积是512立方分米，这个正方体棱长的总和是 .

⑻. 把19个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如右图所示的立方体, 这个立方体的表面积是 平方厘米. ⑼.两车同时从甲乙两地相对开出,甲每小时行48千米,乙车每小时行54千米,相遇时两车离中点36千米,甲乙两地相距 千米. ⑽.六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车又会游泳的4人,问两样都不会的有 _人. ⑾.从学校到少年宫有4条东西的马路和3条南北的马路相通(如图),李楠从学校出发,步行到少年宫(只许向东或向南行进),最多有 种走法. ⑿.算出圆内正方形的面积为 . ⒀.如图所求,圆的周长是厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周 长是 厘米.)14.3(=π ⒁.一付扑克牌共有54张(包括大王、小王),至少从中取 张牌,才能保证其中必有3种花色. ⒂.规定:6※2=6+66=72,2※3=2+22+222=246, 1※4=1+11+111+1111=※5= . ⒃.甲、乙、丙、丁四位学生在广场上踢足球，打碎了玻璃窗，有人问他们时，他们这样说： 甲：“玻璃是丙也可能是丁打碎的”； 乙：“是丁打碎的”； 丙：“我没有打坏玻璃”； 丁：“我才不干这种事”； 深深了解学生的老师说：“他们中有三位决不会说谎话”。那么，到底是谁打碎了玻璃 答: 是 打碎了玻璃。 北 少年宫 学校6厘米

六年级奥数测试题

1、一个慢钟，每小时慢2分钟，问24小时之内，这个慢钟的时针和分针共重合多少次？ 2、A 港在B 港的上游，小船从A 港出发，在A 港与B 港之间往返航行速度为每小时16千米，水速为每小时4千米，出发后20小时，小船在A 港下游8千米处向B 港行驶，若已知两港的距离大于100千米，问：两港的距离是多少千米？ 3、小马在体育场卖饮料，雪碧每瓶4元，汽水每瓶7元，开始时他有350瓶饮料，虽然没有全部卖完，但他的销售收入恰好是2009元。试问：他至少卖了多少瓶饮料？ 4、点P 位三角形ABC 一点，使得角PBC 等于30°，角PBA 等于8°，且角PAB 等于角PAC 等于22°。请问角APC 等于多少度？ 5、有数量充足的六种不同颜色的皮球排成一列，使得对任意两种不同的颜色，在列中都存在两个相邻的皮球是这两种颜色。求这一列必须最少排放多少个皮球？ 6、两个两位数，若它们的乘积恰由相同的数码组成，则这两个数就称为一对“玉兔数”。比如24×37=888，因此（24,37）就是一对“玉兔数”。请问“玉兔数”共有多少对，请写出来。 7、13 14451,415161344556???计算：＋＋ 2、44444455555556()44444485555559 3、5454545454()9797979797 8、汽车以每时72千米的速度从甲地到乙地，到达后立即以每时48千米的速度返回甲地。求该车的平均速度。 9、五年级有学生75人，年龄最大的是13岁，最小的是11岁，那么其中必有多少名是同年同月出生的？ 10、求右图中阴影部分的面积。（单位是厘米） 11、阳光杯数学竞赛好表示各位数字互不相同且能被72整除的八位数，那么这个八

六年级奥数分数应用题经典例题加练习带答案

一．知识的回顾 1.工厂原有职工128人，男工人数占总数的1 4 ，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的 2 5 ，这时工厂共有职工 人． 【解析】 在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为1 128(1)964 ?-=人， 调入后女职工占总人数的23155-=，所以现在工厂共有职工3 961605 ÷=人． 2.有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5 2 倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶 油的质量是乙桶的4 3 倍，乙桶中原有油 千克． 【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的55 527 =+，甲桶中倒出5千克后剩下的油的 质量是两桶油总质量的44 437 =+，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 545()3577÷-=千克，乙桶中原有油2 35107 ?=千克． 【例 2】 （1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比 元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？ 【解析】 （1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： ()10 11+10%= 11 ÷，三月份产量为：110%=0.9-，因为 10 11 ＞0.9，所以三月份比元月份减产了 （2）设商品的原价是1，涨价后为1+15%=1.15，降价15%为： ()1.15115%=0.9775?-，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价降低了。

【巩固】 把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1 13倍，一队人数是三队人数的11 4 倍，那么四队有多少个人? 【解析】 方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：13 113 4 ÷= ，三队的人数是：141145÷=，345114520++=，因此，一、二、三队之和是：一队人数5120 ?，因为 人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51?(某一整数)， 因为这是100以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人．而四队有：1005149-=(人)． 方法二：设二队有3份，则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有[4,5]20=份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为15162051++=份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有1005149-=人(人). 【例 3】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 25，美术班人数相当于另外两个班人数的3 7，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？ 【解析】 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的22 527 =+，美术班的学生人数是所 有班人数的337310=+，所以体育班的人数是所有班人数的2329 171070 --=，所以所 有班的人数为295814070 ÷=人，其中音乐班有2 140407?=人，美术班有 3 1404210 ?=人. 【巩固】 甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工20个，丙加工零件数是乙加工 零件数的45，甲加工零件数是乙、丙加工零件总数的5 6 ，则甲、丙加工的零件数 分别为 个、 个． 【解析】 把乙加工的零件数看作1，则丙加工的零件数为4 5 ，甲加工的零件数为 453(1)562+?=，由于甲比乙多加工20个，所以乙加工了3 20(1)402 ÷-=个，甲、

六年级数学上册 期末测试卷5 (含答案)

六年级数学上册 期末测试卷5 （含答案） （时间100分钟，满分100分） 得分___________ 一、填空（共20分，其中第1题、第2题各2分，其它每空1分） 1、312 吨=（ ）吨（ ）千克 70分=（ ）小时。 2、（ ）∶（ ）=40( ) =80%=（ ）÷40 3、（ ）吨是30吨的13 ，50米比40米多（ ）%。 4、六（1）班今天出勤48人，有2人因病请假，今天六（1）班学生的出勤率是（ ）。 5、0.8：0.2的比值是（ ），最简整数比是（ ） 6、某班学生人数在40人到50人之间，男生人数和女生人数的比是5∶6，这个班有男生（ ）人，女生（ ）人。 7、从甲城到乙城，货车要行5小时，客车要行6小时，货车的速度与客车的速度的最简比是（ ）。 8、王师傅的月工资为2000元。按照国家的新税法规定，超过1600元的部分应缴5%个人所得税。王师傅每月实际工资收入是（ ）元。 9、小红15 小时行38 千米，她每小时行（ ）千米，行1千米要用（ ）小时。 10、用一根长12.56米的绳子围成一个圆，这个圆的直径是（ ），面积是（ ）。 11、在一块长10分米、宽5分米的长方形铁板上，最多能截取（ ）个直径是2分米的圆形铁板。 12、请你根据图形对称轴的条数按照从多到少的顺序，在括号里填上适当的图形名称。 圆、（ ）、（ ）、长方形。 二、判断（5分，正确的打“√”，错误的打“×” ） 1、7米的18 与8米的17 一样长。 …………………………………………（ ） 2、周长相等的两个圆，它们的面积也一定相等。………………… （ ） 3、1100 和1%都是分母为100的分数，它们表示的意义完全相同。……（ ） 4、5千克盐溶解在100千克水中，盐水的含盐率是5%。…………… （ ） 5、比的前项增加10%，要使比值不变，后项应乘1.1。…………………（ ） 三、选择（5分，把正确答案的序号填在括号里） 1、若a 是非零自然数，下列算式中的计算结果最大的是（ ）。 A. a × 58 B. a ÷ 58 C. a ÷ 32 D. 32 ÷a

六年级奥数.应用题.浓度问题

一、基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质 （2） 溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质 （3） 溶液 溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比 二、基本方法 （1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解 （2） 浓度三角（如右图所示） （3） 列方程或方程组求解 （1） 重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2） 难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 重难点 知识框架 浓度问题 =100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质 溶液

例题精讲 一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题 【例1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【例2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ 【例3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？

【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克. 【例4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________． 【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题 【例5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？

小学六年级奥数测试题及答案-小学奥数题100道及答案六年级

小学六年级奥数测试题及答案 奥数（一） 一、填空题： 3．一个两位数，其十位与个位上的数字交换以后，所得的两位数比原来小27，则满足条件的两位数共有______个． 5.图中空白部分占正方形面积的______分之______. 6．甲、乙两条船，在同一条河上相距210千米．若两船相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则14小时甲赶上乙，则甲船的速度为______． 7．将11至17这七个数字，填入图中的○内，使每条线上的三个数的和相等． 8．甲、乙、丙三人，平均体重60千克，甲与乙的平均体重比丙的体重多3千克，甲比丙重3千克，则乙的体重为______千克． 9．有一个数，除以3的余数是2，除以4的余数是1，则这个数除以12的余数是______． 10．现有七枚硬币均正面（有面值的面）朝上排成一列，若每次翻动其中的六枚，能否经过若干次的 翻动，使七枚硬币的反面朝上______（填能或不能）． 二、解答题： 1．浓度为70％的酒精溶液500克与浓度为50％的酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度 是多少？ 2．数一数图中共有三角形多少个？

3．一个四位数，它的第一个数字等于这个数中数字0的个数，第二个数字表示这个数中数字1的个数，第三个数字表示这个数中数字2的个数，第四个数字等于这个数中数字3的个数，求出这个四位数． 奥数（一）答案 一、填空题： 1．（1） 3．（6个） 设原两位数为10a+b，则交换个位与十位以后，新两位数为10b+a，两者之差为（10a+b）-（10b+a）=9（a-b）=27，即a-b=3，a、b为一位自然数，即96，85，74，63，52，41满足条件．4．（99） 5．（二分之一） 把原图中靠左边的半圆换成面积与它相等的右半部的半圆，得右图，图 6．（60千米/时） 两船相向而行，2小时相遇．两船速度和210÷2=105（千米/时）；两船同向行，14小时甲赶上乙，所以甲船速-乙船速=210÷14=15（千米/时），由和差问题可得甲：（105+15）÷2=60（千米/时）．乙：60-15=45（千米/时）．

六年级奥数练习题及答案

六年级奥数练习题及答案 一 商店进了一批商品，按40%加价出售.在售出八成后，为了尽快销完，决定五折处理剩余商品，而且商品全部出售后，突然被征收了150元的附加税，这使得商店的实际利润率仅仅预期利润率的一半，那么这批商品的进价是多少元?(注：附加税算作成本) 答案与解析： 理解利润率的含义，是利润在成本上的百分比。 设进价x元，则预期利润率是40% 所以收入为(1+40%)X×0.8+0.5×(1+40%)X×0.2=1.26X 实际利润率为40%×0.5=20% 1.26X=(1+20%)(X+150) 得X=3000 所以这批商品的进价是3000元 二 甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人，求两班各有多少人? 答案与解析： 第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有(90-Χ)人。 寻等量关系：甲班人数=乙班人数×2-30人。 列方程：90-Χ=2Χ-30 解方程得Χ=40从而知90-Χ=50

第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有(2Χ-30)人。 列方程(2Χ-30)+Χ=90 解方程得Χ=40从而得知2Χ-30=50 答：甲班有50人，乙班有40人。 篇二 一 甲乙两地相距6千米.陈宇从甲地步行去乙地，前一半时间每分钟走80米，后一半的时间每分钟走70米.这样他在前一半的时间比后一半的时间多走( )米. 考点：简单的行程问题. 分析：解：设陈宇从甲地步行去乙地所用时间为2X分钟，依据题意，前一半时间和后一半的时间共走(0.07+0.08)X千米，已知甲乙两地相距6千米，由此列出方程(0.07+0.08)X=6，解方程求出一半的时间，因此前一半比后一半时间多走：(80-70)×40米，解决问题. 解答： 解：设陈宇从甲地步行去乙地所用时间为X分钟，依据题意得： (0.07+0.08)X=6 0.15X=6 X=40 前一半比后一半时间多走： (80-70)×40 =10×40 =400(米)

六年级数学期末测试题

六年级数学期末测试题 南乐县千口镇中学冯帅强 一、仔细想，认真填。（24分） 1、0.25的倒数是（），最小质数的倒数是（），的倒数是（）。 2、“春水春池满，春时春草生。春人饮春酒，春鸟弄春色。”诗中“春”字出现的次数占全诗 总字数的（）%。 5、你在教室第（）行，第（）列，用数对表示你的位置是（，）。 7、小明的存钱罐里有5角和1角的硬币共18枚，一共有5元。则5角的硬币有（）枚，1角的硬币有( )枚。 9、我国规定，如果个人月收入在2000元以上，超过2000元的部分就要按5%的税率缴纳个人所得 税。小红的妈妈月收入2360元，她每月应缴纳个人所得税（）元。 10、数学课上，小兰剪了一个面积是9.42平方厘米的圆形纸片,你能猜出她至少要准备( )平方厘米的正方形纸片。 二、火眼金睛辨真伪。(5分) ３、两个半径相等的圆，它们的形状和大小都相等。（） 4、小华体重的与小明体重的相等，小华比小明重。（） 三、快乐Ａ、Ｂ、Ｃ。（5分） １、一件商品原价200元，涨价15%后在降价15%，现价（）

原价。 Ａ、高于Ｂ、低于Ｃ、等于Ｄ、无法比较 4、一个圆形花坛的半径是3米，在花坛一周铺一条宽1米的碎石小路，小路的面积是（）平方 米。 A、28.26 B、50.24 C、15.7 D、21.98 5、去年每千克汽油的价格为5.5元，今年与去年同期相比，汽油价格的涨幅达到了10%。你对“涨幅”一词的理解是( )。 A、今年售价是去年的百分之几 B、去年售价是今年的百分之几 C、今年售价比去年多百分之几 D、去年售价比今年少百分之几 六、数学与生活。（28分）（1、2小题各4分，其余每题5分） 1、全班50本作业都交了，可老师说有2本作业做错了。你知道这次作业的正确率吗？ 2、某方便面的广告语这样说：“赠量25%，加量不加价。”一袋方便面现在的重量是120克，你 知道赠量前是多少克吗？ 3、小明和小刚坐出租车回家。当行到全程的 3/5 时，小明下了车；小刚到终点才下车。他们两

六年级奥数.应用题.浓度问题

一、基本概念与关系 （1） 溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质 （2） 溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质 （3） 溶液 溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体 （4） 浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比 二、基本方法 （1） 寻找不变量，按基本关系或比例求解 （2） 浓度三角（如右图所示） （3） 列方程或方程组求解 （1） 重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角 （2） 难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用 重难点 知识框架 浓度问题 =100%=100%+??溶质溶质 浓度溶液溶质 溶液

例题精讲 一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题 【例1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？ 【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？ 【例2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？ 【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？ 【例3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？

【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克. 【例4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________． 【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题 【例5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？ 【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？

小升初六年级奥数题及答案

小升初六年级奥数题及答案 【题-001】抽屉原理 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 【题-002】牛吃草：（中等难度） 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？ 【题-003】奇偶性应用：（中等难度） 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。 【题-004】整除问题：（中等难度） 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？ 【题-005】填数字：（中等难度） 请在下图的每个空格内填入1至8中的一个数字，使每行、每列、每条对角线上8个数字都互不相同．

【题-006】灌水问题：（中等难度） 公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙……的 顺序轮流打开小1时，恰好在打开某根进水管1小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2 小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时． 【题-007】浓度问题：（中等难度） 瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？ 【题-008】水和牛奶：（中等难度） 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？ 【题-009】巧算：（中等难度） 计算： 【题-010】队形：（中等难度） 做少年广播体操时，某年级的学生站成一个实心方阵时（正方形队列）时，还多10人，如果站成一个每 边多1人的实心方阵，则还缺少15人.问：原有多少人？

(完整版)小学六年级奥数测试题

小学六年级奥数测试题 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝( )。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是 ( )。 3、99999×7＋11111×37＝( )。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×( )＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中，金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动健儿获得金牌( )枚，银牌( )枚，铜牌( )枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。列车的车身长( )米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成( )块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下，排在第三的那位同学最少得( )分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱子里摸出( )个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要( )分钟就可以打扫完毕。

11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向( )。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距( )千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是( )平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有( )名，女志愿者有( )名。

六年级奥数期末测试

一、填空（每小题3分，共30分） 1、把4米长的钢管平均截成8段，其中3段是这根钢管的 ()()，每段长（ ）。 2、131的分子、分母都加上（ ），原分数就变成5 2。 3、【3+（ ）】：18=15：27 4、当时钟是1点45分时，时针和分针所形成的钝角是（ ）度。 5、有三个自然数，甲数与乙数的比是3:5，乙数与丙数的比是4:7，三个数的和是201，则甲数是（ ）。 6、某人要上到楼房15层去，他从一层上到五层用时100秒，如果用这样的速度继续上到15层，还要（ ）秒。 7、一个盒子里有黑白红三色的珠子共16个，其中白珠子数是红珠子数的7倍，盒子里有黑珠子（ ）颗。 8、比a 的2倍少5.6的数用含a 的式子表示是（ ），当a=5 44时，这个数等于（ ）。 9、已知两个三角形底长之比为5：4，高之比是2：3，那么这两个三角形面积之比是（ ）。 10、小明在读一个小数时，把小数点丢了，结果读成了三万六千零九，原来的小数读出来只读一个零，原来的小数是（ ）。 二、判断（每小题2分，共10分） 1、分母是8的最小假分数是8 9。 （ ） 2、2000年的二月份是28天。 （ ） 3、半圆的周长不等于圆周长的一半。 （ ） 4、甲数除以乙数的商是0.2，那么甲数与乙数的比是1：5。 （ ） 5、3.975除以0.28的商是13.5，余数是1.5。 （ ） 三、选择（每小题3分，共15分） 1、55 2552?÷?=（ ） A 、1 B 、54 C 、25 D 、25 4 2、体积是1立方米的大正方体木块，可以锯成（ ）个体积为1立方分米的小正方体木块。 A 、100 B 、1000 C 、10000 D 、1000000 3、从长春到沈阳，甲车用4小时，乙车用5小时，甲车和乙车的速度比是（ ）。 A 、4：5 B 、5：4 C 、41:51 D 、5 1:41 4、如果991+993+995+997+999=5000-N ，那么，N=（ ） A 、5 B 、15 C 、20 D 、25 5、一块正方形的草地，边长是4米，一对角线的两个顶点各有一棵树，两树上各栓了一只羊，绳长4米，问两只羊都能吃到草地的面积是（ ）平方米。 A 、6.28 B 、9.42 C 、12.56 D 、80 树人六年级奥数期末试卷 姓名：______ 分数： ____

六年级奥数培优 杂题之整体思考

六年级奥数培优 杂题 整体思考 整体分析，就是将几个独立的部分合并成一个整体来分析。“整体分析”可以避开许多细节问题的干扰和纠缠，以便让我们很快抓住问题的核心，迅速获解。 例1. 有五个数的平均数是7。若把其中一个数改为9后，这五个数的平均数则为8。被改动的那个数原来是多少？ 变式练习 1.任意调换五位数12345各数位上数字的位置，所得到的五位数中，质数的个数是多少个？ 2.有一个整数，用它去除74、108和164，所得的三个余数的和是28，这个整数是多少？ 例2. 有红、黄、蓝三种颜色的弹子。已知红、黄两色弹子共有12粒；红、蓝两色弹子共有15粒；黄、蓝两色弹子共有13粒。求这三种颜色的弹子各多少粒？ 变式练习 1某印刷厂装订车间的三名工人要将一批图书打包后送往邮局（要求每包书同样 多）。第一次，他们领来这批书的 12 7 ，结果打了14个包还多出35本。第二次他们把剩下的书全部领来，连同第一次多出的书一起正好又打了11个包。这批图书共有多少本？

例3：甲、乙两人相距30千米，他们同时出发，相向而行，甲每小时是走6千米，乙每小时走4千米。甲带着一只小狗，同甲一起出发，每小时跑18千米。当小狗碰到乙时，它立即返回；返回碰到甲后又立即转身向乙方跑去；如此不停地往返于甲乙之间，直到甲乙两人相遇。问，这只小狗一共跑了多少千米？ 变式练习3：有八个盒子，各盒内装的奶糖分别为9、17、24、28、30、31、33和44块。甲先取走了一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的2倍。问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？ 达标检测 一．填空题 （1）．有A、B、C、D四个数，每次取其中的三个数，并算出平均数分别是：16、19、20 1.一个等腰直角三角形，它的斜边长是6厘米，这个三角形的面积是平方厘米； A.36 B.18 C.9 D.6 2. 一个长方形被分成四个部分，其中绿色三角形占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21平方厘米。则长方形的面积是平方厘米； A.42 B.70 C.140 D.420 三．解答题 1.小英在最近的一次测验中，语文、数学的平均分是90分；数学、英语的平均分是93分；语文、英语的平均分是87分。她三科各得了多少分？ 2.一个六位数，最高位是1，把最左端的1移到最右端，所得到的六位数是原六位数的3倍，求原来的六位数。

小学六年级奥数入学测试题

小学六年级奥数入学测试题 【考生注意】 本试卷包括两道大题(13道小题)，满分100分，考试时间120分钟． 一、填空题：(本题共有12道小题，每小题7分，满分84分) 1.计算： =______________. 2．7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g，已知它们的和是偶数，那么c=______． 3. 上面这个火柴等式显然是错误的，请你移动两根火柴，使它成为一个正确的等式(所移动的两根火柴不许拿走，也不许与其他火柴重合)，那么组成的正确等式是 . 4．两个孩子在圆形跑道上从同一点A出发按相反方向运动，他们的速度是5米／秒和9米／秒．如果他们同时出发并当他们在A点第一次相遇的时候结束，那么他们从出发到结束之间相遇的次数是 (不计出发时和结束时的两次)． 5．学校举行一次考试，科目是英语、历史、数学、物理和语文，每科满分为5分，其余等级依次为4、3、2、1分．今已知按总分由多到少排列着5个同学A、B、C、D、E，并且满足条件：①在同一科目以及总分中，没有得分相同的人；②A的总分是24；③C有4门科目得了相同分数；④D历史得4分，E物理得5分，

语文得3分．那么B的成绩是：英语分， 历史，数学分，物理分，语文分 . 6．数的各位数字之和为．7．一辆客车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行驶32千米，货车每小时行驶40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地．返回的速度，客车增加8千米／小时，货车减速5千米／小时．已知两车两次相遇处相距70千米，那么货车比客车早返回出发地小时． 8．40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼中，共有26个头、298只脚，若40只脚的蜈蚣有1个头，则3个头的龙有只脚． 9．确定图7-1中图形的周长，至少要知道8条边中边 的长度． 10．如图7-2，小圆半径为10，大圆半径 为20，那么，阴影部分的面积是．( ≈3.14). 11．某一天中，经理有5封信要交给打字员打字，每次他都将信放在打字员的信堆的上面，打字员有时间就将信堆最上面的那封信取来打．假定5封信按经理放在信堆上的先后顺序依次编号为l、2、3、4、5，那么打字员有___________种可能的打字顺序． 12．请将1、2、3……14填入图7-3中所 示的图形的圆圈内(每个数用一次，每个

六年级奥数期末测试卷

一、填空（每题2分，共30分） 1、比1/2大，比7小，分母是6的最简分数有________个。 3、甲、乙两个长方形的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是5:4，甲与乙的面积之比是_______。 4、某工厂有若干工人，其中1/5是党员，n/3是团员（n是正整数），其余88人是群众，则此工厂共人。 5、一项工程，甲、乙两人合作，6天完成5/6；单独工作时，甲完成1/3与乙完成1/2所用的时间相等。单独做时，甲需要_______天完成；乙需要_______天完成。 6、自然数a乘294，正好是另一个自然数的平方，则a的最小值是_______。 7、一辆汽车从甲地开往乙地，行前一半时间的速度和行后一半时间的速度之比是5：4，那么行前一半路程和行后一半路程的时间之比是________。 8、一副扑克牌有54张，最少要抽取________张牌，方能使其中至少有2张牌有相同的点数。 9、小军读一本书，如果每天读80页，需要4天多读完；如果每天读90页，需要3天多读完；如果每天读a页，刚好a天读完，则每天应读_______页。 10、笑笑将于2012年的3月份参加数学竞赛，这个月有5个星期四，5个星期五，5个星期六，那么，这个月的23号是星期________。 11、图中大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组成，那么图中的阴影面积为______。 12、如图，在三角形ABC中，AB、AC两边分别被分成五等份。阴影部分的面积与空白部分的面积比是___________。 13、下图a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是

六年级奥数.杂题.构造与论证(ABC级).教师版

（1） 掌握最佳安排和选择方案的组合问题. （2） 利用基本染色去解决相关图论问题． 各种探讨给定要求能否实现，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则要着眼于极端情形，或从整体把握．设计最佳安排和选择方案的组合问题，这里的最佳通常指某个量达到最大或最小．解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计． 组合证明题，在论证中，有时需进行分类讨论，有时则需要着眼于极端情况，或从整体把握。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题。若干点及连接它们的一些线段组成图，与此相关的题目称为图论问题，这里宜从特殊的点或线着手进行分析．各种以染色为内容，或通过染色求解的组合问题，基本的染色方式有相间染色与条形染色． 一、 最佳安排和选择方案 【例 1】 5卷本百科全书按从第1卷到第5卷的递增序号排列，今要将它们变为反序排列，即从第5卷到 第1卷．如果每次只能调换相邻的两卷，那么最少要调换多少次? 【考点】构造与论证 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为必须是调换相邻的两卷，将第5卷调至原来第1卷的位置最少需4次，得到的顺序为51234； 现在将第4卷调至此时第1卷的位置最少需3次，得到的顺序为54123； 现在将第3卷调至此时第1卷的位置最少需2次，得到的顺序为54312； 最后将第1卷和第2卷对调即可． 所以，共需调换4+3+2+1=10次． 【答案】10次 例题精讲 重难点 知识框架 构造与论证

【巩固】在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、……、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、……、2009．然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？ 【考点】构造与论证【难度】3星【题型】解答 【解析】从整体进行考虑．所得的2009个和相加，便等于1～2009的所有数的总和的2倍，是个偶数．2009个数的和是偶数，说明这2009个数中必有偶数，那么这2009个数的乘积是偶数． 本题也可以考虑其中的奇数．由于1～2009中有1005个奇数，那么正反两面共有2010个奇数，而只有2009张卡片，根据抽屉原理，其中必有2个奇数在同一张卡片上，那么这张卡片上的数字的和是偶数，从而所有2009个和的乘积也是偶数． 【答案】偶数 【例2】在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有 10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一 场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一场扣1分．问：一位业余选手最少要胜 几场，才能确保他的得分比某位专业选手高? 【考点】构造与论证【难度】4星【题型】解答 【解析】当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)．此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)．所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高． 当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得 10+2+2-2=12(分)．此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛 共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，34÷3=111 3 ，推知，必 有人得分不超过11分. 也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高. 【答案】胜3场 【巩固】n支足球队进行比赛，比赛采用单循环制，即每对均与其他各队比赛一场.现规定胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分.如果每一队至少胜一场，并且所有各队的积分都不相同，问： （1）n=4是否可能？

小学六年级奥数题及答案(全)

小学六年级奥数题及答案 1.某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 解： 设不低于80分的为A人，则80分以下的人数是（A-2）/4，及格的就是A+22，不及格的就是A+（A-2）/4-（A+22）=（A-90）/4，而6*（A-90）/4=A+22，则A=314，80分以下的人数是（A-2）/4，也即是78，参赛的总人数314+78=392 2.电影票原价每若干元,现在每降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一电影票原价多少元？ 解：设一电影票价x元 (x-3)×（1+1/2）=(1+1/5)x (1+1/5)x这一步是什么意思，为什么这么做 (x-3){现在电影票的单价}×（1+1/2){假如原来观众总数为整体1，则现在的观众人数为（1+2/1)} 左边算式求出了总收入 (1+1/5）x{其实这个算式应该是：1x*（1+5/1）把原观众人数看成整体1，则原来应收入1x 元，而现在增加了原来的五分之一，就应该再*（1+5/1），减缩后得到（1+1/5x）} 如此计算后得到总收入，使方程左右相等

3.甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人钱相等，求乙的存款. 解答：解：设乙存款x元，则甲存款是9600-x元，由题意得： （9600-x）（1-40%）x=（1-40%）x+2×120， 5760-60%x=60%x+240， 60%x+60%x=5760-240， 1.2x=5520， x=4600； 答：乙的存款4600元． 点评：解答此题的关键是根据题意设出未知数，另一个未知数用设出的字母表示，再根据数量关系等式：甲存款的（1-40%）等于乙存款的（1-40%）加上2个120元，列出方程解决问题． 4.由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？答案 加10颗奶糖，巧克力占总数的60%，说明此时奶糖占40%， 巧克力是奶糖的60/40=1。5倍 再增加30颗巧克力，巧克力占75%，奶糖占25%，巧克力是奶糖的3倍 增加了3-1.5=1.5倍，说明30颗占1.5倍 奶糖=30/1.5=20颗 巧克力=1.5*20=30颗 奶糖=20-10=10颗

六年级数学期末考试题及答案

第一学期期末试题（卷） 六年级 数学（试题部分118分，卷面2分，共120分） 一、填空题。（每空1分,共18分） 1．5.06吨＝（ ）吨（ ）千克 4时30分＝（ ）时 2．（ ）÷5＝0.4＝ ) ( 12＝（ ）:40＝（ ）％ 3．修一条20千米的路，若每天修 10 1 千米，（ ）天修完。 4．甲数除以乙数的商是2.5，甲数与乙数的最简整数比是（ ）。 5．一批货物甲单独运需8天，乙独运需10天，两队合运一天，共运了这批货的（ ）。 6．在抗“非典”斗争中，医生统计病人一天的体温变化情况时，应选用（ ）统计图。 7．某校男教师与女教师人数的比是2:5，女教师比男教师多（ ）％。 8．王老师每月工资1200元，超过800元的部分需缴5％的个人所得税，王老师每月实际获得工资（ ）元。 9．一段路，甲走需要0.5小时，乙走需要20分钟，甲和乙的速度比是（ ）。 10．小明看一本750页的书，第一天看了5 1 ，第二天看了40％，第三天应该从第（ ）页看 起。 11．用一个长10厘米，宽4厘米的长方形，剪一个最大的半圆，这个半圆的面积是（ ），周长是( )。 12．如果把甲班人数的 71 调入乙班，两班人数相等。原来甲班人数是乙班的 ) () (。 二、判断题，对的在括号里打“√”，错的打“×”。（每空1分,共5分） 1．大圆的圆周率与小圆的圆周率相等。……………………………………………（ ） 2． 1千克盐溶解在10千克水中，盐与盐水的比是1：10。…………………………（ ） 3．食堂有6吨煤，每天烧 3 1 ，可以烧18天。…………………………………………（ ） 4．A 是B 的 4 3 ，则B 与A 的比是4 : 3 。………………………………………… （ ） 5．某年级今天出勤100人，缺勤2人，则缺勤率为2％。……………………………（ ） 三、选择题，将正确答案的序号填在括号里。（每空1分,共5分） 1．一种商品现在售价为200元，比原来降低了50元，比原来降低了（ ）。 ①20% ② 3 1 ③25% ④30% 2．下面图形中，（ ）对称轴最少。 ①正方形 ②长方形 ③等边三角形 ④圆 3．如果b 是一个大于零的自然数，那么下列各式中得数最大的是（ ）。 ①b × 76 ②b ÷76 ③7 6 ÷b ④1÷b 4．把8:15的前项增加16，要使比值不变，后项应该（ ）。 ①加上16 ②乘16 ③除以16 ④乘3 5．大圆半径正好是小圆的直径，则小圆面积是大圆面积的（ ）。 ① 21 ②4 1 ③2 ④4 四、计算题。(共40分) 1．直接写出得数。（每题1分,共8分） 41 + 43 ＝ 3.9×131＝ 9÷32 ＝ 6 - 61 = 125×109 = 2 + 83 = 54-2 1 = 3÷1% = 2．计算下面各题，能简算的就简算。（每题2分,共12分） 1- 112÷118-43 3 + 85×53÷89 31÷（32 - 52）×5 3 74×98 + 73 ÷89 78×150%-78×2 1 43×［1÷(65+43)］