数列压轴题(高考)
高考数列压轴题选讲
一、填空题
1.已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；
2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：8
33
d <≤） 3.函数()f x 由下表定义：若11a =，25a =,*2(),n n a f a n N +=∈则2008a 的值__________．
12. 1
4.．将正偶数按如图所示的规律排列： 2 4 6
8 10 12 14 16 18 20
…… 则第n （n ≥4）行从左向右的第4个数为 ． 10．28n n -+
5.根据下面一组等式：
1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,
s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=
…………
可得13521n s s s s -+++???+= 4n ．
12．本题是课本中的习题．考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识． 方法一：1131351,16,81,S S S S S S =+=++=L 猜想41321n S S S n -+++=L ．
方法二：先求出221(21)(221)n S n n n -=--+，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍） 6.13．五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 ． 13．4
7.把数列{12n }的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k 行有2k －
1个数，第k 行的第s 个数（从左数起）记为(k ，s )，则 1
2010可记为 ．
8.（1）正整数按下列方法分组：{}{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,.....记第n 组中各数之和为n A ；由自然数的立方构成下列数组：{}{}{}{}
333333330,1,1,2,2,3,3,4,....记第n 组中后一个数与前一个数的差为,n B 则n n A B +=
32n
（2）、设11
2,,(2)(3)23n n n n N x x ≥∈+
-+2012n n a a x a x a x =+++???+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则234533551111
0,,0,,,,2323
n T T T T T ==-==-??????其中n T =__________________ .
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 13．（10，494）
（3）
12 14 16 18 110 112 114 116 118 120 122 1
24 …
… （第7题图）
13
（4）.观察下列等式：
222345+=，
222221*********++=+，
222222221222324252627+++=++ 222222222363738394041424344++++=+++ L L
由此得到第()
*n n N ∈个等式为 .
9.数列 {}n a 中，*11(2,)2
n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15
2n S =-，则1a ＝_____，
n ＝_____
（答：13a =-，10n =）；
10. 设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则
2010a =__ _．
12. 【4020】
11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1≤5a ≤4，2≤6a ≤3，则6S 的取值范围是 ； 11．[]12,42-
【解析】由题知11144,253a d a d ≤+≤≤+≤
则()()611161515495S a d a d a d =+=+-+由不等式性质知[]612,42S ∈-或线性规划知识可得11
144
253a d a d ≤+≤??
≤+≤?，令61615z S a d ==+同样得[]612,42S ∈-.
12.等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；
13.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________。
()
112
n n ++ 14.已知等差数列{}n a 的首项1a 及公差d 都是整数，前n 项和为n S （n N *
∈）.若
1431,3,9a a S >>≤，则通项公式____________n a =
n+1
15.数列
{}
n a 满足：11
121(234)n n a a n a -==-=???，，，，
，若数列{}
n a 有一个形如
sin()n a A n B ω?=++的通项公式，其中A B ω?、、、均为实数，且π002
A ω?>><，，，则
n a = .（只要写出一个通项公式即可）
14
()
2ππ1
332n -+
解：12a =，212a =
，31a =-，51
2
a =，61a =-???故周期为3 14．数列{}n a 满足()
112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若存在实数p ,使得数列{}n a 为等差数列或等比数列,则数列{}n a 的通项公式n a = ．
14． 2n 【解析】本题是等差等比数列的综合问题，可采用特殊化的方法来解决。由题意可知: 222a p =+3，a =p(2p+2)+4。若{}n a 是等差数列，则2a 2=a 1+a 3,得p 2-p+1=0;若{}n a 是等比数列，
则（2p+2）2=2[p(2p+2)+4],解得p=2.故a n =2n .
点评：对于客观题可以采用特殊化的方法，避免复杂的计算。
求前n 项和n S
16.设{a n }
是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。记*21
17,.n n
n n S S T n N a +-=∈设0n T 为
数列{n T }的最大项，则0n = 。
【答案】4
【解析】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。
2n n n T ==
17]n =
+
因为n
8
，当且仅当n
=4，即n=4时取等号，所以当n 0=4时T n 有最大值。
【温馨提示】本题的实质是求T n 取得最大值时的n 值，求解时为便于运算可以对(2)n
进行换
元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
17.设4
7
10
310
()2222 (2)
n f n +=+++++()n N ∈，则()f n 等于
18.在等差数列{}n a 中，若1005100610073a a a ++=，则该数列的前2011项的和为 2011
19．在数列{}n a 中，若对任意的n 均有12n n n a a a ++++为定值（n *
∈N ），且
79982,3,4a a a ===，则此数列{}n a 的前100项的和100S = .299
解：此数列只有三个数：2；9；3循环
20..已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：
2*
2
*
12(6,)
1272(6,)
n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 类
题
：
已知
{}
n a 是
等
差
数
列
，
设
12||||||n n T a a a =+++L ()n *∈N ．某学生设计了一个求n T 的部分
算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n 的表达式对n T 赋值，则空白处理框中应填入：n T ← ． 10． 2
940n n -+
21.设{}n a 是等差数列，求证：以b n =
n
a a a n
+++Λ21 *n N ∈为
通项公式的数列{}n b 为等差数列。
22. 等差数列}{n a 中，n S 是其前n 项和，20111-=a ，22010
20122010
2012=-S S ，则2011S 的值为_____________ 13．2011-；
23．已知)(,,c b a c b a <<成等差数列，将其中的两个数交换，得 到的三数依次成等比数列，则
（第10题图）
结束 开始
输入n
n ≤5
T n ←－n 2＋9n 输出T n
Y
N
2
2
2b c a +的值为 ． 14．20
24.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，若)(312312-+++=n n a a a S Λ，8321=a a a 则n a ＝_________.
分析：本题要求等比数列{}n a 的通项n a ，可以先由8321=a a a 求出2a ，再利用
)(312312-+++=n n a a a S Λ求出公比q..思路正确，问题在怎样求出q ？如果将
)(312312-+++=n n a a a S Λ的两边分别求和，得到q 的方程，再解方程求出q ，显然计算量大，
容易出错.如果仔细观察命题，可以发现n S 2是等比数列前2n 项的和，
)()(24212312n n n a a a a a a S ΛΛ++++++=-其中1231-+++n a a a Λ是前2n 项中所有奇数
项的和，n a a a 242Λ++是前2n 项中所有偶数项的和，从整体考虑，可以发现在等比数列中
n a a a 242Λ++＝（1231-+++n a a a Λ ）q ，利用这个关系可使结构简单，便于求解.
解：由{}n a 是等比数列，得2
231a a a =，因为8321=a a a ，所以2a ＝2.
由)(312312-+++=n n a a a S Λ，得n a a a 242Λ++＝2（1231-+++n a a a Λ），因为
n a a a 242Λ++＝（1231-+++n a a a Λ ）q ，所以q =2. 12-=n n a .
25．若数列
{}n a 满足：对任意的n N *∈，只有有限个正整数m 使得m a n ＜成立，记这样的m 的
个数为()n a *，则得到一个新数列{}
()n a *．例如，若数列{}n a 是1,2,3,n …，…，则数列{}
()n a *
是0,1,2,1,n -…，…．已知对任意的N n *
∈，2n a n =，则5()a *= ，
(())n a **=
．
26．已知数列{}n a 满足：1
1a =，2a x =（x N *∈），21n n n a a a ++=-，若前2010项中恰好
含有666项为0，则x 的值为 . 14、8或9
解:必然存在一个*
0n N ∈,当0n n ≥时,数列{}n a 为0,1,1, 0,1,10,1,1,0,1,1???,
若2010200920080,1,1a a a ===，则20106653150a a -?==，29a x ==; 若2010200920081,1,0a a a ===，21a =，不成立; 若201020091,0a a ==，20096653140a a -?==，28a x ==; 27.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n
a n
的最小值为__________. 【答案】
212
【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
【解析】a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+…(n -1)]+33=33+n 2-n
所以
33
1n a n n n
=+- 设()f n =331n n +-，令()f n =23310n
-+>，则()f n 在(33,)+∞上是单调递增，在33)上是递减的，因为n ∈N +,所以当n=5或6时()f n 有最小值。
又因为
55355a =，66321662
a ==，所以，n a n 的最小值为62162a =
28.数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意的正整数n ，恒有2n n a a n =+，则100
2a 的
值为 14.
49502
29.. 设函数()
11()21x
f x x x =++, A0为坐标原点，An 为函数y=f （x ）图象上横坐标为*()
n n ∈N 的点，向量11n n k k k A A -==∑u u u u u u r a ，向量i=（1，0），设n θ为向量n a 与向量i 的夹角，则满足15
tan 3n k k θ=<∑
的最大整数n 是 ． 13.3 解
:
n a =
1111,21n
n
k k n k A A OA n n n -=????==+ ? ? ?+????∑u u u u u u r u u u u r 所以
tan k θ=1121n
n ??+ ?+??,111tan 221
n n
k k n θ=??
=-- ?+??∑,又1121n
n ??+ ?+??是关于n 的单调递减函数,
所以11221n n ??-- ?+??单调递增,当n ＝1,2,3时1152213
n
n ??
--< ?+??,满足题意,当n ＝4
时,4111152221253
n n ????-->--> ? ?+????,从而当4n ≥时1152213n
n ??
--
> ?+??,所以满足1
5
tan 3
n
k
k θ
=<
∑的最大整数n 是3. 30.设
{}n a 是公比为q 的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=L 若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .【答案】9-
【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.
31．设首项不为零的等差数列{}n a 前n 项之和是n S ，若不等式22
2
12n n S a a n
λ+≥对任意{}n a 和
正整数n 恒成立，则实数λ的最大值为 . 12．
15
解:由不等式得2
122
2
()2n n a a a n +??????+22115424
n n a a a a =++21a λ≥ 由于10a ≠,所以211511424n n a a a a λ??≤+?+ ???2
1511455n a a ??=++ ???，所以1
5
λ≤
32．在数列{}n a 中，111a =，且*
1332()n n a a n +=-∈N ，则该数列中相邻两项乘积的最小值
为__________.
33．从等腰直角三角形纸片ABC 上，按图示方式剪下两个正方形，其中
2BC =，90o A ∠=，则这两个正方形的面积之和的最小值为
13．6
34、已知函数()y f x =是定义在R 上恒不为0的单调函数，对任意的,x y ∈R ，总有
()()()y x f y f x f +=成立．若数列{}n a 的n 项和为n S ，且满足1(0)a f =，
()()
11132n n n f a f a ++=
-)(*∈N n ，则n S = .
14、2
113-2
5S 21
+?=++n n n . 35．已知等差数列
}{n a 的前n 项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，
320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 .
①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S < 36. 数列}{n a 满足11=a ，14121=+?
+n
n a a （*∈N n ），记2
2221n n a a a S +++=Λ，若30
12m S S n n ≤
-+对*
∈N n 恒成立，则正整数m 的最小值为 18. 10
37、等比数列{}n a 中，13a =，633a =，
函数126()()()()f x x x a x a x a =---L ，则'
(0)f = 38、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m n ≠，2
m S m =，2n S n =，则m n S +=
二、解答题
1、已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*
3,.f n n a n N =∈
（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n n
n
n b b b T a b +++==
Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a n Λ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .
解：（1）由题意得??
?=+=+2)5(log 1)2(log 3
3b a b a ，解得???-==12
b a ，
)12(log )(3-=∴x x f *)
12(log ,1233N n n a n n ∈-==-
（2）由（1）得n n n b 212-=
， n n n n n T 2
1
22322523211
321-+-++++=∴-Λ ① 2311113252321222222
n n n n n n n T -+---=+++++L ② ①-②得1231111222221
2
222222
n n n n n T -+-=
+++++-L 112211
1111121()222222n n n n --+-=
+++++-L 1121
22123+---
-=n n n . n n n n n n T 23
232122132+-=---=∴-，
设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由1512132121)32(25223225
2)
()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*
,2
32)(N n n n f n
∈+=
随n 的增大而减小+∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m （3）由题意得*21)1
1()11)(11(1
21N n a a a n p n ∈++++≤
对Λ恒成立
记)1
1()11)(11(1
21)(21n a a a n n F ++++=
Λ，则
1
)1(4)1(2)32)(12(22)
11()11)(11(1
21)
11)(11()11)(11(3
21)
()
1(221121-++=
+++=+++++++++=++n n n n n a a a n a a a a n n F n F n n n ΛΛ
1)
1(2)
1(2=++>
n n
)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大
)(n F 的最小值为332)1(=
F ，332≤∴p ，即33
2max =p . 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*
n N ∈，点,n S n n ?? ?
?
?
都在函数()2n
a f x x x
=+ 的图象上．
（Ⅰ）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明；
（Ⅱ）将数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（1a ），（2a ，3a ），（4a ，5a ，
6a ），（7a ，8a ，9a ，10a ）；（11a ），（12a ，13a ），(14a ，15a ，16a ），（17a ，18a ，19a ，20a ）；（21a ），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺
序构成的数列为{}n b ，求5100b b +的值；
（Ⅲ）设n A 为数列1n n a a ??
-????
的前n 项积，是否存在实数a
，使得不等式3
()2n a A f a a +-对一切*
n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点,n S n n
?
?
?
?
?
在函数()2n a f x x x =+的图象上， 故
2n n S a n n n
=+，所以21
2n n S n a =+．
令1n =，得111
12
a a =+，所以12a =；
令2n =，得1221
42
a a a +=+，所以24a =；
令3n =，得12331
92
a a a a ++=+，所以36a =．
由此猜想：2n a n =．
用数学归纳法证明如下：
① 当1n =时，有上面的求解知，猜想成立． ② 假设 (1)n k k =≥时猜想成立，即2k a k =成立，
则当1n k =+时，注意到2
1
2
n n S n a =+
*()n N ∈， 故2111(1)2k k S k a ++=++，2
12
k k S k a =+．
两式相减，得1111
2122
k k k a k a a ++=++-，所以142k k a k a +=+-．
由归纳假设得，2k a k =，
故1424222(1)k k a k a k k k +=+-=+-=+． 这说明1n k =+时，猜想也成立．
由①②知，对一切*
n N ∈，2n a n =成立 ．
（Ⅱ）因为2n a n =（*
n N ∈），所以数列{}n a 依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），
（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故
100b 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数
组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68， 所以 1006824801988b =+?=．又5b =22，所以5100b b +=2010. （Ⅲ）因为
11
1n n n
a a a -=-，故12111111n
n A a a a ??????
=--??- ? ?????????
L ，
所以12111111n A a a a ?????
--??- ????
????L 又333
()2222n n n a a a f a a a a a a a
++-=+-=-
，
故3()2n
a A f a a
+<-对一切*
n N ∈都成立，就是
1211131112n a a a a a ?????--??-<- ???????
?L 对一切*
n N ∈都成立．
设12111()111n g n a a a ?????
=-
-??- ????????
L ，则只需max 3[()]2g n a a <-即可．
由于1(1)1211()22n g n n g n a n +??++=-= ?+?
?1=<， 所以(1)()g n g n +<，故()g n
是单调递减，于是max [()](1)2
g n g ==
．
令
322a a <-，即
(0a a a >
，解得02
a -<<
，或a > 综上所述，使得所给不等式对一切*
n N ∈都成立的实数a 存在，a 的取值范围是
()+∞U ． 3、已知点列()0,n n x A 满足：1110-=?+a A A A A n n ，其中N n ∈，又已知10-=x ，
111>=a x ，.
(1)若()()
*
+∈=N n x f x n n 1，求()x f 的表达式；
(2)已知点B
(
)
0a ，，记()
*∈=N n BA a n n ，且n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；
(3)设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试求：a
a S n --<
21 。
解：（1）∵)0,1(0-A ，)0,1(1A ，∴)1)(1(1110-+=?++n n n n x x A A A A ，
∴1)1)(1(1-=-++a x x n n ，∴1
)(1++==+n n n n x a
x x f x ， ∴1
)(++=
x a
x x f . （2）∵)0,(a x BA n n -=，∴a x BA a n n n -==.
∵a x f a x a n n n -=-=++)(11
n n n n n n a a a x a a x x a a x a x )1()1(1)1(1-=-?-<-?+-=-++=
∴要使n n a a <+1成立，只要11≤-a ，即41≤ （3）∵…)1()1(12 1<-?-<--<-+a x a a x a a n n n 1 1)