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层次分析法的云涌

管理决策分析

课程论文

题目:基于层次分析法的NBA全明星赛先发球员的选取专业年级:管理科学141班

学号:1411230142

姓名:邓欢

任课教师:胡明明

层次分析法的云涌

摘要

NBA全明星赛一直受到广大球迷的关注,依据要求,首先需要根据实际数据,从东西部联盟的各15支球队中选出12名球员,然后从12名球员中选出5名先发球员。

这符合层次分析法的扩展运用,所以东西两部分开构造了两个层次分析法模型,目标层都是选出5名先发球员,准则层根据官网评价球员技能定为:三分%、罚球%、场均得分、场均助攻、场均篮板五项,方案层是两部各自的12名球员。

在方案层中,分析相关数据,运用差额分析法,即统计12位球员两两之间对应于各项标准的差额,根据每差额度区间人数,对应分配1-9尺度,构造出精确的成对比较阵,用和法,并借助excel表格计算,逐渐修改成对比较阵直至经过一致性检验后,再算出方案层对目标层的组合权向量并经过组合一致性检验,得到最后结果。

引言:层次分析法是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初,在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。但是它的运用还是有很多局限,所以本文利用它对广大球迷关注的问题作出解答。

关键词

层次分析法差额分析法1—9尺度成对比较阵一致性检验

Selection of NBA all star game first mover based on AHP

Key words : AHP Difference analysis method 1-9scale Pairwise comparison matrix Consistency check

引言

层次分析法是将决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于本世纪70年代初,在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。但它的运用还不是很全面,所以本文运用此种方法对广大球迷的问题作出相关解答。

一、问题重述

N BA 全明星(All Star Weekend)赛始于 1951 年 3 月 2 日,每年举行一次。该项比赛是由球迷和教练选举出的 24 名职业篮球运动员(东部联盟、西部联盟各 12 名,其中 5 名先发球员由球迷投票决定,7名替补由各队的主教练选出),组成东部队和西部队进行对抗。NBA全明星赛比赛时双方球员轮流上场,以充分展现当选的每个球员的球技,对胜负要求不大。因此,该项赛事开办以来,吸引了世界广大的球迷观赏。至 2014 年,共举办了 63 届全明星赛,其中东部队取胜 36次,西部取胜 27 次。

作为一名资深球迷,请你建立一个数学模型为东西部分别选出五位先发球员。请注意,这不是要你挑选出你最喜欢的十位球员,请一定要以事实为依据,用数据说话。具体数据请参考 NBA 中国官方网站: http://www.wendangku.net/doc/54762a63ec3a87c24128c467.html/ 。

二、模型假设

1、假设各联盟此次赛事中选12位球员中最好的5位当做先发球

员。

2、假设先发球员选取的标准主要是是场均得分、场均篮板、场

均助攻、罚球%、三分%五项。

三、符号说明

D1:勒布朗-詹姆斯前锋/ 23

D2::保罗-乔治前锋/ 13

D3:卡梅隆-安东尼前锋/ 7

D4:布拉德利-比尔后卫/ 3

D5:安德鲁-德拉蒙德中锋/ 0

D6:凯文-乐福前锋/ 0

D7:哈桑-怀特塞德中锋/ 21

D8:乔纳斯-瓦兰西尤纳斯中锋/ 17

D9:约翰-沃尔后卫/ 2

D10:贾瑞特-杰克后卫/ 2

D11:T.J.-麦克内尔后卫/ 12

D12:凯尔-洛瑞后卫/ 7

X1:斯蒂芬-库里后卫/ 30

X2::詹姆斯-哈登后卫/ 13

X3:凯文-杜兰特前锋/ 35

X4:德玛库斯-考辛斯前锋-中锋/ 15

X5:德安德烈-乔丹中锋/ 6

X6:德怀特-霍华德中锋/ 12

X7:鲁迪-戈波特中锋/ 27

X8:德玛库斯-考辛斯前锋-中锋/ 15

X9:拉塞尔-威斯布鲁克后卫/ 0

X10:拉简-隆多后卫/ 9

X11:里基-卢比奥后卫/ 9

X12:克里斯-保罗后卫/ 3

A:准则层对目标层的成对比较阵

CI:一致性指标

RI:随机一致性指标(当n=5时,RI=1.12;当n=12时,RI=1.53)CR:一致性比率

w:特征向量

λ:最大特征根

四、模型建立与求解

1、层次分析法确定目标层是选出五位先发球员,准则层是“场均得分”、“场均篮板”、“场均助攻”、“罚球%”、“三分%”五项,方案层是12位球员。(东、西部联盟建立的两个层次分析模型除方案层的12位球员不一样外,其他都相同。)

2、画出层次分析图,如下所示:

层次分析法的云涌

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层次分析法的云涌

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3、比较准则层各项对目标层选举的贡献以及方案层中各球员对准则层中每项评选准则的优劣,1-9尺度法结合差额分析法,分别构造准则层对目标层、方案层对准则层的对比较阵。

1准则层对目标层,结合实际数据得知,准则层1场均得分、2场均篮板、3场均助攻、4罚球%、5三分%五项中,在对目标层的贡献里,1比2强,比3强,比4稍弱,比5

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(1)方案层对准则层中的1场均得分:

层次分析法的云涌

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差额(0—5)对应尺度(1—3),差额(5—10)对应尺度(3—5),差额(10—15)对应尺度(5—7),差额(15—无穷)对应差额(7—9)。

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西部12位球员得分差额表:

层次分析法的云涌

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差额(0—5)对应尺度(1—3),差额(5—10)对应尺度(3—5),差额(10—15)对应尺度(5—7),差额(15—无穷)对应差额(7—9)。

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(2)方案层对准则层中的2场均篮板:

东部12位球员场均篮板差额:

层次分析法的云涌

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因为这组差额表中,差额0-4之间的有27个,4—8之间的油24个,8—12之间的有8个,12以上的有6个,所以:

差额(0—4)对应尺度(1—4),差额(4—8)对应尺度(4—8),差额(8—12)对应尺度(8—9),差额(12—无穷)对应差额(9)。

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西部12位球员场均篮板差额:

层次分析法的云涌

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差额(0—2)对应尺度(1—3),差额(2—4)对应尺度(3—5),差额(4—6)对应尺度(5—7),差额(6—8)对应差额(7—9),差额(8—无穷)对应9。

所以得到如下成对比较阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 0.5 0.333 0.143 0.125 0.125 0.143 0.143 0.25 0.333 1 2

2 2 1 1 0.2 0.14

3 0.143 0.167 0.2 0.333 1 3 4

3 3 1 1 0.2 0.167 0.167 0.2 0.2 0.5 1

4 4

4 7

5 5 1 0.5 0.5 1 1 0.333 5 7 8

5 8 7

6 2 1 1 2 2 5 6 9 9

6 8

7 6 2 1 1 1 2 5 6

8 9

7 7 6 5 1 0.5 1 1 1 4 5 8 8

8 7 5 5 1 0.5 0.5 1 1 3 5 7 8

9 4 3 2 3 0.2 0.2 0.25 0.333 1 2 5 6

10 3 1 1 0.2 0.167 0.167 0.2 0.2 0.5 1 3 4

11 1 0.333 0.25 0.143 0.111 0.125 0.125 0.143 0.2 0.333 1 1

12 0.5 0.25 0.25 0.125 0.111 0.111 0.125 0.125 0.167 0.25 1 1

(3)方案层对准则层中的3场均助攻:

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差额(0—2)对应尺度(1—3),差额(2—4)对应尺度(3—5),差额(4—6)对应尺度(5—7),差额(6—8)对应差额(7—9),差额(8—无穷)对应9。

层次分析法的云涌

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层次分析法的云涌

差额(0—2)对应尺度(1—5),差额(2—4)对应尺度(5—7),差额(4—6)对应尺度(7—9),差额(6—8)对应差额9。

所以得到如下成对比较阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 1

2

3

4 4 3 3 0.2 0.3 0.3 0.2

2 1 1

3

4

5 4 4 4 0.2 0.333 0.333 0.5

3 0.5 0.333 1 1 1 2 1 1 8 0.167 0.167 0.2

4 0.333 0.2

5 1 1 1 1 1 1 0.111 0.143 0.143 0.167

5 0.25 0.2 0.5 1 1 1 1 1 0.111 0.125 0.125 0.167

6 0.25 0.25 1 1 1 1 1 1 0.111 0.143 0.143 0.167

7 0.333 0.25 1 1 1 1 1 1 0.111 0.143 0.143 0.167

8 0.333 0.25 1 1 1 1 1 1 0.111 0.143 0.143 0.167

9 5 5 8 9 9 9 9 9 1 2 2 3

1

3 3 7 7 8 7 7 7 0.5 1 1 1

1

3 3 7 7 8 7 7 7 0.5 1 1 1

1

1

5 2 5

6 6 6 6 6 0.333 1 1 1

2

(4)方案层对准则层中的4罚球%:

东部12位球员罚球%差额:

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差额(0—10)对应尺度(1—3),差额(10—20)对应尺度(3—5),差额(20—30)对应(5—7),差额(30—40)对应尺度(7—9),差额(40—无穷)对应9。

层次分析法的云涌

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差额(0—15)对应尺度(1—4),差额(15—30)对应尺度(4—6),差额(30—45)对应(6—8),差额(45—55)对应尺度(8—9),差额(55—无穷)对应9。

所以得到如下成对比较阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

11 12

1 1

2 1 5 9 7 7 5

3 9 1 3

2 0.5 1 1

3 9 6 6 3 1 9 1 2

3 1 1 1

4 9 7 7 4 2 9 1 2

4 0.2 0.33

3

0.25 1 8 5 5 1 0.5 8 0.25 0.5

5 0.1

11

0.11

1

0.11

1

0.12

5

1

0.

2

5

0.12

5

0.12

5

1

0.11

1

0.12

5

6 0.1

43

0.16

7

0.14

3

0.2 5 1 1 0.2

0.16

7

5

0.14

3

0.16

7

7 0.1

43

0.16

7

0.14

3

0.2

0.

2

1 1 0.2

0.16

7

5 7

0.16

7

8 0.2 0.33

3

0.25 1 8 5 5 1 1 8 0.25 0.5

9 0.3

33

1 0.5

2 8 6 6 1 1 8 0.5 1

10 0.1

11

0.11

1

0.11

1

0.12

5

1

0.

2

0.2

0.12

5

0.12

5

1

0.11

1

0.12

5

11 1 1 1 4 9 7 0.14

3

4 2 9 1 3

12 0.30.5 0.5 2 8 6 6 2 1 8 0.33 1

33 3

(5)方案层对准则层中的5三分%:

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差额(0—10)对应尺度(1—3),差额(10—20)对应尺度(3—5),差额(20—30)对应(5—7),差额(30—40)对应尺度(7—9),差额(40—无穷)对应9。

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层次分析法的云涌

差额(0—10)对应尺度(1—3),差额(10—20)对应尺度(3—5),差额(20—30)对应(5—7),差额(30—40)对应尺度(7—9),差额(40—无穷)对应9。

所以得到如下成对比较阵:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 1 5 1 1 9 9 9 1 3 4 6 4

2 0.2 1 0.2 0.2 6 6 6 0.2 0.33

3 1 2 0.5

3 1 5 1 1 9 9 9 1 3

4 6 3

4 1

5 1 1 9 9 9 1 2 4

6 4

5 0.111 0.167 0.111 0.111 1 1 1 0.111 0.125 0.167 0.2 0.167

6 0.111 0.16

7 0.111 0.111 1 1 1 0.111 0.125 0.167 0.2 0.167

7 0.111 0.167 0.111 0.111 1 1 1 0.111 0.125 0.167 0.2 0.167

8 1 5 1 1 9 9 9 1 2 4 6 2

9 0.333 3 0.333 0.5 8 8 8 0.5 1 2 4 2

10 0.25 1 0.25 0.25 6 6 6 0.25 0.5 1 2 1

11 0.167 0.5 0.167 0.167 5 5 5 0.167 0.25 0.5 1 0.5

12 0.25 2 0.333 0.25 6 6 6 0.5 0.5 1 2 1

4、计算权向量并做一致性检验。

用和法计算出每一个成对比较阵的最大特征根λ及对应的特征向量w,利用一致性指标CI、随机性指标RI和一致性比率CR做一致性检验,如教材中所写:CR小于等于0.1即通过检验。若检验通过,特征向量归一化后即为权向量。 ○1和法步骤如下所示:

a、将A的每一列向量归一化; b、对归一化的矩阵按行求和;

得到w=(w1

,w2

,...,wn)T即为近似特征向量;

(Aw)i/wi)/n作为最大特征根的近似值。

对准则层对方案层的成对比较阵A进行如下计算: 450.52120.1430.333510.1250.2578153

4

0.2

1

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(1.2480 0.3376 0.2280 2.4482 0.7381)T

(0.2496 0.0675 0.0456 0.4897 0.1476)T

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利用公式λ=(Σni=1(Aw)i/wi)/n得λ=5.1021

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○3对算出的结果进行一致性检验,如下所示:

CI=(λ-n)/(n-1)=(5.1021-5)/(5-1)=0.0255 CR=CI/RI=0.0255/1.12=0.0228<0.1 (当n=5时,RI=1.12)

表明A的不一致程度在容许范围内,即通过检验,则准则层对目标层的权向量为 w=(0.2496 0.0675 0.0456 0.4897 0.1476)T

○4对方案层对准则层的成对比较阵进行如上所示的计算,计算结果如下所示: 东部12位球员:

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西部12位球员:

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