平面曲线的弧长与曲率

§ 3 平面曲线的弧长与曲率

一、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长的概念

一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来

求. 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用内接折线总长的极限定义弧长 .

定义1 可求长曲线

设平面曲线C 由参数方程()

()

x x t y y t =??

=? （t αβ≤≤）给出，设01{,,

,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分

[0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =，

111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，n M 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为

11

1

n n

n i i i i S M M -====∑

曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→时的极限：

10

1

1

lim lim n n

i i p p i i S M M -→→====∑

如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。

定义2 设曲线C ：()

()

x x t y y t =??

=? （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上连续可微，且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上不同时为0（曲线C 在[,αβ]无自交点），则曲线C 称为光滑曲线.

2、弧长公式

定理10.1设曲线C 为如上的光滑曲线，则曲线C 是可求长的，且弧长S 为：

S β

β

α

α

==?

?

注：利用微元法推导公式

注：其它形式的弧长公式

（1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为：

a

S =?

（2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，

S β

α

θ=?

（3）空间曲线()()()x x t y y t z z t =??

=??=?

（t αβ≤≤），弧长S 为

S βα

=?

其中x(t)，y(t)，z(t)在[,αβ]上可微，导数()x t '，()y t '，()z t '在[,αβ]上可积且曲线C 在 [,αβ]上无自交点。

补例1 求圆周cos x R t =，sin y R t =，02t π≤≤的弧长S 。

补例2 求抛物线2

12

y x =，01x ≤≤的弧长S 。例3、求椭圆22221x y a b +=（b>a>0）的弧长S 。

3、弧长的微分

设C ：()()x x t y y t =??=?

（t αβ≤≤）是光滑曲线（()x t '，()y t '在[,αβ]连续且2()x t '＋2

()0y t '≠）；

且无自交点。若把公式中的积分上限β改为t ，就得到曲线C ，由端点0M 到动点((),())M x t y t 的一段弧长。

t

S α

=?

由上限函数的可微性知()S t '

存在，()dS t dS dt ==二、平面曲线的曲率 1、曲率的概念

曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度??的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长S ?有关，并且曲率与

?成正比，与S 成反比。即一般曲线的弯曲程度可用k S

?

?=

?，其中k ：曲线段AB 的平均变化率；??：曲线段AB 上切线方向的角度；S ?：曲线段AB 的弧长。

例1、半径为R 的圆：1

k S S R R

?ααα???=

===????。 对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？

0lim

s k S ?

→?=?，称为曲线在A 点的曲率，即0lim s d k dS S

??→?==?

2、曲率的计算

记()y y x =二阶可微，则在点x 处的曲率为： 因为tg y ?'=，arctgy ?'=，所以

2211d y y d dx dx y y ??''''

=?=''++

，又因为dS =所以 ()

3/221d y k dS y ?''

=

='+ 例1、求2

12

y x =

在任一点的曲率。 3、曲率圆和曲率半径

过点（x ，y(x)）且与y ＝y （x ）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆2

2

2

()()x a y b R -+-=称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。

如何求曲线上一点（x ，y(x)）处的曲率圆呢？

因为1R k =

，()

3/221y k y ''

='+，则（a,b ）在过（x ，y(x)）的法线上：1()()()Y y x X x y x -=--'。 例1、 求2

12

y x =

在点（0,0）的曲率圆方程？ 作业 P252：1（1）、（3）、（5）

§ 4 旋转曲面的面积

一、微元法

提前在§ 1讲授

二 、旋转曲面的面积

用微元法推出旋转曲面的面积公式：

设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：

2b

a

S π=?

曲线方程为 ],[ , )(b a x x f y ∈=时，?

'+=?b

a

dx x f x f )(1)(2S 2π

；

曲线方程为 ],[ , )( , )(βαχ∈==t t y y t x 时，?

'+'=?β

α

χπdt t y t x y )()()

(2S 22 .

例1 求半径为r 的球带的面积S.

例2

作业P255：1（2）、（4），3（1）

§2 曲线的弧长和弧长元素

第二章曲线的局部微分几何 §2曲线的弧长和弧长元素 通俗地讲，将曲线的一段想象成软绳的一段，则软绳的所谓“长度”是可以用“直尺”测量出来的．如果软绳并不是太“弯”，则其两个端点的“直线距离”就是其长度的近似值．这种看法在人们的日常生活中经常自觉或不自觉地被加以运用．在数学发展史上，类似的抽象观点被有效利用的年代可以追溯到古希腊的阿基米德时代；而被严格并且广泛地利用于自然科学当中，则是从 Newton 和 Leibniz 创立微积分学开始．粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时，“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的；在此，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则．换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致不同的关于距离的几何学．在学习到第六章内蕴几何学的内容以后，可以再回过头来仔细体会上述说法的含义． 下面，将从几何学的角度给出长度概念及其解释． 一．E3中正则曲线段的长度 给定E3中Descartes直角坐标系O-xyz．设C: r(t) =(x(t),y(t),z(t)) , t∈[a, b] 是正则曲线上的一个弧段．任取参数区间的一个划分 D n: t0=a < t1 < …< t n = b， 对应有曲线上的分点P j: r(t j) , j= 0, 1, …, n．相应折线的长度确定为n ∑j = 1| P j-1P j|= n ∑ j = 1 |r(t j) - r(t j-1) |= n ∑ j = 1 (x j-x j-1)2+ (y j-y j-1)2+ (z j-z j-1)2． 由 Taylor 展开式，可写 r(t j) - r(t j-1) = (?t j) r'(t j-1) +(?t j)2 2! R2j， 其中余项R2j= (x"(ξ1j), y"(ξ2j), z"(ξ3j))→r"(t j-1) , 当?t j=t j-t j-1→0 ．此时||r(t j) - r(t j-1)|-|(?t j) r'(t j-1)||≤|(?t j)22!R2j|，

平面曲线的弧长与曲率

§ 3 平面曲线的弧长与曲率 一、平面曲线的弧长 1、平面曲线的弧长的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来 求. 定义曲线弧长的基本思想是局部以直代曲 , 即用内接折线总长的极限定义弧长 . 定义1 可求长曲线 设平面曲线C 由参数方程() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤）给出，设01{,, ,}n P t t t =是[,αβ]的一个划分 [0,n t t αβ==]，即01n t t t αβ=<<<=，它们在曲线C 上所对应的点为000((),())M x t y t =， 111((),())M x t y t =，…，((),())n n n M x t y t =。从端点0M 开始用线段一次连接这些分点0M ，1M ，…，n M 得到曲线的一条内接折线，用1i i M M -来表示1i i M M -的长度，则内接折线总长度为 11 1 n n n i i i i S M M -====∑ 曲线C 的弧长S 定义为内接折线的总长在max 0i p t =→时的极限： 10 1 1 lim lim n n i i p p i i S M M -→→====∑ 如果S 存在且为有限，则称C 为可求长曲线。 定义2 设曲线C ：() () x x t y y t =?? =? （t αβ≤≤），且()x t ，()y t 在[,αβ]上连续可微，且导数()x t '，()y t '在[,αβ]上不同时为0（曲线C 在[,αβ]无自交点），则曲线C 称为光滑曲线. 2、弧长公式 定理10.1设曲线C 为如上的光滑曲线，则曲线C 是可求长的，且弧长S 为： S β β α α ==? ? 注：利用微元法推导公式 注：其它形式的弧长公式 （1）设()y y x =在[a,b]上可微且导数()y x '可积，则曲线()y y x =（a ≤x ≤b ）的弧长S 为： a S =? （2）若曲线极坐标方程()r r θ=，αθβ≤≤，则当()r θ在[,αβ]上可微，且()r θ'可积时，

数学分析10.3平面曲线的弧长与曲率

第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率 一、平面曲线的弧长 设平面曲线C=⌒AB . 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =n i 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n 1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。 定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0 T lim →s T =s ， 则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长. 定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线. 定理10.1：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=?'+'β α22(t)y (t)x dt. 证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1. 于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式

空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是

曲线的曲率

§2-8 曲线的曲率 在§2-7中研究了平面曲线的弯曲方向(下凸或上凸)，而没有考虑到曲线的弯曲程度.我们将用曲线的曲率表示曲线的弯曲程度，在研究物体的运动(包括与运动有关的工程或机械设计)时，它有很重要的理论和实际意义. 直线段没有弯曲，所以认为它的曲率为0. 一般情形下，如图2-38，弧 AB 的全曲率规定为起点A 处切线方向与终点B 处切线方向的偏差θ?. 可是，弧 CD 的全曲率与弧 AB 的全曲率相同，但前者显然比后者弯曲得更厉害一些.这就是说，弧的弯曲程度与弧本身的长度有关.因此，就像测量物理量或几何量时先确定一个单位那样，把单位长度弧的全曲率取作测量弧时曲率的单位，而把长度为s ?的弧的全曲率θ?同弧长s ?的比值/s θ??，称为该弧的平均曲率.它有点像质点运动的平均速度.像定义质点运动的瞬时速度那样，把极限 s s s K s d d lim lim 0A B A θ θθ=??=??=→?→ 定义为弧 AB 在点A 处的曲率 (其中θ?为弧 AB 的全曲率, s ?为弧 AB 的长度). 对于半径为R 的圆周来说(图2-39)，由于θ?=?R s ，所以圆周上任一点处的曲率都相等，且曲率为 R s s K s 1 d d lim 0==??=→?θθ 对于一般的弧来说，虽然弧上各点处的曲率可 能不尽相同，但是当弧上点A 处的曲率0A K ≠时， 我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧 在点A 相切(即有公切线)且半径1/A A R K =.这样 的圆周就称为弧上点A 处的曲率圆；而它的圆心称 为弧上点A 处的曲率中心.如图2-40中那个抛物线 在原点O 或点(1,)A a 的曲率圆. 请读者注意，因为曲率有可能是负数．．．．．．．．．．，而曲率半径要与曲率保持相同的正负号．．．．．．．．．．．．．．．．．，所以曲率半．．．．．径也有可．．．．能是负数．．．．.保留曲率或曲率半径的正负号，以便说明曲线的弯曲方向.在实际应用中，有时把绝对值A K 称为曲率. 对于用方程)(x y y =)(b x a ≤≤表示的弧(图2-41)，由于 图2-39 图2-40

悬链线方程及曲线弧长

第二章导线应力弧垂分析 第三节悬点等高时导线弧垂、线长和应力关系 一、悬链线方程及曲线弧长 1.悬链线方程 为了分析方便，我们先从悬挂点等高，即相邻杆塔导线悬挂点无高差的情况讨论导线的应力及几何关系。实际上，导线悬在空中的曲线形态，从数学角度用什么方程来描述是进行导线力学分析的前题。由于假定视导线为柔索，则可按照理论力学中的悬链线关系来进行分析，即将导线架设在空中的几何形态视为悬链形态，而由此导出的方程式为悬链线方程。 如图2－5所示，给出了悬挂于A、B两点间的一档导线，假定为悬挂点等高的孤立档，设以导线的最低点O点为原点建立直角坐标系。 图2-5导线悬链线及坐标系 同时假定导线固定在导线所在的平面，可随导线一起摆动，显然这是一个平面力系。根据这个坐标进行导线的受力分析，可建立导线的悬链线方程。 我们先从局部受力分析开始，再找出其一般规律。首先在导线上任取一点D（x,y），然后分析OD段导线的受力关系，由图2－5所示，此OD段导线受三个力而保持平衡，其中D 点承受拉力为T x=σx S，它与导线曲线相切，与x轴夹角为α；O点承受拉力为T0=σ0S，T0为导线O点的切线方向，恰与x轴平行，故又称水平张力；此外还有OD段导线自身的荷载为G=gSL x，其中L x为OD段导线的弧长。 将OD段导线的受力关系画为一个三角形表示，如图2－6所示， 图2-6导线受力情况 由静力学平衡条件可知，在平面坐标系中，其水平分力，垂直分力的代数和分别等于零。

或沿x轴或y轴上分力代数和分别等于零。 垂直方向分力G=T x sinα=gSL x;水平方向分为T0=T x cosα=σ0S。其中σ0、T0为导线最低点的应力和张力，σx、T x为导线任一点的应力和张力，S、g为导线截面和比载。将上述二式相比，则可求得导线任意一点D的斜率为： (2-10) 由微分学知识可知，曲线上任一点的导数即为切线的斜率。 式（2－10）是悬链曲线的微分方程。我们要用坐标关系表示出导线受力的一般规律，还需要将不定量L x消去，因此，将式对x微分得： （微分学中弧长微分公式为dS2=(dx)2+(dy)2）将上式移项整理后，两端进行积分 这是个隐函数，因此，再进行分离变量积分，查积分公式有： （2－11） 再进行分离变量积分，有 于是，导线任一点D的纵坐标为： （2－12） 式（2－12）是悬链方程的普通形式，其中C1和C2为积分常数，其值可根据取坐标原点的位置及初始条件而定。如果将坐标原点于导线最低点处，则有下述初始条件：x=0, dy/dx=tgα=0 代入式（2－11）则C1＝0，将x=0,y=0,C1＝0 代入式（2－12），，如此，求得坐标原点最低点O处的悬链方程为： （2－13） 式中σ0—水平应力(即导线最低点应力)，MPa; g—导线的比载，N/m.mm2。 当坐标原点选在其它点（例如选在悬挂点处）时，悬链线方程的常数项将有所不同，可

平面曲线的曲率

平面曲线的曲率 平面曲线的曲率 一、曲率及其计算公式 曲线弯曲程度的直观描述: 设曲线C 是光滑的, 在曲线C 上选定一点M 0作为度量弧s 的基点. 设曲线上点M 对应于弧s , 在点M 处切线的倾角为α , 曲线上另外一点N 对应于弧s +?s , 在点N 处切线的倾角为α+?α . 度. 记K =?α, 称K 为弧段MN 的平均曲率. ?s |?α|我们用比值|?s |?, 即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN 的平均弯曲程 记K =lim ?α, 称K 为曲线C 在点M 处的曲率. ?s →0?s 在lim ?α=d α存在的条件下, K =d α. ?s →0?s ds ds 曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是y =f (x ) , 且f (x ) 具有二阶导数（这时f '(x ) 连续, 从而曲线是光滑的）. 因为tan α=y ' , 所以 sec 2α d α=y ''dx , y ''y ''y ''dx =dx =dx sec 2α1+tan 2α1+y '2 d α=. 又知ds =+y '2dx , 从而得曲率的计算公式 K =|y ''|d α=ds (1+y '2) 3. 例1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 例2. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 讨论: 1. 计算直线y =a x +b 上任一点的曲率. 提示: 设直线方程为y =ax +b , 则y '=a , y ''= 0. 于是K =0. 2. 若曲线的参数方程为x =?(t ), y =ψ(t ) 给, 那么曲率如何计算提示: K =|?'(t ) ψ''(t ) -?''(t ) ψ'(t ) | [?'2(t ) +ψ'2(t )]3/2. 3. 计算半径为R 的圆上任一点的曲率. 提示: 圆的参数方程为x =R cos t , y =R sin t . 例1. 计算等双曲线x y =1在点(1, 1)处的曲率. 解: 由y = y '=-1, 得 x 21y ''=, . x 2x 3

平面曲线的曲率

知识点：平面曲线的曲率（MC20306） 1 背景知识与引入方法 在微分几何学中,与平面曲线有关的是三个基本概念：长度、切线和曲率. 瑞士数学家L ?欧拉在1736年首先引进了平面曲线内在坐标这一概念.从而开始了曲线内在几何的研究.欧拉将曲率描述为曲线的切线方向和一固定方向的交角相对于弧长的变化率,这也成为一些教材引入曲率概念的方法之一. 1847年弗雷内得出了曲线的基本微分方程,亦即统称弗雷内公式.后来,G ?达布创造了空间曲线的活动标架概念,完整地建立起曲线理论.所以有些教材把空间的弗雷内标架改造为平面弗雷内公式而导出带有正负号平面曲线曲率公式，它既表示曲线的弯曲程度，又表示曲线的弯曲方向.（如：萧树铁、居余马主编的《高等数学》第Ⅲ卷,或马知恩、王锦森主编的《工科数学分析基础》）. 大多教材通常在直角坐标系下,在曲线上相邻两点的切向量()t s 和()t s s +?之间夹角 α?关于弧长s ?的变化率|| lim 0 s s ??→?α引出曲率公式. 由实际问题先引出曲率圆、曲率半径概念,由曲率半径概念自然给出曲率定义,我们认为方法简洁省事（如章栋恩等人编写《高等数学》上册）. 2 该知识点讲解方法 2.1讲解方法一： 曲率是一个构造型的定义,通常由解决某一具体实际问题的方法来讲清其构造的道理,再引出曲率概念其教法更为简捷,例如力学问题中质点做曲线运动,在某点局部情形的研究,可用圆周曲线来代替,而此圆周曲线（曲率圆）的建立仅仅使用了一阶导、二阶导的简单应用,却以最好的方式接近已知曲线,进而引出了曲率半径定义. 2.1.1曲率圆 1、实际问题： 一质点作曲线运动,考察此运动在某点))(,(00x f x M 局部情形时,可用圆周曲线来替代这点附近的曲线L, 这样就可以用圆周运动的知识来分析