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高考数学一轮复习第六章等比数列及其前n项和学案30 文(含解析)

学案30 等比数列及其前n 项和

导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．

自主梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q ≠0)．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝______________. 3．等比中项：

如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·________ (n ，m ∈N *

)． (2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则__________________________．

(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n } (λ≠0)，????

??1a n ，{a 2

n }，{a n ·b n }，????

?a n b n 仍是等比数列．

(4)单调性：?????

a 1>0，

q >1

或?????

a 1<0

?{a n }是________数列；?????

a 1>0，

或?????

a 1<0

q >1

?{a n }

是________数列；q ＝1?{a n }是____数列；q <0?{a n }是________数列．

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q n －1q －1＝a 1q n q －1－a 1

q －1

6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为______．

自我检测

1．“b ＝ac ”是“a 、b 、c 成等比数列”的 ( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n

－a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是 ( )

A ．3

B ．1

C ．0

D ．－1

3．(2011·温州月考)设f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1 (n ∈N *

)，则f (n )等于 ( )

A.27(8n －1)

B.27(8n ＋1

－1) C.27(8n ＋2－1) D.27

(8n ＋3

－1) 4．(2011·湖南长郡中学月考)已知等比数列{a n }的前三项依次为a －2，a ＋2，a ＋8，

则

a n 等于

( )

A ．8·? ????32n

B ．8·? ????23n

C ．8·? ????32n －1

D ．8·? ??

??23n －1

5．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1 (n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.

探究点一等比数列的基本量运算

例1 已知正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，求数列{a n }的通项a n 和前n 项和S n .

变式迁移1 在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .

探究点二等比数列的判定

例2 (2011·岳阳月考)已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n

＋5，n ∈N *

(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .

变式迁移2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *

)．

(1)求a 2，a 3的值；

(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．

探究点三等比数列性质的应用

例3 (2011·湛江月考)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝8，且1a 1＋1a 2＋1a 3＋1

a 4

＋

a 5

＝2，求a 3.

变式迁移3 (1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，

求b 5＋b 9的值；

(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.

分类讨论思想与整体思想的应用

例 (12分)设首项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为80，它的前2n 项和为6 560，且前n 项中数值最大的项为54，求此数列的第2n 项．

【答题模板】

解设数列{a n }的公比为q ，

若q ＝1，则S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1＝2S n . ∵S 2n ＝6 560≠2S n ＝160，∴q ≠1，[2分]

由题意得?

????

a 11－q n

1－q

＝80， ①

1－q 2n

1－q

＝6 560. ②

[4分]

将①整体代入②得80(1＋q n

)＝6 560， ∴q n

＝81.[6分]

将q n

＝81代入①得a 1(1－81)＝80(1－q )， ∴a 1＝q －1，由a 1>0，得q >1， ∴数列{a n }为递增数列．[8分] ∴a n ＝a 1q

n －1

＝a 1q

·q n

＝81·a 1q

＝54.

∴a 1q ＝2

.[10分] 与a 1＝q －1联立可得a 1＝2，q ＝3，

∴a 2n ＝2×32n －1 (n ∈N *

)．[12分] 【突破思维障碍】

(1)分类讨论的思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,01或a 1>0,0

函数的思想：等比数列的通项公式a n ＝a 1q

n －1

＝a 1

·q n

(q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．(3)

整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n

，

a 1

1－q

当成整体求解．本题条件前n 项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将q n

和

a 11－q n

1－q

的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．

1．等比数列的通项公式、前n 项公式分别为a n ＝a 1q n －1

，S n ＝?????

na 1， q ＝1，a 11－q n

1－q

， q ≠1.

2．等比数列的判定方法：

(1)定义法：即证明

a n ＋1a n

＝q (q ≠0，n ∈N *

) (q 是与n 值无关的常数)． (2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *

且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)．

3．等比数列的性质：

(1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *

)；

(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *

)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；

(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数

列，其公比为q n

4．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

5．等差数列与等比数列的关系是：

(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．(2010·辽宁)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3

＝7，则S 5等于 ( )

A.152

B.314

C.334

D.172

2．(2010·浙江)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则

S 5

S 2

等于 ( )

A ．－11

B ．－8

C ．5

D ．11

3．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )

A ．33

B ．72

C ．84

D ．189

4．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是 ( )

A ．T 10

B ．T 13

C ．T 17

D ．T 25

5．(2011·佛山模拟)记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则

S 10

S 5

等于( ) 题号 1 2 3 4 5 答案 6．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为________． 7．(2011·平顶山月考)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________.

8．(2010·福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.

三、解答题(共38分)

9．(12分)(2010·陕西)已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项；

(2)求数列{2a n }的前n 项和S n .

10．(12分)(2011·廊坊模拟)已知数列{log 2(a n －1)}为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5. (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；

(2)求1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1

a n ＋1－a n

的值．

11．(14分)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b n }的第2项、第3项、第4项．

(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)设数列{c n }对n ∈N *

均有c 1b 1＋c 2

b 2＋…＋

c n b n

＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010.

答案自主梳理

1．公比 q 2.a 1·q n －1 4.(1)q n －m

(2)a k ·a l ＝a m ·a n

(4)递增递减常摆动 6.q n

自我检测

1．D 2.B 3.B 4.C 5.－9 课堂活动区

例1 解题导引 (1)在等比数列的通项公式和前n 项和公式中共有a 1，a n ，q ，n ，S n

五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；

(2)本例可将所有项都用a 1和q 表示，转化为关于a 1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．

解方法一由已知得：

???? a 21q 4

＋2a 21q 6

＋a 21q 8

＝100，a 21q 4

－2a 21q 6＋a 21q 8

＝36.

①②

①－②，得4a 21q 6

＝64，∴a 21q 6

＝16.③

代入①，得16q

2＋2×16＋16q 2

＝100.

解得q 2＝4或q 2

＝14

又数列{a n }为正项数列，∴q ＝2或1

当q ＝2时，可得a 1＝1

，

∴a n ＝12×2n －1＝2n －2

，

S n ＝12(1－2n )1－2＝2n －1

－12

；

当q ＝1

时，可得a 1＝32.

∴a n ＝32×? ????12n －1＝26－n

S n ＝32??????1－? ????12n 1－12

＝64－26－n

方法二 ∵a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，a 2a 6＝a 3a 5，a 3a 7＝a 4a 6＝a 2

5，

由???

a 1a 5＋2a 2a 6＋a 3a 7＝100，a 2a 4－2a 3a 5＋a 4a 6＝36，

可得?????

a 2

3＋2a 3a 5＋a 2

5＝100，a 23－2a 3a 5＋a 2

5＝36，

即?????

(a 3＋a 5)2

＝100，(a 3－a 5)2

＝36.

∴?

a 3＋a 5＝10，a 3－a 5＝±6.解得?

a 3＝8，a 5＝2，或?

a 3＝2，

a 5＝8.

当a 3＝8，a 5＝2时，q 2

＝a 5a 3＝28＝14

∵q >0，∴q ＝12

，由a 3＝a 1q 2

＝8，

得a 1＝32，∴a n ＝32×? ??

??12n －1＝26－n

S n ＝32－26－n

121－12

＝64－26－n

当a 3＝2，a 5＝8时，q 2

＝82

＝4，且q >0，

∴q ＝2.

由a 3＝a 1q 2

，得a 1＝24＝12

∴a n ＝12×2n －1＝2n －2

S n ＝12(2n

－1)2－1＝2n －1

－12

变式迁移1 解由题意得 ?????

a 2·a n －1＝a 1·a n ＝128，a 1＋a n ＝66，

解得???

?? a 1＝64，a n ＝2或?

a 1＝2，a n ＝64.

若?????

a 1＝64，a n ＝2，

则S n ＝

a 1－a n q 1－q ＝64－2q

1－q

＝126，

解得q ＝12，此时，a n ＝2＝64·? ??

??12n －1

，

∴n ＝6.

若?

a 1＝2，a n ＝64，则S n ＝2－64q

1－q

＝126，∴q ＝2.

∴a n ＝64＝2·2

n －1

.∴n ＝6. 综上n ＝6，q ＝2或1

例2 解题导引 (1)证明数列是等比数列的两个基本方法：

①

a n ＋1a n ＝q (q 为与n 值无关的常数)(n ∈N *

)． ②a 2n ＋1＝a n a n ＋2 (a n ≠0，n ∈N *

)．

(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．

(1)证明由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *

，可得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4，

两式相减得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1，从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，所以a 2＋a 1＝2a 1＋6，又a 1＝5，所以a 2＝11，从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，

故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *

，

又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1＋1

a n ＋1

＝2，

即数列{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．

(2)解由(1)得a n ＋1＝6·2n －1

，

所以a n ＝6·2n －1

－1，

于是S n ＝6·(1－2n

)1－2

－n ＝6·2n

－n －6.

变式迁移2 (1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *

)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；

当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6， ∴a 3＝8.

(2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n

＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *

)，①

∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②

①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2.

∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．

∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋2

＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．

例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．

解由已知得

a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋1

a 5

＝a 1＋a 5a 1a 5＋a 2＋a 4a 2a 4＋a 3a 23

＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5a 23

＝8a 23＝2，

∴a 2

3＝4，∴a 3＝±2.若a 3＝－2，设数列的公比为q ，

则

－2q 2＋

－2q

－2－2q －2q 2

＝8，即1q 2＋1q

＋1＋q ＋q 2

＝? ????1q ＋122＋? ????q ＋122＋1

＝－4. 此式显然不成立，经验证，a 3＝2符合题意，故a 3＝2.

变式迁移3 解 (1)∵a 3a 11＝a 2

7＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝4，

∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.

(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝a 41q 6

＝1.① a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15 ＝a 41·q 54

＝8.②

②÷①：a 41·q 54

a 41·q

6＝q 48＝8?q 16

＝2，

又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43

＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10

＝1·210

＝1 024. 课后练习区

1．B [∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，

∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 2

3＝1，即a 3＝1.

∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q

2＋1q

＋1＝7，即6q 2

－q －1＝0.

故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1

2＝4.

∴S 5＝4(1－125)

1－12

＝8(1－125)＝31

4.]

2．A [由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4

＝0，所以q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)

a 1(1－22)

＝－11.]

3．C [由题可设等比数列的公比为q ，

则3(1－q 3

)1－q

＝21?1＋q ＋q 2＝7?q 2＋q －6＝0

?(q ＋3)(q －2)＝0，

根据题意可知q >0，故q ＝2.

所以a 3＋a 4＋a 5＝q 2

S 3＝4×21＝84.]

4．C [a 3a 6a 18＝a 31q 2＋5＋17＝(a 1q 8)3＝a 3

9，即a 9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T 17为定值．]

5．D [因为等比数列{a n }中有S 3＝2，S 6＝18，

即S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q

＝1＋q 3

＝182

＝9，故q ＝2，从而S 10

S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)

1－q

＝1＋q 5＝1＋25

＝33.]

6．127

解析 ∵公比q 4

＝a 5

a 1

＝16，且q >0，∴q ＝2，

∴S 7＝1－27

1－2＝127.

7.1207

解析 ∵S 99＝30，即a 1(299

－1)＝30，

∵数列a 3，a 6，a 9，…，a 99也成等比数列且公比为8，

∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝4a 1(1－833

)

1－8

＝4a 1(299

－1)7＝47×30＝1207.

8．4n －1

解析 ∵等比数列{a n }的前3项之和为21，公比q ＝4，

不妨设首项为a 1，则a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝a 1(1＋4＋16)＝21a 1＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝1×4n －1

＝4n －1.

9．解 (1)由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d

，…………………………………………………………………………(4

分)

解得d ＝1或d ＝0(舍去)．

故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .……………………………………………………(7分)

(2)由(1)知2a n ＝2n

，由等比数列前n 项和公式，

得S n ＝2＋22＋23＋ (2)

＝2(1－2n

)1－2

＝2n ＋1

－2.………………………………………………………………………………(12分)

10．(1)证明设log 2(a n －1)－log 2(a n －1－1)＝d (n ≥2)，因为a 1＝3，a 2＝5，所以d ＝log 2(a 2－1)－log 2(a 1－1)＝log 24－log 22＝1，…………………………………………………………(3分)

所以log 2(a n －1)＝n ，所以a n －1＝2n

，

所以a n －1a n －1－1

＝2 (n ≥2)，所以{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………(6

分)

(2)解由(1)可得a n －1＝(a 1－1)·2n －1

，

所以a n ＝2n

＋1，…………………………………………………………………………(8分)

所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n

＝122－2＋123－22＋…＋12n ＋1－2n ＝12＋122＋…＋12n ＝1－1

2n .………………………………………………………………(12分)

11．解 (1)由已知有a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，

∴(1＋4d )2

＝(1＋d )(1＋13d )．解得d ＝2(d ＝0舍)．……………………………………………………………………(2分) ∴a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1.………………………………………………………………(3分)

又b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9， ∴数列{b n }的公比为3，

∴b n ＝3·3n －2＝3n －1

.………………………………………………………………………(6分)

(2)由c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n b n

＝a n ＋1得

当n ≥2时，c 1b 1＋c 2

b 2

＋…＋

c n －1

b n －1＝a n . 两式相减得：当n ≥2时，

c n

b n

＝a n ＋1－a n ＝2.……………………………………………(9分)

∴c n ＝2b n ＝2·3n －1

(n ≥2)．

又当n ＝1时，c 1

b 1

＝a 2，∴c 1＝3.

∴c n ＝?

????

3 (n ＝1)2·3n －1

(n ≥2).……………………………………………………………(11分)

∴c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 010

＝3＋6－2×32 010

1－3

＝3＋(－3＋32 010)＝32 010

.…………………………………………(14分)

高三数学解析几何专题

专题四解析几何专题【命题趋向】解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．【考点透析】解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．【例题解析】题型1 直线与方程例1 （2008高考安徽理8）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（） A ．[ B ．( C ．[33 D ．(33 - 分析：利用圆心到直线的距离不大于其半径布列关于直线的斜率k 的不等式，通过解不等式解决．解析：C 设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1 x y -+= 有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤，得222141,3 k k k ≤+≤，选择C 点评：本题利用直线和圆的位置关系考查运算能力和数形结合的思想意识．高考试卷中一般不单独考查直线与方程，而是把直线与方程与圆、圆锥曲线或其他知识交汇考查．例2．(2009江苏泰州期末第10题)已知04,k <<直线1:2280l kx y k --+=和直线

等比数列的前n项和说课稿

《等比数列的前n项和》说课稿各位老师，大家好，今天我要说课的内容是人教版高中数学必修5第二章第五节的《等比数列的前n项和》.我的说课主要分为下面六个过程来进行：教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计. 一、教学理念新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材内容分析在学习《等比数列前n项和公式》之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识.以下是我的教学目标分析和学情分析： 1、教学目标分析根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，依据《课标》我制定了如下的教学目标：［知识与技能］理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．［过程与方法］通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等

等比数列前n项和公式教学设计20

§3.2等比数列前n项和教学设计一、教材分析 1、教学内容：《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用． 2、教材分析：《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析 1、知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力：高二学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤其是在后面使用的过程中容易出错． 3、任教班级学生特点：我班学生基础知识还行、思维较活跃，应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．三、目标分析教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标： 1.知识与技能理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能简单的应用公式. 2．过程与方法

2020高考数学专题复习-解析几何专题

《曲线的方程和性质》专题一、《考试大纲》要求 ⒈直线和圆的方程（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式．掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． ⒉圆锥曲线方程（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程．（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．（4）了解圆锥曲线的初步应用．二、高考试题回放 1．（福建）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（） A ． 33 B ．32 C ．2 2 D ．23

2．(福建)直线x +2y=0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于 . 3．（福建）如图，P 是抛物线C ：y=2 1x 2上一点，直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q.（Ⅰ）若直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l 不过原点且与x 轴交于点S ，与y 轴交于点T ，试求 | || |||||SQ ST SP ST +的取值范围. 4．（湖北）已知点M （6，2）和M 2（1，7）.直线y=mx —7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为（） A ．2 3 - B ．3 2- C ．4 1 D ．4 5.（湖北）两个圆0124:0222:222221=+--+=-+++y x y x C y x y x C 与的公切线有且仅有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．（湖北）直线12:1:22=-+=y x C kx y l 与双曲线的右支交于不同的两点A 、B. （Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由. 7．（湖南）如果双曲线112 132 2 =-y x 上一点P 到右焦点的距离为13, 那么点 P 到右准线的距离是（）

2.5等比数列的前n项和说课稿

《等比数列的前n项和》说课稿尊敬的各位评委,老师: 你们好，我是047号考生，今天我说课的课题是人教版普通高中课程标准实验教材《数学》必修5第二章第五节《等比数列的前n项和》。为了说清楚我对本节课的整体设计整体设计思路，下面我我将从：教学理念、教材内容分析、教学目标及学情分析、教学的重难点分析、教学方法的分析、教学过程的设计六个方面加以说明。一、教学理念新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”其含义就是：我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值．因此，创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材内容分析在学习《等比数列前n项和公式》之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和、数列极限打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点. 从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高. 三、教学目标及学情分析

14025学案等比数列(3)前n项和

高二数学学案序号025 高二年级 14班教师王鸿斌学生课题：等比数列（3）前n 项和学习目标：1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法． 2. 等比数列前n 项和公应用，熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。学习重点：等比数列求和及求和公式应用．学习难点：错位相减法教学过程：一．复习回顾 1．等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2．等差数列的前n 项和公式及性质二．新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ，公比为q ≠0，则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ① 或n S = ② 当q =1时，n S = 等比数列的前n 项和公式：11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?（或）1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质：等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别是n S ，2n S ，3n S ， n S ，2n n S S -，32n n S S - 也成等比数列.（等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列）三．典型例题例1：求3463124222++++++ 的和练习1：等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ，求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===，求n 例2：某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的售价比上一年增加10％，那么从第一年起，约几年内可使总销售量达到30000台？四、学习小结： 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题

高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计

高中数学《等比数列的前n项和（第一课时）》教学设计一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。三.教学目标。

根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。四.重点,难点分析。教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。六.课堂设计

高考数学解析几何专题练习及答案解析版

高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上（Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上（Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9．圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )

高中数学《等比数列前n项和》说课稿

高中数学《等比数列前n项和》说课稿高中数学《等比数列前n项和》说课稿一、教材分析 1.从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养． 2.从学生认知角度看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错． 3.学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因此片面、不严谨． 4.重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点．二、目标分析知识与技能目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．过程与方法目标：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．情感与态度价值观：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．三、过程分析学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，尽可能地让学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我设计了如下的教学过程：

(完整版)等比数列前n项和公式的性质导学案

等比数列前n 项和的性质导学案知识目标：掌握等比数列前n 项和的性质，灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。方法与过程：通过自主探究的方式，培养学生团队精神，勇于探索的精神。教学过程：复习: 1、等比数列前n 项和公式: （1）（2） 2.数学思想：课前练习： 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究：探究一：性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数列。例题1：若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。变式：若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2，求a 的值。探究二：我们知道，等差数列有这样的性质：数列{}n a 是等差数列，则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列；则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？等比数列前n 项和的性质二：数列{}n a 是等比数列，则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列；则新的等比数列的首项是K S ,公比（）例题2 ：已知等比数列{}n a 中，前10项和10S ＝10，前20项和20S ＝30，求30S 变式训练： 1. 等比数列{}n a 10S ＝20，20S =80，求30S ＝？.

等比数列前n项和公式-教案

课时教案

一、复习提问回顾等比数列定义，通项公式（1）等比数列定义：（，（2）等比数列通项公式：（3）等差数列前n项和公式的推导方法：倒序相加法。二、问题引入：阅读:课本“国王赏麦的故事”。问题:如何计算引出课题:等比数列的前n项和。三、问题探讨：问题：如何求等比数列的前n项和公式回顾：等差数列的前n项和公式的推导方法。倒序相加法。等差数列它的前n项和是根据等差数列的定义（1）（2）（1）+（2）得：

探究：等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导？学生讨论分析，得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。回顾：等差数列前n项和公式的推导方法本质。构造相同项，化繁为简。探究：等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导？根据等比数列的定义：变形：具体： …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式，学生不难发现：由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。所以将这一特点应用在前n项和上。由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。（1）（2）由此构造相同项。数学具有和谐美，错位相减，从而化繁为简。

当q=1时，当时，学生经过讨论还发现了其他的推导方法，让学生课后整合自己的思路，将各自的推导过程展示在班级学习园地，同学们共享探究。由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式：当时，四.知识整合: 1．等比数列的前n项和公式：当q=1时，当时， 2．公式特征： ⑴等比数列求和时，应考虑与两种情况。 ⑵当时，等比数列前n项和公式有两种形式,分别都涉及四个量，四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量，，五个量中“知三求二”（方程思想）。 3．等比数列前n项和公式推导方法：错位相减法。

等比数列前n项和说课稿

《2.5等比数列的前n项和》尊敬的各位各位老师、评委：大家好！今天我说课的课题是人教版高中课程标准实验教材《数学》必修5第2章第5节等比数列前n项和第一课时。下面我将围绕本节从教材分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程设计、教学反思等六个方面来进行我的说课。一、教材分析三角函数这一章学习是在函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习。内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。研究的方法主要是代数变形和图象分析。三角函数是重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具，三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（如：物理、天文学）联系紧密。鉴于上述分析我制定了本节课的教学目标。二、教学目标根据新课标对本节课的教学要求，结合学生已有的认知能力结构和以上教材分析，我将从知识与技能、过程与方法、情感、态度与价值观三个方面来设计本节课的三维目标。 1、知识与技能目标：掌握等比数列的前n项和公式及其运用。 2、过程与方法目标：让学生从“错位相减法”中，体会“消除差别”思想，培养学生的化简能力。 3、情感态度与价值观目标：激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。三、教学重、难点根据根据新课程的标准要求结合学生的学习情况，本节课注重培养学生的创新精神和探究能力。我把重点定为：等比数列前的n项和公式及应用。难点定为：用错位相减法推导等比数列的前n项和公式。四、教学与学法教之道在于度学之道在于悟，任何一堂课都是各种不同教学方法综合作用的结果，我认为本堂课有以下主要的教法和学法。在教法上：由于任何教学都必须通过学生自身的学习建构活动才有成效，故本节课采用“探究式教学法、讲练结合法、类比分析法”等来组织课堂教学。另外，为使课堂生动、有趣、高效，在教学手段上我利用多媒体辅助教学。在学法上：考虑到这节课主要通过教师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，我主要引导学生自己观察、归纳、类比，采用自主探究的

等比数列的前n项和(教学设计)

等比数列的前n项和（第一课时）一．教材分析。（1）教材的地位与作用：《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学（5），是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。二．学情分析。（1）学生的已有的知识结构：掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式与方法，等比数列的概念与通项公式。（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。三．教学目标。根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：（1）知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题。（2）过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维

等比数列前n项和-(公开课教案)

等比数列的前n 项和命题分析： 1. 高考主要考查两种基本数列（等差与等比数列）、两种基本求和方法（裂项求和法、错位相减法）、两类综合（与函数综合、与不等式综合），主要突出数学思想的应用。 2. 若以解答题形式考查，数列往往与解三角形在17题的位置上交替考查，试题难度中等；若以客观题考查，难度中等的题目较多，但有时也会出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时要引起关注。一、首先回忆一下基本内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比。公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：｛n a ｝成等比数列 ?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件（前提条件）。 2. 等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， 1(0)n m n m a a q a q -=??≠ 3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 4．等比中项：G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号）. 5．性质：若m+n=p+q ，q p n m a a a a ?=? 6．判断等比数列的方法：定义法，等比中项法，通项公式法如：有一个数列满足135-?=n n a ，与公式)0(111≠??=-q a q a a n n 比较我们可以判断出这个数列为等比数列且3,51==q a 。二、【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨?班?达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，

人教版高考数学专题复习：解析几何专题

高考数学专题复习：解析几何专题【命题趋向】 1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，与求轨迹有关、与向量结合、与求最值结合的往往是一个灵活性、综合性较强的大题，属中、高档题， 4．解析几何的才查，分值一般在17---22分之间，题型一般为1个选择题，1个填空题，1个解答题. 【考题解析与考点分析】考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之. 例1．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质. 解答过程：椭圆22162 x y +=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =，故选D. 考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 例2．已知抛物线y-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于 A.3 B.4 C.32 D.42 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用. 解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b ?=-+?++-=?+=-?=+?，进而可求出AB 的中点1 1(,)22M b --+，又由11(,)22 M b --+在直线0x y +=上可求出1b =， ∴220x x +-=，由弦长公式可求出AB ==．故选C 例3．如图，把椭圆2212516x y +=的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567 ,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= ____________. 考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.

等比数列及其前n项和学案

6.3等比数列及其前n 项和考情分析高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质，在解答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查基础知识 1、等比数列的判定：（1）定义法：*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数，（2）等比中项法：2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且（3）通项公式法：*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数，（4）1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 （5）若{},{}n n a b 均为等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠；；；公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---，相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比；由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质（1）通项公式：①11n n a a q -=②n m n m a q a -= （2）前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? （3）下脚标性质：若m+n=p+q ，则m n p q a a a a = （4）两个常用技巧：若三个数成等比通常设成,,a a aq q ，若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ，方便计算注意事项

1.利用错位相减法推导等比数列的前n 项和： S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，同乘q 得：qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1q n ，两式相减得(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)． 2.(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误． 3.等比数列的判断方法有： (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n · a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．题型一等比数列基本量的计算【例1】设S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求a 2的值； (2)若{a n }是等比数列，且a n ＋1