高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解
1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且?
,
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)数列满足,
①求数列的通项公式;
②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.
解:(I)设数列的公差为d,则
由?,,得,
计算得出或(舍去).
;
(Ⅱ)①,,
,
,
即,,,
,
累加得:,
也符合上式.
故,.
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,
则
又,,,
,即,
化简得:
当,即时,,(舍去);
当,即时,,符合题意.
存在正整数,,使得,,成等差数列.
解析
(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;
(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则
.由此列关于m的方程,求计算得出答案.
2.在数列中,已知,
(1)求证:数列为等比数列;
(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.
解:(1)证明:,
又,
,,
故,
是以3为首项,公比为3的等比数列
(2)由(1)知道,,
若为数列中的最小项,则对有
恒成立,
即对恒成立
当时,有;
当时,有?;
当时,恒成立,
对恒成立.
令,则
对恒成立,
在时为单调递增数列.
,即
综上,
解析
(1)由,整理得:.由,
,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列;
(2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得
当时和当的取值范围,
当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.
3.在数列中,已知, , ,
设为的前n项和.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求;
(3)是否存在正整数p,q, ,使, , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.
(1)证明:由,,
得到,
则
又,
,
数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)可以推知:,
所以,,
所以,①
,②
①-②,得
,
,
,
所以
(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 则,
即
因为当时,,
所以数列单调递减.
又,
所以且q至少为2,
所以,
①当时,,
又,
所以,等式不成立.
②当时,,
所以
所以,
所以,(数列单调递减,解唯一确定).
综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.
解析
(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列
,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列;
(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求;
(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.
4.已知n为正整数,数列满足, ,设数列满足
(1)求证:数列为等比数列;
(2)若数列是等差数列,求实数t的值;
(3)若数列是等差数列,前n项和为,对任意的,均存在,使得成立,求满足条件的所有整
数的值.
(1)证明:数列满足,,
?,?,
数列为等比数列,其首项为,公比为2;
(2)解:由(1)可得:?,
,
数列是等差数列,,
,
计算得出或12.
时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列.
时,,,不是关于n的一次函数, 因此数列不是等差数列.
综上可得;
(3)解:由(2)得,
对任意的,均存在,使得成立,
即有??,
化简可得,
当,,,对任意的,符合题意; 当,,当时,
,
对任意的,不符合题意.
综上可得,当,,对任意的,均存在,
使得成立.
解析
(1)根据题意整理可得,?,再由等比数列的定义即可得证;
(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值;
(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得
成立,即有??,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.
5.已知常数,数列满
足,
(1)若, ,
①求的值;
②求数列的前n项和;
(2)若数列中存在三项, , 依次成等差数列,求的取值范围.
解:(1)①,
,
,
,
②,,
当时,,
当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,
数列的前n项和,,
显然当时,上式也成立,
;
(2),
,即单调递增.
(i)当时,有,于是,
,
若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,
即
,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.
当时,有.此时
于是当时,.从而
若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有,
同(i)可以知道:.于是有,
,是整数,.于是,即.与矛盾.
故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列.
当时,有
于是
此时数列中存在三项,,依次成等差数列.
综上可得:
解析
(1)①,可得,同理可得,
②,,当时,,当时,
,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出
(2),可得,即单调递增.
(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在.
当时,有.此时.于是当时,
.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在.
当时,有.于是.即可得出结论. 6.已知两个无穷数列和的前n项和分别
为, , , ,对任意的,都
有
(1)求数列的通项公式;
(2)若为等差数列,对任意的,都有.证
明: ;
(3)若为等比数列, , ,求满
足的n值.
解:(1)由,得, 即,所以
由,,可以知道
所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.
故的通项公式为,
(2)证法一:设数列的公差为d,
则,
由(1)知,
因为,所以,
即恒成立,
所以,即,
又由,得,
所以
所以,得证.
证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得,
则,即,
因为,所以
所以,
因为,所以存在,当时,恒成立. 这与“对任意的,都有”矛盾!
所以,得证.
(3)由(1)知,.因为为等比数列,
且,,
所以是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以,
则,
因为,所以,所以
而,所以,即
当,2时,式成立;
当时,设,
则
,
所以,
故满足条件的n的值为1和2.
解析
(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证;
方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证;
(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.
7.已知数列, 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列
(1)设数列, 分别为等差、等比数列,
若, , ,求;
(2)设的首项为1,各项为正整数, ,若新数列是等差数列,求数列的前n项和;
(3)设是不小于2的正整数), ,是否存在等差数
列,使得对任意的,在与之间数列的项数总是若存在,请给出一个满足题意的等差数列;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,
所以,,
所以,,
所以,
因为,,,
(2)设等差数列的公差为d,又,且,
所以,所以
因为是中的项,所以设,即
当时,计算得出,不满足各项为正整数;
当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以;
当时,,此时,只需取,
由,得,是奇数,是正偶数,m有正整数解,
所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以
综上所述,数列的前n项和,或
(3)存在等差数列,只需首项,公差
下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有
,
即成立.
由
,
所以首项,公差的等差数列符合题意
解析
(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,
,计算得出或3,因数列,单调递增,,
,可得,,利用通项公式即可得出.
(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以
.因为是中的项,所以设,即
.当时,计算得出,不满足各项为正整数当
时,当时,即可得出.
(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与
之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有
,作差利用通项公式即可得出.
8.对于数列,称
(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的, ,都有,则称数列为“趋稳数列”.
(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;
(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;
(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意
,,都有,试计算:
.
解:(1)根据题意可得,
即,两边平方可得,
计算得出;
(2)证明:由已知,设,
因且,
故对任意的,,都有,
,,
因,
,,,,,
,
,
,
即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;
(3)当时,
当时,,
同理,,
因,
,
即,
所以或
所以或
因为,且,所以,从而,
所以
,
.
解析
(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;
(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;
(3)由任意,,都有,可得
,由等比数列的通项公式,可得
,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.
9.已知首项为1的正项数列{a n}满足+<a n+1a n,n∈N*.
(1)若a2=,a3=x,a4=4,求x的取值范围;
(2)设数列{a n}是公比为q的等比数列,S n为数列{a n}前n项的和,若S n <S n+1<2S n,n∈N*,求q的取值范围;
(3)若a1,a2,…,a k(k≥3)成等差数列,且a1+a2+…+a k=120,求正整数k的最小值,以及k取最小值时相应数列a1,a2,…,a k(k≥3)的公差.
解:(1)由题意,a n<a n+1<2a n,
∴<x<3,
<x<2x,
∴x∈(2,3).
(2)∵a n<a n+1<2a n,且数列{a n}是公比为q的等比数列,a1=1,
∴q n-1<q n<2q n-1,
∴q n-1(q-)>0,q n-1(q-2)<0,
∴q∈(,1).
20XX 届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷 18.已知函数2 ()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+,其中实数3a <. (Ⅰ)判断1x =是否为函数()f x 的极值点,并说明理由; (Ⅱ)若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立,求a 的取值范围. 19.已知椭圆G :2 212 x y +=,与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ,且与椭圆G 相交于A ,B 两点,弦AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆G 相交于C ,D 两点. (Ⅰ)若直线l 的斜率为1,求直线OM 的斜率; (Ⅱ)是否存在直线l ,使得2 ||||||AM CM DM =?成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 西城区高三统一测试 18.(本小题满分13分) 已知函数21 ()e 2 x f x x =-.设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线,其中0[1,1]x ∈-. (Ⅰ)求直线l 的方程(用0x 表示); (Ⅱ)设O 为原点,直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值. 19.(本小题满分14分) 如图,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12 ,F 为椭圆C 的右焦点.(,0)A a -, ||3AF =.
(Ⅰ)求椭圆C的方程; x=交于点(Ⅱ)设O为原点,P为椭圆上一点,AP的中点为M.直线OM与直线4 x=交于点E.求证: D,过O且平行于AP的直线与直线4 ∠=∠. ODF OEF 20XX年南通市高考数学全真模拟试卷一 13.已知角满足,若,则的值为. 14.将圆的六个等分点分成相同的两组,它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点,其中分别为点 到两个顶点的向量.若将点到正六角星12个顶点的向量都写成的形式,则的最大值为. 18. 已知椭圆的长轴长为,为坐标原点. (1)求椭圆的方程和离心率. (2)设点,动点在轴上,动点在椭圆上,且点在轴的右侧.若
高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解 1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且? , (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)数列满足, ①求数列的通项公式; ②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由. 解:(I)设数列的公差为d,则 由?,,得, 计算得出或(舍去). ; (Ⅱ)①,, , , 即,,, ,
累加得:, 也符合上式. 故,. ②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列, 则 又,,, ,即, 化简得: 当,即时,,(舍去); 当,即时,,符合题意. 存在正整数,,使得,,成等差数列. 解析 (Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; (Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式;
②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则 .由此列关于m的方程,求计算得出答案. 2.在数列中,已知, (1)求证:数列为等比数列; (2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围. 解:(1)证明:, 又, ,, 故, 是以3为首项,公比为3的等比数列 (2)由(1)知道,, 若为数列中的最小项,则对有 恒成立, 即对恒成立 当时,有; 当时,有?; 当时,恒成立,
对恒成立. 令,则 对恒成立, 在时为单调递增数列. ,即 综上, 解析 (1)由,整理得:.由, ,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; (2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得 当时和当的取值范围, 当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围. 3.在数列中,已知,,,设 为的前n项和. (1)求证:数列是等差数列; (2)求;
2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;
新青蓝教育高考数学压轴100题1二次函数 2复合函数 3创新性函数 4抽象函数 5导函数(极值,单调区间)--不等式 6函数在实际中的应用 7函数与数列综合 8数列的概念和性质 9 Sn与an的关系 10创新型数列 11数列与不等式 12数列与解析几何 13椭圆 14双曲线 15抛物线 16解析几何中的参数范围问题 17解析几何中的最值问题 18解析几何中的定值问题 19解析几何与向量 20探究性问题
15.抛物线 例1.已知抛物线C :2 2y x =,直线2y kx =+交C 于A B ,两点,M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交C 于点N . (Ⅰ)证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数k 使0=?NB NA ,若存在,求k 的值;若不存在,说明理由. 解:(Ⅰ)如图,设 211(2) A x x ,, 222(2) B x x ,,把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=, 由韦达定理得 122k x x += ,121x x =-, ∴ 1224N M x x k x x +=== ,∴N 点的坐标为248k k ?? ???,. 设抛物线在点N 处的切线l 的方程为 284k k y m x ? ?-=- ? ??, 将2 2y x =代入上式得2 2 2048mk k x mx -+-=, 直线l 与抛物线C 相切, 22 22282()0 48mk k m m mk k m k ??∴?=--=-+=-= ???,m k ∴=. 即l AB ∥. (Ⅱ)假设存在实数k ,使0NA NB = ,则NA NB ⊥,又M 是AB 的中点, 1 ||||2MN AB ∴= . 由(Ⅰ)知121212111 ()(22)[()4] 222M y y y kx kx k x x =+=+++=++ 2 2142224k k ??=+=+ ???. MN ⊥ x 轴,22216 ||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-= . 又 222121212 ||1||1()4AB k x x k x x x x =+-=++- x A y 1 1 2 M N B O
2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷 18.已知函数2()24(1)ln(1)f x x ax a x =-+-+,其中实数3a <. (Ⅰ)判断1x =是否为函数()f x 的极值点,并说明理由; (Ⅱ)若()0f x ≤在区间[]0,1上恒成立,求a 的取值范围. 19.已知椭圆G :2 212 x y +=,与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ,且与椭圆G 相交于A ,B 两点,弦AB 的中点为M ,直线OM 与椭圆G 相交于C ,D 两点. (Ⅰ)若直线l 的斜率为1,求直线OM 的斜率; (Ⅱ)是否存在直线l ,使得2||||||AM CM DM =?成立?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由. 西城区高三统一测试 18.(本小题满分13分) 已知函数21()e 2 x f x x =-.设l 为曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线,其中0[1,1]x ∈-. (Ⅰ)求直线l 的方程(用0x 表示); (Ⅱ)设O 为原点,直线1x =分别与直线l 和x 轴交于,A B 两点,求△AOB 的面积的最小值. 19.(本小题满分14分) 如图,已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12,F 为椭圆C 的右焦点.(,0)A a -,||3AF =. (Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)设O 为原点,P 为椭圆上一点,AP 的中点为M .直线OM 与直线4x =交于点D ,过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E .求证:ODF OEF ∠=∠.
2017年南通市高考数学全真模拟试卷一 13.已知角,αβ满足tan 7tan 13 αβ=,若2sin()3αβ+=,则sin()αβ-的值为. 14.将圆的六个等分点分成相同的两组,它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ,其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式,则a b +的最大值为. 18.已知椭圆:C 22 31mx my +=(0)m > 的长轴长为,O 为坐标原点. (1)求椭圆C 的方程和离心率. (2)设点(3,0)A ,动点B 在y 轴上,动点P 在椭圆C 上,且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =,求四边形OPAB 面积的最小值. 19.已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >. (1)设0c =. ①若a b =,曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0),求0x 的值; ②若a b >,求()f x 在区间[0,1]上的最大值. (2)设()f x 在1x x =,2x x =两处取得极值,求证:11()f x x =,22()f x x =不同时成立. 13.1 5 -14.5 18.(1)由题意知椭圆:C 22 111 3x y m m +=, 所以21a m =,213b m =,
高考压轴题专题训练 1. 已知点)1,0(F ,一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2)设点)0,(a A ,点P 为曲线C 上任一点,求点A 到点P 距离的最大值)(a d ; (3)在10<最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]